아인슈타인 장방정식

Einstein field equations

일반 상대성 이론에서 아인슈타인 장 방정식시공간의 기하학과 그 [1]안에 있는 물질의 분포를 연관짓습니다.

1915년 알베르트 아인슈타인이 발표한 방정식은 국소 시공간 곡률(아인슈타인 텐서로 표현)과 그 시공간 의 국소 에너지, 운동량 및 응력(스트레스-에너지 [3]텐서로 표현)을 관련시킨 텐서[2] 방정식의 형태로 발표되었습니다.

전자기장 맥스웰 방정식을 통해 전하와 전류의 분포와 관련되는 방식과 유사하게, EFE는 시공간 기하학을 질량-에너지, 운동량 및 응력의 분포와 관련시킵니다. 즉, 시공간 내 응력-에너지-운동량의 주어진 배열에 대한 시공간의 메트릭 텐서를 결정합니다.메트릭 텐서와 아인슈타인 텐서의 관계는 EFE를 이러한 방식으로 사용할 때 비선형 편미분 방정식의 집합으로 쓸 수 있게 합니다.EFE의 솔루션은 메트릭 텐서의 구성 요소입니다.그런 다음 지오데틱 방정식을 사용하여 결과 기하학에서 입자와 방사선관성 궤적을 계산합니다.

국소 에너지-운동량 보존을 암시할 뿐만 아니라, EFE는 약한 중력장과 [4]빛의 속도보다 훨씬 낮은 속도의 한계에서 뉴턴의 중력 법칙으로 감소합니다.

EFE에 대한 정확한 해결책은 대칭과 같은 단순화 가정하에서만 찾을 수 있습니다.회전하는 블랙홀팽창하는 우주와 같은 많은 중력 현상을 모델링하기 때문에 정확한 해의 특별한 종류가 가장 자주 연구됩니다.평탄한 시공간에서 작은 편차만 발생하여 선형화된 EFE로 이어지는 것으로 시공간을 근사화하는 과정에서 더욱 단순화됩니다.이 방정식들은 중력파와 같은 현상을 연구하는 데 사용됩니다.

수학형식

아인슈타인 필드 방정식(EFE)은 다음과 같은 [5][1]형태로 작성될 수 있습니다.

네덜란드 라이덴의 벽에 붙은 EFE

μ ν }}는 아인슈타인 텐서, μ ν }}는 메트릭 텐서, ν {\ 스트레스 에너지 텐서, λ{\우주 상수, κ 는 아인슈타인 중력 상수입니다.

아인슈타인 텐서는 다음과 같이 정의됩니다.

여기μν R은 리치 곡률 텐서이고, R스칼라 곡률입니다.이것은 메트릭 텐서와 그 첫 번째 및 두 번째 도함수에만 의존하는 대칭적인 2차 텐서입니다.

아인슈타인 중력 상수는 다음과 같이 정의됩니다[6][7].

여기서 G는 뉴턴 중력 상수이고 c는 진공에서의 빛의 속도입니다.

따라서 EFE는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

표준 단위에서 왼쪽의 각 항은 길이가 1/길이인2 단위를 가집니다.

왼쪽 표현식은 메트릭에 의해 결정된 시공간의 곡률을 나타내고, 오른쪽 표현식은 시공간의 스트레스-에너지-운동량 내용을 나타냅니다.그러면 EFE는 응력-에너지-운동량이 시공간의 곡률을 결정하는 방법을 나타내는 방정식의 집합으로 해석될 수 있습니다.

이 방정식들은 낙하하는 물질이 시공간을 통해 얼마나 자유롭게 이동하는지를 지시하는 측지 [8]방정식과 함께 일반 상대성 이론수학적 공식의 핵심을 형성합니다.

EFE는 대칭 4 × 4 텐서 집합과 관련된 텐서 방정식입니다.각 텐서에는 10개의 독립적인 구성요소가 있습니다.4개의 비앙키 항등식은 독립 방정식의 수를 10개에서 6개로 줄이고, 미터법은 좌표계 선택의 자유에 해당하는 4개게이지 고정 자유도를 남깁니다.

아인슈타인 장 방정식은 처음에는 4차원 이론의 맥락에서 공식화되었지만, 일부 이론가들은 n차원에서 [9]그 결과를 탐구했습니다.일반 상대성 이론을 벗어난 맥락에서의 방정식은 여전히 아인슈타인 장 방정식이라고 불립니다.진공장 방정식은 아인슈타인μν 다양체를 정의합니다.

방정식은 보이는 것보다 더 복잡합니다.응력-에너지 텐서 형태의 물질과 에너지의 특정 분포가 주어지면, 리치 텐서와 스칼라 곡률 모두 복잡한 비선형 방식으로 메트릭에 의존하기 때문에 EFE는 메트릭 μ ν{\ 에 대한 방정식으로 이해됩니다.완전히 작성되면 EFE는 비선형 쌍곡 타원형 편미분 [10]방정식이 결합된 10개의 시스템입니다.

서명공약

위와 같은 형태의 EFE는 Misner, Thorne, Wheeler(MTW)[11]가 제정한 표준입니다.저자들은 존재하는 규약을 분석하고 이를 세 가지 기호에 따라 분류했습니다([S1] [S2] [S3]).

위의 세 번째 기호는 Ricci 텐서에 대한 규약 선택과 관련이 있습니다.

이러한 정의로 Misner, Thorne, Wheeler는 (+++)로 분류되는 반면 Weinberg(1972)[12] (+ -), Peebles(1980),[13] Efstathiou et al.(1990)[14] (- + +), Rindler(1977),[citation needed] Atwater(1974),[citation needed] Collins Martin & Squires(1989),[15] Peocke(1999)[16] (- + -)로 분류됩니다.

아인슈타인을 포함한 저자들은 리치 텐서에 대한 정의에서 다른 부호를 사용하여 오른쪽의 상수가 음수라는 결과를 내었습니다.

만약 여기서 채택된 MTW (- + + + ) 미터법 부호 규약이 아닌 (+ - - ) 미터법 부호 규약을 사용한다면 우주항의 부호는 이 두 가지 버전 모두에서 변경될 것입니다.

동치 제형

EFE 양쪽의 메트릭을 기준으로 추적하기

여기서 D는 시공간 차원입니다.R을 풀고 이것을 원래의 EFE로 대입하면 다음과 같은 동등한 "추적 반전" 형태를 얻습니다.

D = 4차원에서는 다음과 같이 줄어듭니다.

추적을 다시 반대로 하면 원래 EFE가 복원됩니다.트레이스 반전 형식은 경우에 따라 더 편리할 수 있습니다(예를 들어, 약한 필드 한계에 관심이 있고 오른쪽 식의 g {\ 정확도의 큰 손실 없이 민코프스키 메트릭으로 할 수 있는 경우).

우주 상수

아인슈타인 장방정식에서

우주 상수 Ⅱ를 포함하는 용어는 그가 원래 발표한 버전에서 없었습니다.아인슈타인은 팽창하거나 수축하지 않는 우주를 허용하기 위해 우주 상수와 함께 이 용어를 포함시켰습니다.이 작업은 다음과 같은 이유로 실패했습니다.

  • 이 식에 의해 설명되는 원하는 정상 상태 용액은 불안정하며,
  • 에드윈 허블에 의한 관찰은 우리의 우주가 팽창하고 있다는 것을 보여주었습니다.

아인슈타인은 조지 가모프에게 "우주론 용어의 도입은 그의 생애에서 가장 큰 실수였다"고 말하면서 λ을 포기했습니다.

이 용어를 포함한다고 해서 불일치가 발생하지는 않습니다.수년간 우주 상수는 거의 보편적으로 0으로 추정되었습니다.최근 천문학적 관측에 따르면 우주의 팽창이 가속화되고 있으며, 이를 설명하기 위해서는 Δ의 양의 값이 [18][19]필요합니다.우주 상수는 은하의 크기 이하에서는 무시할 수 있습니다.

아인슈타인은 우주 상수를 독립적인 매개변수로 생각했지만, 장 방정식의 항은 대수적으로 다른 쪽으로 이동하여 응력-에너지 텐서의 일부로 통합될 수 있습니다.

이 텐서는 에너지 밀도 θvac 등방성 압력vac p를 갖는 고정 상수이고 다음과 같이 주어진 진공 상태를 설명합니다.

여기서 Δ는 SI 단위−2 m을 가지며 Δ는 위와 같이 정의된다고 가정합니다.

따라서 우주 상수의 존재는 진공 에너지의 존재와 반대 부호의 압력과 같습니다.이로 인해 일반 상대성 이론에서 "우주 상수"와 "진공 에너지"라는 용어가 혼용되고 있습니다.

특징들

에너지 및 운동량 보존

일반상대성이론은 다음과 같이 표현되는 에너지와 운동량의 국소적 보존과 일치합니다.

국소에너지-운동량 보존의 유도

차등 비앙키 아이덴티티 계약하기

g 가 주어졌을 , 메트릭 텐서가 공변적으로 일정하다는 사실, 즉 g = 0,

리만 텐서의 반대칭은 위 식의 두 번째 항을 다시 쓸 수 있게 해줍니다.

에 해당하는.
Ricci 텐서의 정의를 사용합니다.

다음으로 메트릭과 다시 계약합니다.

갖기 위해

리치 곡률 텐서와 스칼라 곡률의 정의는 다음을 보여줍니다.

로 다시 쓸 수 있는

gεδ 최종적인 수축은

괄호로 표시된 항의 대칭과 아인슈타인 텐서의 정의에 의해 지수를 다시 표시한 후,

EFE를 사용하면 즉시 효과가 나타납니다.

스트레스 에너지의 국소적 보존을 표현합니다.이 보존법은 물리적 요건입니다.그의 필드 방정식으로 아인슈타인은 일반 상대성 이론이 이 보존 조건과 일치하도록 보장했습니다.

비선형성

EFE의 비선형성은 일반 상대성 이론을 다른 많은 기본적인 물리 이론과 구별합니다.를 들어, 맥스웰의 전자기 방정식은 전기장자기장, 전하와 전류 분포에서 선형이며, 다른 예로는 파동함수에서 선형인 슈뢰딩거의 양자역학 방정식이 있습니다.

서신교환원리

EFE는 약한 장 근사치와 느린 운동 근사치를 모두 사용하여 뉴턴의 중력 법칙을 감소시킵니다.실제로 EFE에 나타나는 상수 G는 이 두 개의 근사치를 만들어 결정됩니다.

뉴턴의 중력 법칙 유도

뉴턴의 중력은 중력장 g =의 킬로그램당 줄의 중력 퍼텐셜인 스칼라장 이론으로 쓸 수 있습니다. 중력에 대한 가우스의 법칙 참조

여기서 ρ는 질량 밀도입니다.자유낙하 입자의 궤도는 다음을 만족합니다.

텐서 표기법에서, 이것들은

일반 상대성 이론에서 이 방정식들은 아인슈타인 장 방정식으로 대체됩니다.

어떤 상수에 대하여, K, 그리고 측지 방정식.

후자가 전자로 어떻게 감소하는지 보기 위해, 우리는 시험 입자의 속도가 대략 0이라고 가정합니다.

그리하여
그리고 미터법과 그 도함수는 대략 정적이고 민코프스키 미터법으로부터의 편차의 제곱은 무시할 수 있습니다.측지 방정식의 공간적 구성요소에 이러한 단순화된 가정을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
여기서 dt/dτ의 두 인자가 분할되었습니다.이는 뉴턴식 대응물로 감소할 것입니다.

우리의 가정은 α = i와 시간 (0) 도함수를 0으로 강제합니다.이를 통해 다음과 같은 작업을 간편하게 수행할 수 있습니다.

허용함으로써 만족되는.

아인슈타인 방정식으로 돌아가 보면, 우리는 단지 시간 성분만 필요합니다.

저속 및 정적 필드 가정은 다음을 의미합니다.

그렇게

그리하여

리치 텐서의 정의로부터

우리의 단순화된 가정은 Δ의 제곱을 시간 도함수와 함께 사라지게 합니다.

위의 식들을 함께 합치는 것

제공되는 뉴턴 필드 방정식으로 감소되는
만일 발생할 것입니다.

진공장 방정식

우주 상수가 0인 진공장 방정식을 보여주는 1979년 스위스 기념 주화(위).

에너지-운동량 텐서μν T가 고려 중인 영역에서 0인 경우, 필드 방정식은 진공 필드 방정식이라고도 합니다.진공장 방정식은 '아인슈타인 진공 방정식'(EVE)이라고도 하며, T = 0트레이스-벡터 필드 방정식에 설정하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

0이 아닌 우주 상수의 경우, 방정식은

진공장 방정식의 해는 진공해라고 불립니다.평평한 민코프스키 공간은 진공 용액의 가장 간단한 예입니다.중요하지 않은 예로는 슈바르츠실트 해와 커 가 있습니다.

사라지는 리치 텐서 R = 0가진 다양체를 리치 평면 다양체라고 하고 메트릭에 비례하는 리치 텐서를 아인슈타인 다양체라고 합니다.

아인슈타인-맥스웰 방정식

에너지-운동량 텐서μν T가 자유 공간에 있는 전자기장의 것인 경우, 즉 전자기 응력-에너지 텐서의 경우

아인슈타인 장 방정식은 아인슈타인-맥스웰 방정식(우주론적 상수 λ, 기존 상대성 이론에서 0으로 간주됨)이라고 합니다.

또한 공변 맥스웰 방정식은 자유 공간에서도 적용할 수 있습니다.

여기서 세미콜론은 공변 도함수를 나타내고 괄호는 반편광을 나타냅니다.첫 번째 방정식은 2-형태 F의 4-분산이 0이고, 두 번째 방정식은 외부 도함수가 0이라고 주장합니다.후자로부터, 그것은 좌표 차트에서 다음과 같은 전자기장α 퍼텐셜 A를 도입하는 것이 가능하다는 푸앵카레 보조정리에 의해 뒤따릅니다.
여기서 쉼표는 부분 도함수를 나타냅니다.이것은 종종 이것이 [20]유도되는 공변 맥스웰 방정식과 동등한 것으로 간주됩니다.그러나 전 세계적으로 정의된 [21]잠재력이 부족할 수 있는 방정식의 글로벌 솔루션이 있습니다.

해결책

아인슈타인 장 방정식의 해는 시공간의 측정 기준입니다.이러한 메트릭은 시공간 내 객체의 관성 운동을 포함하는 시공간의 구조를 설명합니다.필드 방정식은 비선형이기 때문에 항상 완벽하게 풀 수는 없습니다(즉, 근사를 만들지 않고).예를 들어, 두 개의 거대한 물체가 있는 시공간에 대한 완전한 해는 알려져 있지 않습니다(예를 들어, 쌍성계의 이론적 모델입니다).그러나 이러한 경우에는 대개 근사치가 산출됩니다.이것들은 일반적으로 포스트-뉴턴 근사라고 불립니다.그렇다고 해도, 필드 방정식이 완전히 풀린 경우가 몇 가지 있는데, 그것들[9]정확한 풀이라고 합니다.

아인슈타인의 필드 방정식의 정확한 풀이에 대한 연구는 우주론의 활동 중 하나입니다.그것은 블랙홀의 예측우주의 다양한 진화 모델로 이어집니다.

또한 엘리스와 [22]맥컬럼이 개척한 정규 프레임의 방법을 통해 아인슈타인 장 방정식의 새로운 해결책을 발견할 수 있습니다.이 접근법에서 아인슈타인 장 방정식은 결합된 비선형의 보통 미분 방정식으로 줄어듭니다.Hsu와 [23]Wainwright가 논의한 바와 같이, 아인슈타인 장 방정식에 대한 자기 유사 솔루션은 결과적인 동적 시스템의 고정 지점입니다.LeBlanc과[24] Kohli,[25] Haslam에 의해 이러한 방법을 사용하여 새로운 해결책이 발견되었습니다.

선형화된 EFE

EFE의 비선형성 때문에 정확한 솔루션을 찾는 것이 어렵습니다.장 방정식을 푸는 한 가지 방법은 중력장이 중력 물질의 근원에서 멀리 떨어져 있고 중력장은 매우 약하며 시공간민코프스키 공간의 그것에 근접한다는 근사치를 만드는 것입니다.그런 다음 메트릭은 민코프스키 메트릭과 민코프스키 메트릭의 실제 메트릭의 편차를 나타내는 항의 합으로 작성되며, 고전력 항은 무시됩니다.이 선형화 절차는 중력 복사 현상을 조사하는 데 사용될 수 있습니다.

다항식

미터법 텐서의 역을 포함하는 EFE에도 불구하고, 그것들은 다항식 형태의 미터법 텐서를 포함하고 그 역을 갖지 않는 형태로 배열될 수 있습니다.먼저 4차원의 메트릭의 결정요인을 작성할 수 있습니다.

Levi-Civita 기호를 사용하며, 4차원의 메트릭의 역은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

메트릭의 역의 정의를 방정식에 대입한 다음 양쪽에 적절한 det(g)의 거듭제곱을 곱하여 분모에서 제거하면 메트릭 텐서와 그 첫 번째 및 두 번째 도함수에서 다항식이 됩니다.방정식이 유도되는 동작은 필드의 [26]적절한 재정의를 통해 다항식 형태로 작성될 수도 있습니다.

참고 항목

메모들

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참고문헌

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외부 링크

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