시간 진화

이 글에는 여러 가지 문제가 있다. 이 문제를 개선하거나 대화 페이지에서 토의하십시오. (이러한 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기) 이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2013년 9월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기) 이 글은 검증을 위해 인용구가 추가로 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "시간 진화" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR(2020년 9월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)

시간 진화는 시간의 경과에 의해 초래되는 상태의 변화로, 내부 상태를 가지는 시스템(상태 저장 시스템이라고도 함)에 적용할 수 있다. 이 공식에서 시간은 연속 매개변수가 될 필요는 없지만 이산형 또는 심지어 유한형일 수 있다. 고전물리학에서는 경직된 신체의 집합체의 시간 진화는 고전역학의 원리에 의해 지배된다. 그들의 가장 초보적인 형태에서, 이러한 원리들은 신체에 작용하는 힘과 뉴턴의 운동 법칙에 의해 주어진 가속도 사이의 관계를 표현한다. 또한 이러한 원칙들은 해밀턴 역학이나 라그랑지 역학에 의해 보다 추상적으로 표현될 수 있다.

시간 진화의 개념은 다른 상태 저장 시스템에도 적용될 수 있다. 예를 들어 튜링 기계의 작동은 기계의 읽기-쓰기 헤드(또는 헤드)의 위치를 포함한 테이프(또는 가능한 여러 개의 테이프)의 상태와 함께 기계의 제어 상태가 진화된 시간으로 간주할 수 있다. 이 경우 시간은 별개다.

상태 저장 시스템은 상태 또는 관측 가능한 가치 측면에서 이중으로 기술되는 경우가 많다. 그러한 시스템에서 시간 진화는 관측 가능한 값의 변화를 의미할 수도 있다. 이는 특히 슈뢰딩거 그림과 하이젠베르크 그림이 시간 진화에 대한 (대부분) 동등한 설명인 양자역학에서 관련된다.

시간 진화 연산자

진화가 결정적이고 되돌릴 수 있는 상태 공간 X가 있는 시스템을 고려하십시오. 구체성을 위해 시간이 실제 숫자 R의 집합에 걸쳐 있는 매개변수라고 가정해보자. 그리고 나서 시간 진화는 한 가족에 의해 주어진다.

${\displaystyle \operatorname {F} _{t,s}:X\오른쪽 화살표 X\quad \forall t,s\in \mathb {R}}$

F_{t, s}(x)는 시간 t의 시스템 상태로서, 시간 s의 상태는 x이다. 다음과 같은 정체성이 유지된다.

${\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}(\operatorname {F} _{t,s}(x))=\operatorname {F} _{u,s}(x).}$

이것이 왜 사실인지 알아보려면 x ∈ X가 시간 s의 상태라고 가정해 보자. 그 다음 F(x_{t, s})의 정의에 따르면 F(x)는 시간 t의 시스템 상태이고 결과적으로 그 정의를 다시 한 번 적용하면 F_{u, t}(F_{t, s})는 시간 u의 상태를 의미한다. 그러나 이것도 F_{u, s}(x)이다.

수학적 물리학의 일부 맥락에서, 매핑_{t, s} F는 '제안 연산자' 또는 단순히 전파자라고 불린다. 고전 역학에서 전파자는 물리적 시스템의 위상 공간에서 작동하는 기능이다. 양자역학에서 전파자는 대개 힐버트 공간의 단일 관측통이다. 전파자는 통합된 해밀턴의 시간 순서 지수로서 표현할 수 있다. 시간 진화의 점증적 특성은 산란 행렬에 의해 주어진다.^[1]

구별되는 전파기가 있는 상태공간을 역학계라고도 한다.

시간의 진화가 동질적이라고 말하는 것은

${\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}=\operatorname {F} _{u-t,0}\quad \forall u,t\in \mathb {R}}}}$

동종 시스템의 경우, 매핑 G_t = F는_t,0 X의 변환의 단일 매개변수 그룹을 형성한다.

${\displaystyle \operatorname {G} _{t+s}=\operatorname {G} _{t}\operatorname {G} _{s}.}$

비반복 시스템의 경우, t s s마다 전파 연산자 F가_{t, s} 정의되며 전파 정체성을 만족한다.

${\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}(\operatorname {F} _{t,s}(x))=\operatorname {F} _{u,s}(x).\cHB u\geq t\geq s.}$

균일한 경우 전파자는 해밀턴인의 지수형이다.

양자역학에서

슈뢰딩거 그림에서 해밀턴 연산자는 양자 상태의 시간 진화를 생성한다. ${\displaystyle \psi }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle ⟩}$ ${\$이(가) $t{\displaystyle }$ ${\displaystyt$ t$} 시간$의 시스템 상태라면$,$

${\displaystyle H\left \psi(t)\right\rangele =i\hbar {\partial \over \partial t}\psi(t)\right\rangle .}$

슈뢰딩거 방정식이다. 초기 시간(${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t=0}$ )의 상태를 감안할 때,$$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 시간과 독립적이라면$$, 방정식에 표시된 것처럼 단일 시간 진화 연산자 $U{\displaystyle }$(${\displaystyle t}$)${\displaystyle U(t)}$이 지수 연산자다.

${\displaystyle \psi (t)\오른쪽\rangele =U(t)\왼쪽 \psi (0)\right\rangele =e^{-iHt/\hbar }\왼쪽 \psi (0)\right\rangele .}$

참고 항목

• 시간의 화살
• 시간 변환 대칭
• 해밀턴계
• 전파자
• 시간 진화 연산자
• 해밀턴어(제어 이론)

참조

일반참조

• Amann, H.; Arendt, W.; Neubrander, F.; Nicaise, S.; von Below, J. (2008), Amann, Herbert; Arendt, Wolfgang; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank M; Nicaise, Serge; von Below, Joachim (eds.), Functional Analysis and Evolution Equations: The Günter Lumer Volume, Basel: Birkhäuser, doi:10.1007/978-3-7643-7794-6, ISBN 978-3-7643-7793-9, MR 2402015.
• Jerome, J. W.; Polizzi, E. (2014), "Discretization of time-dependent quantum systems: real-time propagation of the evolution operator", Applicable Analysis, 93 (12): 2574–2597, arXiv:1309.3587, doi:10.1080/00036811.2013.878863, S2CID 17905545.
• Lanford, O. E. (1975), "Time evolution of large classical systems", in Moser J. (ed.), Dynamical Systems, Theory and Applications, Lecture Notes in Physics, 38, Berlin, Heidelberg: Springer, pp. 1–111, doi:10.1007/3-540-07171-7_1, ISBN 978-3-540-37505-0.
• Lanford, O. E.; Lebowitz, J. L. (1975), "Time evolution and ergodic properties of harmonic systems", in Moser J. (ed.), Dynamical Systems, Theory and Applications, Lecture Notes in Physics, 38, Berlin, Heidelberg: Springer, pp. 144–177, doi:10.1007/3-540-07171-7_3, ISBN 978-3-540-37505-0.

• Lumer, Günter (1994), "Evolution equations. Solutions for irregular evolution problems via generalized solutions and generalized initial values. Applications to periodic shocks models", Annales Universitatis Saraviensis, Series Mathematicae, 5 (1), MR 1286099.