페르마의 원리

최소한의 시간의 원리로도 알려져 있는 페르마의 원리는 광선과 파동 광학의 연결고리다.원래의 "강력한" 형태에서 페르마의 원리는 주어진 두 지점 사이의 광선에 의해 취해지는 길은 최소한의 시간 안에 이동할 수 있는 길이라고 말한다.^[1]모든 경우에 참이 되려면 "최소" 시간을 경로의 변동에 관한 "정지적" 시간으로 대체하여, 경로의 편차가 기껏해야 횡단 시간에 2차적인 변화를 일으키도록 함으로써 이 문장은 약화되어야 한다.느슨하게 말하면, 광선 경로는 매우 가까운 시간에 횡단할 수 있는 가까운 경로로 둘러싸여 있다.이러한 기술적 정의는 가시선이나 좁은 보의 경로와 같은 보다 직관적인 광선 개념에 해당한다는 것을 보여줄 수 있다.

1662년 프랑스의 수학자 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)가 빛의 일반적인 굴절 법칙을 설명하는 수단(그림 1)으로 처음 제안한 페르마의 원리는 자연에 지식과 의도를 귀속시키는 것 같아 처음에는 논란이 일었다.19세기가 되어서야 비로소 대체 경로를 시험하는 자연의 능력은 파도의 근본적인 속성에 불과하다는 것을 이해하게 되었다.^[2]A와 B 지점이 주어지면 A에서 확장되는 파전선이 B를 통과하든 그렇지 않든 A에서 방사되는 모든 가능한 광선 경로를 휩쓸게 된다.파전선이 B 지점에 도달하면 A에서 B까지의 광선 경로뿐만 아니라 동일한 엔드포인트를 가진 인근 경로의 무정도를 쓸어버린다.페르마의 원리는 B 지점에 도달하는 어떤 광선도 기술하고 있다; 그 광선이 가장 빠른 길을 "새로" 가거나 그 길을 "내부"한다는 의미는 없다.

통과 시간을 비교하기 위해, 한 지점에서 다음 지명 지점까지의 시간을 마치 첫 번째 지점이 포인트 소스인 것처럼 취한다.^[3]이러한 조건이 없다면 통과 시간은 모호할 것이다. 예를 들어, P에서 P까지의 전파 시간이 P를 포함하는 임의의 파동전면 W(그림 2)에서 계산된 경우, 그 시간은 파동전선을 적절히 각지게 하여 임의로 작게 만들 수 있다.

경로의 점을 원천으로 취급하는 것은 후이겐스의 원칙의 최소 요건이며, 페르마 원리에 대한 설명의 일환이다.그러나 후이겐스가 자신의 원리를 적용하려 했던 기하학적 구조(원리 그 자체와 구별되는 것)는 그야말로 페르마의 원리를 발동시킨 것임을 보여 줄 수도 있다.^[4]따라서 Huygens가 그 구성에서 도출한 모든 결론들, 즉 빛, 보통 반사, 보통 굴절의 직선 전파 법칙과 "아이슬랜드 결정"(계산)의 비상한 굴절 법칙을 포함, 제한 없이, 또한 페르마의 원리에 따른 결과들이다.

파생

충분한 조건

다음과 같이 가정해 보자.

1. 교란은 매질(진공 또는 일부 물질, 반드시 균질 또는 등방성이 아닌 것)을 통해 먼 곳에서 작용하지 않고 순차적으로 전파된다.
2. 어떤 다른 부분 B에서 길의 B가 A에서 소동이 지체 버전 무수한 받는 무궁,;-LSB- 참고를 통해도록 어떤 지점에서 소동 originating 도착 전파 중 장애의 중간 지점 P를 둘러싼 점에서 영향(마치 P소슸다),은 0이 아닌 각도다. 1해결과
3. 이러한 지연된 교란 버전은 어느 정도 허용 범위 내에서 동기화할 경우 B에서 서로 보강될 것이다.

그러면 A에서 B까지의 다양한 전파 경로가 해당 공차 내에서 통과 시간이 일치한다면 서로 도움이 될 것이다.작은 공차(제한 사례에서)의 경우, 경로의 변동 허용 범위는 경로의 이동 시간이 변동에 대해 정지되어 있어 경로의 변동이 최대 2차 시간 변경을 야기하는 경우 최대치로 극대화된다.^[5]

통과 시간에서 역점성의 가장 분명한 예는 (로컬 또는 글로벌) 최소, 즉 페르마의 원칙의 "강력한" 형태에서와 같이 최소 시간의 경로다.그러나 그 조건은 논쟁에 필수적인 것이 아니다.^{[Note 2]}

고정된 횡단 시간의 경로가 인접 경로의 최대 광폭 회랑에 의해 강화된다는 것을 확립한 후, 우리는 이 강화가 어떻게 광선의 직관적인 개념에 부합하는지 설명할 필요가 있다.그러나 설명의 간결성을 위해 우선 광선 경로를 고정된 통과 시간의 경로로 정의하자.

신호 경로로서의 광선(가시선)

A에서 B까지의 광선 경로를 보강하는 경로의 통로가 실질적으로 방해되는 경우, 이는 그러한 통로 바깥의 유사한 크기의 방해물과 달리 A에서 B에 도달하는 교란을 유의하게 변화시킬 것이다. 즉, 서로 보강하지 않는 차단 경로가 그것이다.이전의 방해물은 A로부터 B에 도달하는 신호를 상당히 방해하는 반면, 후자는 그렇지 않으므로, 광선 경로는 신호 경로를 표시한다.신호가 가시광선일 경우, 이전의 방해물은 B의 관찰자가 보는 것처럼 A의 물체의 외관에 유의하게 영향을 미치는 반면, 후자는 그렇지 않다. 따라서 광선 경로는 가시선을 표시한다.

광학 실험에서 시선은 일상적으로 광선 경로로 가정된다.^[6]

에너지 경로로서의 광선(빔)

A에서 B까지의 광선 경로를 보강하는 경로의 통로가 상당히 막히면, 그러한 통로를 벗어난 유사한 크기의 방해물과 달리^{[Note 3]} A에서 B에 도달하는 에너지에 상당한 영향을 미칠 것이다.따라서 광선 경로는 에너지 경로(빔처럼)를 표시한다.

A 지점에서 확장되는 파전선이 A 지점에서 B 지점까지의 광선 경로에 있는 P 지점을 통과한다고 가정합시다.정의에 따르면, 파형 전선의 모든 포인트는 A로부터 동일한 전파 시간을 가진다.이제 파도는 P를 중심으로 한 창을 제외하고는 차단하고, A에서 B까지의 광선 경로를 보강하는 경로의 복도 내에 놓여 있을 만큼 작다.그러면 전면의 방해받지 않는 부분의 모든 지점은 거의 충분히 B에 동일한 전파 시간을 가지지만 다른 방향으로의 지점은 가지지 않기 때문에 B는 창을 통해 승인된 빔의 피크 강도 방향에 있게 될 것이다.^[7]그래서 그 광선 경로는 빔을 표시한다.그리고 광학 실험에서 빔은 일상적으로 광선의 집합체 또는 (좁은 경우) 광선에 대한 근사치로 간주된다(^[8]그림 3

유사점

페르마의 원리의 "강력한" 형태에 따르면, 더 빠른 전파의 매개체에서 A지점에서 더 느린 전파의 매개체 B지점까지 광선의 경로를 찾는 문제(그림 1)는 가능한 한 빨리 익사하는 수영선수에게 도달하기 위해 물 속으로 들어갈 곳을 결정할 때 인명구조원이 직면한 문제와 유사하다.구조대원이 수영할 수 있는 속도보다 더 빨리 달릴 수 있다는 ^[9]정맥그러나 그러한 비유는 조명의 행동을 설명하는 데 미치지 못한다. 왜냐하면 구조대원이 문제를 생각할 수 있기 때문이다(한순간만이라도). 반면에 빛은 아마도 그럴 수 없을 것이다.개미가 비슷한 계산을^[10] 할 수 있다는 발견은 애니메이트와 무생물 사이의 간격을 메우지 못한다.

이와는 대조적으로 위의 가정 (1) ~ (3)은 어떤 와벨리케 교란을 지탱하고 있으며, 지식이나 목적을 귀책하지 않고 순수하게 기계론적인 용어로 페르마의 원리를 설명한다.

이 원리는 유체에서는 음파, 고형에서는 탄성파 등 일반적으로 파도에 적용된다.^[11]변형된 형태에서는 물질파에도 작용한다: 양자역학에서는 입자의 고전적 경로를 관련 파형에 적용함으로써 얻을 수 있다. 단, 주파수가 경로에 따라 다를 수 있기 때문에 역소성은 위상 편이(또는 사이클 수)에 있으며, 반드시 그 시간에 있는 것은 아니다.^[12][13]

그러나 페르마의 원리는 가시광선의 경우 가장 친숙하다: 광선의 관점에서 특정 광학현상을 기술하는 기하학적 광학설과 빛이 파동으로 이루어져 있다는 가설에서 같은 현상을 설명하는 빛의 파동설의 연결이다.

Huygens의 건축에 대한 동등성

이 글에서는 여행 물결에 의해 교차되는 모든 지점이 제2의 물결의 근원이 된다는 Huygens의 원리와 아래에 기술된 Huygens의 건설을 구별한다.

표면 W를 시간 t에서 파동전선이 되게 하고, 표면 W′은 나중에 t + Δt에서 동일한 파동전선이 되도록 한다(그림 4).P를 W의 총점으로 삼자.그렇다면, Huygens의 건설에 따르면,^[14]

1. W′는 W의 앞쪽에 있는 모든 2차 파동 Δt의 봉투(공통 탄젠트 표면)이며, 각각은 W의 한 지점에서 시간 Δt로 확장된다.
2. 시간 P 지점에서 팽창하는 2차 파동전선이 P 지점에서 표면 W′에 닿으면 P와 P′가 광선에 놓여 있다.

1차 파선의 연속적인 위치와 광선의 연속적인 지점을 찾기 위해 이 공사를 반복할 수 있다.

이 공사에 의해 주어지는 레이 방향은 2차 파선의 방사형 방향이며, 2차 파선의 정상(cf)과 다를 수 있다.^[15]그림 2), 따라서 접선 지점에 있는 1차 파선의 정상으로부터.따라서 광속도는 크기와 방향에서 최소 2차 파선의 방사상 속도이며 일반적으로 위치와 방향의 함수다.^[16]

이제 Q는 W에 P에 가까운 포인트가 되게 하고 Q는 P에 가까운 포인트가 되게 한다.그럼, 공사에 의해,

1. P로부터 2차 파형이 Q to에 도달하는 데 걸리는 시간은 변위 PqQ′에 대한 2차 의존도를 기껏해야 가진다.
2. 2차 파전선이 Q에서 P taken에 도달하는 데 걸리는 시간은 변위 PQ에 대한 2차 의존도를 기껏해야 가진다.

(i) by, ray path는 P에서 W′^[17]까지의 정지 통과 시간의 경로, (ii) by는 W에서 P′^[18]까지의 지점에서 정지 통과 시간의 경로다.

그래서 Huygens의 구조는 전선의 연속적인 위치들 사이의 정지된 횡단 시간의 경로로서 광선을 암묵적으로 정의하는데, 이 시간은 전선의 포인트 소스에서 계산된다.^{[Note 4]}이 결론은 비교가 영향 경로와 파장 영향을 받는 부분으로 제한되는 경우, 이차 파장 프레트가 매체 속성의 불연속 표면에 의해 반사되거나 굴절되는 경우 유효하다.^{[Note 5]}

그러나 페르마의 원리는 파장 대 파장 대 파장 용어가 아닌 점 대 점 용어로 통상적으로 표현된다.따라서, 시간 t에서 표면 W가 되고, 나중에 표면 W가 되는 파형 전선이 시간 t + Δt에서 점 A에서 방출된다고 가정하여 예를 수정해보자.P를 W에 점(이전과 같이), B를 W에 점으로 한다.그리고 A, W, W, B를 주어 P를 찾는 것이 문제가 되도록 하게 한다.

만약 P가 Huygens의 구성을 만족시켜 P로부터 2차 파선이 B에서 W to에 접선되도록 한다면 PB는 W에서 B까지의 정지 통과 시간의 경로다.A에서 W로 고정된 시간을 더하면 APB는 페르마의 원칙에 따라 A에서 B로(아마도 위에서 언급한 것과 같이 비교의 제한된 영역을 가지고 있을 것이다)까지의 정지 통과 시간의 경로임을 알게 된다.W′가 B에 잘 정의된 접선 평면을 가지고 있다면, 이 주장은 역방향에서도 마찬가지로 잘 통한다.따라서 Huygens의 구조와 페르마의 원리는 기하학적으로 동등하다.^{[19][Note 6]}

이 등가성을 통해 페르마의 원리는 하이겐스의 건설을 지탱하고 그 후 하이겐스가 그 건설에서 끌어낼 수 있었던 모든 결론을 도출한다.요컨대, "지오메트 광학의 법칙은 페르마의 원리에서 파생될 수 있다."^[20]페르마-후이겐스 원칙 자체를 제외하면, 이러한 법률은 미디어에 대한 추가적인 가정에 의존한다는 점에서 특별한 경우다.그 중 두 가지가 다음 표제 아래에 언급되어 있다.

특례

등방성 매체:웨이브프론트에 정상인 광선

등방성 매체에서, 전파 속도는 방향과 독립적이기 때문에, 주어진 최소 시간 내에 1차 파선의 지점에서 확장되는 2차 파동프론은 구형이기 때문에,^[16] 이들의 반지름은 접선 지점에서 공통 접선 표면에 정규적이다.그러나 그들의 반지름은 광선 방향을 표시하고, 그들의 공통 접선 표면은 일반적인 파동선이다.따라서 광선은 파도에 대해 정상(직교)이다.^[21]

광학 교육의 많은 부분이 등방성 매체에 집중되어 비등방성 매체를 선택적 주제로 다루기 때문에, 사실 페르마의 원리는 더 일반적이지만,^[22] 그 가정 하에서 페르마의 원리가 설명될 정도로 광선이 파동성 매체에 일반적이라는 가정이 널리 퍼질 수 있다.

균질 매체:직선 전파

균일한 매체( 균일한 매체라고도 함)에서 주어진 시간 내에 주어진 1차 파동 전면 W에서 확장되는 모든 2차 파동 FRONT는 일치하고 이와 유사하게 지향적이므로, 이들의 봉투 WT는 중심(원본)이 W 위로 이동하는 동안 방향을 유지하는 단일 2차 파동 전선의 포락선으로 간주할 수 있다.P가 W와 접선점인 동안 P가 그것의 중심인 경우, P가 P에 평행하게 움직여서 P에서 W에 접선하는 평면이 P에서 W에 접선하는 평면에 평행하게 된다.또 다른 (불합치하고 유사하게 방향화된) 2차 파전선은 P를 중심으로 움직이게 하고, P 지점에서 그것의 봉투 W″을 맞도록 한다.그런 다음, 같은 추리에 의해 P at에서 W″에 접하는 평면은 다른 두 평면에 평행하게 된다.따라서 조합성 및 유사한 방향 때문에 레이 방향 PP pp과 PpP″은 동일하다(그러나 2차 파동파가 반드시 구형인 것은 아니기 때문에 웨이브프론트에 반드시 정상인 것은 아니다).이 공사는 몇 번이고 반복할 수 있어, 어떤 길이든 일직선으로 볼 수 있다.따라서 균일한 매체는 직선을 허용한다.^[23]

모던 버전

굴절률 면에서의 제형

경로 γ을 지점 A에서 지점 B까지 연장한다.A의 경로를 따라 측정한 호 길이가 되도록 하고, 이 호 길이를 광 ${\displaystyle {속도\mathrm{}}_{}}$ $v{\displaystyle {}_{}}$r {\$displaystyle$v_{\$mathrm{r}}}}}($즉, 국소 이차 파형의 방사상 속도에서 경로의 각 위치와 방향에 대해)로 이송하는 데 걸리는 시간이 되도록 한다.그러면 전체 경로 γ의 통과 시간은 다음과 같다.

$${\displaystyle T=\int _{A}^{B}\!dt=\int _{A}^{B}{\frac {ds}{\,v_{\mathrm {r}\},}}}$$

(1)

(여기서 A와 B는 단순히 엔드포인트를 나타내며 t 또는 s의 값으로 해석되지 않아야 한다.)γ이 광선 경로가 되는 조건은 γ의 변화에 따른 T의 1차적 변화가 0, 즉,

이제 주어진 경로의 광학 길이(광학 경로 길이, OPL)를 국소 광속도로 주어진 경로를 통과하는 데 걸리는 것과 동시에 균일한 등방성 기준 매체(^[24]예: 진공)에서 광선이 통과하는 거리로 정의합시다.그 다음 c가 기준 매체의 전파 속도(예: 진공에서 빛의 속도)를 나타내는 경우, dt에서 가로지른 경로의 광학 길이는 dS = cdt이고, 시간 T에서 가로지른 경로의 광학 길이는 S = cT이다. 그래서 (1)부터 c까지 곱하면, 우리는

여기서 ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle c}$ = c /${\displaystyle {v\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle r{}_{}}$ $displaystyle \,n_{\mathrm {r} }=c/v_{\mathrm {r}}\,}은($는) 광 지수, 즉 일반적인$$ 위상 속도(파형 정규 속도) 대신 광 속도에 대해 계산된 굴절 지수다.^[25]최소 경로에 ${\displaystyle \mathrm{대해서}}$는 d $S{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ r ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s_{}}$, ${\$이(가) 있어 광학 길이가 선 지수에 곱한 물리적 길이임을 알$$ 수 있다. 즉, OPL은 공칭 기하학적 양이며, 이때부터 시간이 인수되었다.OPL 면에서는 γ이 레이 경로(Fermat의 원리)가 되는 조건이 된다.

$${\displaystyle \delta S=\delta \int_{A}^{B}\!n_{\mathrm {r}\,ds=0.}$$

(2)

이것은 고전 역학에서 마우퍼투이 원리의 형태를 띠고 있으며(단일 입자에 대한) 광학에서 광학에서 광학 지수가 역학에서 운동력이나 속도의 역할을 한다.^[26]

광속도가 위상 속도인 등방성 매체에서 우리는 통상적인 굴절률 n을 n으로_r 대체할 수 있다.^{[Note 7]}

해밀턴의 원리와의 관계

x,y,z가 데카르트 좌표이고 과도가 s에 대한 분화를 나타내는 경우, Fermat의 원칙(2)을^[29] 쓸 수 있다.

등방성 매질의 경우 n을_r 단순히 스칼라장(scalar field)인 정상 굴절률 n(x,y,z)으로 대체할 수 있다.그렇다면 광학 라그랑지안을^[30]페르마의 원리는 다음과^[31] 같다. 만일 전파 방향이 항상 s 대신 z를 경로의 매개변수로 사용할 수 있다면(그리고 s 대신에 w.r.t. z를 구별하기 위한 과로) 광학 라그랑지안을 대신^[32] 쓸 수 있다. 그래서 페르마의 원칙이이것은 고전 역학에서 해밀턴의 원리의 형태를 띠고 있는데, 다만 시간 차원이 누락된 것을 제외하면 광학에서 세 번째 공간 좌표는 역학에서 시간의 역할을 담당한다.^[33]광학 라그랑지안은 경로의 매개변수 w.r.t.를 통합할 때 OPL을 산출하는 기능이다; 그것은 라그랑지안과 해밀턴 광학의 기초가 된다.^[34]

역사

페르마 대 카르테시아인

만약 광선이 직선을 따라간다면, 그것은 분명히 최소 길이의 길을 택한다.알렉산드리아의 영웅은 그의 카토프트릭스 (CE 1세기)에서 평면 표면에서 반사되는 일반적인 법칙은 광선의 총 길이가 최소라는 전제에서 따온다는 것을 보여주었다.^[36]1657년, 피에르 드 페르마트는 마린 쿠레아우 데 라 샹브르로부터 새로 출판된 논문 사본을 받았는데, 라 샹브르는 히어로의 원리에 주목했고 굴절에는 효과가 없다고 불평했다.^[37]

페르마트는 빛이 최소 저항의 길을 택한다고 가정하면 굴절이 같은 틀로 들어올 수도 있고, 다른 매체들이 서로 다른 저항을 제공한다고 대답했다.1662년 1월 1일 라 샹브르에 보낸 편지에서 설명한 그의 궁극적인 해결책은 "저항"을 속도에 반비례하는 것으로 해석하여 빛이 최소한의 시간의 길을 택했다.빛이 광학적으로 더 밀도가 높은 매체에서 더 느리게 움직인다면, 그 전제는 일반적인 굴절의 법칙을 산출했다.^{[38][Note 8]}

페르마의 해법은 당시 알려진 기하학적 광학 법칙을 변이 원리나 작용 원리로 통일하여 고전 역학에서 최소 작용 원리와 다른 분야에서 대응하는 원리의 선례를 세웠다는 점에서 획기적인 것이었다(물리학에서 변이 원리의 역사 참조).^[39]경사에 대한 일반적인 표현(파생상품)을 찾는 중간 단계 없이 ^[40]무한히 짧은 화음의 경사가 0인 지점을 찾는 것으로 되돌아보면 알 수 있는 적정성 방법을 사용했기 때문에 더욱 두드러졌다.

이 역시 즉각 논란이 됐다.일반적인 굴절의 법칙은 당시 레네 데카르트(1650년)에게 귀속되었는데, 그는 빛이 순간적으로 전파되는 힘이라고 가정하여 설명하려 했거나, 빛이 보다 밀도가 높은 매체에서 더 빠른 속도로 이동하는 테니스 공과 유사하다고 가정했을 때,^[41][42] 페르마트와 일치하지 않는 어느 하나의 전제가 있었다.데카르트의 가장 뛰어난 수비수인 클로드 클로드 클라셀리에르는 페르마트가 분명히 자연에 대한 지식과 의도를 가지고 있으며, 자연이 왜 거리보다 시간을 절약하는 것을 선호해야 하는지를 설명하지 못하고 있다고 비판했다.Clorselier는 부분적으로 다음과 같이 썼다.

1. 그대가 증명하는 근거로 삼는 원리, 즉 자연은 항상 가장 짧고 간단한 방법으로 작용한다는 것은 단지 도덕적인 원리에 지나지 않고 육체적인 원리에 지나지 않는다; 그것은 자연에서 어떤 효과의 원인이 되지 않고 또 될 수 없다....그렇지 않으면 우리는 지식을 자연에 귀속시킬 것이다. 그러나 여기서 우리는 "자연"에 의해, 선견지명이 없고, 선택권이 없으며, 필요한 결단에 의해 행동하는 이 질서와 세상에 확립된 이 법칙만을 있는 그대로 이해한다.

2. 이와 같은 원리가 자연을 절대적으로 만들 것이다...부탁인데...한 줄기 빛이 희귀한 매체의 한 지점에서 밀도 있는 한 지점으로 지나가야 할 때, 만약 당신의 원리에 의해, 만약 그것이 구부러진 선과 동시에 직선을 선택해야 한다면, 자연이 주저할 이유가 없는가, 왜냐하면 만약 후자가 시간이 짧다는 것을 증명한다면, 전자는 길이가 짧고 간단하기 때문이다.누가 결정하고 누가 발음할 것인가?^[43]

페르마트는 자기 자신의 원리의 기계론적 토대를 알지 못한 채 순전히 기하학적, 운동학적 명제를 제외하고는 그것을 방어할 수 있는 위치에 잘 배치되어 있지 않았다.^[44][45]페르마트가 죽은 해에 로버트 후크가 처음 제안하고,^[46] 이그나이스-가스턴 파르디스와^[47] (특히) 크리스티아안 후이겐스가 급격히 개선한 빛의 파동 이론에는 필요한 기초가 들어 있었지만,^[48] 이 사실에 대한 인식은 의외로 느렸다.

후이겐스의 감독

Huygens는 반복적으로 그의 이차 파동들의 봉투를 운동의 종식이라고 언급했는데,^[49] 이는 후기 파동 전선이 소동이 주어진 시간 안에 도달할 수 있는 외경이며,^[50] 따라서 후기 파동 전선의 각 지점이 도달될 수 있는 최소 시간이라는 것을 의미한다.그러나 그는 최소 시간의 방향이 2차 소스에서 접선 지점까지라고 주장하지 않았다. 대신, 그는 초기 파도의 일정한 범위에 해당하는 공통 접선 표면의 범위에서 광선 방향을 추론했다.^[51]그가 페르마의 원리를 유일하게 지지한 것은 범위가 제한적이었다: 광선이 파도에 정상적인 일반 굴절의 법칙을 도출한 후이겐스는 이 법칙에 따라 굴절된 광선이 최소한의 시간 동안 길을 간다는 기하학적 증거를 제시했다.^[52][53]만약 그가 평범한 굴절의 법칙뿐만 아니라 직선적 전파와 일반적 반성의 법칙(페르마트의 원칙에서도 따르는 것으로 알려짐)을 추론했던 것과 같은 공통 접선적 구성에서 직접 최소한의 원리가 따른다는 것을 알았다면, 그리고 이것이 필요하다고는 거의 생각하지 않았을 것이다.이전에 알려지지 않았던 비정상적인 굴절의 법칙 - 광선이 일반적으로 파도에 비스듬하다는 결과와 함께 구면보다는 구면체였던 2차 파장 파장을 이용한 마지막 법칙.마치 후이겐스가 자신의 건설이 페르마의 원칙을 함축하고 있다는 것을 눈치채지 못한 것 같았고, 그 원칙의 예외를 발견했다고 생각하는 것 같았다.앨런 E가 인용한 원고 증거. 샤피로는 휘겐스가 최소 시간의 원리를 "파도 전선에 광선이 정상적이지 않은 이중 굴절에서" 무효라고 믿었다는 것을 확인하는 경향이 있다.^{[54][Note 9]}

샤피로는 17~18세기 '후이겐스의 원리'를 받아들인 유일한 당국자, 즉 필리프 드 라 렌트, 데니스 파핀, 고트프리드 빌헬름 라이프니즈만이 이전에 알려진 기하학적 o의 법칙과 같은 방식으로 '아이클랜드 결정'(계산)의 비상한 굴절을 설명했기 때문에 그렇게 했다고 추가로 보고한다.pttics.^[55] 그러나 당분간은 페르마의 원리에 상응하는 연장이 눈에 띄지 않게 되었다.

라플라스, 영, 프레스넬, 로렌츠

1809년 1월 30일,^[56] 그의 원생 에티엔-루이 말루스의 작업에 관한 보고에서 피에르 시몬 라플레이스는 석회석의 비범한 굴절은 모페르투이스의 최소 작용 원리의 도움으로 체외 빛 이론에 의해 설명될 수 있다고 주장했다: 거리와 관련된 속도의 본질은 최소한이었다.이 원리를 만족시킨 분자속도는 후이겐스의 스피드로이드 반경이 준 광속도의 역수에 비례했다.라플레이스는 계속 다음과 같이 말했다.

Huygens에 따르면, 수정에서 이 특별한 광선의 속도는 단순히 스피로이드의 반지름으로 표현된다. 결과적으로 그의 가설은 최소 작용의 원리에 부합하지 않는다. 그러나 그것은 페르마의 원리에 동의한다는 것이 주목할 만하다. 즉, 빛이 수정 없이 주어진 지점에서 통과한다는 것이다.가능한 최소 시간 내에 주어진 지점. 속도 표현을 반전시키면 이 원칙이 최소 조치의 원칙과 일치한다는 것을 쉽게 알 수 있기 때문이다.^[57]

라플레이스의 보고서는 부분적으로 다음과 같이 쓴 토마스 영의 광범위한 반박의 주제였다.

페르마의 원리는 비록 그 수학자가 가상적, 아니 심지어 상상적 근거에 입각하여 가정하였지만, 사실은 비통행적 운동에 관한 근본 법칙이며, 분명히 후이게니아 이론의 모든 결정의 기초가 된다...라플라스 씨는 그가 비교하는 두 가지 이론 중 하나에서 가장 본질적인 원리를 이해하지 못하고 있는 것 같다; 그가 말하길, "놀랍다"고 하기 때문에, 특별한 굴절의 화이겐 법칙이 페르마의 원리에 동의하는 것으로, 만약 그 법칙이 즉각적인 결과라는 것을 알았더라면, 그는 거의 관찰하지 못했을 것이다.원칙^[58]

사실 라플레이스는 페르마의 원리가 등방성 매체에서 비등방성 매체로의 굴절의 경우 후이겐스의 구성에서 따른다는 것을 알고 있었다; 1810년에 인쇄된 라플레이스의 보고서의 긴 버전에 기하학적 증거가 포함되어 있었다.^[59]

영의 주장은 라플레이스의 주장보다 더 일반적이었고, 마찬가지로 광선이 일반적으로 파도에 수직이 아닌 특이한 굴절의 경우에도 페르마의 원칙을 지지했다.그러나 불행히도 영이 인용한 단락의 생략된 중간 문장은 "모든 굴절의 동작은 반드시 그 표면에 수직인 방향으로 진행되어야 한다..."(강조 추가)고 시작되어 명확성보다는 혼란을 야기할 수밖에 없었다.

이중 굴절(Freshnel, 1827년)에 관한 아우구스틴-지안 프레스넬의 '제2회 회고록'에는 이러한 혼란이 가라앉지 않는데, 이 책은 여러 곳에서 페르마의 원리를 다루고 있으며, 광선이 파도에 이르는 일반 사례에서 파도에 이르는 일반 사례까지 이어진다.(다음 요약에서 페이지 번호는 알프레드 W를 참조한다. 홉슨의 번역)

• 비등방성 결정 쐐기(pp. 291–2)의 한 면에 평행 발생 시 평면 파형의 굴절의 경우, 쐐기의 다른 면 너머의 관측 지점에서 "첫 번째 광선이 도착함"을 찾기 위해서는 결정 바깥의 광선을 파동선에 정상으로 취급하고, 결정 안에서는 평행 와브론트만 고려하는 것으로 충분하다.에프론트(레이 방향 변경).그래서 이 경우 프레스넬은 완전한 광선 경로를 추적하려 하지 않는다.^{[Note 10]}
• 다음으로 프레스넬은 표면의 A 지점을 통해 결정 내부의 점원 M에서 외부 관측점 B로 굴절된 광선을 고려한다(pp. 294–6).Huygens의 구조에 따르면, B를 통과하고 "먼저 도착하는 소동의 중심"에 의해 주어진 표면은 "가장 빠른 도착의 광선 AB"로 정상이다.그러나 이 구조는 수정 안에 있는 "파동의 표면"(즉, 이차 파동전면)에 대한 지식이 필요하다.
• 그런 다음, 그는 비구형 2차 파형을 가진 매체로 전파되는 평면 파형을 고려하는데, 이는 Huygens의 건설에 의해 주어진 광선 경로(이차 파선의 원천에서 후속 1차 파선과 접선 지점까지)가 1차 파형에 정상적이지 않도록 하는 것이다(p. 296).그는 이 길이 그럼에도 불구하고 이전의 1차 파도에서 접선 지점까지 "소란의 가장 빠른 도착 경로"라는 것을 보여준다.
• 이후 표제 (p. 305)에서 그는 "가장 빠른 도착의 경로를 결정하는 Huygens의 건설"이 어떤 형태의 2차 파동에도 적용 가능하다고 선언한다.이어 그는 우리가 휘겐스의 구조를 2차 전선으로 굴절시키는 2차 전선으로 된 수정으로 적용하고, 접선의 두 지점에서 2차 전선의 중심까지 선을 그릴 때 "가장 빠른 도착의 두 가지 경로의 방향을 가질 것이며, 그 결과 보통과 비범한 광선의 방향을 가질 것"이라고 언급한다.
• "Ray라는 단어의 정의"(p. 309)라는 제목 아래, 그는 이 용어가 2차 파형의 중심을 표면의 한 지점에 결합하는 선에 적용되어야 한다고 결론짓는다.
• 그는 "새로운 고려사항"(pp. 310–11)으로서, 만약 평면파선이 E점을 중심으로 한 작은 구멍을 통과한다면, 결과 빔의 최대 강도의 방향 ED는 E에서 시작하는 2차파가 "그곳에 먼저 도착"하는 방향이며, 2차 파동은 구멍의 반대쪽에서(동일파)가 되는 방향 E가 될 것이라고 언급한다.E)에서 nt는 서로 "동시에 D에 도착"한다.이 방향은 어떤 파동전선에 대해서도 정상이라고 가정하지 않는다.

따라서 프레스넬은 비등방성 매체에서도 Huygens의 건설에 의해 주어진 광선 경로는 평면의 연속적인 위치 또는 파동 전선을 이탈하는 위치 사이의 최소 시간의 경로이며, 광속도는 단위 시간 이후의 2차 "파동 표면"의 반지름이며, 정지된 통과 시간이 최대 방향을 설명한다는 것을 보여주었다.광선 강도그러나, Huygens의 건설과 페르마의 원칙 사이의 일반적인 동등성을 확립하기 위해서는 포인트 대 포인트 용어로 Fermat의 원칙을 더 깊이 고려할 필요가 있었을 것이다.

헨드릭 로렌츠(Hendrik Lorenz)는 1886년에 쓰여지고 1907년에 다시 출판된 논문에서 Huygens의 건설에서 점 대 점 형태의 최소 시간의 원리를 추론했다.^[60]그러나 그의 주장의 본질은 에테르와 에테르 끌기에 대한 명백한 의존에 의해 다소 가려졌다.

로렌츠의 작품은 1959년 아드리아안 J. 데 비테에 의해 인용되었는데, 그 후 그는 "본질적으로는 같지만, 보다 설득력 있고 보다 일반적이라고 생각된다"는 자신의 주장을 제시했다.De Witte의 치료법은 비록 2차원에 한정되어 있지만, 그 묘사가 제안할 수 있는 것보다 더 독창적이다; 그것은 Huygens의 구조와 페르마의 원리가 광선 경로에 대해 동일한 미분 방정식을 이끌어 낸다는 것을 보여주기 위해 변동의 미적분학을 사용하며, 페르마의 원리의 경우, 그 반전이 유지된다는 것을 보여준다.드 비테도 이 문제가 교과서에서 다루지 못한 것 같다고 지적했다.^[61]

참고 항목

메모들

참조

참고 문헌 목록

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• J. Chaves, 2016, Nonimaging 광학 소개, 2차 Ed, Boca Raton, FL: CRC Press, ISBN 978-1-4822-0674-6.
• O. Darrigol, 2012, 광학의 역사: 그리스 고대부터 19세기 옥스포드까지 ISBN 978-0-19-964437-7.
• A.J. de Witte, 1959, "Huygens의 원리와 광선 기하학의 페르마의 원리의 동일성", American Journal of Physics, vol. 27, no. 5 (1959년 5월), 293–301, doi:10.1119/1.1934839.에라타:그림 7(b)에서 "선"의 각 인스턴스는 "정상"이어야 한다(권 27, 번호 6, 페이지 387 참조).
• E. Frankel, 1974년 "중굴 굴절 이론의 탐색: Malus, Laplace 및 가격[sic] 경쟁 1808", 센타우루스, 18권, 3권(1974년 9월), 223–245 페이지, doi:10.11/j.1600-0498.198.14.tb00298.x.
• 1827년 A. 프레넬, "Mémoire sur la double réfraction", Mémoires de l'Academie Royale des Science de l'Institut de France, vol.VII (1824년, 인쇄 1827년), 페이지 45–176; "제2의 메무어"로 다시 인쇄.오거스틴 프레스넬의 ""에브레스의 "." 2권 (파리:임프레미어 임페리알레, 1868), 페이지 479–596; A.W.에 의해 번역되었다.홉슨은 R에서 "복수 굴절의 추억"으로 묘사되었다.테일러(ed.), 과학 회고록 V권(London:Taylor & Francis, 1852년), 페이지 238–333. (케이티드 페이지 번호는 번역본에서 가져온 것이다.)
• C. Huygens, 1690년, S.P.에서 번역한 특성 드 라 루미에르 (Leiden: Van der Aa)톰슨 애즈 트리시즈 온 라이트; 프로젝트 구텐베르크, 2005. (cited page number가 1912년 판과 구텐베르크 HTML 판과 일치한다.)
• P. Mihas, 2006년, "역사적 자원의 사용을 통한 굴절, 렌즈, 무지개의 아이디어 개발", 과학 교육, 제 17권, 제 7권(2008년 8월), 페이지 751–777(2006년 9월 6일 온라인), doi:10.1007/s11191-006-9044-8.
• I. Newton, 1730, Opticks: 또는, Reflections of the Reflections, Refraction, Inflections 및 Colors of the Light, 4번째 Ed. (런던:1730년 William Innys; Project Gutenberg, 2010년); A에 의해 Foreword로 재출판되었다.아인슈타인과 E.T.의 소개휘태커(런던:조지 벨 & 선즈, 1931년); I.B.의 추가 서문으로 재인쇄되었다.D.H.D.별 코헨 및 분석 목차롤러, 마이놀라, 뉴욕: 도버, 1952년, 1979년(서문 개정), 2012년. (케이티드 페이지 번호는 구텐베르크 HTML 판과 도버 판과 일치한다.)
• A.I. Sabra, 1981, 빛의 이론: 데카르트에서 뉴턴까지 (런던:Oldbourne Book Co., 1967), 1981년, ISBN 0-521-28436-8.
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추가 읽기

• A. Bhatia (26 March 2014), "To save drowning people, ask yourself 'What would light do?'", Nautilus, retrieved 7 August 2019.
• J.Z. Buchwald, 1989, The Rise of the Wave Theory of the Light, 19세기 초 광학 이론과 실험, 시카고 프레스 대학교, ISBN 0-226-07886-8, 특히 페이지 36–40.
• M.G. Katz; D.M. Schaps; S. Shnider (2013), "Almost Equal: the method of adequality from Diophantus to Fermat and beyond", Perspectives on Science, 21 (3): 283–324, arXiv:1210.7750, Bibcode:2012arXiv1210.7750K, doi:10.1162/POSC_a_00101.
• M.S. 마호니(1994), 피에르 드 페르마의 수학 경력 1601–1665, 제2 에드 프린스턴 대학 출판부, ISBN 0-691-03666-7.
• R. 마르퀴스; F. 마틴; M.Sorolla, 2008년(2013년 재인쇄), 음수 매개변수가 있는 메타물질: 이론, 디자인, 마이크로파 어플리케이션, 호보켄, NJ: 와일리, ISBN 978-0-471-74582-2.
• J.B. 펜드리 및 D.R. 스미스(2004), "부정 굴절로 빛 반전", 물리학 오늘, 57(6): 37–43, doi:10.1063/1.1784272.