슈뢰딩거-HJW 정리

양자정보이론과 양자광학에서 슈뢰딩거-HJW 정리는 순수 양자 상태의 앙상블로서 양자 시스템의 혼합 상태의 실현과 밀도 연산자의 해당 정제 사이의 관계에 관한 결과입니다. 이 정리는 물리학자이자 수학자인 에르빈 슈뢰딩거(Erwin Schrödinger,^[1] Lane P)의 이름을 따서 지어졌습니다. 휴스턴, 리차드 조즈사, 윌리엄 우터스.^[2] 그 결과는 Nicolas Gisin과 ^[3]Nicolas Hadjisavas가 에드 제인스의 작업을 통해 독립적으로(부분적이지만) 발견한 반면,^[4]^[5] N. David Mermin도 마찬가지로 독립적으로 발견했습니다.^[6] 복잡한 역사 덕분에 GHJW 정리,^[7] HJW 정리, 정제 정리 등 다양한 다른 이름으로도 알려져 있습니다.

혼합 양자 상태의 정제

${\mathcal {H}}_{S}$ ${\displaystyle {\$ $mathcal$ ${H}}_{S}$ 를 유한 차원 복소 힐베르트 공간이라고 하고 $,$ HS ${\displaystyle$ {H ${\mathcal {H}}_{S}$ _{S}에 ${\mathcal {H}}_{S}$ 된 일반적인(혼성 가능성 있는) 양자 상태 $\rho$ ρ ${\displaystyle$ \rho}를 고려하고, 형태의 분해를 인정합니다.

\rho =\sum _{i}p_{i} \phi _{i}\rangle \!\lang \phi _{i},

(꼭 상호 직교할 필요는 없음) 상태

|\phi _{i}\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}

ϕ i

|\phi _{i}\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}

⟩ ∈

HS {\displaystyle

\

phi_{i}\rangle

\in {\

mathcal {H}}_{S}의 경우 계수 pi ≥ 0 {\displaystyle p_{i}\geq 0}의 경우 ip = 1 {\textstyle \sum_{i}p_{i}=1}입니다. 임의의 양자 상태는 임의의

\{|\phi _{i}\rangle \}_{i}

ϕ i

\{|\phi _{i}\rangle \}_{i}

⟩ }i

{\displaystyle

\{

\phi

_

{

i

\{p_{i}\}_{i}

\{p_{i}\}_{i}

_{

}}

및 {

pi

\{p_{i}\}_{i}

i

{\displaystyle

\{p_{i}\}_{i}에 대해 이러한 방식으로 기록될 수 있습니다.

이러한 $\rho$ 의 $\rho$ ρ {\displaystyle \rho $}$ 는 정제될 수 있으며, 즉 더 큰 힐베르트 공간에 정의된 순수 상태의 부분적인 흔적으로 표현됩니다. 좀 더 정확하게는. it is always possible to find a (finite-dimensional) Hilbert space ${\mathcal {H}}_{A}$ and a pure state $\Psi _{SA}\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}\otimes {\mathcal {H}}_{A}$ such that $\rho =\operatorname {Tr} _{A}(|\Psi _{SA}\rangle \!\langle \Psi _{SA}|)$ ${\displaystyle \rho$ $=$ \ $operatorname {Tr}$ _ ${A}( \Psi _{SA}\rangle \!\lang$ \ $Psi _{$ SA $\rho =\operatorname {Tr} _{A}(|\Psi _{SA}\rangle \!\langle \Psi _{SA}|)$ 또한 이를 만족하는 $|\Psi _{SA}\rangle$ $ψ$ $SA$ $⟩$ ${\displaystyle \$ Psi _{SA}\rangle}는 모두 형식의 것입니다.

\Psi _{SA}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}\phi _{i}\rangle \otimes a_{i}\rangle,

어떤 정상적인 기준에 대해

\{|a_{i}\rangle \}_{i}\subset {\mathcal {H}}_{A}

{

\{|a_{i}\rangle \}_{i}\subset {\mathcal {H}}_{A}

⟩

}

i

⊂ HA

{\displaystyle

\{

a_

{i}\rangle \}\subset {\mathcal {H}_{A}}. 상태 ψ SA ⟩ {\displaystyle \Psi _{SA}\rangle }을 "ρ의 정제 {\displaystyle \rho }"라고 합니다. 보조 공간과 근거를 임의로 선택할 수 있기 때문에 혼합 상태의 정화는 고유한 것이 아니며, 실제로 주어진 혼합 상태의 정화는 무한히 많습니다.^[9] 그들 모두는 위에 주어진 형태로 분해를 인정하기 때문에, 임의의 한 쌍의 정제

|\Psi \rangle ,|\Psi '\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}\otimes {\mathcal {H}}_{A}

ψ

|\Psi \rangle ,|\Psi '\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}\otimes {\mathcal {H}}_{A}

⟩

,

ψ

|\Psi \rangle ,|\Psi '\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}\otimes {\mathcal {H}}_{A}

⟩ ∈ HS ⊗ HA

{\

displaystyle \

Psi \rangle,

\Psi'\rangle \in {\mathcal {H}_{S}\time {\mathcal {H}_{A}},

U:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A}

다음과 같은 단일

U:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A}

U

U:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A}

U:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A}

→

U:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A}

{\

displaystyle

U

:{\mathcal {H}_{A}\to

{\

mathcal {H}_{A}.

\Psi'\rangle = (I\otimes U) \Psi \rangle .

정리

Consider a mixed quantum state $\rho$ with two different realizations as ensemble of pure states as ${\textstyle \rho =\sum _{i}p_{i} \phi _{i}\rangle \langle \phi _{i} }$ and ${\textstyle \rho =\sum _{j}q_{j} \varphi$ $_{j}\rangle$ \langle \ $varphi _{j$ $|\phi _{i}\rangle$ 서 $⟩$ $i$ $|\varphi _{j}\rangle$ $ϕ$ {\ $displaystyle$ \phi _{i}\rangle } 및 $φ$ j $⟩$ {\displaystyle \varphi _{j}\rangle }는 서로 직교한다고 가정되지 않습니다. 다음과 같이 $\rho$ 상태 $\rho$ ρ {\displaystyle \rho} 판독값에 해당하는 두 가지 정화가 수행됩니다.

정화 1: $|\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle \otimes |a_{i}\rangle$ ψ SA $|\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle \otimes |a_{i}\rangle$ ⟩ = $|\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle \otimes |a_{i}\rangle$ ∑ $|\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle \otimes |a_{i}\rangle$ i i i i ⟩ ⊗ i ⟩ i ϕ {\displaystyle \Psi $_{SA$ }^{1}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}\phi _{i}\rangle \otimes a_{i}\rangle };
정화 2: $|\Psi _{SA}^{2}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes |b_{j}\rangle$ ψ SA $|\Psi _{SA}^{2}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes |b_{j}\rangle$ ⟩ = $|\Psi _{SA}^{2}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes |b_{j}\rangle$ ∑ j q j φ j ⟩ ⊗ b j ⟩ {\displaystyle \ $Psi$ _ ${SA$ }^{2}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}\varphi _{j}\rangle \otimes b_{j}\rangle }.

집합 $\{|a_{i}\rangle \}$ { $a$ $\{|a_{i}\rangle \}$ ⟩ } ${\displaystyle$ \{a_{i}\rangle \}} 및 {b j ⟩ } {\displaystyle \{b_{j}\rangle \}은 각 보조 공간의 직교 기저의 두 집합입니다. 이 두 정제는 보조 공간에 작용하는 단일 변환에 의해서만 다릅니다. 즉, $|\Psi _{SA}^{1}\rangle =(I\otimes U_{A})|\Psi _{SA}^{2}\rangle$ ψ SA 1 ⟩ = ( $|\Psi _{SA}^{1}\rangle =(I\otimes U_{A})|\Psi _{SA}^{2}\rangle$ ⊗ U A $)$ ψ SA $2$ ⟩ ${\displaystyle$ \Psi _{SA}^{1}\rangle = (I\otimes U_{A}) \Psi _{SA}^{2}\rangle }. 따라서, ${\textstyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes U_{A}|b_{j}\rangle }$ ⟩ ${\textstyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes U_{A}|b_{j}\rangle }$ ${\textstyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes U_{A}|b_{j}\rangle }$ ∑ ${\textstyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes U_{A}|b_{j}\rangle }$ j q j ⟩ ⊗ ${\textstyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes U_{A}|b_{j}\rangle }$ U $A$ b j ⟩ {\textstyle \Psi _{SA}^{1 ${\textstyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes U_{A}|b_{j}\rangle }$ \rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}\varphi _{j}\rangle \otimes U_{A} b_{j}\rangle }, 즉 정제 시스템에서 다른 측정을 수행하는 것만으로 혼합 상태의 다른 앙상블을 실현할 수 있습니다.

참고문헌

^ Schrödinger, Erwin (1936). "Probability relations between separated systems". Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 32 (3): 446–452. Bibcode:1936PCPS...32..446S. doi:10.1017/S0305004100019137.
^ Hughston, Lane P.; Jozsa, Richard; Wootters, William K. (November 1993). "A complete classification of quantum ensembles having a given density matrix". Physics Letters A. 183 (1): 14–18. Bibcode:1993PhLA..183...14H. doi:10.1016/0375-9601(93)90880-9. ISSN 0375-9601.
^ 기신, N. (1989) "신비한 양자 역학과 상대성," 헬베티카 물리학 Acta 62, 363-371.
^ Hadjisavvas, Nicolas (1981). "Properties of mixtures on non-orthogonal states". Letters in Mathematical Physics. 5 (4): 327–332. Bibcode:1981LMaPh...5..327H. doi:10.1007/BF00401481.
^ Jaynes, E. T. (1957). "Information theory and statistical mechanics. II". Physical Review. 108 (2): 171–190. Bibcode:1957PhRv..108..171J. doi:10.1103/PhysRev.108.171.
^ Fuchs, Christopher A. (2011). Coming of Age with Quantum Information: Notes on a Paulian Idea. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19926-1. OCLC 535491156.
^ Mermin, N. David (1999). "What Do These Correlations Know about Reality? Nonlocality and the Absurd". Foundations of Physics. 29 (4): 571–587. arXiv:quant-ph/9807055. Bibcode:1998quant.ph..7055M. doi:10.1023/A:1018864225930.
^ Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L., "The Schmidt decomposition and purifications", Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 110–111
^ Watrous, John (2018). The Theory of Quantum Information. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/9781316848142. ISBN 978-1-107-18056-7.
^ Kirkpatrick, K. A. (February 2006). "The Schrödinger-HJW Theorem". Foundations of Physics Letters. 19 (1): 95–102. arXiv:quant-ph/0305068. Bibcode:2006FoPhL..19...95K. doi:10.1007/s10702-006-1852-1. ISSN 0894-9875.

[1] Schrödinger, Erwin (1936). "Probability relations between separated systems". Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 32 (3): 446–452. Bibcode:1936PCPS...32..446S. doi:10.1017/S0305004100019137.

[2] Hughston, Lane P.; Jozsa, Richard; Wootters, William K. (November 1993). "A complete classification of quantum ensembles having a given density matrix". Physics Letters A. 183 (1): 14–18. Bibcode:1993PhLA..183...14H. doi:10.1016/0375-9601(93)90880-9. ISSN 0375-9601.

[3] 기신, N. (1989) "신비한 양자 역학과 상대성," 헬베티카 물리학 Acta 62, 363-371.

[4] Hadjisavvas, Nicolas (1981). "Properties of mixtures on non-orthogonal states". Letters in Mathematical Physics. 5 (4): 327–332. Bibcode:1981LMaPh...5..327H. doi:10.1007/BF00401481.

[5] Jaynes, E. T. (1957). "Information theory and statistical mechanics. II". Physical Review. 108 (2): 171–190. Bibcode:1957PhRv..108..171J. doi:10.1103/PhysRev.108.171.

[6] Fuchs, Christopher A. (2011). Coming of Age with Quantum Information: Notes on a Paulian Idea. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19926-1. OCLC 535491156.

[7] Mermin, N. David (1999). "What Do These Correlations Know about Reality? Nonlocality and the Absurd". Foundations of Physics. 29 (4): 571–587. arXiv:quant-ph/9807055. Bibcode:1998quant.ph..7055M. doi:10.1023/A:1018864225930.

[8] Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L., "The Schmidt decomposition and purifications", Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 110–111

[9] Watrous, John (2018). The Theory of Quantum Information. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/9781316848142. ISBN 978-1-107-18056-7.

[10] Kirkpatrick, K. A. (February 2006). "The Schrödinger-HJW Theorem". Foundations of Physics Letters. 19 (1): 95–102. arXiv:quant-ph/0305068. Bibcode:2006FoPhL..19...95K. doi:10.1007/s10702-006-1852-1. ISSN 0894-9875.

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