양자 채널

양자 정보 이론에서 양자 채널은 고전적인 정보뿐만 아니라 양자 정보를 전송할 수 있는 통신 채널이다.양자 정보의 예는 큐비트 상태입니다.고전 정보의 예로는 인터넷을 통해 전송되는 텍스트 문서가 있습니다.

보다 형식적으로 양자채널은 연산자 공간 간의 완전 포지티브(CP) 트레이스 보존 맵입니다.즉, 양자 채널은 단순히 시스템의 역학적 축소뿐만 아니라 양자 정보를 전달하기 위한 파이프라인으로 간주되는 양자 연산일 뿐이다.(일부 작성자는 엄격하게 트레이스 보존 맵을 위해 "퀀텀 채널"을 예약하면서 트레이스 감소 맵을 포함하기 위해 "퀀텀 연산"이라는 용어를 사용합니다).^[1]

메모리리스 양자채널

우리는 우선 고려된 시스템의 모든 상태 공간, 고전적 공간 또는 양자 공간이 유한 차원이라고 가정할 것이다.

섹션 제목에 있는 메모리리스(memoryless)는 고전 정보 이론과 같은 의미를 가집니다.즉, 특정 시간에 채널의 출력은 대응하는 입력에만 의존하며 이전 입력에는 의존하지 않습니다.

슈뢰딩거 그림

양자 정보만 전송하는 양자 채널을 고려합니다.이것은 정확히 양자 연산이며, 그 성질을 요약합니다.

${\displaystyle H_{}}$ A$(\$와 H $(\$를 각각 채널의 송신측과 수신측의 상태 공간(확정 차원 Hilbert 공간)으로 $합니다{\displaystyle {}_{}}$.${\displaystyle L(}$ $)({$ $display style L(H_{$A})은 H$$ A$({$의 연산자 패밀리를 나타냅니다.슈뢰딩거 그림에서 순수 양자 채널은 $(\$$H_$${$A})와 $(\$$display$ H_{A})에$$ 작용하는 밀도 매트릭스 사이의 맵$$δ(\$displaystyle$\Phi$)$입니다.속성:

1. 양자역학의 공식에서 요구하는 것처럼$(\displaystyle\Phi)$는 선형이어야 합니다.
2. 밀도행렬은 양수이므로 $\displaystyle\Phi }$는 양의 원뿔을 보존해야 합니다.즉, $\display\Phi는$포지티브$$ 맵입니다.
3. 임의의 유한치수 n의 안치수가 시스템에 결합되어 있는 경우 $유도맵{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}}$ display \ $display style$ I_${n}$ \$otimes \Phi$ $\}$ (여기서_n I는 안치수의 아이덴티티 맵)도 양의 값이어야 합니다.따라서 모든 ${\displaystyle \mathrm{n}}$에 대해 I n${\displaystyle {}_{}}$n n n display$$\ $displaystyle$ I_${n}$ \$otimes$\$Phi }$가 $양수$여야 합니다.이러한 지도를 완전 긍정적이라고 합니다.
4. 밀도 매트릭스는 트레이스 1을 가지도록 지정되므로 $\displaystyle\Phi }$는 트레이스를 유지해야 합니다.

지도를 기술하는 데 사용되는 완전한 양의 형용사 및 배선 보존은 CPTP로 생략되기도 합니다.문헌에서는$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle\Phi)$가 트레이스 인크리먼트 되지 않도록 네 번째 특성이 약해지는 경우가 있습니다.이 문서에서는 모든 채널이 CPTP라고 가정합니다.

하이젠베르크 그림

H에 작용하는_A 밀도 행렬은 H에 있는_A 연산자의 적절한 부분 집합만을 구성하며, 시스템 B에 대해서도 마찬가지라고 할 수 있다.그러나 밀도 행렬 사이의 선형 지도$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle$ \$Phi}$가 지정되면, 유한 차원 가정과 함께 표준 선형성 인수를 통해 연산자의 전체 공간으로 고유하게$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle \Phi}$를 확장할 수 있다.이것에 의해, 인접 맵 $「」({$이 표시됩니다.이 맵은 하이젠베르크 그림에서의$\phi {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle\Phi$})의$$ 액션을 나타냅니다.

연산자 L(H_A)과 L(H_B)의 공간은 힐베르트-슈미트 내적을 갖는 힐베르트 공간이다.따라서 $\delta {\displaystyle \mathrm{}}$:${\displaystyle {}_{}}$ ( H${\displaystyle {}_{}{A}_{}}$ ) ${\displaystyle \to L}$ ( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$) \$display$ \ $Phi$: L ( H _ { A ) \ $rightarrow L$ ( H _ { B$$) }을$$ 힐베르트 공간 사이의 지도로서 보면, 다음과 같은 인접점$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ \$display$ \ $Phi }$를^* 얻을 수 있다.

$\displaystyle A,\Phi (\rho)\rangle =\phi ^{*}(A),\rho \rangle.}$

$\phi {\displaystyle \mathrm{}}$\ $displaystyle$\$Phi }$는 A의 상태를 B의 상태로 $가져오는$ 반면 ${\$ \ $displaystyle$\ Phi $^$ { * }는$$ 시스템 B의 관측 가능 상태를 A의 관측 가능 상태로 매핑합니다.이 관계는 슈뢰딩거와 하이젠베르크의 역학 기술 사이의 관계와 같다.측정 통계는 상태가 작동되는 동안 관측가능성이 고정된 것으로 간주되는지 또는 그 반대로 간주되는지 여부에 관계없이 변경되지 않습니다.

$\phi {\displaystyle \mathrm{}}${ $displaystyle$\ $Phi }$가 트레이스 보존이라고 가정할 경우 $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$∗ ∗ \ $displaystyle$ \ $Phi ^$ { * } 、 즉 ${\displaystyle \phi {}^{}=}$I \ $displaystyle$\ $Phi$^ { * （ $I$） $=$ ${\displaystyle \mathrm{ital}}$ italitalital that that that that that that that that that thatitalitalitalital it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it \ \ \ \ it \ \ \ \ \ \ \ \ \ it it it it it it it$I$ 물리적으로 말하면 하이젠베르크 그림에서 채널을 적용한 후에도 사소한 관찰이 사소한 상태로 남아 있는 것을 의미합니다.

클래식 정보

지금까지는 양자 정보만 전송하는 양자 채널만 정의했습니다.도입부에서 설명한 바와 같이 채널의 입출력에는 고전적인 정보도 포함될 수 있습니다.이를 설명하기 위해서는 지금까지의 공식을 어느 정도 일반화시킬 필요가 있다.하이젠베르크 그림에서 순수 양자 채널은 연산자 공간 사이의 선형 지도 δ이다.

$\Displaystyle \Psi : L(H_{B})\오른쪽 화살표 L(H_{A})}$

단수적이고 완전히 긍정적이다(CP).연산자 공간은 유한 차원 C*-대수로 볼 수 있습니다.따라서 채널은 C*-algebras 간의 유니탈 CP 맵이라고 할 수 있습니다.

$(\displaystyle \Psi : {\mathcal {B}}\rightarrow {mathcal {A}).}$

그런 다음 고전적인 정보를 이 공식에 포함할 수 있습니다.기존 시스템의 관측 가능은 교환 C*-대수로 가정할 수 있습니다. 즉$,$ 일부 $집합{\displaystyle }$X(\$displaystyle$$$X$)$에서 연속 $함수{\displaystyle }$ C$)$의 공간 C(\$displaystyle$ C$(X$$)$는 $유한$하므로 C$)$와 식별할 수 있습니다.${\displaystyle {}^{}}$n \ $displaystyle$\ $mathbb { R$ } $^${ $n$ } (엔트리 단위 곱셈 포함)

따라서 하이젠베르크 그림에서 고전 정보가 입력의 일부인 경우 관련 고전 관측 가능량을 포함하도록 B$(\$displaystyle$\mathcal$ {$B})$를 정의한다.예를 들어 채널은

$\Displaystyle \Psi : L(H_{B})\otimes C(X)\오른쪽 화살표 L(H_{A}).}$

$주의{\displaystyle :}$ L ( ${\displaystyle H_{}}$B )${\displaystyle }$c${\displaystyle C}$ (${\displaystyle X}$ $){$ $displaystyle$L ( $H$_ { $B$)\$otimes$C ( $X$)는$$ 아직 C*-대수입니다.C*-$algebra{\displaystyle \mathcal{}}$ A의 $요소{\displaystyle }$ a$(\displaystyle$$A)$는 x$(\displaystyle$ x$)$에 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle =}$ x$displaystyle$ a=x^{*}$x)$일 $경우{\displaystyle }$ 정의라고 합니다. 이에 따라 맵의 긍정성이 정의됩니다.이러한 특성은 보편적으로 받아들여지지 않는다; 양자 기구는 때때로 양자 및 고전 정보를 전달하기 위한 일반화된 수학적 프레임워크로 주어진다.양자역학의 공리화에서 고전적 정보는 프로베니우스 대수 또는 프로베니우스 범주에 포함된다.

예

미국.

상태는 관측 가능에서 기대값으로의 매핑으로 간주되며 채널의 직접적인 예입니다.

시간의 진화

순수 양자 시스템의 경우, 특정 시간 t에서의 시간 진화는 다음과 같이 주어진다.

$\displaystyle \rho \오른쪽 화살표 U\rho \;U^{*},$

${\displaystyle {여기}^{}}$서 U ${\displaystyle ={}^{}}$ - ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle H^{}}$t /$${\ { $displaystyle$ U$=e^{-iHt/\hbar$}}는 Hamiltonian이고 t는 시간입니다.분명히 이것은 슈뢰딩거 그림의 CPTP 맵을 제공하므로 채널입니다.하이젠베르크 그림의 이중 지도는

$(\displaystyle A\오른쪽 화살표 U^{*}AU)$

제한

상태 $공간$이 ${\displaystyle H_{}}$ A${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$B .$${ $displaystyle H_{A}$ \$otimes$ H_${B}$인 복합 양자 시스템을 고려합니다.

$(\displaystyle\rho\in H_{A}\otimes H_{B})$

시스템 A의 상태 θ의^A 감소는 B 시스템에 대한 부분 트레이스 θ를 취함으로써 얻을 수 있습니다.

$\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {Tr}_{B}\;\rho .}$

부분 추적 연산은 CPTP 맵이므로 슈뢰딩거 그림의 양자 채널입니다.하이젠베르크 그림에서 이 채널의 이중 지도는

${\style A\오른쪽 화살표 I_{B}}$

여기서 A는 시스템 A에서 관찰할 수 있습니다.

관찰 가능

한 관측할 수 있는 연결합니다의 숫자 값 fi∈ C{\displaystyle f_{나는}\in \mathbb{C}}에 양자 역학적 효과 F나는{\displaystyle F_{나는}}. F나는{\displaystyle F_{나는}}의 것으로 가정할 긍정적인 사업자 연기에 적절한 국가 공간과 ∑ 나는 F 나는 정도 나는{\textstyle \sum_{나는}F_{나는}=.는 하이젠베르크의 묘사에서 나는}.(그런 컬렉션인 POVM라고 불린다.), 해당 식별할 수 있는 지도 Ψ{\displaystyle \Psi}고전적인 식별할 수 있는 매핑.

$C(X)에서 \displaystyle f=syslog{bmatrix}f_{1}\vdots\f_{n}\end{bmatrix}\in$

양자역학에 대해서

$\displaystyle \;\Psi (f)=\sum _{i}f_{i}F_{i}}$

즉, POVM에 대해 f를 적분하여 관측 가능한 양자역학을 얻는다.$\displaystyle\Psi }$가 CP이며 unital임을 쉽게 확인할 수 있다.

해당하는 슈뢰딩거 맵 ${\$ {\$displaystyle \Psi ^{*}}$은(는) 밀도 행렬을 클래식 상태로 만듭니다.

${\displaystyle \Psi(\rho)=vmatrix F_{1},\rho \rangle \vdots \,\rho \rangle \end {bmatrix},$

여기서 내부 산물은 힐버트-슈미트 내부 산물이다.게다가, 상태를 정규화된 함수로 보고, Riesz 표현 정리를 호출하면, 우리는 다음과 같이 할 수 있다.

$(\displaystyle \Psi (\rho )=vdots \\rho (F_{n})\end {bmatrix}).}$

기구

슈뢰딩거 그림에서 관측 가능한 지도는 순수하게 고전적인 출력 대수를 가지며, 따라서 측정 통계만을 기술합니다.상태 변화도 고려하기 위해 양자 기구라고 하는 것을 정의합니다.{ ${\displaystyle {F\mathrm{}}_{}}$1 , ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle F_{}}$ n $}$ { $displaystyle$\ { $F$_ {1$}$ , \$dots$ , $F$_ { $n$} \ } the$$ 、 관찰 가능한 이펙트(POVM)로 합니다$.{\displaystyle }$슈뢰딩거 그림에서 계측기는 순수 양자 입력 ${\displaystyle \delta }$L$H)$ {${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$\$rho$${\displaystyle }$\in L$(H$$)}$ {\displaystyle \Rho$$\${\displaystyle \mathrm{in}}$ L(H)} {\$displaystyle$ C$(X)\otimes$ L$(H$):

$\displaystyle \Phi (\rho )=cdot F_{1}\\vdots \\rho (F_{n})\cdot F_{n}\end {bmatrix}.}$

허락하다

$C(X)에서 {\displaystyle f=sys{bmatrix}f_{1}\vdots\f_{n}\end{bmatrix}\.}$

하이젠베르크 그림의 이중 지도는

$\Displaystyle \Psi(f\otimes A)=si begin {bmatrix}f_{1}\Psi _{1}(A)\vdots \\f_{n}\Psi _{n}(A)\end {bmatrix}}$

$여기$서 ${\displaystyle {\psi }_{}}$i \ $displaystyle$\$Psi$_ {$i$ } is$$:: ${\displaystyle {}_{}^{}}$ F ${\displaystyle i_{}}$ $=$ ${\displaystyle M_{}^{}}$ i$$ { \ $displaystyle F$_ { i } = $M$_ { $i$}^2$}$（ POVM의 요소가 양수이므로 항상 수행할 수 있습니다) ${\displaystyle {\psi }_{}}$ I${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ $디스플레이$ ${\displaystyle I_{}}$\ $sisplay$ style \ si $;$$M_{i}AM_{i$$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle\Psi)$는 CP이며 유니탈임을 알 수 있습니다.

$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle fi}$I$$) { $displaystyle \Psi ( f$ \ $times$ I$$) }는$$ 정확하게 관측 가능한 지도를 제공합니다.지도

${\displaystyle {\Psi }}(A)=\sum _{i}\psi_{i}=\sum _{i}M_{i}AM_{i}}$

에 상태 변화 전반에 대한 설명을 나타냅니다.

측정 및 준비 채널

두 당사자 A와 B가 다음과 같은 방법으로 통신하기를 원한다고 가정하자: A는 관측 가능한 물질의 측정을 수행하고 측정 결과를 B에게 고전적으로 전달한다.받은 메시지에 따라 B는 특정 상태에서 자신의 (양자) 시스템을 준비한다.슈뢰딩거 그림에서 채널$\delta$의 첫 번째 $부분(\displaystyle$\Phi$$₁$)$은 단순히 A가 측정하는 것으로 구성됩니다. 즉, 관측 가능한 지도입니다.

$\displaystyle \;\Phi _{1}(\rho)=\vdots \\rho (F_{n})\end{bmatrix}.}$

i번째 측정 결과에서 B가 시스템을 R 상태로_i 준비하면 채널$δ$의₂ 두 번째 부분은 위의 고전적인 상태를 밀도 매트릭스로 변환합니다$.$

$\displaystyle \Phi _{2}\flight {bmatrix}\rho (F_{1}\vdots \\rho (F_{n}\end {bmatrix}\right)=\sum _{i}\rho (F_{i})R_{i}}$

전체 연산은 다음 구성입니다.

$\displaystyle \Phi (\rho )=\Phi _{2}\phi _{1}(\rho)=\sum _{i}\rho (F_{i})R_{i}}$

이 형식의 채널은 Measure-and-Prepare 또는 Holevo 형식이라고 불립니다.

하이젠베르크 그림에서 $듀얼{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 맵 ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ∗ $=$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ∘ ∘ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ \ $displaystyle \Phi$ ^{*}=\$Phi$_ {1$}^*}$ \ $phi _{2}^*}$는 다음과 같이 정의됩니다$.$

${\displaystyle\;\Phi^{*}(A)=\sum _{i}R_{i}(A)F_{i}}$

측정 및 준비 채널은 아이덴티티 맵으로 할 수 없습니다.이것은 고전적인 텔레포트가 불가능하다는 무 텔레포트의 정리입니다.즉, 양자 상태를 신뢰성 있게 측정할 수 없다.

채널 상태 이중성에서는 대응하는 상태가 분리 가능한 경우에만 채널이 측정 및 준비됩니다.실제로 측정 및 준비 채널의 부분적인 동작에 의해 발생하는 모든 상태는 분리 가능하며, 이러한 이유로 측정 및 준비 채널은 얽힘 차단 채널이라고도 합니다.

순수 채널

하이젠베르크 그림에서 순수 양자 채널$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle\Psi)$의 경우를 생각해 봅시다.모든 것이 유한 차원이라고 가정하고,$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle\$Psi$)$는 행렬 공간 사이의 단수 CP 맵이다.

$\displaystyle \Psi :\mathbb {C}^{n\times n}\rightarrow \mathbb {C}^{m\times m}.}$

완전 포지티브 맵에 대한 최정리에 따르면$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle\$Psi$)$는 형식을 취해야 한다.

${\displaystyle \Psi (A)=\sum _{i=1}^{N}K_{i}AK_{i}^{*}}$

여기서 N µnm 입니다.행렬_i K는$δ의$Kraus 연산자(이 $행렬$을 도입한 독일의 물리학자 Karl Kraus의 이름을 따옴$)$라고 불린다.Kraus 연산자의 최소 수는 Kraus 등급$of{\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle \Psi$이며, Kraus 등급 1인 채널은 pure라고 합니다.시간 진화는 순수한 채널의 한 예입니다.이 용어는 다시 채널스테이트의 이중성에서 유래합니다.채널은 듀얼 상태가 순수 상태일 경우에만 순수합니다.

텔레포트

양자 순간이동에서 송신자는 입자의 임의의 양자 상태를 아마도 멀리 있는 수신자에게 전송하기를 원합니다.그 결과, 텔레포트 프로세스는 양자 채널이다.프로세스 자체를 위한 장치는, 리시버에 얽힌 상태의 1개의 입자를 송신하기 위한 양자 채널을 필요로 한다.순간 이동은 전송된 입자와 나머지 얽힌 입자의 공동 측정에 의해 발생합니다.이 측정을 통해 텔레포트를 완료하기 위해 수신기로 전송해야 하는 고전적인 정보가 생성됩니다.중요한 것은 양자 채널이 존재하지 않게 된 후에 고전적인 정보를 보낼 수 있다는 것입니다.

실험 설정에서

실험적으로, 양자 채널의 간단한 구현은 단일 광자의 광섬유(또는 그 문제의 빈 공간) 전송이다.표준 광섬유에서는 손실이 지배적이기 전에 단일 광자를 100km까지 전송할 수 있습니다.광자의 도착 시간(타임빈 얽힘) 또는 편광은 양자 암호와 같은 목적을 위해 양자 정보를 인코딩하는 기준으로 사용됩니다.채널은 기본 상태(0>, 1> 등)뿐만 아니라 그 중첩(예를 들어 0>+ 1> 등)도 전송할 수 있습니다.채널을 통해 전송되는 동안 상태의 일관성이 유지됩니다.이것을 고전적인 정보(예: 0s 및 1s)만 전송할 수 있는 와이어(고전 채널)를 통한 전기 펄스의 전송과 대조해 보십시오.

채널 용량

채널의 cb-norm

채널 캐퍼시티의 정의를 제시하기 전에 채널의 완전한 경계성, 즉 cb-norm의 예비 개념에 대해 논의할 필요가 있습니다.채널$(\displaystyle$ \Phi $）$의 용량을 고려할 때 "이상 $채널{\displaystyle \mathrm{}}$"$${\(\$displaystyle \Lambda$})$$과 비교해야 합니다.예를 들어 입력 대수와 출력 대수가 동일한 경우$\lambda {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle \Lambda ）$를 ID 맵으로 선택할 수 있습니다.이러한 비교에는 채널 간의 메트릭이 필요합니다.채널은 선형 연산자로 볼 수 있으므로 자연 연산자 규범을 사용하는 것이 좋습니다.즉, 이상적인 채널$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle$\Phi$$$)$에 대한$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle\Lambda)$의 근접도는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

$(\displaystyle \\Phi -\Lambda \=\sup\{\(\Phi -\Lambda)(A)(\;\A\leq 1\})$

그러나 일부 안킬라에서 식별 맵과 함께 $\displaystyle\Phi$를 텐서링하면 연산자 기준이 증가할 수 있다.

측정 시스템이 훨씬 더 바람직하지 않은 후보로서 규격을 정하도록 하기 위해, 수량은

${\displaystyle\Phi\otimes I_{n}\}$

n ${\displaystyle \to \mathrm{.}}$ $n{\displaystyle }$ n$$。{ $displaystyle$ n$\rightarrow \infty$} 솔루션은$$ C*-algebras 사이의 선형 맵$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ { $displaystyle \Phi }$에 대해 cb-norm을 도입하는 것입니다.

${\displaystyle\Phi\_{cb}=\sup_{n}\Phi\otimes I_{n}\ .}$

채널 용량의 정의

여기서 사용되는 채널의 수학적 모델은 고전적인 것과 동일합니다.

${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$: B ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{\mathrm{}}}$1 {\$displaystyle \Psi$ : {\$mathcal {B}}_{1}\rightarrow${\$mathcal {A}}_{1$}을$$ 하이젠베르크 그림의 채널로 하고, ${\displaystyle {\delta i}_{\mathrm{}}{}_{}{\mathcal{}}_{}}$ : ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{\mathrm{}}}$2 ${\displaystyle$ \$Psi _{{{{\mathcal$ {A}}_$}}$ {\}}} {$ar$} {{}}} {\}} {\}} {\} {\rightcal} {$ar}$ {}} {}} {}} {} {비교를 가능하게 하려면 적절한 장치를 통해 δ를 인코딩 및 디코딩해야 합니다. 즉, 구성을 고려해야 합니다.

$(\displaystyle {\hat } = D\circ \Phi \circ E:{\mathcal {B}}_{2}\rightarrow {\mathcal {A}}_{2})$

여기서 E는 인코더, D는 디코더입니다.이 문맥에서 E와 D는 적절한 도메인을 가진 단일 CP 맵입니다.관심의 양은 최상의 경우 시나리오입니다.

$\displaystyle \Delta(\hat {Psi },\Psi _{id}=\inf _{E,D}\{hat {Psi }}-\Psi _{id}\_{cb})$

가능한 모든 인코더와 디코더보다 최소값이 우선됩니다.

길이 n의 단어를 전송하기 위해, 이상적인 채널은 n번 적용되는 것이다, 그래서 우리는 텐서 파워를 고려한다.

${\displaystyle \Psi _{id}^{otimes n}=\Psi _{id}\cdots \Psi _{id}.}$

${\$ { $displaystyle$$\otimes$ $}$ 연산은$$ $ψ$ ${\displaystyle i_{}}$d { $displaystyle$ \ Psi _ {$id}$ 연산을 독립적으로$$ 수행하는 n개의 입력을 기술하며, 연결의 양자역학적 대응물이다.마찬가지로 채널의 호출은 ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}^{}}$ ^ ${\displaystyle {^}^{}}$ $m$m {\$displaystyle {\ Psi$}}^{\$otimes$ m$\}$ 에 대응합니다.

수량

$({displaystyle\Delta(\hat {Psi }}^{\otimes m},\Psi _{id}^{\otimes n})}$

따라서 는 m회 호출됨으로써 길이n의 워드를 충실하게 송신하는 채널의 능력을 나타내는 척도입니다.

이를 통해 다음과 같은 정의가 도출됩니다.

음수가 아닌 실수 r은 다음과 같은 경우 ${\displaystyle {\mathrm{\delta i}}_{}}$d_{$displaystyle \Psi}$에 대해 달성 가능한 $비율이다.$

모든 시퀀스${\displaystyle }${${\displaystyle n_{}}$ α${\displaystyle \},}$ {${\displaystyle m_{}}$ α${\displaystyle {}_{}}$}${\displaystyle n\mathbb{}}$ N ${\$$displaystyle$$$\{$n_{\alpha}\}\$$display{\displaystyle {}_{}}$$$\mathbb$$ {$N} }$ ${\displaystyle {여기}_{}}$서 m ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ \ $displaystyle m_{\$alpha $}\$ \infty$$ α ( lim$displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$ )

$\displaystyle \lim _{\alpha }\Delta {Hat {Psi }^{\otimes m_{\alpha}},\Psi _{id}^{\otimes n_{\alpha }= 0.}$

시퀀스${\displaystyle }${${\displaystyle n_{}}$ α $}$ {$displaystyle$\{$n_{\alpha$}\}}은$$ 무한한 수의 단어로 구성된 메시지를 나타내는 것으로 볼 수 있습니다.정의의 한계우위조건은 제한에서는 채널의 호출에 의해 단어 길이의 r배 이하로 충실한 전송을 달성할 수 있다고 합니다.r은 에러 없이 송신할 수 있는 채널의 호출당 글자 수라고도 할 수 있습니다.

C$ψ$ ${\displaystyle i_{}}$ d$)$로 ${\displaystyle 표시}$되는 ${\displaystyle {\psi }_{}}$ i $d$_ {$id}$에 대한 $\psi {\displaystyle \mathrm{}}$\$$$display$style \$Psi$$}$의 채널 용량은 달성 가능한 모든 속도 중 최고입니다.

정의에 따르면 0은 어느 채널에서도 달성 가능한 레이트입니다.

한 예 ★★★★★

앞에서 설명한 바와 같이, 관측 $가능$한 대수$$B(\$displaystyle\mathcal$ {B$\})$를 갖는 계에 대해 이상적인 채널 ${\displaystyle {\mathrm{\delta i}}_{}}$d_{$displaystyle\Psi_{id})$는 정의상 아이덴티티 $맵{\displaystyle {}_{}}$ I $(\$이며, 순수 n차원 양자계에서는 이상적인 채널은 공간상의 아이덴티티티티이다.f n × n $행렬{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$n ×$$ {\$displaystyle \mathbb {C}$^{$n\times$n$\}.$ 이 이상적인 양자 채널은 C n${\displaystyle {}^{}}$×$$(\$displaystyle \mathbb$ {$C}$^{$n\times$n$\})$로 표시된다. 마찬가지로 출력 $대수{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$ {\$style\display\mathbbb$ {C}을 갖는 고전적인 시스템에는 {c}이$$ 있습니다$.$nnel은 같은 기호로 나타납니다.이제 몇 가지 기본적인 채널 용량을 설명할 수 있습니다.

양자 이상 $채널{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$×$$ {\$displaystyle$$\mathbb {C} ^{m}$에 대한 고전 이상 $채널{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ m$${\$displaystyle$ \$mathbb {C} ^{n\times$n}}의$$ 채널 용량은 다음과 같습니다.

$\displaystyle C(\mathbb {C} ^{m},\mathbb {C} ^{n\times n})= 0.}$

이것은 무이동 정리와 같다: 고전적인 채널을 통해 양자 정보를 전송하는 것은 불가능하다.

또한 다음과 같은 동등성이 유지된다.

$(\displaystyle C(\mathbb {C} ^{n})=C(\mathbb {C} ^{m\times m},\mathbb {C} ^{n\times n})=C(\mathbb {C} ^{m\times m} =log {c})}$

예를 들어, 이상적인 양자 채널은 이상적인 고전 채널과 마찬가지로 고전적인 정보를 전송하는데 효율적이지 않다는 것이 위의 설명입니다.n = m일 때 얻을 수 있는 최선은 큐비트당 1비트입니다.

여기에서 상기 용량에 대한 두 가지 경계가 얽힘의 도움으로 깨질 수 있다는 점에 유의해야 한다.얽힘 보조 텔레포트 방식은 고전적인 채널을 이용해 양자 정보를 전송할 수 있게 해준다.초고밀도 부호화큐비트당 2비트를 달성합니다.이러한 결과는 양자 통신의 얽힘에 의한 중요한 역할을 나타낸다.

클래식 및 양자 채널 용량

이전 서브섹션과 동일한 표기법을 사용하여 채널 δ의 기존 용량은 다음과 같습니다.

$\displaystyle C(\Psi,\mathbb {C}^{2}),}$

즉, 기존 1비트 $시스템{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$의 이상적인 채널에 대한 δ의 용량입니다.\ $displaystyle \mathbb {C}^{2$

마찬가지로 δ의 양자 용량은 다음과 같다.

$(\displaystyle C(\Psi,\mathbb {C}^{2\times 2)),}$

여기서 기준 시스템은 1 큐비트 $시스템{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$× $(\$ 2)입니다$.$

채널 충실도

이 섹션은 확장해야 합니다.추가함으로써 도움이 될 수 있습니다. (2008년 6월)

양자 채널이 정보를 얼마나 잘 보존하는지에 대한 또 다른 척도는 채널 충실도라고 불리며, 양자 상태의 충실도에서 발생합니다.

쌍탄성 양자 채널

쌍탄성 양자 채널은 양자 채널${\displaystyle }\delta {\displaystyle \mathrm{}}$( $δ$ \displaystyle $\Phi(\rho))$로, 즉 ^[2]$\delta {\displaystyle \mathrm{}(I)}$ $=$$$(\$displaystyle \Phi(I$)=$저$는$...$

「 」를 참조해 주세요.

• 무통신 정리
• 진폭 댐핑 채널

레퍼런스

• M. Keyl과 R. F. Werner, 작은 양자 오류를 수정하는 방법, 물리학 권 611, Springer, 2002.
• 를 클릭합니다Wilde, Mark M. (2017), Quantum Information Theory, Cambridge University Press, arXiv:1106.1445, Bibcode:2011arXiv1106.1445W, doi:10.1017/9781316809976.001.