최소 모형(물리학)

이론 물리학에서, 최소 모형 또는 비라소로 최소 모형은 2차원 등각장 이론으로, 스펙트럼은 비라소로 대수의 최종적인 많은 환원 불가능한 표현으로 구성됩니다.최소 모델은 분류되고 해결되었으며 ADE ^[1]분류를 따르는 것으로 밝혀졌다.최소 모델이라는 용어는 또한 W-대수와 같은 비라소로 대수보다 큰 대수에 기초한 합리적인 CFT를 나타낼 수 있다.

비라소로 대수의 관련 표현

표현

최소 모형에서, 비라소로 대수의 중심 전하가 다음과 같은 값을 취한다.

${\displaystyle c_{p,q}=1-6{(p-q)^{2} \over pq}\ .}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 p${\displaystyle }$${\displaystyle ,}$$$q { $display style$p ,$q$ }는 p , q${\displaystyle 2}$2 { $display style$p , q \ $geq$ 2$$）와 같은 공명 정수입니다.그러면 축퇴 표현의 규격 치수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle h_{r,s}=blac {(pr-q)^{2}-(p-q)^{4pq}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\$

그리고 그들은 신분에 복종하고

$\displaystyle h_{r,s}=h_{q-r,p-s}=h_{r+q,s+p}\.}$

최소 모델의 스펙트럼은 축소할 수 없는 비라소로 대수의 축퇴 최저 무게 표현으로 만들어지며, 그 등각 치수는 ${\displaystyle {h,}_{}}$ $,$ \$displaystyle h_{r,s}$입니다.

$\displaystyle 1\leq r\leq q-1\displays,\display 1\leq s\leq p-1\.}$

이러한 $표현{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle R_{,}}$ $(\$ {R$}}$_$${r$,s$})는 중요한 서브모듈이 무한히 많은 Verma 모듈의 코세트입니다.p${\displaystyle }$- ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$ { $displaystyle$p - q$= 1$인 ${\displaystyle 경우}$에만 단일입니다. 주어진 중앙 전하로 ${\displaystyle \frac{1}{}}$2 (${\displaystyle p}$ -${\displaystyle 1}$)$$(${\displaystyle }$q -${\displaystyle 1}$) { $displaystyle$ { { $frac$ { $1$} {$2}}$ ($p-1)(q-1$)}개의$$ 구별되는 유형이 $있습니다{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$.이들 표현 세트 또는 그 규격 치수는 ${\displaystyle \mathrm{파라미터}}({\displaystyle }$ p${\displaystyle }$,${\displaystyle q}$) {$displaystyle ($${\displaystyle p}$ $, q$ ) $\}$ { displaystyle (p , q )${\displaystyle \}}$ { $displaystyle$( $q$- 1 )${\displaystyle }$× (${\displaystyle p}$ -${\displaystyle 1}$)$$\$times$ ( p -$1$}의${\displaystyle }$직사각형으로 그려집니다.여기서 각 표현은 2배의 관계에 의해 표시됩니다.

${\displaystyle {R}_{r,s}={q-r,p-s}\ .}$

퓨전 규칙

곱셈 퇴화 ${\displaystyle {표현}_{}}$ R${\displaystyle {}_{}}$r , ${\displaystyle s_{}}$\$displaystyle {\mathcal {R$}}_${r,s}}$의 퓨전 규칙은 모든 null 벡터에서 제약을 부호화합니다.따라서 그것들은 개별 null ^[2]벡터로부터 제약을 인코딩하는 단순 퇴화 표현의 융합 규칙에서 추론할 수 있다.명시적으로 퓨전규칙은

${\displaystyle {R}_{r_{1}, s_{1}}\times {mathcal {R}_{r_{2}=\sum _ {r_{3}{\overset {2} {1} +1}^{{1}\min(r_1}+{1}},{2},{2}}, {q},{1}, {2}}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}}, {1}, {1}}, {1}, {1}}$

두 개씩 증가해서 계산되는 곳이죠.

분류

A 시리즈 최소 모델: 대각선 대문자

p${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle q2}$2 ( \ $displaystyle$$p$ , $geq$2)와 $같은{\displaystyle }$ 임의의 코프라임 $정수{\displaystyle }$p ,$$ { $displaystyle$p ,$$$q$}에$$ 대해 스펙트럼에 Kac 테이블 내의 각 개별 표현의 복사본이1개 포함되어 있는 대각 최소 모델이 존재합니다.

$({displaystyle {S}_{p,q}^{\text{A-series}}=bigoplus_{r=1}^{q-1}\bigoplus_{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}_{r,s}}{{mathcal {R}}}{{\}}}{{{\}}}}}}}}}}}{{{bigoplus}}}}}}}}}{bigoplus}}},$

The ${\displaystyle (p,q)}$ and ${\displaystyle (q,p)}$ models are the same.

두 필드의 OPE에는 해당 표현의 퓨전 규칙에 의해 허용되는 모든 필드가 포함됩니다.

D시리즈 최소모델

중심 $전하{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{cp},}_{}}$q {$displaystyle c_{p,q}$의 D 시리즈 최소 모델은$$p {$displaystyle$ p$}$ $또는$ q {$displaystyle$$$q}가 짝수이고 최소$$6({$displaystyle$ 6$\})$이면 $존재$합니다. $대칭{\displaystyle }$ p$$$↔$$$ {$displaystyle$ p$\rightarrow$q$}$를 $사용$하여 q가$$ 짝수라고 $가정$합니다.$playstyle$ p$}$가 이상합니다.스펙트럼은

${\displaystyle {S}_{p,q}^{\text {D 시리즈}\\{underset {q\equiv 0\operatorname {mod} 4,\q\geq 8}{=}\\bigplus _{frac {1}{biglus {2}}_{q-1}_plus_plus_plus곱하기 {{mathcal {R}}_{q-r,s}\,}$

${\displaystyle {S}_{p,q}^{\text{D 시리즈}\\{{underset {q\equiv 2\operatorname {mod}4,\q\geq 6}{=}\\{frac {1}{bigplus _{2}}{q-1}_plus_plus_plus_plus곱하기 {{mathcal {R}}_{q-r,s}\,}$

$여기$서 r$\displaystyle$ r의$$합계는 2씩 증가합니다.${\displaystyle {모든}_{\frac{}{}}}$ 스펙트럼에서, 타입 R ${\displaystyle q_{}}$2, s${\displaystyle {}_{}{\stackrel{}{\mathcal{}}}_{}}$ R${\displaystyle {\stackrel{}{}2}_{\frac{}{}\frac{\mathrm{q}}{}}}$ 2, ${\displaystyle s_{}}${ $displaystyle {\frac {q}${{\frac {$q$} {2},$s}$ \$otimes {{\$${\displaystyle \mathrm{mathcal}}$ {R$}}}_{\frac$ {${\displaystyle q}$$}$ {2},$}$ ${\displaystyle \mathrm{d}}$의 표현을 제외하고, 각 표현은 1의 다중성을 가진다.다중도 2이러한 표현은 스펙트럼 공식에서 두 가지 용어로 나타난다.

두 필드의 OPE는 대응하는 표현의 융합 규칙에 의해 허용되는 모든 필드를 포함하며 대각도 보존을 고려하는 필드입니다. 대각도 및 비대각도 필드의 OPE는 비대각 필드만 생성하고 같은 유형의 두 필드의 OPE는 대각 필드만 생성합니다.^[3] $이$ 규칙에서는 $표현{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle R_{\frac{}{}}}$ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{q}}{}}_{}}$2, ${\displaystyle s_{}{\stackrel{}{\mathcal{}}}_{}}$ R${\displaystyle {\stackrel{}{}q}_{\frac{}{}}}$ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{q}}{}}_{}}$ 2,$s${ $style${ $mathcal$ {$R$} $_${ \ $frac${$$q$$} _ { \$bar$ \$mathcal$ { $R$} } _ { \ $frac$ { $q }$ { 2$}$ }의 복사본이 대각선으로 카운트되고 다른 복사본은 비대각선으로 카운트됩니다.

E 시리즈의 최소 모델

E 시리즈의 최소 모델에는 3가지 시리즈가 있습니다.각 시리즈는$$${\displaystyle \mathrm{q}}$({$displaystyle$q$\})$와${\displaystyle }$공명하는 $임의$의 p$({displaystyle$ p$\geq$2)에$$ 대해$q$q\$in\{12,18,30\})$의 ${\displaystyle 소정}$의 값으로 존재합니다(${\displaystyle 이}$는 실제로는 p$displaystyle$p\$geq})$ R$)$ ${\displaystyle {}^{}}$을 $사용$합니다${\displaystyle .}$$\mathcal {R} ^{2}=mathcal {R}}\otimes {\bar {\mathcal$ {R$\}\}\}$ 스펙트럼은 다음과 같습니다.

$({displaystyle {S}_{p,12}^{\text{E-series}}=bigoplus_{s=1}^{p-1}\left\{\left\{mathcal {R}_{1,s}\o 플러스 {mathcal {R}_7,s}\calus}\calfrac {1})$

$({displaystyle {S}_{p,18}^{\text{E-series}}=bigoplus_{s=1}^{p-1}\left\{\left\{\mathcal {R}_{9,s}\oplus 2bgmathcal {R}_{3,s}\mathcal {2}_{{{{2}) 왼쪽 ^{{{{{{{{{{{2}\mathc}}}}}}\math-2})$

$({displaystyle {S}_{p,30}^{\text{E 시리즈}}=bigoplus_{s=1}^{p-1}\left\{\left\bigoplus_{r\in\in\1,11,19,29\}{\mathcal {R}_{r,s\2}^2})$

예

다음 A 시리즈 ^[2]최소 모델은 잘 알려진 물리적 시스템과 관련이 있습니다.

• ${\displaystyle (p}$ ,${\displaystyle }$q )$=$ ( ${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 2}$)${\displaystyle }${$displaystyle ($p$,q)=$ (3$,2)}$ : 일반 CFT,
• ${\displaystyle (p}$ ,${\displaystyle }$q )$=$ (${\displaystyle 5}$,${\displaystyle 2}$) {$displaystyle (p,q$)= ($5,2)}$ : Yang-Lee 엣지 특이점,
• ${\displaystyle (p}$ ,${\displaystyle }$q )$=$ ( ${\displaystyle 4}$,${\displaystyle 3}$)${\displaystyle }${$displaystyle (p,q$)= ($4,3)}$ : 중요 Ising 모델,
• ${\displaystyle (p}$ ,${\displaystyle }$q ) $=$ ( ${\displaystyle 5}$,${\displaystyle }$4$$) {$displaystyle (p,q$)= (5$,4)}$ : 트리컬 이징 모델,
• $($ ,${\displaystyle }$q ) $=$ ( ${\displaystyle 6}$, 5$$) {$displaystyle ($p,q)= $(6,5$)}$$ : 4차원 이싱 모델.

다음 D 시리즈의 최소 모델은 잘 알려진 물리적 시스템과 관련이 있습니다.

• ${\displaystyle (p}$ ,${\displaystyle }$q ) $=$ ( ${\displaystyle 6}$,${\displaystyle 5}$ )$${$displaystyle (p,q$)= ($6,5)}$ : 임계 시 3 상태 Potts 모델,
• ${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$ ,${\displaystyle }$q ) $=$ ( ${\displaystyle 7}$,${\displaystyle 6}$ )$${$displaystyle (p,q$)= ($7,6)}$ : 3가지 상태 포츠 모델${\displaystyle .}$

이들 모델의 Kac 테이블과 2${\displaystyle \mathrm{q}}$ ${\displaystyle †}$6 { $style$2 \ $leq$q \ $leq$ 6$$}의 다른 Kac 테이블은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {array} {\display{array} {c ccc} 1&0\hline & 1&2\end {array} = 0\end {array} \qquad {\display {array} {ccc} 1&0&{\frac}$

${\displaystyle{\begin{배열}{c}{\begin{배열}{cccc}2&,{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{16}}&0\\1&, 0&,{\frac{1}{16}}&{\frac{1}{2}}\\\hline&1&, 2&, 3\end{배열}}\\c_{4,3}={\frac{1}{2}}\end{배열}}\qquad{\begin{배열}{c}{\begin{배열}{ccccc}2&,{\frac{3}{4}}&{\frac{1}{5}}&-{\frac{1}{20}}&0\\1&, 0&-{.\frac{1}{20}}&{\frac{1}{5}}&{\frac{3}{4}}\\\hline&1&, 2&, 3&amp을 말한다.4\end {array}\c_{5,3}=-{\frac {3}{5}}\end {array}}$

${\displaystyle{\begin{배열}{c}{\begin{배열}{ccccc}3&,{\frac{3}{2}}&{\frac{3}{5}}&{\frac{1}{10}}&0\\2&,{\frac{7}{16}}&{\frac{3}{80}}&{\frac{3}{80}}&{\frac{7}{16}}\\1&, 0&,{\frac{1}{10}}&{\frac{3}{5}}&{\frac{3}{2}}\\\hline&1&, 2&, 3&, 4\end{배열}}\\c_{5,4}={\frac{7}{10}}\end{배열}.}\qquad{\begin{배열}{c}{\begin{배열}{ccccccc}3&,{\frac{5}{2}}&{\frac{10}{7}}&{\frac{9}{14}}&{\frac{1}{7}}&-{\frac{1}{14}}&0\\2&,{\frac{13}{16}}&{\frac{27}{112}}&-{\frac{5}{112}}&-{\frac{5}{112}}&{\frac{27}{112}}&{\frac{13}{16}}\\1&, 0&, -{\frac{1}{14}}&{\frac{1}{7}}&{\frac{9}{14}}&{\frac{10}{7}}&{\frac{5}{2}}\\\hline&1&, 2&.앰프, 3&, 4&, 5&, 6\end{배열}}\\c_{7,4}=-{\frac{13}{14}}\end{배열}}}$

${\displaystyle{\begin{배열}{c}{\begin{배열}{cccccc}4&, 3&,{\frac{13}{8}}&{\frac{2}{3}}&{\frac{1}{8}}&0\\3&,{\frac{7}{5}}&{\frac{21}{40}}&{\frac{1}{15}}&{\frac{1}{40}}&{\frac{2}{5}}\\2&,{\frac{2}{5}}&{\frac{1}{40}}&{\frac{1}{15}}&{\frac{21}{40}}&{\frac{7}{5}}\\1&, 0&,{\frac.{1}{8}}&{\frac{2}{3}}&{\frac{13}{8}}&3\\\hline&1&, 2&, 3&, 4&, 5\end{arr요런 깨알 같은 상황에서}}\\c_{6,5}={\frac{4}{5}}\end{배열}}\qquad{\begin{배열}{c}{\begin{배열}{ccccccc}4&,{\frac{15}{4}}&{\frac{16}{7}}&{\frac{33}{28}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{1}{28}}&0\\3&,{\frac{9}{5}}&{\frac{117}{140}}&{\frac{8}{35}}&-{\frac{3}{140}}&{\frac{3}{35}}&{\frac{11}{20}}\\2&,{\frac{11}{20}}&am.p/&{\frac{3}{35}}&-{\frac{3}{140}}&{\frac{8}{35}}&,{\frac {frac} {140}}&{\frac {9}{5}\1&0&{\frac {1}{28}}&{\frac {3}{7}}&{\frac {16}}&{\frac {4}}&{\hline & 1&2&3&amp}&6}$

${\displaystyle{\begin{배열}{c}{\begin{배열}{ccccccc}5&, 5&,{\frac{22}{7}}&{\frac{12}{7}}&{\frac{5}{7}}&{\frac{1}{7}}&0\\4&,{\frac{23}{8}}&{\frac{85}{56}}&{\frac{33}{56}}&{\frac{5}{56}}&{\frac{1}{56}}&{\frac{3}{8}}\\3&,{\frac{4}{3}}&{\frac{10}{21}}&{\frac{1}{21}}&{\frac{1}{.21}}&{\frac{10}{21}}&{\frac{4}{3}}\\2&,{\frac{3}{8}}&,{\frac{1.}{56)&{\frac {56)}&{\frac {56)}&{\frac {8}&{\frac {23}{8}&{\frac {1}{7}&{\frac {5}&{\frac {5}&{7}&{\frac {5}$

관련 등각장 이론

코제트 실현

인덱스$({\displaystyle p}$ ,${\displaystyle q}$) {$displaystyle (p,q)}$가 있는 A 시리즈의 최소 모델은 다음 WZW ^[2]모델의 코셋과 일치합니다.

${\displaystyle {SU(2)_{k}\times SU(2)_{k+1}}\,\,\,\,\,\,\,\time {text{where}\,\times k=sufrac {q}{p-q}-2\}.$

p> { $displaystyle$p $>$q 로 가정하면 p ${\displaystyle =q}$ + ${\displaystyle 1}$ { $displaystyle$ p $= q$ +$1$} $즉$, 최소 모델이 유니터리일 경우에만 $k$가 정수입니다.

${\displaystyle \mathrm{그룹}}$ S U${\displaystyle }$( 2$)\style$SU ( 2 $)\backslash$^[2]style SU ($2$ )에 근거할 필요는 없지만, WZW 모델의 코셋으로서 대각 여부에 관계없이 특정 최소 모델의 실현이 존재합니다.

일반화된 최소 모델

모든 중앙 $전하{\displaystyle }$ C${\displaystyle c\mathbb{}}$C {\$displaystyle c\in \mathbb${C$\}\}$에 대해 스펙트럼이 모든 퇴화 표현으로 구성된 대각선 CFT가 있습니다.

${\displaystyle {S}=\bigoplus _{r,s=1}^{\infty}{\mathcal {R}_{r,s}\otimes {\mathcal {R}_{r,s}\}$

중심 전하가 c ${\displaystyle {p,}_{}}$q(\$displaystyle c_{p,q$인 경우 일반화된 최소 모델은 대응하는 A 시리즈 최소 ^[4]모델이 됩니다.이는 특히 Kac 테이블에 없는 퇴화 표현이 분리됨을 의미합니다.

리우빌 이론

Liouville 이론은 필드가 ^[4]퇴화되면 일반화된 최소 모델로 감소하기 때문에 중심 전하가${\displaystyle c_{}}$ p ,$$q (\$displaystyle c_{p,q$로 전송되면 A 시리즈 최소 모델로 더욱 감소합니다.

또한, A 시리즈 최소 모델은 c $→$ ${\displaystyle 1}$ {\$displaystyle c\to$1)$$: 룽켈-와츠 ^[5]이론이라는 연속 스펙트럼을 가진 대각선 CFT로서 $잘{\displaystyle }$ 정의된 한계를 가지고 있으며, 이는 c ${\displaystyle \to {}^{\mathrm{}}}$ +$${\$display c\to$ 1$^\{+\}\}$^[6]일 때 리우빌 이론의 한계와 일치한다.

최소 모델 제품

미니멀 모델 ^[7]두 개 제품인 미니멀 모델은 세 가지 경우가 있습니다.스펙트럼 수준에서 관계는 다음과 같습니다.

${{displaystyle {S}_{2,5}^{\text {A 시리즈}}^{\text {A 시리즈}}={{{3,10}^{\text {D 시리즈}}\,}$

${{displaystyle {S}_{2,5}^{\text{A 시리즈}}^{\text{A 시리즈}}={cal {S}_{5,12}^{\text{E 시리즈}}\,}$

$({displaystyle {S}_{2,5}^{\text{A시리즈}}^{\text{S}_{2,7}^{\text{A시리즈}}={{7,30}^{\text{E시리즈}}}\}).$

최소 모델의 페르미온 확장

q${\displaystyle 0}$ 0 ${\displaystyle mod\mathrm{}}$4 { $displaystyle$$$q \ $equiv$ 0 { \ $bmod${ $4$}$$$0{\displaystyle }$ q 、 A 시리즈 및${\displaystyle }$D 시리즈 ($$ ,$q )$의 최소 모델에는 각각 페르미온 확장이 있습니다.이 두 개의 페르미온 확장은 반정수 스핀을 가진 필드를 포함하며 패리티 시프트 ^[8]연산에 의해 서로 관련됩니다.

레퍼런스