위그너 정리

E.P. Wigner (1902–1995), ForMemRS는 자신의 이름을 포함하는 정리를 처음 증명했습니다. 이것은 입자 유형의 현대 분류 체계를 향한 핵심적인 단계였습니다. 어떤 입자 유형이 부분적으로 특징지어지는지에 따라, 그것이 변형되는 로렌츠 그룹의 어떤 표현에 의해 특징지어지는지에 따라 말입니다. 로렌츠 군은 모든 상대론적 양자장 이론의 대칭군입니다. 위그너의 초기 연구는 많은 물리학자들이 양자역학에서 **군론병**이라고^[1] 부르는 것에 대한 근거를 마련했습니다 – 또는 헤르만 바일(공동 책임자)이 그의 *그룹과 양자역학* 이론(2판 서문)에서 언급했듯이, "**그룹 해충**이 양자역학에서 점차 제거되고 있다는 소문이 있었습니다. 이것은 확실히 사실이 아닙니다."

1931년 유진 위그너가 증명한 ^[2]위그너 정리는 양자역학의 수학적 공식화의 초석입니다. 이 정리는 회전, 번역 및 CPT 변환과 같은 물리적 대칭이 힐베르트 상태 공간에서 어떻게 표현되는지를 명시합니다.

양자 이론의 물리적 상태는 힐베르트 공간에서 위상 인자까지의 단위 벡터, 즉 벡터가 걸쳐 있는 복소선 또는 광선으로 표현됩니다. 또한 Born 규칙에 의해 단위 고유 벡터를 갖는 단위 벡터의 내적의 절대값 또는 이와 동등하게 벡터들이 스팬하는 선들 사이의 각도의 코사인 제곱은 전이 확률에 해당합니다. 수학에서 사영 힐베르트 공간으로 알려진 광선 공간은 위상 인자에 의한 차이의 등가 관계까지 힐베르트 공간의 모든 단위 벡터의 공간입니다. Wigner의 정리에 의해 내부 곱의 절대값을 보존하는 광선 공간의 모든 변환은 위상 인자까지 고유한 힐베르트 공간의 단일 또는 반단일 변환으로 표현될 수 있습니다. 결과적으로 광선 공간에서 대칭 그룹의 표현은 투영 표현 또는 때로는 힐베르트 공간에서 일반적인 표현으로 들어올릴 수 있습니다.

광선 및 광선 공간

복잡한 분리 가능한 힐베르트 $H$ H $H$ 의 상태 벡터는 서로 스칼라가 아닌 배수인 동일한 순수 상태를 나타낸다는 양자역학의 공식입니다. 즉, 벡터 ψ ∈ H ∖ {0} {\ $displaystyle$ \Psi \ $\lambda \Psi$ $\$ setminus \{0\} 및 λ ψ {\displaystyle \lambda \Psi}, λ ∈ $\lambda \in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ ∖ { $0$ } {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} \setminus \{0\}의 경우 동일한 상태를 나타냅니다. 상태 벡터에 위상 인자를 곱하면 광선이라는^[4]^[5] 벡터 집합을 얻을 수 있습니다.

{\밑줄 {\Psi}}=\left\{e^{i\alpha}\Psi :\alpha \in \mathbb {R} \right\

0이 아닌 벡터 $\Psi _{1},\Psi _{2}$ ψ 1 $,$ ψ 2 ${\displaystyle$ \Psi $\Psi _{1},\Psi _{2}$ _{1},\Psi _{2}}가 0이 아닌 $\Psi _{1}=\lambda \Psi _{2}$ 에 의해 다른 경우에만 동일한 광선을 $\Psi _{1}=\lambda \Psi _{2}$ 합니다. $\Psi _{1}=\lambda \Psi _{2}$ ψ 1 = $\Psi _{1}=\lambda \Psi _{2}$ λ ψ 2 {\displaystyle $\Psi _{1}=\lambda \Psi _{2}$ \Psi _{1} =\lambda \Psi _{2}. 또는, 광선 ${\underline {\Psi }}$ ψ ${\underline {\Psi }}$ _ ${\underline {\Psi }}$ ${\$ $displaystyle {\$ $밑줄$ {\Psi}}을 단위 구와 교차하여 단위 광선인 놈 1을 갖는 벡터 집합으로 간주할 수 있습니다.

SH=\{\Phi \in H\mid \|\Phi \|^{2}=1\}

=

SH=\{\Phi \in H\mid \|\Phi \|^{2}=1\}

{

φ

∣

SH=\{\Phi \in H\mid \|\Phi \|^{2}=1\}

‖

SH=\{\Phi \in H\mid \|\Phi \|^{2}=1\}

φ

SH=\{\Phi \in H\mid \|\Phi \|^{2}=1\}

2 = 1 } {\displaystyl

SH=\{\Phi \in H\mid \|\Phi \|^{2}=1\}

SH=\{\Phi \in H\mid \ \Phi \

SH=\{\Phi \in H\mid \|\Phi \|^{2}=1\}

{2}= 1\}.

두 개의 단위 $\Psi _{1},\Psi _{2}$ ψ 1, ψ $\Psi _{1},\Psi _{2}$ 2 ${\displaystyle$ \Psi _{1},\Psi _{2}}가 동일한 단위 광선 ${\underline {\Psi _{1}}}={\underline {\Psi _{2}}}$ ψ 1 _ = ${\underline {\Psi _{1}}}={\underline {\Psi _{2}}}$ ψ 2 _ ${\displaystyle {\underline {\Psi$ _{ $1}}$ = {\underline {\Psi _{2}}} 위상 계수에 따라 $다른$ 경우 ψ 1 = e α ψ 2 {\displaystyle \Psi _{1} = e^{i\alpha }\Psi _{2}}를 정의합니다. 이것은 물리학에서 더 일반적인 그림입니다. 광선들의 집합은 단위 광선들의 집합과 일대일 대응 관계에 있으며 우리는 그것들을 식별할 수 있습니다. 또한 물리적 순수 상태 $\rho$ ρ {\displaystyle $\$ rho}과( ${\underline {\Phi }}$ ) ${\underline {\Phi }}$ φ _ {\ $displaystyle {\$ 밑줄 {\Phi}} 사이에는 다음과 같은 일대일 대응이 있습니다.

\rho = P_{\Phi }={\frac { \Phi \rangle \langle \Phi  }{\langle \Phi  \Phi \rangle }}

$P_{\Phi }$ 서 P $P_{\Phi }$ φ {\displaystyle P_{\ $Phi }}$ 은 ${\underline {\Phi }}$ $φ$ 선 {\displaystyle ${\underline$ Phi }}의 직교 투영입니다. 두 $\Phi \in {\underline {\Psi }}$ $\Phi \in {\underline {\Psi }}$ 에서 $φ$ $P_{\Phi }=P_{\Psi }$ $∈$ $ψ$ _ ${\$ displaystyle \ $Phi$ \in {\ $P_{\Phi }=P_{\Psi }$ ${\Psi$ }} 또는 P $φ$ $=$ P $ψ$ {\displaystyle P_{\ $Phi$ } $=$ $P_$ {\ $Psi$ }} 그러면 $\Phi$ $φ$ ${\displaystyle$ \Phi }는 ${\displaystyle$ {\밑줄 ${\underline {\Psi }}$ {\Psi }}의 ${\underline {\Psi }}$ 인 ${\underline {\Psi }}$ $ψ$ 입니다.

모든 광선의 공간은 광선 공간이라고 불리는 투영 힐베르트 공간입니다.^[7] 여러 가지 방법으로 정의할 수 있습니다. $H\setminus \{0\}$ ∖ {0} ${\displaystyle$ H $\setminus$ \{0\}에서 등가 관계 ~ $\sim$ 을 정의할 수 있습니다.

\Psi \sim \Phi \좌측 화살표 \Psi =\lambda \Phi,\quad \lambda \mathbb {C} \setminus \{0\}

광선 공간을 몫 집합으로 정의합니다.

\mathbf {P} (H)=(H\setminus \{0\})/{\sim }

\mathbf {P} (H)=(H\setminus \{0\})/{\sim }

(

\mathbf {P} (H)=(H\setminus \{0\})/{\sim }

∖

{0}) / ~ {\displaystyle \mathbf {P}

\mathbf {P} (H)=(H\setminus \{0\})/{\sim }

(H) = (H\setminus \{0\}) / {\sim}}.

또는 구 $SH$ $SH$ 의 등가 관계에 $SH$ 대해 단위 광선 공간은 등가 클래스의 집합으로 정의된 광선 공간의 화신입니다.

\mathbf {P} (H)=SH/\sim

SH/\sim

광선 공간의 세 번째 동등한 정의는 순수한 상태 광선 공간, 즉 랭크 1 의^{[clarification needed]} 직교 투영인 밀도 행렬입니다.

\mathbf {P} (H)=\{P\in B(H)\mid P^{2}=P=P^{\dagger },\mathbb {tr} (P)=1\}

=

\mathbf {P} (H)=\{P\in B(H)\mid P^{2}=P=P^{\dagger },\mathbb {tr} (P)=1\}

{

\mathbf {P} (H)=\{P\in B(H)\mid P^{2}=P=P^{\dagger },\mathbb {tr} (P)=1\}

\mathbf {P} (H)=\{P\in B(H)\mid P^{2}=P=P^{\dagger },\mathbb {tr} (P)=1\}

\mathbf {P} (H)=\{P\in B(H)\mid P^{2}=P=P^{\dagger },\mathbb {tr} (P)=1\}

(

H

) ∣

\mathbf {P} (H)=\{P\in B(H)\mid P^{2}=P=P^{\dagger },\mathbb {tr} (P)=1\}

P 2

\mathbf {P} (H)=\{P\in B(H)\mid P^{2}=P=P^{\dagger },\mathbb {tr} (P)=1\}

= P

\mathbf {P} (H)=\{P\in B(H)\mid P^{2}=P=P^{\dagger },\mathbb {tr} (P)=1\}

= P †, t

\mathbf {P} (H)=\{P\in B(H)\mid P^{2}=P=P^{\dagger },\mathbb {tr} (P)=1\}

(P) = 1 } {\displaystyle \mathbf {P}

\mathbf {P} (H)=\{P\in B(H)\mid P^{2}=P=P^{\dagger },\mathbb {tr} (P)=1\}

(H) =\{P\in B(H)\mid P

\mathbf {P} (H)=\{P\in B(H)\mid P^{2}=P=P^{\dagger },\mathbb {tr} (P)=1\}

{2} = P^{\dagger }\mathbb {tr}

\mathbf {P} (H)=\{P\in B(H)\mid P^{2}=P=P^{\dagger },\mathbb {tr} (P)=1\}

(P) = 1\}.

$H$ $H$ 가 n차원인 경우, 즉 $H_{n}:=H$ := H ${\displaystyle H_{n}:$ $=H},$ $그렇다면$ P (H n $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1}=\mathbf {P} (\mathbb {C} ^{n})$ $\mathbf {P$ (H_ ${n})}$ 는 복소 사영 공간 CP n - 1 $=$ P (C n) {\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1} $=$ \mathbf {P} (\mathbb {C} ^{n})}와 동형입니다. 예를 들어,

\lambda _{1} +\rangle +\lambda _{2} -\rangle,\quad (\lambda _{1},\lambda _{2})\in \mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\

Bloch 구에 점을 생성합니다. 리만 구 $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}$ $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}$ ${\$ 과 동형입니다 $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}$

광선 공간(즉, 사영 공간)은 벡터 공간이 아니라 차원 $n$ + $1$ 의 벡터 공간에 있는 벡터 라인(차원 1의 벡터 부분 공간)의 집합입니다. 예를 들어, 모든 두 벡터 $\Psi _{1},\Psi _{2}\in H_{2}$ ψ $\Psi _{1},\Psi _{2}\in H_{2}$ ψ $\Psi _{1},\Psi _{2}\in H_{2}$ 에 대해 ∈ 2는 $H2 {\displaystyle$ \ $Psi_{$ 1},\Psi_{2}\in H_{2} 및 $(\lambda _{1}:\lambda _{2})$ $비율$ λ 1 : $(\lambda _{1}:\lambda _{2})$ λ 2) ${\$ displaystyle (\lambda_{1}:\lambda_{2})}(즉, element of $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}$ ) there is a well defined ray ${\underline {\lambda _{1}\Psi _{1}+\lambda _{2}\Psi _{2}}}$ . As such, for distinct rays ${\displaystyle {\underline {\Psi }}_{1},$ ${\밑줄 {\Psi}}_{2}}($ 즉, 선형 독립 라인) P( $H 2)$ $\mathbf {P} (H_{2})$ displaystyle \ $mathbf$ {P}(H_{2}) {\displaystyle \mathbf {P}(H_{2})}에 ${\underline {\lambda _{1}\Psi _{1}+\lambda _{2}\Psi _{2}}}$ λ 1 ${\underline {\lambda _{1}\Psi _{1}+\lambda _{2}\Psi _{2}}}$ ψ 1 + ψ 2 λ 2 _{\ $displaystyle {lambda _{1$ $\mathbf {P} (H_{2})$ _ $2}}$ $형태$ 의 광선 투영 $라인$ 이 있습니다. $\Psi _{1}$ $1$ ${\displaystyle$ \Psi_{ $}}$ 및 $\Psi _{1}$ 2 $\Psi _{2}$ \Psi_{2}}. 그러나 벡터 공간의 경우와 달리 독립적인 스패닝 집합은 좌표를 정의하기에 충분하지 않습니다(투영 프레임 참조).

$H$ $H$ 의 힐버트 공간 구조는 광선 공간의 추가 구조를 정의합니다 $H$ . 광선 상관 관계(또는 광선 제품) 정의

{\밑줄 {\Psi}}\cdot {\밑줄 {\Phi}}={\frac {\left\lang \Psi,\Phi \right\rangle \right}{\Phi \Psi \}}={\sqrt {\mathrm {tr}(P_{\Psi }P_{\\Phi})}},

$여기서$ ⟨, ⟩ ${\displaystyle$ \ $langle$ \,\,\rangle }은 힐버트 공간 $제품$ 이고, ψ, φ {\displaystyle \Psi,\ $}$ 은 ${\underline {\Psi }}$ {\ $displaystyle {\$ 밑줄 {\Phi}} 및 ψ ${\underline {\Psi }}$ φ의 ${\underline {\Psi }}$ 대표 제품입니다. 오른쪽은 대표자의 선택과 무관하다는 점에 유의하시기 바랍니다. 이 정의의 물리적 중요성은 양자역학의 또 다른 가정인 Born 규칙에 따라 힐베르트 공간에서 정규화된 상태 $\Psi$ ψ ${\displaystyle$ \Psi $}$ 와 φ ${\displaystyle$ \Phi } 사이의 전이 확률은 다음과 같습니다.

P(\Psi \rightarrow \Phi )= \lang \Psi,\Phi \rangle ^{2}=\left ({\밑줄 {\Psi}}\cdot {\underline {\Pi}\right)^{2}

즉, 광선 공간에 대한 Born의 규칙을 정의할 수 있습니다.

P({\underline {\Psi}}\to {\underline {\Phi}}:=\left ({\밑줄 {\Psi}}\cdot {\underline {\Phi}}\right)^{2}

기하학적으로. we can define an angle $\theta$ with $0\leq \theta \leq \pi /2$ between the lines ${\underline {\Phi }}$ and ${\underline {\Psi }}$ by ${\displaystyle \cos(\theta )=({\underline {\Psi$ $}}\cdot {\밑줄 {\Phi$ 그런 다음 각도는 삼각형 부등식을 만족하는 것으로 밝혀지고 리만 메트릭인 푸비니-스터디 메트릭에서 오는 광선 공간의 메트릭 구조를 정의합니다.

대칭 변환

간단히 말해서 대칭 변환은 "아무 일도 일어나지 않는"^[8] 변화 또는 가능한 실험의 결과를 바꾸지 않는 "우리 관점의 변화"^[9]입니다. 예를 들어, 동질적인 환경에서 시스템을 번역하는 것은 시스템에 대한 실험 결과에 질적인 영향을 미치지 않아야 합니다. 등방성 환경에서 시스템을 회전하는 경우에도 마찬가지입니다. 이것은 수학적으로 동등한 수동 변환, 즉 단순히 좌표의 변화를 고려하고 시스템을 그대로 두었을 때 더욱 명확해집니다. 일반적으로 도메인과 범위 힐베르트 공간은 동일합니다. 예외는 (비상대론적 이론에서) 전하 결합 변환을 받는 전자 상태의 힐베르트 공간입니다. 이 경우 전자 상태는 양전자 상태의 힐베르트 공간에 매핑되며, 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 그러나 이것은 대칭이 힐베르트 공간의 직접적인 합에 작용한다는 것을 의미합니다.

물리적 시스템의 변환은 상태의 변환이며, 따라서 수학적으로 힐베르트 공간이 아니라 광선 공간의 변환입니다. 따라서 양자역학에서 물리계의 변환은 주관적 광선 $변환$ T $T$ 를 발생시킵니다.

{\begin{aligned}T:\mathbf {P}(H)&\to \mathbf {P}(H)\\{\밑줄 {\Psi}}&\mapto T{\밑줄 {\Psi}}.\\\end{align}}

두 물리적 변환의 구성과 물리적 변환의 반전도 물리적 변환이므로 이렇게 얻은 모든 광선 변환의 집합은 P $\mathbf {P} (H)$ $\mathbf {P}(H)$ 에 작용하는 군입니다 $\mathbf {P} (H)$ $\mathbf {P} (H)$ 대칭 변환으로서 P( $\mathbf {P} (H)$ $\mathbf {P}(H)$ 의 모든 투영이 허용되는 $\mathbf {P} (H)$ 것은 아닙니다. 물리적 변화는 Born의 규칙을 유지해야 합니다.

물리적 변환의 경우 변환된 시스템과 변환되지 않은 시스템의 전이 확률은 유지되어야 합니다.

P({\underline {\Psi}}\right 화살표 {\underline {\Phi}}=\left ({\underline {\Psi}}\cdot {\underline {\Phi}}\right)^{2}=\left(T{\underline {\Phi}}\right)^{2}=P\left(T\Psi \right 화살표 T\Phi \right)

사선 변환 $\mathbf {P} (H)\to \mathbf {P} (H)$ → P $\mathbf {P} (H)\to \mathbf {P} (H)$ ) {\ $displaystyle \mathbf {P}(H)\to \mathbf {P}(H)}$ 를 대칭 변환이라고 합니다. 만약 f: $T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }},\quad \forall {\underline {\Psi }},{\underline {\Phi }}\in \mathbf {P} (H)$ $T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }},\quad \forall {\underline {\Psi }},{\underline {\Phi }}\in \mathbf {P} (H)$ $T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }},\quad \forall {\underline {\Psi }},{\underline {\Phi }}\in \mathbf {P} (H)$ T $T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }},\quad \forall {\underline {\Psi }},{\underline {\Phi }}\in \mathbf {P} (H)$ $T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }},\quad \forall {\underline {\Psi }},{\underline {\Phi }}\in \mathbf {P} (H)$ $T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }},\quad \forall {\underline {\Psi }},{\underline {\Phi }}\in \mathbf {P} (H)$ $T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }},\quad \forall {\underline {\Psi }},{\underline {\Phi }}\in \mathbf {P} (H)$ $φ$ ⋅ $T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }},\quad \forall {\underline {\Psi }},{\underline {\Phi }}\in \mathbf {P} (H)$ , $T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }},\quad \forall {\underline {\Psi }},{\underline {\Phi }}\in \mathbf {P} (H)$ ∀ φ $T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }},\quad \forall {\underline {\Psi }},{\underline {\Phi }}\in \mathbf {P} (H)$ , $T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }},\quad \forall {\underline {\Psi }},{\underline {\Phi }}\in \mathbf {P} (H)$ _ ψ P (H) ${\displaystyle$ T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Ph $T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }},\quad \forall {\underline {\Psi }},{\underline {\Phi }}\in \mathbf {P} (H)$ }}={\underline {\Phi }}\cdot {\underline {\Phi }}, {\underline {\Phi $T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }},\quad \forall {\underline {\Psi }},{\underline {\Phi }}\in \mathbf {P} (H)$ quad \forall {\underline {\Phi }, {\underline {Phi }\in \mathbf {P(H)}. 기하학적 해석은 대칭 변환이 광선 공간의 등각이라는 것입니다.

정의를 사용하여 확인할 수 있는 대칭 변환에 대한 몇 가지 사실:

두 대칭 변환, 즉 연속적으로 적용되는 두 대칭 변환의 산물이 대칭 변환입니다.
모든 대칭 변환에는 역이 있습니다.
아이덴티티 변환은 대칭 변환입니다.
대칭 변환의 곱셈은 연관성이 있습니다.

따라서 대칭 변환의 집합은 시스템의 대칭 그룹인 그룹을 형성합니다. 계의 대칭군에서 자주 발생하는 중요한 부분군은 다음을 실현하는 것입니다.

부분군이 있는 대칭 그룹입니다. 이것은 입자 라벨 교환에 중요합니다.
푸앵카레 그룹. 시공간의 기본 대칭을 인코딩합니다. [NB: 대칭은 위에서 주어진 시스템을 설명하는 광선 공간의 지도로 정의되며, 시공간의 대칭 개념은 정의되지 않았고 명확하지 않습니다.]
SU(2) 및 SU(3)와 같은 내부 대칭 그룹입니다. 그들은 양자역학계 특유의 아이소스핀과 색전하와 같은 소위 내부 대칭을 설명합니다.

이러한 그룹을 시스템의 대칭 그룹이라고도 합니다.

위그너 정리문

예선전

정리를 진술하기 위해서는 몇 가지 예비 정의가 필요합니다. $U:H\to K$ U $U:H\to K$ $U:H\to K$ → K ${\displaystyle$ U $:$ 힐베르트 공간 사이의 $U:H\to K$ $H\to K}$ 는 두 개의 사변형인 경우 유니터리이며,

\langle U\Psi,U\Phi \rangle =\langle \Psi,\Phi \rangle .

$H=K$ = $H=K$ ${\$ $displaystyle$ H = K $}$ 인 경우 U {\ $displaystyle$ U}는 역수가 인접 U - 1 = U † {\displaystyle U^{-1} = U^{\dagger}}인 단일 연산자로 줄어듭니다.

마찬가지로 변환 $A:H\to K$ $A:H\to K$ → K ${\displaystyle$ A $:$ $H\to$ K $}$ 은(는) 쌍방향인 경우 반일원적이고 $A:H\to K$

\langle A\Psi,A\Phi \rangle =\langle \Psi,\Phi \rangle ^{*}=\langle \Pi,\Psi \rangle .

유니터리 변환 $U:H\to K$ 가 주어지면 $U:H\to K$ → $U:H\to K$ {\ $displaystyle U:$ 힐베르트 공간 $사이$ 의 $U:H\to K$ H $\to$ K $},$ 정의

{\displaystyle {\begin{aligned}T_{U}:\mathbf {P}(H)&\to\mathbf {P}(K)\{\underline {\Psi}}&\\underline {U\Psi}}\\end{aligned}}}에 매핑합니다.

이것은 대칭 변환입니다. 그 이후로

{\displaystyle T_{U}{\밑줄 {\Psi}}\cdot T_{U}{\밑줄 {\Phi}}={\frac {\left \lang U\Psi,U\Phi \rangle \right}{\U\Psi \}}={\frac {\left \lang \Psi,\Phi \rangle \right}{\\Psi \}}{\\Psi \}}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}}.

같은 방식으로 힐베르트 공간 사이의 반유니온 변환은 대칭 변환을 유도합니다. $U:H\to K$ U $U:H\to K$ $U:H\to K$ → K ${\displaystyle$ U $:$ 힐베르트 공간 $사이$ 의 H $T:\mathbf {P} (H)\to \mathbf {P} (K)$ $to$ K $T:\mathbf {P} (H)\to \mathbf {P} (K)$ 는 $T=T_{U}$ $=$ $T=T_{U}$ U {\ $displaystyle$ T $=$ $T_{U} 또는$ 동등한 경우 $T:\mathbf {P} (H)\to \mathbf {P} (K)$ 공간 사이의 변환 $:P$ ( $)$ $→$ P ( $K) {\$ T:\mathbf {P} ( $H)\to \mathbf {P} (K)}$ 과 호환됩니다.

U\Psi \in T{\밑줄 {\Psi}}

모든 $\Psi \in H\setminus \{0\}$ ψ $\Psi \in H\setminus \{0\}$ ∈ H ∖ { $0}$ {\ $displaystyle$ \Psi $\Psi \in H\setminus \{0\}$ \in H\setminus \{0\}에 대해.

진술

위그너 정리는 위의 내용을 반대로 표현한 것입니다.^[12]

위그너 정리(1931) - $H$ $H$ 와 $H$ $K$ $K$ 가 $K$ 힐베르트 공간일 경우

T:\mathbf {P}(H)\to \mathbf {P}(K)

대칭 변환입니다. 그러면 단일 변환 또는 반단일 변환

V:H\to K

가

V:H\to K

합니다.

V:H\to K

→ K {\

displaystyle

V:

T

T

과(와) 호환되는 H

\to K}

입니다

T

\dim(H)\geq 2

⁡

(

)

이(

가)

≥

2

{\

V

\dim(

H

)\geq 2}인

경우

V {\displaystyle V}은(는) 단일 또는 반단일입니다.

\dim(H)=1

⁡

\dim(H)=1

H

)

\dim(H)=1

=

\mathbf {P} (H)

1 {\

displaystyle

\dim(H) =

1

}(및 P(

H)

{\displaystyle \mathbf {P}(H)} 및 P(K) {\displaystyle \mathbf {P}(K)}가 단일 점으로 구성된 경우 모든 단일

변환

U: H → K {\displaystyle U:

H\to K}

및 모든 반유니트

A:H\to K

A

A:H\to K

A:H\to K

→

A:H\to K

{\

displaystyle

A:

H\to K}

are compatible with

T

. If

V_{1}

and

V_{2}

are both compatible with

T

then

V_{1}=e^{i\alpha }V_{2}

for some

\alpha \in \mathbb {R}

증명은 Wigner(1931, 1959), Bargmann(1964), Weinberg(2002)에서 찾을 수 있습니다. 반통일적 변환은 물리학에서 덜 두드러집니다. 그것들은 모두 시간의 흐름의 방향을 뒤집는 것과 관련이 있습니다.^[13]

비고 1: 정리의 유일성 부분의 중요성은 $H$ ${\displaystyle$ H $}$ 위의 표현의 유일성 정도를 지정한다는 것입니다 $H$ 예를 들어, 다음과 같이 믿고 싶을 수 있습니다.

V\Psi = Ue^{i\alpha(\Psi )}\Psi,\alpha(\Psi )\in \mathbb {R},\Psi \in H\quad({\text{wrong},\alpha(\Psi ){\text{는 상수입니다.}})

$\alpha (\Psi )\neq \alpha (\Phi )$ ψ) ≠ α(φ) ${\displaystyle$ \alpha(\Psi)\n으로 허용됩니다. $⟨$ $\langle \Psi ,\Phi \rangle =0$ $ψ$ , $\langle \Psi ,\Phi \rangle =0$ $φ$ $\langle \Psi ,\Phi \rangle =0$ $⟩$ $=$ $\langle \Psi ,\Phi \rangle =0$ {\displaystyle \ $lang$ le \Psi,\Phi \rangle $=$ 0}에 대한 $eq$ \ $alpha(\Phi )}$ 이지만 정리에 따르면 그렇지 않습니다. 실제로 이러한 $V$ ${\displaystyle$ V $}$ 은(는) 추가되지 않습니다 $V$ .

비고 2: $T$ $T$ 을 $T$ (를) 유니터리 연산자로 표현해야 하는지 안티유니터리 연산자로 표현해야 하는지 여부는 토폴로지에 의해 결정됩니다. $\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {P} H)=\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {P} K)\geq 1$ $\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {P} H)=\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {P} K)\geq 1$ ⁡ $PH$ ) $\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {P} H)=\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {P} K)\geq 1$ = $딤$ C ⁡(PK) ≥ 1 {\displaystyle \dim _{\mathbb {C}}(\mathbb {P} H) =\dim _{\mathbb {C}}(\mathbb {P} K)\geq 1}, 두 번째 코호몰로지 $H^{2}(\mathbb {P} H)$ ${\displaystyle$ H $^{2}(\mathbb {P} H)}$ 에는 (모든) 복소 사영 라인 $L\subset \mathbb {P} H$ ⊂ $PH {\displaystyle$ L $\subset \mathbb$ {P} H}에 대해 고유한 생성기 $c_{\mathbb {P} H}$ $C_{\mathbb {P$ H $}$ 가 있습니다. $하나$ 는 $c_{\mathbb {P} H}\cap [L]=\deg _{L}(c_{\mathbb {P} H}|_{L})=1$ $c_{\mathbb {P} H}\cap [L]=\deg _{L}(c_{\mathbb {P} H}|_{L})=1$ ∩ [L] = $c_{\mathbb {P} H}\cap [L]=\deg _{L}(c_{\mathbb {P} H}|_{L})=1$ $c_{\mathbb {P} H}\cap [L]=\deg _{L}(c_{\mathbb {P} H}|_{L})=1$ ⁡ $c_{\mathbb {P} H}\cap [L]=\deg _{L}(c_{\mathbb {P} H}|_{L})=1$ (c $c_{\mathbb {P} H}\cap [L]=\deg _{L}(c_{\mathbb {P} H}|_{L})=1$ L) = 1 ${\displaystyle c_{\mathbb$ {P} H}\cap [L]=\deg _{L}(c_{\mathbb {P} H}_{L}) = 1}입니다. T {\displaystyle T}는 동형이므로, $T^{*}c_{\mathbb {P} K}$ also generates $H^{2}(\mathbb {P} H)$ and so we have $T^{*}c_{\mathbb {P} K}=\pm c_{\mathbb {P} H}$ . If ${\displaystyle U:$ $T_{U}^{*}c_{\mathbb {P} K}=c_{\mathbb {P} H}$ $\to$ K $}$ 는 유니터리이고, $T_{U}^{*}c_{\mathbb {P} K}=c_{\mathbb {P} H}$ $∗$ c P $T_{U}^{*}c_{\mathbb {P} K}=c_{\mathbb {P} H}$ $=$ c PH {\ $displaystyle T_$ {U $}^{*}c_{\mathbb$ {P} K} $=$ c_{\mathbb {P} H}인 반면, $A:$ H $→$ K {\displaystyle A: $H\to K}$ 는 반선형이고 $T_{A}^{*}c_{\mathbb {P} K}=-c_{\mathbb {P} H}$ $∗$ c P $T_{A}^{*}c_{\mathbb {P} K}=-c_{\mathbb {P} H}$ $=$ - c $PH$ {\ $displaystyle T_$ {A $}^{*}c_{\mathbb$ {P} K} $=$ -c_{\mathbb {P} H}입니다.

비고 3: 위그너의 정리는 사영기하학의^[15] 기본 정리와 밀접한 관련이 있습니다.

표현 및 투영 표현

$만약$ G가 대칭군이고 (이 후자의 의미에서 광선 공간에 작용하는 계의 대칭군의 부분군으로 포함되는 것), $만약$ f, $g,$ $h$ 가 $fg$ = $h$ 인∈ $G$ 라면,

T(f)T(g)=T(h),

$여기$ 서 T는 광선 변환입니다. 위그너 정리의 유일성 부분으로부터, 호환되는 대표자 $U$ 에 대하여,

U(f)U(g)=\omega (f,g)U(fg)=e^{i\xi (f,g)}U(fg),

여기서ω(f, g)는 위상 인자입니다.

$함수$ ω를 2-코사이클 또는 슈어 승수라고 합니다. 어떤 벡터 공간 $V$ 에 대하여 위의 관계를 만족시키는 $지도$ U $: G$ → $GL(V$ )을 사영 표현 또는 광선 표현이라고 합니다. ω $(f$ , g) = 1이면 표현이라고 합니다.

수학과 물리학의 용어가 다르다는 것에 주목해야 합니다. 연결된 글에서 투사적 표현이라는 용어는 의미가 조금 다르지만, 여기에 제시된 용어는 구성요소로 들어가 있고 수학 자체는 당연히 동일합니다. 대칭군인 $g$ = T( $g$ )의 실현이 단위 광선 $S$ → PH 공간에 대한 작용 측면에서 주어지면 수학적 의미에서 투영 표현 $G$ → $PGL(H)$ 인 반면 힐베르트 공간에서의 대표는 물리적 의미에서 투영 표현 G → GL(H)입니다.

제품 $fgh$ 에 마지막 관계(여러 번)를 적용하고 $H$ 에 대한 연산자 곱셈의 알려진 연관성에 호소하면 다음을 알 수 있습니다.

{\begin{aligned}\omega(fg,g)\omega(fg,h)&\omega(g,h)\omega(g,h)\omega(fg,gh),\\xi(fg,h)+\xi(g,h)&\xi(fg,h)\quad(\operatorname {mod} 2\pi).\end{align}}

그들은 또한 만족합니다.

{\begin{aligned}\omega(g,e)&=\omega(e,g)=1,\\xi(g,e)=\xi(e,g)=0\quad(\operatorname {mod} 2\pi),\\omega \left(g,g^{-1}\right)=\omega(g^{-1}\right)&\\xi \left(g,g^{-1}\right)=\xi(g^{-1}).\\\end{align}}

단계를 다시 정의하면,

U(g)\mapsto {\hat {U}}(g)=\eta (g)U(g)=e^{i\zeta (g)}U(g),

마지막 정리에 의해 허용되는 것을 발견합니다^[16]^[17].

{\begin{aligned}{\hat {\omega }}(g,h)&\omega(g,h)\eta(g)\eta(h)\eta(gh)^{-1},\{\hat {\xi }}(g,h)&=\xi(g,h)+\zeta(h)-\zeta(gh)\ quad(\operatorname {mod} 2\pi),\end{aligned}}

여기서 해트된 양은 다음과 같이 정의됩니다.

{\hat {U}}(f){\hat {U}}(g)={\hat {\omega }}(f,g){\hat {U}}(fg)=e^{i{\hat {\xi }}(f,g)}{\hat {U}}(fg).

위상 자유의 효용

다음과 같은 다소 기술적인 정리들과 더 많은 것들이 접근 가능한 증거들과 함께 바르그만(1954)에서 발견될 수 있습니다.

위상 선택의 자유를 사용하여 위상 인자를 단순화할 수 있습니다. 일부 그룹의 경우 단계를 완전히 제거할 수 있습니다.

정리 - $G$ 가 반단순하고 단순하게 연결되어 있으면ω (g, h) = 1이 가능합니다.

로렌츠 그룹과 그 하위 그룹의 회전 그룹 SO(3)의 경우, 투영 표현의 경우ω(g, h) = ± 1이 되도록 위상을 선택할 수 있습니다. 각각의 보편적 피복군인 SL(2,C)과 Spin(3)에 대해ω(g, h) = 1을 가질 수 있는 정리에 따르면 이들은 적절한 표현입니다.

단계의 재정의에 대한 연구는 그룹 코호몰로지를 포함합니다. $위$ 의 ω의 해트 버전과 비해트 버전과 관련된 두 가지 기능은 코호몰로지라고 합니다. 이들은 동일한 두 번째 코호몰로지 클래스에 속하며, 즉 $G$ 의 두 번째 코호몰로지 그룹인 H $(G)$ 에서 동일한 원소로 $표현$ 됩니다 $.$ $H ($ G)의 원소가 자명한 함수 ω = 0을 포함한다면, 이는 자명한 것이라고 합니다. 이 주제는 리 대수학과 리 대수학 코호몰로지 수준에서도 연구할 수 있습니다.^[19]^[20]

투영 표현 $g$ → T( $g$ )가 약하게 연속적이라고 가정하면, 두 개의 관련 정리를 말할 수 있습니다. (약한) 연속성의 즉각적인 결과는 아이덴티티 성분이 단일 연산자에 의해 표현된다는 것입니다.^{[nb 4]}

정리: (위그너 1939) — 위상 자유도를 사용하여 항등식의 일부 이웃에서 $맵$ g → $U (g$ )가 강하게 연속되도록 할 수 있습니다.

정리(Bargmann) — e의 충분히 작은 이웃에서 선택ω $(g$ , g) ≡ 1은 반단순 Lie $그룹$ (SO(n), SO(3,1) 및 아핀 선형 그룹(특히 Poincaré 그룹)에 대해 가능합니다. 보다 정확하게는, $G$ 의 리 $대수$ g의 두 번째 코호몰로지 군 $H 2$ ( $g,$ R $)$ 가 사소한 경우가 바로 이 경우입니다.^[21]

수정 및 일반화

위그너 정리는 순수한 상태의 힐베르트 공간 위의 자기 형태론에 적용됩니다. 카디슨과^[22]^[23] 사이먼의 정리는 혼합 상태의 공간(트레이스 클래스 양의 연산자)에 적용되며 대칭에 대한 약간 다른 개념을 사용합니다.^[24]^[25]

참고 항목

입자물리학과 표현이론

언급

^ 여기서 수퍼셀렉션 규칙의 가능성은 무시됩니다. 특정한 상태에서 시스템을 준비할 수 없는 경우일 수 있습니다. 예를 들어, 스핀이 다른 상태의 중첩은 일반적으로 불가능하다고 여겨집니다. 마찬가지로 전하가 다른 상태의 중첩인 상태는 불가능한 것으로 간주됩니다. 이러한 문제로 인한 경미한 합병증은 보고리우보프, 로구노프 & 토도로프(1975)에서 치료됩니다.
^ 여기에는 예외가 있습니다. 슈퍼선택 규칙이 유효한 경우, 위상은 $H$ {\ $displaystyle H}$ 의 어떤 섹터에 $\Psi$ ψ ${\displaystyle$ \Psi} 요소가 있는지에 따라 달라질 수 있습니다(Weinberg 2002, 페이지 53 참조).
^ 다시 한 번 예외가 있습니다. 슈퍼 셀렉션 규칙이 유효한 경우, 그 단계는 $H$ 의 어떤 섹터가 운영자가 행동하는지에 따라 달라질 수 있습니다(Weinberg 2002, p. 53 참조).
^ 이는 다음과 같이 그럴듯하게 만듭니다. 항등식 근처의 열린 이웃에서는 모든 연산자를 제곱으로 표현할 수 있습니다. 연산자가 단일 제곱인지 반단일인지 여부는 단일 제곱인지 여부입니다. 따라서 그들은 모두 충분히 작은 동네에서 단일합니다. 그런 동네가 정체성을 만들어냅니다.

메모들

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^ Weinberg 2002, 페이지 51
^ Bauerle & de Kerf 1990, p. 330 이것은 명시되어 있지만 증명되어 있지 않습니다.
^ 2002년 4월
^ Bauerle & de Kerf 1990, p. 346 이 공식에 오류가 있습니다.
^ ^a ^b Weinberg 2002, 페이지 82
^ Weinberg 2002, 부록 B, 2장
^ Bäuerle & de Kerf 1990, pp. 347–349
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