폴랴코프 작용

물리학에서 폴랴코프 작용은 끈 이론에서 끈의 세계시트를 설명하는 2차원 등각장 이론의 작용이다.Stanley Deser와 Bruno Zumino에 의해 소개되었고 L. Brink, P.에 의해 독립적으로 소개되었습니다. Di ^[1]^[2]Vecchia와 P. S. Howe는 1976년에 현을 정량화하는 데 사용한 이후 Alexander Polyakov와 연관되었습니다.^[3]액션은 다음과 같습니다.

{\displaystyle {\mathcal {S}={T \over2}\int \mathrm {d}^{2}\darb^{ab}g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }(\displaystyle _ {b}X}X^{\nu })

$T$ 서T(\ $displaystyle$ T $)$ 는 $T$ 스트링 텐션, $g_{\mu \nu }$ {\(\ $displaystyle g_{\mu$ \nu $})$ 는 $g_{\mu \nu }$ 타깃 매니폴드의 메트릭 $,$ $h_{ab}$ (\ $displaystyle h_{$ ab $h_{ab}$ })는 $h$ 월드시트 $메트릭$ , $h^{ab}$ (\ $displaystyle h^{ab$ })는 반전,h(\ $displaystyle$ h $)$ 는 $)$ 의 $h_{ab}$ 입니다. ${ab$ 메트릭 시그니처는 타임라이크 방향이 +, 스페이스라이크 방향이 –가 되도록 선택됩니다.공간적인 세계시트의 좌표는 ${\(\displaystyle\sigma)$ 라고 $\sigma$ 하며, 시간적인 세계시트의 좌표는 $display(\$ displaystyle\ $tau$ 라고 합니다.이것은 비선형 시그마 ^[4]모델이라고도 합니다.

Polyakov 액션은 Liouville 액션을 통해 스트링 변동을 설명해야 합니다.

글로벌 대칭

N.B. 여기서 대칭은 (세계에서) 2차원 이론의 관점에서 국소적 또는 글로벌하다고 합니다.예를 들어 시공간 국소대칭인 로렌츠 변환은 월드시트 이론의 글로벌 대칭이다.

동작은 시공간 변환 및 극소 로렌츠 변환에서 불변합니다.

$X^{\alpha}\오른쪽 화살표 X^{\alpha}+b^{\alpha}$
$X^{\alpha}\오른쪽 화살표 X^{\alpha}+\Omega_{\beta}{\alpha}X^{\beta}}$

여기서 $\omega _{\mu \nu }=-\omega _{\nu \mu }$ $\omega _{\mu \nu }=-\omega _{\nu \mu }$ - $\omega _{\mu \nu }=-\omega _{\nu \mu }$ $\omega _{\mu \nu }=-\omega _{\nu \mu }$ $=$ - $\omega _{\mu \nu }=-\omega _{\nu \mu }$ μ μ { $displaystyle$ \mu \ $nu$ } = - \ $omega$ _ { \ $nu$ \ $mu$ }} 및 $\omega _{\mu \nu }=-\omega _{\nu \mu }$ $b^{\alpha }$ α { \ $displaystyle$ b^ { \ $alpha$ }}는 $b^{\alpha }$ 상수입니다.이는 대상 매니폴드의 Poincaré 대칭을 형성합니다.

${\mathcal {S}}$ S(\ $displaystyle {S})$ 는 ${\mathcal {S}}$ $X^{\alpha }$ (\ $displaystyle$ X $^{\alpha$ 의 첫 번째 도함수에만 의존하므로 (i)의 불변성이 뒤따른다.(ii)에 따른 불변성의 증거는 다음과 같다.

{\mathcal {S}}'&={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\display {brt {-h} h^{ab}g_{\mu \nu }\displaystyle _{a}\left(X^{\mu } + } } ^{\delta})\&=parammathcal {S}+{T \over2}\int \mathrm {d}^{2}\param {b}\param {b}\param _{\mu \param }\param _{a}X^{\mu }\paramma}X^{\paramma}_{\paramma}_{\p}_{\paramparamp}_{\p}_{{{\p}_{\p}_{\p}_{{\par}\&=parammathcal {S}+{T \over2}\int \mathrm {d}^{2}\param {-h}}h^{ab}\left(\opha_{\mu\mu}+\opha_{\parammu}\right)\param {a}X^{Del}\&=parammathcal {S}+\operatorname {O} \left(\obega ^{2}\right)\end{aligned}

로컬 대칭

이 동작은 월드시트 미분 형태(또는 좌표 변환) 및 Weyl 변환에서 변하지 않습니다.

미분 동형

다음과 같은 변환을 상정합니다.

{\displaystyle ^{\alpha }\rightarrow {\tilde {\alpha }\left(\displaystyle,\alpha\rightarrow

다음과 같은 방법으로 메트릭 텐서를 변환합니다.

h^{ab}\rightarrow {h}{ab}=h^{cd}({\tilde}{a}}{\frac {\tilde}{c}}{\frac {\tilde}{b}}{\frac {\tild}}}{\f}}{\frac {\f}{{\t}{\tild}}}{b}}}}}{\frightarc}}{b}}{b}{b}}{b}}}}}

다음과 같은 것을 알 수 있습니다.

{h}{ab}{\frac}{{a}}X^{\mu}({\tilde}){\frac {\frac }{\frac }{\frac }{\nu }({\tilde })=h^{cd }cd }al } {\tilde ^{a}} X^{\mu }({\tilde}) {\frac } {\tilde {\tille } X^{\nu }({\tilde {b} =h^{ab}\t left\frac } {\t

이 변환의 야코비안은 다음과 같이 제시된다는 것을 알 수 있다.

\mathrm {J} =\operatorname {det} \leftfrac {\tilde } {{\alpha }} {\filec ^{\filec }

그 결과 다음과 같습니다.

{d}\mathrm {d}{\tilde {J}\mathrm {d}^{2}\det}\h&=\operatorname {det}\left(h_{ab}\right)\rightarrow {tilde {h}=\mathrm {h}^2}^2

그리고 누군가는 그것을 본다:

{-{\tilde {h}}}\mathrm {d}^{2}{\display}=mathrm {d}^{2}{\tilde {\tilde}}

summing up this transformation and relabeling ${\tilde {\sigma }}=\sigma$ we see that the action is invariant.

와일 변환

Weyl 변환을 가정합니다.

\displaystyle h_{ab}\rightarrow\tilde {h}_{ab}=\Lambda(\lambda)h_{ab}

그 후, 다음과 같이 합니다.

{\displaystyle {\tilde {h}^{ab}&=\Lambda ^{-1}(\lambda) h^{ab}\\operatorname {det}\leftsweat\tilde {h}_{ab}\right}&=\Lambda ^{da ^{2}(\lambde {deat})

그리고 마지막으로:

${\mathcal {S}}$	$({displaystyle = {T \over2}\int \mathrm {d} ^{2}\delde {h}} {\tilde {h}} {\tilde {h}} g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }(\displaystyl})$
	$= {T \over2}\int \mathrm {d} ^{2}\lambda \Lambda ^{-1}\right)h^{ab}g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu}{\b}_{\lamb$

그리고 와일 변환 하에서는 그 작용이 불변함을 알 수 있다.n=1이 아닌 한 작용이 월드시트 영역/영역에 비례하는 n차원(수직적으로) 확장 객체를 고려할 경우, 해당 폴랴코프 작용은 또 다른 Weyl 대칭을 깨는 항을 포함할 것이다.

응력-에너지 텐서를 정의할 수 있다.

T^{ab}=syslogfrac {-2}{\syslogrt {-h}}{\frac {\delta h_{ab}}

정의:

(\displaystyle {h}_{ab}=\exp \left(\phi(\hi)\right)h_{ab})

Weyl 대칭으로 인해 $\phi$ 은 $§$ {\ $displaystyle$ \ $phi$ 에 의존하지 않습니다.

{\frac S}{\delta \phi}={delta S}{\delta {h}_{ab}}{\frac \phi}}={\frac {1}{\frac {\h}}{\phi}{\frac {\h}}{\f}{\f},T_{\a}^{a},e^{\phi}=0\오른쪽 화살표 T_{\a}^{a}=0,

함수 미분 사슬 법칙을 사용해 왔습니다.

난부-고토 액션과의 관계

메트릭 $h^{ab}$ h $h^{ab}$ {\ $displaystyle$ h $^{ab}}$ 에 $h^{ab}$ 대한 오일러-라그랑주 방정식을 쓰면 다음과 같이 된다.

(\displaystyle\frac S\delta h^{ab}}=T_{ab}=0}

다음 사항도 알고 있습니다.

{\displaystyle\displaystyle {-h}=-{\frac {1}{2}}{\displayrt {-h}h_{ab}\display h^{ab}}

작용의 변분 도함수를 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\frac S}{\delta h^{ab}}=sqrt {-h}}\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}h^{cd}G_{cd}\right

$G_{ab}=g_{\mu \nu }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }$ 서 G $G_{ab}=g_{\mu \nu }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }$ $=$ $G_{ab}=g_{\mu \nu }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }$ μ $G_{ab}=g_{\mu \nu }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }$ δ a $G_{ab}=g_{\mu \nu }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }$ $G_{ab}=g_{\mu \nu }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }$ μ $G_{ab}=g_{\mu \nu }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }$ $G_{ab}=g_{\mu \nu }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }$ b X $G_{ab}=g_{\mu \nu }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }$ { $displaystyle G_{ab$ }= $g_{\mu$ \ $nu$ }\ $display$ _ ${a}X^{\mu$ }\ $display$ _ ${b$ }X $^{\$ nu $}}}$ 는 $G_{ab}=g_{\mu \nu }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }$ 다음과 같이 됩니다.

디스플레이 스타일T_{ab}&=T\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right)=0\\\\G_{ab}&=h_{ab}h^{cd}G_{cd}\\frightG&=\operatorname {det} \left(G_{ab}\right)=h\left(h^{cd}G_{cd}\right)^{2}\end{aligned}}}

보조 월드시트 메트릭 ${\sqrt {-h}}$ 텐서 - $(\$ {- $h})$ 가 ${\sqrt {-h}}$ 운동 방정식으로 계산되는 경우:

(\displaystyle {\displayrt {-h}}=sqfrac {2sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}})

액션으로 치환된 경우, 다음과 같이 Nambu-Goto 액션이 됩니다.

S={T \over2}\int \mathrm {d} ^{2}\int \mathrm {d} = {T \over2}\int \mathrm {d} ^{d} ^{h} {cd} } {h^{cd} } {cd} {cd}T\int \mathrm {d}^{2}\sigma {-G}

그러나 폴랴코프 작용은 선형이기 때문에 더 쉽게 양자화된다.

운동 방정식

민코프스키의 표적 공간에서 미분 형상과 와일 변환을 사용하면 물리적으로 중요하지 않은 변환 $h$ ${\sqrt {-h}}h^{ab}\rightarrow \eta ^{ab}$ ${\sqrt {-h}}h^{ab}\rightarrow \eta ^{ab}$ b ${\sqrt {-h}}h^{ab}\rightarrow \eta ^{ab}$ ${\sqrt {-h}}h^{ab}\rightarrow \eta ^{ab}$ ${\sqrt {-h}}h^{ab}\rightarrow \eta ^{ab}$ b { $displaystyle$ { \ displaystyle { - h } h^ { $ab$ } \ $rightarroweta$ ^ { $ab$ )을 만들어 등각 게이지에 동작을 기록할 수 있다.

{\displaystyle {\mathcal {S}={T \over2}\int \mathrm {d}^{2}\deta ^{ab}g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }(\displaystylangu)_{b}X}(\nu ={\nu})

$\eta _{ab}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)$ 서 $\eta _{ab}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)$ $\eta _{ab}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)$ ( $\eta _{ab}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)$ 0 - $\eta _{ab}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)$ $){$ $displaystyle \eta$ _ { $ab$ } = \ left parray \ $time$ { $array$ } { $cc } 1$ & $0$ & 1 $\ end$ { $array$ } \ $right$ }

$T_{ab}=0$ a $T_{ab}=0$ $=$ (\ $displaystyle T_$ {ab}= $0)$ 이라는 $T_{ab}=0$ $T_{ab}=0$ 에 유의하면 다음과 같은 제약 조건을 도출할 수 있습니다.

디스플레이 스타일T_{01}&=T_{10}=점 {X}}X'=0\\T_{00}&=T_{11}=flac {1}{2}}\leftflac\dot {X}{2}+X'^{2}\right)=0.\end { aligned}}

$X^{\mu }\rightarrow X^{\mu }+\delta X^{\mu }$ μ $X^{\mu }\rightarrow X^{\mu }+\delta X^{\mu }$ $X^{\mu }\rightarrow X^{\mu }+\delta X^{\mu }$ μ + $X^{\mu }\rightarrow X^{\mu }+\delta X^{\mu }$ $X^{\mu }\rightarrow X^{\mu }+\delta X^{\mu }$ μ {\ $displaystyle$ X $^{\mu}\rightarrow$ X $^{\mu}+\display$ X $^{\mu}}$ 를 $X^{\mu }\rightarrow X^{\mu }+\delta X^{\mu }$ 대입하면 다음과 같이 된다.

{\displaystyle{\begin{정렬}\delta{{S\mathcal}}&=T\int \mathrm{d}^{2}\sigma \eta ^{농양}\partial _{를}X^{\mu}\partial _{b}\delta X_{\mu}\\&,=-T\int \mathrm{d}^{2}\sigma \eta ^{농양}\partial _{를}\partial _{b}X^{\mu}\delta X_ᆷ+\left(T\int d\tau X'\delta X\right)_ᆸ-\left(T\int d\tau X'\delta X\right)_{\sigma =0}\\&, =0\end{aligne.d}}}

그 결과:

\displaystyle \square X^{\mu }=\eta ^{ab}\square _{a}\square _{b}X^{\mu}=0}

동작 변동의 두 번째 부분을 만족시키기 위해 경계 조건과 함께.

닫힌 문자열
주기적 경계조건 : $X^{\mu }(\tau ,\sigma +\pi )=X^{\mu }(\tau ,\sigma )\$ $X^{\mu }(\tau ,\sigma +\pi )=X^{\mu }(\tau ,\sigma )\$ $X^{\mu }(\tau ,\sigma +\pi )=X^{\mu }(\tau ,\sigma )\$ , $X^{\mu }(\tau ,\sigma +\pi )=X^{\mu }(\tau ,\sigma )\$ + $X^{\mu }(\tau ,\sigma +\pi )=X^{\mu }(\tau ,\sigma )\$ ) $X^{\mu }(\tau ,\sigma +\pi )=X^{\mu }(\tau ,\sigma )\$ $X^{\mu }(\tau ,\sigma +\pi )=X^{\mu }(\tau ,\sigma )\$ $X^{\mu }(\tau ,\sigma +\pi )=X^{\mu }(\tau ,\sigma )\$ $X^{\mu }(\tau ,\sigma +\pi )=X^{\mu }(\tau ,\sigma )\$ , $X^{\mu }(\tau ,\sigma +\pi )=X^{\mu }(\tau ,\sigma )\$ ) { \ $display style$ X^ { \ $mu$ } ( \ display style X^ { \ mu } ( \ display style X^ { \ mu } ) $= X^$ { \ display , \ $mu$ } ( \ displaccline + \ $scline$ ) 、 \ $cline$ ) \ $X^{\mu }(\tau ,\sigma +\pi )=X^{\mu }(\tau ,\sigma )\$ ) $）$
오픈 스트링
1. 노이만 경계 조건 : $\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,0)=0,\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,\pi )=0$ $\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,0)=0,\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,\pi )=0$ $\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,0)=0,\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,\pi )=0$ μ ( $\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,0)=0,\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,\pi )=0$ , $\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,0)=0,\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,\pi )=0$ ) $\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,0)=0,\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,\pi )=0$ , $\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,0)=0,\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,\pi )=0$ $\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,0)=0,\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,\pi )=0$ μ ( $\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,0)=0,\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,\pi )=0$ , $\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,0)=0,\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,\pi )=0$ ) $\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,0)=0,\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,\pi )=0$ $0$ \ $display$ style _ { \ $display$ } X $^{$ \ $mu$ } ( \ $display$ style _ { \ $display$ } $X^{$ \ $mu$ } = $0$ , \ mu $（$ \ $display }$ )
2. 디리클레 경계조건 : $X^{\mu }(\tau ,0)=b^{\mu },X^{\mu }(\tau ,\pi )=b'^{\mu }\$ ( $X^{\mu }(\tau ,0)=b^{\mu },X^{\mu }(\tau ,\pi )=b'^{\mu }\$ , 0 ) $X^{\mu }(\tau ,0)=b^{\mu },X^{\mu }(\tau ,\pi )=b'^{\mu }\$ $X^{\mu }(\tau ,0)=b^{\mu },X^{\mu }(\tau ,\pi )=b'^{\mu }\$ , $X^{\mu }(\tau ,0)=b^{\mu },X^{\mu }(\tau ,\pi )=b'^{\mu }\$ ( $X^{\mu }(\tau ,0)=b^{\mu },X^{\mu }(\tau ,\pi )=b'^{\mu }\$ , $X^{\mu }(\tau ,0)=b^{\mu },X^{\mu }(\tau ,\pi )=b'^{\mu }\$ ) $X^{\mu }(\tau ,0)=b^{\mu },X^{\mu }(\tau ,\pi )=b'^{\mu }\$ $X^{\mu }(\tau ,0)=b^{\mu },X^{\mu }(\tau ,\pi )=b'^{\mu }\$ $X^{\mu }(\tau ,0)=b^{\mu },X^{\mu }(\tau ,\pi )=b'^{\mu }\$ \ $displaystyle$ X^ { \ $mu$ } ( \ displaystyle X^ { \ mu } ) = $X^{$ \ mu } ( \ $display style$ X^ { \ mu } ) 、 \ $pi$ ) $=$ b'^{ \ mu $}$ } ）

광원뿔 좌표 $\xi ^{\pm }=\tau \pm \sigma$ ± $=$ $\xi ^{\pm }=\tau \pm \sigma$ ± ${\$ { $displaystyle \xi ^{\pm }=\displays \pm$ \displays $\xi ^{\pm }=\tau \pm \sigma$ 에서 작업하면 다음과 같이 운동 방정식을 다시 작성할 수 있습니다.

{{displaystyle}\displaystyle_{+}\display_{-}X^{2}=(\partial_{-}X)^{2}&=0\end{aligned}}

따라서 $X^{\mu }=X_{+}^{\mu }(\xi ^{+})+X_{-}^{\mu }(\xi ^{-})$ 은 X $X^{\mu }=X_{+}^{\mu }(\xi ^{+})+X_{-}^{\mu }(\xi ^{-})$ = $X^{\mu }=X_{+}^{\mu }(\xi ^{+})+X_{-}^{\mu }(\xi ^{-})$ $X^{\mu }=X_{+}^{\mu }(\xi ^{+})+X_{-}^{\mu }(\xi ^{-})$ μ ( $X^{\mu }=X_{+}^{\mu }(\xi ^{+})+X_{-}^{\mu }(\xi ^{-})$ + ) + $X^{\mu }=X_{+}^{\mu }(\xi ^{+})+X_{-}^{\mu }(\xi ^{-})$ - $X^{\mu }=X_{+}^{\mu }(\xi ^{+})+X_{-}^{\mu }(\xi ^{-})$ μ ( $δ$ - $X^{\mu }=X_{+}^{\mu }(\xi ^{+})+X_{-}^{\mu }(\xi ^{-})$ ) ${\mu$ } $= X_{+}^{\mu$ } + $X_{-}^{-}^{\$ mu } ((xi $X^{\mu }=X_{+}^{\mu }(\xi ^{+})+X_{-}^{\mu }(\xi ^{-})$ ^-})로 $X^{\mu }=X_{+}^{\mu }(\xi ^{+})+X_{-}^{\mu }(\xi ^{-})$ 표기할 수 있으며, 응력-텐서는 현재 대각선이다.푸리에가 솔루션을 확장하고 계수에 표준 정류 관계를 부과함으로써, 두 번째 운동 방정식을 적용하면 비라소로 연산자의 정의에 동기를 부여하고 물리적 상태에서 작용하면 비라소로 제약이 사라집니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Deser, S.; Zumino, B. (1976). "A Complete Action for the Spinning String". Phys. Lett. B. 65: 369–373. doi:10.1016/0370-2693(76)90245-8.
^ Brink, L.; Di Vecchia, P.; Howe, P. (1976). "A locally supersymmetric and reparametrization invariant action for the spinning string". Physics Letters B. 65 (5): 471–474. doi:10.1016/0370-2693(76)90445-7.
^ Polyakov, A.M. (1981). "Quantum geometry of bosonic strings". Physics Letters B. 103 (3): 207–210. doi:10.1016/0370-2693(81)90743-7.
^ Friedan, D. (1980). "Nonlinear Models in 2+ε Dimensions" (PDF). Physical Review Letters. 45 (13): 1057–1060. Bibcode:1980PhRvL..45.1057F. doi:10.1103/PhysRevLett.45.1057.

추가 정보

폴친스키(1994년 11월).문자열 이론이란, NSF-ITP-94-97, 153pp, arXiv:hep-th/9411028v1
음우구리(1997년 2월).섭동 문자열 이론에 관한 TASI 강의, UCB-PTH-96/64, LBNL-3977, 80pp, arXiv: hep-th/9612254v3

[1] Deser, S.; Zumino, B. (1976). "A Complete Action for the Spinning String". Phys. Lett. B. 65: 369–373. doi:10.1016/0370-2693(76)90245-8.

[2] Brink, L.; Di Vecchia, P.; Howe, P. (1976). "A locally supersymmetric and reparametrization invariant action for the spinning string". Physics Letters B. 65 (5): 471–474. doi:10.1016/0370-2693(76)90445-7.

[3] Polyakov, A.M. (1981). "Quantum geometry of bosonic strings". Physics Letters B. 103 (3): 207–210. doi:10.1016/0370-2693(81)90743-7.

[Frie80-4] Friedan, D. (1980). "Nonlinear Models in 2+ε Dimensions" (PDF). Physical Review Letters. 45 (13): 1057–1060. Bibcode:1980PhRvL..45.1057F. doi:10.1103/PhysRevLett.45.1057.

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