양자역학의 수학적 공식화

양자역학의 수학적 공식은 양자역학을 엄밀하게 기술할 수 있는 수학적 형식이다.이 수학적 형식주의는 함수 분석의 일부, 특히 선형 공간의 일종인 힐버트 공간을 주로 사용한다.이것들은 무한 차원 힐버트 공간(주로² L 공간)과 같은 추상적인 수학적 구조를 사용하여 1900년대 초 이전에 개발된 물리학 이론의 수학적 형식주의와 구별된다.간단히 말해, 에너지와 운동량과 같은 물리적 관측치의 값은 더 이상 위상 공간의 함수 값이 아니라 고유값으로 간주되었다. 더 정확히는 힐베르트 ^[1]공간의 선형 연산자의 스펙트럼 값으로 간주되었다.

이러한 양자역학의 공식은 오늘날에도 계속 사용되고 있다.설명의 핵심에는 이전의 물리적 현실 모델에서 사용된 것과 근본적으로 다른 양자 상태와 양자 관측 가능성의 아이디어가 있습니다.수학은 실험적으로 측정할 수 있는 많은 양의 계산을 허용하지만, 동시에 측정할 수 있는 값에는 확실한 이론적인 한계가 있습니다.이 한계는 하이젠베르크에 의해 사고 실험을 통해 처음 설명되었고, 양자 관측 가능량을 나타내는 연산자의 비환성(non-commutrativity)에 의해 수학적으로 표현되었다.

양자역학이 별도의 이론으로 발전하기 전에, 물리학에서 사용되는 수학은 주로 미적분학에서 시작하여 미분 기하학과 편미분 방정식까지 복잡도가 증가하는 형식적인 수학 분석으로 구성되었다.확률론은 통계역학에서 사용되었다.기하학적 직관은 처음 두 가지에서 강한 역할을 했고, 따라서 상대성 이론은 전적으로 미분 기하학적 개념의 관점에서 공식화되었습니다.양자 물리학의 현상학은 대략 1895년과 1915년 사이에 생겨났고, 양자 역학이 발전하기 전 10년에서 15년 동안 물리학자들은 양자 이론을 현재 고전 물리학이라고 불리는 것의 범위 내에서, 특히 같은 수학적 구조 내에서 계속 생각했다.이것의 가장 정교한 예는 소머펠트-윌슨-이다.이시와라 양자화 법칙은 고전적인 위상 공간 위에 전적으로 공식화되었습니다.

형식주의의 역사

"오래된 양자 이론"과 새로운 수학의 필요성

1890년대에 플랑크는 흑체 스펙트럼을 도출할 수 있었는데, 이것은 나중에 물질과 전자 복사의 상호작용에서 에너지가 양자라고 부르는 분리된 단위로만 교환될 수 있다는 비정통적인 가정을 함으로써 고전적인 자외선 재앙을 피하기 위해 사용되었다.플랑크는 방사 주파수와 그 주파수의 에너지 양자 사이에 정비례성을 가정했다.비례 상수 $h$ 는 이제 플랑크 상수라고 불리고 있다.

1905년 아인슈타인은 플랑크의 에너지 양자가 나중에 광자라고 불리는 실제 입자라고 가정함으로써 광전 효과의 특정한 특징들을 설명했다.

이러한 모든 발전은 현상론적이고 당시의 이론 물리학에 도전했다.보어와 소머펠트는 첫 번째 원리에서 보어 모델을 추론하기 위해 고전역학을 수정했다.그들은 위상공간에 있는 기계계에 의해 추적되는 모든 닫힌 고전적 궤도 중에서 플랑크 상수의 배수인 영역을 둘러싼 궤도만이 실제로 허용된다고 제안했다.이 형식주의의 가장 정교한 버전은 소위 소머펠트-윌슨-이었다.이시와라 양자화수소 원자의 Bohr 모델은 이렇게 설명할 수 있지만 헬륨 원자의 스펙트럼(전통적으로 해결할 수 없는 3체 문제)은 예측할 수 없었다.양자 이론의 수학적 지위는 한동안 불확실했다.

1923년 드 브로글리는 파동-입자 이중성을 광자뿐만 아니라 전자와 다른 모든 물리적 시스템에 적용한다고 제안했다.

상황은 1925-1930년 에르빈 슈뢰딩거, 베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 파스쿠알 요르단의 획기적인 연구와 존 폰 노이만, 헤르만 바일, 폴 디락의 기초 연구를 통해 수학적 기초가 발견되면서 빠르게 변화했고, 몇 가지 다른 접근 방식을 통합하는 것이 가능해졌다.참신한 생각이론의 물리적 해석은 베르너 하이젠베르크가 불확실성 관계를 발견하고 닐스 보어가 상호보완성의 개념을 도입한 이후에도 분명해졌다.

'새로운 양자론

베르너 하이젠베르크의 매트릭스 역학은 원자 스펙트럼의 관측된 양자화를 재현하는 데 성공한 첫 번째 시도였다.같은 해 말 슈뢰딩거는 자신의 파동역학을 만들었다.슈뢰딩거의 형식주의는 물리학자들이 이미 풀이에 익숙한 미분 방정식으로 이어지면서 이해, 시각화, 계산이 더 쉽다고 여겨졌다.1년 만에 그 두 이론이 동등하다는 것이 밝혀졌다.

슈뢰딩거 자신은 처음에 양자 역학의 근본적인 확률론적 성격을 이해하지 못했는데, 그는 전자의 파동 함수의 절대 제곱이 확장된, 어쩌면 무한한 공간에 걸쳐 퍼져 있는 물체의 전하 밀도로 해석되어야 한다고 생각했기 때문이다.점 같은 물체의 위치 확률 분포로서 파동 함수의 절대 제곱에 대한 해석을 도입한 사람은 맥스 보른이었다.보른의 생각은 곧 코펜하겐의 닐스 보어에 의해 계승되었고 그는 코펜하겐 양자역학 해석의 "아버지"가 되었다.슈뢰딩거의 파동 함수는 고전적인 해밀턴-야코비 방정식과 밀접한 관련이 있는 것으로 볼 수 있다.하이젠베르크의 매트릭스 역학에서는 고전 역학에 대한 대응이 다소 형식적이기는 하지만 훨씬 더 명확했다.그의 박사 논문 프로젝트에, Paul은 Dirac[2]은 하이젠베르크의 표현을 운영자의 공식이지만 오늘은 밀접하게 고전 방정식에 특정한 양의 고전 역학의 한 푸아송 괄호를 통해 그들이 해밀턴 형식 주의의 역학에 대해 변환합니다, 절차 지금 a 알려진 발견s표준 양자화

좀 더 정확히 말하자면, 슈뢰딩거 이전에, 젊은 박사후 연구원인 베르너 하이젠베르크는 그의 매트릭스 역학을 발명했는데, 이것은 최초의 올바른 양자 역학인 본질적인 돌파구였다.하이젠베르크의 행렬 역학 공식은 비록 그가 그 당시 실험자들의 색인 용어에서 시작했지만, 보른이 곧 그에게 지적한 것처럼 "색인-스켐"이 행렬이라는 것조차 알지 못했지만, 고전 물리학의 수학에 비추어 볼 때 매우 급진적인 행렬인 무한 행렬의 대수에 기초했다.사실, 이 초기 몇 년 동안 선형대수는 현재 형태로는 물리학자들에게 일반적으로 인기가 없었다.

비록 슈뢰딩거 자신이 1년 후에 그의 파동기와 하이젠베르크의 매트릭스 역학의 동등성을 증명했지만, 힐베르트 공간에서의 운동으로서의 두 접근법의 조화 및 현대 추상화는 일반적으로 그의 1930년 양자 역학의 원리에 명쾌한 설명을 쓴 폴 디락에게 기인한다.그는 그 분야의 세 번째, 아마도 가장 중요한 기둥이다.위에서 언급한 그의 설명에서, 그는 기능 해석에 사용되는 힐베르트 공간의 관점에서 추상적인 공식과 함께 브라-켓 표기법을 도입했다; 그는 슈뢰딩거와 하이젠베르크의 접근법이 같은 이론의 두 가지 다른 표현이라는 것을 보여주었고, t의 역학을 나타내는 세 번째, 가장 일반적인 것을 발견했다.시스템입니다.그의 연구는 특히 그 분야의 여러 가지 일반화에 성과가 있었다.

헤르만 바일은 1927년 그의 고전 논문과 책에서 힐베르트 공간(단일 공간이라고 칭함)을 이미 언급했지만, 디락-본 노이만 공리로 알려진 이 접근법의 첫 번째 완전한 수학 공식은 일반적으로 존 폰 노이만의 1932년 양자 역학의 수학적 기초에 기인한다.그것은 한 세대 전에 데이비드 힐버트의 접근법이었던 2차 형식이 아닌 선형 연산자에 기초한 수학적 스펙트럼 이론에 대한 새로운 접근법과 병행하여 개발되었다.양자역학의 이론이 오늘날까지 계속 발전하고 있지만, 대부분의 접근법의 기초가 되고 존 폰 노이만의 수학적 연구로 거슬러 올라갈 수 있는 양자역학의 수학적 공식화를 위한 기본 틀이 있다.다시 말해, 이론의 해석과 그 확장에 대한 논의는 현재 대부분 수학적 기초에 대한 공통된 가정에 기초해 이루어진다.

이후의 개발

새로운 양자 이론을 전자기학에 적용함으로써 1930년경부터 발전된 양자장 이론이 탄생했다.양자장론은 양자역학의 보다 정교한 공식의 개발을 추진해 왔습니다.여기서 제시된 것은 단순한 특수한 경우입니다.

관련된 주제는 고전역학과의 관계이다.어떤 새로운 물리 이론은 어느 정도 성공적인 구 이론으로 귀결될 것이다.양자역학에서 이것은 양자역학의 고전적 한계를 연구할 필요성으로 해석됩니다.또한, 보어가 강조했듯이, 인간의 인지 능력과 언어는 고전적인 영역과 불가분의 관계에 있으며, 그래서 고전적인 서술은 양자적인 것보다 직관적으로 더 접근하기 쉽다.특히 양자화, 즉 고전적 한계가 주어지고 알려진 고전 이론인 양자 이론의 구축은 양자 물리학의 중요한 영역이 된다.

마지막으로, 양자 이론의 창시자들 중 일부는 그들이 양자 역학의 철학적 의미라고 생각하는 것에 불만족스러워 했다.특히 아인슈타인은 양자역학은 불완전해야 한다는 입장을 취했고, 이것이 소위 숨겨진 변수 이론에 대한 연구에 동기를 부여했다.숨겨진 변수의 문제는 양자광학의 도움으로 부분적으로 실험적인 문제가 되었다.

양자 역학의 공식

물리적 시스템은 일반적으로 세 가지 기본 요소, 즉 상태, 관측 가능, 역학(또는 시간의 법칙) 또는 더 일반적으로 물리적 대칭 그룹에 의해 설명됩니다.고전적인 설명은 역학의 위상 공간 모델에 의해 매우 직접적인 방법으로 제시될 수 있다: 상태는 심플렉틱 위상 공간의 점이고, 관측 가능은 그 위에 있는 실제 가치 함수이며, 시간 진화는 위상 공간의 심플렉틱 변환의 단일 매개 변수 그룹에 의해 제공되며, 물리적 대칭은 심플렉틱 변환에 의해 실현된다.양자 기술은 보통 힐베르트 상태의 공간으로 구성되며, 관측 가능한 것은 상태 공간의 자기접점 연산자이며, 시간 진화는 힐베르트 상태의 공간에서의 단일 변환의 단일 파라미터 그룹에 의해 제공되며, 물리적 대칭은 단일 변환에 의해 실현된다.(이 힐버트 공간 사진을 위상 공간 공식에 반전적으로 매핑할 수 있습니다.이하를 참조해 주세요).

양자역학의 수학적 프레임워크에 대한 다음 요약은 부분적으로 디락-본 노이만 ^[3]공리로 거슬러 올라갈 수 있다.

시스템 상태 설명

각각의 고립된 물리 시스템은 내부 생성물 $δδδδδ$ 를 갖는 (토폴로지적으로) 분리 가능한 복합체 Hilbert $공간$ H와 관련지어진다. $H$ 의 광선(복소 차원 1)은 시스템의 양자 상태와 관련된다.

포뮬레이션 I

고립된 물리적 시스템의 상태는 고정된 $시간$ t ${displaystyle$ t $t$ 에서 상태 공간이라고 불리는 힐베르트 ${\mathcal {H}}$ H $({$ $rangle$ })에 ${\mathcal {H}}$ 속하는 상태 벡터 $({displaystyle$ \psi\rangle $})$ 로 $|\psi \rangle$ 표시됩니다.

즉, 양자 상태는 H의 $길이$ 1 벡터의 등가 클래스로 식별될 수 있으며, 여기서 두 벡터는 위상 인자에 의해서만 다를 경우 동일한 상태를 나타낸다.분리 가능성은 수학적으로 편리한 가설로, 셀 수 있을 만큼 많은 관측치가 상태를 고유하게 결정하기에 충분하다는 물리적 해석을 가지고 있습니다.양자역학 상태는 투영 힐버트 공간의 광선이지 벡터가 아닙니다.많은 교과서들이 이러한 구별을 하지 못하는데, 이는 부분적으로 슈뢰딩거 방정식 자체가 힐베르트-공간 "벡터"를 포함하며, 그 결과 광선이 아닌 "상태 벡터"의 부정확한 사용은 피하기 매우 어렵다는 사실에 기인할 수 있다."^[4]

Postulate I에는 다음과 같은 ^[5]복합 시스템이 포함되어 있습니다.

복합 시스템 가설

복합 시스템의 힐베르트 공간은 구성요소 시스템과 관련된 상태 공간의 힐베르트 공간 텐서 곱이다.한정된 수의 구별 가능한 입자로 이루어진 비상대론적 시스템의 경우 구성 요소 시스템은 개별 입자입니다.

양자 얽힘이 존재하는 경우, 복합 시스템의 양자 상태는 국소 구성 요소의 상태의 텐서 곱으로 인수할 수 없다. 대신, 구성 요소 하위 시스템 상태의 텐서 곱의 합 또는 중첩으로 표현된다.얽힌 복합 시스템의 서브시스템은 일반적으로 상태 벡터(또는 광선)로 설명할 수 없지만 밀도 연산자에 의해 기술됩니다. 이러한 양자 상태를 혼합 상태라고 합니다.혼합 상태의 밀도 연산자는 트레이스 1로 정규화된 비음성(양성의 반확정) 자기접합 연산자 $δ$ 이다.이어서 혼합 상태의 밀도 연산자는 순수 상태의 대규모 복합 시스템의 서브시스템으로 나타낼 수 있다(정제정리 참조).

양자 얽힘이 없는 경우, 복합 시스템의 양자 상태를 분리 가능 상태라고 합니다.분리 가능한 상태의 초당 시스템의 밀도 행렬은 $\;\sum _{k}p_{k}=1$ $\rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}$ k $\rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}$ $\;\sum _{k}p_{k}=1$ $\rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}$ 1 $\rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}$ $\rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}$ $\rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}$ $\rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}$ ⊗ 2 k $\rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}$ \ $sum$ _ { $k$ } $p$ _ { $k }$ \ $rho$ _ { $k$ } \ $times$ \ rho $\rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}$ $\;\sum _{k}p_{k}=1$ { $2$ $}^{$ $k$ } \ $rho$ _ { 2 $\;\sum _{k}p_{k}=1$ 1 \ $sum stylearyle$ $\rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}$ 로 나타낼 수 있다. $p_{k}$ ${\textstyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2},}$ 는 , ${\textstyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2},}$ ${\textstyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2},}$ ${\textstyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2},}$ 2 ${\textstyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2},}$ , $\textstyle$ \rho = \ $rho _{1}\otimes$ \ $rho _{$ 2} 로 ${\textstyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2},}$ 표현할 수 있으며 단순 분리 가능 상태 또는 제품 상태라고 불립니다.

시스템에서의 측정

물량 설명

물리적 관측가능성은 $H$ 의 에르미트 행렬로 표현됩니다. 이러한 연산자는 에르미트 행렬이기 때문에 고유값은 항상 실재하며 해당 관측가능성을 측정함으로써 가능한 결과/결과를 나타냅니다.관측 가능한 스펙트럼이 이산적인 경우, 가능한 결과가 양자화된다.

포뮬레이션 II.a

모든 측정 가능한 ${\mathcal {A}}$ A $(\$ style ${\$ displaystyle ${A$ $})$ 는 ${\mathcal {A}}$ 상태 ${\mathcal {H}}$ H(\ $displaystyle$ { $H$ 에 작용하는 에르미트 $연산자$ A(\ $displaystyle$ {H})에 $A$ 의해 기술됩니다. 이 연산자는 관측 가능한 것으로, 즉 고유 벡터가 H $(\$ 의 ${\mathcal {H}}$ 를 형성합니다. ${\mathcal {A}}$ A의 측정 lt $(\$ $displaystyle$ ${A$ $A$ 는 ${\mathcal {A}}$ 해당 관측 $A$ 한 $A$ 의 고유값 중 하나여야 합니다.

측정 결과

스펙트럼이론에 의해 임의의 상태 $θ$ 에서 A의 $값$ 에 확률측정을 관련지을 수 있다.우리는 또한 어떤 $상태$ 에서든 관측 가능한 A의 값이 $A$ 의 스펙트럼에 속해야 한다는 것을 보여줄 수 있다.단위벡터 θ θ H로 표현된 상태의 $관측가능계$ A의 기대치(확률론상)는 $\langle \psi |A|\psi \rangle$ A $\langle \psi |A|\psi \rangle$ A $\langle \psi |A|\psi \rangle$ \ $display$ \ $langle \psi A$ \ $psi$ \ rangle $\langle \psi |A|\psi \rangle$ 이다. 만약 $A$ 의 고유벡터 A에 의해 형성되는 기초에서 $상태$ θ를 나타낸다면, 부착된 계수의 제곱계수주어진 고유 벡터는 해당 고유값을 관측할 확률입니다.

포뮬레이션 II.b

정규화된 $|\psi \rangle$ 의 시스템에서 ${\mathcal {A}}$ A $(\displaystyle\psi\rangle$ 를 ${\mathcal {A}}$ 측정했을 때 코어의 고유값(이산 스펙트럼의 경우 n $(\$ $\alpha$ 스펙트럼의 경우 $\alpha$ α(\ $displaystyle \alpha))$ 을 $a_{n}$ $\alpha$ 얻을 확률특히 관측 $A$ 한A(\ $displaystyle$ A $)$ 는 $A$ 적절한 파동 함수의 진폭 제곱(해당 고유 벡터에 투영)으로 지정됩니다.

${\displaystyle {aligned}\mathbb {P}(a_{n})&= \psi \rangle ^{2}&{\text{(이산, 비퇴화 스펙트럼)}}\\mathbb {P}(a_{n})&=\sum _{i}^{g_{n} \sumle a_{n}^{i} \psi \rangle ^{2}&{\text{(이산, 퇴화 스펙트럼)}}\d\mathbb {P}(\alpha)&= \sublle \alpha \psi \rangle ^{2}d\alpha & {\text{(연속, 비감소 스펙트럼)}}\end {aligned}$

혼합상태 $θ$ 에 대하여 상태 $θ$ 에서의 $A$ 의 기대치는 tr $\operatorname {tr} (A\rho )$ θ( $\operatorname {tr} (A\rho )$ $)$ { $displaystyle \operatorname {tr}(A\rho$ 이며, 대응하는 $관측가능$ 비감소 스펙트럼의 $a_{n}$ $(\$ $displaystyle$ $a_{$ n $a_{n}$ })을 $A$ 얻을 확률은 $\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (|a_{n}\rangle \langle a_{n}|\rho )=\langle a_{n}|\rho |a_{n}\rangle$ 에 $\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (|a_{n}\rangle \langle a_{n}|\rho )=\langle a_{n}|\rho |a_{n}\rangle$ 주어진다. $\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (|a_{n}\rangle \langle a_{n}|\rho )=\langle a_{n}|\rho |a_{n}\rangle$ $\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (|a_{n}\rangle \langle a_{n}|\rho )=\langle a_{n}|\rho |a_{n}\rangle$ $\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (|a_{n}\rangle \langle a_{n}|\rho )=\langle a_{n}|\rho |a_{n}\rangle$ $\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (|a_{n}\rangle \langle a_{n}|\rho )=\langle a_{n}|\rho |a_{n}\rangle$ $\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (|a_{n}\rangle \langle a_{n}|\rho )=\langle a_{n}|\rho |a_{n}\rangle$ $\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (|a_{n}\rangle \langle a_{n}|\rho )=\langle a_{n}|\rho |a_{n}\rangle$ $\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (|a_{n}\rangle \langle a_{n}|\rho )=\langle a_{n}|\rho |a_{n}\rangle$ a n $\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (|a_{n}\rangle \langle a_{n}|\rho )=\langle a_{n}|\rho |a_{n}\rangle$ ) $\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (|a_{n}\rangle \langle a_{n}|\rho )=\langle a_{n}|\rho |a_{n}\rangle$ $\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (|a_{n}\rangle \langle a_{n}|\rho )=\langle a_{n}|\rho |a_{n}\rangle$ $a$ a n ⟩ $\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (|a_{n}\rangle \langle a_{n}|\rho )=\langle a_{n}|\rho |a_{n}\rangle$ n ⟩ n ⟩ n $（ a _$ { $n$ } =\ $operatorname { tr }$ ( a _ { n $}$ \ rho ) = \ $sparel a _$ { $n }$ \ $rho$ a _ rho a $_$ rho a $\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (|a_{n}\rangle \langle a_{n}|\rho )=\langle a_{n}|\rho |a_{n}\rangle$ _ $rangle$ .

$a_{n}$ n $a_{n}$ {\ $displaystyle a_{$ n}이 $a_{n}$ ( $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ ) 퇴화된 경우 직교 정규 고유 벡터 $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ { a $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ , }, $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ $}$ { $display$ style \ { $a$ _ { $n1}$ \ $rangle$ , a $_$ { $n2}$ \ $rangle$ , \ $dots$ , \ dots , a $_ nm$ } \ $rangle$ , \ } 、 a _ nm } $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ \ spaceub , , onto onto onto onto onto onto onto onto onto 。에이스:

\displaystyle P_{n}= a_{n1}\rangle \rangle a_{n1}+a_{n2}+\display + a_{nm}\rangle a_{nm},

\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (P_{n}\rho )

\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (P_{n}\rho )

(

\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (P_{n}\rho )

a

\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (P_{n}\rho )

)

=

\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (P_{n}\rho )

\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (P_{n}\rho )

(

\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (P_{n}\rho )

{\

) {

displaystyle \mathbb {P}(a_{n

})

=\operatorname {tr}(P_{

n}\

rho

} 。

공식 II.a와 II.b는 집합적으로 양자역학의 Born 법칙으로 알려져 있다.

측정이 국가에 미치는 영향

측정이 수행되면 (양자 역학의 일부 해석에 따라) 하나의 결과만 얻을 수 있습니다.이는 측정에서 추가 정보를 처리하는 것으로 수학적으로 모델링되어 동일한 관측 가능성의 즉각적인 두 번째 측정 확률을 제한한다.이산 비퇴화 스펙트럼의 경우, 두 번째가 첫 번째의 바로 뒤에 있다고 가정할 때, 동일한 관측 가능성의 두 가지 순차적 측정은 항상 동일한 값을 제공한다.따라서 상태 벡터는 측정의 결과로 변화해야 하며 측정된 고유값과 연관된 eigensubspace로 축소되어야 합니다.

공식 II.c

$【【{displaystyle \psi \rangle$ }상태에서 $|\psi \rangle$ 시스템의 ${\mathcal {A}}$ A({ $displaystyle$ \ $psi$ \rangle $})$ 를 ${\mathcal {A}}$ 측정했을 때 n $({$ 의 결과가 $a_{n}$ 경우, $|\psi \rangle$ 직후의 시스템 상태는 $【{displaystyle$ \psi \psi\}의 정규화 투영입니다.n $(\$ })과 관련된 eigensubspace에 $}$ 을 $|\psi\rangle$ (를) 울립니다.

$\displaystyle \psi \quad {a_{n} {\longright arrow }} {\sqrt {\langle \psi P_{n} \psi \rangle } }$

혼합상태 $δ$ 의 경우, 대응하는 $관측가능$ A $(\displaystyle$ A $A$ 의 이산 비감소 스펙트럼에서 n $(\$ 의 $a_{n}$ 을 구한 후 갱신상태는 $=$ ${\textstyle \rho '={\frac {P_{n}\rho P_{n}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (P_{n}\rho P_{n}^{\dagger })}}}$ ${\textstyle \rho '={\frac {P_{n}\rho P_{n}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (P_{n}\rho P_{n}^{\dagger })}}}$ ${\textstyle \rho '={\frac {P_{n}\rho P_{n}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (P_{n}\rho P_{n}^{\dagger })}}}$ ${\textstyle \rho '={\frac {P_{n}\rho P_{n}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (P_{n}\rho P_{n}^{\dagger })}}}$ ${\textstyle \rho '={\frac {P_{n}\rho P_{n}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (P_{n}\rho P_{n}^{\dagger })}}}$ ${\textstyle \rho '={\frac {P_{n}\rho P_{n}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (P_{n}\rho P_{n}^{\dagger })}}}$ tr ${\textstyle \rho '={\frac {P_{n}\rho P_{n}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (P_{n}\rho P_{n}^{\dagger })}}}$ ${\textstyle \rho '={\frac {P_{n}\rho P_{n}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (P_{n}\rho P_{n}^{\dagger })}}}$ ${\textstyle \rho '={\frac {P_{n}\rho P_{n}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (P_{n}\rho P_{n}^{\dagger })}}}$ ${\textstyle \rho '={\frac {P_{n}\rho P_{n}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (P_{n}\rho P_{n}^{\dagger })}}}$ ρ Pn ${\textstyle \rho '={\frac {P_{n}\rho P_{n}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (P_{n}\rho P_{n}^{\dagger })}}}$ { $textstyle \rho_{ AC}$ { $fr$ }로 주어진다 $a_{n}$ . $peratorname {tr}(P_{n}\rho$ P_ ${n}^{\dagger$ ${$ 고유값이 $a_{n}$ $a_{n}$ 된 경우, 직교 정규 고유 벡터 $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ 1 $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ }, $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ $}$ { $style},$ { $displaystyle$ }, { $n},$ {n}, {n}, {n}, {n}, {n}, {n}}, {n}, $P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|$ n $P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|$ $P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|$ $P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|$ 1 $P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|$ 1 + $P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|$ $P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|$ $P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|$ n $P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|$ 2 $P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|$ 2 + $P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|$ m $P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|$ m $P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|$ m $P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|$ ⟩n m { $display P_{n$ } = $a_{n1}$ \ $rangle a_{n2}$ \ $rangle a_{n2} + ngle$ + $ngle$ + nmle $+ ngle$

공식 II.c는 때때로 "상태 업데이트 규칙" 또는 "축소 규칙"으로 불리며, Born 규칙(공식 II.a 및 II.b)과 함께 측정의 완전한 표현을 형성하며, 총칭하여 측정 공식으로 불리기도 한다.

측정 공식에 설명된 투영 값 측정(PVM)은 양자 역학에서 가장 일반적인 유형의 측정인 양의 연산자 값 측정(POVM)으로 일반화할 수 있습니다.POVM은 더 큰 복합 시스템에서 PVM을 수행할 때 구성 요소 하위 시스템에 대한 효과로 이해할 수 있습니다(Naimark의 확장 정리 참조).

시스템의 시간 진화

상태 벡터가 시간에 어떻게 진화하는지 설명하는 슈뢰딩거 방정식을 도출하는 것은 가능하지만, 대부분의 텍스트는 방정식을 가정으로 주장합니다.일반적인 파생에는 DeBroglie 가설 또는 경로 적분 사용이 포함됩니다.

포뮬레이트 III

상태 벡터 $|\psi (t)\rangle$ ( $|\psi (t)\rangle$ ) $|\psi (t)\rangle$ { $displaystyle \psi ( t$ )\ $rangle }$ 의 $|\psi (t)\rangle$ 시간 진화는 슈뢰딩거 방정식에 의해 제어된다. $H(t)$ 서 $H(t)$ H ( $H(t)$ ) { $displaystyle$ H ( $t$ )는 $H(t)$ 시스템의 총 에너지와 관련된 관측 가능한 값이다(해밀턴이라고 불린다).

$i\hbar {d} {dt} \psi(t)\rangle = H(t) \psi(t)\rangle$

마찬가지로, 시간 진화의 공식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

포뮬레이트 III

닫힌 시스템의 시간 진화는 초기 상태의 단일 변환에 의해 설명됩니다.

$\displaystyle \psi(t)\rangle = U(t;t_{0}) \psi(t_{0})\rangle }$

혼합상태 $θ$ 의 닫힌 시스템의 시간진화는 $\rho (t)=U(t;t_{0})\rho (t_{0})U^{\dagger }(t;t_{0})$ ( t $\rho (t)=U(t;t_{0})\rho (t_{0})U^{\dagger }(t;t_{0})$ ) $\rho (t)=U(t;t_{0})\rho (t_{0})U^{\dagger }(t;t_{0})$ ( $\rho (t)=U(t;t_{0})\rho (t_{0})U^{\dagger }(t;t_{0})$ ; $\rho (t)=U(t;t_{0})\rho (t_{0})U^{\dagger }(t;t_{0})$ 0 ) $\rho (t)=U(t;t_{0})\rho (t_{0})U^{\dagger }(t;t_{0})$ ( $\rho (t)=U(t;t_{0})\rho (t_{0})U^{\dagger }(t;t_{0})$ 0 ) $\rho (t)=U(t;t_{0})\rho (t_{0})U^{\dagger }(t;t_{0})$ $\rho (t)=U(t;t_{0})\rho (t_{0})U^{\dagger }(t;t_{0})$ ( $\rho (t)=U(t;t_{0})\rho (t_{0})U^{\dagger }(t;t_{0})$ ; $\rho (t)=U(t;t_{0})\rho (t_{0})U^{\dagger }(t;t_{0})$ ) \ $displaystyle \rho$ ( $\rho (t)=U(t;t_{0})\rho (t_{0})U^{\dagger }(t;t_{0})$ t ) $= U$ ( $t$ ; $t_{0}$ \ $rho$ ( t ; t _ 0 )입니다. $U^{\dagger}(t;t_{0$

열린 양자 시스템의 진화는 양자 연산(연산자 총합 형식주의)과 양자 기구에 의해 설명될 수 있으며, 일반적으로 단일적일 필요는 없다.

전제조건의 다른 의미

물리대칭은 위그너의 정리 때문에 양자 상태의 힐베르트 공간에 단일 또는 반유닛적으로 작용한다.

밀도 연산자는 1차원 직교 프로젝터의 볼록 선체를 닫는 연산자입니다.반대로 1차원 직교 투영기는 밀도 연산자 집합의 극단점입니다.물리학자들은 또한 1차원 직교 프로젝터를 순수 상태 및 다른 밀도 연산자 혼합 상태라고 부릅니다.
이 형식주의에서는 하이젠베르크의 불확실성 원리를 진술하고 그것을 정리로서 증명할 수 있지만, 누가 어떤 틀에서 무엇을 도출했는지에 관한 정확한 역사적 순서는 이 기사의 범위를 벗어나는 역사적 조사의 주제이다.

게다가 양자역학의 가설에는 스핀의 특성과 파울리의 배타원리에 대한 기본적인 진술도 추가되어야 한다.

스핀

다른 특성 외에도, 모든 입자는 스핀이라고 불리는 양을 가지고 있는데, 이는 고유의 각운동량이다.이름에도 불구하고, 입자는 문자 그대로 축을 중심으로 회전하지 않으며 양자역학적 회전은 고전 물리학에서 일치하는 것이 없다.위치 표현에서 스핀리스 파동함수는 $위치$ r 및 $시간$ t를 연속변수로서 $θ$ = $θ (r,$ $t)$ 로 한다.스핀 파형 함수의 경우 스핀은 추가 이산 변수이다: $θ$ = $θ (r,$ $t,$ $θ).$ 여기서 $θ$ 는 값을 취한다.

\displaystyle =-S\hbar,-(S-1)\hbar,\displays,0,\displays,+(S-1)\hbar,+S\hbar,}

즉, $스핀$ S를 갖는 단일 입자의 상태는 복소수 파동 함수의 $(2S$ + $1)$ 성분 스피너로 나타납니다.

는 정수 스핀(S=0,1,2,...)이 입자의 다른 행동을 가진 두명의 수업이 있보손, fermions.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output.frac .den{half-integer 스핀(S)을 가짐.Vertical-align:서브}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1⁄2, 3⁄2, 5⁄2,..음.

파울리의 원리

스핀의 속성은 N개의 동일한 입자의 $시스템$ 에 관한 또 다른 기본 특성과 관련된다: Pauli의 배타 원리, N-입자 파동 함수의 다음과 같은 순열 거동의 결과; 다시 한 번 위치 표현에서 $N개$ 의 입자의 전이를 위해 항상 하나가 있다고 가정해야 한다.가지고 있다

파울리 원리

$\displaystyle \psi(\displaystyle \psi,\mathbf {r},\displays,\displays,\mathbf {r},{j},\displays)=display1)^2S}\cdot \psi(\dots,\mathbf {r} _{j},\dots,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots)})$

즉, 임의의 두 입자의 인수의 전위 시, 보손의 경우 + $1이지만$ 페르미온의 $경우$ -1인 프리팩터 $(-1) 2 S$ 를 제외하고 파동함수가 재현되어야 한다.전자는 S $= 1/2인$ 페르미온이고, 빛의 양자는 S = $1인$ 보손이다. 비상대론적 양자역학에서 모든 입자는 보손 또는 페르미온이다. 상대론적 양자 이론에서는 입자가 보손과 페르미온 부분의 선형 결합인 "비대칭" 이론도 존재한다. $차원$ d = $2$ 에서만 (- $1) 2 S$ 이 규모 1인 임의의 복소수로 대체되는 도면요소를 구성할 수 있다.

스핀과 파울리 원리는 양자역학의 상대론적 일반화로부터만 도출될 수 있지만, 마지막 두 단락에서 언급된 특성은 이미 상대론적 한계에 있는 기본 가설에 속합니다.특히, 자연과학의 많은 중요한 특성들, 예를 들어 화학의 주기적 체계들은 두 가지 성질의 결과물이다.

양자역학의 수학적 구조

다이내믹스 그림

이른바 슈뢰딩거 양자역학 그림에서 역학은 다음과 같이 주어진다.
상태의 시간 진화는 시간의 인스턴스를 나타내는 $실수$ R에서 시스템 상태의 힐베르트 공간까지 미분 가능한 함수에 의해 주어진다.이 맵은 다음과 같은 미분방정식으로 특징지어집니다. $【(t)】$ 가 임의의 $시점$ t에서의 시스템 상태를 나타내는 경우, 다음의 슈뢰딩거 방정식은 성립한다.

슈뢰딩거 방정식 (일반)
$i\hbar {d}\left \psi(t)\right\rangle = H\left \psi(t)\right\rangle$

$여기$ 서 H는 해밀턴계라고 불리는 조밀하게 정의된 자기접합 $연산자$ 이고, i는 가상의 단위이고 $θ$ 는 환원된 플랑크 상수이다.관측 가능한 H는 $시스템$ 의 총 에너지에 해당합니다.
또는 스톤의 정리에 의해 강하게 연속적인 단일 파라미터 유니터리 $맵$ U $(t)$ 가 있음을 나타낼 수 있다. $H$ → $H$ :
$\displaystyle \left \psi ( t+s )\right \rangle = U(t)\left \psi (s)\right \rangle }$ $모든$ 시간 $s,$ t. $자기접속형$ 해밀턴 H의 존재는 다음과 같다. $\displaystyle U(t)=e^{-(i/\hbar)tH}}$ 스톤의 정리가 단일 모수 군에서 가져온 결과입니다. $H$ 는 시간에 의존하지 않으며 섭동이 t = $0$ 에서₀ 시작된다고 가정한다. 그렇지 않으면 공식적으로 다음과 같이 쓰여진 다이슨 시리즈를 사용해야 한다. ${\displaystyle U(t)=mathcal {T}\left[\exp \left {\frac {i} {\hbar }}\int _{t}{t}dt',H(t')\right],$ ${\mathcal {T}}$ 서 T $(\$ 는 ${\mathcal {T}}$ Dyson의 시간 순서 기호입니다.
(이 기호는 폼의 불통행 연산자의 곱을 나타냅니다.
$\displaystyle B_{1}(t_{1})\cdot B_{2}(t_{2})\cdot \cdot B_{n}(t_{n})}$ 고유하게 결정되는 정렬된 표현으로 $\displaystyle B_{i_{1}}(t_{i_{1}})\cdot B_{i_{2}(t_{i_{n})\cdot \cdot B_{i_{n}(t_{i_{n})}}}$ $t_{i_{1}}\geq t_{i_{2}}\geq \dots \geq t_{i_{n}}\,.$ 1 $t_{i_{1}}\geq t_{i_{2}}\geq \dots \geq t_{i_{n}}\,.$ $t_{i_{1}}\geq t_{i_{2}}\geq \dots \geq t_{i_{n}}\,.$ 2 $t_{i_{1}}\geq t_{i_{2}}\geq \dots \geq t_{i_{n}}\,.$ $t_{i_{1}}\geq t_{i_{2}}\geq \dots \geq t_{i_{n}}\,.$ n $.{$ $displaystyle t_{i_{1}}$ \ $geq t_{i_{$ 2}} \ $geq$ \ $geq t_{i_{n},}$ } 。
그 결과는 인과관계로, 과거의 가장 큰 원인 중 하나는 극도의 R.H.S.이고, 마지막으로 현재의 영향은 극도의 인권에 대한 것이다.
하이젠베르크의 양자역학 그림은 관측가능성에 초점을 맞추고, 상태를 시간에 따라 변화하는 것으로 간주하는 대신, 상태를 고정된 것으로, 관측가능성을 변화하는 것으로 간주한다.슈뢰딩거에서 하이젠베르크 그림으로 이동하려면 다음과 같이 시간 독립 상태와 시간 의존 연산자를 정의해야 한다. $\displaystyle \left \psi \right\rangle = \left \psi (0)\right\rangle }$ $A(t)=U(-t)AU(t)$ 그러면 모든 관측 가능성의 기대값이 두 그림에서 동일한지 쉽게 확인할 수 있습니다. $\displaystyle \psi \mid A(t)\mid \psi \rangle =\mid A\mid \psi(t)\rangle }$ 그리고 하이젠베르크 연산자들이 시간 의존적인
하이젠베르크 그림 (일반)
${d}{dt}A(t)=syslogfrac {i}{\hbar}}[H,A(t)]+{\frac {\frac A(t)}{\partial t}}$

이는 시간 $종속$ A = $A (t)$ 에 해당됩니다.연산자 중 하나가 경계가 없는 경우 정류자 식은 순전히 형식입니다.그 표현에 대한 표현을 지정하여 의미를 부여할 수 있습니다.
이른바 Dirac 그림 또는 상호 작용 그림은 시간 의존적인 상태와 관측 가능한 상태를 가지며, 다른 해밀턴에 대해 진화합니다.이 그림은 관측 가능성의 진화를 정확하게 해결할 수 있을 때 가장 유용하며, 상태 진화에 대한 어떠한 복잡함도 제한한다.이러한 이유로, 관측 가능성의 해밀토니안은 "자유 해밀토니안"이라고 불리고, 상태에 대한 해밀토니안은 "상호작용 해밀토니안"이라고 한다.기호:
디랙 그림
$i\hbar {d}\left \psi (t)\rm {int}}(t)\left \psi (t)\right \rangle$
$i\hbar {d}{dt}A(t)=[A(t)]H_{0}.$

그러나 상호 작용 그림이 항상 존재하는 것은 아닙니다.상호작용 양자장 이론에서, Haag의 정리는 상호작용 그림이 존재하지 않는다고 말한다.이는 해밀턴을 초선택 섹터 내에서 자유 부품과 상호작용 부품으로 분할할 수 없기 때문입니다.더욱이, 슈뢰딩거 그림에서 해밀턴이 $시간$ 에 의존하지 않는다 $하더라도$ , $예$ 를 들어, 상호작용 $그림$ 에서₀ 해밀턴은 적어도 V가 H와 이동하지 않는다면, $시간$ 에₀ 의존합니다.
$\displaystyle H_{\rm {int}}(t)\equiv e^{(i/\hbar})tH_{0},V,e^{(-i/\hbar})tH_{0}}}.$
따라서 위의 다이슨 시리즈는 반드시 사용해야 합니다.
하이젠베르크 그림은 고전적인 해밀턴 역학에 가장 가깝지만(예를 들어, 위의 방정식에 나타나는 정류자는 고전적인 포아송 괄호로 직접 번역된다), 그러나 이것은 이미 "높은 브라우즈"이고 슈뢰딩거 그림은 대부분의 사람들에 의해 시각화하고 이해되기 가장 쉬운 것으로 여겨지며, 교육학에서 판단한다.양자역학에 대한 ical 설명입니다.디락 그림은 섭동 이론에서 사용되는 것으로 양자장 이론과 다체 물리학과 특별히 관련되어 있습니다.
유사한 방정식은 물리적 시스템의 단일 대칭 그룹에 대해 작성할 수 있습니다.시간은 단일 그룹을 매개 변수화하는 적절한 좌표(예: 회전 각도 또는 변환 거리)로 대체되고 해밀턴 값은 대칭과 관련된 보존된 양(예: 각도 또는 선형 운동량)으로 대체됩니다.

개요:

진화	그림 ( ) v t )
대상:	슈뢰딩거(S)	하이젠베르크(H)	상호 작용(I)
케트 상태	$\displaystyle \psi _{\rm {S}}(t)\rangle = e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar} \psi _{\rm {S}}}(0)\rangle }$	일정한	$\displaystyle \psi _{\rm {I}}(t)\rangle = e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar} \psi _{\rm {S}}(t)\rangle }$
관찰 가능	일정한	$A_{\rm {H}(t)=e^{iH_{\rm {S}~t/\hbar}A_{\rm {S}}e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar}$	$\displaystyle A_{\rm {I}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S}}~t/\hbar}A_{\rm {S}e^{-iH_{0,\mathrm {S}}~t/hbar}$
밀도 매트릭스	$\displaystyle \rm {S}(t)=e^{-iH_{\rm {S}~t/\hbar}\rho_{\rm {S}}(0)e^{iH_{\rm {S}~t/\hbar}}$	일정한	$\displaystyle \rho _{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S}}~t/\hbar}\rho_{\rm {S}(t)e^{-iH_{0,\mathrm {S}}~t/hbar }$

표현

슈뢰딩거 방정식의 원래 형태는 하이젠베르크의 표준 정류 관계의 특정한 표현을 선택하는 것에 달려 있다.스톤-본 노이만 정리는 유한 차원 하이젠베르크 정류 관계의 모든 축소할 수 없는 표현이 단일적으로 동등하다는 것을 지시한다.그 결과에 대한 체계적인 이해는 힐버트 공간 대신 전체 위상 공간에서 작동하는 양자 역학의 위상 공간 공식으로 이어졌고, 따라서 그 고전적인 한계와 더 직관적인 연결을 가지고 있습니다.이 그림은 또한 양자화, 즉 고전 역학에서 양자 역학으로의 변형 확장을 단순화합니다.

양자 조화 진동자는 서로 다른 표현들을 쉽게 비교할 수 있는 정확히 해결 가능한 시스템입니다.하이젠베르크 또는 슈뢰딩거(위치 또는 운동량) 또는 위상 공간 표현과는 별도로, 포크(숫자) 표현과 세갈-바그만(폭 공간 또는 일관성 있는 상태) 표현(어빙 시갈과 발렌타인 바그만의 이름에서 유래)도 만난다.4개 모두 단일 동치입니다.

연산자로서의 시간

지금까지 제시된 프레임워크는 모든 것이 의존하는 파라미터로서 out time을 싱글로 하고 있습니다.시간 자체가 자기접속 연산자와 관련된 관측 가능한 것이 되도록 역학을 공식화할 수 있다.고전적인 레벨에서는 비물리적 $파라미터$ s의 관점에서 입자의 궤적을 임의로 파라미터화할 수 있으며, 이 경우 시간 t는 물리계의 추가적인 일반화 좌표가 된다.양자 수준에서 $s$ 의 변환은 "해밀턴" $H$ - $E$ 에 의해 생성되며, 여기서 E는 에너지 $연산자$ 이고 H는 "보통" 해밀턴이다.그러나, s는 비물리적 매개변수이므로, 물리적 상태는 "s-진화"에 의해 불변하게 유지되어야 하며, 따라서 물리적 상태 $공간$ 은 H - $E$ 의 커널이다. (이는 조작된 힐버트 공간의 사용과 노름의 재규격화를 필요로 한다.)

이는 제약된 시스템의 양자화 및 게이지 이론의 양자화와 관련이 있습니다.또, 시간이 관측 가능하게 되는 「이벤트」의 양자 이론을 작성할 수도 있다(D 참조).Edwards).

측정의 문제

전 항에서 제시한 그림은 완전히 격리된 시스템을 설명하기에 충분하다.그러나 양자 역학과 고전 역학의 주요 차이점 중 하나인 ^[6]측정의 효과를 설명하지는 못합니다.시스템이 순수한 상태에서 $준비$ 되었을 때 관측 $가능$ 한 A의 양자 측정에 대한 von Neumann 설명은 다음과 같다(단, von Neumann의 설명은 1930년대로 거슬러 올라가며 그 기간 동안 수행된 실험에 기초하고 있다). 더 구체적으로 콤프턴-사이먼 실험에는 적용되지 않는다.양자 영역 내에서의 -일 측정):

A에 스펙트럼 분해능을 갖게 $하자$ . $({displaystyle A=\int \lambda},d\operatorname {E} _{A}(\lambda ))$ $여기$ 서_A E는 A와 $관련$ 된 항등성(투영값 측정이라고도 함)의 분해능입니다. $R$ 의 구간 $B$ 에 있는 측정 결과의 확률은 E $(B)$ $θ$ 이다_A. 즉, 가산 측정값에 대한 B의 $특성$ 함수를 적분하여 얻을 수 있다. $\langle \psi \mid \operatorname {E} _{A} \psi \rangle .$
측정값이 B에 $포함$ 된 경우 측정 직후 시스템은 (일반적으로 정규화되지 않은) E $(B)† 상태$ 가_A 됩니다.측정값이 $B$ 에 속하지 않을 경우 B를 상기 상태에 대한 $보충값$ 으로 대체한다.

예를 들어 상태 공간이 n차원 복소 Hilbert $공간 n$ $C$ 이고 A가 고유값 $θ$ 와_i_i 대응하는 고유벡터 θ를 갖는 에르미트 행렬이라고 가정합니다.A, $E$ 와_A $관련$ 된 투영값 측정치는 다음과 같습니다.

\operatorname {E} _{A}(B)= \psi _{i}\rangle \scle \psi _{i} ,

$여기$ 서 B는 단일 고유값 $θ$ 만_i 포함하는 보렐 집합입니다.시스템이 준비된 경우

\displaystyle \psi \rangle }

그러면 스펙트럼 측정값을 적분하여 값 $θ$ 를_i 반환할 확률을 계산할 수 있습니다.

{\displaystyle\langle\psi\mid\operatorname{E}_{A}\psi\rangle}

B를 $넘어서는 i$ 것. 이것은 3가지

\displaystyle \psi \psi _{i}\rangle \psi _{i}\mid \psi \rangle = \displaystyle \psi \mid \psi _{i}\rangle ^{2}.}

폰 노이만 측정방식의 특징은 동일한 측정을 반복하면 동일한 결과가 나온다는 것이다.이를 투영 공식이라고도 합니다.

보다 일반적인 공식은 투영 값 측정치를 양의 연산자 값 측정치(POVM)로 대체합니다.예를 들어 유한 차원 사례를 다시 들어보자.여기서 우리는 1등급 예상치를 대체할 것이다.

\psi _{i}\rangle \displaystyle \psi _{i}

한 양의 연산자 「」에 .

F_{i} F_{i}^{*}

그 합계는 여전히 이전과 같은 항등 연산자(항등식의 해결)이다.가능한 일련의

결과

로서₁ {

}...

}}

은_n(는) 투영값 측정과 관련되어 있으며 POVM에서도 마찬가지라고 할 수 있습니다.측정 결과가

λ

이라고_i 가정합니다.(비정규화) 상태로 주저앉는 대신

\displaystyle \psi _{i}\rangle \scle \psi _{i} \psi \rangle }

이 '계속' .

(\displaystyle F_{i} \psi \rangle .})

$F i *$ $연산자$ 는_i 상호 직교 투영일 필요가 없기 때문에 von Neumann의 투영 공식은 더 이상 유지되지 않습니다.

같은 공식은 일반 혼합 상태에도 적용된다.

폰 노이만의 접근법에서 측정에 의한 상태 변환은 여러 가지 면에서 시간 진화에 의한 상태와 구별된다.예를 들어, 시간 진화는 결정론적이고 단일적인 반면, 측정은 비결정론적이고 단일적이지 않다.그러나, 두 가지 유형의 상태 변환이 하나의 양자 상태를 다른 양자 상태로 가져가기 때문에, 많은 사람들은 이 차이를 만족스럽지 못한 것으로 보았다.POVM 형식주의는 측정을 다른 많은 양자 연산 중 하나로 간주하며, 이는 트레이스를 증가시키지 않는 완전한 양의 맵에 의해 설명됩니다.

어쨌든 위의 문제는 시간 진화에 양자계뿐만 아니라 본질적으로 고전적인 측정 장치도 포함되었을 경우에만 해결될 수 있는 것으로 보인다(위 참조).

상대 상태 해석

측정에 대한 대안적 해석은 에버렛의 상대적인 상태 해석이며, 이것은 후에 양자 물리학의 "다세계 해석"으로 불리게 되었다.

수학 도구 목록

이 과목의 민속학 중 일부는 데이비드 힐베르트의 괴팅겐 대학 강좌에서 리처드 쿠란트가 만든 수학 물리학 교과서인 수학 물리학의 방법에 관한 것이다.이 이야기는 슈뢰딩거 방정식이 등장하기 전까지 물리학자들이 현재의 연구 분야에서는 이 물질이 흥미롭지 않다고 일축했다고 (수학자들에 의해) 전해지고 있다.그 시점에서 새로운 양자역학의 수학이 이미 그 안에 배치되어 있다는 것을 깨달았다.또한 하이젠베르크는 힐베르트에게 행렬 역학에 대해 자문했고, 힐베르트도 그의 무한 차원 행렬에 대한 경험이 몇 년 후에 바일과 디락이 했던 것처럼 이론을 통합할 기회를 놓치고, 하이젠베르크가 무시한 미분 방정식, 조언에서 파생되었다고 한다.일화의 기초가 무엇이든 간에, 이론의 수학은 그 당시에 재래식이었던 반면, 물리학은 근본적으로 새로운 것이었다.

주요 도구는 다음과 같습니다.

선형 대수: 복소수, 고유 벡터, 고유값
기능 분석:힐베르트 공간, 선형 연산자, 스펙트럼 이론
미분방정식: 편미분방정식, 변수의 분리, 상미분방정식, 스투름-리우빌 이론, 고유함수
고조파 분석:푸리에 변환

메모들

^ 프레드릭 W. 바이런, 로버트 W.Fuller; 고전 및 양자물리학의 수학; Courier Dover Publications,
^ Dirac, P. A. M. (1925). "The Fundamental Equations of Quantum Mechanics". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 109 (752): 642–653. Bibcode:1925RSPSA.109..642D. doi:10.1098/rspa.1925.0150.
^ Cohen-Tannoudji, Claude (2019). Quantum mechanics. Volume 2. Bernard Diu, Franck Laloë, Susan Reid Hemley, Nicole Ostrowsky, D. B. Ostrowsky. Weinheim. ISBN 978-3-527-82272-0. OCLC 1159410161.
^ Solem, J. C.; Biedenharn, L. C. (1993). "Understanding geometrical phases in quantum mechanics: An elementary example". Foundations of Physics. 23 (2): 185–195. Bibcode:1993FoPh...23..185S. doi:10.1007/BF01883623. S2CID 121930907.
^ Jauch, J. M.; Wigner, E. P.; Yanase, M. M. (1997), "Some Comments Concerning Measurements in Quantum Mechanics", Part I: Particles and Fields. Part II: Foundations of Quantum Mechanics, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, pp. 475–482, ISBN 978-3-642-08179-8, retrieved 2022-03-19
^ G. 그린스타인과 A.자존치

레퍼런스

J. von Neumann, 양자역학 수학재단(1932), 프린스턴 대학 출판부, 1955.페이퍼백 형식으로 재인쇄.
H. Weyl, 그룹과 양자역학의 이론, 도버 출판사, 1950.
A. 글리슨, 힐버트 공간의 닫힌 부분 공간에 대한 측정, 수학 및 역학 저널, 1957.
G. Mackey, Mathemical Foundations of Quantum Mechanics, W. A. Benjamin, 1963년(도버 2004년 페이퍼백 전재).
R. F. Streater and A. S. Wightman, PCT, Spin and Statistics and All That, Benjamin 1964 (프린스턴 대학 출판부 재인쇄)
R. Jost, 양자화된 필드의 일반 이론, 미국 수학회, 1965.
J. M. Jauch, 양자역학 재단, 애디슨-웨슬리 푸블.1968년 매사추세츠 주, 레딩의 싸이.
G. Emch, 통계역학 및 양자장 이론의 대수적 방법, Wiley-Intercience, 1972.
M. 리드와 B. 사이먼, 수학물리학의 방법론, 제1~4권, 학술 출판사 1972.
T.S. 쿤, 흑체 이론과 양자 불연속성, 1894-1912, Clarendon Press, Oxford 및 Oxford University Press, 1978.
D. Edwards, The Mathemical Foundations of Quantum Mechanics, 합성, 42(1979), 페이지 1~70.
R. 샹카, "양자역학의 원리", 스프링거, 1980.
E. Prugovecki, Dover, Hilbert Space의 양자역학, 1981.
오양, 양자장 이론은 어떻게 가능한가?옥스포드 대학 출판부, 1995년.
N. 위버, "수학적 정량화", 채프먼 & 홀 / CRC 2001.
G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, "양자역학의 기하학적 및 대수적 위상학적 방법", World Scientific, 2005.
David McGraw-Hill Professional, "Quantum Mechanics Demystified", 제2판, 2005년판
G. Teschl, 슈뢰딩거 연산자에게 적용되는 양자역학의 수학적 방법, https://www.mat.univie.ac.at/~http/http/book-schroe/, American Mathematical Society, 2009.
V. 모레티, "스펙트럼 이론과 양자역학:양자이론의 수학적 기초, 대칭성 및 대수적 공식화 입문", 스프링거 제2판, 2018.
B. C. Hall, "수학자를 위한 양자 이론", 스프링어, 2013
V. 모레티, "양자 이론의 기초 수학 구조"Springer, 2019, https://www.springer.com/it/book/9783030183455#aboutBook
K. Landsman, "양자가론의 기초", 스프링거 2017

[1] 프레드릭 W. 바이런, 로버트 W.Fuller; 고전 및 양자물리학의 수학; Courier Dover Publications,

[2] Dirac, P. A. M. (1925). "The Fundamental Equations of Quantum Mechanics". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 109 (752): 642–653. Bibcode:1925RSPSA.109..642D. doi:10.1098/rspa.1925.0150.

[3] Cohen-Tannoudji, Claude (2019). Quantum mechanics. Volume 2. Bernard Diu, Franck Laloë, Susan Reid Hemley, Nicole Ostrowsky, D. B. Ostrowsky. Weinheim. ISBN 978-3-527-82272-0. OCLC 1159410161.

[4] Solem, J. C.; Biedenharn, L. C. (1993). "Understanding geometrical phases in quantum mechanics: An elementary example". Foundations of Physics. 23 (2): 185–195. Bibcode:1993FoPh...23..185S. doi:10.1007/BF01883623. S2CID 121930907.

[5] Jauch, J. M.; Wigner, E. P.; Yanase, M. M. (1997), "Some Comments Concerning Measurements in Quantum Mechanics", Part I: Particles and Fields. Part II: Foundations of Quantum Mechanics, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, pp. 475–482, ISBN 978-3-642-08179-8, retrieved 2022-03-19

[6] G. 그린스타인과 A.자존치

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v t 양자역학
배경	서론 역사 타임라인 고전 역학 구 양자론 용어집
기초	타고난 규칙 브라켓 표기법 상보성 밀도 매트릭스 에너지 레벨 접지 상태 들뜬 상태 퇴화 수준 제로 포인트 에너지 얽힘 해밀턴식 방해다 데코히렌스 측정. 비국소성 양자 상태 중첩 터널링 산란 이론 양자역학에서의 대칭성 불확실성 파동 함수 접다 파동-입자 이중성
제제	제제 하이젠베르크 상호 작용 행렬 역학 슈뢰딩거 경로 적분 공식 위상 공간
방정식	디락 클라인-고든 파울리 리드버그 슈뢰딩거
해석	해석 베이지안 일관성 있는 이력 코펜하겐 브로이쾅 앙상블 숨김 변수 현지의 다세계 객관적 붕괴 양자 논리 관계형 트랜잭션 반 노이만 위그너
실험	벨 부등식 데이비슨-게르머 선택 지연 양자 지우개 더블 슬릿 프랑크-헤르츠 마하-젠더 간섭계 엘리추르-바이드만 포퍼 양자 지우개 스턴-게라크 Wheeler의 지연
과학	양자생물학 양자 화학 양자 카오스 양자 우주론 양자 미분학 양자역학 양자 기하학 양자 측정 문제 양자 확률 미적분 양자 시공간
테크놀로지	양자 알고리즘 양자 증폭기 양자 버스 양자 세포 오토마타 양자 유한 오토마타 양자 채널 양자 회로 양자 복잡도 이론 양자 컴퓨팅 타임라인 양자암호학 양자 전자 공학 양자 오차 보정 양자 이미징 양자 이미지 처리 양자 정보 양자 키 배포 양자 논리 양자 논리 게이트 양자 기계 양자 기계 학습 양자 메타물질 양자 도량형 양자 네트워크 양자 신경망 양자 광학 양자 프로그래밍 양자 감지 양자 시뮬레이터 양자 순간이동
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