무복제 정리

물리학에서, 복제 금지 정리는 양자 컴퓨팅 분야에서 깊은 의미를 갖는 임의의 알려지지 않은 양자 상태의 독립적이고 동일한 복사본을 만드는 것이 불가능하다고 말한다.이 정리는 James ^[1]Park에 의해 쓰여진 1970년 No-Go 정리의 발전으로, 그는 단순하고 완벽한 비파괴 측정 체계가 존재할 수 없다는 것을 증명한다. (같은 결과는 1982년 Wootters와 Zurek^[2], 그리고^[3] 같은 해에 Dieks에 의해 독립적으로 도출될 것이다.)클로닝은 특히 동일한 인자를 가진 분리 가능한 상태의 생성을 의미하기 때문에 앞서 언급한 이론들은 한 시스템의 상태가 다른 시스템의 상태와 얽히는 것을 배제하지 않는다.예를 들어 제어된 NOT 게이트와 Walsh-Hadamard 게이트를 사용하여 무클로닝 정리를 위반하지 않고 2개의 큐비트를 얽을 수 있습니다.이는 얽힌 상태의 서브시스템에 대해 명확하게 정의된 상태가 없기 때문입니다.무복제정리(일반적으로 이해되는)는 순수한 상태만을 다루는 반면 혼합 상태에 대한 일반화된 설명은 무브로드캐스트 정리라고 알려져 있다.

복제 금지 정리는 시간 역행 이중인 삭제 금지 정리를 가지고 있다.이것들은 함께 범주 이론, 특히 단검 콤팩트 ^[4]^[5]범주라는 관점에서 양자 역학의 해석을 뒷받침한다.범주 양자 역학으로 알려진 이 공식은 양자 정보 이론의 논리로서 양자 역학에서 선형 논리로의 연결을 가능하게 한다.

역사

아셀 Peres[6]와 데이빗 Kaiser,[7]에 따르면 no-cloning 정리의 1982년 입증 Wootters과 Zurek[2]과 Dieks[3]으로 출판 닉 Herbert[8]의 초광속의. 의사 소통 장치 양자 얽힘이라...사용하기 위한 제안에 의해, 그리고 지안 카를로 Ghirardi[9]18개월 전 proo에 정리 입증했다 나타났기 때문이다.Wootters에 의해 f,주렉은 심판에게^[9] (편집자의 편지로 증명된) 해당 제안을 보고한다.그러나 오르티고소는^[10] 2018년 양자역학에서 단순한 비방해 측정이 부족하다는 해석과 함께 완벽한 증거가 이미 1970년 ^[1]박 교수에 의해 전달됐다고 지적했다.

정리와 증명

공통의 Hilbert $H=H_{A}=H_{B}$ $H=H_{A}=H_{B}$ $H=H_{A}=H_{B}$ H $H=H_{A}=H_{B}$ $H=H_{A}=H_{B}$ H B $H=H_{A}=H_{B}$ {\ $displaystyle$ H $= H_$ {A} = $H_$ B}} 를 가지는 2개의 양자 시스템 A 와 B 가 있다고 가정합니다.양자 $|e\rangle _{B}$ A 의 상태 $|\phi \rangle _{A}$ A $|\phi \rangle _{A}$ \ $rangle _{$ A $|\phi \rangle _{A}$ } )를 복사하는 절차를 갖습니다 $|e\rangle _{B}$ B, 임의의 원상태의 $|\phi \rangle _{A}$ A(\ $displaystyle\phi\rangle_{A})$ (브라켓 표기 참조).즉, 상태 $|\phi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}$ A $|\phi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}$ e $|\phi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}$ B \ $displaystyle \ phi$ \ $rangle$ _ { $A$ } \ $otimes$ e \ $rangle _$ { B $|\phi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}$ , $|\phi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}$ up $|\phi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}$ B \ $displaystyle$ \ $phi$ \ $rangle _$ { $A$ } $|\phi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}$ 。또는 공백으로, 사전 지식이 없는 $|\phi \rangle _{A}$ A $(\$ 와 독립적으로 $|e\rangle _{B}$ e $(\$ e $\rangle_{B})$ 를 입력합니다.

초기 복합 시스템의 상태는 다음 텐서 곱으로 설명된다.

\displaystyle \phi \rangle _{A}\otimes e\rangle _{B}.}

(다음에서는 $"\displaystyle\otimes"$ 기호를 $\otimes$ 생략하고 암묵적으로 유지합니다).

복합 시스템을 조작할 수 있는 양자 연산은 두 가지뿐입니다.

관찰을 수행할 수 있습니다. 그러면 시스템이 관찰 가능한 고유 상태로 불가역적으로 축소되어 큐비트에 포함된 정보가 손상됩니다.이건 분명히 우리가 원하는게 아니야.
또는 결합 시스템의 해밀턴을 제어할 수 있으므로, 시간 독립형 해밀턴의 경우 시간 $U(t)=e^{-iHt/\hbar }$ 연산자 U $U(t)=e^{-iHt/\hbar }$ $U(t)=e^{-iHt/\hbar }$ - $U(t)=e^{-iHt/\hbar }$ $U(t)=e^{-iHt/\hbar }$ t / ${\$ { $style$ U $(t$ ) = $e^$ { - i $Ht$ / \ $hbar }$ 。 일정 $t_{0}$ 고정 $}$ 까지 $t_{0}$ 진화하면 $t_style$ 이 생성됩니다. $laystyle$ H $\otimes$ H $H\otimes H$ 결합된 시스템의 힐베르트 공간.그러나 이러한 단일 연산자 U는 모든 상태를 복제할 수 없습니다.

복제 금지 정리는 다음 질문에 부정적으로 답합니다. $H_{A}\otimes H_{B}=H\otimes H$ B가 시스템 A의 상태에 관계없이 항상 시스템 A의 상태로 전개되는 HA $H_{A}\otimes H_{B}=H\otimes H$ $H_{A}\otimes H_{B}=H\otimes H$ $= H$ ⊗ H $H_{A}\otimes H_{B}=H\otimes H$ H ⊗ H $h$ H _ { A } \ $otimes$ H $b$ H _ { B } = H \ $otimes$ H $H_{A}\otimes H_{B}=H\otimes H$ ,에 $H_{A}\otimes H_{B}=H\otimes H$ 하는 유니터리 연산자 U를 구축할 수 있는가?

정리:H ised H $H\otimes H$ $|\phi \rangle _{A}$ \ $H\otimes H$ $display$ $style$ H \ $otimes$ $H\otimes H$ H { $A$ \ $|e\rangle _{B}$ $|e\rangle _{B}$ \ $phi$ \ rangle _ { A $}$ in $|e\rangle _{B}$ B \ display $style$ e \ $rangle$ _ { $B$ $h$ H \ $display style$ H} $H\otimes H$ 에는 유니터리 연산자 U가 없습니다.

\displaystyle U(\phi \rangle _{A} e\rangle _{B})=e^{i\alpha(\phi, e)} \phi \rangle _{A} \phi \rangle _{B}

${\(\displaystyle\phi)$ $e$ e $(\displaystyle$ e $e$ 에 따라 $(\displaystyle\alpha)$ 에 $\alpha$ 대해 지정합니다.

추가 위상 인자는 양자역학 상태가 힐버트 공간의 정규화된 벡터를 위상 인자에 대해서만 정의한다는 사실을 표현한다. 즉, 투영화된 힐버트 공간의 요소이다.

정리를 증명하기 위해 힐베르트 $공간$ H $(\displaystyle$ $|\phi \rangle _{A}$ H $H$ 에서 임의의 상태 쌍 $|\psi \rangle _{A}$ $|\phi \rangle _{A}$ A $(\$ $|\psi \rangle _{A}$ \ $phi \rangle$ _ ${$ $A$ })와 $|\psi \rangle _{A}$ A(\ $displaystyle \psi$ \ $rangle$ _{A $|\phi \rangle _{A}$ $|\psi \rangle _{A}$ })를 선택한다.U는 유니터리여야 하기 때문이다.

\displaystyle \phi \rangle e\equiv \rangle e_{A}\rangle e_{B}\psi \rangle _{A} e\rangle _{B}=\langle \phi _{A}\rangle e_{B}U^{\dagger}U \psi \rangle _{A} e\rangle _{B}=e^{-i(\phi,e)-\alpha(\psi,e)}\langle \phi _{A}\langle \phi _{B}\psi \rangle _{A}\psi \rangle _{B}\equiv e^{-i(\phi,e)-\alpha(\psi,e))}\caple \phi \psi \rangle ^{2}.}

양자 $|e\rangle$ e ${\$ { $display$ e \ $rangle$ }는 $|e\rangle$ 정규화된 것으로 간주되므로

\displaystyle \phi \rangle ^{2}= \displaystyle \phi \psi \rangle .}

이는 $|\langle \phi |\psi \rangle |=1$ $\phi =e^{i\beta }\psi$ $|\langle \phi |\psi \rangle |=1$ \ $displaystyle \ phi$ \ $rangle =$ 1 $또는$ $|\langle \phi |\psi \rangle |=0$ $=$ 0 \ $displaystyle \ phi$ \ $rangle$ = 0 $|\langle \phi |\psi \rangle |=0$ 을 의미합니다.따라서 코시-슈바르츠 부등식에 $\phi =e^{i\beta }\psi$ $=$ e $β$ = \ phi = \ $phi style$ = { displaystystyle $|\langle \phi |\psi \rangle |=0$ $=$ phi\ phi = phi = phi\phi = 0 입니다 $.$ $(\displaystyle$ \psi $\psi$ 단, 두 개의 임의의 상태에 대해서는 해당되지 $\psi$ .따라서 단일 범용 U는 일반 양자 상태를 복제할 수 없습니다.이것은 복제 금지 정리를 증명한다.

큐비트를 예로 들어 보겠습니다.이 값은 확률 진폭(1로 정규화)이라고 하는 2개의 복소수, 즉 3개의 실수(2개의 극각과 1개의 반지름)로 나타낼 수 있습니다.복사 및 붙여넣기 작업을 사용하여 고전적인 컴퓨터에서 세 개의 숫자를 복사하는 것은 사소한 일이지만(최대 유한 정밀도), 큐비트가 편광되도록(예: Hadamard 양자 게이트에 의해) 단일 변환되는 경우(단일 변환이 투영 등각) 문제가 나타난다.이 경우 큐비트는 2개의 실수(극각 1개, 반지름 1개)만으로 나타낼 수 있으며, 3번째 값은 이러한 표현에서 임의일 수 있다.그러나 큐비트(예를 들어 편광 부호화 광자)의 실현은 큐비트 정보 지원 전체를 "구조" 내에 저장할 수 있다.따라서 무복제 정리에 따라 임의의 양자 상태를 복제할 수 있는 단일 보편적 유니터리 진화 U는 없다.변환된 큐비트(초기) 상태에 의존해야 하므로 범용적이지 않습니다.

일반화

정리 진술에서, 두 가지 가정이 이루어졌다: 복사할 상태는 순수한 상태이고 제안된 복사기는 단일 시간 진화를 통해 작용한다.이러한 가정은 일반성의 손실을 초래하지 않습니다.복사할 상태가 혼합 상태일 경우 ^{[clarification needed]}정제할 수 있다.또는 혼합 상태와 직접적으로 작용하는 다른 증거를 제공할 수 있습니다. 이 경우, 정리는 종종 무방송 ^[11]^[12]정리라고 알려져 있습니다.마찬가지로, 임의의 양자 연산은 안킬라를 도입하고 적절한 단일 ^{[clarification needed]}진화를 실시함으로써 구현될 수 있다.따라서 복제 금지 정리는 완전한 일반성을 유지한다.

결과들

복제 금지 정리는 양자 상태에 대한 특정 고전적 오차 보정 기술의 사용을 막습니다.예를 들어 양자 계산 중에 상태의 백업 복사본을 생성하여 후속 오류를 수정하는 데 사용할 수 없습니다.오류 수정은 실용적인 양자 컴퓨팅에 필수적이며, 한동안 이것이 가능한지 여부가 불확실했습니다.1995년에 쇼어와 스티븐은 복제 금지 정리를 우회하는 최초의 양자 오류 수정 코드를 독립적으로 고안함으로써 이것이 가능하다는 것을 보여주었다.
마찬가지로, 복제는 양자 상태를 고전적인 비트의 시퀀스로 변환하고, 그 비트를 어떤 새로운 위치에 복사하고, 새로운 위치에 원래 양자 상태의 복사본을 다시 만드는 것이 불가능하다는 무이동 정리를 위반할 것이다.이것은 양자 상태를 한 장소에서 파괴하고 다른 장소에서 정확한 복사본을 재현할 수 있는 얽힘 보조 텔레포트와 혼동해서는 안 됩니다.
무복제 정리는 양자 얽힘이 (초광속이든 느린 것이든) 고전적인 정보를 전송하는데 사용될 수 없다는 무통신 정리에 의해 암시된다.즉, 복제는 얽힘과 함께 그러한 의사소통을 가능하게 할 것이다.이를 확인하기 위해 EPR 사고 실험을 고려하고 양자 상태를 복제할 수 있다고 가정합니다.벨 상태가 최대로 얽힌 부분이 Alice와 Bob에게 전달된다고 가정합니다.Alice는 다음과 같은 방법으로 Bob에게 비트를 전송할 수 있습니다. Alice가 "0"을 전송하려면 z 방향으로 전자의 스핀을 측정하여 밥의 상태를 $|z+\rangle _{B}$ z + $|z+\rangle _{B}$ B(\ $displaystyle$ z $+\rangle$ _ ${B})$ $|z-\rangle _{B}$ z - $|z-\rangle _{B}$ B(\ $displaystyle z-\rangle$ _ ${B$ 중 $|z+\rangle _{B}$ 로 축소하여 "1"을 전송하지 않습니다.Bob은 전자 상태의 복사본을 많이 만들고 z 방향으로 각 복사본의 스핀을 측정합니다.Bob은 모든 측정에서 동일한 결과가 나오면 Alice가 "0"을 전송했음을 알 수 있습니다. 그렇지 않으면 측정 $|z+\rangle _{B}$ z + $|z+\rangle _{B}$ B {\ $displaystyle$ z+\ $rangle _{B$ }} $|z-\rangle _{B}$ z - $|z-\rangle _{B}$ B {\ $displaystyle z-\rangle _{$ B $|z-\rangle _{B}$ }}의 확률이 동일합니다.이렇게 하면 앨리스와 밥이 서로 고전적인 비트를 통신할 수 있게 됩니다(공간과 같은 분리를 통해 인과관계를 위반할 수 있습니다).
양자 상태는 완벽하게 ^[13]구별할 수 없다.
복제 금지 정리는 블랙홀에 대한 홀로그래픽 원리를 사건의 지평선에 있는 것과 블랙홀 내부에 있는 것, 두 개의 정보가 있다는 것을 의미하는 것으로 해석하는 것을 막는다.이는 블랙홀 상호보완성과 같은 보다 급진적인 해석으로 이어진다.
복제 금지 정리는 모든 단검 콤팩트 카테고리에 적용된다: 이런 종류의 ^[14]사소한 카테고리에 대한 보편적인 복제 형태론은 없다.비록 이 정리가 이 범주의 정의에 내재되어 있지만, 그렇게 보는 것은 사소한 일이 아니다; 이 범주는 집합과 관계의 범주, 그리고 코보디즘의 범주를 포함하여 유한 차원 힐베르트 공간이 아닌 것들을 포함하기 때문에 통찰력이 중요하다.

불완전한 복제

알려지지 않은 양자 상태의 완벽한 복사는 불가능하지만 불완전한 복사는 가능하다.이는 클론화할 시스템에 더 큰 보조 시스템을 결합하고 결합된 시스템에 단일 변환을 적용함으로써 수행할 수 있습니다.유니터리 변환이 올바르게 선택되면 결합된 시스템의 여러 구성 요소가 원래 시스템의 대략적인 복사본으로 진화합니다.1996년, V. Buzek과 M.힐러리는 범용 복제 기계가 놀랍게도 5/6의 높은 충실도로 ^[15]알려지지 않은 상태의 복제를 만들 수 있다는 것을 보여주었다.

불완전한 양자 복제는 양자 정보 과학에서 특히 양자 암호 프로토콜에 대한 도청 공격으로 사용될 수 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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기타 소스

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