국소 양자장 이론

하그와 카슬러(1964년)에 의해 소개된 양자장론의 하그-카슬러 공리 체계는 C*-대게브라 이론의 국소 양자 물리학에 응용된다.이것 때문에 그것은 대수 양자장 이론으로도 알려져 있다.공리는 민코프스키 공간의 모든 열린 집합에 대해 주어진 대수학 및 이들 사이의 매핑의 관점에서 기술된다.

하그-카슬러 공리

$(\$ 를 ${\mathcal {O}}$ 민코프스키 공간의 모든 열린 부분 집합 및 경계 부분 집합으로 합니다.대수 양자장 이론은 $공통$ 의 ${\mathcal {H}}$ (\displaystyle $H)$ 에 있는 폰 노이만 ${\mathcal {A}}(O)$ 의 순 $\{{\mathcal {A}}(O)\}_{O\in {\mathcal {O}}}$ ${\mathcal {A}}(O)$ $displaystyle\{\mathcal$ {A $}}$ $_{$ O}} $_$ O $\$ $in\$ in\ $mathcal$ ${O$ }}}{ $displaystyle H$ $\{{\mathcal {A}}(O)\}_{O\in {\mathcal {O}}}$ displaystyle H})를 ${\mathcal {A}}(O)$ 통해 정의된다.

등가성: $O_{1}\subset O_{2}$ $O1$ $O_{1}\subset O_{2}$ $({$ $O_$ ${1$ $}\subset$ O_ ${2$ 는 $O_{1}\subset O_{2}$ A ${\mathcal {A}}(O_{1})\subset {\mathcal {A}}(O_{2})$ A $(O2$ 를 ${\mathcal {A}}(O_{1})\subset {\mathcal {A}}(O_{2})$ 합니다.
원인: $({$ 이 $O_{1}$ $({$ 2 $O_{2}$ 에서 공간처럼 분리된 $O_{1}$ $[{\mathcal {A}}(O_{1}),{\mathcal {A}}(O_{2})]=0$ [ $[{\mathcal {A}}(O_{1}),{\mathcal {A}}(O_{2})]=0$ $O$ 1 $[{\mathcal {A}}(O_{1}),{\mathcal {A}}(O_{2})]=0$ ) , $[{\mathcal {A}}(O_{1}),{\mathcal {A}}(O_{2})]=0$ ( O $[{\mathcal {A}}(O_{1}),{\mathcal {A}}(O_{2})]=0$ ) ] $[{\mathcal {A}}(O_{1}),{\mathcal {A}}(O_{2})]=0$ ({\ $displaystyle {A}$ , {\ $mathcal {A}$ } $= 0$
Poincaré 공분산: ${\mathcal {A}}(gO)=U(g){\mathcal {A}}(O)U(g)^{*}$ $(\$ displaystyle ${\mathcal {A}}(gO)=U(g){\mathcal {A}}(O)U(g)^{*}$ $mathcal {H})$ 에 ${\mathcal {H}}$ 있는 Poincaré ${\mathcal {P}}$ P(\ $displaystyle$ U(\ $mathcal {P})$ 의 $U({\mathcal {P}})$ ${\mathcal {P}}$ 강하게 연속된 유니터리 $U({\mathcal {P}})$ U $displaystyle U(\$ {P $})$ 가 ${\mathcal {A}}(gO)=U(g){\mathcal {A}}(O)U(g)^{*}$ 한다 ${\mathcal {A}}(gO)=U(g){\mathcal {A}}(O)U(g)^{*}$ ${\mathcal {A}}(gO)=U(g){\mathcal {A}}(O)U(g)^{*}$ $g\in {\mathcal {P}}$ \ $display$ style $g$ \ $in \ mathcal$ { P $g\in {\mathcal {P}}$ $。$
스펙트럼 조건:폐전방 라이트콘에는 에너지 모멘텀 $연산자$ P {\ $displaystyle$ P $}($ 시공간 변환 $\mathrm {Sp} (P)$ )의 조인트 $\mathrm {Sp} (P)$ S p $\mathrm {Sp} (P)$ ) {\ $displaystyle \mathrm {Sp}(P)}$ 가 $\mathrm {Sp} (P)$ 포함되어 있습니다.
진공 벡터의 존재:순환 및 푸앵카레 불변 벡터 $\Omega \in {\mathcal {H}}$ H $displaystyle\$ Omega $\in\mathcal {H})$ 가 $\Omega \in {\mathcal {H}}$ 존재한다.

순대수 $(\displaystyle {A}}(O)$ 를 ${\mathcal {A}}(O)$ 국소대수라고 하며, C* ${\mathcal {A}}:={\overline {\bigcup _{O\in {\mathcal {O}}}{\mathcal {A}}(O)}}$ A $=$ ${\mathcal {A}}:={\overline {\bigcup _{O\in {\mathcal {O}}}{\mathcal {A}}(O)}}$ ${\mathcal {A}}:={\overline {\bigcup _{O\in {\mathcal {O}}}{\mathcal {A}}(O)}}$ ${\mathcal {A}}:={\overline {\bigcup _{O\in {\mathcal {O}}}{\mathcal {A}}(O)}}$ ${\mathcal {A}}:={\overline {\bigcup _{O\in {\mathcal {O}}}{\mathcal {A}}(O)}}$ ${\$ { $displaystyle {$ A}:= $오버라인(\displaystyle {O}}$ {cal ${O}}$ { $CAL})$ 이라고 한다.

범주 이론 공식

밍크를 형태론으로서의 포함 지도를 가진 민코프스키 공간 M의 열린 부분 집합의 범주라고 하자.밍크의 모든 형태소가 uC*alg(등각성)의 단일 형태에 매핑되도록 밍크에서 uC*alg까지의 공변 ${\mathcal {A}}$ A $(\$ 가 ${\mathcal {A}}$ 주어졌다.

Poincaré 그룹은 계속해서 밍크에게 행동한다.이 동작의 풀백은 ${\mathcal {A}}(M)$ A(M $)$ 의 ${\mathcal {A}}(M)$ 토폴로지에 연속적으로 존재합니다 $({displaystyle {A}}($ M)(포인카레 공분산).

민코프스키 공간은 인과 구조를 가지고 있다.열린 집합 V가 열린 집합 U의 인과적 보완에 있다면, 지도의 이미지는

({displaystyle {A}}(i_{U,U\cup V})}

그리고.

({displaystyle {A}}(i_{V,U\cup V})}

통근(공간과 같은 정류성)U ${\bar {U}}$ { $U})$ 가 ${\bar {U}}$ 열린 집합 U의 인과적 완성인 ${\bar {U}}$ , $($ ${\mathcal {A}}(i_{U,{\bar {U}}})$ U $))$ {\ $mathcal {A}(i_{U,$ {\ $bar {U}})$ 는 ${\mathcal {A}}(i_{{U,{\bar {U}}}})$ 동형(기본 인과적 인과 관계)입니다.

C*대수에 대한 상태는 단위 노름을 갖는 양의 선형 함수이다.If we have a state over ${\mathcal {A}}(M)$ , we can take the "partial trace" to get states associated with ${\mathcal {A}}(U)$ for each open set via the net monomorphism.오픈 세트 위의 상태는 프리히프 구조를 형성합니다.

GNS 구성에 따르면 각 상태에 대해 힐베르트 공간 표현 A ${\mathcal {A}}(M).$ 를 연관지을 수 있습니다 $.\displaystyle\mathcal {A}(M)}$ 순수 ${\mathcal {A}}(M).$ 상태는 환원 불가능한 표현에 대응하고 혼합 상태는 환원 가능한 표현에 대응합니다.각 축소할 수 없는 표현(최대 등가)을 초선택 섹터라고 합니다.우리는 그것과 연관된 힐베르트 공간이 망의 푸앵카레 공분산과 양립할 수 있는 푸앵카레 그룹의 단일 표현인 진공이라는 순수한 상태가 있다고 가정하고, 우리가 푸앵카레 대수를 본다면, 에너지-모멘텀(시공간 변환에 해당하는)에 관한 스펙트럼은 위에 있고 그 안에 있다.양극 광원뿔이것은 진공 분야입니다.

곡면 시공간에서의 QFT

보다 최근에는 양자장론의 대수적 버전을 곡선 시공간에서 포함하기 위해 접근법이 추가로 구현되었다.실제로, 국소 양자 물리학의 관점은 곡선 배경에서 전개된 양자장 이론으로 재규격화 과정을 일반화하는데 특히 적합하다.블랙홀이 존재하는 경우의 QFT에 관한 몇 가지 엄격한 결과를 얻었다.

레퍼런스

^ Baumgärtel, Hellmut (1995). Operatoralgebraic Methods in Quantum Field Theory. Berlin: Akademie Verlag. ISBN 3-05-501655-6.

추가 정보

Haag, Rudolf; Kastler, Daniel (1964), "An algebraic approach to quantum field theory", Journal of Mathematical Physics, 5: 848–861, Bibcode:1964JMP.....5..848H, doi:10.1063/1.1704187, ISSN 0022-2488, MR 0165864
Haag, Rudolf (1996) [1992], Local quantum physics, Texts and Monographs in Physics (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-61451-7, MR 1405610

외부 링크

Local Quantum Physics Crossroad 2.0 – 로컬 양자 물리학에 종사하는 과학자들의 네트워크
페이퍼 – 대수 QFT 프리프린트 데이터베이스
대수 양자장 이론 - 함부르크 대학의 AQFT 자원

[1] Baumgärtel, Hellmut (1995). Operatoralgebraic Methods in Quantum Field Theory. Berlin: Akademie Verlag. ISBN 3-05-501655-6.

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