물리학 에서 감소된 질량 은 뉴턴 역학 의 두 신체 문제 에서 나타나는 "유효한" 관성질량 이다. 마치 한 몸 문제 인 것처럼 두 몸 문제를 해결할 수 있는 양이다. 그러나 중력 을 결정하는 질량은 감소되지 않는다는 점에 유의한다. 계산에서 한 질량을 감소된 질량으로 대체할 수 있는데 , 만약 이것이 다른 질량을 두 질량의 합으로 대체함으로써 보상된다면 말이다. 표준 중력 파라미터 도 μ {\ displaystyle \mu }( mu ) 로 표시되지만 감소된 질량은 종종 μ {\ displaystyle \mu }( mu)로 표시된다(다른 물리적 수량 과 동일). 질량과 SI 단위 kg의 치수 를 가지고 있다.
방정식 질량 m 을1 가진 것과 질량 m 을2 가진 두 개의 몸을 볼 때, 다른 한 몸을 알 수 없는 것과 관련하여 한 몸의 위치를 가진 것과 동등한 일체의 문제는 질량[1] [2] 한 몸의 문제인 것이다.
μ = 1 1 m 1 + 1 m 2 = m 1 m 2 m 1 + m 2 , {\displaystyle \m_{1}{\properac {1}{1}{1}:{m_{1}:{1}}+{\properac {1}{1}:{1}2}}:}={\properac {m_{1}m_{2}}:{m_{1}+m_{2}}} }}},\!\,} 두 신체 사이의 힘에 의해 이 질량의 힘이 주어지는 곳
특성. 감소된 질량은 항상 각 신체의 질량보다 작거나 같다.
μ ≤ m 1 , μ ≤ m 2 {\displaystyle \mu \leq m_{1},\display \mu \leq m_{2}\!} 역 가법 속성:
1 μ = 1 m 1 + 1 m 2 {\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{m_{1}}+{\frac {1}{1}{m_}}\!} 이 값을 다시 계산하면 고조파 평균 의 절반에 해당된다.
특별 한 경우 m 1 = m 2 {\displaystyle m_{1 }=m_{ 2}} :
μ = m 1 2 = m 2 2 {\displaystyle {\mu }={\frac {m_{1}:{2}}={\frac {m_{2}}:\,\!} m 1 ≫ m 2 {\ displaystyle m_{1}\g m_{2 }}인 경우 μ μm 2 {\displaystyle \mu \약 m_{2 }}.
파생 방정식은 다음과 같이 도출할 수 있다.
뉴턴 역학 뉴턴의 두 번째 법칙 을 이용하여, 한 신체(입자 2)가 다른 신체(입자 1)에 가하는 힘은 다음과 같다.
F 12 = m 1 a 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}} 입자 1이 입자 2에 가하는 힘은 다음과 같다.
F 21 = m 2 a 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}} 뉴턴의 세 번째 법칙 에 따르면, 입자 2가 입자 1에 가하는 힘은 입자 1이 입자 2에 가하는 힘과 동일하고 반대다.
F 12 = − F 21 {\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}} 따라서 다음과 같다.
m 1 a 1 = − m 2 a 2 ⇒ a 2 = − m 1 m 2 a 1 {\displaystyle m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}\\\Rightarrow \;\\\mathbf {a} _{2}=-{m_1} \mathb {a} _{1}{1}} 두 신체 사이의 상대 가속도 a 는rel 다음과 같이 주어진다.
a r e l := a 1 − a 2 = ( 1 + m 1 m 2 ) a 1 = m 2 + m 1 m 1 m 2 m 1 a 1 = F 12 μ {\displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}: =\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left(1+{m_{1}:{2}}:}\오른쪽)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}\1} }}{m_{1}m_{2}}:m_{1}}\mathbf {a} _{1}={1}={\frac {\mathbf{F} _{12}{\mu }}}}} (파생물이 선형 연산자이므로) r e l {\ displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}} 은(는) 두 입자 사이의 분리 x e l {\ displaystyle \mathbf {x} _{\rm {rel} 의 가속과 같다는 점에 유의하십시오.
a r e l = a 1 − a 2 = d 2 x 1 d t 2 − d 2 x 2 d t 2 = d 2 d t 2 ( x 1 − x 2 ) = d 2 x r e l d t 2 {\displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}}=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{1}}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{2}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2})={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\rm {rel}}}{dt^{2}}}} This simplifies the description of the system to one force (since F 12 = − F 21 {\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}} ), one coordinate x r e l {\displaystyle \mathbf {x} _{\rm {rel}}} , and one mass μ {\displaystyle \mu } . Thus we have reduced our problem to a single degree of freedom, and w e는 입자 1이 감소된 질량과 동일한 질량 의 단일 입자로서 입자 2의 위치 를 기준으로 움직인다는 결론을 내릴 수 있다.
라그랑기 역학 또는, 두 신체 문제에 대한 라그랑지어적 설명은 라그랑지어에게
L = 1 2 m 1 r ˙ 1 2 + 1 2 m 2 r ˙ 2 2 − V ( r 1 − r 2 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V( \mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2} )\!\,} 여기서 r i {\ displaystyle {\mathbf {r} }_{i}}} 은(는) 질량 m i {\displaystyle m_ {i}}} 의 위치 벡터다 . 잠재적 에너지 V 는 입자 사이의 절대 거리에만 의존하기 때문에 함수다. 우리가 정의한다면
r = r 1 − r 2 {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2} 질량의 중심이 이 기준 프레임에서 우리의 기원과 일치하도록 하라.
m 1 r 1 + m 2 r = 0 {\displaystyle m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0 }, 그때
r 1 = m 2 r m 1 + m 2 , r 2 = − m 1 r m 1 + m 2 . {\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r}{m_{1}+m_{2} }}}},\\\mathbf {r} _{2}=-{\frac {m_{1}\mathbf {r}{}{m_{1}+m_{2}}. } 그리고 위와 같이 대체하는 것은 새로운 라그랑지안을 준다.
L = 1 2 μ r ˙ 2 − V ( r ) , {\displaystyle {\mathcal{L}={1\over 2}\mu \mathbf {\dot {r}^{2}-V(r),} 어디에
μ = m 1 m 2 m 1 + m 2 {\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}:{m_{1}+m_{2} }}}} 감소된 질량이다. 따라서 우리는 두 신체 문제를 한 신체의 문제로 줄였다.
적용들 감소된 질량은 고전역학이 적용되는 다수의 두 신체 문제에서 사용될 수 있다.
라인 내 2점 질량의 관성 모멘트 2점 질량 m 1 {\ displaystyle m_{1}, m 2 {\ displaystyle m_{1 }:{1 }, 회전 축에 대한 r 1 {\ displaystyle r_{ 1} 및 r 2 {\ displaystyle r_{2}}: 2점 질량 질량 m 1 을 갖는 시스템에서는 다음과 같이 확인할 수 있다.
r 1 = R m 2 m 1 + m 2 {\displaystyle r_{1}=R{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2} }}}} r 2 = R m 1 m 1 + m 2 {\displaystyle r_{2}=R{\frac {m_{1}{m_{1}+m_{2} }}}}
여기서 R {\displaystyle R} 은 (는) R = R 1 + R 2 {\ displaystyle R=r_{1}+r_{ 2}}의 두 거리 를 합한 값이다.
이것은 질량 중심을 중심으로 회전하는 것을 지탱한다. 이 축 주위의 관성 모멘트 는 다음으로 단순화할 수 있다.
I = m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2 = R 2 m 1 m 2 2 ( m 1 + m 2 ) 2 + R 2 m 1 2 m 2 ( m 1 + m 2 ) 2 = μ R 2 . {\displaystyle I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}=R^{2}{\frac {m_{1}m_{2}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}+R^{2}{\frac {m_{1}^{2}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}=\mu R^{2}.}
입자의 충돌 회복 계수 e 와의 충돌에서 운동 에너지의 변화는 다음과 같이 기록될 수 있다.
Δ K = 1 2μv r l 2 (e 2 - 1 ) {\displaystyle \Delta K={\frac {1}{1 }:{2}}\mu v_{\rm {rel}^{2}^{2}-1 )}, 여기서 v는rel 충돌 전 신체의 상대 속도다.
한 입자의 질량이 다른 입자보다 훨씬 큰 핵물리학의 일반적인 적용의 경우 감소된 질량을 시스템의 더 작은 질량으로 근사하게 추정할 수 있다. 한 질량이 무한대로 갈 때 감소된 질량 공식의 한계는 더 작은 질량이기 때문에 이 근사치는 특히 더 큰 입자의 정확한 질량을 알 수 없을 때 계산을 용이하게 하는데 사용된다.
두 개의 거대한 물체가 중력에 의해 움직인다. 중력 전위 에너지의 경우
V ( r 1 − r 2 ) = − G m 1 m 2 r 1 − r 2 , {\displaystyle V( \mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2} )=-{\frac {gm_{1}m_{2}}{\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2} }}}}} 우리는 두 번째 질량의 합과 같은 질량을 가진 몸을 공전하는 감소된 질량을 가진 신체의 위치와 같은 미분방정식에 의해 두 번째 질량에 대한 첫 번째 신체의 위치가 지배된다는 것을 발견한다.
m 1 m 2 = ( m 1 + m 2 ) μ {\displaystyle m_{1}m_{2}=(m_{1}+m_{2})\mu \!\,} 비상대적 양자역학 수소 원자 의 전자 (질량 me )와 양성자 (질량p m)를 고려한다.[3] 그들은 질량의 공통 중심인 두 개의 신체 문제를 중심으로 서로 공전한다. 일체의 문제인 전자의 움직임을 분석하기 위해 감소된 질량은 전자 질량을 대체한다.
m e → m e m p m e + m p {\displaystyle m_{e}\오른쪽 화살표 {\frac {m_{e}m_{p}}{m_{p}}{m_{e}+m_{p}}}{p}}} }}}} 그리고 양성자 질량은 두 질량의 합이 된다.
m p → m e + m p {\displaystyle m_{p}\오른쪽 화살표 m_{e}+m_{p} }} 이 아이디어는 수소 원자에 대한 슈뢰딩거 방정식 을 설정하는 데 사용된다.
기타 용도 "축소된 질량"은 또한 더 일반적으로 형태의[citation needed ] 대수적 용어를 가리킬 수 있다.
x ∗ = 1 1 x 1 + 1 x 2 = x 1 x 2 x 1 + x 2 {\displaystyle x^{*}={1 \over x_{1}+{1 \over x_{1}:{2}}:}={x_{1}x_{2} \over x_{1}+x_{2} }}\!\,} 형태 방정식을 단순화시키는 것
1 x ∗ = ∑ i = 1 n 1 x i = 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n . {\displaystyle \{1 \over x^{*}}=\sum _{i={n}{1 \over x_{1}}={1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}+\cdots +{1 \1 \over x_{n}}}}. \!\,} 감소된 질량은 일반적으로 저항기 와 같은 두 시스템 요소 사이의 관계로 사용된다. 저항기는 전기, 열, 유압 또는 기계적 영역에 있든지 간에 말이다. 탄성 모듈리 보의 횡단 진동에서도 비슷한 표현이 나타난다.[4] 이 관계는 원소를 연결하는 연속성 방정식 과 함께 원소의 물리적 특성에 의해 결정된다.
참고 항목
참조 ^ 물리학 백과사전(2판), R.G. 레너 , G.L.트리그, VHC 출판사, 1991, (Verlagsellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) 0-89573-752-3 ^ Dynamics and Relative, J.R. Forshaw, A.G. Smith, Wiley, 2009, ISBN 978-0-470-01460-8 ^ 분자 양자역학 파트 I 및 II: 양자화학 소개(1권), P.W. Atkins, 옥스퍼드 대학 출판부, 1977, ISBN 0-19-855129-0 ^ 티모셴코 빔 이론 예측에 대한 실험적 연구, A. 디아즈데안다 J. 플로레스, L. 구티에레즈, R.A. 멩데즈산체스, G. Monsivais, 그리고 A. 모랄레스 소리 및 진동 볼륨 331, 2012년 12월 17일, 5732-5744페이지 https://doi.org/10.1016/j.jsv.2012.07.041 외부 링크