정준 양자 중력

Canonical quantum gravity

물리학에서 정준 양자 중력은 일반 상대성 이론의 정준 공식(또는 정준 중력)을 양자화하려는 시도이다.그것은 아인슈타인의 일반 상대성 이론해밀턴식 공식이다.기본 이론은 1967년 브라이스 드윗[1] 의해 요약되었고, 폴 [3]디랙에 의해 발명된 구속된 해밀턴 시스템을 위한 소위 표준 양자화 기법을 사용한 피터 G[2]. 버그만의 이전 연구에 기초한다.Dirac의 접근방식은 고정 게이지 선택에서 해밀턴 기법을 사용하여 게이지 대칭을 포함하는 시스템을 양자화할 수 있습니다.DeWitt와 Dirac의 연구에 부분적으로 기반을 둔 새로운 접근법에는 하틀-호킹 상태, 레지 미적분, 휠러-Dewitt 방정식 및 루프 양자 중력이 포함된다.

표준 양자화

일반적인 고전 역학의 해밀턴 공식에서 포아송 괄호는 중요한 개념이다."표준 좌표계"는 표준 포아송-브래킷 관계를 만족시키는 표준 위치와 운동량 변수로 구성된다.

여기서 포아송 괄호는 다음과 같이 지정됩니다.

임의의 위상 공간 f i { f}, i { g의 경우. 포아송 대괄호를 사용하여 해밀턴 방정식을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

이러한 방정식은 해밀턴 H에 의해 생성된 위상 공간의 "흐름" 또는 궤도를 나타냅니다. 모든 위상 함수 p {{p가 주어지면, 다음과 같이 됩니다.

표준 양자화에서 위상 공간 변수는 힐버트 공간의 양자 연산자로 승격되고 위상 공간 변수 사이의 포아송 괄호는 표준 정류 관계로 대체됩니다.

이른바 위치 표현에서 이 정류 관계는 선택에 의해 실현됩니다.

^ ) ( ) ( )= - i q( q - i display d d q ) =\ } \

역학은 슈뢰딩거 방정식으로 설명된다.

H {은(는 { p - d { p - { dq 이루어진 연산자입니다.

제약 조건이 있는 표준 양자화

표준 고전 일반 상대성이론은 완전히 제약된 이론의 한 예이다.제약이론에는 다른 종류의 위상공간이 있습니다. 제약함수가 정의되는 무제한(운동학적) 위상공간과 제약조건이 이미 해결된 축소 위상공간입니다.일반적인 관점에서 표준 양자화를 위해 위상 공간은 적절한 힐버트 공간으로 대체되고 위상 공간 변수는 양자 연산자로 승격된다.

양자화에 대한 Dirac의 접근법에서 제한되지 않은 위상 공간은 소위 키네마틱 힐버트 공간으로 대체되고 제약 함수는 키네마틱 힐버트 공간에 구현된 제약 연산자로 대체된다. 그 후 해결책을 찾는다.이러한 양자 제약 방정식은 적어도 보통 사용되는 디랙 접근법에서는 표준 양자 일반 상대성의 중심 방정식입니다.

제약조건이 있는 이론에서는 또한 제약조건이 고전적인 수준에서 해결되는 축소 위상공간 양자화가 있고 축소 위상공간의 위상공간 변수는 양자 연산자로 승격된다, 그러나 이 접근법은 g를 찾는 것과 동등해 보였기 때문에 일반 상대성 이론에서는 불가능하다고 생각되었다.고전적인 필드 방정식에 대한 에네랄 해.그러나 카를로 로벨리가 도입한 아이디어를 바탕으로 일반상대성이론의 관측가능성을 계산하기 위한 체계적 근사 스킴이 (최초로) 개발되면서, 중력의 감소된 위상 공간 양자화를 위한 실행 가능한 스킴이 토마스 티만에 의해 개발되었다.그러나 클럭 변수'는 디랙 양자화의 경우와 달리 축소 위상 공간 양자화의 고전적인 것으로 간주되어야 하기 때문에 디랙 양자화와 완전히 동등하지는 않다.

일반적인 오해는 좌표 변환이 일반 상대성 이론의 게이지 대칭이라는 것인데, 실제 진정한 게이지 대칭은 수학자에 의해 정의된 미분형식이며, 이는 훨씬 더 급진적인 것입니다.일반 상대성 이론의 첫 번째 등급 제약은 공간 미분형 제약과 해밀턴 제약(휠러-드 비트 방정식으로도 알려져 있음)이며 각각 이론의 공간 미분형 불변성과 시간 미분형 불변성을 각인시킨다.고전적으로 이러한 제약을 가하는 것은 기본적으로 초기 데이터에 대한 허용 조건이며, 또한 포아송 괄호를 통해 '진화' 방정식(실제 게이지 변환)을 생성한다.중요한 것은 제약 조건 사이의 포아송 괄호 대수가 고전 이론을 완전히 결정한다는 것입니다 – 이것은 어떤 식으로든 그것이 양자 중력의 실행 가능한 이론이 되기 위해 표준 양자 중력의 반고전적 한계에서 재현되어야 하는 것입니다.

Dirac의 접근법에서는 파동 함수에 부과되는 1급 양자 제약 조건도 게이지 변환을 발생시키는 것으로 밝혀졌다.따라서 을 해결하는 고전 의 두 단계 과정 I 0 {\초기 데이터에 대한 허용 조건 해결과 동일) 및 게이지 궤도 찾기(' 방정식 해결)는 양자 이론의 1단계 과정, 즉 양자 { {I} {\displaystyle} {C}} {I} {I} {\displaystyle} {\}} {I} {I} {\disc} } } } } } i i i i i i i i i i i i i i i}\Psi 입니다이는 양자 수준에서 제약을 분명히 해결하면서 동시에 게이지 불변 상태를 찾기 때문입니다. C^ {\{ 게이지 변환의 양자 발생기입니다.고전적인 수준에서, 수용성 조건과 진화 방정식을 푸는 것은 아인슈타인의 모든 장 방정식을 푸는 것과 같으며, 이것은 표준 양자 중력에 대한 Dirac의 접근에서 양자 제약 방정식의 중심 역할을 강조합니다.

표준 양자화, 미분 동형 불변성 및 명시적 최종성

미분동형은 동일한 좌표계에 머무르면서 미터법(중력장)과 물질장을 맨다양체 위로 동시에 끌어당기는 것으로 생각될 수 있으며, 따라서 단순한 좌표 변환에서는 불변성보다 더 급진적이다.이 대칭은 시공간 기하학에서 일반상대성이론의 법칙이 a-priori에 의존할 수 없다는 미묘한 요건에서 발생한다.

이 미분동형사상 불변성은 중요한 의미를 가진다: 표준 양자 중력은 분명히 유한할 것이다. 즉, 기준 양자 중력은 맨 다지관 위에 미터법 함수를 끌어다 놓는 능력은 추상적으로 정의된 좌표점 사이의 작고 큰 '거리'가 게이지 등가임을 의미한다.리 스몰린에 의해 보다 엄격한 주장이 제시되었다.

백그라운드 독립 연산자는 항상 유한해야 합니다.정규화 절차에서는 항상 조정기 스케일과 배경 메트릭이 함께 도입되기 때문입니다.정규화 매개변수가 참조하는 척도는 규제 운영자의 구성에 도입된 배경 측정 기준 또는 좌표 차트의 관점에서 설명되어야 하기 때문에 이것이 필요하다.이러한 이유로 차단 또는 규제 매개변수에 대한 규제 운영자의 의존성은 배경 메트릭에 대한 의존성과 관련이 있다.조절기 매개변수의 한계를 0으로 설정하면 소멸되지 않는 항이 분리됩니다.이 값이 조절기 매개변수에 의존할 경우(용어가 폭발하는 경우) 배경 메트릭에도 의존해야 합니다.반대로, 규제자가 제거된 한계에서 사라지지 않는 용어가 배경 측정기준에 의존하지 않는 경우, 유한해야 한다."

사실, 아래에 언급된 것처럼, 토마스 티만은 루프 양자 중력(정규 양자 중력의 잘 발달된 버전)이 물질의 [citation needed]모든 형태의 존재에서도 분명히 유한하다는 을 분명히 증명했습니다!그래서 재규격화와 무한의 제거는 필요하지 않다.

섭동 양자 중력(비정규화 인수가 기원하는)에서, 다른 섭동 체계와 같이, 큰 스케일의 공간 시간은 평평한 공간에 의해 잘 근사되어야 한다는 합리적인 가정을 한다; 사람은 대략적인 평평한 배경에 중력자를 산란하고 그들의 산란 진폭이 d를 가지고 있다는 것을 발견한다.뉴턴 상수의 재정의에 흡수될 수 없는 Ivergenes.정준 양자 중력 이론가들은 이 주장을 받아들이지 않는다; 그러나 그들은 아직 섭동 처리에서 정규화할 수 없는 용어로 어떤 일이 일어나는지 이해하기 위해 사용될 수 있는 중력 산란 진폭의 대체 계산을 제공하지 않았다.정준 양자중력 등의 양자기하학 이론에서는 면적이나 부피와 같은 기하학적 양이 양자관측가능이 되어 0이 아닌 이산값을 취함으로써 물질의 기여로부터 오는 것을 포함한 이론에서 무한함을 제거하는 자연조절기를 제공하는 것이 오랜 기대다.기하학적 관측 가능성의 이러한 '양자화'는 실제로 루프 양자 중력(LQG)에서 실현된다.

메트릭 변수의 표준 양자화

정량화는 다음과 같이 metric tensor를 분해하는 것에 기초한다.

반복된 지수에 대한 합계가 암시되는 경우, 지수 0은 {\ \을 나타낸다. 그리스 지수는 모든 값 0, . . . . , 3에 걸쳐 실행되고 라틴 지수는 공간 값 1, . . . 3에 걸쳐 실행된다. NN})을 실효 함수라고 , β k})를 시프트 함수라고 합니다.공간지수는 공간측정지표 \ \ ^ { } i \ style _ { } = \ style { i } = \ _ { i }{ ^ { i } 하여 상승 및 합니다.gamma ^{ j \ \ _ 여기서 \ Kronecker 입니다.이 분해 아래 아인슈타인은-힐버트 라그랑지안은 전체 파생상품에 이르기까지

) {\{}^{(R은 리만 ij \ _ 대해 계산된 공간 스칼라 곡률이고 j \ 외적 곡률이다.

L {{ Lie-differencyle n {n}은 t { t의 표면에 수직인 단위이며,i { }}는 메트릭 ij { ij에 대한 공변 미분을 나타냅니다. δ= + μ n \} = \nu } + {\mu } nu}}. 드윗은 "외적 곡률적 곡률이 운동 에너지에서 음의 역할을 하는 고전적인 형태를 가지고 있다"고 쓰고 있다.라그랑지안의 이 형태는 공간 좌표를 재정의하면 명백하게 불변하지만, 일반적인 공분산을 불투명하게 만든다.

게이지 변환에 의해 경과 함수 및 시프트 함수가 제거될 수 있으므로 물리적 자유도를 나타내지 않습니다.이는 해밀턴식 형식주의로 이행할 때 각각 공역 모멘타 })와 모멘타displaystyle^{가 동일하게 (쉘과 오프셸에서) 사라짐을 나타낸다.이것들은 Dirac에 의해 프라이머리 제약이라고 불립니다.동기식 게이지라고 하는 일반적인 게이지는 N N}) i= 0 스타일 \ style _}=0})이지만, 원칙적으로 좌표의 함수로 선택할 수 있습니다.이 경우, 해밀턴호는 다음과 같은 형태를 취한다.

어디에

그리고 ij \ \pi ^{ ij \ _에 해당하는 운동량이다. 아인슈타인의 방정식은 포아송 괄호를 해밀턴과 함께 사용하면 복구할 수 있다.Dirac에 의해 2차 제약이라고 불리는 추가 온셸 제약은 포아송 괄호 대수의 일관성에서 발생합니다.이것들은 0{H}}= j i 0({ _^{}=입니다.이것은 정준 양자 중력에 대한 접근으로 양자화되고 있는 이론이다.

시간 진화를 설명하는 6개의 아인슈타인 방정식(실제로 게이지 변환)은 공간 미분 동형과 해밀턴 제약의 선형 조합으로 3미터의 포아송 괄호와 그 공역 운동량을 계산함으로써 얻을 수 있다는 것을 보여줄 수 있다.물리적 위상 공간을 주는 구속조건의 소멸은 다른 네 가지 아인슈타인 방정식이다.즉, 다음과 같은 것이 있습니다.

공간미동형 구속조건

그 중 xx 에는 무한히 많은 수가 있으며, 그 중 하나는 이른바 시프트 N ( {{ 의해 지워져 동일한 일련의 공간 미분동형 제약 조건을 제공할 수 있다.

이들은 시프트 a () { N에 의해 정의된 궤도를 따라 공간 미분 동형을 생성합니다.

해밀턴 제약

그 중 무한수가 존재하며, 이른바 소멸 N { N 의해 얼룩진 해밀턴 구속조건의 등가 집합을 얻을 수 있다.

위에서 언급했듯이, (표면된) 제약 조건들 사이의 포아송 괄호 구조는 그것들이 고전 이론을 완전히 결정짓기 때문에 중요하며, 양자 중력의 이론의 반고전적 한계에서 재현되어야 한다.

휠러-드윗 방정식

휠러-드윗 방정식(해밀턴 제약, 아인슈타인-슈뢰딩거 방정식이라고도 함)은 양자 수준에서 역학을 부호화하기 때문에 오히려 중심이다.시간 좌표 t 비물리적이고 물리적 파동 함수가t{}에 의존할 수 없으므로 슈뢰딩거의 방정식이 제약으로 감소한다는 점을 제외하면 이는 슈뢰딩거의 방정식과 유사합니다.

계량 변수를 사용하면 고전적 표현을 잘 정의된 양자 연산자에게 승격하려고 할 때 계산 불가능한 것처럼 보이는 수학적인 어려움을 겪게 되고, 따라서 이 접근방식을 통해 진전을 이루지 못한 채 수십 년이 지났다.이 문제는 회피되었고 잘 정의된 휠러-데-윗 방정식의 공식은 Ashtekar-Barbero 변수와 Thomas Tiemann[4] 의해 공식화된 이 잘 정의된 연산자인 루프 표현의 도입으로 처음 이루어졌다.

이러한 개발 이전에는 휠러-드윗 방정식은 양자 우주론과 같은 대칭 감소 모형에서만 공식화되었습니다.

Ashtekar-Barbero 변수와 LQG의 표준 양자화

정준 양자 중력의 많은 기술적 문제들은 제약조건 주변에서 일어난다.표준 일반상대성이론은 원래 계량 변수의 관점에서 공식화되었지만, 표준 변수에 대한 높은 비선형 의존성 때문에 양자 연산자에 대한 제약을 촉진하는 데 극복할 수 없는 수학적 어려움이 있는 것처럼 보였다.Ashtekars의 새로운 변수의 도입으로 방정식은 훨씬 단순해졌다.Ashtekar 변수는 게이지 이론과 더 가까운 새로운 쌍의 표준 변수 관점에서 표준 일반 상대성을 기술합니다.그렇게 함으로써 공간 미분 동형과 해밀턴 제약 조건 위에 가우스 게이지 제약 조건을 추가했다.

루프 표현은 루프의 관점에서 게이지 이론을 양자 해밀턴식으로 표현한 것입니다.Yang-Mills 이론의 맥락에서 루프 표현의 목적은 가우스 게이지의 불변 상태에서 직접 작동할 수 있도록 가우스 게이지 대칭에 의해 도입된 중복성을 피하는 것이다.이 표현의 사용은 정확한 비교란적 기술을 제공하고 또한 공간적 미분 동형 제약이 이 표현 내에서 쉽게 다루어지기 때문에 Ashtekar-Barbero 표현으로부터 자연스럽게 생겨났다.

루프 표현 안에서 티만은 물질의 모든 형태의 존재 하에서 잘 정의된 표준 이론을 제공했고 그것이 분명히 유한하다는 것을 명백하게 증명했습니다!그래서 다시 정규화할 필요가 없다.그러나 LQG 접근방식은 플랑크 척도로 물리학을 기술하는 데 적합하기 때문에 익숙한 저에너지 물리학과 접촉하고 정확한 반고전적 한계를 갖는다는 것을 입증하는 데 어려움이 있다.

시간문제

일반 상대성 이론의 모든 표준 이론은 시간 문제를 다루어야 한다.양자중력에서 시간문제는 일반상대성이론과 양자역학 사이의 개념적 충돌이다.표준 일반 상대성 이론에서 시간은 일반 공분산의 결과로 나타나는 또 다른 좌표일 뿐이다.양자장 이론에서, 특히 해밀턴 공식에서, 공식은 3차원의 공간과 1차원의 시간 사이에서 분할된다.대략적으로 말해서, 시간의 문제는 일반 상대성 이론에는 아무것도 없다는 것이다.일반상대성이론에서 해밀턴이 사라져야 하는 제약조건이기 때문이다.하지만, 어떤 표준 이론에서도, 해밀토니안은 시간 변환을 생성한다.따라서 우리는 일반 상대성 이론에서 "아무것도 움직이지 않는다"("시간이 없다")는 결론에 도달한다."시간이 없다"는 이유로, 주어진 순간에서의 양자역학 측정에 대한 일반적인 해석은 무너진다.이 시간 문제는 형식주의의 모든 해석상의 문제에 대한 광범위한 현수막이다.

일반 상대성 이론의 "요크 시간"[2]으로 이어지는 제임스 요크의 기하역학 [1]등각 분해의 표준 형식주의는 찰스 [3][4]왕에 의해 개발되었습니다.이 연구는 나중에 그와 그의 협력자들에 의해 대규모 불변성 딜라톤 중력 물질 [5][6]이론에 따라 수용 가능한 시간을 식별하고 정량화하는 접근법에 의해 더욱 발전되었다.

양자 우주론의 문제

양자 우주론의 문제는 정준 양자 중력의 제약을 푸는 물리적 상태가 전체 우주의 양자 상태를 나타내며 따라서 외부 관찰자는 제외되지만, 외부 관찰자는 대부분의 양자 [clarification needed]역학 해석에서 중요한 요소라는 것입니다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

  1. ^ Bergmann, P. (1966). "Hamilton–Jacobi and Schrödinger Theory in Theories with First-Class Hamiltonian Constraints". Physical Review. 144 (4): 1078–1080. Bibcode:1966PhRv..144.1078B. doi:10.1103/PhysRev.144.1078.
  2. ^ Dewitt, B. (1967). "Quantum Theory of Gravity. I. The Canonical Theory". Physical Review. 160 (5): 1113–1148. Bibcode:1967PhRv..160.1113D. doi:10.1103/PhysRev.160.1113.
  3. ^ Dirac, P. A. M. (1958). "Generalized Hamiltonian Dynamics". Proceedings of the Royal Society of London A. 246 (1246): 326–332. Bibcode:1958RSPSA.246..326D. doi:10.1098/rspa.1958.0141. JSTOR 100496.
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레퍼런스

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  4. ^ Wang, Charles H.-T. (2005-10-06). "Unambiguous spin-gauge formulation of canonical general relativity with conformorphism invariance". Physical Review D. 72 (8): 087501. arXiv:gr-qc/0507044. doi:10.1103/PhysRevD.72.087501.
  5. ^ Wang, Charles; Stankiewicz, Marcin (2020-01-10). "Quantization of time and the big bang via scale-invariant loop gravity". Physics Letters B. 800: 135106. arXiv:1910.03300. doi:10.1016/j.physletb.2019.135106. ISSN 0370-2693.
  6. ^ Wang, Charles H.-T.; Rodrigues, Daniel P. F. (2018-12-28). "Closing the gaps in quantum space and time: Conformally augmented gauge structure of gravitation". Physical Review D. 98 (12): 124041. doi:10.1103/PhysRevD.98.124041. hdl:2164/11713.

원천