에카우스 방정식

수학 물리학에서 Eckhaus 방정식(또는 Kundu-Eckhaus 방정식)은 비선형 슈뢰딩거 등급 내의 비선형 부분 미분 방정식이다.^[1]

i\properties _{t}+\put _{x}+2\좌측(\cHB ^{2}\right)_{x}\,\cHB + \cHB ^{4}\,\cHB =0).

이 방정식은 위키터 에크하우스와 안잔 쿤두(Anjan Kundu)에 의해 독립적으로 도입되어 분산형 매체에서의 파장의 전파를 모형화하였다.^[2]^[3]

선형화

Eckhaus 방정식의 파형포켓 용액 애니메이션.파란색 선은 해결책의 실제 부분이고, 빨간색 선은 가상의 부분이고 검은색 선은 파동 봉투(절대 값)이다.Eckhaus 방정식에 대한

|\psi (x,t)|

봉투

|\psi (x,t)|

(

|\psi (x,t)|

, t

|\psi (x,t)|

)

displaystyle \psi (x,t)

|\varphi (x,t)|

}

의 비대칭성을 주목하십시오.

|\varphi (x,t)|

반면 선형 Schrödinger 방정식에 대한 해당 솔루션의 봉투 φ

|\varphi (x,t)|

(

|\varphi (x,t)|

,

|\varphi (x,t)|

displaysty \varphi (x,

t)

}

은 대칭입니다(

x

{\displaystystyx

}).패킷 속의 짧은 파장은 긴 파장보다 더 빨리 전파된다.

선형 Schrödinger 방정식의 파장 용액 애니메이션 - 에크하우스 방정식에 대한 위의 애니메이션과 일치한다.파란색 선은 해결책의 실제 부분, 빨간색 선은 가상의 부분, 검은색 선은 파동 봉투(절대 값), 녹색 선은 파동 패킷 봉투의 중심이다.

Eckhaus 방정식은 선형 Schrödinger 방정식으로 선형화할 수 있다.^[4]

i\varphi _{t}+\varphi _{xx}=0,

비선형 변환을 통해:^[5]

\varphi(x,t)=\lift(\int_{-\infit }^{-}x} \premy }\cHB(x^{\premy }t) \{2}\d}x^{\premyme}\rimepright.

역 변환은 다음과 같다.

\preme (x,t)={\frac {\varphi (x,t)}{-\int_{-\int_}{-\infit }{x} \varphi(x^{\premy }t) \{{d}x^{1/2}}.

이 선형화는 또한 에크하우스 방정식이 통합 가능하다는 것을 암시한다.

Ablowitz, M.J.; Ahrens, C.D.; De Lillo, S. (2005), "On a "quasi" integrable discrete Eckhaus equation", Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 12 (Supplement 1): 1–12, Bibcode:2005JNMP...12S...1A, doi:10.2991/jnmp.2005.12.s1.1
Calogero, F.; De Lillo, S. (1987), "The Eckhaus PDE iψ_t + ψ_xx+ 2( ψ ²)_x ψ + ψ ⁴ ψ = 0", Inverse Problems, 3 (4): 633–682, Bibcode:1987InvPr...3..633C, doi:10.1088/0266-5611/3/4/012
Eckhaus, W. (1985), The long-time behaviour for perturbed wave-equations and related problems, Department of Mathematics, University of Utrecht, Preprint no. 404.
일부 게시된 문서:
Kundu, A. (1984), "Landau–Lifshitz and higher-order nonlinear systems gauge generated from nonlinear Schrödinger-type equations", Journal of Mathematical Physics, 25: 3433–3438, Bibcode:1984JMP....25.3433K, doi:10.1063/1.526113
Taghizadeh, N.; Mirzazadeh, M.; Tascan, F. (2012), "The first-integral method applied to the Eckhaus equation", Applied Mathematics Letters, 25 (5): 798–802, doi:10.1016/j.aml.2011.10.021
Zwillinger, D. (1998), Handbook of differential equations (3rd ed.), Academic Press, ISBN 978 0 12 784396 4