자가합격 연산자

수학에서 내부 제품${\displaystyle }$product${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \cdot }$ ,${\displaystyle }$⋅, \ { { $\displaystyle \langle \cdot \cdot \rangle }}($동일하게, 유한차원 사례에서 은둔자 연산자)를 가진 무한 차원 복합 벡터 공간 V의 자기 어드포인트 연산자는 그 자체인 선형 지도 A(V에서 자기 자신까지)이다. V가 주어진 직교 기준의 유한 차원이라면, 이는 A의 행렬이 은둔자 행렬인 조건, 즉 그것의 결합 전치 A와^∗ 같다. 유한차원 스펙트럼 정리에 의해 V는 이 기준에 상대적인 A의 행렬이 실제 숫자에 입력된 대각 행렬이 되도록 직교적인 기초를 가지고 있다. 이 글에서는 임의의 차원의 힐버트 공간에 있는 운영자들에게 이 개념을 일반화하는 것을 고려한다.

자기 적응 연산자는 기능 분석과 양자 역학에서 사용된다. 양자역학에서 이들의 중요성은 양자역학의 디락-본 노이만 공식화에 있으며, 위치, 운동량, 각운동량 및 스핀과 같은 물리적 관측 가능성은 힐버트 공간의 자기 적응 연산자에 의해 표현된다. 특히 중요한 것은 Hamiltonian $연산자{\displaystyle \stackrel{}{}}$H$^$ {\$displaystyle${\$hat {H}}$에 의해 정의됨

${\displaystyle {\hat{H}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}:\nabla ^{2}\psi +V\psi ,}$

관측 가능한 것은 실제 잠재적 영역 V에서 질량 m 입자의 총 에너지와 일치한다. 차등 연산자는 무제한 연산자의 중요한 등급이다.

무한 차원 힐버트 공간의 자기 적응 연산자의 구조는 본질적으로 유한 차원 사례와 유사하다. 즉, 사업자는 단위가 실제 가치의 곱셈 사업자와 동등한 경우에만 자가 적응한다. 적절한 수정으로, 이 결과는 무한대의 공간에 있는 무제한 연산자로 확장될 수 있다. 어디에서나 정의되는 자기선도 운영자는 반드시 경계되기 때문에, 무한의 경우 도메인 문제에 더욱 주의를 기울일 필요가 있다. 이것은 아래에 더 자세히 설명되어 있다.

정의들

Let ${\displaystyle A}$ be an unbounded (i.e. not necessarily bounded) operator with a dense domain ${\displaystyle \mathop {\text{Dom}} A\subseteq H.}$ This condition holds automatically when ${\displaystyle H}$ is finite-dimensional since ${\displaystyle \mathop {\text{Dom}} A=H}$ for eve유한 차원 공간에 선형 연산자를 배치한다.

내부 제품 ${\displaystyle ⟨}$ ,${\displaystyle \cdot }$ {${\displaystyle }${ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \angle }$을(를) 두 번째 인수에 결합 선형으로 한다. 이것은 복잡한 힐버트 공간에만 적용된다. By definition, the adjoint operator ${\displaystyle A^{*}}$ acts on the subspace ${\displaystyle \mathop {\text{Dom}} A^{*}\subseteq H}$ consisting of the elements ${\displaystyle y}$ for which there is a ${\displaystyle z\in H}$ such that ${\displaystyle \l$$Angle$Ax$,y\rangele$=\${\displaystyle \mathrm{langle}}$$$x,$z\rangele ,}$ 매 $x$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \text{Dom}}$ ${\displaystyle .}$ ${\displaystyle x\in \mathop {\text{Dom}$${\displaystyle A}$$.}$ 설정$$ $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= z ${\displaysty$ A$^{*y=z$}는 선형$$ 연산자 $A{\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$ ∗.{{{{\$displaysty$. . . . $.{\$displaystanger를 정의한다.$}$

The graph of an (arbitrary) operator ${\displaystyle A}$ is the set ${\displaystyle G(A)=\{(x,Ax)\mid x\in \mathop {\text{Dom}} A\}.}$ An operator ${\displaystyle B}$ is said to extend ${\displaystyle A}$ if ${\displaystyle G(A)\subseteq G(B).$$}$ ${\displaystyle A\subseteq$ B$.}$로 기록됨

조밀하게 정의된 연산자 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$을(를) 대칭이라고$$ 한다.

${\displaystyle \langle Ax,y\langle =\langle x,Aay\angle ,}$

${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $x{\displaystyle }$, y ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \text{Dom}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle x,y\in \mathop {\text{Dom}A.}$와 같이 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ A ${\displaystyle {\ast }^{}}$. ${\displaysty$A$\subseteq$ A$^{*}$일 경우에만 대칭이다.$}$

The unbounded densely defined operator ${\displaystyle A}$ is called self-adjoint if ${\displaystyle G(A)=G(A^{*}).}$ Explicitly, ${\displaystyle \mathop {\text{Dom}} A=\mathop {\text{Dom}} A^{*}}$ and ${\displaystyle A=A^{*}.}$ Every self-adjoint operator 대칭이다. $반대$로 ${\displaystyle \text{Dom}}$ dom ${\displaystyle A}$= ${\displaystyle \text{Dom}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$$$${\displaystyle {\ast }^{}}$ {$${ {\$displaystyle \mathop {\text{Dom} A=\mathop {\text}A^{*}}$는 자가 적응한다$.$ 물리학에서 에르미트어라는 용어는 대칭뿐만 아니라 자기 적응 연산자를 똑같이 가리킨다. 그 둘 사이의 미묘한 차이는 일반적으로 간과된다.

A subset ${\displaystyle \rho (A)\subseteq \mathbb {C} }$ is called the resolvent set (or regular set) if for every ${\displaystyle \lambda \in \rho (A),}$ the (not-necessarily-bounded) operator ${\displaystyle A-\lambda I}$ has a bounded everywhere-defined inverse. $\sigma {\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\displaystyle \setminus \rho }$ ( A${\displaystyle }$) ${\displaystyle \sigma (A)=\mathb {C} \setminus \rho (A)}$의 보완을 스펙트럼이라고 한다$$. 유한 치수에서 $\sigma {\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \sigma (A)}$은 고유값으로만 구성된다$$.

경계 자체 승인 연산자

경계 연산자 A는 다음과 같은 경우 자가 적응한다.

$\displaystyle \langle Ax\mid y\angle =\langle x\mid Ay\angle }$

H의 모든$$x {\$displaystyle$x$$} $및{\displaystyle }$y {\$displaystyle$ y$$$}$에 대해 A가 대칭이고 $D{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ ${\displaystyle \mathrm{m}(A}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathrm {Dom}(A)=$$H$}, 그럼 헬링거-토우플리츠 정리, A는 반드시 경계해야 한다.^[1]

힐버트 공간 H의 모든 경계 선형 연산자 T : H → H는 $T{\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T=A+iB}$ 형식으로 작성할 수 있으며, 여기서 A : H → H 및 B : H → H는 경계 자체 적응 연산자 입니다.^[2]

경계 자체 승인 연산자의 속성

H를 힐버트 공간으로 하고 $A{\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ H ${\displaystyle A:$$H\to H}$은(는) $D{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle }$A )${\displaystyle }$= ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {D} \left(A\right)=$에 정의된 경계 자체 승인 선형 연산자임$$$H}$ $.$

• ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle h}$, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\$은(는) 모든 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaysty h\in H}$에 대해 진짜다$.$^[3]
• ${\displaystyle \Vert }$= ${\displaystyle \mathrm{supp}}$ {$$${\displaystyle ⟨}$ h${\displaystyle }$, A ${\displaystyle h}$$$${\displaystyle ⟩}$ :${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle h}$ ‖ : ‖ h ${\displaystyle \Vert }$ = ${\displaystyle 1\}}$ ${\$ h${\displaystyle ,}$ $Ah\rangele :\ h\ =1\$$right$^[3] \opername {dism.
• ${\displaystyle \mathrm{Im}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Im}$ A$}$이$($가) 나타내는 A의 이미지가 H에 밀도가 있으면 $A{\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle \mathrm{Im}}$ ${\displaystyle }$ A ${\displaystytle$ $:$$H\to \operatorname {Im} A}$은(는) 변환할 수 없음.
• A의 고유값은 실제 값이고 다른 고유값에 속하는 고유 벡터는 직교한다.^[3]
• If ${\displaystyle \lambda }$ is an eigenvalue of A then ${\displaystyle \lambda \leq \ A\ }$; in particular, ${\displaystyle \lambda \leq \sup \left\{ \langle h,Ah\rangle :\ h\ \leq 1\right\}}$.^[3]
  • In general, there may not exist any eigenvalue ${\displaystyle \lambda }$ such that ${\displaystyle \lambda =\sup \left\{ \langle h,Ah\rangle :\ h\ \leq 1\right\}}$, but if in addition A is compact then there necessarily exists an eigenvalue ${\displaystyle \lambda }$, equal to either ${\displaystyle \ A\ }$ or ${\displaystyle -\ A\ }$,^[4] such that ${\displaystyle \lambda =\sup \left\{ \langle h,Ah\rangle :\ h\ \leq 1\right\}}$,^[3]
• 경계가 있는 자기 결합 선형 연산자의 시퀀스가 수렴되는 경우, 한계는 자가 결합이다.^[2]
• There exists a number ${\displaystyle \lambda }$, equal to either ${\displaystyle \ A\ }$ or ${\displaystyle -\ A\ }$, and a sequence ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq H}$ such that ${\displaystyle \lim _{i\$$\infit }Ax_{i}-\lambda x_{i}=0}$ 및$$ $\Vert {\displaystyle }$ x ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$\$x_{i}\$=1}에 $모든$ i에 대해$$.^[4]

대칭 연산자

참고: 대칭 연산자는 위에서 정의된다.

A는 대칭 ⇔ A⊆A이다^*.

무제한으로$$ 조밀하게 정의된 $연산자{\displaystyle }$ A ${\displaystyle$ A$}$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ $∗.$ {\$displaystyle$ A\$subseteq$ A$^{*}}$ 실제로 if 파트는 부선 연산자의 정의에서 직접 따른다. For the only-if-part, assuming that ${\displaystyle A}$ is symmetric, the inclusion ${\displaystyle \mathop {\text{Dom}} (A)\subseteq \mathop {\text{Dom}} (A^{*})}$ follows from the Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz inequality: for every ${\displaystyle x,y\in \mathop {\text{D$$옴}}(A),}$

$\displaystyle \langle Ax,y\langle = \langle x,Aay\angle \leq \x\cdot \ Ay\ .}$

동등 $A{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{Dom}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( A${\displaystyle {}_{}}$) ${\$은 동등성으로 인해 유지된다$$.

${\displaystyle \langle x,A^{*}y\rangle =\langle Ax,y\langle =\langle x,Aay\angle ,}$

for every ${\displaystyle x,y\in \mathop {\text{Dom}} A\subseteq \mathop {\text{Dom}} A^{*},}$ the density of ${\displaystyle \mathop {\text{Dom}} A,}$ and non-degeneracy of the inner product.

더 헬링거-토우플리츠 정리에서는 도처에 정의된 대칭 연산자가 경계되고 자기 적응을 한다고 한다.

A는 대칭 ⇔ ⇔ xx <Ax,x> < R이다.

단, 정의(위 참조)에서 직접 이어지는 경우는 다음과 같다. if-part를 입증하기 위해, 내부 제품 ${\displaystyle ⟨}$, ,${\displaystyle }$⟩ ${\displaystyle ⟩}$ { ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \angle }}$이(가) 첫 번째 인수에 반선형이고 두 번째 인수에 선형이라고 가정한다. (역방향 시나리오에서는 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle {}_{}\mathrm{op}}$ ${\displaystyle \mathrm{op}{}_{}\stackrel{}{}}$= ${\displaystyle \stackrel{}{\text{def}}}$ y${\displaystyle ,\stackrel{}{}}$ x ${\displaystyle ⟩}$ ${$ {\$displaystyle \langle$ x$,y\rangele _{\text{op}}{\\stackrel{dip}}}{=}\langle$ y$,x\rangele }$을 대신하여 작업한다. $A{\displaystyle }${\$displaystyle A}$의 대칭은 양극화 정체성에서 나타난다$$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle Ax,y\rangle ={}&\langle A(x+y),x+y\rangle -\langle A(x-y),x-y\rangle \\[1mm]&{}-i\langle A(x+iy),x+iy\rangle +i\langle A(x-iy),x-iy\rangle \end{aligned}}}$

$모든$ $x{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \text{Dom}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle x,y\in \mathop {\text{Dom}$ A$.}$

(A-λ)x ≥ d(⋅) x

이 속성은 자가 승인 연산자의 스펙트럼이 실제라는 증명에 사용된다.

Define ${\displaystyle S=\{x\in \mathop {\text{Dom}} A\mid \Vert x\Vert =1\},}$ ${\displaystyle \textstyle m=\inf _{x\in S}\langle Ax,x\rangle ,}$ and ${\displaystyle \textstyle M=\sup _{x\in S}\langle Ax,x\rangle .}$ The values ${\displaystyle m,M\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ are properly defined since ${\displaystyle S\neq \emptyset ,}$ and ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \in \mathbb {R} ,}$ due to symmetry. 그런 다음${\displaystyle every\mathbb{}}$ C ${\$및$$ 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \text{Dom}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle$ x$\in \mathop {\text{Dom} A,}}$

${\displaystyle \Vert A-\lambda x\Vert \geq d(\lambda )\cdot \Vert x\Vert ,}$

$여기$서 d (${\displaystyle \lambda }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{inf}}$ ${\displaystyle \underset{}{r}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$[ m${\displaystyle \underset{}{}}$, ${\displaystyle \underset{}{m}}$ ${\displaystyle \underset{}{]}}$ ${\displaystyle r\underset{}{}\lambda }$. ${\$ d$(\lambda )=\inf _{r\in [m,M]} r-\lambda .}$

실제로 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \text{Dom}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle A\setminus }$ { ${\displaystyle 0}$} . ${\displaystyle x\in \mathop {\text{Dom}A\setminus \{0\}.$$}}$ 카우치-슈워즈 불평등,

${\displaystyle \Vert A-\lambda x\Vert \geq {\frac { \langle A-\lambda x,x\rangle }{\Vert x\Vert }}=\left \left\langle A{\frac {x}{\Vert x\Vert }},{\frac {x}{\Vert x\Vert }}\right\rangle -\lambda \right \cdot \Vert x\Vert \geq d(\lambda )\cdot \Vert x\Vert .}$

$\lambda {\displaystyle }$[${\displaystyle m}$,$$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle \lambda \notin [m,M],},$ () ${\displaystyd d(\lambda )0,},$ $A$ -${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystysty A-$\lambda $I}$이 아래에 바운드되어 있다$$.

간단한 예

위에서 언급한 바와 같이 스펙트럼 정리는 자기 적응 연산자에만 적용되며 대칭 연산자에는 일반적으로 적용되지 않는다. 그럼에도 불구하고, 우리는 이 시점에서 고유 벡터의 정형화된 기초를 가진 대칭 연산자의 간단한 예를 들어 줄 수 있다. (이 연산자는 실제로 "본질적으로 자기 적응"이다.) 아래의 연산자 A는 콤팩트한 역수를 볼 수 있는데, 이는 해당 미분 방정식 Af = g가 어떤 적분에서 해결된다는 것을 의미한다. 따라서, 따라서 콤팩트하게 된다., 연산자 G. 그런 다음 소형 대칭 연산자 G는 L에서² 완전한 고유 벡터의 계수 가능한 패밀리를 갖는다. 그러면 A에게도 마찬가지라고 말할 수 있다.

복잡한 Hilbert 공간 L²[0,1] 및 차동 연산자를 고려하십시오.

${\displaystyle A=-{\frac {d^{2}}:{dx^{2}}:$

[0, 1]에서 경계 조건을 만족하는 모든 복합 값 무한히 다른 함수로 구성된$$ $D{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ ${\displaystyle \mathrm{m}}$(${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \matrm {Dom} (A)}$과(와) 함께

${\displaystyle f(0)=f(1)=0.}$

그런 다음 내부 제품의 부품에 의한 통합은 A가 대칭적이라는 것을 보여준다. 판독기를 두 번 초대하여 부품별 ${\displaystyle \mathrm{통합}}$을 수행하고 ${\displaystyle \mathrm{Dom}}$ ${\displaystyle (}$ ( A$$) {\$displaystyle \operatorname$ {$Dom}$ ($A)}$에 대해 지정된 경계 조건이 부품별 통합의 경계 항이 사라지는지$$ 확인한다.

A의 고유 기능은 정현상이다.

${\displaystyle f_{n}(x)=\sin(n\pi x)\qquad n=1,2,\ldots }$

실제 고유값이 nπ인²² 경우, 사인 함수의 잘 알려진 직교성은 대칭인 특성의 결과로 나타난다.

아래에서는 이 운영자의 일반화를 고려한다.

자가 승인 연산자의 스펙트럼

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 바인딩되지 않은 대칭 연산자로 두십시오$$. ${\displaystyle }$$\sigma {\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$)$$$style$ R. {\$displaystyle \sigma (A)\subseteq \mathb {R} .}$인 경우에만 ${\$displaystyle $A}$이(가) 자체 승인됨$$

증명: 자가 승인 연산자가 실제 스펙트럼을 가지고 있음

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 자가 승인하도록$$ 하십시오. 자칭 연산자는 대칭이다. 이 증명의 초기 단계는 대칭에만 기초하여 수행된다. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 자체 적응성은 1b(i)단계가 될 때까지 직접 사용되지 않는다$$. Let ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} .}$ Denote ${\displaystyle R_{\lambda }=A-\lambda I.}$ Using the notations from the section on symmetric operators (see above), it suffices to prove that ${\displaystyle \sigma (A)\subseteq [m,M].}$ 1. Let ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} \setminus [m,M].}$ The goal is to prove the existence and boundedness of the inverted resolvent operator ${\displaystyle R_{\lambda }^{-1},}$ and show that ${\displaystyle \mathop {\text{Dom}} R_{\lambda }^{-1}=H.}$ We ${\displaystyle \ker }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \ker R_{\lambda }=\{0\}}$ 및 ${\displaystyle \text{Im<img alt="{displaystyle ker R\_{lambda }={0}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/8ded7f43559ea304fc4e93e1310cb2eb226fae9f" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.099ex; height:2.843ex;" papago-attr-id="326">}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$= ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle \mathop {\text{{Im}}R_${\$lambda }}}}}$ 1a. As shown above, ${\displaystyle R_{\lambda }}$ is bounded below, i.e. ${\displaystyle \Vert R_{\lambda }x\Vert \geq d(\lambda )\cdot \Vert x\Vert ,}$ with ${\displaystyle d(\lambda )>0.$$lambda$}{\lambda$}{\$lambda $}}}$의 사소한 일이 그 뒤를$$ 잇는다. 1.${\displaystyle \text{b}}$. 임 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \lambda {}_{}}$= H${\displaystyle }$. ${\displaystyle \mathop {\text{{}}R_{\lambda }=H.}$정말로$$, 1b(i). ${\displaystyle \text{임}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$은(는) 닫힌다$$. 이를 입증하려면 $이후{\displaystyle {}_{}}$$$$\mathop${\$text{{Im$}에서 $일부{\displaystyle }$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle \in }$ h$.$ {\displaystyle y_{n}=$R_{\lambda }x_{n}\n$}\mathop {\${\displaystyle \mathrm{text}}$${Im}R_$${\lambda$ $}}}}}}}}}}}}}$에 수렴되는 시퀀스를 선택하십시오$.$ ${\displaystyle \ x_{n}-x_{m}\leq {1}{d(\fractda )}\{n}-y_{m}\,}$ ${\displaystyle x_{}}$ n ${\$가 기본이다. 따라서 일부 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H}$. ${\displaystyle x\in H.}$ 더욱이$$ y ${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle \lambda }$ x ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle A}$ x ${\displaystyle n_{}}$ ${\$로 수렴한다.$Ax_{n}$와 $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle y}$ +${\displaystyle \lambda }$ x${\displaystyle }$. ${\displaystyle y_{n}+\lambda x_{n}\to y+\lambda x.}$ 지금까지$$ 만들어진 주장이 어떤 대칭적인 연산자에 대해서도 그대로 유지되지만 반드시 자칭적인 것은 아니라는 점을 강조해야 한다. It now follows from self-adjointness that ${\displaystyle A}$ is closed, so ${\displaystyle x\in \mathop {\text{Dom}} A=\mathop {\text{Dom}} R_{\lambda },}$ ${\displaystyle Ax=y+\lambda x\in \mathop {\text{Im}} A,}$ and consequently ${\displaystyle y=R_{\lambda }x\in \text{Im}{R}_{\lambda }}$${\displaystyle .}$ ${\displaystyle y=R_{\lambda }x\in \mathop {\text{Im}R_{\lambda }}$마침내$$ 1b(ii). ${\displaystyle \mathop {\text{Im}} R_{\lambda }}$ is dense in ${\displaystyle H.}$ Indeed, the article about Adjoint operator points out that ${\displaystyle \mathop {\text{Im}} R_{\lambda }^{\perp }=\ker R_{\lambda }^{*}.}$ From self-adjointness of ${\dis$$playstyle A}$ (i.e. ${\displaystyle A^{*}=A)}$, ${\displaystyle R_{\lambda }^{*}=R_{\bar {\lambda }}.}$ Since ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} \setminus [m,M],}$ the inclusion ${\displaystyle {\bar {\lambda }}\in \mathbb {C}$$\setminus$[$,M]}$은 ) ${\displaystyle$ d$({\bar {\lambda }}})0,}$을(를) 의미하며$$, 따라서 ${\displaystyle \ker }$ $⁡$ ${\displaystyle {}_{\stackrel{}{}\lambda \stackrel{}{}}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaysty$ \ker$R_{\bar$}}}{\$lamba=\0\}.$$}$ 2. The operator ${\displaystyle R_{\lambda }\colon \mathop {\text{Dom}} A\to H}$ has now been proven to be bijective, so the set-theoretical inverse ${\displaystyle R_{\lambda }^{-1}}$ exists and is everywhere defined. The graph of ${\displaystyle R_{\lambda }^{-1}}$ is the set ${\displaystyle \{(R_{\lambda }x,x)\mid x\in \mathop {\text{Dom}} A\}.}$ Since ${\displaystyle R_{\lambda }}$ is closed (because ${\displaystyle A}$ is), so is ${\displaystyle R_{\$$람다 }^{-1}.}$ 닫힌 그래프 정리로는 ${\displaystyle {\mathrm{R}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}^{}}$- 1 ${\$의 경계가 있으므로$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \notin }$( A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$.$${\$displaystyle \lambda \notin \sigma$ ($A)$$}$

증명: 실제 스펙트럼을 가진 대칭 연산자가 자가 적합함

1. By assumption, ${\displaystyle A}$ is symmetric; therefore ${\displaystyle A\subseteq A^{*}.}$ For every ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle A-\lambda I\subseteq A^{*}-\lambda I.}$ Let ${\displaystyle \sigma (A)\subseteq$$[m,M]}$ $$(이 상수는 위의 계량 연산자에 관한 절에 정의되어 있다.) If ${\displaystyle \lambda \notin [m,M],}$ then ${\displaystyle {\bar {\lambda }}\notin [m,M].}$ Since ${\displaystyle \lambda }$ and ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$ are not in the spectrum, the operators ${\displaystyle A$-$\lambda I,A-{\bar {\lambda }I:\mathop {\text{Dom}A\to H}$는 비굴하다. 게다가 2. ${\displaystyle A-\lambda I=A^{*}-\lambda I.}$ Indeed, ${\displaystyle H=\mathop {\text{Im}} (A-\lambda I)\subseteq \mathop {\text{Im}} (A^{*}-\lambda I).$$}$ If one had ${\displaystyle \mathop {\text{Dom}} (A-\lambda I)\subsetneq \mathop {\text{Dom}} (A^{*}-\lambda I),}$ then ${\displaystyle A^{*}-\lambda I}$ would not be injective, i.e. one would have ${\displaystyle \ker(A^{*}-\lambda$$나)\neq \{0\}.$$}$ As discussed in the article about Adjoint operator, ${\displaystyle \mathop {\text{Im}} (A-{\bar {\lambda }}I)^{\perp }=\ker(A^{*}-\lambda I),}$ and, hence, ${\displaystyle \mathop {\text{Im}} (A-{\bar {\lambda }}I)\neq H.}$ This contradict골치 아픈 짓을 하다 3. $동등{\displaystyle }$A - ${\displaystyle i}$I = ${\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle i}$ I$${\$displaystyle A-\lambda$I=$A^{*}-\lambda$ I$}$을${\displaystyle (}$를) 보면 A = A$∗$ , {\$displaystyle$ A=A$$$^{*},$ 즉}가 나타난다. $A$는 자칭이다$.$ 실제로 $A{\displaystyle {}^{}}$ ∈${\displaystyle }$${\displaystyle {\subseteq }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ⊆ ${\displaystyle \subseteq }$ . ${\displaystyle$ $^{*}\subseteq A.}$ 매 $x$ dom ${\displaystyle \text{Dom}}$ dom ${\displaystyle {}^{}\ast }$ {$${ {\$displaystyle x\$in \$mathop${\$text{Dom$$}}{*}$ $및{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$= A${\displaystyle {\ast }^{}}$ x$,$ {\$displaystystystysty=a^{*,}$ ${\displaystyle A^{*}x=y-\lambda I)x=y-\lambda x\leftrightarrow (A-\lambda I)x=y-\lambda x\leftrightarrow Ax=y.}$

본질적 자기성숙

대칭 연산자 A는 항상 닫힐 수 있다. 즉, A의 그래프를 닫는 것이 연산자의 그래프다. 대칭 연산자 A는 A의 폐쇄가 자칭인 경우 본질적으로 자칭이라고 한다. 동등하게, A는 고유한 자기 적응 확장을 가지고 있다면 본질적으로 자기 적응이다. 실용적으로 보면, 본질적으로 자기 성인의 운영자가 있는 것은 자기 성인의 운영자를 얻기 위해서 폐쇄를 하면 되기 때문에 자기 성인의 운영자를 갖는 것과 거의 같다.

예: f(x) → x·f(x)

복잡한 Hilbert 공간 L²(R)과 주어진 함수를 x로 곱하는 연산자를 고려하십시오.

${\displaystyle Af(x)=xf(x)}$

A의 영역은 $모든{\displaystyle }$ L² 함수 f(${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(x)}$의 공간이며, 여기서$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle xf(x)}$도 사각형 통합이 가능하다$$. 그러면 A는 자숙하는 것이다.^[5] 반면 A에는 고유 기능이 없다.(더 정확히 말하면 A에는 A가 정의되어 있는 힐버트 공간에 실제로 존재하는 정상 가능한 고유 벡터, 즉 고유 벡터가 없다.

나중에 보게 되겠지만, 자기 성찰 연산자는 매우 중요한 스펙트럼 특성을 가지고 있다. 사실상 일반적인 측정 공간에 대한 곱셈 연산자다.

대칭 연산자 대 자체 승인 연산자

위에서 논의한 바와 같이 대칭 연산자와 자칭(또는 본질적으로 자칭) 연산자의 구별은 미묘한 것이지만, 자칭성은 스펙트럼 정리에 있는 가설이기 때문에 중요하다. 여기서는 대칭 연산자의 확장에 대한 일반 이론의 아래 절을 참조하십시오.

도메인에 대한 참고 사항

모든 자가 승인 연산자는 대칭이다. 반대로, ${\displaystyle \text{Dom}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \text{Dom}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (A}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathop {\text{Dom}}(A^{*})\subseteq \mathop${\$text{Dom}(A)}}$이(가) 있는 모든 대칭 연산자는 자체$$ 적응형 연산자다. ${\displaystyle \text{Dom}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$) ${\displaystyle \mathop {\text{Dom}($${\displaystyle A}$$^{*})$가 ${\displaystyle \text{Dom}}$ ${\displaystyle }$( A${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathop {\text{Dom}(A)}$보다 절대적으로 큰 대칭 연산자는 자가 사용할 수 없다$$.

경계 조건

힐버트 공간이 경계된 영역의 함수의 공간인 경우, 이러한 구분은 양자물리학의 친숙한 문제와 관련이 있다. 경계 조건을 지정하지 않고는 경계된 도메인에서 모멘텀이나 해밀턴 연산자와 같은 연산자를 정의할 수 없다. 수학적 용어로, 경계 조건을 선택하는 것은 운영자에게 적합한 영역을 선택하는 것과 같다. 예를 들어 Hilbert ${\displaystyle \mathrm{공간}}$ L 2${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$ , 1 ${\displaystyle ]}$) ${\displaystyle$ L$^{2}([0,1])}($구간 [0,1])에 대한 제곱 통합 함수의 공간)을 고려하십시오.$$ Planck의 상수를 1로 설정하는 일반적인 공식으로 이 공간에 대한 "모멘텀" 연산자 A를 정의합시다.

${\displaystyle Af=-i{\frac {df}{dx}}.}$

이제 A에 대한 도메인을 지정해야 하는데, 이는 경계 조건 선택과 같다. 만약 우리가 선택한다면

${\displaystyle \operatorname {Dom}(A)=\left\{\text{smooth functions}\right\}}$

그러면 A는 대칭이 아니다(부분별 통합의 경계 항이 사라지지 않기 때문이다).

만약 우리가 선택한다면

${\displaystyle \operatorname {Dom}(A)=\left\{\text{smooth functions}\,f\mid f(0)=f(1)=0\right\},}$

그런 다음 부품별 통합을 통해 A가 대칭인지 쉽게 확인할 수 있다. 그러나 기본적으로 이 연산자는 A의 영역에 너무 많은 경계 조건을 지정했기 때문에 본질적으로 자기 성명이 아니다.^[6] 이는 조정의 영역을 너무 크게 만든다. (이 예는 아래의 "예시" 섹션에서도 설명된다.)

구체적으로 A에 대한 위의 도메인 선택으로 A의 폐쇄$$ A ${\displaystyle {c\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{l}}^{}}$ ${\$ A$^{\mathrm{cl}}}}$의 도메인이

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left(A^{\mathrm {cl}}\오른쪽)=\lf\{{\textfunctions }}}}}}}}}}}}}{{\text}{}}}}}}}}}}}{{{{{}\textextext}}}}}}}}}text}}}}text}}}}}}}}}}}}}}}}text}}}}text}}}$

A의 부선 $A$의 도메인 $∗{\$ A$^{*}$는

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left(A^{*}\오른쪽)=\left\{{\textures }}{{{\text}{functions }}}}}}}}}}}.}$

즉, 폐쇄의 영역은 A 자체의 영역과 동일한 경계 조건을 가지며, 단지 덜 엄격한 평활도 가정일 뿐이다. Meanwhile, since there are "too many" boundary conditions on A, there are "too few" (actually, none at all in this case) for ${\displaystyle A^{*}}$. If we compute ${\displaystyle \langle g,Af\rangle }$ for ${\displaystyle f\in \operatorname {Dom} (A)}$ using integration by parts, then since $$${\displaystyle }$$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 간격의 양쪽$$ 끝에서 사라지며,$$g {\$displaystyle$ g$}$의 경계 조건은 부품별 통합에서 경계 용어를 취소하는 데 필요하지$$ 않다. 따라서 충분히 부드러운 함수 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ g}은$($는) A ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$의 도메인에 있으며, ${\displaystyle {}^{}}$$$${\displaystyle {\ast }^{}}$ g =${\displaystyle }$-${\displaystyle }$i d ${\displaystyle g}$ /${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ A$^{*g=-i\,dg/dx}$이(가) 있다$.$^[7]

폐쇄의 영역과 조정의 영역이 일치하지 않기 때문에, A는 본질적으로 자기 성명이 아니다. 결국 A ${\displaystyle {c\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 부호 영역은 A의 부호 영역과 같다는 것이 일반적인 결과다. Thus, in this case, the domain of the adjoint of ${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$ is bigger than the domain of ${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$ itself, showing that ${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$ is not self-adjoint, which by definition means that A is not essentially self-adjoint.

앞의 예시의 문제는 A의 영역에 너무 많은 경계 조건을 부과했다는 것이다. 보다 나은 도메인 선택은 주기적인 경계 조건을 사용하는 것이다.

${\displaystyle \operatorname {Dom}(A)=\{\text{smooth functions}\,f\mid f(0)=f(1)\}.}$

이 도메인을 가지고 A는 본질적으로 자기 성찰이다.^[8]

이 경우 스펙트럼 정리에 대한 영역 문제의 함의를 이해할 수 있다. If we use the first choice of domain (with no boundary conditions), all functions ${\displaystyle f_{\beta }(x)=e^{\beta x}}$ for ${\displaystyle \beta \in \mathbb {C} }$ are eigenvectors, with eigenvalues ${\displaystyle -i\beta }$, and so the spectrum is the whole complex plane. 만약 우리가 두 번째 도메인 선택을 사용한다면(Dirichlet 경계 조건과 함께), A는 전혀 고유 벡터를 가지고 있지 않다. 세 번째 선택 영역(${\displaystyle \mathrm{주기적}}$ 경계 조건 포함)을 사용할 경우, ${\displaystyle A_{}}$에 대한 고유 벡터의 직교 기준을 찾을 수 있으며, 함수 $f{\displaystyle {}_{}}$ x${\displaystyle }$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\$$=e^{2\pi inx$ 따라서 이 경우 A가 스스로 적응할 수 있는 도메인을 찾는 것이 타협책이다. 도메인은 A가 대칭적일 정도로 작아야 하지만 $D{\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle D(A}$ ) = D$($A ) {\$displaystyle$ D(A^{*}}=D$(A)}$가 될 만큼 커야 한다$.$

단일한 전위를 가진 슈뢰딩거 연산자

대칭 연산자와 (본질적으로) 자기 적응 연산자의 구별에 대한 보다 미묘한 예는 양자역학의 슈뢰딩거 연산자에서 나온다. 전위 에너지가 단수인 경우(특히 전위가 아래에 결합되지 않은 경우) 관련 슈뢰딩거 운영자는 본질적으로 자가 적응하지 못할 수 있다. 한 차원(예: 연산자)에서

${\displaystyle {\hat{H}:={\frac {P^{2}}-{2m}-X^{4}}}}$

매끄럽고 급속하게 부패하는 기능의 공간에 본질적으로 자임하는 것은 아니다.^[9] 이 경우 본질적인 자기 성찰의 실패는 기초적인 고전적 시스템의 병리학을 반영한다. $-{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 전위를$$ 가진 고전적인 입자는 유한한 시간에 무한대로 탈출한다. 이 연산자는 고유한 자기 성찰이 없지만 "무한도 경계 조건"을 지정하여 얻은 자기 성찰 연장은 인정한다.($H{\displaystyle \hat{}}$ ${\${H$}}})$이 실제 연산자이기 때문에 복잡한 결합으로 통한다. 따라서, 결핍 지수는 자동으로 동일하며, 이것은 자기 적응 확장을 갖는 조건이다. 아래 대칭 연산자의 확장에 대한 논의를 참조하십시오.

이 경우 초기에 매끄럽고 빠르게 부패하는 함수의 공간에 $대해$${\displaystyle \stackrel{}{}}$H^$${\$displaystyle${\$hat{H}}$를 정의한다면, 조정은 "같은" 연산자(즉, 동일한 공식에 의해 부여됨)가 되지만 가능한 가장 큰 영역, 즉, 즉,

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left({\hat {H}}^{*}\right)=\left\{{\text{twice differentiable functions }}f\in L^{2}(\mathbb {R} )\left \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-x^{4}f(x)\right)\in L^{2}(\mathbb {R} )\right.\right\}}$

그런 $다음{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ H^$^{\$이(가) 대칭 연산자가 아님을 보여줄 수 있으며, 이는 $분명히{\displaystyle \stackrel{}{}}$H^$${\$displaystyle${\$hat {H}}}}$이(가) 본질적으로 자기 적응이 아님을 의미한다. 실제로 $H{\displaystyle {\hat{}}^{}}$ $^{\$에는 순수한 상상 고유값을 가진 고유 벡터가 있어$$ 대칭 연산자로서는 불가능한 것이다.^[10][11] $이{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ 이상한 일은 H ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}^{}}$ ${\displaystyle {^}^{}}$ $^{\$의 두 용어 사이에 취소로 인해 가능한 일인데$,$ $H$${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$^ ${\displaystyle {^}^{}}$ ${\${\$hat {H}^*}$의 도메인에는$d{\displaystyle }$ $2{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}/{}^{}}$x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\d^{2}$f$/dx$$^{2}}:$${\displaystyle x^{4}f(x)}$ is separately in ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$, but the combination of them occurring in ${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$ is in ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$. $이$를 통해 $d{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$$2{\displaystyle {}^{}}$/${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\d$ $디스플레이$ $스타일$ ${\hat {H$$}^{*}}$은$($는) 대칭 $연산자임$에도 비대칭이 가능하다$.$ 리프팅${\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$4 {\$displaystyle -x$^{4$}$를 구속 ${\displaystyle {전위\mathrm{}}^{}}$ x$$4 {\$displaystyle x^{$4$$}로 교체할 경우 이러한 종류의 취소는 발생하지 않는다$.$

슈뢰딩거 운영자가 자숙하거나 본질적으로 자숙할 수 있는 조건은 참고문헌에 수록된 베레진·슈빈·홀·리드와 사이먼 등 다양한 교과서에서 찾아볼 수 있다.

스펙트럼 정리

물리학 문헌에서 스펙트럼 정리는 자주 자기 적응 연산자가 고유 벡터의 정형화된 기초를 가지고 있다고 말함으로써 명시된다. 그러나 물리학자들은 "연속 스펙트럼" 현상에 대해 잘 알고 있다. 따라서 "정형적인 기초"를 말할 때 고전적인 의미에서 정형화된 기초 또는 어떤 연속적인 유사성을 의미한다. 예를 들어 모멘텀 연산자 $P$=$$- $i\frac{}{}$ $\frac{d}{}$ $\frac{x}{}$ ${\$의 경우 물리학자들은 고유 벡터가 ${\displaystyle {함수}_{}}$ $f{\displaystyle {}_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle :=}$ e ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\$)라고 말할 것이다$.$$=e^{ipx}}$, which are clearly not in the Hilbert space ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$. (Physicists would say that the eigenvectors are "non-normalizable.") Physicists would then go on to say that these "eigenvectors" are orthonormal in a continuous sense, where the usual Kronecker delta ${\displaystyle$$\delta _{i,j}$는 Dirac 델타 함수$\Delta {\displaystyle (p}$ ${\displaystyle -}$ p ${\displaystyle {}^{}}$ $displaystyle \delta \left(p-p'\right)}$로 대체된다$.$

이러한 진술은 수학자들에게는 당혹스러워 보일 수 있지만, 일반적인 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\$}}개의$$함수를 ${\displaystyle {ei}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\$의 "중첩"(즉, 적분)으로 표현할 수 있는 푸리에 변환을 사용함으로써 엄격해질 수 있다$.$$n$ L $2{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ L$^{2$ 푸리에 변환은 모멘텀 연산자를 "대각화"한다. 즉, $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$에 의해 곱셈 연산자로 변환한다$.$ $여기$서 p ${\displaystyle p}$은 푸리에 변환의 변수다$$.

일반적으로 스펙트럼 정리는 단위적으로 곱셈 연산자와 동등하다는 것을 보여줌으로써 연산자를 "대각화"할 가능성과 유사하게 표현할 수 있다. 스펙트럼 정리의 다른 버전도 마찬가지로 자기 적응 연산자가 문제의 힐버트 공간에 실제로 없는 "유전자 벡터"를 가질 수 있다는 생각을 포착하기 위한 것이다.

스펙트럼 정리 명세서

Hilbert 공간의 일부 정의된 연산자 A, B, H, K는 다음과 같은 단일 변환 U : H → K가 있는 경우에만 단위적으로 동등하다.

• U 지도는 A를 돔 B에 객관적으로 배치하고,
• ${\displaystyle BU\xi =UA\xi ,\qquad \all \xi \in \operatorname {dom} A.}$

곱셈 연산자는 다음과 같이 정의된다. Let (X, σ, μ)는 계산 가능한 부가 측정 공간이며, X의 실제 값 측정 가능한 함수가 된다. 양식의 연산자 T

${\displaystyle [T\psi ](x)=f(x)\psi(x)}$

누구의 영역은 위의 오른쪽이 L에² 있는 ψ의 공간이며 곱셈 연산자라고 불린다.

스펙트럼 정리의 한 버전은 다음과 같이 명시할 수 있다.

다른 버전의 스펙트럼 정리는 위에 링크된 스펙트럼 정리 글에서 찾을 수 있다.

결합되지 않은 자기 결합 연산자에 대한 스펙트럼 정리는 단일 결합 연산자에 대한 스펙트럼 정리로 감소시킴으로써 증명할 수 있다.^[13] 이 감소는 다음 절에서 정의한 자가 승인 연산자에 대해 Cayley 변환을 사용한다. 만약 T가 f에 의한 곱셈이라면, T의 스펙트럼은 f의 필수 범위일 뿐이다.

기능성 미적분학

스펙트럼 정리의 중요한 적용은 "기능적인 미적분학"을 정의하는 것이다. That is to say, if ${\displaystyle h}$ is a function on the real line and ${\displaystyle T}$ is a self-adjoint operator, we wish to define the operator ${\displaystyle h(T)}$. If ${\displaystyle T}$ has a true orthonormal basis of eigenvectors ${\displaystyle e_{j}}$ with eigenvalues ${\displaystyle {\lambda }_j}$${\displaystyle \lambda _{j$ 그러면 $h{\displaystyle }$(${\displaystyle T}$) ${\$와 고유값 $h{\displaystyle }$ (${\displaystyle {\lambda }_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$) ${\$가 있는 연산자다$.$ 기능적 미적분학의 목표는 $이{\displaystyle }$ 아이디어를 T ${\displaystyle T}$이(가) 연속 스펙트럼을 갖는$$ 경우로 확장하는 것이다.

양자물리학에서 특히 중요한 것은 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이(가) 해밀턴 $연산자{\displaystyle \stackrel{}{}}$ H${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\displaystyle$ {$H}$ 및 $h$(x ) ${\displaystyle :=}$ e -${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ /${\displaystyle {\hslash }^{}}$ ${\$$=e^{-itx/\hbar }}}$은(는) 지수형이다$$. 이 경우 함수 미적분학에서는 연산자를 정의할 수 있어야 한다.

$[\displaystyle U(t):=h\왼쪽({\hat{H}\오른쪽)=e^{\frac{-it{\H}}{\hbar },}$

양자역학에서 시간 추이를 정의하는 연산자야

스펙트럼 정리에 의해 보장된 $바$와 같이$,$ f {\$displaystyle$ f}에 의한 곱셈 연산자로서 T의 표현을 고려할 때, 기능적 미적분학을 특성화하기 쉽다$.$ h가 R에서 경계된 실제 값 Borel 함수인 경우, h(T)는 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$ f ${\displaystyle h\circ f}$ 합성에 의한 곱셈 연산자다$.$

신원 확인

다음과 같은 표기법을 도입하는 것이 관례였다.

${\displaystyle \operatorname {E} _{T}(\lambda )=\mathbf {1} _{(-\infect,\lambda ]}(T)}$

여기서 $1{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {\mathrm{\infty }}_{}}$ ,${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\displaystyle {]}_{}}$ ${\$1$} _{(-\\infit ,\\da ]}}$은 구간( - $({\displaystyle \mathrm{}}$,${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle (-\infitty,\lambda ]})$의 특성 함수다$.$ 투영 연산자 E_T(λ)의 패밀리를 T에 대한 아이덴티티 해상도라고 한다. 더욱이, T에 대한 다음의 Stieltjes 일체형 표현을 증명할 수 있다.

${\displaystyle T=\int _{-\infit }^{+\infit }\lambda d\operatorname {E} _{T}(\lambda).}$

위의 연산자 적분 정의는 약한 연산자 위상(opergative topology)을 사용하여 스칼라(stalar)가 평가한 Steeltjes 적분 스칼라(steeltjes) 그러나 보다 현대적인 치료에서는 대부분의 기술적 문제가 기능적 미적분학에 의해 처리될 수 있기 때문에 이러한 표현은 대개 피한다.

물리학 문헌의 공식화

물리학에서 특히 양자역학에서 스펙트럼 정리는 위에서 설명한 스펙트럼 정리와 보렐 기능 미적분을 다음과 같이 디락 표기법을 사용하여 결합하는 방식으로 표현된다.

H가 자가 적응하고 f가 보렐 함수인 경우,

${\displaystyle f(H)=\int dE\왼쪽 \Psi _{E}\angle f(E)\langle \Psi _{E}\오른쪽 }$

와 함께

${\displaystyle H\left \Psi _{E}\right\rangele =E\left \Psi _{E}\right\rangele }$

H의 전체 스펙트럼에 걸쳐 적분이 흐른다. 표기법은 고유 벡터 ψ에_E 의해 H가 대각선화됨을 시사한다. 그런 표기법은 순전히 형식적이다. 디락의 표기법과 이전 절의 유사성을 알 수 있다. The resolution of the identity (sometimes called projection valued measures) formally resembles the rank-1 projections ${\displaystyle \left \Psi _{E}\right\rangle \left\langle \Psi _{E}\right }$. In the Dirac notation, (projective) measurements are described via eigenvalues and eigenstates, both purely formal objects. 예상했듯이, 이것은 정체성의 해결로 가는 통로를 살아남지 못한다. 후자 공식에서 측정 전$$ 시스템이 ${\displaystyle \psi \mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$$⟩$ {\$displaystyle \PSi \rangele$ $}$에 준비된 경우 if ⟩ \ {\$displaystyle \Psi \rangele$ $}$의 스펙트럼 측정을 사용하여 측정을 설명한다$.$ 또는 단순히 형식적인 것이 아니라, 고유성의 개념을 보존하고 엄격한 것으로 만들고자 한다면, 적절한 고정된 힐베르트 공간으로 주 공간을 대체할 수 있다.

f = 1일 경우, 정리를 통합의 분해능이라고 한다.

${\displaystyle I=\intdE\left \Psi _{E}\right\angle \left\langle \Psi _{E}\right}$

$H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{eff}}_{}}$= H${\displaystyle }$- ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ ${\displaystyle H_{\text{eff}=H-i\$$Gamma$ $}$은(는) 에르미티아어 H와 스큐-헤르미티아어(Skew-Hermitian matrix 참조$)$ 연산자의 합계인$$ 경우$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathrm{Ⅱ}}${\$displaystyty -i\$Goonalone을 정의한다.

${\displaystyle H_{\text{eff}^{*}}\왼쪽 \Psi _{E}^{*}\rigle =E^{E}}\왼쪽 \Psi _{E}^{*}\right\rangele }}$

그리고 스펙트럼 정리를 다음과 같이 쓴다.

${\displaystyle f\ft(H_{\text{eff}\오른쪽)=\int dE\왼쪽 \Psi _{E}\right\angle f(E)\left\langle \Psi _{E}^{*}\오른쪽 }$

(비산 이론에서 그러한 연산자가 나타나는 문맥은 Feshbach-Fano 분할 방법을 참조한다.)

대칭 연산자의 확장

힐버트 공간 H의 연산자 A가 대칭인 경우, 언제 자체 적응 확장자를 가지고 있는가? 고유한 자기 적응 확장자를 가진 연산자는 본질적으로 자기 적응력이 있다고 하며, 동등하게, 그 폐쇄(그래프가 A의 그래프의 폐쇄인 연산자)가 자기 적응력이면 연산자는 본질적으로 자기 적응력이 있다고 한다. 일반적으로 대칭 연산자는 많은 자체 승인 확장자를 가질 수도 있고 전혀 그렇지 않을 수도 있다. 따라서, 우리는 그것의 자칭 연장에 대한 분류가 필요하다.

본질적 자기성숙의 첫 번째 기본 기준은 다음과 같다.^[14]

마찬가지로, 연산자 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$- ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle$ A$^{*}-i}$ 및 $A$ ∗${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A^{*}+i}$이(가) 사소한$$ 커널을 가지고 있는 경우에만 A가 본질적으로 자체 적응한다.^[15] 즉, $∗{\$이(가$)$ $고유값$ i {\$displaystyle$${\displaystyle i}$$}$ 또는$$$$- i {\displaystyle $-i}$을(를) 가진 고유 벡터를 가진$$ 경우에만 A가 자체 승인되지 않는다$.$

이 문제를 보는 또 다른 방법은 자칭 연산자의 Cayley 변환과 결핍 지수에 의해 제공된다. (폐쇄된 사업자를 상대하는 것은 종종 기술적 편리성이 있다. 대칭의 경우 모든 대칭 연산자가 닫힐 수 있는 것으로 알려져 있으므로 폐쇄성 요건은 장애물이 되지 않는다.)

여기서 run과 dom은 각각 이미지(즉, 범위)와 도메인을 나타낸다. W(A)는 그 영역의 등축이다. 또한 1 - W(A)의 범위는 H로 밀도가 높다.

반대로, (필수적으로 닫히지 않는) 도메인의 등축계수 U와 1 - U가 밀도인 경우에 (유일한) 연산자 S(U)가 있다.

${\displaystyle \operatorname {S}(U):\operatorname {ran}(1-U)\to \operatorname {ran}(1+U)}$

그런

${\displaystyle \operatorname {S}(U)(x-Ux)=i(x+Ux)\qquad x\in \operatorname {dom}(U)}$

연산자 S(U)는 조밀하게 정의되고 대칭적이다.

지도 W와 S는 서로 어긋난다.^{[clarification needed]}

매핑 W는 Cayley 변환이라고 불린다. 그것은 부분적으로 정의된 등거리계를 대칭적으로 조밀하게 정의된 운영자와 연결한다. 매핑 W와 S는 단조롭다는 점에 유의하십시오. 즉, B가 조밀하게 정의된 대칭 연산자 A를 확장하는 대칭 연산자라면 W(B)는 W(A)를 확장하고, S도 이와 유사하게 확장한다는 뜻이다.

이를 통해 우리는 A가 다음과 같이 자칭 연장을 할 수 있는 필요하고도 충분한 조건을 즉시 얻을 수 있다.

Hilbert 공간 H에 부분적으로 정의된 등축 연산자 V는 돔(V)의 표준 폐쇄에 대한 고유한 등축 확장을 가지고 있다. 폐쇄된 영역을 가진 부분 정의된 등축 연산자를 부분 등축계라고 한다.

부분 등위계 V를 주어진 경우 V의 결핍 지수는 영역과 범위의 직교 보완의 치수로 정의된다.

${\displaystyle {\begin}n_{+}(V)&=\dim \operatorname {dom}(V)^{\perp }\\n_{-}(V)&=\dim \operatorname {ran}^{\perperp }\ended}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

우리는 연산자의 대칭적 확장과 Cayley 변환의 등축 확장 사이에 편차가 있다는 것을 안다. 대칭 확장은 해당 등축 확장이 단일인 경우에만 자가 적응한다.

대칭 연산자는 두 가지 결점 지수가 모두 0인 경우에만 고유한 자기 적응 확장을 가진다. 그러한 운영자는 본질적으로 자기성찰이라고 한다. 본질적으로 자기 성명이 아닌 대칭 연산자는 여전히 표준적 자기 성장의 연장선을 가질 수 있다. 음이 아닌 대칭 연산자(또는 보다 일반적으로 아래 경계가 있는 연산자)의 경우도 이와 같다. 이러한 연산자는 항상 표준적으로 정의된 프리드리히스 확장을 가지고 있으며, 이러한 연산자에 대해서는 표준 기능 미적분을 정의할 수 있다. 분석에서 발생하는 많은 연산자는 (라플라시안 연산자의 음수 등) 아래에 경계되므로, 이들 연산자에 대한 필수적 연직성 문제는 덜 심각하다.

양자역학에서의 자기 적응 확장

양자역학에서 관측가능성은 자기 적응 연산자에 해당한다. 스톤이 단일 매개변수 그룹에 대한 정리, 자기 적응 연산자는 정확하게 시간 진화 연산자의 단일 군집단의 극소수 생성자들이다. 그러나, 많은 물리적 문제들은 해밀턴계가 대칭에 불과한 미분 연산자를 포함하는 시간-진화 방정식으로 공식화된다. 그러한 경우, 해밀턴인은 본질적으로 자기 적응형이며, 이 경우 물리적인 문제는 고유한 해결책을 가지고 있거나 무한대의 다른 종류의 경계 조건이나 조건에 해당하는 해밀턴인의 자기 적응형 확장을 한 번 찾으려고 시도한다.

예. 초기에 부드럽게 지원되는 기능에 대해 정의된 $잠재적{\displaystyle }$ V${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- (${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle \mathrm{x}{}^{}}$) ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\$x$)^{\alpha$을(를) 가진 1차원 슈뢰딩거 연산자는 0 < α > 2에는 해당되지 않는다. Verezin과 Schubin, 55페이지와 86페이지 또는 홀의 섹션 9.10을 참조하십시오.

> ${\displaystyle \alpha >2}$에 대한 필수 자기 적응성의 실패는 $잠재적{\displaystyle }$ V${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle V(x)}$: 고전적 입자는 유한한 시간에 무한대로 탈출한다.^[16]

예. 반선 위에서 움직이는 입자에 대해 자기 적응 운동량 연산자 p는 없다. 그럼에도 불구하고, 하프라인에 있는 "자유" 입자의$$ $해밀턴{\displaystyle {}^{}}$ p ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ p$^{2$}}개에는 다른 종류의 경계 조건에 해당하는 몇 개의 자기 적응 확장이 있다. 물리적으로 이러한 경계 조건은 원점에서 입자의 반사와 관련이 있다(Reed and Simon, vol.2 참조).

폰 노이만의 공식

A가 대칭적으로 밀도 있게 정의되어 있다고 가정합시다. 그러면 A의 모든 대칭적 확장은 A*의 제한이다. 실제로 A ⊆ B와 B 대칭은 돔(A*)의 정의를 적용하여 B ⊆ A*를 산출한다.

이를 악히저와 글래즈만 참조에서 폰 노이만의 공식이라고 한다.

예

본질적으로 자가 맞춤이 아닌 대칭 연산자

먼저 힐버트 공간 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$과(와) 차등 연산자를 고려한다.

${\displaystyle D:\phi \mapsto {\frac {1}{i}\pi '}$

경계 조건을 만족시키는 [0,1]의 연속적으로 서로 다른 복잡한 값 함수의 공간에 정의된다.

$\phi(0)=\phi(1)=0.}$

그 다음 D는 부품별 통합으로 알 수 있는 대칭 연산자다. 공간₊ N, N₋(아래 정의)은 방정식에 대한 분포 해법에 의해 각각 주어진다.

${\displaystyle {\justed}-justomer'&=just\-journal'&=-journals\end}}$

L²[0, 1]에 있는 것. 이러한 솔루션 공간 각각이 각각 x → e^−x, x → e^x 함수에 의해 생성되는 1차원임을 알 수 있다. 이것은 D가 본질적으로 자칭이 아니라 자칭 연장이 있음을 보여준다.^[17] 이러한 자체 적응 확장은 유니터리 매핑₊ N → N의₋ 공간에 의해 파라메트릭되며, 이 경우 단위 원 T가 된다.

이 경우에 필수적인 자기 적응증의 실패는 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 도메인 정의에서 경계 조건을 "잘못" 선택했기 때문이다$.$ $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$은 1차 연산자이므로$$ $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) 대칭성을 갖도록 하기 위해서는 하나의 경계 조건만 있으면 된다. 위의 경계 조건을 단일 경계 조건으로 대체한 경우

${\displaystyle \varphi }$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \varphi }$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \phi (0)=\phi(1$

그러면 D는 여전히 대칭적이어서, 사실, 지금은 본질적으로 자기 성찰이 될 것이다. 이러한 경계 조건의 변경은 D의 본질적으로 자기 적응적 확장을 제공한다. 본질적으로 다른 자체 승인 확장자는 ${\displaystyle \mathrm{\varphi }}$( 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\theta }^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\varphi }}$( 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle \pi (1)=e^{i\theta }\pi (0)}$ 형식의 부과된 경계 조건으로부터 온다$.$

이 간단한 예는 오픈 세트 M에서 대칭 차동 연산자 P의 자기 적응 확장에 대한 일반적인 사실을 보여준다. 고유값 공간 사이의 단일 지도에 의해 결정된다.

${\displaystyle N_{\pm }=\left\{u\in L^{2}(M):P_{\operatorname {dist} u=\pm 아이유\오른쪽\}}}$

여기서 P는_dist P의 분포 확장이다.

상시 효율이 높은 운영자

다음에는 계수가 일정한 미분 연산자의 예를 제시한다. 내버려두다

${\displaystyle P\left({\vec {x}\오른쪽)=\sum _{\alpha }c_{\alpha }x^{\alpha }}}}}}}$

실제 계수가 있는 R의ⁿ 다항식이며, 여기서 α는 다중 지수의 (마인드) 집합에 걸쳐 있다. 그러므로

${\displaystyle \property =(\displaysty \properties _{1}\properties _{n}})$

그리고

${\displaystyle x^{\cHB{}}=x_{1}^{1}\^{1}{1}^_{1}{1}^{1}{1}:{1}:{1}2}}\cdots x_{n}^{n}^{n}}}}}.}$

우리는 또한 표기법을 사용한다.

${\displaystyle D^{\alpha }={\frac {1}{i^{\alpha }}\partial _{x_{1}}^{x_{1}}}}{x_{1}}}\partial _{1}{1}}}}{x_{2}}:}}}}}}\partots \partial \partial \partial _{x_{n}.}$

그 다음에 운용자 P(D)는 R에ⁿ 대한 콤팩트 서포트의 무한히 다른 함수의 공간에 대해 다음과 같이 정의했다.

${\displaystyle P(\operatorname {D} )\phi =\sum _{\alpha }c_{\alpha }\operatorname {D} ^{\alpha }\phi }}$

본질적으로 L²(Rⁿ)에 스스로 적응하는 것이다.

보다 일반적으로, 콤팩트 서포트의 무한히 다른 복잡한 가치 함수에 작용하는 선형 미분 연산자를 고려한다. M이 R의ⁿ 열린 부분 집합인 경우

${\displaystyle P\phi (x)=\sum _{\alpha }a_{\alpha }(x)\왼쪽[D^{\alpha }\phi \right](x)}$

여기서 a는_α 무한히 다른 기능(필수적으로 일정하지는 않음)이다. P는 선형 연산자다.

$C_{0}^{\displaystyle C_{0}^{{0}^{\displaystyle C_{0}(M)\to C_{0}^{\nothy }(M)}$

P에 해당하는 다른 차동 연산자가 있는데, P의 공식 연선이다.

${\displaystyle P^{\mathrm {*form}\phi =\sum _{\alpha }{\alpha }\좌측({\overline {a_{\alpha }}}\phi \right)}}$

스펙트럼 다중성 이론

자칭 연산자의 곱셈표현은 극히 유용하기는 하지만 표준표현이 아니다. 이는 이 표현에서 자기 성인의 연산자 A와 B가 단위적으로 동등한 시기를 결정하는 기준을 추출하는 것이 쉽지 않음을 시사한다. 우리가 지금 논의 중인 가장 미세한 갈린 표현은 스펙트럼의 다중성을 포함한다. 이 결과의 원은 스펙트럼 다중의 한-헬링거 이론이라고 불린다.

균일다중성

먼저 균일한 다중성을 정의한다.

정의. 자가 승인 연산자 A는 균일한 다중성 n을 가지며, 여기서 n은 A가 f(λ) = λ on에 의해 곱셈 연산자_f M과 단위적으로 동등한 경우에만 1 ≤ n Ω이다.

${\displaystyle L_{\mu }^{2}\left(\mathbf {R} ,\mathbf {H} _{n}\right)=\left\{\psi :\mathbf {R} \to \mathbf {H} _{n}:\psi {\mbox{ measurable and }}\int _{\mathbf {R} }\ \psi (t)\ ^{2}d\mu (t)<\infty \right\}}$

여기서 H는_n 힐베르트의 차원 n의 공간이다. M의_f 영역은 다음과 같이 R에 대한 벡터 값 함수 ψ로 구성된다.

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} \lambda ^{2}\\\psi(\lambda )\ ^{2}\,d\mu(\lambda \\lambda )}$

비음극성 첨가 측정 μ, μ는 분리 보렐 세트에서 지지되는 경우에만 상호 단수가 된다.

이 표현은 다음과 같은 점에서 독특하다. 동일한 A의 그러한 두 가지 표현에 대해 해당 측정치는 동일한 측정치 0 집합을 가지고 있다는 점에서 동일하다.

직접 통합

스펙트럼 다중성 정리는 힐버트 공간의 직접 통합 언어를 사용하여 재구성할 수 있다.

스펙트럼 정리의 곱셈 오퍼레이터 버전과 달리, 직접 통합 버전은 측정 가능한 μ의 측정 동등성 등급(또는 동등하게 그것의 측정값 0 집합${\displaystyle {}_{}}$이 고유하게 결정되고 측정 $가능$한 함수 $∆$ ${\displaystyle \mathrm{di}}$ ${\displaystyle \mathrm{m}({}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$) $\lambda \mapsto \mathrmatto \dim}(H_{\lambda }}})$이 있다는 점에서 독특하다.거의 모든 곳에서 μs에 대해 측정한다.^[19] $\lambda {\displaystyle }$ dim${\displaystyle 딤}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$) ${\$ \mapsto $\operatorname {dim} \left(H_{\lambda }}\right)$ 함수는 연산자의 스펙트럼 다중함수다.

이제 우리는 자칭 연산자에 대한 분류 결과를 다음과 같이 명시할 수 있다. 두 개의 자체 적응 연산자는 (1) 스펙트럼이 집합으로 일치하고, (2) 직접 통합 표현에 나타나는 측정값이 0의 동일한 집합을 가지며, (3) 스펙트럼 다중성 기능이 직접 적분 측정과 관련하여 거의 모든 곳에서 일치할 경우에만 단위적으로 동등하다.^[20]

예: 라플라시안 구조

R에ⁿ 있는 라플라시아인은 운영자다.

${\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{n}\partial _{x_{i}^{2}.}$

위에서 언급한 바와 같이 라플라시안은 푸리에 변환에 의해 대각선화된다. 실제로 측정 시스템으로서 음이 아니기 때문에 라플라크 - Δ의 음을 고려하는 것이 더 자연스럽다. (타원 연산자 참조)

순수점 스펙트럼

H의 자가 적응 연산자 A는 H가 A의 고유 벡터로 구성된 정형 기준 {e_i}_{i ∈ I}을(를) 갖는 경우에만 순수 점 스펙트럼을 가진다.

예. 조화 발진기를 위한 해밀턴은 2차 전위 V를 가지고 있다.

${\displaystyle -\Delta + x ^{2}.}$

이 해밀턴은 순수한 점 스펙트럼을 가지고 있다; 이것은 양자역학에서 바운드 상태 해밀턴인들에게 전형적이다. 앞의 예에서 지적한 바와 같이, 무한대칭 연산자가 힐버트 공간 기초를 형성하는 고유 벡터를 갖는 충분한 조건은 콤팩트한 반전을 갖는 것이다.

참고 항목

• Hilbert 공간의 컴팩트 연산자
• 슈뢰딩거 방정식의 이론적 및 실험적 정당성
• 언바운드 연산자
• 에르미트어 부선
• 양성 연산자

인용구

참조

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