브라켓 표기법

Bra–ket notation

디랙 표기법이라고도 불리는 브라켓 표기법은 유한 차원과 무한 차원 모두에서 이중 공간과 함께 복소 벡터 공간대한 선형 대수 및 선형 연산자에 대한 표기법입니다. 특히 양자역학에서 자주 나오는 계산 유형을 쉽게 하도록 설계되었습니다. 양자역학에서 그것의 사용은 매우 광범위합니다.

브라켓 표기법은 Paul Dirac이 1939년에 출판한 양자역학에 대한 새로운 표기법에서 만들었습니다. 양자역학적 표현을 더 쉽게 쓸 수 있는 방법으로 표기법을 도입했습니다.[1] 이 이름은 영어 단어 "Bracket"에서 유래했습니다.

양자역학

양자역학에서 브라켓 표기법은 양자 상태를 나타내기 위해 어디서나 사용됩니다. 표기법은 각도 , ⟨ {\\langle 및 ⟩ {\ \langle} 및 수직 displaystyle }를 사용하여 "브라스" 및 "켓"을 구성합니다.

케트⟩ {\ vrangle} 형태입니다. 수학적으로 추상적(복소적) V V}에 있는 {v}}를 의미하며 물리적으로는 어떤 양자계의 상태를 나타냅니다.

⟨ f \langle f}의 브래지어입니다. 수학적으로 형태 f: → C {\ f: 의 각 벡터를 복소 평면 의 숫자로 매핑하는 선형 맵입니다 선형 ⟨ f \f}가 벡터 v ⟩ {\displaystyle v\rangle }에 작용하도록 하면 \mathbb {C}에서 ⟨ f v ⟩ ∈ C {\displaystyle \langle f v\rangle \로 기록됩니다.

에 반선형 첫 번째 가 있는 제품 ⋅) (\cdot,\cdot )}이가) 있다고 가정하면 {\displaystyle V}이(가) 내부 제품 공간이 . 그런 다음 이 내부 곱으로 각 벡터ϕ ≡ ϕ ⟩ {\{\{\}}\ \rangle은 내부 곱의 반선형 첫 번째 슬롯에 벡터를 배치하여 해당 선형 형태로 식별할 수 있습니다. (ϕ, ⋅) ≡ ⟨ ϕ {\displaystyle {\boldsymbol {\phi}},\cdot)\equiv \langle \phi}. 이러한 표기법 간의 대응은(ϕ를 들어 ψ) ≡ ⟨ ϕ ψ ⟩ boldsymbol {\phi}}, {\boldsymbol {\psi}})\equiv \langle \psi \rangle}입니다. 선형 형태 ⟨ ϕ {\displaystyle \langle \phi }는 {\displaystyle \rangle }을 ϕ ⟩하는 코보터입니다. 그리고 모든 코벡터의 집합은 초기 Vvee}}에 대한 이중 벡터 공간 V∨ {\displaystyleV}의 부분 공간을 형성합니다. 이 선형 형태⟨ ϕ {\displaystyle\\phi}의 목적은 이제 상태 ϕ {\displaystyle {\boldsymbol {\phi}}에 투영하여 두 상태가 얼마나 선형적으로 종속되어 있는지 등을 찾는 것으로 이해할 수 있습니다.

벡터 공간 의 경우 kets는 열 벡터로, bras는 행 벡터로 식별할 수 있습니다. 브라, 케트 및 선형 연산자의 조합은 행렬 곱셈을 사용하여 해석됩니다. 가 표준 에르미트 내부 제품(v ) = displaystyle {\boldsymbol {v}, {\boldsymbol {w}) = v^{\dagger }w}인 경우, 이 식별 하에서, 내부 제품에 의해 제공되는 케트와 브래지어의 식별은 에르미트 결합체, † {\displaystyle \dagger}로 표시됨)를 사용합니다.

브래지어-켓 표기법에서 벡터 또는 선형 형식을 억제하고 브래지어 또는 로켓의 타이포그래피 내부에 레이블만 사용하는 것이 일반적입니다. For example, the spin operator on a two dimensional space of spinors, has eigenvalues with eigenspinors Delta }에서 {\boldsymbol {-}\. 브라켓 표기에서는 일반적으로 + + {\displaystyle {\boldsymbol {\}_{+} +\rangle }, - - {\displaystyle {\boldsymbol {\}_{-} -\rangle }로 표시됩니다. 위와 같이, 같은 라벨의 케트와 브래지어는 내부 제품을 사용하여 서로 대응되는 케트와 브래지어로 해석됩니다. 특히 행 및 열 벡터로도 식별되는 경우 동일한 레이블을 가진 ket 및 bras는 에르미트 켤레 열 및 행 벡터로 식별됩니다.

브라켓 표기법은 1939년에 Paul Dirac에 의해 효과적으로 확립되었습니다. 따라서 거의 100년 전에 Hermann Grassmann이 내부 제품에 ϕ ∣ ψ {\ [\phi {\mid}\psi]}을 사용한 데에도 불구하고 Dirac 표기법으로도 알려져 있습니다.

벡터공간

벡터 대 키트

수학에서 벡터라는 용어는 벡터 공간의 요소에 사용됩니다. 그러나 물리학에서 벡터라는 용어는 공간의 3차원과 직접적으로 또는 상대론적으로 시공간의 4차원과 관련된 구성 요소를 갖는 변위속도와 같은 양을 거의 독점적으로 지칭하는 경향이 있습니다. 이러한 벡터는 일반적으로 화살표 위( → {\ 볼드체( 또는 인덱스( μ v로 표시됩니다.

양자역학에서 양자 상태는 일반적으로 복잡한 힐베르트 공간의 요소로 표현되는데, 예를 들어 모든 가능한 파동 함수의 무한 차원 벡터 공간(3차원 공간의 각 점을 복소수에 매핑하는 제곱 적분 함수) 또는 더 많은 추상적인 힐베르트 공간을 대수적으로 구성합니다. 이러한 유형의 벡터를 위에서 설명한 것과 구별하기 위해 추상 복소 벡터 공간의 요소ϕ {\displaystyle\phi}를ket ϕ ⟩ \rangle }로 표시하는 것이 물리학에서 일반적이고 유용합니다. 즉, 벡터가 아니라 "ket"이라고 하는 것입니다. "ϕ \phi}" 또는 "ket-A"를 A ⟩로 발음하는 것입니다.

, 문자, 숫자, 또는 단어까지도 편리한 라벨 역할을 하는 것과 상관없이 케트 내부의 라벨로 사용할 수 있으며, ⟩ {\\rangle }은 라벨이 벡터 공간의 벡터를 가리킨다는 것을 분명히 합니다. 즉, 기호 "A ⟩"는 표현되는 변수의 종류에 대해 인식 가능한 수학적 의미를 가지고 있는 반면, "A" 자체는 그렇지 않습니다. 예를 들어, 1 ⟩ + 2 ⟩가 반드시 3 ⟩일 필요는 없습니다. 그럼에도 불구하고, 편의상, 일반적으로 양자역학에서 양자수의 목록을 통해 에너지 고유켓에 라벨을 붙이는 일반적인 관행과 같은 케트 내부의 라벨 뒤에는 몇 가지 논리적 체계가 있습니다. 가장 간단하게 내부의 라벨은 x ^ {\ p 과 같은 물리적 연산자의 고유 값입니다.

표기법

케트는 에르미트 벡터 공간의 벡터에 불과하므로 선형 대수의 일반적인 규칙을 사용하여 조작할 수 있습니다. 예:

위의 마지막 줄은 각각의 실수 x에 대해 하나씩 무한히 많은 다른 케트를 포함한다는 것을 주목하십시오.

케트는 벡터 공간의 요소이므로 ⟨ A A}는 이중 공간의 요소입니다. 즉, 브라는 벡터 공간에서 복소수로의 선형 맵인 선형 함수입니다. 따라서, 케트와 브라는 서로 다른 벡터 공간의 요소로 생각하는 것이 유용하며, 둘 다 다른 유용한 개념입니다.

브라⟨ ϕ {\ phi } 및 케트 ψ ⟩ {\displaystyle \psi \rangle }(함수 및 벡터)는 외부 제품과 함께 랭크 1의 연산자 ψ ⟩ ⟨ ϕ {\displaystyle \psi \langle \phi }에 결합할 수 있습니다.

힐베르트 공간의 내부 제품 및 브라켓 식별에 관한 연구

브라-켓 표기법은 에르미트 결합을 허용하고 연속 선형 함수가 있는 벡터, 즉 브라가 있는 케트를 식별할 수 있는 내부 곱을[6] 갖는 힐베르트 공간에서 특히 유용합니다(리에즈 표현 정리 참조). 힐베르트 공간의 내적(,) (물리학자들이 선호하는 첫 번째 인수와 함께) (물리학자들이 선호하는 반선형 공간은 브래킷 표기법에서 케트 공간과 브래지어 공간 사이의 (반선형) 식별과 완전히 동일합니다. 벡터 {\ \phi \phi \rangle }에 대해 함수를 정의합니다. ) f ϕ = ⟨ ϕ {\ f_{\phi} =\lang \phi} by

행 및 열 벡터로 브라스 및 케트

벡터 공간 를 고려하는 간단한 경우 케트는 열 벡터로, 브라는 행 벡터로 식별될 수 있습니다. 또한 에 표준 에르미트 내부 제품을 사용하면케트에 해당하는 브라, 특히 브라m동일한 레이블을 가진 케트 m ⟩가 공액 전치됩니다. 더욱이, 서로 옆에 있는 브래지어, 케트 및 선형 연산자를 쓰는 것이 단순히 행렬 곱셈을 의미하는 방식으로 규칙이 설정됩니다.[7] 특히 열과 행 벡터 케트 및 브라의 외부 곱ψ ⟩ ⟨ ϕ {\displaystyle \psi \rangle \phi}는 행렬 곱셈(열 벡터 시간 행 벡터는 행렬과 동일)으로 식별할 수 있습니다.

유한 차원 벡터 공간의 경우, 고정된 직교 기저를 사용하여 내부 곱을 열 벡터를 갖는 행 벡터의 행렬 곱으로 쓸 수 있습니다.

이를 바탕으로 브래지어와 케트는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.
그리고 케트 옆에 있는 브라는 행렬 곱셈을 의미한다고 이해됩니다.

브라의 공액 전치는 대응하는 케트이며, 그 반대도 마찬가지입니다.

왜냐하면 만약 브래지어로 시작한다면
그다음 복잡한 컨쥬게이션을 수행하고 매트릭스 전치를 수행하면 결국 케트로 끝납니다.

유한 차원(또는 자주, 셀 수 있을 정도로 무한한) 벡터 공간의 요소를 숫자의 열 벡터로 쓰기 위해서는 기초를 선택해야 합니다. 양자역학 계산에는 서로 다른 기저(예: 위치 기저, 운동량 기저, 에너지 고유 기저) 간의 전환이 자주 포함되며, 특정 기저에 대한 커밋 없이 "m ⟩"와 같은 것을 쓸 수 있기 때문에 기저를 선택하는 것이 항상 도움이 되는 것은 아닙니다. 두 개의 서로 다른 중요한 기저 벡터를 포함하는 상황에서는 기저 벡터를 명시적으로 표기할 수 있으며 여기서는 "- ⟩" 및 "+ ⟩"로 간단히 언급됩니다.

비정규화 가능 상태와 힐베르트 공간

벡터 공간이 힐베르트 공간이 아니더라도 브라-켓 표기법을 사용할 수 있습니다.

양자역학에서는 무한정의 규범, 즉 정규화 불가능한 파동함수를 갖는 케트를 적는 것이 일반적인 관례입니다. 예를 들어 파동함수가 디랙 델타 함수이거나 무한 평면파인 상태를 들 수 있습니다. 엄밀히 따지면 이것들은 힐베르트 공간 자체에 속하지 않습니다. 그러나 "힐베르트 공간"의 정의는 이러한 상태를 수용하기 위해 확장될 수 있습니다(Gelfand–Naimark–Segal 구성 또는 조작된 힐베르트 공간 참조). 브래지어-켓 표기법은 이 광범위한 맥락에서 유사한 방식으로 계속 작동합니다.

바나흐 공간은 힐베르트 공간의 다른 일반화입니다. 바나흐 공간 B에서 벡터는 케트로, 연속 선형 함수는 브래지어로 표기할 수 있습니다. 위상이 없는 벡터 공간에서는 벡터를 케트로 표기하고 선형 함수를 브래지어로 표기할 수도 있습니다. 이러한 보다 일반적인 맥락에서 대괄호는 내부 곱의 의미를 갖지 않습니다. 왜냐하면 Riesz 표현 정리가 적용되지 않기 때문입니다.

양자역학에서의 용법

양자역학의 수학적 구조는 대부분 선형 대수학에 기초하고 있습니다.

  • 파동함수와 다른 양자 상태는 복잡한 힐베르트 공간에서 벡터로 표현될 수 있습니다. (이 힐베르트 공간의 정확한 구조는 상황에 따라 다릅니다.) 예를 들어, 브라켓 표기법에서 전자는 "상태" ψ⟩에 있을 수 있습니다. (기술적으로 양자 상태힐베르트 공간에 있는 벡터 광선이며, c ψ⟩은 0이 아닌 복소수 c에 대해서도 동일한 상태에 해당합니다.)
  • 양자 중첩은 구성 상태의 벡터 합으로 설명될 수 있습니다. 예를 들어, 상태 1/ 21 ⟩ + i/√ 22 ⟩의 전자는 상태 1 ⟩ 및 ⟩의 양자 중첩에 있습니다.
  • 측정은 양자 상태의 힐베르트 공간에서 선형 연산자(관측 가능량이라고 함)와 연관됩니다.
  • 동역학은 힐베르트 공간의 선형 연산자에 의해서도 설명됩니다. 예를 들어, 슈뢰딩거 그림에는 선형 시간 진화 연산자 U가 있는데, 전자가 지금 상태 ψ⟩에 있다면 나중에 상태 U ψ⟩에 있을 것이며, 모든 가능한 ψ⟩에 대해 동일한 U가 될 것입니다.
  • 파동함수 정규화는 파동함수를 정상이 1이 되도록 스케일링하는 것입니다.

양자역학에서 사실상 모든 계산은 벡터와 선형 연산자를 포함하기 때문에, 그것은 브라켓 표기법을 포함할 수 있고 종종 포함합니다. 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

스핀리스 위치-공간파 함수

복소 벡터 A ⟩ = σ A ⟩의 이산 성분 A는 셀 수 없이 많은 k 값과 기저 벡터 e ⟩가 있습니다.
무한 차원의 힐베르트 공간에 속하는 복소 벡터 ψ⟩ = ∫ dx ψ(x) x ⟩의 연속 성분 ψ(x). 무한히 많은 x 값과 기저 벡터 x ⟩.
인덱스 번호에 대해 표시된 복소 벡터의 성분; 이산 k 연속 x. 무한히 많은 구성 요소 중에서 두 가지 특정 구성 요소가 강조 표시됩니다.

스핀-0 점 입자의 힐베르트 공간은 "위치 기저" {r ⟩ }에 의해 스팬되며, 여기서 레이블 r은 위치 공간의 모든 점 집합에 걸쳐 확장됩니다. 이 레이블은 기저 상태에서 작용하는 위치 연산자의 고유값으로, ⟩ = r ⟩ {\ {\mathbf {r}} \mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} \mathbf {r} \rangle } 기저에는 셀 수 없이 무한히 많은 벡터 성분이 있으므로, 이것은 셀 수 없이 무한한 차원의 힐베르트 공간입니다. 힐베르트 공간(일반적으로 무한)과 위치 공간(일반적으로 1, 2 또는 3)의 차원은 공선화되지 않습니다.

이 힐베르트 공간의 임의의 케트 ⟩ ψ로부터 시작하여, 파동 함수로 알려진 r의 복잡한 스칼라 함수를 정의할 수 있습니다.

좌변에서 ψ(r)은 공간의 임의의 점을 복소수로 매핑하는 함수이고, 우변에서,

는 해당 함수에 의해 지정된 상대 계수를 갖는 케트의 중첩으로 구성된 케트입니다.

그렇다면 케트에 작용하는 선형 연산자의 관점에서 파동함수에 작용하는 선형 연산자를 정의하는 것이 일반적입니다.

예를 들어, 운동량 p 다음과 같은 좌표 표현을 갖습니다.[9]

때로는 ψ⟩ ∇ {\displaystyle \n과 같은 표현을 접하기도 합니다. 비록 이것은 표기법의 남용의 일부이지만. 미분 연산자는 표현식이 위치, ⟩ R ∇ ⟨ ψ, {\displaystyle \n에 투영되면 파동 함수를 미분하는 효과를 갖는 케트에 작용하는 추상 연산자로 이해되어야 합니다. 이지만, 운동량 기준으로는, 이 연산자는 단순한 곱셈 연산자(i ħp)에 해당합니다. 즉, 말하자면.

아니면

주중첩

양자역학에서 ⟨φ ψ⟩라는 표현은 일반적으로 상태 ψ가 상태 φ로 붕괴될 확률 진폭으로 해석됩니다. 수학적으로 이것은 φ에 ψ이 투영되는 계수를 의미합니다. 국가 φ를 국가 ψ에 투영하는 것으로도 설명됩니다.

스핀-1/2 입자의 기저 변화

정지된 스핀-1 ⁄2 입자는 2차원 힐베르트 공간을 가지고 있습니다. 일반적인 기준은 다음과 같습니다.

여기서 ↑ ⟩는 스핀 연산자 S의 정칙값이 +1 ⁄2인 상태이고 ↓ ⟩는 스핀 연산자 S의 정칙값이 -1 ⁄2인 상태입니다.

이들은 기본이므로 입자의 모든 양자 상태는 다음 두 상태의 선형 조합(즉, 양자 중첩)으로 표현될 수 있습니다.

여기ψ a와 bψ 복소수입니다.

동일한 힐베르트 공간에 대한 다른 기저는 다음과 같습니다.

Sz 아닌x S로 정의됩니다.

다시 말하지만, 입자의 어떤 상태도 다음 두 가지의 선형 조합으로 표현될 수 있습니다.

벡터 형식으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

어떤 기반을 사용하는지에 따라. 즉, 벡터의 "좌표"는 사용된 기준에 따라 달라집니다.

ψ{\ bψ b_{\psi }, c ψ {\displaystyle c_{\psi }, d ψ {\displaystyle d_{\psi } 사이에는 수학적 관계가 있습니다. 기준 변경을 참조하십시오.

함정과 모호한 용도

비전공자나 초기 학생에게 혼동되거나 모호할 수 있는 표기법의 일부 규칙과 사용법이 있습니다.

내적과 벡터의 분리

혼동의 원인은 표기법이 내적 연산과 (브라) 벡터에 대한 표기법을 분리하지 않기 때문입니다. (이중 공간) 브라 벡터가 다른 브라 벡터의 선형 조합으로 구성된 경우(예를 들어 어떤 기저로 표현할 때), 표기법은 약간의 모호성을 생성하고 수학적 세부 사항을 숨깁니다. 벡터에는ψ {\displaystyle psi내부 제품에는(⋅, ⋅)(\cdot,\cdot)}과 같이 bra-ket 표기법을 굵은 글씨로 사용하는 것과 비교할 수 있습니다. 기저{⟩ } {\displaystyle \{e_{n}\rangle \}}에서 다음 이중 공간 브라 벡터를 생각해 보십시오.

{ψn} {n}\}가 내부 제품의 또는 외부에 있는지 여부는 관례에 따라 결정되어야 하며, 각 관례에 따라 다른 결과를 제공합니다.

기호 재사용

레이블상수에 동일한 기호를 사용하는 것이 일반적입니다. 를 들어, ⟩ = α ⟩ {\{\hat {\alpha }} \alpha \rangle =\alpha \rangle } 기호는 α ^ {\displaystyle {\hat {\alpha } 연산자의 이름과 동시에 사용됩니다. 고유 벡터 \rangle } 및 관련 고유 값 α {\displaystyle \alpha }입니다. 연산자에 대해서도 모자를 떨어뜨릴 때가 있으며 A a ⟩ = a ⟩ {\displaystyle A a\rangle = a\rangle }와 같은 표기법을 볼 수 있습니다.

케트의 에르미트 결합체

일반적으로 사용ψ ⟩ † = ⟨ ψ {\displaystyle \psi \rangle^{\dagger }=\lang \psi }를 볼 수 있습니다. 단검(† {\displaystyle \dagger })은 에르미트 결합체에 해당합니다. 그러나 이것은 기술적인 의미에서 옳지 않습니다. 케트인 ψ ⟩ {\\rangle }는 복소 힐베르트 H {\H}}의 벡터를 나타내고 ⟨ ψ \langle psi }, 는 H 의 벡터에 대한 선형 함수입니다 즉,ψ ⟩ {\\ rangle }은 벡터이고, ⟨ ψ {\displaystyle \langle \psi }은 벡터와 내적의 결합입니다.

브래지어 및 케트 내부 작업

스케일링 벡터의 빠른 표기를 위해 수행됩니다. 예를 들어 α⟩ {\\rangle }가 1 {\displaystyle 1/{\sqrt {2}}만큼 스케일링된 경우, 이는 α / 2 ⟩ {\displaystyle \alpha /{\sqrt {2}\rangle }로 표시될 수 있습니다. 이는 α {\displaystyle \alpha }가 단순히 상태에 대한 레이블이기 때문에 모호할 수 있습니다. 연산을 수행할 수 있는 수학적 대상이 아닙니다. 이 사용은 벡터를 텐서 곱으로 표시할 때 더 일반적이며, 여기서 레이블의 일부가 설계된 슬롯 외부로 이동됩니다(: α ⟩ =α/ ⟩ 1 ⊗ α / 2 ⟩ 2 {\displaystyle \rangle = \alpha / {\sqrt {2}}\rangle _{1}\otimes \alpha / {\sqrt {2}\rangle _{2}).

선형 연산자

케트에 작용하는 선형 연산자

선형 연산자는 케트를 입력하고 케트를 출력하는 지도입니다. ("선형"이라고 하기 위해서는 어떤 특성을 가져야 합니다.) 즉, 이 선형 연산자이고ψ ⟩ {\\\rangle }이 케트-벡터라면, A^ ψ ⟩ {\displaystyle {\hat {A} \psi \rangle }은 또 다른 케트-벡터입니다.

차원 힐베르트 공간에서 공간에 기저를 부여하고 좌표 측면에서ψ ⟩ {\\psi \rangle}을 N × 1 {\displaystyle N\times 1} 열 벡터로 나타낼 수 있습니다. 에 대해 동일한 기저를 사용하여N× N개의 복소 행렬로 표현됩니다. 이제 케트-벡터 ψ ⟩ {\displaystyle {\hat {A}} \psi \rangle}을 행렬 곱셈으로 계산할 수 있습니다.

선형 연산자는 양자역학 이론에서 어디에나 있습니다. 예를 들어, 관측 가능한 물리량은 에너지 또는 운동량과 같은 자체 인접 연산자로 표시되는 반면, 변환 과정은 회전 또는 시간의 진행과 같은 단일 선형 연산자로 표시됩니다.

브래지어에 작용하는 선형 연산자

조작자는 오른쪽 측면에서 브래지어에 작용하는 것으로 볼 수도 있습니다. 구체적으로, 만약 A가 선형 연산자이고 ⟨φ가 브라라면, ⟨φ A는 규칙에 의해 정의된 다른 브라입니다.

(즉, 함수 구성). 이 표현은 일반적으로 (cf. energy internal product)로 표기됩니다.

N차원 힐베르트 공간에서 ⟨φ는 1×N 벡터표기할 수 있으며, A(앞 절에서와 같이)는 N×N 행렬입니다. 그런 다음 브라 ⟨φ A는 정규 행렬 곱셈으로 계산할 수 있습니다.

만약 동일한 상태 벡터가 브래지어와 케트 양쪽에 나타난다면,

그런 다음 이 식은 상태 ψ⟩의 물리적 시스템에 대해 연산자 A가 나타내는 관측치의 기대 값, 또는 평균 또는 평균 값을 제공합니다.

겉감 제품

힐베르트 공간 H 위의 선형 연산자를 정의하기 위한 편리한 방법은 다음과 같습니다: ⟨ϕ가 브라이고 ψ⟩가 케트라면, 외부 곱

는 규칙이 있는 랭크연산자를 나타냅니다.

유한 차원 벡터 공간의 경우, 외부 곱은 단순 행렬 곱으로 이해될 수 있습니다.

외부 곱은 선형 연산자에 대해 예상되는 N × N 행렬입니다.

외부 제품의 용도 중 하나는 투영 연산자를 구성하는 것입니다. 표준 1의 케트 ψ⟩이 주어졌을 때, ψ⟩에 의해 스팬된 부분 공간에 대한 직교 사영은

이것은 힐베르트 공간에 작용하는 관측 가능 대수에서 멱함수입니다.

에르미트 켤레 연산자

케트와 브라가 서로 변환될 수 있는 것처럼(ψ⟩를 ⟨ψ로 만드는 것), A ψ⟩에 해당하는 이중 공간의 원소는 ⟨ψ A이고, 여기서 A는 연산자 A의 에르미트 켤레(또는 인접)를 나타냅니다. 다시 말해,

AN × N 행렬로 표현하면 A 그 켤레 전치입니다.

A = A인 자기 인접 연산자는 양자역학에서 중요한 역할을 합니다. 예를 들어 관측 가능한 것은 항상 자기 인접 연산자에 의해 설명됩니다. A가 자기 인접 연산자라면 ⟨ψ A ψ⟩는 항상 실수(복잡하지 않음)입니다. 이는 관측치의 기대 값이 실제임을 의미합니다.

특성.

브라켓 표기법은 선형 대수식의 형식적인 조작을 용이하게 하기 위해 고안되었습니다. 이 조작을 허용하는 속성 중 일부가 여기에 나열되어 있습니다. 다음에서 c1 c2 임의의 복소수나타내고, c*는 c복소수나타내고, A와 B는 임의의 선형 연산자를 나타내며, 이러한 특성은 임의의 브라와 케트의 선택에 대해 유지됩니다.

선형성

  • 브래지어는 선형 함수이기 때문에,
  • 이중 공간에서 선형 함수의 덧셈과 스칼라 곱의 정의에 의해,[11]

연합성

브라켓 표기법으로 작성된 복소수, 브라, 케트, 내부 곱, 외부 곱 및/또는 선형 연산자를 포함하는 모든 표현식을 고려할 때, 부모 그룹은 중요하지 않습니다(즉, 연관 속성 보유). 예:

이러쿵저러쿵. 오른쪽의 표현(괄호는 전혀 없음)은 왼쪽의 동등성 때문에 명확하게 쓸 수 있습니다. 연상 특성은 물리학의 반선형 시간 역전 연산자와 같이 비선형 연산자를 포함하는 표현에는 적용되지 않습니다.

에르미트 켤레

브라켓 표기법을 사용하면 표현식의 에르미트 켤레(단검이라고도 하며 †로 표시됨)를 계산하기가 특히 쉽습니다. 공식 규칙은 다음과 같습니다.

  • 브라의 에르미트 결합체는 대응하는 케트이며, 그 반대도 마찬가지입니다.
  • 복소수의 에르미트 결합체는 복소수 결합체입니다.
  • 모든 것(선형 연산자, 브래지어, 케트, 수)의 에르미트 켤레의 에르미트 켤레는 그 자체입니다.
  • 브라-켓 표기법으로 작성된 복소수, 브라, 케트, 내부 곱, 외부 곱 및/또는 선형 연산자의 조합이 주어지면 구성 요소의 순서를 반대로 하고 각각의 에르미트 켤레를 취하여 에르미트 켤레를 계산할 수 있습니다.

이러한 규칙은 이러한 표현의 에르미트 결합체를 공식적으로 쓰기에 충분합니다. 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

  • 켓:
  • 내부 제품:
    ⟨φ ψ⟩는 스칼라이므로 에르미트 켤레는 단지 복소 켤레, 즉,
  • 행렬 요소:
  • 외부 제품:

복합 브라 및 케트

두 개의 힐베르트 공간(V, W)은 텐서 곱에 의해 제3 공간(V ⊗ W)을 형성할 수 있습니다. 양자역학에서 이것은 복합 시스템을 설명하는 데 사용됩니다. 한 계가 각각 V와 W에 기술된 두 하부계로 구성되어 있다면, 전체 계의 힐베르트 공간은 두 공간의 텐서곱입니다. (이에 대한 예외는 하위 시스템이 실제로 동일한 입자인 경우입니다. 그럴 경우 상황이 조금 더 복잡합니다.)

만약 ψ⟩가 V의 케트이고 φ⟩가 W의 케트라면, 두 케트의 텐서곱은 V ⊗ W의 케트입니다. 이것은 다양한 표기법으로 쓰여집니다.

이 제품의 응용은 양자 얽힘EPR 역설을 참조하십시오.

단위 연산자

완전한 정상적인 시스템(기준)을 고려해 볼 때,

내부 곱 ⟨ ·, · ⟩의 표준에 관하여, 힐베르트 공간 H에 대하여.

기본적인 기능 분석을 통해, 어떤 케트ψ ⟩ {\\rangle}도 다음과 같이 쓸 수 있다고 알려져 있습니다.

⟨를 사용하여 · · 힐베르트 공간에 내부 곱을 ⟩합니다.

(복잡한) 스칼라가 있는 케트의 교환성으로 볼 때, 다음과 같습니다.

벡터를 자신에게 보내는 항등식 연산자여야 합니다.

따라서 값에 영향을 주지 않고 식에 삽입할 수 있습니다. 예를 들어,

마지막 줄에서 아인슈타인의 요약 규칙은 어수선함을 피하기 위해 사용되었습니다.

양자역학에서는 두 개의 임의의 (상태) 케트의 내부 생성물 ⟨ψ φ⟩에 대한 정보가 거의 또는 전혀 존재하지 않는 경우가 종종 발생하지만, 특정 (정규화된) 기준과 관련하여 해당 벡터의 팽창 계수 ⟨ψ e ⟩ = ⟨ ψ⟩* 및 φ⟩ ⟨에 대해 여전히 말할 수 있습니다. 이 경우, 특히 유닛 작업자를 브래킷에 1회 이상 삽입하는 것이 유용합니다.

자세한 내용은 신원 확인을 참조하십시오.[12]

어디에

x' x ⟩ = δ(x - x') 이므로 평면파는 다음과 같습니다.

디랙은 그의 책(1958), Ch. III.20에서 정규화까지 번역적으로 불변하는 운동량 ϖ ⟩ = → 0 p ⟩ {\ \varpi \rangle =\lim _{p\to 0} p\rangle }인 표준 케트를 정의합니다. 즉, 0{\{p}} \varpi \angle = 0}입니다. 결과적으로 해당 파동함는 상⟨ x π ℏ = 1 {\displaye \lang x \varpi \rangle {\sqrt {2\pi \bar}} = 1}이고,

게다가

일반적으로 다음과 같은 연산자의 모든 행렬 요소가

사용할 수 있습니다. 이 해상도는 전체 연산자를 재구성하는 역할을 합니다.

수학자들이 사용하는 표기법

브라켓 표기법을 사용할 때 고려하는 대상 물리학자들은 힐베르트 공간(완전한 내부 곱 공간)입니다.

⟨ ⋅ ⋅ ⟩){\displaystyle({\mathcal {H}},\langle \cdot,\cdot \rangle)}을 힐베르트 공간이라 하고, H ∈ Ha 벡터라고 하자. 물리학자들이 h ⟩로 표현하는 것은 벡터 그 자체입니다. 그것은,

H*H의 이중 공간이라 하자. 이것은 H 위의 선형 함수들의 공간입니다. 임베딩φ : H ↪ H ∗{\ :{\ {Hmathcal {H}}^{*}는φφh) = φ h{\\Phi(h)=\varphi _{h}, 여기서 모든 h ∈ H에대해 선형 φ h H → {\ \varphi _{hmathcal {Hto \mathbb {C} }는 모든 g ∈ H에 대해 함수 방정식 φ h (g) = ⟨ h, g ⟩ = ⟨ h ∣ g ⟩ {\displaystyle \varphi _{h}(g)=\lang h, g\rangle =\lang h\mid g\rangle }을 만족합니다. g를 각각 ⟩h와 g φ로 식별할 때는 표기 혼동이 발생합니다. 문자 그대로의 기호 대체 때문입니다. φ = = ⟨ h ∣ {\displaystyle \varphi _{h} = H =\langle h\mid}라고 하고 g = G = g ⟩라고 합니다. 이거는.

하나는 괄호를 무시하고 이중 막대를 제거합니다.

게다가, 수학자들은 보통 물리학자들이 하는 것처럼 이중 실체를 처음이 아니라 두 번째 실체에 쓰고, 그들은 복소수를 나타내기 위해 별표가 아니라 (물리학자들이 평균과 디랙 스피너나 덧셈을 위해 예약한) 위의 선을 사용합니다. 즉, 스칼라 곱을 위해 수학자들은 일반적으로 씁니다.

반면 물리학자들은 같은 양으로 글을 씁니다.

참고 항목

메모들

  1. ^ P. A. M. Dirac (1939). 양자역학의 새로운 표기법. 캠브리지 철학회의 수학적 절차, 35, pp 416-418 doi:10.1017/S030500410002116
  2. ^ 디랙 1939
  3. ^ 샹카르 1994, 1장
  4. ^ 그라스만 1862년
  5. ^ 제2강 양자 얽힘, 제1부(스탠포드), 복소수, 복소 켤레, 브레이커, 케트에 관한 레너드 서스킨드. 2006-10-02
  6. ^ 강의 2 양자 얽힘, Part 1 (Stanford), Leonard Susskind on internal product, 2006-10-02
  7. ^ "Gidney, Craig (2017). Bra–Ket Notation Trivializes Matrix Multiplication".
  8. ^ 사쿠라이 & 나폴리타노 2021년 2월 1.2, 1.3
  9. ^ 사쿠라이 & 나폴리타노 2021년 1.3초
  10. ^ 사쿠라이 & 나폴리타노 2021년 2월 1.2, 1.3
  11. ^ Robert Littlejohn의 강의 노트 2012-06-17, the Wayback Machine, eqs 12 및 13
  12. ^ 사쿠라이 & 나폴리타노 2021년 2월 1.2, 1.3

참고문헌

외부 링크