양자 위상 추정 알고리즘

양자 컴퓨팅에서 양자 위상 추정 알고리즘(양자 고유값 추정 알고리즘이라고도 함)은 단일 연산자의 고유 벡터의 위상(또는 고유값)을 추정하는 양자 알고리즘이다.보다 정확하게는 U $display$ $U|\psi \rangle =e^{2\pi i\theta }|\psi \rangle$ $U|\psi \rangle =e^{2\pi i\theta }|\psi \rangle$ $U|\psi \rangle =e^{2\pi i\theta }|\psi \rangle$ i $U|\psi \rangle =e^{2\pi i\theta }|\psi \rangle$ display $U$ $|\psi \rangle$ display $|\psi \rangle$ display $U|\psi \rangle =e^{2\pi i\theta }|\psi \rangle$ e display i display i $display display$ display = e $^{2\pi$ i $\theta$ } \ $psi$ $\rangle$ display $|\psi \rangle$ $U|\psi \rangle =e^{2\pi i\theta }|\psi \rangle$ display display display display display display $\theta$ display display display display $\theta$ display display display display display display $display$ display display display $display$ display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display $\varepsilon$ $O(\log(1/\varepsilon ))$ O ( $O(\log(1/\varepsilon ))$ " ( $O(\log(1/\varepsilon ))$ / $O(\log(1/\varepsilon ))$ " ) \ $displaystyle$ $\varepsilon$ O ( \ log ( $1$ / " ) ) $O(\log(1/\varepsilon ))$ $、$ $O(\log(1/\varepsilon ))$ （ \ log ( $1$ $O(1/\varepsilon )$ / $O(1/\varepsilon )$ $varepsilon$ ) $O(1/\varepsilon )$ 、 $\varepsilon$ $O(1/\varepsilon )$ nbits $O(1/\varepsilon )$ $O(1/\varepsilon )$ n n n n n n n n n n （ \ $displaystyle$ O ( $1$ / \ $varepsilon$ ) $\varepsilon$ ）。이 알고리즘은 ^[1]^[2]^{: 246}Alexei Kitaev에 의해 1995년에 처음 도입되었습니다.

위상 추정은 쇼르 알고리즘^[2]^{: 131} 및 방정식의 선형 시스템을 위한 양자 알고리즘과 같은 다른 양자 알고리즘에서 서브루틴으로 자주 사용됩니다.

문제

$U|\psi \rangle =e^{2\pi i\theta }\left|\psi \right\rangle ,0\leq \theta <1$ 를 고유벡터 $U|\psi \rangle =e^{2\pi i\theta }\left|\psi \right\rangle ,0\leq \theta <1$ $|\psi \rangle ,$ 、 \ $displaystyle$ \psi \ $rangle$ $,$ \ displaystyle \ $U|\psi \rangle =e^{2\pi i\theta }\left|\psi \right\rangle ,0\leq \theta <1$ \rangle , U $U|\psi \rangle =e^{2\pi i\theta }\left|\psi \right\rangle ,0\leq \theta <1$ \ $displaystyle$ U $\psi \rangle = e^{2\pi\ta }$ \ $right$ psi $\right \ u$ $U|\psi \rangle =e^{2\pi i\theta }\left|\psi \right\rangle ,0\leq \theta <1$ $U|\psi \rangle =e^{2\pi i\theta }\left|\psi \right\rangle ,0\leq \theta <1$ u an qu qu qu qu qu qu qu qu qu m bits qu qu qu qu qu qu qu qu qu qu qu qu qu qu qu qu qu qu qu qu qu qu qu qu qu that that qu qu qu qu qu qu qu

$|\psi \rangle$ 경우 $\theta$ ${\$ \ $displaystyle \psi$ \rangle $|\psi \rangle$ 의 $e^{2\pi i\theta }$ 고유값 $e^{2\pi i\theta }$ $e^{2\pi i\theta }$ 2 $e^{2\pi i\theta }$ ${\$ i {\i $of$ of of thedisplay the （ \ $displaystyle \theta$ $\theta$ 를 한정된 정밀도로 추정하는 것과 같습니다.U는 복소 벡터 공간상의 유니터리 연산자이므로 고유값은 절대값이 1인 복소수여야 하기 때문에 e $e^{2\pi i\theta }$ $e^{2\pi i\theta }$ $e^{2\pi i\theta }$ ${\$ \ $displaystyle$ e $^{2\pi$ i $\theta$ }} $e^{2\pi i\theta }$ 으로 $e^{2\pi i\theta }$ 쓸 수 있습니다.

알고리즘

양자 위상 추정 회로

세우다

입력은 두 개의 레지스터(즉, 두 부분)로 구성됩니다. 상위 $n개$ {\ $displaystyle$ n $}$ 큐비트는 $n$ 첫 번째 레지스터를 구성하고 $하위$ m개 {\ $displaystyle$ m $}$ 큐비트는 $m$ 두 번째 레지스터를 구성합니다.

중첩 생성

시스템의 초기 상태는 다음과 같습니다.

\displaystyle 0\rangle ^{\otimes n} \psi \rangle .}

첫 번째 레지스터에 n비트 Hadamard 게이트 $H^{\otimes n}$ H $H^{\otimes n}$ {\ $displaystyle$ H $^{\otimes$ n}}을 $H^{\otimes n}$ 적용한 후 상태는 다음과 같습니다.

{\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}}}(|0\rangle +|1\rangle )^{\otimes n}|\psi \rangle

{\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}}}(|0\rangle +|1\rangle )^{\otimes n}|\psi \rangle

{\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}}}(|0\rangle +|1\rangle )^{\otimes n}|\psi \rangle

2 ( 0

{\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}}}(|0\rangle +|1\rangle )^{\otimes n}|\psi \rangle

+

{\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}}}(|0\rangle +|1\rangle )^{\otimes n}|\psi \rangle

)

{\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}}}(|0\rangle +|1\rangle )^{\otimes n}|\psi \rangle

{\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}}}(|0\rangle +|1\rangle )^{\otimes n}|\psi \rangle

、 {

displaystyle

{

2 ^ {

\

frac

{ n } }

}

（ 0 \

rangle + 1

\

rangle ）^{

\

otimes

n } \psi \

rangle

。

제어된 단일 작업 적용

U{\ $displaystyle$ U $}$ 를 $U$ 고유벡터 $|\psi \rangle$ {\ $displaystyle \psi \rangle$ $}$ 의 $|\psi\rangle$ $U|\psi \rangle =e^{2\pi i\theta }|\psi \rangle ,$ 단일 연산자로 $하여$ U $ψ$ $U|\psi \rangle =e^{2\pi i\theta }|\psi \rangle ,$ $U|\psi \rangle =e^{2\pi i\theta }|\psi \rangle ,$ $U|\psi \rangle =e^{2\pi i\theta }|\psi \rangle ,$ 、 U $\psi$ \rangle $= e^{2\pi$ i $\theta }$ \ $psi \rangle$ 을 제곱에 의해 곱한다.

U^{2^{j}}|\psi \rangle =U^{2^{j-1}}U^{2^{j-1}}|\psi \rangle =U^{2^{j-1}}e^{2\pi i2^{j-1}\theta }|\psi \rangle =e^{2\pi i2^{j}\theta }|\psi \rangle

U^{2^{j-1}

\

psi \rangle

=

U^{2^{j-1} e^{2\pi

i2

^{j-1}\theta}

\

psi \rangle =e^{2\pi i2^{j}\theta

} \

psi \rangle

$C-U$ C $C-U$ - $C-U$ { $displaystyle$ C - U $C-U$ }는 $C-U$ (첫 번째 레지스터에서) 대응하는 제어 비트가 1µ ${$ $displaystyle$ 1 $\rangle$ $|1\rangle$ 인 경우에만 두 번째 레지스터에 유니터리 $연산자$ U { $displaystyle$ U $}$ 를 $U$ 적용하는 제어된 U $C-U$ 입니다.

제어 게이트가 순차적으로 적용된다고 가정하여 첫 번째 레지스터 및 두 번째 레지스터의 $({$ n $^{th})$ 큐비트에 $n^{th}$ $C-U^{2^{0}}$ C - $C-U^{2^{0}}$ $C-U^{2^{0}}$ 0 $({$ 을 $C-U^{2^{0}}$ 적용한 후 $C-U^{2^{0}}$ 가 된다.

{1}{2^{\frac {1}{2}}}\brace {(왼쪽(0\rangle \psi \rangle + 1\rangle e^{2\pi i2^{0}\theta }\psi \rangle \right})_{n^{th}\bit}\\\\\\\\\\frace}{1}{1}{1}{frach}{1}{\}{\}{\}{\\\\\\\\}{\}{\}eft(0\rangle \psi \rangle +e^{2\pi i2^{0}\theta}) 1\rangle \psi \rangle \right)\otimes {1}{2^{\frac {n-1}}}}\left(0\rangle + 1\rangle \rangle \right)^{n-1}^{-1}}^{\times}}}}}

({displaystyle = specfrac {1}{2}}}}}\left(0\rangle +e^{2\pi i2^{0}\theta}) 1\rangle \pi \rangle \otimes(\frac {1}{2^{2}}}}}\left +rangle 1\lerangle \right)^{\otimes^{n-1} \psi \rangle ,}

사용처:

\displaystyle 0\rangle \psi \rangle + 1\rangle \otimes e^{2\pi i2^{j}\theta } \psi \rangle =(0\rangle +e^{2\pi i2^{j}\theta }) \psi \rangle, \all j}.

$(\style n-1)$ 제어 $n-1$ $C-U^{2^{j}}$ C - $C-U^{2^{j}}$ $C-U^{2^{j}}$ j(\ $style$ C - U ^ { 2^ { $j}})$ 를 $C-U^{2^{j}}$ 1 $1\leq j\leq n-1,$ $1\leq j\leq n-1,$ n - $1\leq j\leq n-1,$ , { $display style$ 1 $\leq$ j $\leq n-1,$ )로 $1\leq j\leq n-1,$ 적용한 후 첫 번째 레지스터의 상태를 그림과 같이 설명할 수 있습니다.

{1}{2^{\frac {n}{2}}}\underbrace {(왼쪽 0\rangle +e^{2\pi i2^{n-1}\theta } 1\rangle \right}_1^{st}\otimes \cdots \times\cdots \tes \times {2\pi {2\rangle {2}\}\}\brangle {2}\brangle {\}\}\brangle {\}\}\}{2^{\frac {n}{2}}}}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}e^{2\pi i\theta k}k\rangle ,

$|k\rangle$ 서 k $|k\rangle$ { $displaystyle$ k \ $rangle$ }는 $|k\rangle$ k{ $displaystyle$ $|\psi \rangle$ k $k^{th}$ $k$ 의 바이너리 표현입니다. $k^{th}$ , $k^{th}$ t h { $displaystyle$ k $^$ { $th$ }} 계산 $k^{th}$ 기준이며, 두 번째 레지스터의 상태는 $|\psi \rangle$ 으로 $변경$ 되지 않습니다 $|\psi \rangle$

역양자 푸리에 변환 적용

{1}{2^{\frac {n}{2}}}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}e^{2\pi i\theta k}k\rangle

수율

{1}{2^{\frac {n}{2}}}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}e^{2\pi i\theta k}{\frac {1}{2^{n}}}}\sum _{x=0}^{2n}-1}\frac}^{-{\frac {2\pi ik}{2^{n}}}\left(x-2^{n}\theta \right)}x\rangle .

두 레지스터의 상태는 다음과 같습니다.

({displaystyle {frac {1}{2^{n}}\sum _{x=0}^{n}-1}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}e^{-{\frac {2\pi ik}{2^{n}}}\left(x-2^{n}\ta \rangle \psi })\langle \psiotle \psi } \ simes 。

위상 근사 표현

$2^{n}\theta$ ${\$ { $displaystyle 2$ $^{$ n} \theta $\theta \in [0,1]$ $}$ 을 $($ 를) 가장 가까운 정수로 $2^{n}\theta$ 으로써 $\theta \in [0,1]$ [ 0 , $]$ \ $displaystyle$ \ $theta$ $\in$ [ 0 , 1 $\theta \in [0,1]$ ]의 $\theta \in [0,1]$ 값을 근사할 수 있습니다. $2^{n}\theta =a+2^{n}\delta ,$ , $2^{n}\theta =a+2^{n}\delta ,$ $2^{n}\theta =a+2^{n}\delta ,$ $2^{n}\theta =a+2^{n}\delta ,$ a + $2^{n}\theta =a+2^{n}\delta ,$ , ${\displaystyle 2^{n}\theta$ , {\ $displaystyle$ a $}$ 는 $a$ $,$ {\ $displaystyle 2^{n$ }\ $theta}$ 에 $2^{n}\delta$ $2^{n}\theta ,$ 가까운 정수이며 $2^{n}\theta =a+2^{n}\delta ,$ , $2^{n}\delta$ $0\leqslant |2^{n}\delta |\leqslant {\tfrac {1}{2}}$ = a $+$ $2^{n}\$ $displaystyle }$ 는 $0\leqslant |2^{n}\delta |\leqslant {\tfrac {1}{2}}$ }를 $0\leqslant |2^{n}\delta |\leqslant {\tfrac {1}{2}}$ 합니다 $0\leqslant |2^{n}\delta |\leqslant {\tfrac {1}{2}}$ $2^{n}\leqslant {tfrac {1}{2$

첫 번째 레지스터와 두 번째 레지스터의 상태를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

{1}{2^{n}}\sum _{x=0}^{2^{n}-1}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}e^{-{\frac {2\pi ik}\left(x-a\right)}\pi {n}\langes}e^2\langes {2\lang

측정.

첫 번째 레지스터에서 계산 기준으로 측정을 수행하면 확률과 함께 $style$ {\ $displaystyle$ a\rangle $}$ $|a\rangle$ 가 $|a\rangle$ 생성됩니다.

\Pr(를)=\left\left\langle a\underbrace{\left{\frac{1}{2^{n}}}\sum _{x=0}^{2^{n}-1}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}e^{{\frac{-2\pi ik}{2^{n}}}(x-a)}e^{2\pi i\delta k}\right)}_{는 초기 등록시의 \text{주}}\right\rangle\right ^{2}={\frac{1}{2^{2n}}}\left\sum _{k=0}^{2^{n}-1}e^{2\pi i\delta k}\right ^{2}={\begin{경우}1&, \delta=0\\&.\\{\frac {1}{2^{2n}}\left {1-{e^{2\pi i2^{n}\frac}}{1-{e^{2\pi i\faces}}}}\right ^{2}&\neq 0\end {cases}}

$\delta =0$ $\delta =0$ 0 { $displaystyle$ \ $parament$ = $0$ $\Pr(a)=1.$ }의 $\delta = 0$ $a=2^{n}\theta$ 경우 근사치가 정확하므로 $a=2^{n}\theta$ $a=2^{n}\theta$ $a=2^{n}\theta$ $a=2^{n}\theta$ † { $displaystyle a$ = $2$ $a=2^{n}\theta$ ^{ $n}\theta$ } 및 $\Pr(a)=1.$ $\Pr(a)=1.$ ( $a$ ) $=$ 1. 이 경우 항상 정확한 ^[3]^{: 157}^[4]^{: 347}위상값을 측정합니다.측정 후 시스템 상태는 $|2^{n}\theta \rangle \otimes |\psi \rangle$ 입니다 $.\$ $displaystyle$ 2 $^{n}\theta \otimes \psi \rangle$ } $|2^{n}\theta \rangle \otimes |\psi \rangle$ ^[2]^{: 223}。

$\delta \neq 0$ 0 $\delta \neq 0$ ( $\delta \neq 0$ \ $displaystyle$ \ $delta$ \ $neq$ 0 ) $|\delta |\leqslant {\tfrac {1}{2^{n+1}}}$ 、 $|\delta |\leqslant {\tfrac {1}{2^{n+1}}}$ $|\delta |\leqslant {\tfrac {1}{2^{n+1}}}$ \ $display$ $style$ $|\delta |\leqslant {\tfrac {1}{2^{n+1}}}$ \ $delta \leqslant { 1$ } { $2$ $\Pr(a)\geqslant {\frac {4}{\pi ^{2}}}\approx 0.405$ { n + $}$ fr $\Pr(a)\geqslant {\frac {4}{\pi ^{2}}}\approx 0.405$ 0 . $（ display style$ \ $delta$ \ neq $slant$ { $1$ $|\delta |\leqslant {\tfrac {1}{2^{n+1}}}$ } ）。다음과 ^[3]^{: 157}^[4]^{: 348}같이 증명합니다.

{\displaystyle{\begin{정렬}(를)&, ={\frac{1}{2^{2n}}}\left{\frac{1-{e^{2\pi i2^{n}\delta}}}{1-{e^{2\pi i\delta}}}}\right ^{2}&,&{\text{에}}\delta 0\\[6pt]&\neq, ={\frac{1}{2^{2n}}}\left}{\frac{2\sin \left(\pi 2^{n}\delta\right)}{2\sin(\delta\pi)}\right ^{2}&, &, 1-e^{2ix}\right ^{2}=4\left \sin())\right ^{2}\left.\\[6pt]&, ={\frac{1}{2^{2N}}}{\frac{\left \sin \left(\pi 2^{n}\delta\right)\right ^{2}}{\sin(\delta\pi)^{2}}}\\[6pt]&,\geqslant{\frac{1}{2^{2n}}}{\frac{\left \sin \left(\pi 2^{n}\delta\right)\right ^{2}}{\pi\delta ^{2}}}&&\sin(\delta\pi)\leqslant\pi \delta{\text{에}}\delta\leqslant{\frac{1}{2^{n+1}}}\\[6pt]&,\geqslant{\frac{1}{2.^{2n}}}{\frac{2\cdot 2^{n}\cdot 2^{2}}{\pi \cdot 2^{n}\cdot 2^{n}\leqslant \sin(\pi 2^{n}\cdot )\text { for }\leqslant {1}\[6\cdot 2^{n+1}\cdot 2\cdot 2^{\cdlant}

$이$ 결과는 높은 확률로 $\theta$ -\ $\theta$ 의 $\theta$ 최적의 n비트 추정치를 측정한다는 것을 보여줍니다.By increasing the number of qubits by $O(\log(1/\epsilon ))$ and ignoring those last qubits we can increase the probability to $1-\epsilon$ .^[4]

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Kitaev, A. Yu (1995-11-20). "Quantum measurements and the Abelian Stabilizer Problem". arXiv:quant-ph/9511026.
^ ^a ^b ^c Nielsen, Michael A. & Isaac L. Chuang (2001). Quantum computation and quantum information (Repr. ed.). Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Press. ISBN 978-0521635035.
^ ^a ^b Benenti, Guiliano; Casati, Giulio; Strini, Giuliano (2004). Principles of quantum computation and information (Reprinted. ed.). New Jersey [u.a.]: World Scientific. ISBN 978-9812388582.
^ ^a ^b ^c Cleve, R.; Ekert, A.; Macchiavello, C.; Mosca, M. (8 January 1998). "Quantum algorithms revisited". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 454 (1969): 339–354. arXiv:quant-ph/9708016. Bibcode:1998RSPSA.454..339C. doi:10.1098/rspa.1998.0164. S2CID 16128238.

[kitaev-1] Kitaev, A. Yu (1995-11-20). "Quantum measurements and the Abelian Stabilizer Problem". arXiv:quant-ph/9511026.

[nielchuan-2] Nielsen, Michael A. & Isaac L. Chuang (2001). Quantum computation and quantum information (Repr. ed.). Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Press. ISBN 978-0521635035.

[benet-3] Benenti, Guiliano; Casati, Giulio; Strini, Giuliano (2004). Principles of quantum computation and information (Reprinted. ed.). New Jersey [u.a.]: World Scientific. ISBN 978-9812388582.

[ekert-4] Cleve, R.; Ekert, A.; Macchiavello, C.; Mosca, M. (8 January 1998). "Quantum algorithms revisited". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 454 (1969): 339–354. arXiv:quant-ph/9708016. Bibcode:1998RSPSA.454..339C. doi:10.1098/rspa.1998.0164. S2CID 16128238.

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