양자 회로

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양자 정보 이론에서 양자 회로는 양자 게이트, 측정, 알려진 값에 대한 큐비트의 초기화, 그리고 가능한 다른 동작의 연속인 고전 회로와 유사한 양자 계산을 위한 모델이다.회로가 양자 계산을 가능하게 하기 위해 큐비트에 대해 수행할 수 있어야 하는 최소 동작 세트를 DiVincenzo의 기준이라고 합니다.

회로는 수평축이 왼쪽에서 시작하여 오른쪽에서 끝나는 시간이 되도록 작성됩니다.수평선은 큐비트이고 이중선은 클래식 비트를 나타냅니다.이러한 라인으로 연결되는 항목은 측정 또는 게이트와 같은 큐비트에 대해 수행되는 작업입니다.이러한 행은 이벤트의 시퀀스를 정의하며, 일반적으로 물리 ^[2][3][4]케이블이 아닙니다.

양자 회로 소자의 그래픽 묘사는 펜로즈 그래픽 ^{[citation needed]}표기법의 변형을 사용하여 설명합니다.리처드 파인만은 1986년에 ^[5]초기 버전의 양자 회로 표기법을 사용했다.

가역 고전 논리 게이트

고전 컴퓨터의 대부분의 기본 논리 게이트는 되돌릴 수 없습니다.따라서 예를 들어 AND 게이트의 경우 출력 비트에서 두 개의 입력 비트를 항상 복구할 수 없습니다. 예를 들어 출력 비트가 0인 경우 입력 비트가 01인지 10인지 00인지 구분할 수 없습니다.

그러나, 고전 컴퓨터의 가역 게이트는 모든 길이의 비트 문자열에 대해 쉽게 구성됩니다. 더욱이, 가역 게이트는 항상 물리적 엔트로피를 증가시켜야 하기 때문에 실제로 이러한 게이트는 매우 중요합니다.가역 게이트는 n비트 데이터를 반환하는 n비트 데이터의 가역 함수이며, 여기서 n비트 데이터는 길이 n의 비트₁ x, x₂, ..., x 문자열입니다_n.n비트 데이터 집합은 공간 {0,ⁿ1}이며, 0과 1의 두 문자열로 구성됩니다ⁿ.

보다 정확하게는 n비트 가역 게이트는 n비트 데이터의 집합 {0,1}ⁿ에서 그 자체에 대한 바이젝티브 매핑 f입니다.이러한 가역 게이트 f의 예는 입력에 고정 치환을 적용하는 매핑이다.일반적으로 실용 공학의 이유로 n=1, n=2 또는 n=3과 같은 작은 값에 대해서만 게이트를 연구한다.이러한 게이트는 표로 쉽게 설명할 수 있습니다.

양자 논리 게이트

양자 논리 게이트는 적어도 하나의 큐비트에서 가역적인 단일 변환입니다.함께 취해진 여러 큐비트를 양자 레지스터라고 합니다.양자 게이트를 정의하려면 먼저 n비트 기준의 양자 치환을 지정해야 합니다.기존 n비트 공간 {0,ⁿ1}의 양자화된 버전은 Hilbert 공간입니다.

$({displaystyle H_{\operatorname {QB}(n)}=\ell ^{2}({0,1\}^{n}).}$

이는 정의상 {0,1}ⁿ의 복소수 함수의 공간이며 당연히 내부 제품 공간입니다.$§$ $2(\displaystyle$ \$ell ^{$2$$})는 함수가 정사각형 적분 가능 함수임을 의미합니다.이 공간은 또한 고전 비트 문자열의 선형 조합 또는 중첩으로 구성된다고 간주할 수 있습니다.H는_QB(n) 차원ⁿ 2의 복소수 위의 벡터 공간입니다.이 벡터 공간의 요소는 n비트 양자 레지스터의 가능한 상태 벡터입니다.

Dirac ket 표기법을 사용하면 x,x₂, ...,x_n 가 고전적인 비트 문자열인 경우₁,

${\displaystyle x_{1}, x_{2},\cdots, x_{n}\rangle \display }$

는 이 고전적인 비트스트링을 1에 매핑하고 다른 모든 비트스트링을 0에 매핑하는 함수에 대응하는 특수한n비트 레지스터입니다이 2개의ⁿ 특수한n비트 레지스터는 계산 베이스 스테이트라고 불립니다.모든 n비트 레지스터는 이러한 계산 기본 상태의 복잡한 선형 조합입니다.

양자 논리 게이트는 기존의 논리 게이트와 달리 항상 가역적입니다.하나는 특별한 종류의 가역 함수, 즉 유니터리 매핑, 즉 에르미트식 내부 생성물을 보존하는 복잡한 내부 생성물 공간의 선형 변환이 필요합니다.n비트(가역) 양자 게이트는 n비트 레지스터의 공간_QB(n) H에서 그 자신으로의 유니터리 매핑 U이다.

일반적으로 n 값이 작은 게이트에만 관심이 있습니다.

가역 n비트 고전 논리 게이트는 다음과 같이 가역 n비트 양자 게이트를 발생시킵니다.각 가역 n비트 논리 게이트 f는 다음과 같이 정의된 양자 게이트_f W에 대응합니다.

$\displaystyle W_{f}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\rangle )= f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\rangle .}$

W는 계산 기준 상태를 허용한다는 점에_f 유의하십시오.

특히 중요한 것은 양자화된2 큐비트에 정의된 제어된 NOT 게이트(CNOT 게이트라고도_CNOT 불립니다) W입니다.고전적인 논리 게이트에서 파생된 양자 논리 게이트의 다른 예로는 토폴리 게이트와 프레드킨 게이트가 있습니다.

그러나 큐비트의 힐버트-공간 구조는 고전적인 게이트에 의해 유도되지 않는 많은 양자 게이트를 허용한다.예를 들어, 상대 위상 편이는 위상 편이 연산자에 의한 곱셈으로 주어진 1비트 게이트입니다.

${\displaystyle P(\varphi)=sys {bmatrix}1&0\\e^{i\varphi}\end{bmatrix}}$

그렇게

${\displaystyle P(\varphi) 0\rangle = 0\rangle \varphi P(\varphi) 1\rangle = e^{i\varphi } 1\rangle .}$

가역 논리 회로

다시, 우리는 첫 번째 가역적 고전 연산을 고려한다.개념적으로 가역 n비트 회로와 가역 n비트 논리 게이트 사이에는 차이가 없습니다.어느 쪽도 n비트 데이터 공간상의 가역 함수일 뿐입니다.그러나 이전 섹션에서 설명한 바와 같이, 엔지니어링상의 이유로 모든 가역 회로를 조립하기 위해 조립할 수 있는 소수의 간단한 가역 게이트를 원합니다.

이 조립 프로세스를 설명하기 위해 가역 n비트게이트 f와 가역 m비트게이트 g가 있다고 가정합니다.이들을 합친다는 것은 아래 그림과 같이 f의 k개의 출력 세트를 g의 k개의 입력 세트에 연결하여 새로운 회로를 생산한다는 것을 의미합니다.이 그림에서 n=5, k=3 및 m=7이다.결과 회로도 가역이며 n+m-k비트로 동작합니다.

이 스킴을 고전적인 어셈블리라고 부릅니다(이 개념은 아래 인용된 Kitaev의 선구적인 논문의 기술적 정의에 해당합니다).이러한 리버서블 머신을 구성할 때는 중간 머신도 리버서블임을 확인하는 것이 중요합니다.이 조건은 중간 "쓰레기"가 생성되지 않음을 보증합니다(순물리적 효과는 이 연습을 하는 동기 중 하나인 엔트로피를 증가시키는 것입니다).

위 그림의 각 수평선은 이러한 확률이 아닌 0 또는 1을 나타냅니다.양자 연산은 가역적이기 때문에 각 '단계'에서 라인 수는 입력 라인 수와 같아야 합니다.또한 각 입력 조합은 각 '단계'에서 단일 조합에 매핑되어야 합니다.즉, 양자 회로의 각 중간 조합은 입력의 ^[6]바이젝티브 함수입니다.

이제 토폴리 게이트가 만능 게이트라는 것을 보여줄 수 있다.이것은 모든 가역적인 고전적인 n비트 회로 h가 주어진다면, 우리는 위와 같은 방식으로 토폴리 게이트의 고전적인 어셈블리를 구성하여 다음과 같은 (n+m) 비트 회로 f를 생성할 수 있다는 것을 의미합니다.

$\displaystyle f(x_{1},\ldots,x_{n},\underbrace {0,\dots,0})=(y_{1},\ldots,y_{n},\underbrace {0,\ldots,0})$

아래 괄호로 묶인 입력이 m개 있는 경우

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$1 , ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle y_{}}$n ) ${\displaystyle =h}$ ( ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$) { $displaystyle$( $y$_ {1} , \$ldots$, y$_$ { n } $= h$ ( $x$_ {$1}$ , \$ldots$, $x$_ { $n$} )$$。

최종 결과에는 항상 m개의 0 문자열이 ancilla 비트로 지정된다는 점에 주의해 주세요.어떠한 "귀찮은" 계산도 생성되지 않으며, 따라서 이 계산은 실제로 물리적 의미에서 엔트로피를 생성하지 않는 계산입니다.이 문제는 Kitaev 기사에서 자세히 설명되어 있습니다.

보다 일반적으로 모든 함수 f(부사적 또는 비사적)는 토폴리 게이트의 회로에 의해 시뮬레이션될 수 있다.매핑이 주입에 실패하면 시뮬레이션의 어느 시점(예를 들어 마지막 단계)에서 약간의 "쓰레기"를 생성해야 합니다.

양자회로의 경우 큐비트 게이트의 유사한 구성을 정의할 수 있다.즉, 위의 모든 고전적인 어셈블리와 관련지어 f 대신 n비트 게이트 U가 있고 g 대신 m비트 게이트 W가 있을 때 가역 양자 회로를 생성할 수 있습니다.아래 그림을 참조하십시오.

이와 같이 게이트를 연결하면 n+m-k 큐비트 공간에서 유니터리 매핑이 발생한다는 사실은 쉽게 확인할 수 있습니다.실제 양자 컴퓨터에서는 게이트 간의 물리적 연결이 주요 엔지니어링 과제입니다. 왜냐하면 게이트는 데코히렌스가 발생할 수 있는 장소 중 하나이기 때문입니다.

잘 알려진 게이트의 특정 세트에 대한 보편성 이론도 있습니다. 예를 들어, 이러한 보편성 정리는 2쿼트 CNOT 게이트_CNOT W와 함께 위에서 언급한 단일 큐비트 위상 게이트_θ U(적절한 값 θ)로 구성된 쌍에 대해 존재합니다.그러나 양자 케이스의 보편성 정리는 고전 케이스의 보편성 정리에 비해 다소 약하다. 즉, 이 두 개의 기본 게이트에서 조립된 회로에 의해 임의의 가역 n-qubit 회로가 임의로 잘 근사될 수 있다고 주장한다.가능한 단일 큐비트 위상 게이트는 셀 수 없이 많으며, 각 각도 θ마다 하나씩 존재하므로 {U_θ, W_CNOT}로 구성된 유한 회로로 모두 나타낼 수 없습니다.

양자 계산

지금까지 양자회로가 어떻게 계산을 수행하는데 사용되는지 보여주지 않았다.많은 중요한 수치 문제가 유한 차원 공간(유명한 이산 푸리에 변환이 대표적인 예)에서 유니터리 변환 U를 계산하는 것으로 감소하기 때문에, 어떤 양자 회로가 변환 U를 수행하도록 설계될 수 있다고 기대할 수 있다. 원칙적으로 n 큐비트 상태 θ를 ap으로 준비하기만 하면 된다.입력에 대한 계산 기본 상태의 적절한 중첩을 지정하고 출력 Uµ를 측정합니다.아쉽게도 여기에는 다음 두 가지 문제가 있습니다.

• 어떤 계산 기준 상태에서도 ①의 위상을 측정할 수 없기 때문에 완전한 답을 읽을 방법이 없다.이것은 양자역학에서의 측정의 성질이다.
• 입력 상태 ψ를 효율적으로 준비할 방법이 없습니다.

이것은 이산 푸리에 변환을 위한 양자 회로가 다른 양자 회로에서 중간 단계로 사용되는 것을 막지는 않지만, 용도는 더 미묘합니다.사실 양자 계산은 확률적이다.

이제 양자 회로가 확률적이지만 고전적인 계산을 시뮬레이션할 수 있는 방법에 대한 수학적 모델을 제공한다.레지스터 공간_QB(r) H를 가진 r비트 회선 U를 고려합니다.따라서 U는 유니터리 맵이다.

${\displaystyle H_{\operatorname {QB}(r)}\오른쪽 화살표 H_{\operatorname {QB}(r)}.}$

이 회로를 비트스트링의 고전적인 매핑에 관련짓기 위해

• 입력 레지스터 X = m(표준)^m 비트의 {0,1}.
• 출력 레지스터 Y = n(표준)ⁿ 비트의 {0,1}입니다.

기존 입력 레지스터의 내용 x = x₁, ..., x는_m 어떤 방식으로든 큐비트 레지스터를 초기화하는 데 사용됩니다.이상적으로는, 이것은 계산 베이스 상태로 행해집니다.

${\displaystyle {x},0\rangle = x_{1},x_{2},\cdots,x_{m},\underbrace {0,\backets,0} \rangle ,}$

여기서 r-m 언더브레이싱된 입력이 있습니다.그럼에도 불구하고 이 완벽한 초기화는 완전히 비현실적입니다.따라서 초기화가 일부 밀도 연산자 S에 의해 주어진 혼합 상태이며, 일부 적절한 메트릭에서 이상적인 입력에 가까운 상태라고 가정하자.

$\displaystyle \operatorname {Tr} \left({\big }, 0\rangle \langle {\vec {x}, 0-S{\big }\right}\leq \delta.}$

마찬가지로 출력 레지스터 공간은 Y값의 관측 가능 A에 의해 큐비트 레지스터와 관련지어진다.양자역학에서 관측가능성은 일반적으로 R에 대한 투영값 측도로 정의된다. 변수가 이산적인 경우 투영값 측도는 계수 가능한 집합의 범위 내에서 일부 파라미터에 대해 색인화된 {E_λ}족으로 감소한다.마찬가지로, 관측 가능한 Y 값은 다음과 같이 Y의 요소에 의해 색인화된 쌍으로 된 직교 투영_y {E} 패밀리와 연관될 수 있습니다.

${\displaystyle I=\sum _{y\in Y}\operatorname {E}_{y}.}$

혼합 상태 S가 주어지면, 다음과 같은 Y에 대한 확률 측도가 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {Pr} \{y\}=\operatorname {Tr}(S\operatorname {E} _{y}).}$

함수 F:X → Y는 길이 m의 모든 비트스트링 x에 대해 회로 U:H_QB(r) → H에서_QB(r) µ 이내로 계산됩니다.

$\displaystyle \left\langle {x},0{\big }U^{*}\operatorname {E}_{F(x)}U{\big }{\vec {x}}, 0\right\rangle =\left\rangle \operatorname {E}_{F(x)}U(\big }U(\vec {x},0\rangle)\right\rangle \geq-ilon)$

지금이다

$\displaystyle \left \operatorname {Tr}(SU^{*}\operatorname {E}_{F(x)}U)-\left\langle {vec {x},0{\big }U^{*}\operatorname {E}_{F(x})U{\big }{\vec {x}}, 0\right\rangle \leq \operatorname {Tr}({\big }, 0\rangle \langle \vec {x}, 0 - S {\big })\U^{*}\operatorname {E}_{F}U\\leq \delta }$

하도록

$\displaystyle \operatorname {Tr}(SU^{*}\operatorname {E}_{F(x)}U)\geq 1-\epsilon -\delta .}$

정리.+ + < < 1/2일 경우 확률분포

${{displaystyle \operatorname {Pr} \{y\}=\operatorname {Tr}(SU^{*}\operatorname {E} _{y}U)}$

온 Y는 충분히 큰 표본 크기에 대해 다수 표본 추출을 통해 오류 확률이 임의로 작은 F(x)를 결정하는 데 사용할 수 있다.특히 Y에 대한 확률 분포 Pr에서 k개의 독립 표본을 추출하고 표본의 절반 이상이 일치하는 값을 선택합니다.값 F(x)가 k/2회 이상 샘플링될 확률은

$(\displaystyle 1-e^{-2\cisco ^{2}k})$

여기서 = 1/2 - ε - δ 。

그 후 체르노프 바운드를 적용합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 추상 색인 표기법
• 각운동량도(양자역학)
• 회선의 복잡성과 BQP
• Penrose 그래픽 표기법 사용 매트릭스 제품 상태
• 양자 레지스터
• 스핀 네트워크
• 트레이스 다이어그램

레퍼런스

• 를 클릭합니다Biham, Eli; Brassard, Gilles; Kenigsberg, Dan; Mor, Tal (2004), "Quantum computing without entanglement", Theoretical Computer Science, 320 (1): 15–33, arXiv:quant-ph/0306182, doi:10.1016/j.tcs.2004.03.041, MR 2060181, S2CID 295103.
• 를 클릭합니다Freedman, Michael H.; Kitaev, Alexei; Larsen, Michael J.; Wang, Zhenghan (2003), "Topological quantum computation", Bulletin of the American Mathematical Society, 40 (1): 31–38, arXiv:quant-ph/0101025, doi:10.1090/S0273-0979-02-00964-3, MR 1943131.
• 를 클릭합니다Hirvensalo, Mika (2001), Quantum Computing, Natural Computing Series, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-66783-0, MR 1931238.
• 를 클릭합니다Kitaev, A. Yu. (1997), "Quantum computations: algorithms and error correction", Uspekhi Mat. Nauk (in Russian), 52 (6(318)): 53–112, Bibcode:1997RuMaS..52.1191K, doi:10.1070/RM1997v052n06ABEH002155, MR 1611329.
• 를 클릭합니다Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2000), Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-63235-8, MR 1796805.

외부 링크

• Q 회로는 LaTeX에서 양자 회로도를 그리기 위한 매크로 패키지입니다.
• Quantum Circuit Simulator(Davy Wybiral)는 브라우저 기반의 양자 회로 다이어그램 편집기 및 시뮬레이터입니다.
• Quantum Computing Playground는 브라우저 기반의 Quantum Scripting 환경입니다.
• Quirk - Quantum Circuit Toy 브라우저 기반 양자 회로 다이어그램 편집기 및 시뮬레이터.