행렬 역학

행렬 역학은 1925년 베르너 하이젠베르크, 맥스 보른, 파스쿠알 조던에 의해 만들어진 양자 역학의 공식이다.그것은 개념적으로 자율적이고 논리적으로 일관된 최초의 양자역학 공식화였다.양자 점프의 설명은 보어 모델의 전자 궤도를 대체했다.그것은 입자의 물리적 특성을 시간에 따라 진화하는 행렬로 해석함으로써 그렇게 했다.이것은 디락의 브라-케트 표기법에 나타나 있듯이 양자역학의 슈뢰딩거 파동 공식과 같다.

파동 공식과는 대조적으로 순수하게 대수적인 사다리 연산자 ^[1]방법에 의해 (대부분의 에너지) 연산자의 스펙트럼을 생성한다.이러한 방법에 의존하여, 볼프강 파울리는 파동 역학의 개발 전인 ^[2]1926년에 수소 원자 스펙트럼을 도출했다.

매트릭스 역학의 개발

1925년 베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 파스쿠알 조던은 양자역학의 행렬역학 표현을 공식화했다.

헬골란드 현시일

1925년 베르너 하이젠베르크는 괴팅겐에서 수소의 스펙트럼 라인을 계산하는 문제를 연구하고 있었다.1925년 5월까지 그는 원자 시스템을 관측 가능한 것으로만 설명하려고 시도하기 시작했다.6월 7일, 몇 주 동안 아스피린과 ^[3]코카인으로 꽃가루 알레르기를 완화시키는데 실패한 후, 하이젠버그는 꽃가루가 없는 북해의 헬골란드로 떠났다.그곳에 있는 동안, 괴테의 웨스트 외슬리커 디완의 시를 암기하고 있는 동안, 그는 계속해서 스펙트럼 문제를 숙고했고 결국 통근하지 않는 관측물을 채택하는 것이 문제를 해결할 수 있다는 것을 깨달았다.그는 나중에 다음과 같이 썼다.

계산의 최종 결과가 눈앞에 나타난 것은 밤 3시쯤이었다.처음에 나는 크게 흔들렸다.나는 너무 흥분해서 잠을 잘 수가 없었다.그래서 나는 집을 나와 바위 ^[4]꼭대기에서 일출을 기다렸다.

세 가지 기본 논문

하이젠베르크가 괴팅겐으로 돌아온 후, 그는 볼프강 파울리에게 자신의 계산을 보여주며 다음과 같이 말했다.

모든 것이 여전히 모호하고 불분명하지만, 전자는 ^[5]더 이상 궤도를 따라 움직이지 않을 것 같다.

하이젠베르크는 7월 9일 막스 보른에게 그가 미친 논문을 썼고 출판을 위해 그것을 감히 보내지 않았다. 그리고 보른은 그것을 읽고 그에게 조언해야 한다고 말했다.그리고 나서 하이젠베르크는 Born에게 ^[6]논문 분석을 맡기고 잠시 떠났다.

이 논문에서 하이젠베르크는 날카로운 전자 궤도가 없는 양자 이론을 공식화했다.헨드릭 크라머스는 일찍이 궤도의 푸리에 계수를 강도로 해석함으로써 솜머펠트 모델에서 스펙트럼 선의 상대적 강도를 계산했다.하지만 그의 대답은, 이전의 양자 이론의 다른 모든 계산과 마찬가지로, 큰 궤도에 대해서만 옳았다.

하이젠베르크는 ^[7]크라메르스와의 협력 후 전이 확률이 매우 고전적인 양이 아니라는 것을 이해하기 시작했습니다. 왜냐하면 푸리에 급수에서 나타나는 주파수는 푸리에가 날카로운 고전 궤도에서 나오는 가상의 주파수가 아니라 양자 점프에서 관측되는 주파수여야 하기 때문입니다.그는 고전적인 푸리에 급수를 계수의 매트릭스, 즉 푸리에 급수의 퍼지된 양자 유사체로 대체했다.고전적으로 푸리에 계수는 방출된 방사선의 강도를 제공하므로 양자역학에서 위치 연산자의 매트릭스 요소의 크기는 밝은 라인 스펙트럼에서 방사선의 강도였다.하이젠베르크의 공식에서 수량은 고전적인 위치와 운동량이었지만, 이제는 더 이상 명확하게 정의되지 않았다.각 수량은 초기 상태와 ^[8]최종 상태에 해당하는 두 개의 지수를 가진 푸리에 계수 모음으로 표현되었다.

Born이 논문을 읽었을 때,^[9] 그는 Breeslau 대학의 Jakob Rosanes의^[10] 연구에서 배운 행렬의 체계적 언어로 번역되고 확장될 수 있는 공식이라는 것을 알아챘다.Born은 그의 조교이자 전 제자였던 Pascual Jordan의 도움으로 즉시 전사와 확장을 만들기 시작했고, 그들은 그들의 결과를 출판을 위해 제출했습니다; Heisenberg의 ^[11]논문 60일 후에 그 논문은 출판을 위해 접수되었습니다.

A후속 종이 출판을 위해 일년 안에 모든 세명의 작가들에 의해 제출되었다.양자 역학의 핵심 공식 진폭 제레미 Bernst가 쓴 글에서 볼 수 있는 확률의 non-commutivity이 연루된 토론과 함께 행렬 역학 공식화의 발달에 보른의 역할의[12]( 대한 간략한 복습이다.상세한 역사적 기술적 설명은 메흐라와 레첸버그의 양자 이론의 역사적 발전에서 찾을 수 있다.^[13] 제3권 행렬 역학의 공식과 그 수정 1925~1926).^[14]

세 가지 기본 백서는 다음과 같습니다.

W. Heisenberg, Uber quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechancher Bziehungen, Zeitschrift für Phyr, 33, 879-893, 1925년 7월 29일 수령.[영어 번역: B. L. van der Waerden, Sources of Quantum Mechanics 편집자 (Dover Publications, 1968) ISBN0-486-61881-1(영어 제목:양자이론적인 운동학적 및 기계적 관계의 재해석).]

M. Born and P. Jordan, Zur Quantenmechanik, Zeitschrift für Physik, 34, 858-888, 1925년 9월 27일 수령.[영어 번역: B. L. van der Waerden, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (영어 제목:양자역학에 대하여)]

M. Born, W. Heisenberg 및 P. Jordan, Zur Quantenmechanik II, Zeitschrift für Physik, 35, 557-615, 1926년 (1925년 11월 16일 수령)[영어 번역: B. L. van der Waerden, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (영어 제목:양자역학II)에 대해서]

이때까지, 행렬은 물리학자들에 의해 거의 사용되지 않았다; 행렬은 순수한 수학의 영역에 속한다고 여겨졌다.Gustav Mie는 1912년 전기역학 논문에 그것들을 사용했고 Born은 1921년 결정의 격자 이론에 대한 그의 연구에 그것들을 사용했다.행렬이 이러한 경우에 사용되는 반면, 행렬의 곱셈 대수는 양자 ^[15]역학의 행렬 공식에서와 같이 그림으로 들어오지 않았다.

그러나 Born은 이미 언급한 바와 같이 행렬 대수를 로사네스로부터 배웠지만,^[16]^[17] Born은 또한 1912년에 발표된 Born of Hilbert의 작품 Grundzüge einer allgemaenen Theory der Linearen Integleichen의 인용에서 명백하게 나타난 바와 같이 무한한 수의 변수에 대한 Hilbert의 적분 방정식과 2차 형식을 배웠다.

조던 역시 그 일을 할 준비가 잘 되어 있었다.수년간,^[18] 그는 괴팅겐에서 Richard Courant의 조수로 Courant와 1924년에 출판된 David Hilbert의 Methoden der mathematischen Physik I의 책 준비에 있었다.우연히도 이 책은 양자역학의 지속적인 발전에 필요한 많은 수학적 도구들을 포함하고 있었다.

1926년, 존 폰 노이만은 데이비드 힐버트의 조수가 되었고, 그는 양자역학 ^[19]^[20]발전에 사용된 대수학과 해석을 설명하기 위해 힐버트 공간이라는 용어를 만들었다.

이 공식에 대한 린치핀의 기여는 1925년 디락의 재해석/합성 논문에서 달성되었습니다. 디락은 전체 구성의 비교환 구조를 완전히 보여주면서 오늘날 일반적으로 사용되는 언어와 프레임워크를 발명했습니다.

하이젠베르크의 이론

매트릭스 역학 이전에, 오래된 양자 이론은 잘 정의된 위치와 운동량 X(t), P(t)와 함께 플랑크 상수의 양의 정수 배수가 되어야 하는 제한과 함께 입자의 움직임을 묘사했다.

\displaystyle \int _{0}^{T}P\;{dX \over dt}\;dt=\int _{0}^{T}P\;dX=nh.}

이 제한은 어느 정도 올바른 에너지 값_n E를 가진 궤도를 올바르게 선택하지만, 이전의 양자역학 형식주의는 방사선의 방출이나 흡수 같은 시간에 의존하는 과정을 설명하지 않았다.

고전적인 입자가 방사선장에 약하게 결합되어 방사선 감쇠가 무시될 때, 그것은 궤도 주기마다 반복되는 패턴으로 방사선을 방출할 것이다.발신파를 구성하는 주파수는 궤도 주파수의 정수 배수이며, 이는 X(t)가 주기적이라는 사실을 반영하는 것으로 푸리에 표현은 2µn/T 주파수만을 가집니다.

X(t)=\sum _{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi int/T}X_{n}.

계수_n X는 복소수입니다.음의 주파수를 갖는 것은 양의 주파수를 갖는 것의 복합적 켤레여야 한다. 그러면 X(t)는 항상 실재하게 된다.

({displaystyle X_{n}=X_{-n}^{*}).}

반면 양자역학적 입자는 연속적으로 방사선을 방출할 수 없고 광자만 방출할 수 있다.양자 입자가 궤도 번호 n에서 시작하여 광자를 방출한 후 궤도 번호 m으로 끝난다고 가정하면, 광자의 에너지는 $E-E$ 이며_n_m, 이는 그 주파수가 $(E n$ - $E m)/ h임$ 을 의미한다.

큰 n과 m, 그러나 상대적으로 작은 n-m의 경우, 이것들은 보어의 대응 원리에 의한 고전 주파수이다.

\displaystyle E_{n}-E_{m}\약 h(n-m)/T}

위의 식에서 T는 궤도 n 또는 궤도 m의 고전적인 주기이며, 그 차이는 h에서 더 높기 때문이다. 그러나 n과 m이 작거나 n - m이 크면 주파수는 단일 주파수의 정수 배수가 아니다.

입자가 방출하는 주파수는 푸리에 설명의 운동 주파수와 같기 때문에, 이는 입자의 시간 의존적 설명의 무언가가 주파수 $(E-E n m)/ h$ 에 따라 진동하고 있음을 나타냅니다.하이젠베르크는 이 양을_nm X라고 불렀고, 고전적인 한계에서 고전적인 푸리에 계수로 줄일 것을 요구했다.큰 값 n, m이지만 상대적으로 작은 n - m의 경우, X는_nm n 궤도에서의 고전 운동의 ( $n-m)$ 번째 푸리에 계수이다.X가 X와_mn 반대주파수를 가지기 때문에_nm X가 실재하는 조건은

({displaystyle X_{nm}=X_{mn}^{*}).}

X는 정의상_nm주파수( $E-E n m)/ h$ 밖에 없기 때문에 시간 진화는 간단합니다.

X_{n}(t)=e^{2\pi i(E_{n}-E_{m})t/h}X_{n}(0)=e^{i(E_{n}-E_{m})t/\hbar}X_{n}(0)

이것이 하이젠베르크 운동방정식의 원형이다.

2개의 물리량을 나타내는 2개의 배열_nm X와_nm P가 주어지면 하이젠베르크는 XP라는 용어를_nk_km 조합하여 같은 유형의 새로운 배열을 형성할 수 있으며, XP는 올바른 주파수로 진동합니다.두 수량의 곱의 푸리에 계수는 각각 개별적으로 푸리에 계수의 제곱이기 때문에, 푸리에 급수와의 대응은 하이젠베르크가 배열을 곱해야 하는 규칙을 추론할 수 있게 했다.

(XP)_{mn}=\sum _{k=0}^{\infty}X_{mk}P_{kn}.

Born은 이것이 행렬 곱셈의 법칙이라고 지적했습니다. 그래서 위치, 운동량, 에너지, 이론에서 관측 가능한 모든 양이 행렬로 해석됩니다.이 곱셈 규칙에서 제품은 순서에 따라 달라집니다.XP는 PX와 다릅니다.

X행렬은 양자역학적 입자의 움직임을 완전히 기술한 것이다.양자운동의 주파수는 공통 주파수의 배수가 아니기 때문에 매트릭스 요소는 날카로운 고전 궤도의 푸리에 계수로 해석할 수 없습니다.그럼에도 불구하고, 행렬로서 X(t)와 P(t)는 고전적인 운동 방정식을 만족한다; 또한 아래의 에렌페스트의 정리를 참조한다.

매트릭스 기본

1925년 베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 파스쿠알 조던이 도입했을 때 매트릭스 역학은 즉각 받아들여지지 않았고 처음에는 논란의 원인이 되었다.슈뢰딩거의 파동역학 이후 도입은 매우 선호되었다.

그 이유의 일부는 하이젠베르크의 공식은 그 당시에 이상한 수학 언어로 되어 있었고, 슈뢰딩거의 공식은 친숙한 파동 방정식에 바탕을 두고 있었기 때문이다.하지만 더 깊은 사회학적 이유도 있었다.양자역학은 아인슈타인이 광자에 대해 제안한 파-입자 이중성을 강조한 것과 보어가 발견한 개별 에너지 상태와 양자 점프를 강조한 두 가지 경로를 통해 발전해 왔다.드 브로글리는 아인슈타인의 틀 안에서 분리된 에너지 상태를 재현했다. 양자 조건은 정상 파동 조건이며, 이것은 아인슈타인 학파에 있는 사람들에게 양자 역학의 모든 이산적인 측면이 연속적인 파동 역학에 포함될 것이라는 희망을 주었다.

반면에 매트릭스 역학은 분리된 에너지 상태와 양자 점프를 다루는 보어 학파에서 유래했다.보어의 추종자들은 전자를 파동이나 다른 것으로 묘사하는 물리적인 모델을 좋아하지 않았다.그들은 실험과 직접적으로 관련된 양에 초점을 맞추는 것을 선호했다.

원자물리학에서, 분광학은 광양자와 원자의 상호작용에서 발생하는 원자 전이에 대한 관측 데이터를 제공했습니다.보어 학파는 원칙적으로 분광학으로 측정할 수 있는 양만 이론에 나타나야 한다고 요구했다.이러한 양에는 에너지 수준과 강도가 포함되지만, Bohr 궤도에서 입자의 정확한 위치는 포함되지 않습니다.수소 원자의 바닥 상태에 있는 전자가 핵의 오른쪽에 있는지 왼쪽에 있는지를 판단할 수 있는 실험을 상상하는 것은 매우 어렵다.그러한 질문에는 답이 없다는 것이 깊은 확신이었다.

매트릭스 공식은 모든 물리적 관측가능성이 두 가지 다른 에너지 수준에 의해 색인화된 매트릭스로 표현된다는 전제 하에 구축되었다.행렬의 고유값 집합은 결국 관측 가능한 모든 가능한 값의 집합으로 이해되었습니다.하이젠베르크 행렬은 에르미트 행렬이기 때문에 고유값은 실재한다.

관측 가능한 값이 측정되고 결과가 특정 고유값인 경우 해당 고유 벡터는 측정 직후의 시스템 상태입니다.매트릭스 역학의 측정 동작은 시스템 상태를 '축소'합니다.두 관측치를 동시에 측정하면 시스템 상태가 두 관측치의 공통 고유 벡터로 축소됩니다.대부분의 행렬에는 공통 고유 벡터가 없기 때문에 대부분의 관측 가능 변수는 동시에 정확하게 측정할 수 없습니다.이것이 불확실성의 원리입니다.

두 행렬이 고유 벡터를 공유하는 경우 동시에 대각화할 수 있습니다.대각행렬의 곱은 숫자의 곱에 불과하기 때문에 둘 다 대각행렬의 곱은 차수에 의존하지 않는 것이 분명하다.반면에 불확도 원리는 종종 두 행렬 A와 B가 항상 이동하지 않는다는 사실의 표현이다. 즉, AB - BA가 반드시 0일 필요는 없다.행렬 역학의 기본적인 정류 관계

\displaystyle \sum _{k}(X_{nk}P_{km}-P_{nk}X_{km})=i\hbar,\displaystyle _{nm}

그러면 확실한 위치와 모멘텀을 동시에 갖는 상태가 존재하지 않는다는 것을 의미합니다.

이 불확실성의 원리는 다른 많은 관측 가능성의 쌍에도 적용된다.예를 들어 에너지가 위치에도 전달되지 않기 때문에 원자 내 전자의 위치나 에너지를 정확하게 결정하는 것은 불가능하다.

노벨상

1928년, 알버트 아인슈타인은 하이젠버그, 보른, 조던을 노벨 ^[22]물리학상으로 지명했다.1932년 노벨 물리학상 발표는 1933년 ^[23]11월로 연기되었다.건 그 때 그것은 하이젠베르크의 1932년"양자 역학의 창조를 응용 프로그램, 특히 수소의 동소체의 형태의 발견에 이르게 했"[24]고 에르빈 슈레딩거와 디랙은 1933년 상"원자의 새로운 생산적인 형태의 발견을 공유하고 평화상을 수상했다고 발표했습니다에 있었다.월에리"^[24] 라고 표시됩니다.

왜 본이 하이젠베르크와 함께 1932년에 상을 받지 못했는지, 그리고 번스타인은 이 문제에 대한 추측을 제기할 수 있는지 의문을 가질 만 하다.그 중 하나는 1933년 5월 1일 요르단이 나치당에 입당하여 폭풍우 ^[25]투척병이 된 것과 관련이 있다.조던의 당적 관계와 조던의 보른과의 연계는 당시 보른의 수상 가능성에 영향을 미쳤을 것이다.Bernstein은 Born이 1954년에 마침내 상을 수상했을 때, 조던은 여전히 살아있었고, Born ^[26]단독에게 기인한 양자역학의 통계적 해석으로 상을 수상했다고 덧붙였습니다.

1932년에 상을 받은 Born for Heisenberg와 1954년에 상을 받은 Born for Heisenberg에 대한 Haisenberg의 반응도 Born이 Heisenberg와 상을 공유했어야 했는지 평가하는 데 유익하다.1933년 11월 25일, 보른은 "나쁜 양심"으로 인해 집필이 늦어졌다"는 내용의 편지를 받았다. 하이젠버그는 "괴팅겐에서 당신과 요르단, 그리고 내가 공동으로 한 연구로 인해" 상을 받았다. 하이젠버그는 "보른과 요르단의 양자역학에 대한 기여는 "와"에 의해 바뀔 수 없다고 말했다.ng 외부로부터의 결정."^[27]

1954년 하이젠베르크는 1900년 막스 플랑크의 통찰력을 기리는 기사를 썼다.이 기사에서 하이젠버그는 보른과 조던이 행렬 역학의 최종 수학적 공식화 된 공로를 인정했고 하이젠버그는 계속해서 그들이 "대중의 ^[28]눈에 충분히 인정받지 못한" 양자 역학에 얼마나 큰 기여를 했는지 강조했다.

수학적 발달

하이젠베르크가 X와 P의 행렬을 도입하자, 그는 대응 원리에 따라 추측을 통해 특별한 경우에 행렬 요소를 찾을 수 있었다.매트릭스 요소는 고전적 궤도의 푸리에 계수의 양자 역학적 유사체이기 때문에, 가장 단순한 경우는 고조파 발진기로, 고전적 위치와 운동량인 X(t)와 P(t)는 사인파이다.

고조파 발진기

발진기의 질량과 주파수가 1인 단위(비차원화 참조)에서 발진기의 에너지는

(\displaystyle H={1 \over2}\left(P^{2}+X^{2}\오른쪽).}

H의 $레벨$ 세트는 시계 방향의 궤도이며 위상 공간의 중첩된 원입니다. $에너지$ E를 가진 고전적 궤도는

\displaystyle X(t)=sqrt {2E}\cos(t),\qquad P(t)=-{\sqrt {2E}\sin(t)~.}

오래된 양자 조건은 위상 공간에서의 $원$ 의 면적인 $궤도$ 위의 P dX의 적분이 플랑크 상수의 정수 배수가 되어야 한다는 것을 나타냅니다.반지름 $' 2E$ '의 원의 면적은 $2µE$ 이다.그렇게

E=syslogfrac {nh}{2\pi }}=n\hbar, ,

또는

θ

=

1인

자연 단위에서 에너지는 정수이다.

X $(t)$ 와 P $(t)$ 의 푸리에 성분은 단순하며, 양으로 결합되면 더욱 단순해진다.

A(t)=X(t)+iP(t)=sqrt {2E},e^{-it},\quad A^{\dagger }(t)=X(t)-iP(t)=sqrt {2E},e^{it}.

A

와^† A는

모두

주파수가 1개뿐이며 X와 P는 합계와 차이에서 회복할 수 있습니다.

A $(t)$ 는 주파수가 가장 낮은 고전적 푸리에 급수를 가지며 행렬 $요소 mn$ A는 고전적 궤도의 $(m$ - $n)$ 번째 푸리에 $계수$ 이므로 $A$ 의 행렬은 대각선 바로 위의 선에서만 0이 아니며 $2E n$ 이상이 됩니다.마찬가지로 $A$ 의^† 행렬은 대각선 아래의 선에서만 0이 아니며, 같은 요소가 있습니다.따라서 $A$ 와^† A에서 $재건$ 수율은

{\displaystyle{\sqrt{2}}X(0)={\sqrt{\hbar}}\;{\begin{bmatrix}0&,{\sqrt{1}}&0&, 0&, 0&, \cdots}및 \\{\sqrt{1}, 0&,{\sqrt{2}}&0&, 0&, \cdots \\0&,{\sqrt{2}}&0&,{\sqrt{3}}&0&, \cdots \\0&, 0&,{\sqrt{3}}&0&,{\sqrt{4}}&\cdots \\\vdots, \vdots &, \vdots &, \vdots &, \vdots 및 &.;\ddots \\\end{bmatrix}},}

그리고.

{\displaystyle{\sqrt{2}}P(0)={\sqrt{\hbar}}\;{\begin{bmatrix}0&, -i{\sqrt{1}}&0&, 0&, 0&, \cdots}및 \\i{\sqrt{1}, 0&, -i{\sqrt{2}}&0&, 0&, \cdots \\0&, i{\sqrt{2}}&0&, -i{\sqrt{3}}&0&, \cdots \\0&, 0&, i{\sqrt{3}}&0&, -i{\sqrt{4}}&\cdots \\\vdots, \vdots &, \vdots &, \vdots & &amp을 말한다.\vdots.}, \ddots \\\end{bmatrix}&}

이것은 단위 선택에 따라 고조파 발진기의 하이젠베르크 행렬입니다.두 행렬 모두 실제 양의 푸리에 계수로 구성되기 때문에 은둔 행렬이다.

X $(t)$ 와 P $(t)$ 를 찾는 $것$ 은 직접적이다. 왜냐하면 그것들은 양자 푸리에 계수이기 때문에 그들은 단순히 시간에 따라 진화하기 때문이다.

\displaystyle X_{mn}(t)=X_{mn}(0)e^{i(E_{m}-E_{n})t},\quad P_{mn}(t)=P_{mn}(0)e^{i(E_{m}-E_{n})t}~}

$X$ 와 P의 $행렬$ 곱은 은둔자가 아니라 실수와 허수 부분을 가진다.실제 부분은 $대칭식$ XP + $PX$ 의 절반이며, 가상 부분은 정류자에 비례합니다.

\displaystyle [X,P]=(XP-PX)}

고조파 발진기의 경우 XP -

PX

가

iµ

에 항등식을 곱한 것임을

명시적

으로 확인하는 것은 간단합니다.

마찬가지로 행렬이 다음과 같이 처리되었는지 확인하는 것도 간단합니다.

H={1 \over2}(X^{2}+P^{2})

고유값

i

E를 갖는 대각 행렬입니다.

에너지 절약

고조파 발진기는 중요한 경우이다.행렬을 찾는 것이 이러한 특수 형식에서 일반 조건을 결정하는 것보다 쉽습니다.이러한 이유로 하이젠버그는 해밀턴과 함께 비조화 발진기를 조사했다.

H={1 \over2}P^{2}+{1 \over 2)X^{2}+\varepsilon X^{3}~

이 경우, X $행렬$ 과 P $행렬$ 은 더 이상 대각 행렬에서 단순하지 않습니다. 왜냐하면 대응하는 고전적 궤도는 약간 찌그러지고 변위되기 때문에 모든 고전적 주파수에서 푸리에 계수가 있기 때문입니다.행렬 요소를 결정하기 위해 하이젠베르크는 행렬 방정식으로 고전 운동 방정식을 따를 것을 요구했다.

{displaystyle {dX \over dt}=P\quad {dP \over dt}=-X-3\varepsilon X^{2}~}

그는 될 거면 H, X, P의 행렬을 기능으로 여겨질지라도, 0시간 미분을 가지게 될 것을 알아차렸다.

{\displaystyle{dH \over dt}=P*ᆩ+(X+3\varepsilon X^{2})*{dX \over dt}=0~,}.

여기

서

AbB

는 안티커뮤테이터입니다

A*B={1\over 2}(AB+BA)~.

모든을 대각선 원소, H고 일정해가 H경사는 조금이라도 주파수 증가한 것.그것은 하이젠베르크에게 이것이 시스템에서 에너지 정확하게 자의적인 양자 시스템은 매우 고무적인 현상에 보전 될 수 있어요.

광자의 방출 및 흡수의 과정은 에너지 보존에 최고의 평균적으로 고수할 것을 요구하는 것 같았다.만약 파도를 정확히 한개의 광자,들 중 하나가 이것을 흡수 일부 원자를 통과하는 원자들이 더 이상은 광자를 흡수할 수 없는 다른 사람들에게 알릴 필요가 있다.만약 원자들 멀리 떨어져 있다. 하지만, 어떠한 신호 시간 안에 그들은 어쨌든과 환경에 그 정력을 낭비하는 것 같은 광자 흡수하는 것을 끝낼 수도 있는 원자가 없다.가 출발 신호 그들에 도착했을 때는 다른 원자. 그렇게 에너지를 회수해야 할 것이다.이 역설은 보어, Kramers고 슬레이터 에너지의 정확한 보존을 포기했다.하이젠베르크의 형식 주의, 전자기장까지 확대된 사실은 분명히 이 문제 힌트를 비켜 가기 위해는 이론의 해석 wavefunction 붕괴를 수반할 것이다 가고 있었다.

차별화 트릭: 표준 변환 관계

는 운동의 고전적인 방정식 보존되어 있어 정교한 크지 않을 정도로 상태가 매트릭스 요소를 확인합니다.는 매트릭스 ħ의 많은 다른 값에 대해 건설이 가능하다고 플랑크 상수의 클래식 방정식에, 여전히 동작의 방정식을 만족시키지만, 다른 에너지 수준과 함께 나타나지 않는다.

그러므로 그의 프로그램을 시행하기에, 하이젠베르크는 에너지 수치를 해결한 오래 된 양자 조건을 사용한 다음은 매트릭스에서 고전 방정식의 푸리에 계수와 매트릭스 계수 및 에너지 수준이 약간은 고전적인 방정식이 만족하도록 변경을 채우가 필요했다.이것은 명백하게 만족스럽지 않다.오래된 양자 조건은 새로운 형식주의에는 존재하지 않는 날카로운 고전적 궤도로 둘러싸인 영역을 말합니다.

하이젠베르크가 발견한 가장 중요한 것은 어떻게 오래된 양자 조건을 행렬 역학에서 단순한 문장으로 변환하느냐이다.

이를 위해 그는 작용 적분을 매트릭스 양으로 조사했다.

\displaystyle \int _{0}^{T}\sum _{k}P_{mk}(t){dX_{kn}\over dt}dt,{\stackrel\scriptstyle?}{\approx }},J_{mn}~.}

이 적분에는 몇 가지 문제가 있는데, 이는 모두 궤도의 오래된 그림과 매트릭스 형식주의의 호환성이 없기 때문이다.어느 기간 T를 사용해야 합니까?반고전적으로 m 또는 n 중 하나여야 하지만 차수는 $order$ ,이고 order $is$ 에 대한 답을 구합니다.양자 조건은 J가 대각선상에 2µn임을 나타내므로_mn J가 고전적으로 일정하다는 사실은 오프 대각선 원소가 0임을 나타냅니다.

그의 중요한 통찰력은 n에 대한 양자 조건을 구별하는 것이었다.이 생각은 n이 정수가 아닌 연속 작용 변수 J인 고전적인 한계에서만 완전히 말이 되지만, 하이젠버그는 행렬에 대해 유사한 조작을 수행했는데, 중간 표현은 때로는 이산적인 차이이고 때로는 미분이다.

다음 설명에서는 명확성을 위해 고전 변수에 대해 미분을 수행하고, 그 후에 대응 원리에 따라 행렬 역학으로 전환한다.

고전적 설정에서 도함수는 J를 정의하는 적분의 J에 대한 도함수이므로, 토우토론적으로 1과 같다.

{\displaystyle {argined}&{d \over dJ}\int _{0}^{T}PdX=1\&=\int _{0}^{T}dt\left({dP\over dJ}{dX\over dt}+)P{d \over dJ}{dX \over dt}\right)\\&=\int _{0}^{T}dt\left({dP \over dJ}{dX \over dt}-{dP \over dt}{dX \over dJ}\right}\end {aligned}})

여기서 dP/dJ와 dX/dJ 도함수는 가까운 궤도에서 해당하는 시간에 J에 대한 차이로 해석되어야 하며, 궤도 운동의 푸리에 계수가 미분될 경우 정확히 얻을 수 있는 것이다.(이러한 도함수는 시간 도함수 dP/dt 및 dX/dt에 위상공간에서 심플렉틱하게 직교한다.)

최종 표현은 J에 대한 캐논릭 공역 변수를 도입함으로써 명확해진다. J는 각도 변수 θ: 시간에 대한 도함수는 θ에 대한 도함수이며, 최대 2µT의 계수이다.

{2\pi \over T}\int _{0}^{T}dt\left({dp \over dJ}{dX \over d\theta }-{dP \over d\theta }{dX \over dJ}\right)=1,

따라서 양자 조건 적분은 X와 P의 포아송 괄호 한 사이클에 걸친 평균 값입니다.

P dX의 푸리에 급수의 유사한 미분은 포아송 괄호의 오프 대각 원소가 모두 0임을 나타냅니다.X와 P와 같은 두 개의 규범 공역 변수의 포아송 괄호는 상수 값 1이므로 이 적분은 실제로는 1의 평균 값입니다. 따라서 dJ/dJ이기 때문에 항상 알고 있었습니다.그러나 하이젠베르크, 보른, 요르단은 디락과 달리 포아송 괄호 이론에 익숙하지 않았기 때문에 J, θ 좌표의 {X, P}를 효과적으로 평가하였다.

작용 적분과는 달리 포아송 괄호는 행렬 역학에 대한 간단한 변환이 있습니다. 일반적으로 두 변수의 곱의 가상 부분인 정류자에 해당합니다.

이를 확인하려면 대응 한계에서 두 행렬 A와 행렬 B의 (대칭) 곱을 조사한다. 행렬 요소는 고전적으로 0이라는 점을 염두에 두고 지수의 함수를 서서히 변화시킨다.

대응한계에서는 지수 m, n이 크고, k, r이 작을 때 행렬 요소의 대각선 방향 변화율은 대응하는 고전량의 J도함수의 행렬 요소이다.그래서 어떤 매트릭스 요소도 대응관계를 통해 대각선으로 이동할 수 있습니다.

A_{(m+r)(n+r)}-A_{mn}\approx r\;\left({dA\over dJ}\right)_{mn

여기서 오른쪽은 완전한 잘 정의된 행렬이 아니라 이 반고전적 순서에 가까운 궤도에서 dA/dJ의 (m - n)번째 푸리에 성분입니다.

행렬 요소의 반고전 시간 도함수는 대각선으로부터의 거리를 곱하여 i의 계수까지 구한다.

\displaystyle ikA_{m(m+k)}\약 \left({T \over 2\pi }{dA \over dt}\right)_{m(m+k)}=\left({dA \over d\theta }\right)_{m(m+k)},}

계수_m(m+k) A는 반고전적으로 m번째 고전 궤도의 k'번째 푸리에 계수이기 때문이다.

A와 B의 곱의 허수 부분은 고전적인 답인 0을 재현하기 위해 행렬 요소를 이리저리 이동시킴으로써 평가할 수 있다.

선두의 0이 아닌 잔차는 완전히 이동에 의해 주어집니다.모든 매트릭스 요소는 큰 지수 위치(m,m)에서 약간 떨어진 지수에 있기 때문에 다음과 같은 두 가지 임시 표기를 도입하는 데 도움이 된다. $행렬$ 의 경우 A $[r, k]$ = $A (m + r)(m + k)$ $,$ 그리고 고전적인 양의 r'번째 푸리에 성분의 경우 $(dA / dJ)[$ r],

{begin{aligned}(AB-BA)[0,k]=\sum _{r=-\infty}^{\infty}\left(A[0,r]B[r,k]-A[r,k]B[0,r]\r]\right)\\&=\sum _{r}\left(\;A[-r+k,k]+(r-k){dA \over dJ}[r]\right(\;B[0,k-r]+r{dB \over dJ}[r-k]\right)-sum _{R

첫 번째 합계의 $합계$ 를 r' = k - r로 바꾸면 행렬 요소는 다음과 같이 됩니다.

\displaystyle \sum _{r'}(\;A[r',k]-r'{dA \over dJ}[k-r']\;)\left(\;B[0,r']+(k-r'){dB \over dJ}[r';\right]-sum _{0,R]

그리고 주(주)부분이 취소되는 것이 분명하다.

잔차 표현에서 도함수의 고차 곱을 무시한 선행 양자 부분은 다음과 같다.

\displaystyle \sum _{r'}\left(\; {dB \over dJ}[r'](k-r')A[r',k]-{dA \over dJ}[k-r']r'B[0,r']\right}

그래서 마침내,

{\displaystyle (AB-BA)[0,k]=\sum _{r'}\left(\;{dB \over dJ}[r']i{dA \over dJ}[k-r']-{dA \over dJ}[k-r']i {dB \over dJ}[r]

i 곱하기 포아송 괄호의 k번째 고전 푸리에 성분으로

식별

할 수 있다.

하이젠베르크의 원래 미분 트릭은 결국 Born과 Jordan과 협력하여 양자 조건의 완전한 반고전적 파생까지 확장되었습니다.일단 그들은 그것을 확립할 수 있었다.

\displaystyle i\hbar \{X,P\}_{\mathrm {PB}}\qquad \longmap sto \qquad \qquad \qquad [X,P]\equiv XP-PX=i\hbar,}

이 조건은 오래된 양자화 규칙을 대체하고 확장하여 임의의 시스템에 대한 P와 X의 행렬 요소들이 해밀턴의 형태로부터 간단히 결정되도록 했다.

새로운 양자화 규칙은 비록 오래된 양자 이론에서 파생된 것이 반고전적 추론을 필요로 했지만 보편적으로 사실이라고 가정되었다. (그러나 괄호들의 보다 정교한 논쟁에 대한 완전한 양자 처리는 1940년대에 푸아송 괄호를 모얄 괄호로 확장하는 것과 같은 것으로 인식되었다.)

상태 벡터와 하이젠베르크 방정식

표준 양자역학으로 전환하기 위해, 가장 중요한 추가는 행렬이 작용하는 벡터인 양자 상태 벡터( written子 vector)였다.상태 벡터가 없으면 하이젠베르크 행렬이 묘사하는 특정 운동이 무엇인지 명확하지 않습니다. 왜냐하면 그것들은 어딘가에 모든 움직임을 포함하기 때문입니다.

성분이 , $인 m$ 상태 벡터의 해석은 Born에 의해 제공되었다.이 해석은 통계적이다. $행렬$ A에 해당하는 물리량의 측정 결과는 무작위이며, 평균값은 다음과 같다.

\displaystyle \sum _{mn}\psi _{m}^*}A_{mn}\psi _{n},}

혹은 상태 벡터는 양자계가 에너지

상태

n일 확률 진폭θ를_n 부여한다.

일단 상태 벡터가 도입되면, 행렬 역학은 H $행렬$ 이 더 이상 대각선이 될 필요가 없는 어떤 기준으로도 회전할 수 있습니다.원래 형태의 하이젠베르크 운동 방정식은 A가 푸리에 성분처럼 시간에 따라 진화하는 $것$ 을_mn 말한다.

A_{mn}(t)=e^{i(E_{m}-E_{n}t}A_{mn}(0)~,

차동 형태로 다시 주조할 수 있습니다.

{displaystyle {dA_{mn} \over dt}=i(E_{m}-E_{n})A_{mn}~,}

그리고 H

행렬

이

대각선 m

값 E와 대각선임을 주목함으로써 임의의 기준으로 참이 되도록 다시 기술할 수 있다.

{displaystyle {dA\over dt}=i(HA-AH)~}

이것은 이제 행렬 방정식이므로 어떤 기초에서도 성립합니다.이것은 하이젠베르크 운동 방정식의 현대적 형태이다.

정식 솔루션은 다음과 같습니다.

\displaystyle A(t)=e^{iHt}A(0)e^{-iHt}~}

$위$ 의^iHt 운동 방정식의 모든 형태는 A $(t)$ 가 단위 $행렬$ e에 의한 기저 회전을 통해 A( $0)$ 와 동등하다는 $것$ 을 나타내며, 디락은 그의 브라-켓 표기법으로 설명하였다.

반대로, 각 시각의 상태 벡터의 기저를 $e만큼 iHt$ 회전시킴으로써, 행렬의 시간 의존성을 되돌릴 수 있다.행렬은 이제 시간에 의존하지 않지만 상태 벡터는 회전합니다.

\displaystyle \psi (t)\rangle = e^{-iHt} \psi (0)\rangle ,\;\;{d \psi \rangle \over dt}=-iH \psi \rangle,}

이것은 상태 벡터에 대한 슈뢰딩거 방정식이고, 이 시간 의존적인 기저의 변화는 δx = δ(x)인 슈뢰딩거 그림으로 변환된다.

하이젠베르크 그림의 양자역학에서 상태 벡터는 시간에 따라 변화하지 않는 반면, 관측 가능한 A는 하이젠베르크 운동 방정식을 만족한다.

${dA}{dt}={i \over \hbar }[H,A]+{\frac {\partial t}}~.$

추가 용어는 다음과 같은 연산자를 의미합니다.

A=(X+t^{2)}P)

이는 논의된 단일 진화로부터의 시간 의존성에 더하여 명시적인 시간 의존성을 가진다.

하이젠베르크 그림은 시간과 공간을 구분하지 않기 때문에 슈뢰딩거 방정식보다 상대론적 이론에 더 적합하다.게다가 고전 물리학과의 유사성은 더욱 뚜렷하다: 고전 역학을 위한 해밀턴 운동 방정식은 위의 정류자를 포아송 괄호로 대체함으로써 회복된다(아래 참조).스톤-본 노이만 정리에 따르면, 하이젠베르크 그림과 슈뢰딩거 그림은 아래에서 자세히 설명한 것과 같이 단일적으로 동등해야 한다.

기타 결과

매트릭스 역학은 현대 양자 역학으로 급속히 발전했고, 원자의 스펙트럼에 대한 흥미로운 물리적 결과를 주었습니다.

파동역학

Jordan은 정류 관계가 P가 미분 연산자로서의 작용을 보장한다는 점에 주목했다.

오퍼레이터 아이디

[a,bc]=syslog-bca=syslog-bca=[a,b]c+b[a,c]

X의 모든 검정력으로 P의 정류자를 평가할 수 있으며, 이는 다음을 의미합니다.

\displaystyle [P,X^{n}]=-in~X^{n-1}

이는 선형성과 함께 P-정류자가 X의 분석 행렬 함수를 효과적으로 미분한다는 것을 의미한다.

한계가 합리적으로 정의된다고 가정하면, 이것은 임의의 함수로 확장된다.다만, 어느 정도의 수학적 엄격함이 요구될 때까지 확장이 명시될 필요는 없다.

$\displaystyle [P,f(X)]=-if'(X),}$

X는 에르미트 행렬이기 때문에 대각선화 가능해야 하며, P의 최종 형태에서 모든 실수가 고유값이 될 수 있다는 것이 분명해집니다.공간의 모든 점에 대해 별도의 고유 벡터가 있기 때문에 이것은 수학의 일부를 미묘하게 만든다.

X가 대각선인 경우, 임의의 상태는 고유값 x를 갖는 상태의 중첩으로 기록될 수 있다.

\displaystyle \psi \rangle = \int _{x}\psi (x) x\rangle , , }

따라서 연산자 X는 각 고유 벡터에 x를 곱한다.

X \psi \rangle =\int _{x}x\psi (x)x\rangle ~

,를 구분하는 선형 연산자 D를 정의한다.

D\int _{x}\psi (x) x\rangle =\int _{x}\psi '(x) x\rangle , ,

주의해 주세요

\displaystyle (DX-XD) \psi \rangle = \int _{x}\left [ \left (x\psi (x)\right ]-x\rangle = \int _{x}\psi (x)x\right]x\rangle = \psi \rangle,

연산자 -iD가 P와 동일한 정류관계를 준수하도록 한다.따라서 P와 -iD의 차이는 X로 이동해야 합니다.

[P+iD,X]=0,

따라서 X와 동시에 대각선화 될 수 있다. X의 고유 상태에 작용하는 값은 고유값 x의 함수 f이다.

P와 -iD는 모두 에르미트어이기 때문에 이 함수는 실재해야 합니다.

(P+iD) x\rangle = f(x) x\rangle \,

각

|x\rangle

x

|x\rangle

δ(\

displaystyle

x\

rangle)

를

|x\rangle

위상 f

(x)

만큼 회전시켜 파동 함수의 위상을 재정의합니다.

\displaystyle \psi(x)\rightarrow e^{-if(x)}\psi(x),}

연산자 iD는 다음 양으로 재정의됩니다.

{\displaystyle iD\right 화살표 iD+f(X)},

즉, 회전 기준에서 P는 -iD와 같습니다.

따라서 파동함수에 대한 P의 작용이 알려진 X의 고유값에는 항상 근거가 있습니다.

P\int _{x}\psi (x) x\rangle =\int _{x}-i\psi '(x) x\rangle , , ,

그리고 이 기준의 해밀턴 연산자는 상태 벡터 구성요소의 선형 미분 연산자이다.

\displaystyle \left[{P^{2} \over 2m}+V(X)\right]\int _{x}\psi _{x}\int _{x}\left[-{1 \over 2m}{\left ^{2} \over \param x^{2}}+V(x)\right]\psi _x}\rangle } }

따라서 상태 벡터에 대한 운동 방정식은 유명한 미분 방정식에 불과하다.

$ipa \over \display t}\psi _{t}(x)=\left[-{1 \over 2m}{\display ^{2}\over \display x^{2}}+V(x)\right]\psi _{t}(x)\left,$

D는 미분 연산자이므로 이를 적절하게 정의하기 위해서는 X의 고유값이 있어야 하며, X는 모든 값에 인접해 있어야 합니다.이는 X의 모든 고유값의 공간이 모두 실수이고 P가 위상 회전까지 iD라는 유일한 가능성을 시사합니다.

이것을 엄격하게 하기 위해서는 함수의 한계 공간에 대한 합리적인 논의가 필요하며, 이 공간에서는 이것이 스톤-본 노이만 정리이다: 정류 관계에 따르는 연산자 X와 P는 파동함수의 공간에 작용하고 P는 미분 연산자일 수 있다.이것은 슈뢰딩거 그림이 항상 사용 가능하다는 것을 의미합니다.

매트릭스 역학은 자연스러운 방식으로 여러 자유도로 쉽게 확장됩니다.각 자유도는 별도의 X 연산자와 별도의 유효 미분 연산자 P를 가지며, 파동 함수는 독립 통근 X 변수의 가능한 모든 고유값의 함수이다.

[X_{i},X_{j}]=0

\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0}

[X_{i}}P_{j}=i\delta_{ij},

특히, 이것은 모든 X가 대각선인 기초에서 N개의 입자가 상호작용하는 시스템이 하나의 벡터에 의해 설명된다는 것을 의미한다. 그 구성요소는 가능한 모든 위치를 기술하는 3N차원 공간의 수학적 함수이며, 사실상 N개의 3차원 집합보다 훨씬 더 큰 값의 집합이다.nal wave functions를 1개의 물리 공간에서 실행합니다.슈뢰딩거는 독립적으로 같은 결론에 도달했고, 결국 하이젠베르크의 형식주의와 동등함을 증명했다.

파동함수는 어떤 부분도 아닌 전체 시스템의 특성이기 때문에 양자역학에서의 설명은 완전히 국부적인 것은 아니다.여러 양자 입자에 대한 설명은 서로 연관되거나 얽혀 있습니다.이 얽힘은 종족의 부등식을 위반하는 먼 입자 사이의 이상한 상관관계를 초래한다.

입자가 2개의 위치에만 있을 수 있다고 해도 N개의 입자에 대한 파동함수에는 2개의 복소수, 즉 각 위치의 전체 구성에 대해 1개가 필요합니다^N.이것은 N의 기하급수적으로 많은 숫자이기 때문에 컴퓨터에서 양자역학을 시뮬레이션하려면 기하급수적인 자원이 필요합니다.반대로, 이것은 일반적으로 2비트를 필요로^N 하는 문제에 대한 답을 물리적으로 계산하는 크기 N의 양자 시스템을 찾을 수 있다는 것을 암시한다.이것이 양자컴퓨팅의 배후에 있는 포부입니다.

에렌페스트 정리

시간 독립 연산자 X 및 $P$ 의 경우, $위$ 의 하이젠베르크 방정식은 다음과 같이 ^[29]감소합니다 $.$

i\hbar {dA\over dt}=[A,H]=AH-HA,

여기서 대괄호 [ , ]는 정류자를 나타냅니다.

p^{2}/2m+V(x)

2 / 2

p^{2}/2m+V(x)

m

p^{2}/2m+V(x)

+

p^{2}/2m+V(x)

(

p^{2}/2m+V(x)

x

p^{2}/2m+V(x)

) {

displaystyle

p

^{2}/2m+V(x

인 해밀턴의 경우 X 및 P 연산자는 다음을 만족합니다.

{dX \over dt}={P \over m},\syslog {dP \over dt}=-\syslogla V,

여기서 첫 번째는 고전적으로 속도이고 두 번째는 고전적으로 힘 또는 전위 구배이다.이것들은 해밀턴의 운동 법칙의 형태를 재현한다.하이젠베르크 그림에서 X 연산자와 P 연산자는 고전적인 운동 방정식을 만족합니다.방정식 양쪽의 기대치를 구하면, 어떠한 상태에서도 다음을 확인할 수 있습니다.

({displaystyle\frac {d}{dt}}\frac {d}}\frac {d}}\frac X \psi \rangle =frac {1}{m}\frac P \rangle =frac {1}{m}\frac P\rangle })

(\displaystyle\frac {d}{dt}}\frac {d}}\fsi P\psi \rangle =(-\facla V) \psi \rangle =-\facla V\rangle ).}

따라서 뉴턴의 법칙은 어떤 상태에서든 연산자의 예상값에 정확히 준거합니다.이것은 에렌페스트의 정리입니다.이것은 하이젠베르크 운동 방정식의 명백한 결과이지만, 에렌페스트가 그것을 발견한 슈뢰딩거 그림에서는 덜 사소한 것입니다.

변환 이론

고전 역학에서 위상 공간 좌표의 표준 변환은 포아송 괄호의 구조를 보존하는 변환입니다. $새 변수$ x $',$ p'는 원래 $변수$ x $,p$ '와 동일한 포아송 대괄호를 가집니다.시간 진화는 표준 변환입니다. 왜냐하면 모든 시간에서의 위상 공간은 다른 시간에서의 위상 공간만큼 변수를 선택하는 것이 좋기 때문입니다.

해밀턴 흐름은 표준 변환입니다.

\displaystyle x\rightarrow x+x+{\display H \over \display p}dt}

\displaystyle p\rightarrow p+dp=p-{\display H\over\display x}dt~.}

해밀턴이 x와 p의 임의의 함수일 수 있기 때문에, 모든 $고전적$ 인 양 G에 대응하는 그러한 극소 표준 변환이 존재한다. $여기$ 서 G는 시간 s의 증가 동안 위상 공간에 점의 흐름을 생성하는 해밀턴의 역할을 한다.

\displaystyle dx=syslog G \over \syslog p}ds=\{G,X\}ds}

\displaystyle dp=-{\display G \over \display x}ds=\{G,P\}ds,}

위상 공간상의 일반 $함수$ A $(x,$ $p)$ 의 경우, 이 맵의 모든 단계 ds에서의 극소 변화는 다음과 같습니다.

\displaystyle dA=partial A \over \display x}dp+{\display A \over \display p}dp=\{A,G\}ds,}

양

G를 표준 변환의 극소 생성기라고 합니다.

양자역학에서 양자 $아날로그$ G는 이제 에르미트 행렬이며 운동 방정식은 정류자에 의해 주어진다.

(\displaystyle dA=i[G,A]ds),}

하이젠베르크 운동 방정식이 통합되었듯이, 극소 표준 운동도 공식적으로 통합될 수 있다.

A'=U^{\dagger}AU

여기

서 U =

e iGs

및 s는 임의 파라미터입니다.

따라서 양자 표준 변환의 정의는 모든 상태 벡터의 공간에 대한 임의의 단일 기저 변화입니다. $U$ 는 임의의 유니터리 행렬이며 위상 공간에서의 복소 회전이다.

U^{\dagger}=U^{-1},

이러한 변환은 파동함수 성분의 절대 제곱의 합을 불변하게 하는 반면, 서로 배수인 상태(상상의 배수인 상태 포함)를 같은 배수인 상태로 만듭니다.

행렬의 해석은 그들이 상태 공간에서의 움직임의 생성자 역할을 한다는 것이다.

예를 들어, P에 의해 생성된 운동은 P를 해밀턴으로 사용하여 하이젠베르크 운동 방정식을 풀면 찾을 수 있다.

\displaystyle dX=i[X,P]ds=ds}

dP=i[P,P]ds=0,

이것들은 행렬 X를 여러 개의 항등 행렬에 의해 변환한 것입니다.

X\right 화살표 X+sI~

이것은 미분 연산자 D:

e iPs

=

e

의^D 해석이며, 미분 연산자의 지수는 변환이다(따라서 라그랑주의 시프트 연산자).

X 연산자도 마찬가지로 P로 변환을 생성합니다.Hamiltonian은 시간 내 변환을 생성하고, 각 운동량은 물리적 공간에서 회전을 생성하며, $연산자$ X + $P$ 는 위상 공간에서 회전을 생성합니다.

물리적 공간에서의 회전과 같은 변환이 해밀턴과 일치할 때, 그 변환은 해밀턴의 대칭(퇴행성 뒤에 있음)이라고 불립니다. 회전 좌표로 표현되는 해밀턴은 원래의 해밀턴과 동일합니다.이것은 극소 대칭 발생기 L 아래의 해밀턴의 변화가 사라진다는 것을 의미한다.

{displaystyle {dH \over ds}=i[L,H]=0,}

그 후 시간 변환 중 발전기의 변화도 사라집니다.

{dL \over dt}=i[H,L]=0

행렬 L이 일정하게 유지되도록 합니다. 즉, 행렬 L은 보존됩니다.

극소 대칭 생성자와 보존 법칙의 일대일 연관성은 에미 노에터가 정류자가 포아송 괄호인 고전 역학에서 발견했지만 양자 역학적 추론은 동일합니다.양자역학에서, 만약 행렬 U가 다음과 같은 특성을 가지고 있다면, 어떤 단일 대칭 변환도 보존 법칙을 낳는다.

U^{-1}HU=H

따라서

(\displaystyle UH=)HU}

U의 시간 도함수는 0입니다.그것은 보존됩니다.

유니터리 행렬의 고유값은 순수 위상이기 때문에 유니터리 보존량의 값은 실수가 아닌 복소수 단위 크기가 됩니다.이것을 표현하는 또 다른 방법은 유니터리 행렬이 i 곱하기 에르미트 행렬의 지수이기 때문에, 가법 보존된 실량인 위상은 2µ의 정수 배수까지만 잘 정의된다는 것입니다.유니터리 대칭행렬이 임의로 항등식에 근접하는 패밀리의 일부일 때만 보존된 실량이 단일값이며, 보존되는 수요는 훨씬 더 엄격한 제약이 됩니다.

아이덴티티에 연속적으로 접속할 수 있는 대칭을 연속이라고 합니다.변환, 회전, 부스트 등이 그 예입니다.항등식에 연속적으로 접속할 수 없는 대칭은 이산적이며, 공간 반전, 즉 패리티와 전하 공역의 연산을 예로 들 수 있다.

행렬을 표준 변환의 생성자로 해석하는 것은 Paul Dirac ^[30]때문이다.대칭과 행렬의 대응은 시간 역행렬을 포함하는 대칭을 설명하는 반비하수 행렬을 포함하면 완전한 것으로 유진 위그너에 의해 나타났다.

선택 규칙

발진의 푸리에 계수인 X의 $행렬$ 원소의 절대 제곱이 전자파 방사선의 방출 속도를 산출한다는 것은 하이젠베르크에게 물리적으로 분명했다.

큰 궤도의 고전적인 한계에서 $위치$ X $(t)$ 와 $전하$ q를 가진 전하가 위치 0에서 등가 및 반대되는 전하 옆에서 진동한다면 순간 쌍극자 $모멘트$ 는 $q$ X(t $)$ 이고, 이 순간의 시간 변화는 벡터 전위의 시공간 변화로 직접 변환되며, 이는 중첩된 구형파를 생성한다.s.

원자의 경우, 방출된 빛의 파장은 원자 반경의 약 10,000배이며, 원자 전하 분포의 다른 모든 세부 사항은 무시할 수 있는 반면, 쌍극자 모멘트는 복사장에 대한 유일한 기여입니다.

역반응을 무시하면, 각 발신 모드에서 복사되는 전력은 각 독립 시간 푸리에 모드의 $d$ 의 제곱으로부터 분리된 기여의 합계입니다.

P(\obega)={2 \over 3){\obega ^{4}d_{i}^{2}~.

하이젠베르크의 표현에서 쌍극자 모멘트의 푸리에 계수는 X의 $행렬$ 요소이다.이 대응관계는 하이젠베르크가 초기 $상태$ i에서 광자가 방출되고 원자가 최종 $상태$ j로 점프하는 시간의 분수인 전이 강도에 대한 규칙을 제공할 수 있게 했다.

P_{ij}={2 \over 3)(E_{i}-E_{j})^{4} X_{ij}^{2},

이를 통해 매트릭스 요소의 크기를 통계적으로 해석할 수 있었다. 즉, 스펙트럼 라인의 강도, 쌍극자 방사선의 방출로 인한 양자 점프 확률을 알 수 있다.

전이율은 $X$ 의 매트릭스 요소에 의해 주어지기 때문에 X가 0인 $경우 ij$ 해당 전이는 존재하지 않습니다.이것들은 선택 규칙이라고 불리며 매트릭스 역학의 출현 전까지 퍼즐이었다.

수소 원자의 임의의 상태는 스핀을 무시한 채 n;θ,mθ로 표시되며, 여기서 θ 값은 총 궤도 각운동량의 $측정값$ 이고 m은 궤도 방향을 정의하는 z 성분이다.각운동량 의사벡터의 구성요소는 다음과 같습니다.

\displaystyle L_{i}=\varepsilon_{ijk}X^{j}P^{k}

여기서 X와 P의 다른 구성요소가 이동하기 때문에 이 식의 제품은 순서와 실제에 의존하지 않습니다.

세 개의 좌표 행렬 X, Y, Z(또는 임의의 벡터)를 모두 가진 L의 정류 관계는 쉽게 찾을 수 있다.

[L_{i},X_{j}]=i\varepsilon_{ijk}X_{k},,

연산자 L이 좌표 행렬 X의 벡터의 세 성분 간에 회전을 발생시킨다는 것을 확인합니다.

이로부터 L의_z 정류자와 좌표행렬 X, Y, Z를 읽어낼 수 있다.

[L_{z},X]=iY,

[L_{z},Y]=-iX,

$즉,$ X + $iY, X$ - $iY$ 의 양에는 단순한 정류 규칙이 있습니다.

[L_{z},X+iY]=(X+iY),

\displaystyle [L_{z},X-iY]=-(X-iY),}

고조파 발진기 해밀턴에 대한 X + iP 및 X - iP의 행렬 요소와 마찬가지로, 이 변환 법칙은 이러한 연산자가 확실한 m 상태의 특정 오프 대각 행렬 요소만을 갖는다는 것을 의미합니다.

L_{z}((X+iY) m\rangle)=(X+iY)L_{z} m\rangle +(X+iY) m\rangle =(m+1)(X+iY) m\rangle

행렬

(X

+

iY)

은 고유값이 m인 L의

고유 z

벡터를

고유값

이

m

+ 1인 고유 벡터로 가져간다는 의미입니다. 마찬가지로, (

X-iY)

는 m의

값

을 변경하지

않지만

m은 한 단위

감소

합니다.

따라서 $L$ 과_z L이 일정한 값을 갖는 $δ 2$ , m의 상태에서는 m이 같거나 1단위가 $변화$ 하는 경우를 제외하고 위치의 3성분 중 하나의 매트릭스 요소는 0이 된다.

이는 총 각운동량의 변화에 제약을 가합니다.각운동량이 가능한 한 z방향(m = µ)이 되도록 모든 상태를 회전시킬 수 있습니다.【m】에 작용하는 위치의 행렬 요소는 1단위 큰 m의 값만 생성할 수 있으므로, 최종 상태가 【'】,【'】이 되도록 좌표를 회전시키면, 【 can】의 값은 초기 상태의 【 that】의 최대치보다 클 수 있다.그래서 '는'은 기껏해야 '+1'입니다.

행렬 요소는 θ' > θ + 1에 대해 사라지며, 역행렬 요소는 에르미티시티에 의해 결정되므로 θ' < θ - 1: 쌍극자 천이가 2개 이상의 각운동량 변화로 금지될 때에도 사라진다.

총계 규칙

하이젠베르크 운동 방정식은 X의 행렬 요소에서 하이젠베르크 기준으로 P의 행렬 요소를 결정한다.

\displaystyle P_{ij}=m{d \over dt}X_{ij}=im(E_{i}-E_{j})X_{ij},}

이는 정류 관계의 대각 부분을 행렬 요소의 크기에 대한 합계 규칙으로 변환합니다.

\displaystyle \sum _{j}P_{ij}x_{ji}-X_{ij}p_{ji}=i\sum_{j}2m(E_{i}-E_{j}) X_{ij}^{2}=i,}

이것은 절대적으로 정확하지만, 주어진 상태와의 스펙트럼 강도 합계에 대한 관계를 산출하며, 무한 산란 상태에 대한 방사선 포착 확률의 기여는 합계에 포함되어야 한다.

\displaystyle \sum _{j}2m(E_{i}-E_{j}) X_{ij}^{2}=1,}

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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추가 정보

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Max Jammer 양자역학의 개념적 발전 (McGrow-Hill, 1966년)
야그디시 메흐라와 헬무트 레첸베르크 양자 이론의 역사적 발전. 제3권 행렬역학의 공식화 및 수정 1925-1926. (스프링어, 2001) ISBN 0-387-95177-6
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외부 링크

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[13] Jeremy Bernstein Max Born과 양자 이론, Am. J. Phys. 73 (11) 999-1008 (2005)

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[20] 1932년 폰 노이만이 괴팅겐을 떠났을 때 힐베르트의 수학에 기초한 양자역학의 수학적 기초에 관한 그의 책은 Mathische Grundlagen der Quantenmechanik이라는 제목으로 출판되었다.참고 항목: Norman Macrae, John von Neumann: 현대 컴퓨터, 게임 이론, 핵 억지력 등을 개척한 과학 천재(1999년 미국 수학 학회 재간행)와 콘스턴스 리드, 힐버트(1996년) ISBN 0-387-94674-8.

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v t 양자역학
배경	서론 역사 타임라인 고전 역학 구 양자론 용어집
기초	타고난 규칙 브라켓 표기법 상보성 밀도 매트릭스 에너지 레벨 접지 상태 들뜬 상태 퇴화 수준 제로 포인트 에너지 얽힘 해밀턴식 방해다 데코히렌스 측정. 비국소성 양자 상태 중첩 터널링 산란 이론 양자역학에서의 대칭성 불확실성 파동 함수 접다 파동-입자 이중성
제제	제제 하이젠베르크 상호 작용 행렬 역학 슈뢰딩거 경로 적분 공식 위상 공간
방정식	디락 클라인-고든 파울리 리드버그 슈뢰딩거
해석	해석 베이지안 일관성 있는 이력 코펜하겐 브로이쾅 앙상블 숨김 변수 현지의 다세계 객관적 붕괴 양자 논리 관계형 트랜잭션 반 노이만 위그너
실험	벨 부등식 데이비슨-게르머 선택 지연 양자 지우개 더블 슬릿 프랑크-헤르츠 마하-젠더 간섭계 엘리추르-바이드만 포퍼 양자 지우개 스턴-게라크 Wheeler의 지연
과학	양자생물학 양자 화학 양자 카오스 양자 우주론 양자 미분학 양자역학 양자 기하학 양자 측정 문제 양자 확률 미적분 양자 시공간
테크놀로지	양자 알고리즘 양자 증폭기 양자 버스 양자 세포 오토마타 양자 유한 오토마타 양자 채널 양자 회로 양자 복잡도 이론 양자 컴퓨팅 타임라인 양자암호학 양자 전자 공학 양자 오차 보정 양자 이미징 양자 이미지 처리 양자 정보 양자 키 배포 양자 논리 양자 논리 게이트 양자 기계 양자 기계 학습 양자 메타물질 양자 도량형 양자 네트워크 양자 신경망 양자 광학 양자 프로그래밍 양자 감지 양자 시뮬레이터 양자 순간이동
내선번호	카시미르 효과 양자통계역학 양자장론 역사 양자 중력 상대론적 양자역학
관련된	슈뢰딩거의 고양이 대중문화에서. 양자 신비주의
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매트릭스 역학의 개발

헬골란드 현시일

세 가지 기본 논문

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수학적 발달

고조파 발진기

에너지 절약

차별화 트릭: 표준 변환 관계

상태 벡터와 하이젠베르크 방정식

기타 결과

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에렌페스트 정리

변환 이론

선택 규칙

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