비가환 기하학
Noncommutative geometry비가환 기하학(NCG)은 비가환 대수에 대한 기하학적 접근과 함수의 비가환 대수에 의해 국소적으로 나타나는 공간의 구성과 관련된 수학의 한 분야이다.비가환대수는 곱셈이 가환적이지 않은 결합대수이다. {\ xy가 항상 x {\와 같지는 않다. 또는 보다 일반적으로 주이항 연산 중 하나가 가환되지 않는 대수구조이다. 또한 추가 구조를 허용한다.예를 들어, 위상이나 규범, 함수의 비가환 대수에 의해 전달될 수 있다.
항상 
비가환 공간에 대한 깊은 통찰력을 제공하는 접근방식은 연산자 대수(즉 힐버트 [1]공간에서 경계 선형 연산자의 대수)를 통해 이루어진다.아마도 비가환 공간의 전형적인 예 중 하나는 1980년대 이 분야의 초기 발전에 핵심적인 역할을 했고 벡터 번들, 연결, 곡률 [2]등의 비가환 버전으로 이어진 "비환 토리"이다.
동기
주된 동기는 공간과 함수 사이의 교환 이중성을 비교환적 설정으로 확장하는 것이다.수학에서, 본질적으로 기하학적인 공간은 그 위에 있는 숫자 함수와 관련이 있을 수 있다.일반적으로 이러한 함수는 교환링을 형성합니다.예를 들어 위상공간 X상의 연속복소값 함수의 링 C(X)를 취할 수 있다.대부분의 경우(예를 들어 X가 콤팩트한 하우스도르프 공간인 경우) C(X)에서 X를 복구할 수 있으므로 X가 교환 토폴로지를 가지고 있다고 하는 것이 타당합니다.
보다 구체적으로, 위상학에서 콤팩트 하우스도르프 위상 공간은 공간의 함수의 바나흐 대수(Gelfand-Naimark)로부터 재구성될 수 있다.가환 대수 기하학에서 대수 체계는 국소적으로 교환 단수 링(A. Grotthendick)의 주요 스펙트럼이며, 모든 준분리 X(\ X는 O })의 준연속성 단층 범주(\displaystyle O_X}) - 모듈(P 가브리엘-A)의 체계까지 재구성할 수 있다.로젠버그).그로텐디크 토폴로지의 경우 사이트의 코호몰로지 특성은 추상적으로 토포스로 보는 집합 단의 해당 범주의 불변량이다(A. 그로텐디크).이 모든 경우에, 공간은 함수의 대수 또는 그 분류된 버전에서 재구성된다. 즉, 공간에 있는 일부 범주의 단층이다.
O 
준연속성 단층 범주(\위상 공간상의 함수는 곱하여 점 단위로 가산할 수 있으므로 교환대수를 형성할 수 있습니다.실제로 이러한 연산은 기저 공간의 토폴로지에서 국소적이기 때문에 함수는 기저 공간에 걸쳐 교환환 다발을 형성합니다.
비가환기하학의 꿈은 이 이중성을 비가환대수, 또는 비가환대수의 다발, 또는 다발과 같은 비가환대수 또는 연산자-대수 구조, 그리고 특정한 종류의 기하학적 실체 사이의 이중성으로 일반화하고, 그러한 v의 대수적 및 기하학적 기술 사이의 상호작용을 주는 것이다.이 이중성입니다.
가환환들은 통상적인 아핀 체계에 대응하고, 가환 C*-대수는 통상적인 위상 공간에 대응한다는 점에서, 비가환환과 대수로 확장하려면 위상 공간을 "비가환 공간"으로 단순하지 않은 일반화가 필요하다.이 때문에 비변환 토폴로지에 대한 이야기도 있지만 이 용어에는 다른 의미도 있습니다.
수리 물리학에서의 응용
입자물리학의 일부 응용은 항목 비가환 표준 모델과 비가환 양자장 이론에 설명되어 있습니다.물리학에서 비가환 기하학에 대한 관심이 갑자기 높아진 것은 1997년 [3]M 이론에서의 그것의 역할에 대한 추측이 있은 후이다.
에르고딕 이론으로부터의 동기 부여
기술적 수준에서 비가환 기하학을 다루기 위해 Alain Connes에 의해 개발된 이론의 일부는 오래된 시도, 특히 에르고드 이론에 뿌리를 두고 있다.에르고딕 군 작용이 확장된 종류의 균질한 공간이 될 가상 부분군 이론을 만들자는 조지 맥키의 제안은 이제 받아들여졌다.
비변환 C*-대수, 폰 노이만 대수
비변환 C*-대수의 (공식) 이중은 현재 비변환 공간이라고 불립니다.이것은 Gelfand 표현과 유사합니다.Gelfand 표현은 가환 C*-대수가 로컬 콤팩트 하우스도르프 공간에 대해 이중임을 나타냅니다.일반적으로 토폴로지 공간 δ를 임의의 C*대수에 관련지을 수 있습니다.C*대수의 스펙트럼을 참조해 주세요.
γ-확정 측정 공간과 교환 폰 노이만 대수의 이중성에 대해, 비교환 폰 노이만 대수를 비교환 측정 공간이라고 한다.
비가환 미분 다양체
매끄러운 리만 다양체 M은 많은 여분의 구조를 가진 위상 공간이다.연속 함수 C(M)의 대수에서 우리는 위상적으로만 M을 회복한다.리만 구조를 회복하는 대수적 불변량은 스펙트럼 트리플이다.이것은 매끄러운 벡터 다발 E over M, 예를 들어 외부 대수 다발로 구성된다.E의 정사각형 적분 가능 단면의 힐버트 공간2 L(M, E)은 곱셈 연산자에 의한 C(M)의 표현을 포함하며, 우리는 정류자 [D, f]가 평활할 때마다 경계가 되도록 콤팩트 분해능(예를 들어 시그니처 연산자)을 가진 L(M, E)의2 무한 연산자 D를 고려한다.최근의 심층[4] 정리에 따르면 리만 다양체로서의 M은 이 데이터로부터 회복될 수 있다.
이는 [D, a]가 일부 치밀한 하위 지형의 모든 것에 대해 경계가 있을 정도로 콤팩트 분해능과 함께 힐버트 공간 H의 C*-대수 A와 H의 무한 연산자 D의 표현으로 구성된 스펙트럼 삼중(A, H, D)으로 비변환 리만 다양체를 정의할 수 있음을 시사한다.스펙트럼 트리플에 대한 연구는 매우 활발하며, 비가환 다양체의 많은 예가 구성되었다.
비가환 아핀 및 투영 방식
아핀 체계와 교환환 사이의 이중성과 유사하게, 우리는 비교환 아핀 체계 범주를 연관 단수환 범주의 이중으로 정의한다.이러한 아핀 스킴을 보다 일반적인 오브젝트에 붙일 수 있도록, 그 컨텍스트에는 Zariski topology의 특정의 유사점이 있습니다.
또한 Serre on Proj의 정리를 모방한 교환 등급 고리의 원뿔과 Proj의 일반화도 있다.즉, 교환 등급 대수의 Proj에 대한 O 모듈 준성 단의 범주는 유한 길이의 등급 모듈의 Serre 하위 범주 위에 국재된 등급 모듈의 범주와 동등하다. 또한 대수가 노에테르일 때 일관성 단에 대한 유사한 정리가 있다.이 정리는 마이클 아틴과 J. J.[5] 장에 의해 비가환 투영 기하학의 정의로 확장되었으며, 그들은 또한 몇 가지 일반적인 고리 이론 조건(예: 아르틴-슐터 규칙성)을 추가하였다.
투영 스킴의 많은 속성은 이 컨텍스트로 확장됩니다.예를 들어 Artin과 [6]Zhang의 비가환 투영 체계에 대한 유명한 Serre 이중성의 유사점이 존재한다.
A. L. 로젠버그는 준정밀 시브와 평탄한 국부 [7]함수의 범주 측면에서 체계와 커버의 형태론에 대한 그로텐디크의 연구를 추상화하면서 (기본 범주에 걸쳐) 다소 일반적인 준정밀 스킴의 상대적 개념을 만들었다.국소화 이론을 통한 또 다른 흥미로운 접근법이 있는데, Fred Van Oystaeyen, Luc Willaert 및 Alain Verschoren이 주요 개념이다.[8][9]
비가환 공간에 대한 불변량
이 이론의 동기 부여 질문 중 일부는 알려진 위상 불변량을 비가환(연산자) 대수 및 다른 대체물과 비가환 공간에 대한 후보자의 공식 이중으로 확장하는 것과 관련이 있다.비교환 기하학에서 알랭 콘의 방향의 주요 출발점 중 하나는 비교환적 연관 대수와 비교환적 연산자 대수에 관련된 새로운 호몰로지 이론, 즉 순환 호몰로지 및 대수적 K-이론과의 관계(주로 코네스-체른 문자 지도를 통해)를 발견한 것이다.
매끄러운 다양체의 특성 클래스 이론은 연산자 K 이론과 순환 코호몰로지의 도구를 사용하여 스펙트럼 트리플로 확장되었다.현재 고전적인 지수 정리의 몇 가지 일반화를 통해 스펙트럼 트리플에서 수치 불변량을 효과적으로 추출할 수 있다.순환 코호몰로지의 기본 특성 클래스인 JLO 코사이클은 고전적인 체른 특성을 일반화합니다.
비가환 공간의 예
- 양자역학의 위상공간 공식화에서 고전역학의 심플렉틱 위상공간을 위치 및 운동량 연산자에 의해 생성된 비교환 위상공간으로 변형한다.
- 비가환 표준 모델은 입자 물리학 표준 모델의 제안된 확장입니다.
- 일반 토러스의 함수 대수의 변형인 비가환 토러스는 스펙트럼 트리플의 구조를 얻을 수 있다.이 등급의 예는 집중적으로 연구되어 더 복잡한 상황에 대한 테스트 사례로 기능하고 있다.
- 스나이더 공간[10]
- 비가환 대수는 분절에서 발생한다.
- 연속 분수에 대한 가우스 이동과 같은 수 이론에서 발생하는 동적 시스템과 관련된 예는 흥미로운 비가환 기하학을 가진 것으로 보이는 비가환 대수를 발생시킨다.
「 」를 참조해 주세요.
인용문
- ^ Khalkhali & Marcoelli 2008, 페이지 171.
- ^ Khalkhali & Marcoelli 2008, 페이지 21
- ^ Connes, Alain; Douglas, Michael R; Schwarz, Albert (1998-02-05). "Noncommutative geometry and Matrix theory". Journal of High Energy Physics. 1998 (2): 003. arXiv:hep-th/9711162. Bibcode:1998JHEP...02..003C. doi:10.1088/1126-6708/1998/02/003. ISSN 1029-8479. S2CID 7562354.
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레퍼런스
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추가 정보
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외부 링크
- Micho Durjevich의 양자 기하학
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- Masson, Thierry (2006). "An informal introduction to the ideas and concepts of noncommutative geometry". arXiv:math-ph/0612012. (아직은 기술적인 도입이 용이함)
- arxiv.org의 비가환 기하학
- MathOverflow, 비가환 기하학 이론
- Mahanta, Snigdhayan (2005). "On some approaches towards non-commutative algebraic geometry". arXiv:math/0501166.
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- 비가환 기하학 및 입자 물리학
