글리슨 정리

수학 물리학에서 글리슨의 정리는 양자 물리학에서 확률을 계산할 때 사용하는 규칙인 Born 규칙이 비맥락성 가정과 함께 양자 물리학에서 측정값의 일반적인 수학적 표현에서 파생될 수 있음을 보여줍니다. 앤드류 M. 글라이슨은 1957년 조지 W. 매키(George W.^[1] Mackey)가 제기한 질문에 답하며 이 정리를 처음 증명했는데, 이는 광범위한 종류의 숨겨진 변수 이론이 양자 물리학과 일치하지 않는다는 것을 보여주는 데 역사적으로 중요한 역할을 한 업적입니다. 그 이후 몇 년 동안 여러 가지 변형이 입증되었습니다. 글리슨의 정리는 양자 논리학 분야와 양자 이론에 대한 최소한의 수학적 공리를 찾으려는 시도에서 특히 중요합니다.

정리문

에 대한 일련의 기사의 일부
양자역학
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}} \psi(t)\rangle ={\hat {H} \psi(t)\rangle }$ 슈뢰딩거 방정식
서론 용어집 역사
배경 고전역학 구양자론 브라켓 표기법 해밀토니안 방해다
펀더멘털 상보성 디코히어런스 얽힘 에너지 준위 측정. 비국소성 양자수 주 중첩 대칭성 터널링 불확실성 파동함수 쓰러짐
실험 벨의 부등식 다비송-독일 더블슬릿 Elitzur–Vaidman 프랭크-헤르츠 레게트 – 가르기 등식 마하젠더 포퍼 양자지우개 지연선택 슈뢰딩거의 고양이 슈테른-게를라흐 휠러의 지연 선택
제형 개요 하이젠베르크 상호작용 매트릭스 위상공간 슈뢰딩거 이력 합계(경로 적분)
방정식 디랙 클라인고든 파울리 뤼드베르크 슈뢰딩거
해석 베이지안 일관 이력 코펜하겐 드브로이-봄 앙상블 숨은 변수 현지의 초결정론 다세계 대물붕괴 양자논리학 관계형 거래적 폰 노이만-비그너
고급주제 상대론적 양자역학 양자장이론 양자정보과학 양자전산 양자 혼돈 EPR 역설 밀도행렬 산란설 양자통계역학 양자기계학습
사이언티스트 아하로노프 벨 베테 블래킷 블로흐 봄 보어 태어난 보스 드브로이 콤프턴 디랙 데이비슨 데비 에렌페스트 아인슈타인 에버렛 포크 페르미 파인만 글라우버 구츠윌러 하이젠베르크 힐베르트 조던 크라머르스 파울리 새끼 양 란다우 라우에 모즐리 밀리칸 온네스 플랑크 라비 라만 뤼드베르크 슈뢰딩거 시몬스 소머펠트 폰 노이만 웨일 빈 위그너 지만 자일링거
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개념적 배경

양자역학에서 각각의 물리계는 힐베르트 공간과 연관되어 있습니다. 이 개요의 목적을 위해 힐베르트 공간은 유한 차원으로 가정됩니다. 존 폰 노이만(John von Neumann)에 의해 코드화된 접근법에서 물리적 시스템에 대한 측정은 때때로 "관측 가능"이라고 불리는 힐베르트 공간의 자기 인접 연산자에 의해 표현됩니다. 이러한 연산자의 고유 벡터는 힐베르트 공간에 대한 정규 기저를 형성하며, 측정의 가능한 각 결과는 기저를 구성하는 벡터 중 하나에 해당합니다. 밀도 연산자는 힐베르트 공간에서 추적이 1과 같은 양의 반정의 연산자입니다. 폰 바이제커(von Weizsäker)의 언어로 밀도 연산자는 "확률의 카탈로그"입니다. 정의할 수 있는 각 측정에 대해 밀도 연산자로부터 측정 결과에 대한 확률 분포를 계산할 수 있습니다.^[2] 이를 위한 절차는 다음과 같이 명시된 Born rule입니다.

여기서$$ρ ${\displaystyle$\rho }은 밀도 ${\displaystyle {연산자}_{}}$이고$$π i${\displaystyle$ \Pi_{i}는$$ $결과 xi$ $displaystyle$ x_{i}에 해당하는 기저 벡터에 대한 투영 연산자입니다.

Born 규칙은 정규 기저를 포함하는 단위 벡터 집합에 대해 이러한 확률이 1로 합되는 방식으로 힐베르트 공간의 각 단위 벡터와 확률을 연관시킵니다. 또한 단위 벡터와 관련된 확률은 밀도 연산자와 단위 벡터의 함수이며 해당 벡터에 포함될 기초 선택과 같은 추가 정보가 아닙니다. 글리슨의 정리는 역방향을 설정합니다. 이러한 조건을 만족하는 단위 벡터(또는 그에 투영되는 연산자)에 대한 확률의 모든 할당은 일부 밀도 연산자에 Born 규칙을 적용하는 형태를 취합니다. 글라이슨의 정리는 힐베르트 공간의 차원이 3 이상이면 성립합니다. 차원 2에 대한 반례가 존재합니다.

상태 공간과 Born 규칙 도출

양자 시스템에 대한 측정 결과의 확률은 0과 1 사이의 실수여야 하며, 일관성을 유지하기 위해서는 개별 측정에 대해 가능한 다른 결과의 확률이 최대 1을 합산해야 합니다. 글리슨의 정리는 프로젝션 연산자에 의해 식별되는 측정 결과에 확률을 할당하는 함수는 밀도 연산자와 Born 규칙으로 표현할 수 있어야 함을 보여줍니다. 이것은 확률을 계산하는 규칙을 제공할 뿐만 아니라 가능한 양자 상태의 집합을 결정합니다.

$f$ ${\displaystyle f}$를 프로젝션 연산자의 $집합$ $\{$π I} ${\displaystyle \{\$Pi _{i}\}가 항등 행렬에 합할 경우(즉, 정규 기저에 해당하는 경우), 다음과 같은 성질을 갖는 프로젝션 연산자의 단위 구간까지의 함수라고 하자.

이러한 함수는 측정 결과에 대한 확률 값의 할당을 표현하는데, 이는 결과에 대한 확률이 해당 결과가 포함된 측정에 의존하는 것이 아니라 특정 결과의 수학적 표현에만 의존한다는 의미에서 "비맥락적"인 할당입니다. 그 투영 연산자.^{[3][4]: §1.3 [5]: §2.1 [6]} 글리슨의 정리는 임의의 $함수$ f$${\$displaystyle$f}에 대하여$,$ 다음과 같은 단위 궤적을 갖는 양의 $반정$의$$연산자$$ρ {\displaystyle \rho}가 존재함을 말합니다.

Born 규칙과 "확률 카탈로그"가 단위 추적의 양의 반정의 연산자라는 사실은 측정값이 정규 기저로 표현되고 확률 할당이 "비맥락적"이라는 가정에서 비롯됩니다. 글리슨의 정리가 적용되기 위해서는 측정값이 정의되는 공간이 실제 또는 복잡한 힐베르트 공간, 또는 4차 이온 모듈이어야 합니다.^[a] (예를 들어 p-아딕 수를 사용하여 양자역학의 유사체를 구성하려고 한다면 글리슨의 주장은 적용할 수 없습니다.)

글라이슨의 증명의 역사와 개요

1932년, 존 폰 노이만은 그의 교과서인 양자역학의 수학적 기초에서 Born 규칙을 도출해냈습니다. 그러나 폰 노이만이 자신의 증명을 구축한 가정은 오히려 강력했고, 결국에는 동기부여가 잘 되지 않는 것으로 여겨졌습니다.^[14] 구체적으로, 폰 노이만은 확률 함수가 통근 또는 비통근, 모든 관측치에 대해 선형이어야 한다고 가정했습니다. 존 벨은 그의 증명을 "거짓말일 뿐만 아니라 어리석은 것"^[15][16]이라고 조롱했습니다. 반면 Gleason은 선형성을 가정한 것이 아니라 단지 비맥락성, 더 나은 동기 부여 및 물리적으로 더 의미 있는 가정과 함께 통근 프로젝터에 대한 추가성을 가정했습니다.^[16][17]

1940년대 후반, 조지 매키는 양자물리학의 수학적 기초에 관심을 갖게 되었고, 특히 힐베르트 공간에서 측정값을 정규적인 기초로 나타내는 이론에서 보른 규칙이 확률을 계산할 수 있는 유일한 가능한 규칙인지 궁금해했습니다.^[18][19] 매키는 시카고 대학의 어빙 시걸과 이 문제를 논의했고, 그는 당시 대학원생이었던 리처드 케이디슨과 함께 이 문제를 제기했습니다. Kadison은 2차원 힐베르트 공간에 대해 양자 상태와 Born 규칙에 해당하지 않는 확률 측도가 존재한다는 것을 보여주었습니다. 글리슨의 결과는 이것이 2차원에서만 일어난다는 것을 의미합니다.^[19]

글리슨의 원본 증명은 세 단계로 진행됩니다.^{[20]: §2} 글라이슨의 용어에서, 프레임 함수는 힐베르트 공간의 단위 구에$$ 대한 $실수{\displaystyle }$ 값 f$${\$displaystyle$ f$}$이다.

벡터 ${\displaystyle {xi}_{}}$ ${\$가 직교 기저를 포함할$$ 때마다. 앞 절에서 정의한 비맥락 확률 할당은 프레임 함수에 해당합니다.^[b] 표준적인 방법으로, 즉 양자 상태에 Born 규칙을 적용하여 작성할 수 있는 그러한 측정을 정규 프레임 함수라고 합니다. 글라이슨은 프레임 함수가 반드시 규칙적일 때에 관한 일련의 레마를 도출하여 최종 정리로 끝납니다. 먼저, 그는 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 모든 연속 프레임 함수가$$ 규칙임을 확립합니다. 이 단계는 구면 조화 이론을 활용합니다. 그런 다음, 그는 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 프레임 함수가 연속적이어야$$ 한다는 것을 증명하고, 이것은 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 특별한 경우에 대한 정리를 설정합니다$.$ 이 단계는 증명의 가장 어려운 단계로 간주됩니다.^[21][22] 마지막으로, 그는 일반적인 문제가 이 특수한 경우로 환원될 수 있다는 것을 보여줍니다. 글라이슨은 이 증명의 마지막 단계에서 사용된 보조정리 하나를 그의 박사과정 학생인 리차드 팔레에게 공을 돌렸습니다.^{[1]: fn 3}

로빈 리스 허드슨(Robin Lyth Hudson)은 글라이슨의 정리를 "축하받고 어렵고 악명높게 어렵다"고 묘사했습니다.^[23] 쿡, 킨, 모란은 나중에 글라이슨보다 더 길지만 더 적은 전제조건을 요구하는 증거를 제시했습니다.^[21]

시사점

글리슨의 정리는 양자 측정 이론에서 몇 가지 근본적인 문제를 강조합니다. 푹스가 주장하는 바와 같이, 이 정리는 "매우 강력한 결과"입니다. 왜냐하면 "그것은 Born 확률 규칙과 밀도 연산자의 상태 공간 구조가 이론의 다른 가정에 의존하는 정도를 나타내기 때문입니다." 결과적으로, 양자 이론은 "처음 생각했을 수 있는 것보다 더 단단한 패키지"^{[24]: 94–95} 입니다. 따라서 양자 형식주의를 대안적 공리로부터 도출하기 위한 다양한 접근법은 글라이슨의 정리를 핵심 단계로 사용하여 힐베르트 공간의 구조와 보른 규칙 사이의 격차를 해소했습니다.^[c]

숨은 변수

게다가, 이 정리는 양자역학에서 특정 종류의 숨겨진 변수의 가능성을 배제하는 데 있어 그것이 수행한 역할에 역사적으로 중요합니다. 결정론적인 숨은 변수 이론은 주어진 결과의 확률이 항상 0 또는 1임을 의미합니다. 예를 들어, 스핀-1 원자에 대한 스턴-게를라흐 측정은 선택한 축을 따라 원자의 각운동량이$${\$displaystyle$-$\},$ $0$ ${\displaystyle 0}$ 및${\displaystyle }$+ ${\displaystyle +}$의 세 가지 가능한 값 중 하나라고 보고합니다$.$ 결정론적 숨은 변수 이론에서, 측정에서 발견된 결과를 수정하는 기본 물리적 속성이 있습니다. 기본 물리적 속성의 값을 조건으로, 주어진 결과(예:${\displaystyle }$+ ${\displaystyle +}$의 결과$)$는 불가능하거나 보장되어야 합니다. 그러나 글리슨의 정리는 그러한 결정론적 확률 측정이 있을 수 없다는 것을 암시합니다. $어떤$밀도$연산자$ρ {\$displaystyle$u\$to \$langle \rho,u\rangle}에 대하여 힐베르트 공간의 단위 구에서 u → ⟨ ρ u, ⟩ u,u\rangle} 매핑은 연속적입니다. 이 단위 구는 연결되어 있으므로 연속적인 확률 측정은 결정론적일 수 없습니다. 따라서 글리슨의 정리는 양자 이론이 불확실성이 숨겨진 자유도에 대한 무지에서 기인한다는 고전적 직관으로부터 깊고 근본적인 이탈을 나타낸다는 것을 시사합니다.^[27] 좀 더 구체적으로, 글리슨의 정리는 "비맥락적"인 숨은 변수 모델을 배제합니다. 양자역학에 대한 숨겨진 변수 모델은 글리슨 정리의 의미를 피하기 위해 측정된 시스템에만 속하는 속성이 아니라 측정이 이루어지는 외부 컨텍스트에 의존하는 숨겨진 변수를 포함해야 합니다. 이러한 유형의 의존성은 종종 작위적이거나 바람직하지 않은 것으로 간주됩니다. 일부 환경에서는 특수 상대성 이론과 일치하지 않습니다.^[27][28]

큐비트로 알려진 2차원 힐베르트 공간에 대한 반례를 구성하려면 숨겨진 변수를 3차원 유클리드 공간에서 단위 벡터 λ $$→ {\displaystyle {\$vec$ {\lambda }}이라고 합니다. Bloch 구면을 사용하여 큐비트에서 가능한 각 측정값을 단위 구면에서 한 쌍의 반대방향 점으로 나타낼 수 있습니다. 측정 결과를 나타내는 점이 λ → {\$displaystyle${\$vec$ {\lambda }}과(와) 같은 반구에 있고 그렇지 않으면 Gleason의 가정을 따르는 측정 결과에 대한 확률 할당이 1로 정의됩니다. 그러나 이 확률 할당은 유효한 밀도 연산자에 해당하지 않습니다. λ →$${\$displaystyle {\vec$ {\lambda }}의 가능한 값에 대한 확률 분포를 도입하여 양자 이론의 예측을 재현하는 큐비트에 대한 은닉 variable 모델을 구성할 수 있습니다.

이후 존 벨, 에른스트 스페커, 사이먼 코헨이 동기를 부여한 글라이슨의 정리는 종종 코헨-스페커 정리라고 불리는 결과로 이어졌으며, 마찬가지로 비맥락 은닉 변수 모델이 양자역학과 호환되지 않는다는 것을 보여줍니다. 위에서 언급한 바와 같이, 글리슨의 정리는 힐베르트 공간의 광선에 대한 확률 측정이 0과 1(그 공간의 차원이 2를 초과하는 한) 값만을 취하는 것은 없다는 것을 보여줍니다. 코헨-스펙커 정리는 그러한 확률 측정을 정의할 수 없는 광선의 특정 유한 부분 집합을 구성하여 이 문장을 개선합니다.^[27][30] 이러한 광선의 유한 부분 집합이 존재해야 한다는 사실은 논리적 콤팩트성 논쟁을 통해 글리슨의 정리를 따르지만, 이 방법은 원하는 집합을 명시적으로 구성하지 않습니다.^{[20]: §1} 벨의 정리로 알려진 관련된 숨겨진 변수가 없는 결과에서는 숨겨진 변수 이론이 비맥락적이라는 가정이 대신 로컬이라는 가정으로 대체됩니다. Kochen-Specker 구조에서 사용된 것과 동일한 광선 세트를 사용하여 벨형 증명을 유도할 수도 있습니다.^[27][31][32]

피토프스키는 글리슨의 정리를 사용하여 양자역학이 가능한 사건의 공간 구조가 고전적인 부울 대수에서 수정된 새로운 확률 이론을 나타낸다고 주장합니다. 그는 이것을 특수 상대성 이론이 뉴턴 역학의 운동학을 수정하는 방식과 유사하다고 생각합니다.^[4][5]

글라이슨과 코헨-스펙커 정리는 관점주의, 건설적 경험주의, 잠재적 현실주의를 포함한 다양한 철학을 지지하는 것으로 인용되었습니다.^[33][34][35]

양자논리학

글리슨의 정리는 격자 이론을 많이 사용하는 양자 논리에서 응용을 찾습니다. 양자 논리학은 양자 측정의 결과를 논리적 명제로 취급하고, 이 논리적 명제들에 의해 형성되는 관계와 구조를 연구합니다. 양자물리학에서는 모든 양의 쌍을 동시에 측정할 수 없다는 사실을 반영하기 위해 이들은 고전 논리에서 유효한 분배 법칙이 약화되는 격자로 구성됩니다.^[36] 양자 논리의 표현 정리는 그러한 격자가 스칼라 곱을 가진 벡터 공간의 부분 공간의 격자와 동형임을 보여줍니다.^{[5]: §2} 솔러의 정리를 사용하면 벡터 공간이 정의되는 (스큐) 필드 K는 글리슨의 정리가 유지하는 데 필요한 실수, 복소수 또는 4차수임을 추가 가설과 함께 증명할 수 있습니다.^{[12]: §3 [37][38]}

글리슨의 정리를 호출하여 격자 요소에 대한 확률 함수의 형태를 제한할 수 있습니다. 격자 요소에서 확률로의 매핑이 비맥락적이라고 가정할 때, 글리슨의 정리는 Born 규칙으로 표현 가능해야 함을 설정합니다.

일반화

글리슨은 원래 시스템에 적용된 측정값이 폰 노이만 유형, 즉 가능한 각 측정값이 힐베르트 공간의 정규적 기초에 해당한다고 가정하여 정리를 증명했습니다. 나중에 Busch와^[39] 독립적으로 Caves et al.^{[24]: 116 [40]} 는 양의 연산자 값 측정(POVM)으로 알려진 보다 일반적인 측정 클래스에 대해 유사한 결과를 증명했습니다. 모든 POVM 집합에는 폰 노이만 측정 집합이 포함되므로 이 정리의 가정은 글리슨의 가정보다 훨씬 더 강합니다. 이것은 이 결과의 증명을 글라이슨의 증명보다 더 단순하게 만들었고, 결론은 더 강력하게 만들었습니다. 글리슨의 원래 정리와 달리 POVM을 사용한 일반화된 버전은 단일 큐비트의 경우에도 적용됩니다.^[41][42] 그러나 POVM에 대해 비맥락성을 가정하는 것은 논란의 여지가 있는데, POVM이 기본적이지 않기 때문이며, 일부 저자는 비맥락성이 기본 폰 노이만 측정에만 가정되어야 한다고 주장합니다.^[43] 원래 버전에서 글라이슨의 정리는 힐베르트 공간이 유리수 위에 정의된 경우, 즉 힐베르트 공간의 벡터의 성분이 유리수 또는 유리수 부분이 있는 복소수로 제한된 경우에는 성립하지 않습니다. 그러나 허용된 측정값의 집합이 모든 POVM의 집합일 때 그 정리는 유지됩니다.^{[40]: §3.D}

글라이슨의 원래 증명은 건설적이지 않았습니다. 그것이 의존하는 아이디어 중 하나는 콤팩트 공간에 정의된 모든 연속 함수가 최소값에 도달한다는 사실입니다. 모든 경우에 최소값이 어디에서 발생하는지를 명시적으로 보여줄 수 없기 때문에 이 원리에 의존하는 증명은 건설적인 증명이 될 수 없습니다. 그러나 그 정리는 구성적인 증거를 찾을 수 있는 방식으로 재구성될 수 있습니다.^[20][44]

글라이슨의 정리는 이론의 관측 가능한 것들이 폰 노이만 대수를 형성하는 몇몇 경우로 확장될 수 있습니다. 특히, 관측 가능한 대수가 교환 폰 노이만 대수에 대한 2×2 행렬의 대수로 표현될 수 있는 직접적인 합이 없는 경우(즉, 유형 I의₂ 직접적인 합이 없는 경우) 글리슨 결과의 유사체가 유지되는 것으로 나타날 수 있습니다. 본질적으로, 그 정리를 증명하는 유일한 장벽은 힐베르트 공간이 큐빗의 그것일 때 글리슨의 원래 결과가 성립하지 않는다는 사실입니다.^[45]

메모들

참고문헌