일반성의 손실 없이
Without loss of generality일반성의 상실 없이(흔히 WLOG, WLOG[1] 또는 W.l.o.g로 약칭되며, 일반성의 손실 없이 또는 일반성의 손실 없이 일반적으로 덜 명시됨) 수학에서 자주 사용되는 표현이다. 이 용어는 다음과 같은 가정을 임의로 선택하여 전제를 특정 사례로 좁히되 일반적으로 증명의 타당성에는 영향을 미치지 않는다는 것을 나타내기 위해 사용된다. 다른 사례들은 제시된 사례와 충분히 유사하며, 이를 증명하는 것은 본질적으로 동일한 논리에 의해 뒤따른다.[2] 그 결과, 일단 특정 사건에 대한 증거가 제시되면, 다른 모든 경우에 그 결론을 증명하기 위해 그것을 적응시키는 것은 사소한 일이다.
많은 시나리오에서 "일반성의 손실 없이"의 사용은 대칭성의 존재에 의해 가능하다.[3] 예를 들어, 실제 숫자의 일부 속성 P(x,y)가 x와 y에서 대칭인 것으로 알려진 경우, 즉 P(x,y)가 모든 x와 y에 대해 보유한다는 것을 증명함에 있어 P(x,y)가 "일반성 손실 없이" x ≤ y를 가정할 수 있다. 사례 x ≤ y ⇒ P(x,y)가 증명되면 다른 사례는 x와 y: y ≤ x ⇒ P(y,x)를 서로 바꾸어 따르며, P의 대칭에 의해 P(x,y)를 내포하므로, 이 가정에서는 일반성의 손실은 없다.
한편, 그러한 대칭성(또는 다른 형태의 등가성)을 확립할 수 없다면, "일반성의 손실 없이"의 사용은 부정확하며, 예를 들어 입증 사례에 해당할 수 있다 – 비대표적인 사례를 증명함으로써 주장을 증명하는 논리적 오류.[4]
예
다음의 정리(이것은 비둘기구멍 원리의 경우)를 고려한다.
만약 세 개의 물체가 각각 빨강이나 파랑으로 칠해진다면, 같은 색의 물체가 적어도 두 개 이상 있어야 한다.
증명:
일반성을 잃지 않고 첫 번째 물체가 빨간색이라고 가정한다. 만약 다른 두 물체 중 하나가 빨갛다면, 우리는 끝난다. 그렇지 않다면, 나머지 두 물체는 모두 파랑색이어야 하고 우리는 여전히 끝난다.
위의 주장은 만약 대체적인 가정, 즉 첫 번째 물체가 파란색이라는 가정, 또는 이와 비슷하게 '빨간색'과 '파란색'이라는 단어가 증거의 표현에서 자유롭게 교환될 수 있다면 정확히 동일한 추리가 적용될 수 있기 때문이다. 결과적으로, 이 경우에는 "일반성의 손실 없이"의 사용이 유효하다.
참고 항목
참조
- ^ "Without Loss of Generality". Art of Problem Solving. Retrieved 2019-10-21.
- ^ Chartrand, Gary; Polimeni, Albert D.; Zhang, Ping (2008). Mathematical Proofs / A Transition to Advanced Mathematics (2nd ed.). Pearson/Addison Wesley. pp. 80–81. ISBN 978-0-321-39053-0.
- ^ Dijkstra, Edsger W. (1997). "WLOG, or the misery of the unordered pair (EWD1223)". In Broy, Manfred; Schieder, Birgit (eds.). Mathematical Methods in Program Development (PDF). NATO ASI Series F: Computer and Systems Sciences. Vol. 158. Springer. pp. 33–34. doi:10.1007/978-3-642-60858-2_9.
- ^ "An Acyclic Inequality in Three Variables". www.cut-the-knot.org. Retrieved 2019-10-21.
