사분위 교호작용

양자장 이론에서, 사분위 상호작용은 스칼라장에서의 자기 상호작용의 한 유형이다. 다른 유형의 사분위 상호작용은 4-페르미온 상호작용의 주제에서 찾을 수 있다. 고전적인 자유 스칼라 필드 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(가) 클라인-고든 방정식을 만족한다. 스칼라 필드가 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$로 표시된 경우$,$ ${\displaystyle {}^{}}$ 상호작용은 잠재적 에너지 용어( term${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 4}$! )${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\$을 라그랑지 밀도에 추가함으로써 나타난다. 연결 상수 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) 4차원 공간 시간에서 치수가 없다$$.

이 글은 민코스키 공간에${\displaystyle }$( +${\displaystyle }$,${\displaystyle }$-${\displaystyle }$,${\displaystyle }$-${\displaystyle }$) ${\displaystyle (+,-,-,-)}$ 메트릭$$ 서명을 사용한다.

진짜 스칼라 필드의 라그랑지안

사분위 교호작용이 있는 실제 스칼라장에 대한 라그랑지안 밀도는

${\displaystyle {\mathcal{L}(\varphi )={\frac {1}{1}{1}{1}[\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\m^{2}\varphi ^{2}]-{\frac {\lambda }}}{4!}}\varphi ^{4}.}$

이 라그랑지안에는 글로벌₂ Z 대칭 $맵핑{\displaystyle }$ ${\displaystyle \to }$ → -${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \varphi \to -\varphi$}이(가) 있다$.$

복잡한 스칼라 필드의 라그랑지안

복잡한 스칼라 분야에 대한 라그랑지안은 다음과 같이 동기 부여가 될 수 있다. 두 스칼라 필드 $\phi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및 $and$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}인 경우$$ 라그랑지안은 형식을 가지고 있다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{1}\partial ^{\mu }\varphi _{1}-m^{2}\varphi _{1}^{2}]+{\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{2}\partial ^{\mu }\varphi _{2}-m^{2}\varphi _{2}^{2}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2})^{2},}$

다음과 같이 정의된$$ 복잡한 스칼라 필드 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$을(를) 보다 간결하게 소개할 수 있다.

${\displaystyle \phi \equiv {\frac {1}{\sqrt{2}}(\varphi _{1}+i\varphi _{2}),}$

${\displaystyle \phi ^{*}\equiv {1}{\frac {1}{\sqrt{2}}(\varphi _{1}-i\varphi _{2}).}$

이 복잡한 스칼라 분야로 표현하면, 위의 라그랑지안은 점점 더 복잡해진다.

${\displaystyle {\mathcal {L}(\phi )=\partial ^{\mu }\phi ^{*}\partial _{\mi -m^{2}\phi ^{*}\phi -\lambda (\phi^{*}\phi )^{2},}}$

따라서 실제 부분과 가상 ${\displaystyle {}_{}}$에서 복잡한$$ 부분 ${\displaystyle \$$varphi _{1},\varphi }$을$($를) 확장함으로써 알 수 있듯이 실제 스칼라 필드의 SO(2${\displaystyle {}_{}}$ 모델과 동등하다$.$

${\displaystyle {N\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle N}$ 실제$$ 스칼라 필드로 rang 4 ${\$ 모델을$$ 라그랑지안이 준 글로벌 SO(N) 대칭으로 만들 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},...,\varphi _{N})={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi _{a}\partial _{\mu }\varphi _{a}-m^{2}\varphi _{a}\varphi _{a}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{a}\varphi _{a})^{2},\quad a=1,...,N.}$

실제와 가상의 부품에서 복잡한 필드를 확장하면 실제 스칼라 필드의 SO(2) 모델과 동등하다는 것을 알 수 있다.

위의 모든 모델에서 연결 상수 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) 양수여야 한다$$. 그렇지 않으면 전위는 아래로부터 무한으로 유지되고 안정적인 진공이 없기 때문이다. 또한 아래에서 논의된 파인만 경로의 통합은 잘못 정의될 것이다. 4차원 $in{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\$이론에는$$ 란다우 극이 있다. 이것은 고에너지 저울에 대한 컷오프가 없다면, 리노멀라이제이션은 그 이론을 대수롭지 않게 만들 것이라는 것을 의미한다.

파인만 적분 정량화

파인만 다이어그램 확장은 파인만 경로 적분 공식에서도 얻을 수 있다.^[1] n-particle Green's 함수로 알려진 φ에서 다항식의 시간 순서 진공 기대값은 가능한 모든 분야에 걸쳐 통합하여 구성되며, 외부 필드가 없는 진공 기대값으로 정규화된다.

${\displaystyle \langle \Omega {\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\} \Omega \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\오른쪽)}}{{}\mathcal {D}\phi e^{i\int d^{4}x\왼쪽({1\over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\m^{2} \phi ^{2} \{2}-{{{{nambda \over 4!}}\phi ^{4}\오른쪽)}}}.}$

이러한 Green의 모든 기능은 생성함수에서 J(x)((x)의 지수화를 확대함으로써 얻을 수 있다.

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}\phi e^{i\int d^{4}x\좌({1 \over 2}\partial ^{\mu \partial _{\mu }\pi -{m^} \{2}-{lamba \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \오른쪽)}}=Z[0]\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {1}{n!}}}\langle \Oomega{\mathcal {T}\{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\} \Oomega \angle .}$

Wick 로테이션은 시간을 가상으로 만들기 위해 적용될 수 있다. 서명을 (+++)로 변경하면 4차원 유클리드 공간에 통합된 φ⁴ 통계 역학(statistical mechanics가 제공되며,

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}\phi e^{-\int d^{4}x\{1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \compa \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}.}$

일반적으로 이것은 고정된 모멘텀a로 입자의 산란에도 적용되며, 이 경우 푸리에 변환이 유용하여 대신 주어진다.

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int d^{4}p\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+{\lambda \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}\right)}.}$

여기서 ${\displaystyle \Delta }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \delta (x)}$은 Dirac 델타 함수다.

이 기능 적분을 평가하기 위한 표준 트릭은 그것을 기하급수적인 요인의 산물로 쓰는 것이다, 도식적으로,

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-\lambda /4!\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right].}$

두 번째 두 지수 인자는 파워 시리즈로 확장될 수 있으며, 이 확장의 조합은 그래픽으로 표현될 수 있다. λ = 0의 적분은 무한히 많은 초등 가우스 적분들의 산물로 취급할 수 있으며, 그 결과는 다음과 같은 파인만 규칙을 사용하여 계산한 파인만 도표의 합으로 표현할 수 있다.

• n-포인트 유클리드 그린 함수에서$$ 각 필드 $\varphi {\displaystyle \stackrel{}{}}$ ~${\displaystyle }$(${\displaystyle \stackrel{}{}p}$) ${\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)}$은 그래프에서 외부 선(반쪽 엣지)으로 나타내며, 모멘텀 p와 연관된다.
• 각 꼭지점은 인자 - 인자로 표현된다.
• 주어진 순서 λ에서^k 외부 선과 k 정점이 있는 모든 도표는 각 정점으로 흐르는 모멘타가 0이 되도록 구성된다. 각 내부 라인은 인자 1/(q² + m²)로 표시되며, 여기서 q는 해당 라인을 통과하는 모멘텀이다.
• 어떤 구속되지 않는 순간은 모든 가치에 걸쳐 통합된다.
• 결과는 그래프의 선과 정점을 연결성을 변경하지 않고 재배열할 수 있는 방법의 개수인 대칭 계수로 나뉜다.
• 외부 라인이 없는 연결된 하위 그래프인 "진공 버블"을 포함하는 그래프를 포함하지 마십시오.

마지막 규칙은 $Z{\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle {\tilde {\Z}[0]}$로 나누는 효과를 고려한다$.$ 밍코프스키-공간 파인만 규칙은 각 꼭지점이 -${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle -i\lambda$ $\}$로 표현되는 반면, 각 내부 선은 인자 i/(q-m²² + i ε)로 표현된다는 점을 제외하면 유사하며, 여기서 ε 용어는 밍코프스키-공간 가우스 적분을 수렴하는 데 필요한 작은 위크 회전을 나타낸다.

리노말화

파인만 그래프에서 "루프 통합"이라고 불리는 구속되지 않은 모멘텀에 대한 통합은 일반적으로 갈린다. 이것은 보통 리노말화에 의해 처리되는데, 이것은 원래의 라그랑지안과 카운터터로부터 구성된 도표가 유한한 방식으로 라그랑지안에 상이한 카운터테어를 추가하는 절차다.^[2] 이 과정에서 중성화 눈금이 도입되어야 하며 연결 장치 상수와 질량이 이에 의존하게 된다. 앞서 언급한 란다우 극으로 이어지는 것은 이러한 의존이며, 컷오프를 유한하게 유지해야 한다. 또는 컷오프가 무한대로 갈 수 있도록 허용한다면, 새로워진 커플링이 0까지 달릴 경우에만 랜도 폴을 피할 수 있어 이론이 대수롭지 않게 된다.^[3]

자연대칭파단

m이² 음성으로 변하면 흥미로운 특징이 나타날 수 있지만, λ은 여전히 양성으로 나타난다. 이 경우 진공상태는 두 개의 가장 낮은 에너지 상태로 구성되며, 각각의 상태는 자연적으로 원래의 이론의 Z 지구₂ 대칭성을 깨뜨린다. 이것은 도메인 벽과 같은 흥미로운 집단국가의 출현으로 이어진다. O(2) 이론에서, 바쿠아는 원 위에 놓여 있을 것이고, 하나를 선택하는 것은 자연스럽게 O(2) 대칭을 깨뜨릴 것이다. 연속적인 대칭이 깨지면 골드스톤 보손으로 이어진다. 이러한 유형의 자발적 대칭 파괴는 힉스 메커니즘의 필수적인 구성요소다.^[4]

이산 대칭의 자발적 파괴

자발적 대칭이 깨지는 것을 볼 수 있는 가장 단순한 상대론적 시스템은 라그랑지안이 있는$$ 단일 스칼라장 ${\displaystyle \varphi }$을 가진 시스템이다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}-{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}\equiv {\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}-V(\varphi ),}$

여기서 > ${\displaystyle \mu ^{2}]0$$}$ 및

${\displaystyle V(\varphi )\equiv -{\frac {1}{1}{1}\fraci ^{2}\varphi ^{2}+{1}{1}}\lambda \varphi ^{4}.}$

$\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$에 대한 가능성을 최소화하면

${\displaystyle V'(\varphi _{0}=0\Long 왼쪽 오른쪽 화살표 \varphi \{0}^{0}}\equiv v^{2}={\frac {\mu ^{2}}{\lamba }}}}}.}$

우리는 이제 이 최소의 글쓰기를 중심으로 영역을 확장한다.

${\displaystyle \varphi(x)=v+\vma(x),}$

그리고 우리가 받는 라그랑쥬를 대신해서

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )=\underbrace {-{\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}} _{\text{unimportant constant}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}[(\partial \sigma )^{2}-({\sqrt {2}}\mu )^{2}\sigma ^{2}]} _{\text{massive scalar field}}+\underbrace {(-\lambda v\sigma ^{3}-{\frac {\lambda }{4}}\sigma ^{4})} _{\text{self-interactions}}.}$

스칼라 ${\displaystyle \sigma }$이(가) 현재 양의 질량 용어를 가지고$$ 있음을 알 수 있다.

진공 기대치의 관점에서 생각하면 대칭이 자연적으로 깨졌을 때 어떤 일이 일어나는지 이해할 수 있다. 원래의 라그랑지안은 $Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}$$대칭$$ $\phi {\displaystyle }$→ -${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \varphi \rightarrow$ -$\varphi$ $\}\}$이후부터 불변이었다.

${\displaystyle \langle \varphi \Oomega \rangele =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^2}}{\lambda }}}}}}}}$

둘 다 미니마(minima)이며, 두 개의 다른 vacua: ${\displaystyle \Omega {\mathrm{}}_{}}$± ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \Oomega _{\pm }\rangele$ }이$($가) 있어야$$ 한다.

${\displaystyle \langle \Oomega _{\pm }\varphi \Oomega _{\pm }\rangele =\pm {\sqrt{\frac {6\mu ^2}}{\lambda }}}}}}}.}$

$Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$대칭은$$ $\phi {\displaystyle }$→ -${\displaystyle \phi }$ φ$$\$displaystyle \varphi \varrow$ -$\$${\displaystyle varphi{\mathrm{}}_{}}$ $\}\}$을(를) 사용하기 때문에 ${\displaystyle \Omega {\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ↔ ${\displaystyle \leftrightarrow {}_{}}$\$$\$style \rangele \riftarrow \Oomega _{-}}\l }}}}$도 함께 사용해야 한다. 그 이론에 대해 가능한 두 개의 바쿠아는 동등하지만, 하나를 선택해야 한다. 새로운 ${\displaystyle {라그랑기안}_{}}$에서는 $Z{\displaystyle {}_{}}$ 2 ${\$개의 대칭이$$ 사라진 것 같지만, 현재는 $\sigma {\displaystyle }$→ -${\displaystyle \sigma }$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{v}.}$ ${\displaystyle \sigma \rigarrow -\sigma -2v.}$이것은$$ 자연적으로 깨진 대칭의 일반적인 특징이다: 진공상태는 아니지만 실제로 깨지지 않는다. 그저 감춰진 채, 종종 비선형적인 방법으로만 깨달은 라그랑지안.^[5]

정확한 솔루션

형식에 쓰여진 이론의 운동 방정식에 대한 정확한 고전적 해법이 존재한다.

${\displaystyle \varphi +\mu _{0}^{2}\varphi +\varphi ^{3}=0}$

질량 없는 ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mu _{0}=0}$ 케이스에$$ 대해 다음과 같이^[6] 기록할 수 있음

${\displaystyle \varphi(x)=\pm \mu \leftda\frac {2}{\\nda }}^{1 \cdm {sn}{\cdot x+\the-1)}$

${\displaystyle \mathrm{s}}$ ${\$$}}}$ Jacobi$$ 타원 함수 및 ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \,\mu,\teta}$ 두 개의$$ 통합 상수, 단, 다음과 같은 분산 관계가 유지될 경우

${\displaystyle p^{2}=\mu ^{2}\leftda\frac {}{2}}\오른쪽)^{1 \over 2.}}$

흥미로운 점은 질량이 없는 방정식으로 시작했지만 정확한 해법은 거대한 해법과 적절한 분산 관계를 가진 파동을 묘사하고 있다는 것이다. 질량 항이 0이 아닌 경우

${\displaystyle \varphi (x)=\pm {\sqrt {\frac {2\mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,{\sqrt {\frac {-\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}{-\mu _{0}^{2}-{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}\right)}$

현재 분산 관계인 것.

${\displaystyle p^{2}=\mu_{0}^{2}+{4}{\frac \{0}^{0}^{0}}+{0}}{0}^{0}^{4}}}}}}}}{0}^{0}}}}+{4}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

마지막으로, 대칭이 깨지는 경우는

${\displaystyle \varphi (x)=\pm v\cdot {\rm {dn}(p\cdot x+\theta ,i),}$

$v{\displaystyle }$= ${\displaystyle \sqrt{\frac{{}_{}^{}}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{{0\mathrm{}}_{}^{}}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{{\mathrm{}}_{}^{}}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{{}_{}^{}}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{\lambda }{}}}$ ${\$이며, 다음과$$ 같은 분산 관계는 유지된다.

${\displaystyle p^{2}={\frac {\fracda v^{2}}{2}}.}$

이러한 파동 해결책은 우리가 잘못된 질량 기호를 가진 방정식으로 시작했음에도 불구하고 분산 관계가 올바른 것을 가지고 있기 때문에 흥미롭다. 게다가 자코비 함수 ${\displaystyle d\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{d}}$ $displaystyle \,{\rm {dn}\!}$은(는) 실제$$ 0이 없으므로 필드는 결코 0이 아니지만 대칭의 자발적 분리를 설명하면서 처음에 선택된 주어진 상수값을 중심으로 이동한다.

$\phi {\displaystyle }$= ${\displaystyle \phi }$ (${\displaystyle }$( )${\displaystyle \varphi =\varphi(\xi )},$ $\xi$ = ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \cdot }$ x ${\displaystyle \xi =p\cdot$ x$}$ 형식으로 솔루션을 구할 수 있다는 점에 주목하면 고유성의 증거를 제공할 수 있다$.$ 그런 다음 부분 미분 방정식은 적절한 분산 관계를$$ 만족하는 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p$}$과(와) 함께 자코비 타원 함수를 정의하는 일반적인 미분 방정식이 된다.

참고 항목

• 스칼라장 이론
• 양자소변성
• 란다우 폴
• 리노말화
• 힉스 메커니즘
• 골드스톤보손
• 콜먼-와인버그 포텐셜

참조

추가 읽기

• t Hooft, G, "양자장 이론의 개념적 기초"(온라인 버전)
• Bazghandi, Mustafa (August 2019). "Lie symmetries and similarity solutions of phi-four equation". Indian Journal of Mathematics. 61 (2): 187–197.