스펙트럼 정리

수학, 특히 선형대수학 및 기능분석에서 스펙트럼 정리는 선형 연산자 또는 행렬을 대각선으로(즉, 어떤 기초에서는 대각 행렬로 표현)할 수 있는 시기에 관한 결과물이다. 이것은 대각선 가능 행렬을 포함하는 계산은 해당 대각선 행렬을 포함하는 훨씬 단순한 계산으로 축소될 수 있기 때문에 매우 유용하다. 대각화 개념은 유한차원 벡터 공간의 연산자에 대해서는 비교적 간단하지만 무한 차원 공간의 연산자에 대해서는 약간의 수정이 필요하다. 일반적으로 스펙트럼 정리는 곱셈 연산자가 모델링할 수 있는 선형 연산자의 부류를 식별하는데, 이는 찾기를 바랄 수 있는 만큼 간단하다. 좀 더 추상적인 언어에서 스펙트럼 정리는 상호 작용적인 C*-알게브라에 대한 진술이다. 역사적 관점은 스펙트럼 이론도 참조한다.

스펙트럼 정리가 적용되는 연산자의 예로는 힐버트 공간의 보다 일반적으로 정상적인 연산자 또는 자기 적응 연산자를 들 수 있다.

스펙트럼 정리는 또한 운용자가 작용하는 기저 벡터 공간의 스펙트럼 분해라고 불리는 규범적 분해도 제공한다.

어거스틴-루이 코치는 대칭 행렬에 대한 스펙트럼 정리를 증명했다. 즉, 모든 실제 대칭 행렬은 대각선이 가능하다. 게다가, 코치는 결정요인에 대해 체계적이었던 첫 번째 사람이었다.^[1]^[2] 존 폰 노이만이 일반화한 스펙트럼 정리는 오늘날 아마도 연산자 이론의 가장 중요한 결과일 것이다.

이 기사는 힐버트 공간의 자기 적응 연산자를 위한 가장 단순한 종류의 스펙트럼 정리에 초점을 맞추고 있다. 그러나 위에서 언급한 바와 같이 스펙트럼 정리는 힐버트 공간의 정상 연산자에 대해서도 유지된다.

유한차원 케이스

에르미트 지도와 에르미트 행렬

먼저 $\mathbb {C} ^{n}$ ${\$ 에 있는 Emidian 행렬을 고려하는 것으로 시작한다( $\mathbb {C} ^{n}$ 그러나 다음 논의는 $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ $우리$ 는 dimensional, $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ⋅, \, $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ \ $displaystyle$ $\langle \cdot$ \cdot $\rangle$ }의 양정확정 sesquiline inner product space에 대한 Emidian map $A$ 를 $고려한다.$ $A$ 의 Emidant 조건은 $A$ $x,$ y ∈ $V$ ,

\displaystyle \langle Ax,y\langle =\langle x,Aay\angle .}

등가 조건은 $A *$ = $A$ 이며, 여기서 $A$ 는^* $A$ 의 은둔자 결합이다. $A$ 가 은둔자 행렬로 식별되는 경우 $A$ 의^* 행렬은 그 결합 전치(transpose)로 식별할 수 있다. ( $A$ 가 실제 행렬인 경우 이는 $A T$ = $A$ 에 해당하며, 즉 $A$ 는 대칭 행렬이다.)

이 조건은 은둔자 지도의 모든 고유값이 실제라는 것을 암시한다: $x$ = $y$ 가 고유 벡터인 경우에 그것을 적용하기에 충분하다. (일부 $스칼라$ ve에 대해 $Ax$ = $vectorx$ 인 $선형$ 지도 $A$ 의 고유 벡터가 (0이 아닌) 벡터 x라는 것을 상기한다. $λ$ 값은 해당 고유값이다. 더욱이 고유값은 특성 다항식의 뿌리다.)

정리. $A$ 가 에르미트인 경우, $A$ 의 고유 벡터로 $구성$ 된 V의 정형화된 기초가 존재한다. 각각의 고유값은 진짜다.

우리는 스칼라의 기초적인 분야가 복잡한 숫자인 경우에 대한 증거의 스케치를 제공한다.

$A$ 의 특성 다항식에 적용되는 대수학의 기본 정리에 의해 적어도 하나의 고유값 $λ$ 과₁ 고유벡터 $e$ 가₁ 있다. 그 후

\lambda _{1}\langle e_{1},e_{1}\rangle =\langle A(e_{1}),e_{1}\rangle =\langle e_{1},A(e_{1})\rangle ={\bar {\lambda }}_{1}\langle e_{1},e_{1}\rangle ,

우리는 $λ$ 이₁ 진짜라는 것을 알게 된다. 이제 $e$ 의₁ 직교보호인 $⊥ K$ = $span{e 1$ } 공간을 고려하십시오. $에르미티시티$ 에 $의해$ K는 A의 불변적인 아공간이다. $K$ 에 동일한 인수를 적용하면 $A$ 에 $고유벡터 2$ e ∈ $K$ 가 있음을 알 수 있다. 유한 유도는 그 후 증빙을 마무리한다.

스펙트럼 정리는 유한차원 실제 내생물 공간에 대칭지도도 가지고 있지만, 고유벡터의 존재는 대수학의 기본 정리로부터 바로 뒤따르지 않는다. 이를 증명하기 위해 $A$ 를 은둔자 행렬로 간주하고 은둔자 행렬의 모든 고유값이 실제라는 사실을 이용한다.

고유 벡터에 $근거$ 한 A의 행렬 표현은 대각선이며, 그 구조로 입증은 상호 직교 고유 벡터의 기초를 제공한다; 그것들을 단위 벡터로 선택함으로써 고유 벡터의 직교 기준을 얻는다. $A$ 는 그것의 스펙트럼 분해라고 불리는 쌍방향 직교 투영의 선형 조합으로 쓰여질 수 있다. 내버려두다

V_{\lambda }=\{v\in V:Av=\lambda v\}

고유값 $λ$ 에 해당하는 eigenspace이다. 정의는 특정 고유 벡터의 선택에 따라 달라지지 않는다는 점에 유의하십시오. $V$ 는 지수가 고유값을 초과하는 공간 $V$ 의_λ 직교 직교 합이다.

즉 $P$ 가_λ $V$ 에_λ 대한 직교 투영을 나타내며, $and 1, ...,$ $λ$ 은_m $A$ 의 고유치라면 스펙트럼 분해는 다음과 같이 기록될 수 있다.

A=\lambda _{1}P_{1}{\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{m}.

If the spectral decomposition of A is $A=\lambda _{1}P_{1}+\cdots +\lambda _{m}P_{m}$ , then $A^{2}=(\lambda _{1})^{2}P_{1}+\cdots +(\lambda _{m})^{2}P_{m}$ and $\mu A=\mu \lambda _{1}P_{1}+\cdots +\mu \lambda _{m}P_{m}$ $\mu A=\mu \lambda _{1}P_{1}+\cdots +\mu \lambda _{m}P_{m}$ $\mu A=\mu \lambda _{1}P_{1}+\cdots +\mu \lambda _{m}P_{m}$ P $\mu A=\mu \lambda _{1}P_{1}+\cdots +\mu \lambda _{m}P_{m}$ ${\$ 스칼라 $\mu .$ {\ $displaystyle \mu .}$ 의 $\mu .$ 경우 $\mu A=\mu \lambda _{1}P_{1}+\cdots +\mu \lambda _{m}P_{m}$ 다음과 같다.

f(A)=f(\lambda _{1})P_{1}+\cdots +f(\lambda _{m})P_{m}

스펙트럼 분해는 슈르 분해와 단수 값 분해의 특별한 경우다.

일반 행렬

스펙트럼 정리는 보다 일반적인 종류의 행렬로 확장된다. $A$ 를 유한 차원 내부 제품 공간의 연산자가 되게 한다. $AA$ 가^* AA일 $경우 *$ A는 정상이라고 한다. 단위가 대각선이 가능한 경우에만 $A$ 가 정상임을 알 수 있다. 증명: 슈르 분해에 의해 우리는 어떤 매트릭스라도 $A$ = $UTU$ 로^* 쓸 수 있다. 여기서 $U$ 는 단일이고 $T$ 는 3각형이다. $A$ 가 정상이라면 $TT *$ = $TT$ 라고^* 본다. 따라서 정상 상위 삼각 행렬은 대각선 행렬이므로 $T$ 는 대각선 행렬이어야 한다(일반 행렬 참조). 그 반전은 명백하다.

즉 A는 $다음$ 과 같은 단일 행렬 $U$ 가 존재하는 경우에만 정상이다.

(\displaystyle A=)UDU^{*}}

여기서 $D$ 는 대각 행렬이다. 그리고 $D$ 의 대각선 입력은 $A$ 의 고유값이다. $U$ 의 열 벡터는 $A$ 의 고유 벡터로서 직교형이다. 은둔자의 경우와 달리 $D$ 의 기재는 진짜일 필요는 없다.

소형 자가 연결 연산자

무한 치수를 가질 수 있는 힐버트 공간의 보다 일반적인 설정에서 콤팩트한 자기 적응 연산자에 대한 스펙트럼 정리의 문장은 사실상 유한 차원 사례와 동일하다.

정리. $A$ 가 힐버트 공간 $V$ 의 콤팩트한 자기 적응 연산자라고 가정하자. 그리고 $A$ 의 고유 벡터로 구성된 $V$ 의 직교 기초가 있다. 각각의 고유값은 진짜다.

에르미트 행렬에 대해서는 적어도 하나의 0이 아닌 고유 벡터의 존재를 증명하는 것이 핵심이다. 고유값의 존재를 보여주는 결정요인에 의존할 수는 없지만 고유값의 변동성 특성화와 유사한 최대화 주장을 사용할 수 있다.

압축성 가정이 제거되면 모든 자가 적합성 연산자가 고유 벡터를 가지고 있다는 것은 사실이 아니다.

경계 자체 승인 연산자

고유 벡터의 부재 가능성

우리가 고려하는 다음 일반화는 힐버트 공간의 경계된 자기 적응 연산자들의 것이다. 이러한 연산자는 고유값이 없을 수 있다. 예를 들어, $L^{2}([0,1])$ 를 L 2 $L^{2}([0,1])$ ( $L^{2}([0,1])$ [ $L^{2}([0,1])$ , $L^{2}([0,1])$ $L^{2}([0,1])$ 에 $t$ 로 곱셈을 하는 연산자로 두십시오 $L^{2}([0,1])$ ^[3]

[A\displaystyle [A\varphi ](t)=t\varphi(t).\;}

이 연산자는 L $L^{2}([0,1])$ ( $L^{2}([0,1])$ [ 0, $L^{2}([0,1])$ $L^{2}([0,1])$ ) ${\displaystyle$ L $^{2}([0,1])}$ 에 고유 벡터를 가지고 있지 않지만 $L^{2}([0,1])$ 더 큰 공간에 고유 벡터를 가지고 있지 않다. 즉, $\varphi (t)=\delta (t-t_{0})$ ( $\varphi (t)=\delta (t-t_{0})$ ) $\varphi (t)=\delta (t-t_{0})$ = $\varphi (t)=\delta (t-t_{0})$ ( t $\varphi (t)=\delta (t-t_{0})$ - $\varphi (t)=\delta (t-t_{0})$ $\varphi (t)=\delta (t-t_{0})$ ) ${\displaystyle \varphi (t)=\delta (t-t_{0$ 여기서 $\delta$ $\delta$ 은 $\delta$ 적절한 의미로 해석되었을 때 고유 벡터가 된다. 그러나 Dirac 델타 함수는 고전적인 의미에서 함수가 아니며 $Hilbert 2 공간$ L[ $0,$ 1 $]$ 또는 다른 Banach 공간에 있지 않다. 따라서 델타 기능은 $A$ $A$ 의 "일반화된 고유 벡터"이지만 $A$ 일반적인 의미에서 고유 벡터는 아니다.

스펙트럼 하위공간 및 투영 값 측정

(진정한) 고유 벡터가 없는 경우 거의 고유 벡터로 구성된 하위 공간을 찾을 수 있다. In the above example, for example, where $[A\varphi ](t)=t\varphi (t),\;$ we might consider the subspace of functions supported on a small interval $[a,a+\varepsilon ]$ inside $[0,1]$ . This space is invariant under ${\displ$ $aystyle A}$ and for any $\varphi$ in this subspace, $A\varphi$ is very close to $a\varphi$ . In this approach to the spectral theorem, if $A$ is a bounded self-adjoint operator, one looks for large families of such "spectral subspaces".^[4] 각 서브스페이스는 차례로 관련 프로젝션 운영자에 의해 인코딩되며, 모든 서브스페이스의 컬렉션이 프로젝션 값 측정치로 표현된다.

스펙트럼 정리의 한 공식은 투영 값 측정과 관련하여 $\sigma (A)$ 연산자 $A$ 를 연산자의 스펙트럼 $\sigma (A)$ ( $\sigma (A)$ ) ${\디스플레이$ 스타일 $\sigma (A)}$ 에 걸친 좌표 함수의 적분으로 표현한다.^[5]

A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,dE_{\lambda }

문제가 되는 자기 적응 연산자가 콤팩트할 때, 이 버전의 스펙트럼 정리는 연산자가 유한하거나 카운트할 수 있는 무한의 투영 선형 결합으로 표현되는 것, 즉 측정은 원자만으로 이루어진다는 것을 제외하고는 위의 유한 차원 스펙트럼 정리와 유사한 것으로 줄어든다.

곱셈 연산자 버전

스펙트럼 정리의 대안적 공식은 모든 경계 자기 적응 연산자는 단위적으로 곱셈 연산자와 동등하다고 말한다. 이 결과의 중요성은 곱셈 연산자가 여러 가지 면에서 이해하기 쉽다는 것이다.

정리.^[6] $A$ 를 힐베르트 공간 $H$ 의 경계된 자칭 연산자가 되게 하라. 그 다음 $X$ 에 측정 공간 $(X, σ,$ $μ)$ 과 실질가치의 경계측정함수 $f$ 가 있고, 이를 위해 단일 연산자 $U : H$ → L $(X 2 μ)$ 가 있다.

U^TU=A,

여기서

T

는 곱셈 연산자:

[T\varphi ](x)=f(x)\varphi(x).

\|T\|=\|f\|_{\infty }

\|T\|=\|f\|_{\infty }

\|T\|=\|f\|_{\infty }

=

\|T\|=\|f\|_{\infty }

f

\|T\|=\|f\|_{\infty }

\

{\

displaystyle \

T\

=\

f

\

_{\

f}}}}

스펙트럼 정리는 연산자 이론이라 불리는 기능 분석의 방대한 연구 영역의 시작이다. 스펙트럼 측정도 참조한다.

힐버트 공간의 경계 정상 연산자에 대해서도 유사한 스펙트럼 정리가 있다. 결론의 유일한 차이점은 이제 $f$ 가 복합적으로 평가될 수 있다는 것이다.

직접 통합

직접 통합의 측면에서도 스펙트럼 정리의 공식화가 있다. 이것은 곱셈 연산자 제형과 유사하지만 더 표준적이다.

$A$ ${\$ $displaystyle$ $A}$ 을(를) 경계 자체 승인 연산자로 하고 $A$ $\sigma (A)$ ( A $\sigma (A)$ $\sigma(A)$ 을(를 $) A$ 의 스펙트럼으로 $\sigma (A)$ 한다 $A$ The direct-integral formulation of the spectral theorem associates two quantities to $A$ . First, a measure $\mu$ on $\sigma (A)$ , and second, a family of Hilbert spaces ${\displaystyle \{H_{\lambda }\},\,\,\lambda \in \sigma (A).$ $}$ 그러면 $\{H_{\lambda }\},\,\,\lambda \in \sigma (A).$ 우리는 힐버트라는 직접 통합적인 공간을 형성한다.

\int _{\mathbf {R}^{\oplus }H_{\lambda }\,d\mu(\lambda).

The elements of this space are functions (or "sections") $s(\lambda ),\,\,\lambda \in \sigma (A),$ such that $s(\lambda )\in H_{\lambda }$ for all $\lambda$ . The direct-integral version of the spectral theorem may be expressed as follows:^[7]

정리.

A

A

이(가) 경계 자체 적응 연산자인

A

경우,

A

A

은(는)

\lambda

{\displaystyle \lambda

\lambda

연산자에 의한 "배수 by"와 단위적으로 동일함

A

\int _{\mathbf {R}^{\oplus }H_{\lambda }\,d\mu (\lambda )

힐버트 공간의 $\mu$ 측정 $\mu$ μA {\ $displaystyle$ $\{H_{\lambda }\}$ mu $\mu$ $\{H_{\lambda }\}$ } $\{H_{\lambda }\}$ 및 일부 패밀리 $\{H_{\lambda }\}$ { $H_{\lambda }\}}.$ 측정 $[\displaystyle \mu }$ 은(는) 측정-이론적 동등성까지 $A$ $A$ ${\displaystyle$ A $}$ 에 의해 고유하게 결정된다 $\mu$ . 즉, $A$ 한 A $A$ 에 관련된 모든 두 측정은 $A$ 측정 집합이 같다. 힐버트 공간 H ${\$ $}}}$ 의 치수는 $A$ $μs$ $집합$ 까지 A {\ $A$ $}$ 에 $\mu$ 의해 고유하게 결정된다 $H_{\lambda }$ $.$

The spaces $H_{\lambda }$ can be thought of as something like "eigenspaces" for $A$ . Note, however, that unless the one-element set ${\lambda }$ has positive measure, the space $H_{\lambda }$ is not actually a subspace of the direct integral. 따라서 $H_{\lambda }$ ${\$ $H_{\lambda }$ s는 "일반화된 아이겐스페이스"로 생각되어야 한다. 즉, $H_{\lambda }$ $H_{\lambda }$ ${\$ 의 원소는 실제로 힐버트 공간에 속하지 않는 "유전 벡터"이다 $H_{\lambda }$ .

스펙트럼 정리의 곱셈 오퍼레이터와 직접 적분 포뮬레이션 모두 곱셈 오퍼레이터와 단위적으로 동등한 것으로서 자기 적응 오퍼레이터를 표현하지만, 직접 적분 접근법은 보다 표준적이다. 첫째, 직접 적분이 일어나는 집합(운용자의 스펙트럼)은 표준적이다. 둘째, 우리가 곱하고 있는 기능은 직접 통합적 접근법에서 표준적이다: 단순함수 $\lambda \mapsto \lambda$ $\lambda \mapsto \lambda$ λ $\lambda \mapsto \lambda$ { { $\lambda \mapsto \lambda$ \ $displaystyle \lambda \mapsto \lambda$ $\lambda \mapsto \lambda$

주기 벡터 및 단순 스펙트럼

벡터 $\varphi$ $\varphi ,A\varphi ,A^{2}\varphi ,\ldots$ $\$ $varphi$ $}$ 벡터 $}$ , A $\varphi ,A\varphi ,A^{2}\varphi ,\ldots$ , $\varphi ,A\varphi ,A^{2}\varphi ,\ldots$ 2 $\varphi ,A\varphi ,A^{2}\varphi ,\ldots$ , … $displaystyle \varphi ,A\varphi ,A^{2$ }\ $varphi ,\ldots }$ 이(가) 힐버트 공간의 조밀한 하위 공간에 걸쳐 $\varphi ,A\varphi ,A^{2}\varphi ,\ldots$ 있는 경우 A의 주기 $A$ 벡터라고 불린다 $\varphi$ . $A$ 이 $A$ (가) 순환 벡터가 존재하는 경계 자체 적응 연산자라고 가정하십시오. 그 경우 스펙트럼 정리의 직접적 통합과 곱셈 연산자 공식에는 구분이 없다. Indeed, in that case, there is a measure $\mu$ on the spectrum $\sigma (A)$ of $A$ such that $A$ is unitarily equivalent to the "multiplication by $\lambda$ " operator on ${\displaystyle L^{2}($ $\sigma (A),\mu$ $L^{2}(\sigma (A),\mu )$ ^[8] This result represents $A$ simultaneously as a multiplication operator and as a direct integral, since $L^{2}(\sigma (A),\mu )$ is just a direct integral in which each Hilbert space $H_{\lambda }$ is just $\mathbb {C}$ .

모든 경계 자기 적응 연산자가 주기 벡터를 인정하는 것은 아니다. 실제로 직접 적분 분해의 고유성에 의해 모든 H ${\$ $H_{\lambda }$ s가 차원 1을 가질 때만 이러한 현상이 발생할 수 있다. 이렇게 되면 $A$ 는 A ${\displaystyle$ A $}$ 이 스펙트럼 다중성 이론의 의미에서 "단순 스펙트럼"을 $A$ 갖는다고 말한다. 즉, 주기적 벡터를 인정하는 경계 자기수정 연산자는 고유값을 구별하는 자기수정 행렬(즉, 고유값을 갖는 자기수정 행렬)의 무한 차원 일반화로 생각해야 한다.

모든 $A$ $A$ 이(가) 순환 벡터를 허용하는 $A$ 것은 아니지만, $A$ $A$ 이(가) 순환 벡터를 갖는 $A$ 불변 서브스페이스의 직접적인 합으로서 힐버트 공간을 분해할 수 있다는 것을 쉽게 알 수 있다. 이 관찰은 스펙트럼 정리의 곱셈 연산자와 직접 통합형식의 입증의 핵심이다.

기능성 미적분학

(어떤 형태로든) 스펙트럼 정리의 중요한 적용은 기능적 미적분을 정의하는 생각이다. That is, given a function $f$ defined on the spectrum of $A$ , we wish to define an operator $f(A)$ . If $f$ is simply a positive power, $f(x)=x^{n}$ , then $f(A)$ is just the $n\mathrm {th}$ $n\mathrm {th}$ t $n\mathrm {th}$ ${\$ $A$ $A^{n}$ {\ $displaystyle$ $A^{n}$ $},$ A $A^{n}$ {\ $displaystyle A$ ^{n $A^{n}$ $f$ 로운 사례는 f $f$ 이(가) 제곱근이나 지수 같은 비폴리노멀 함수인 $f$ 경우다. 스펙트럼 정리의 어느 버전도 그러한 기능적 미적분을 제공한다.^[9] 예를 들어 직접 통합 $f(A)$ 에서 f $f(A)$ ( $f(A)$ ) ${\displaystyle$ f $(A)}$ 은(는) 직접 통합 버전에서 " $f$ by f ${\displaystyle$ f $f$ 연산자의 역할을 한다 $f(A)$ .

[f(A)s](\lambda )=f(\lambda )s(\lambda )

[f(A)s](\lambda )=f(\lambda )s(\lambda )

( A

[f(A)s](\lambda )=f(\lambda )s(\lambda )

)

[f(A)s](\lambda )=f(\lambda )s(\lambda )

[f(A)s](\lambda )=f(\lambda )s(\lambda )

(

[f(A)s](\lambda )=f(\lambda )s(\lambda )

) =

[f(A)s](\lambda )=f(\lambda )s(\lambda )

(

[f(A)s](\lambda )=f(\lambda )s(\lambda )

)

[f(A)s](\lambda )=f(\lambda )s(\lambda )

(

[f(A)s](\lambda )=f(\lambda )s(\lambda )

) s ( { )

{\displaystyle [f(A)s](\lambda )=f(\lambda )s(\lambda

[f(A)s](\lambda )=f(\lambda )s(\lambda )

즉, 직접 적분 내 각 $H_{\lambda }$ 공간 $H_{\lambda }$ ${\$ $lambda$ $}}$ 은 고유값 $f(\lambda )$ ( $f(A)$ $){\displaystyle f(A)}$ 에 $f(A)$ 대한 (일반화된) eigenspace이다 $f(\lambda )$

일반 자가 승인 연산자

차분 연산자와 같이 분석에서 발생하는 많은 중요한 선형 연산자는 한이 없다. 이러한 경우에 적용되는 자기 적응 연산자에 대한 스펙트럼 정리도 있다. 예를 들어, 모든 일정 효율의 차등 연산자는 단위적으로 곱셈 연산자와 동일하다. 실제로 이러한 동등성을 구현하는 단일 연산자는 푸리에 변환이다. 곱셈 연산자는 푸리에 승수의 한 유형이다.

일반적으로 자기 적응 연산자에 대한 스펙트럼 정리는 몇 가지 동등한 형태를 취할 수 있다.^[10] 특히, 이전 절에서 제시한 경계 자체 적응 연산자에 대한 모든 공식(프로젝트 값 측정 버전, 곱셈-운영자 버전, 직접 통합 버전)은 경계 없는 자체 적응 연산자에 대해 계속 유지되며, 도메인 문제를 다루기 위한 작은 기술적 수정 사항도 있다.

참고 항목

메모들

^ Hawkins, Thomas (1975). "Cauchy and the spectral theory of matrices". Historia Mathematica. 2: 1–29. doi:10.1016/0315-0860(75)90032-4.
^ 에반스 M의 연산자 이론의 짧은 역사 하렐 2세
^ 홀 2013 제6.1
^ 홀 2013 정리 7.2.1
^ 홀 2013 정리 7.12
^ 홀 2013 정리 7.20
^ 홀 2013 정리 7.19
^ 홀 2013 리마 8.11
^ 예: Hall 2013 Definition 7.13
^ 2013년 홀 10.1을 참조하십시오.

참조

Sheldon Axler, Linear 대수학 Done Right, Springer Verlag, 1997
Hall, B.C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, 267, Springer, ISBN 978-1461471158
Paul Halmos, "Spectrum Organization Says?", American Mathematical Monthly, 70권, 숫자 3(1963) 페이지 241–247 기타 링크
M. 리드와 B. Simon, Methods of Mathematical Physics, vols I-IV, Academic Press 1972.
G. Teschl, Schrödinger Operators에 응용한 Quantum Mechanics의 수학적 방법, https://www.mat.univie.ac.at/~message/book-schro/, American Mathemical Society, 2009.
Valter Moretti (2018). Spectral Theory and Quantum Mechanics; Mathematical Foundations of Quantum Theories, Symmetries and Introduction to the Algebraic Formulation 2nd Edition. Springer. ISBN 978-3-319-70705-1.

[1] Hawkins, Thomas (1975). "Cauchy and the spectral theory of matrices". Historia Mathematica. 2: 1–29. doi:10.1016/0315-0860(75)90032-4.

[2] 에반스 M의 연산자 이론의 짧은 역사 하렐 2세

[3] 홀 2013 제6.1

[4] 홀 2013 정리 7.2.1

[5] 홀 2013 정리 7.12

[6] 홀 2013 정리 7.20

[7] 홀 2013 정리 7.19

[8] 홀 2013 리마 8.11

[9] 예: Hall 2013 Definition 7.13

[10] 2013년 홀 10.1을 참조하십시오.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

show v t 스펙트럼 이론과 -알게브라스
기본개념	비자발성/-알지브라 바나흐 대수 B-알지브라 C-알지브라 비확정 위상 투영 값 측정값 스펙트럼 C-알지브라 스펙트럼 스펙트럼 반지름 연산자 공간
주요 결과	겔판-마주르 정리 겔판트-나이마크 정리 헬프랜드 표현 극분해 단수 값 분해 스펙트럼 정리 정상 C*알게브라의 스펙트럼 이론
특수 요소/운영자	이소스펙트랄 정상 운영자 에르미트어/자체 성도 운영자 유니타리 운영자 구성 단위
스펙트럼	크레인-루트만 정리 정규 고유값 C*-알지브라 스펙트럼 스펙트럼 반지름 스펙트럼 비대칭 스펙트럼 격차
스펙트럼 분해	(연속) 포인트 잔차) 근사점 압축 이산형 스펙터클 애브시사
스펙트럼 정리	보렐 함수 미적분학 미니맥스 정리 양의 연산자 값 측정값 투영 값 측정값 리에즈 프로젝터 리그드 힐버트 공간 스펙트럼 정리 콤팩트 연산자의 스펙트럼 이론 정상 C*알게브라의 스펙트럼 이론
특수 알헤브라스	아메나블 바나흐 대수 대략적인 정체성 포함 바나흐 함수 대수 디스크 대수 균일대수학 폰 노이만 대수 토미타-다케사키 이론
유한 차원	알론-보파나 바운드 바우어-파이크 정리 숫자 범위 슈르-혼 정리
일반화	디락 스펙트럼 필수 스펙트럼 유사점 구조물 공간(Silov 경계)
잡다한	추상지수군 바나흐 대수 코호몰로지 코언-휴이트 인자화 정리 대칭 연산자의 확장 흡수원리 제한 언바운드 연산자
예	비너 대수
적용들	거의 마티외 연산자 코로나 정리 드럼의 모양(Dirichlet eigenvalue)을 들음 열 커널 쿠즈넷소프 미량식 락스 페어 프로토-값 함수 라마누잔 그래프 랠리-파버-크란 불평등 스펙트럼 기하학 스펙트럼법 일반 미분방정식의 스펙트럼 이론 스투름-리우빌 이론 슈퍼스트롱 근사치 전송 연산자 변형 이론 바일법

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