감소된 질량

물리학에서 감소된 질량은 뉴턴 역학의 두 신체 문제에서 나타나는 "유효한" 관성질량이다. 마치 한 몸 문제인 것처럼 두 몸 문제를 해결할 수 있는 양이다. 그러나 중력을 결정하는 질량은 감소되지 않는다는 점에 유의한다. 계산에서 한 질량을 감소된 질량으로 대체할 수 있는데, 만약 이것이 다른 질량을 두 질량의 합으로 대체함으로써 보상된다면 말이다. 표준 중력 파라미터도 $\mu {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \mu }($mu)$$로 표시되지만 감소된 질량은 종종 $\mu {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \mu }($mu)로 표시된다($$다른 물리적 수량과 동일). 질량과 SI 단위 kg의 치수를 가지고 있다.

방정식

질량 m을₁ 가진 것과 질량 m을₂ 가진 두 개의 몸을 볼 때, 다른 한 몸을 알 수 없는 것과 관련하여 한 몸의 위치를 가진 것과 동등한 일체의 문제는 질량^[1][2] 한 몸의 문제인 것이다.

${\displaystyle \m_{1}{\properac {1}{1}{1}:{m_{1}:{1}}+{\properac {1}{1}:{1}2}}:}={\properac {m_{1}m_{2}}:{m_{1}+m_{2}}}}}},\!\,}$

두 신체 사이의 힘에 의해 이 질량의 힘이 주어지는 곳

특성.

감소된 질량은 항상 각 신체의 질량보다 작거나 같다.

${\displaystyle \mu \leq m_{1},\display \mu \leq m_{2}\!}$

역 가법 속성:

${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{m_{1}}+{\frac {1}{1}{m_}}\!}$

이 값을 다시 계산하면 고조파 평균의 절반에 해당된다.

$특별$한 ${\displaystyle {경우\mathrm{}}_{}}$m ${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$2 {\$displaystyle m_{1$}=$m_{$2}}$$:

${\displaystyle {\mu }={\frac {m_{1}:{2}}={\frac {m_{2}}:\,\!}$

$m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}인 경우$$$\mu {\displaystyle {\mu m\mathrm{}}_{}}$ 2$${\$displaystyle \mu \약 m_{2$

파생

방정식은 다음과 같이 도출할 수 있다.

뉴턴 역학

뉴턴의 두 번째 법칙을 이용하여, 한 신체(입자 2)가 다른 신체(입자 1)에 가하는 힘은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}}$

입자 1이 입자 2에 가하는 힘은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}}$

뉴턴의 세 번째 법칙에 따르면, 입자 2가 입자 1에 가하는 힘은 입자 1이 입자 2에 가하는 힘과 동일하고 반대다.

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}}$

따라서 다음과 같다.

${\displaystyle m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}\\\Rightarrow \;\\\mathbf {a} _{2}=-{m_1} \mathb {a} _{1}{1}}$

두 신체 사이의 상대 가속도 a는_rel 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}:=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left(1+{m_{1}:{2}}:}\오른쪽)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}\1}}}{m_{1}m_{2}}:m_{1}}\mathbf {a} _{1}={1}={\frac {\mathbf{F} _{12}{\mu }}}}}$

(파생물이 선형 연산자이므로) ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{e}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{l}}_{}}$ ${\$은(는) 두 입자 사이의$$ 분리 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{e}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{l}}_{}}$ ${\$의 가속과 같다는$$ 점에 유의하십시오.

${\displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}}=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{1}}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{2}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2})={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\rm {rel}}}{dt^{2}}}}$

This simplifies the description of the system to one force (since ${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}}$), one coordinate ${\displaystyle \mathbf {x} _{\rm {rel}}}$, and one mass ${\displaystyle \mu }$. Thus we have reduced our problem to a single degree of freedom, and we는 입자 1이 감소된 질량과 동일한 $질량$의 단일 입자로서 입자 2의 $위치$를 기준으로 움직인다는 결론을 내릴 수 있다$.$

라그랑기 역학

또는, 두 신체 문제에 대한 라그랑지어적 설명은 라그랑지어에게

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V( \mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2} )\!\,}$

여기서 $r{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는$)$ $질량{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ i ${\displaystyle m_$${i}}}$의 위치 벡터다$$.$$ 잠재적 에너지 V는 입자 사이의 절대 거리에만 의존하기 때문에 함수다. 우리가 정의한다면

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}$

질량의 중심이 이 기준 프레임에서 우리의 기원과 일치하도록 하라.

${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ m ${\displaystyle {}_{}{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0$

그때

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r}{m_{1}+m_{2}}}}},\\\mathbf {r} _{2}=-{\frac {m_{1}\mathbf {r}{}{m_{1}+m_{2}}.}$

그리고 위와 같이 대체하는 것은 새로운 라그랑지안을 준다.

${\displaystyle {\mathcal{L}={1\over 2}\mu \mathbf {\dot {r}^{2}-V(r),}$

어디에

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}:{m_{1}+m_{2}}}}}$

감소된 질량이다. 따라서 우리는 두 신체 문제를 한 신체의 문제로 줄였다.

적용들

감소된 질량은 고전역학이 적용되는 다수의 두 신체 문제에서 사용될 수 있다.

라인 내 2점 질량의 관성 모멘트

2점$$ 질량 $m{\displaystyle {}_{}}$ 1 ${\$ ${\displaystyle m_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}:{$1$$},$ 회전$$ 축에 대한$$ $r{\displaystyle {}_{}}$ 1 ${\$1}$$및 $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 2점 질량 질량 m ${\displaystyle 1_{}}$을 갖는 시스템에서는 다음과 같이 확인할 수 있다.

여기서 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은(는) $R{\displaystyle }$= ${\displaystyle {R\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}의 두 $거리$를 합한 값이다$.$

이것은 질량 중심을 중심으로 회전하는 것을 지탱한다. 이 축 주위의 관성 모멘트는 다음으로 단순화할 수 있다.

입자의 충돌

회복 계수 e와의 충돌에서 운동 에너지의 변화는 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle K}$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle 2\mu v}$ ${\displaystyle {\mathrm{r}}_{}^{}}$ l 2${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle e_{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}1}$) ${\displaystyle \Delta K={\frac$ {$1}{1$}:{2$}}\mu v_{\rm$ {$rel}^{2}^{2}-1$

여기서 v는_rel 충돌 전 신체의 상대 속도다.

한 입자의 질량이 다른 입자보다 훨씬 큰 핵물리학의 일반적인 적용의 경우 감소된 질량을 시스템의 더 작은 질량으로 근사하게 추정할 수 있다. 한 질량이 무한대로 갈 때 감소된 질량 공식의 한계는 더 작은 질량이기 때문에 이 근사치는 특히 더 큰 입자의 정확한 질량을 알 수 없을 때 계산을 용이하게 하는데 사용된다.

두 개의 거대한 물체가 중력에 의해 움직인다.

중력 전위 에너지의 경우

${\displaystyle V( \mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2} )=-{\frac {gm_{1}m_{2}}{\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2} }}}}}$

우리는 두 번째 질량의 합과 같은 질량을 가진 몸을 공전하는 감소된 질량을 가진 신체의 위치와 같은 미분방정식에 의해 두 번째 질량에 대한 첫 번째 신체의 위치가 지배된다는 것을 발견한다.

${\displaystyle m_{1}m_{2}=(m_{1}+m_{2})\mu \!\,}$

비상대적 양자역학

수소 원자의 전자(질량 m_e)와 양성자(질량_p m)를 고려한다.^[3] 그들은 질량의 공통 중심인 두 개의 신체 문제를 중심으로 서로 공전한다. 일체의 문제인 전자의 움직임을 분석하기 위해 감소된 질량은 전자 질량을 대체한다.

${\displaystyle m_{e}\오른쪽 화살표 {\frac {m_{e}m_{p}}{m_{p}}{m_{e}+m_{p}}}{p}}}}}}}$

그리고 양성자 질량은 두 질량의 합이 된다.

${\displaystyle m_{p}\오른쪽 화살표 m_{e}+m_{p}}}$

이 아이디어는 수소 원자에 대한 슈뢰딩거 방정식을 설정하는 데 사용된다.

기타 용도

"축소된 질량"은 또한 더 일반적으로 형태의^{[citation needed]} 대수적 용어를 가리킬 수 있다.

${\displaystyle x^{*}={1 \over x_{1}+{1 \over x_{1}:{2}}:}={x_{1}x_{2} \over x_{1}+x_{2}}}\!\,}$

형태 방정식을 단순화시키는 것

${\displaystyle \{1 \over x^{*}}=\sum _{i={n}{1 \over x_{1}}={1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}+\cdots +{1 \1 \over x_{n}}}}.\!\,}$

감소된 질량은 일반적으로 저항기와 같은 두 시스템 요소 사이의 관계로 사용된다. 저항기는 전기, 열, 유압 또는 기계적 영역에 있든지 간에 말이다. 탄성 모듈리 보의 횡단 진동에서도 비슷한 표현이 나타난다.^[4] 이 관계는 원소를 연결하는 연속성 방정식과 함께 원소의 물리적 특성에 의해 결정된다.

참고 항목

• 모멘텀 중심 프레임
• 모멘텀 보존
• 등식 정의(물리학)
• 조화 발진기
• 치프 질량(Chirp mass)은 뉴턴 이후의 팽창에 사용되는 상대론적 등가물량이다.

참조

외부 링크

• 하이퍼물리학에서 질량 감소