위상공간 제형

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양자역학
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial t}{\psi(t)\rangele ={\hat {H} \psi(t)\rangele }}$ 슈뢰딩거 방정식
소개 용어집 역사
배경 고전역학 구양자론 브라-켓 표기법 해밀턴어 간섭
기초 상보성 탈착성 얽힘 에너지 레벨 측정 비균등성 양자수 주 중첩 대칭 튜닝링 불확실성 파동함수 무너지다
실험 벨의 부등식 다비슨-제르머 더블 슬릿 엘리추르 바이드만 프랑크-헤르츠 레게트-가그 부등식 마하-젠더 포퍼 양자 지우개 지연선택 슈뢰딩거의 고양이 스턴-제라흐 휠러의 지연 선택
공식화 개요 하이젠베르크 상호작용 매트릭스 위상공간 슈뢰딩거 누적 이력(경로 적분)
방정식 디락 클라인-고든 파울리 뤼드베르크 슈뢰딩거
해석 개요 베이시안 일관된 이력 코펜하겐 드 브로글리-봄 앙상블 숨겨진 변수 국부적 다세계 객관적 붕괴 양자 논리 관계성 트랜잭션
고급 주제 상대론적 양자역학 양자장 이론 양자정보과학 양자 컴퓨팅 양자 혼돈 밀도 행렬 산란 이론 양자통계역학 양자기계학습
과학자들 아하로노프 벨 베테 블랙켓 블로흐 봄 보어 태어난 보스 드 브로글리 콤프턴 디락 다비송 데비예 에렌페스트 아인슈타인 에버렛 포크 페르미 파인만 글라우버 구츠윌러 하이젠베르크 힐베르트 조던 크레이머스 파울리 양고기 란다우 라우에 모즐리 밀리칸 오네스 플랑크 라비 라만 뤼드베르크 슈뢰딩거 시몬스 소머펠트 폰 노이만 바일 빈 위그너 지만 질링거
v t

양자역학의 위상공간 제형은 위상공간에서 위치변수와 운동변수를 동등한 지위에 놓는다.이와 대조적으로 슈뢰딩거 그림은 위치 또는 모멘텀 표현을 사용한다(위치 및 모멘텀 공간 참조).위상공간 제형의 두 가지 주요 특징은 양자 상태를 (파동 함수, 상태 벡터 또는 밀도 행렬 대신) 퀘이프로빌리티 분포로 설명하고 연산자 곱셈을 별 생산물로 대체한다는 것이다.

이 이론은 1946년 힐브란드 그로네월드가 박사학위 논문에서 완전히 발전했고,^[1] 조 모얄이 독자적으로 개발했으며,^[2] 각각 헤르만 바일^[3], 유진 위너가 초기 사상을 바탕으로 건축했다.^[4]

위상공간 공식화의 가장 큰 장점은 운영자 형식주의를 피함으로써 양자역학을 해밀턴 역학과 최대한 비슷하게 보이게 함으로써 힐버트 공간의 '부담'의 양자화를 '자유화'시킨다는 것이다.^[5]이 공식은 본질적으로 통계적이며 양자역학과 고전적 통계역학 사이의 논리적 연결을 제공하여 두 가지 사이의 자연스러운 비교를 가능하게 한다(고전적 한계 참조).위상 공간의 양자역학은 종종 특정 양자 광학 애플리케이션(광학 위상 공간 참조) 또는 탈착성 및 전문 기술 문제 범위에 대한 연구에서 선호되지만, 그렇지 않은 경우 형식주의는 실제 상황에서 덜 보편적으로 사용된다.^[6]

위상공간에서 양자역학의 발전을 밑바탕으로 하는 개념사상은 콘체비치의 변형정량화(콘체비치 정량화 공식 참조)와 비확정 기하학과 같은 수학적인 오프슈트(offshot)로 좁혀졌다.

위상공간 분포

양자 상태의 위상공간 분포 f(x, p)는 quasiprobability 분포다.위상-공간 공식에서 위상-공간 분포는 파동 함수나 밀도 행렬을 참조하지 않고 양자 시스템에 대한 기본적이고 원시적인 설명으로 취급될 수 있다.^[7]

그 분포를 나타내는 몇 가지 다른 방법들이 있는데, 모두 상호 연관되어 있다.^[8][9]가장 주목할 만한 것은 위그너 표현 W(x, p)가 먼저 발견된 점이다.^[4]다른 표현들(문헌에서 유병률의 대략 내림차순으로)에는 글라우버-수다르산 P,^[10][11] 후시미 Q,^[12] 커크우드-리하크제크, 메타, 리비에르, 본-요르단 표현이 포함된다.^[13][14]이러한 대안은 해밀턴인이 글라우버-수다르산 P-표현의 정상적인 순서처럼 특정한 형태를 취할 때 가장 유용하다.위그너 표기가 가장 일반적이기 때문에, 이 기사는 달리 명시되지 않는 한 대개 그것을 고수할 것이다.

위상공간 분포는 2n차원 위상공간에서 확률밀도와 유사한 특성을 갖는다.예를 들어 일반적으로 복잡하게 값이 매겨진 파동함수와 달리 실제 값이 매겨진다.예를 들어 위그너 함수를 모든 모멘텀에 걸쳐 그리고 위치 간격에 걸쳐 통합함으로써 위치 간격 내에 누워 있을 확률을 이해할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}\int _{-\infit }^{-\infit }{}W(x,p)\,dx.}$

X(x, p)가 관측 가능한 연산자일 경우 위그너 변환을 통해 위상공간 A(x, p)로 매핑할 수 있다.반대로 이 연산자는 Weyl 변환에 의해 복구될 수 있다.

위상 공간 분포와 관련하여 관측 가능한 기대값은 다음과^[2][15] 같다.

${\displaystyle \langle {\a}\angle =\int A(x,p)W(x,p)\dp\,dx.}$

그러나 주의할 점: W(x, p)는 외관상 유사함에도 불구하고 실제 공동 확률 분포가 아니다. 왜냐하면 그 아래 영역은 확률 이론의 세 번째 공리에서 요구하는 바와 같이 상호 배타적 상태를 나타내지 않기 때문이다.더욱이 일반적으로는 (선택적으로 압착된) 일관성 있는 상태를 독특한 예외로 하여 순수한 상태에서도 첫 번째 공리를 위반하여 음의 값을 취할 수 있다.

그러한 부정적인 가치를 지닌 지역은 "작다"라고 증명할 수 있다. 즉, 그들은 몇 larger보다 큰 소형 지역으로 확장될 수 없고, 따라서 고전적인 한계에서 사라진다.이들은 ħ보다 작은 위상공간 영역 내에서 정밀한 국산화(localization)를 허용하지 않는 불확실성 원리에 의해 차폐되고, 따라서 그러한 "부정확률(negative probability 원리에 의해 보호된다.만약 방정식의 왼쪽이 연산자에 관한 힐버트 공간의 기대값으로 해석된다면, 양자 광학의 맥락에서 이 방정식을 광학 동등성 정리라고 한다.(위그너 함수의 특성과 해석에 대한 자세한 내용은 주요 기사를 참조한다.)

양자역학에 대한 대안적인 위상-공간 접근방식은 위상 공간에 대한 파동 함수(단순히 퀘이프로브빌리티 밀도가 아닌)를 정의하려고 하며, 일반적으로는 Segal-Bargmann 변환을 사용한다.불확실성 원리와 양립하기 위해서는 위상공간파 함수가 임의의 함수가 될 수 없거나, 그렇지 않으면 임의의 위상공간 소구역으로 국산화될 수 있다.오히려, Segal-Bargmann 변환은 $x{\displaystyle }$+ ${\displaystyle i}$ p$[\displaystyle x+ip}$의 홀로모르픽 함수다$.$위상-공간파 함수와 관련된 퀘이프로브빌리티 밀도가 있다. 위치파 함수의 후시미 Q 표현이다.

별제품

표준 연산자 곱셈을 대체하는 위상 공간 제형의 기본적인 비확정 이진 연산자는 ★^[1] 기호로 대표되는 별 생산물이다.위상-공간 분포의 각 표현은 서로 다른 특성별 제품을 가진다.구체성을 위해, 우리는 위그너-와 관련된 스타 제품으로 이 논의를 제한한다.웨일 표현.

공칭적 편의를 위해 좌우파생상품 개념을 도입한다.기능 f와 g의 쌍에 대해 좌우 파생상품은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\ceduled}f{\ceduled}f{}{\n1}{x}g&={\frac {\frac}{\flaff x}}}}=\flaff}{naffaffair x}}}.\end{정렬}}}$

별 제품의 차등적 정의는

${\displaystyle f\star g=f\,\exp {\left({\frac {i\hbar }{2}}\left({\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}{\vec {\partial }}_{p}-{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p}{\vec {\partial }}_{x}\right)\right)}g,}$

여기서 지수함수의 인수는 파워 시리즈로 해석될 수 있다.추가적인 미분관계는 f와 g:의 논거의 변경이라는 관점에서 이것을 작성할 수 있도록 한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}(f\star g)(x,p)&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p},p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot g(x,p)\\&=f(x,p)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p},p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}\right)\\&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}:{\vec {\p}}{p\right)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }}}{2}}:{\noverset{\}{\p}p}\rig)\right)\&=f\left(x,p-{\tfrac {i\hbar }{2}}:{{2}}:00}{\vec{\beft}}}{p+{\tfrac{i\hbar }}}}}{{\overset{\noff}}}}\right)\cdecut.\end{정렬}}}$

또한 본질적으로 푸리에 변환을 통해 ^[16]★-제품을 콘볼루션 적분 형태로 정의할 수도 있다.

${\displaystyle (f\star g)(x,p)={\frac {1}{\pi ^{2}\hbar ^{2}}}\,\int f(x+x',p+p')\,g(x+x'',p+p'')\,\exp {\left({\tfrac {2i}{\hbar }}(x'p''-x''p')\right)}\,dx'dp'dx''dp''.}$

(예:^[7] 가우스인은 하이퍼볼릭으로 작곡한다.

${\displaystyle \exp {\big (}{-a}(x^{2}+p^{2}){\big )}\star \exp {\big (}{-b})(x^{b}+p^{2})={\frac {1}{1+\hbar ^{2}}}}}}}}explefrp.+\hbar ^{2}ab}(x^{2}+p^{2})\right),}$

또는

${\displaystyle \cHB(x)\star \p)={\frac {2}{h}\exp \left(2i{\frac {frac}{\hbar }}$

등)

에너지 고유상태 분포는 항성유전분포, ,-유전분포, fun-유전분포 또는 ★-유전분포라고 하며, 관련 에너지는 별유전분포 또는 ★-유전분포라고 한다.이것들은 시간 독립형 슈뢰딩거 방정식과 유사하게 ★-genvalue 방정식에 의해 해결된다.^[17][18]

$H\star W=E\cdot W,}$

여기서 H는 평범한 위상-공간 함수인 해밀턴어로, 고전적인 해밀턴어와 가장 동일한 경우가 많다.

시간 진화

위상공간 분포의 시간 진화는 Louville 흐름의 양자 개조에 의해 주어진다.^[2][9][19]이 공식은 위그너 변환을 양자 리우빌 방정식의 밀도 행렬 버전인 폰 노이만 방정식에 적용한 데서 비롯된다.

위상 공간 분포와 연관된 별 생산물의 어떤 표현에서도, 이것은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}=-{\frac {1}{i\hbar }}}\왼쪽(f\star H-H\star f\right),}$

또는, 특히 위그너 기능의 경우,

${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}=-\{\{W,H\}\}=-{\frac {2}{\hbar }}W\sin \left({\frac {\hbar }{2}}({\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}{\vec {\partial }}_{p}-{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p}{\vec {\partial }}_{x})\right)H=-\{W,H\}+O(\hbar ^{2}),}$

여기서 {{ , }}은 양자 정류자의 위그너 변환인 모얄 브래킷이며, { ,}은 고전적인 포아송 브래킷이다.^[2]

이는 대응 원리에 대한 간결한 예시를 제시한다: 이 방정식은 한계 ħ → 0의 고전적 리우빌 방정식으로 명백하게 감소한다.그러나 흐름의 양자적 확장에서는 위상 공간의 점 밀도가 보존되지 않고 확률 유체가 "확률적"이며 압축적으로 나타난다.^[2]그러므로 양자 궤도의 개념은 여기에서 미묘한 문제다.^[20]아래 Morse 잠재력을 보려면 영화를 참조하십시오. 양자 위상 흐름의 비균질성을 평가하려면

N.B. 국산화 불확실성 원리에 의해 부여된 제약에 대해, 닐스 보어는 미시적인 규모로 그러한 궤도의 물리적 존재를 강력하게 부정했다.위그너 함수의 시간 진화 문제는 공식 위상-공간 궤적을 통해 두 경우 모두 심각한 실제적 장애물이 존재하지만 경로-통합 방법과 양자 특성^[21] 방법을 사용하여 엄격하게 해결할 수 있다.^[22]

예

단순 고조파 발진기

위그너에서 하나의 공간적 차원에서의 단순 조화 진동자를 위한 해밀턴식Weyl 표현은

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}m\오메가^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}}.}$

정적 Wigner 함수에 대한 ★-gen값 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\reasoned}H\star W&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\star W\\&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x+{\frac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p}\right)^{2}+{\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)^{2}\right)W\\&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\vec {\partial }}_{p}^{2}\right)+{\frac {1}{2m}}\left(p^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\vec {\partial }}_{x}^{2}\right)\right)W\\\&\quad {}+{\frac {i\hbar }{2}}\왼쪽(m\omega^{2}x{\vec{\p}-{p}-{p}-{p}}}}{\vec {\partial }}}{\vec{\vec}}}}}}\오른쪽)W\\&=E\cdot W.\end{aigned}}$

첫째, ★-genvalue 방정식의 가상 부분을 고려한다.

${\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}\왼쪽(m\omega^{2}x{}x{\vec {\p}-{p}-{p}-{p}}}}{\vec {\partial }}{p}}}}{\vecdot W=0}$

이는 :-genstates를 단일 인수의 함수로 쓸 수 있음을 암시한다.

$W(x,p)=F\왼쪽({\frac {1}{2}}m\오메가^{2}x^{2}}+{\frac {p^{2}}:}\오른쪽)\equiv F(u)}$

이러한 변수의 변화로 ★-gen값 방정식의 실제 부분을 (헤르미트의 방정식이 아닌!) 변형된 라구에르 방정식의 형태로 쓸 수 있으며, 그 해법은 라구에르 다항식을 다음과^[18] 같이 포함한다.

${\displaystyle F_{n}(u)={\frac {(-1)^{n}{\pi \hbar \hbar \{n}}\좌측(4{\frac {u}{\hbar \omega }\right)e^{-2u/\hbar \bar \omega }}}}}}$

그로네월드에 의해 소개되고 ^[1]관련 ★-genvalues와 함께 소개됨

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{1}:{2}}\오른쪽).}$

고조파 오실레이터의 경우 임의 위그너 분포의 시간 진화는 간단하다.초기 W(x, p; t = 0) = F(u)는 단순히 위상 공간에서 강직하게 회전함으로써 주어진 오실레이터 해밀턴에 의해 구동되는 위의 진화 방정식에 의해 진화한다.^[1]

$[\displaystyle W(x,p;t)=W(m\omega x\cos \omega t-p\sin \omega t,p\cos \omega t+\omega mx\sin t;0).}$

일반적으로 에너지 E ≫ Ω의 "범프"(또는 일관성 있는 상태)는 거시적인 양을 나타낼 수 있으며, 일반적인 기계적 오실레이터인 위상 공간에서 균일하게 회전하는 고전적인 물체처럼 나타난다(애니메이션 그림 참조).그러한 물체의 모든 단계(t = 0에서 출발 위치)에 걸쳐 통합하면, 연속적인 "팔리세이드"는 위의 정적 ★-genstate F(u)와 유사한 시간 독립 구성을 산출하는데, 이는 대규모 작용 시스템의 고전적 한계를 직관적으로 시각화하는 것이다.^[6]

자유입자각운동량

입자가 초기에는 최소로 불확실한 가우스 상태에 있으며, 위치 및 모멘텀의 기대값은 위상 공간의 원점에 집중된다고 가정한다.자유롭게 전파되는 그러한 상태의 위그너 기능은

${\displaystyle W(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ;t)={\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp {\left(-\alpha ^{2}r^{2}-{\frac {p^{2}}{\alpha ^{2}\hbar ^{2}}}\left(1+\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{2}\right)+{\frac {2t}{\hbar \tau }}\mathbf {x} \cdot \mathbf {p} \right)}~,}$

여기서 α는 가우스인의 초기 폭을 설명하는 매개변수로서, α = m/α³이다².

처음에, 위치와 모멘텀은 상관관계가 없다.따라서 3차원에서는 위치 및 모멘텀 벡터가 평행보다 서로 수직일 가능성이 두 배 높을 것으로 예상한다.

그러나, 위치의 원점에서 멀리 떨어진 분포의 일부가 더 큰 모멘텀에 도달해야 하기 때문에, 위치 및 모멘텀은 국가가 진화함에 따라 점점 더 상관관계가 생기게 된다.

${\displaystyle W\longwrightarrow {\frac {1}{{{pi \hbar )^{3}}\exp[-\alpha ^{2}\left(\mathbf {x} -\mathbf {m}}{m}\right)^{2}\, 오른쪽],}$

(이 상대적 "대기"는 좌표 공간에서 자유파 패킷의 확산을 반영한다.)

실제로, 방향 독립성을 명시한 지상 상태 비제로 각운동량의 표준 양자-기계적 개념과 일치하여 입자의 운동 에너지가 점증적으로만 방사적으로 변화한다는 것을 보여줄 수 있다.^[24]

${\displaystyle K_{\text}}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}:\좌측({\frac {3}{2}}-{1}{1+(t/\tau )^{2}}-{2}}:}\우측)}$

${\displaystyle K_{\text{ang}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}:{2}}:{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}~}$

모스 포텐셜

모스 전위는 이원자 분자의 진동 구조를 근사하게 하기 위해 사용된다.

양자 터널링

터널링은 상공에서 날 수 있는 충분한 에너지를 갖지 못한 양자 입자가 여전히 장벽을 통과해 가는 전형적인 양자 효과다.고전역학에는 이런 효과가 존재하지 않는다.

사분위 전위

슈뢰딩거 고양이 주

참조