류타카야나기 추측

류-타카야나기 추측은 등각장 이론의 얽힘 엔트로피와 연관된 반-데 시터 시공간 ^[1]^[2]기하학 사이의 양적 관계를 가정하는 홀로그래피 내의 추측이다.이 공식은 벌크에서 "홀로그래픽 화면"을 특징짓습니다. 즉, 벌크 지오메트리의 어떤 영역이 "듀얼 CFT의 특정 정보에 대해 책임지는"^[3]지를 지정합니다.이 추측은 2006년에 ^[4]이 결과를 공동으로 발표한 신세이 류[ja]와 타카야나기 타다시[ja]의 이름을 따서 붙여졌다.그 결과, 저자들은 "양자장 이론과 양자 ^[5]중력의 엔트로피에 대한 근본적인 생각"으로 2015년 뉴 호라이즌스 물리학상을 수상했다.이 공식은 2007년에 ^[6]공변형 형태로 일반화되었다.

동기

블랙홀의 열역학은 블랙홀의 엔트로피와 그 기하학 사이의 특정한 관계를 암시합니다.특히, 베켄슈타인-호킹 영역의 공식은 블랙홀의 엔트로피가 표면적에 비례한다고 추측한다.

\displaystyle S_{\text{B}H}}=param frac {k_{\text{B}}A}{4\ell_{\text{\text}P}}{2}}}}:

베켄스타인-호킹 $S_{\text{BH}}$ S $(\$ })H $}}}$ 은 $S_{\text{BH}}$ (는) 수평선의 존재로 인해 외부 관찰자가 손실하는 정보의 측정값입니다.블랙홀의 지평선은 시공간에서 다른 영역(이 경우 내부)의 영향을 받지 않는 한 영역(이 경우 블랙홀 외부)을 구분하는 "스크린" 역할을 합니다.베켄슈타인-호킹 영역 법칙에 따르면 이 표면의 면적은 이 표면 뒤에 손실된 정보의 엔트로피에 비례한다.

베켄슈타인-호킹 엔트로피는 시스템의 중력 엔트로피에 대한 진술이다. 그러나 양자 정보 이론에서 중요한 또 다른 유형의 엔트로피, 즉 얽힘 엔트로피가 있다.이러한 형태의 엔트로피는 주어진 양자 상태가 순수한 상태로부터 얼마나 멀리 떨어져 있는지, 또는 그에 상응하는 방식으로 얼마나 얽혀 있는지를 측정합니다.얽힘 엔트로피는 응집 물질 물리학이나 양자 다체 시스템과 같은 많은 분야에서 유용한 개념입니다.그것의 용도와 베켄스타인-호킹 엔트로피와의 시사적인 유사성을 고려할 때, 얽힘 엔트로피의 중력적인 설명을 갖는 것이 바람직하다.

홀로그래픽 예비

홀로그래픽 원리는 주어진 차원의 중력 이론이 하나의 낮은 차원의 게이지 이론과 이중이라고 말한다.AdS/CFT 대응은 이러한 이중성의 한 예이다.여기서, 전기장 이론은 고정된 배경 위에 정의되며, 각각 다른 상태가 가능한 시공간 기하학에 대응하는 양자 중력 이론과 동등하다.등각장 이론은 종종 중력 이론을 정의하는 고차원 공간의 경계에 사는 것으로 보입니다.그러한 이중성의 결과는 두 동등한 서술 사이의 사전이다.예를 들어 d $\displaystyle$ d $}$ 차원 $d$ 민코프스키 공간에 $d$ 된 CFT에서 진공 상태는 순수 AdS 공간에 해당하는 반면 열 상태는 평면 ^[7]블랙홀에 해당합니다.현재 논의에서 $d$ 한 것은d\ $displaystyle$ d $'$ 치수 $d$ 구에 정의된 CFT의 열 상태가 AdS 공간의 $d+1$ d + $d+1$ (\ $displaystyle$ d $+1$ ) $d+1$ 슈바르츠실트 블랙홀에 대응한다는 것입니다.

베켄슈타인-호킹 영역 법칙은 블랙홀 지평선의 면적이 블랙홀의 엔트로피에 비례한다고 주장하지만, 이 엔트로피가 어떻게 발생하는지에 대한 충분한 미시적 설명을 제공하지 못합니다.홀로그래픽 원리는 블랙홀 시스템을 그러한 미세한 기술을 허용하는 양자 시스템과 연관시킴으로써 그러한 기술을 제공합니다.이 경우 CFT는 이산 고유 상태를 가지며 열 상태는 이러한 ^[7]상태의 표준 앙상블입니다.이 앙상블의 엔트로피는 정규 수단을 통해 계산할 수 있으며 면적 법칙에 의해 예측된 것과 동일한 결과를 산출합니다.이것은 류타카야나기 추측의 특별한 경우로 판명되었다.

추측

듀얼 CFT를 정의하는 AdS 공간 시간의 공간 슬라이스 $\Sigma$ \Sigma $)$ 를 $\Sigma$ 고려합니다.류-타카야나기 공식은 다음과 같다.

S_{A}=sublicfrac {\text{}}\sublic_{A}}{4G}}

(1)

$S_{A}$ 서 S A $(\$ ${A$ $})$ 는 $S_{A}$ 일부 공간 서브 $A\subset \partial \Sigma$ $A\subset \partial \Sigma$ 의 CFT $A\subset \partial \Sigma$ 얽힘 엔트로피 $(\displaystyle$ A $\subset\Sigma)$ 이며 $A\subset \partial \Sigma$ $\gamma _{A}$ , $(\$ 는 $B$ Ryu-takay 표면입니다.이 표면은 다음 세 ^[7]가지 특성을 충족해야 합니다.

$\displaystyle _$ {A $}$ 의 $A$ 는 $A\displaystyle$ A와 $\gamma _{A}$ .
$\displaystyle$ \ $gamma _$ {A $}$ 는 A와 상동한다.
$\displaystyle$ \ $gamma _$ {A $}$ 가 $\gamma _{A}$ $영역$ 을 극한으로 $\gamma _{A}$ . $\gamma _{A}$ 이 여러 개일 경우 ① A \ $\gamma _{A}$ _ ${A}$ 가 $\gamma _{A}$ 면적이 가장 작은 것이 된다.

특성(3) 때문에 컨텍스트가 명확할 때 일반적으로 이 표면을 최소 표면이라고 합니다.또한 속성 (1)에 의해 $S_{A}=S_{B}$ $S_{A}=S_{B}$ $S_{A}=S_{B}$ $S_{A}=S_{B}$ B $S_{A}=S_{B}$ (\ $displaystyle S_{A$ } = $S_{B})$ $S_{A_{1}+A_{2}}\geq S_{A_{1}\cup A_{2}}$ S $S_{A_{1}+A_{2}}\geq S_{A_{1}\cup A_{2}}$ + $S_{A_{1}+A_{2}}\geq S_{A_{1}\cup A_{2}}$ 2 $S_{A_{1}+A_{2}}\geq S_{A_{1}\cup A_{2}}$ $S_{A_{1}+A_{2}}\geq S_{A_{1}\cup A_{2}}$ 1 $S_{A_{1}+A_{2}}\geq S_{A_{1}\cup A_{2}}$ A 2 (\ $displaystyle S_{$ A_{1}+ $A_2})$ 와 $S_{A}=S_{B}$ 얽힘 엔트로피의 특정 특징을 유지할 수 있다.이 추측은 경계 CFT의 얽힌 엔트로피의 명시적 기하학적 해석, 즉 벌크에서 표면의 면적을 제공한다.

예

원본 논문에서 Ryu와 Takayanagi는 ${\text{AdS}}_{3}/{\text{CFT}}_{2}$ 3 / ${\text{AdS}}_{3}/{\text{CFT}}_{2}$ 2의 예에 대해 이 결과를 명확하게 보여줍니다.\ $displaystyle$ { $Ad$ $.$ $S}_{3}/{\text{C$ FT $}}_$ 얽힘 엔트로피에 대한 식이 이미 ^[1]알려져 $있습니다$ . ${\text{AdS}}_{3}$ 3의 경우 \ $style\text\ad$ $S$ $}}_{$ 3}} 반경 ${\text{AdS}}_{3}$ R({ $displaystyle$ R $R$ 의 공간.듀얼 CFT의 중심 충전은 다음과 같습니다.

c=syslogfrac {3R}{2G}

(2)

${\text{AdS}}_{3}$ ${\text{AdS}}_{3}$ 3 $(스타일 표시$ $S}}_$ 메트릭이 있습니다.

${\displaystyle ds^{2}=R^{2}(-\cosh {rho ^{2}dt^{2})+\rh ^{2}+\sinh {rh ^{2}d\theta ^{2}})$

$(t,\rho ,\theta )$ t $(t,\rho ,\theta )$ , $(t,\rho ,\theta )$ " , $(t,\rho ,\theta )$ " ) $(t,\rho ,\theta )$ { $displaystyle$ ( $t$ , \ $rho$ , \ $theta$ ) $(t,\rho ,\theta )$ } ( $(t,\rho ,\theta )$ 으로 쌍곡선 디스크 스택) 。 $\rho \to \infty$ 메트릭은 $\rho \to \infty$ displaystyle $\rho \to$ \infty $\rho \to \infty$ })로 분산되므로 $(\$ $\rho$ _{0 $\rho \leq \rho _{0}$ 로 제한됩니다. $\rho$ µ $(\$ style $\rho)$ 를 $\rho$ 부과하는 이 동작은 대응하는 CFT의 UV 차단과 유사합니다.L{\ $displaystyle$ L $}$ 이 $L$ CFT 시스템의 길이이고, $이$ 경우 적절한 메트릭으로 계산된 실린더의 둘레, \ $displaystyle$ a $}$ 가 격자 간격인 경우, $L$ 과 같이 됩니다.

$e^{\rho _{0}}\sim L/a$ $e^{\rho _{0}}\sim L/a$ 0 $e^{\rho _{0}}\sim L/a$ ~ $e^{\rho _{0}}\sim L/a$ / $e^{\rho _{0}}\sim L/a$ \ $display$ e^ { \ $rho$ _ { $0$ } \ $sim$ L / a } $e^{\rho _{0}}\sim L/a$ 。

이 경우 경계 CFT는 좌표 $(t,\rho _{0},\theta )=(t,\theta )$ $(t,\rho _{0},\theta )=(t,\theta )$ , $0$ $(t,\rho _{0},\theta )=(t,\theta )$ 0 , $(t,\rho _{0},\theta )=(t,\theta )$ ) $=$ ( $(t,\rho _{0},\theta )=(t,\theta )$ , $(t,\rho _{0},\theta )=(t,\theta )$ ) { $displaystyle$ ( $t$ , \ $rho$ _ { $0$ , \ $theta )$ $(t,\rho _{0},\theta )=(t,\theta )$ )에 존재합니다. $고정$ t{\ $displaystyle$ t $t$ } 슬라이스를 고려하여 경계의 서브영역 A를 $\theta \in [0,2\pi l/L]$ [ display 0 $\theta \in [0,2\pi l/L]$ / $]$ 으로 합니다.A의 $길이$ (\ $displaystyle$ A $A$ 이 경우 최소 표면은 $\theta =0$ $\theta =0$ 0 {\ $displaystyle$ \ $theta =$ 0 $\theta =0$ } 및 $\theta =2\pi l/L$ $\theta =2\pi l/L$ 2 $\theta =2\pi l/L$ l / $\theta =2\pi l/L$ L {\ $displaystyle \theta$ = $2\pi$ l $/L$ 을 연결하는 벌크를 통해 측지학이 가능하므로 식별이 용이합니다. 격자 컷오프, 측지학 길이는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

\cosh {(L_{\gamma_{A}}/R}}=1+2\sinh^{2}\rho_{0}\sin^{2}{\frac\pi l}{L}}

(3)

e $e^{\rho _{0}}>>1$ 0 $e^{\rho _{0}}>>1$ > $>$ $e^{\rho _{0}}>>1$ {\ $displaystyle e^{\rho_$ {0 $}}}$ > $1}$ 이라고 $e^{\rho _{0}}>>1$ 할 경우 Ryu-Takayanagi 공식을 사용하여 얽힘 엔트로피를 계산합니다.(3)에서 계산한 최소 표면의 길이를 꽂고 중앙 전하 (2)를 호출하면 얽힘 엔트로피가 다음과 같이 주어진다.

S_{A}=synfrac {R}{4G}}\log {(e^{2\rho_{0}}\sin ^{2}{\frac {c}{3}}}\log {(e^{\rho_0}}}}}\log {\frac {{L}}}} {{\frac}}

(4)

이것은 통상적인 ^[8]방법으로 계산한 결과와 일치합니다.

레퍼런스

^ ^a ^b ^c Ryu, Shinsei; Takayanagi, Tadashi (2006-08-21). "Aspects of Holographic Entanglement Entropy". Journal of High Energy Physics. 2006 (8): 045. arXiv:hep-th/0605073. Bibcode:2006JHEP...08..045R. doi:10.1088/1126-6708/2006/08/045. ISSN 1029-8479. S2CID 14858887.
^ Stanford Institute for Theoretical Physics (2015-10-15), Gravity and Entanglement, retrieved 2017-05-07
^ Fukami, Masaya (March 2018), Introduction to the Ryu–Takayanagi Formula (PDF), p. 2
^ Ryu, Shinsei; Takayanagi, Tadashi (May 2006). "Holographic Derivation of Entanglement Entropy from AdS/CFT". Phys. Rev. Lett. 96 (18): 181602. arXiv:hep-th/0603001. doi:10.1103/PhysRevLett.96.181602. PMID 16712357. S2CID 119441463.
^ "Recipients of the 2015 Breakthrough Prizes in Fundamental Physics and Life Sciences Announced". www.breakthroughprize.org. Retrieved 3 Aug 2018.
^ Hubeny, Veronika E.; Rangamani, Mukund; Takayanagi, Tadashi (23 July 2007). "A Covariant Holographic Entanglement Entropy Proposal". JHEP. 2007 (7): 062. arXiv:0705.0016. doi:10.1088/1126-6708/2007/07/062. S2CID 15206042.
^ ^a ^b ^c Van Raamsdonk, Mark (31 August 2016). "Lectures on Gravity and Entanglement". New Frontiers in Fields and Strings. pp. 297–351. arXiv:1609.00026. doi:10.1142/9789813149441_0005. ISBN 978-981-314-943-4. S2CID 119273886.
^ Calabrese, Pasquale; Cardy, John (2004-06-11). "Entanglement entropy and quantum field theory". Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. P06002 (6): P06002. arXiv:hep-th/0405152. doi:10.1088/1742-5468/2004/06/P06002. S2CID 15945690.

[ryu-takayanagi-1] Ryu, Shinsei; Takayanagi, Tadashi (2006-08-21). "Aspects of Holographic Entanglement Entropy". Journal of High Energy Physics. 2006 (8): 045. arXiv:hep-th/0605073. Bibcode:2006JHEP...08..045R. doi:10.1088/1126-6708/2006/08/045. ISSN 1029-8479. S2CID 14858887.

[2] Stanford Institute for Theoretical Physics (2015-10-15), Gravity and Entanglement, retrieved 2017-05-07

[introduction-3] Fukami, Masaya (March 2018), Introduction to the Ryu–Takayanagi Formula (PDF), p. 2

[4] Ryu, Shinsei; Takayanagi, Tadashi (May 2006). "Holographic Derivation of Entanglement Entropy from AdS/CFT". Phys. Rev. Lett. 96 (18): 181602. arXiv:hep-th/0603001. doi:10.1103/PhysRevLett.96.181602. PMID 16712357. S2CID 119441463.

[5] "Recipients of the 2015 Breakthrough Prizes in Fundamental Physics and Life Sciences Announced". www.breakthroughprize.org. Retrieved 3 Aug 2018.

[6] Hubeny, Veronika E.; Rangamani, Mukund; Takayanagi, Tadashi (23 July 2007). "A Covariant Holographic Entanglement Entropy Proposal". JHEP. 2007 (7): 062. arXiv:0705.0016. doi:10.1088/1126-6708/2007/07/062. S2CID 15206042.

[vr-7] Van Raamsdonk, Mark (31 August 2016). "Lectures on Gravity and Entanglement". New Frontiers in Fields and Strings. pp. 297–351. arXiv:1609.00026. doi:10.1142/9789813149441_0005. ISBN 978-981-314-943-4. S2CID 119273886.

[8] Calabrese, Pasquale; Cardy, John (2004-06-11). "Entanglement entropy and quantum field theory". Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. P06002 (6): P06002. arXiv:hep-th/0405152. doi:10.1088/1742-5468/2004/06/P06002. S2CID 15945690.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Search

류타카야나기 추측

네임스페이스

더

목차

동기

홀로그래픽 예비

추측

예

레퍼런스