표준 용량

양자 정보 이론에서, 양자 채널의 고전적 용량은 채널의 많은 사용 제한에서 고전적인 데이터를 오류 없이 전송할 수 있는 최대 속도입니다.Holevo, Schumacher 및 Westmoreland는 양자 ${\mathcal {N}}$ N $(\$ 의 클래식 용량에 대해 다음과 같은 최소 상한을 입증했습니다.

\displaystyle \chi({\mathcal {N})=\max _{\rho ^{XA}}I(X;B)_{\mathcal {N}}(\rho)}}}

$\rho ^{XA}$ 서 $(\$ ) $A}}$ 은 $\rho ^{{XA}}$ 다음 형식의 고전 양자 상태입니다.

\displaystyle \rho ^{XA}=\sum _{x}p_{X}(x)\vert x\rangle \vertle x\vert ^{X}\otimes \rho _{x}^{A}}}

$p_{X}(x)$ X $p_{X}(x)$ ( $p_{X}(x)$ ) { $displaystyle$ p $_$ { $X$ } ( $x$ )는 $p_{X}(x)$ 확률분포입니다. $\rho _{x}^{A}$ $\rho _{x}^{A}$ A $\rho _{x}^{A}$ { \ $displaystyle \rho$ _ { $x$ }^{A $}$ 는 $\rho _{x}^{A}$ ${\mathcal {N}}$ N $(\$ 에 입력할 수 있는 밀도 연산자입니다.

시퀀셜 디코딩을 사용한 실현 가능성

우리는 HSW 코딩 정리(양자 채널을 통해 고전적인 데이터를 통신하기 $위한$ Hallvo $I(X;B)$ 속도 I $(X$ B $)$ 의 $I(X;B)$ 달성 가능성에 대한 기술)를 간략히 검토한다.우리는 먼저 정리에 필요한 최소한의 양자역학을 검토한다.그런 다음 우리는 양자 전형성을 다루고, 마지막으로 최근의 순차적 디코딩 기술을 사용하여 정리를 증명한다.

양자역학 리뷰

HSW 코딩 정리를 증명하기 위해서는 양자역학에서 몇 가지 기본적인 것만 있으면 됩니다.첫째, 양자 상태는 단위 트레이스이며 밀도 연산자로 알려진 양의 연산자입니다. $\sigma$ , $「\displaystyle\rho$ $「\displaystyle\sigma$ $「\displaystyle\omega$ $\omega$ 으로 나타냅니다.양자 채널의 가장 단순한 모델은 고전 양자 채널로 알려져 있습니다.

(\displaystyle x\mapto\rho_{x}).}

위의 표기법의 의미는, 송신측에서 고전 $문자$ x $(\displaystyle$ x $)$ 를 $x$ 입력하면, 수신측에서 양자 상태 $\rho _{x}$ x $(\$ _ ${x})$ 가 $\rho _{{x}}$ 되는 것입니다.송신자의 입력을 결정하기 위한 측정을 실행하는 것은 수신자의 작업입니다.상태 $\rho _{x}$ x {\ $displaystyle \rho$ _ ${x}}$ 가 $\rho _{{x}}$ 서로 완전히 구별되는 $\mathrm {Tr} \,\left\{\rho _{x}\rho _{x^{\prime }}\right\}=0$ ( $\mathrm {Tr} \,\left\{\rho _{x}\rho _{x^{\prime }}\right\}=0$ , T $\mathrm {Tr} \,\left\{\rho _{x}\rho _{x^{\prime }}\right\}=0$ r { $\mathrm {Tr} \,\left\{\rho _{x}\rho _{x^{\prime }}\right\}=0$ x $\mathrm {Tr} \,\left\{\rho _{x}\rho _{x^{\prime }}\right\}=0$ $= 0$ { \ $displaystyle$ \ $mathrm$ { $Tr }$ , \ $left$ \ $rho _$ 0 $=\$ primeaming } )}) $x\neq x^{\prime }$ 를 선택하면 채널이 노이즈가 없는 채널입니다 $.$ 우리는 그렇지 않은 상황에 관심이 있다.상태 $\rho _{x}$ x ( \ $displaystyle \rho$ _ { $x$ } )가 $\rho _{x}$ 모두 서로 통근하는 것이 사실이라면 이는 사실상 클래식 채널의 상황과 동일하기 때문에 우리도 이러한 상황에 관심이 없습니다.따라서 우리가 관심을 갖는 상황은 x $(\$ 의 $\rho _{{x}}$ 지원이 중복되어 교환적이지 않은 경우입니다.

양자측정을 설명하는 가장 일반적인 방법은 양의 연산자 값 측정(POVM $\left\{\Lambda _{m}\right\}_{m}$ 입니다.통상 POVM의 $\left\{\Lambda _{m}\right\}_{m}$ 를 {\ $displaystyle \left\{\Lambda$ _ ${m}\right\}_{m$ _ $\left\{\Lambda _{m}\right\}_{m}$ m}}로 나타냅니다.이러한 오퍼레이터는 유효한 POVM을 형성하기 위해 긍정성과 완전성을 충족해야 합니다.

\displaystyle \Lambda _{m}\geq 0\\\\\forall m}

\displaystyle \sum _{m}\Lambda _{m}=I.}

양자역학의 확률론적 해석은 POVM $\left\{\Lambda _{m}\right\}$ { $}$ 에 $대응$ 하는 측정장치를 사용하여 양자상태 $\rho$ { $displaystyle \rho$ $}$ 를 $\rho$ 측정하면 p $p\left(m\right)$ m $)\$ $\left\{\Lambda _{m}\right\}$ p $\left(m$ $\$ $right)$ 결과를 $p\left(m\right)$ 얻을 $p\left(m\right)$ p( $)$ 라고 기술한다. $\displaystyle$ m은 다음과 같습니다 $m$ .

\displaystyle p\left(m\right)= 텍스트{Tr}}\left\{\Lambda_{m}\rho\right\}

측정 후 상태는

{\displaystyle \rho _{m}^{\prime}=p\left(m\오른쪽)}{\sqrt {Lambda _{m}}\rho {sqrt {Lambda _{m}}},

측정자가 $결과$ m $displaystyle$ m을 얻을 경우.이러한 규칙은 cq 채널을 통한 기존 통신 방식을 검토하기에 충분합니다.

양자 전형성

독자는 일반적인 서브스페이스에 관한 기사에서 이 주제에 대한 좋은 리뷰를 찾을 수 있습니다.

점잖은 연산자 약어

다음 부칙은 우리의 증거에 중요하다.이는 평균적으로 높은 확률로 성공한 측정이 평균적으로 상태를 크게 방해하지 않는다는 것을 보여줍니다.

Lemma: [겨울] 앙상블 $\left\{p_{X}\left(x\right),\rho _{x}\right\}$ { $\left\{p_{X}\left(x\right),\rho _{x}\right\}$ X ( $\left\{p_{X}\left(x\right),\rho _{x}\right\}$ ), $\left\{p_{X}\left(x\right),\rho _{x}\right\}$ , $\left\{p_{X}\left(x\right),\rho _{x}\right\}$ $}$ { $displaystyle$ \ left \ { $p _$ { x \ $right },$ \ $rho$ _ { $x}$ $\left\{p_{X}\left(x\right),\rho _{x}\right\}$ \ $\rho \equiv \sum _{x}p_{X}\left(x\right)\rho _{x}$ $\left\{p_{X}\left(x\right),\rho _{x}\right\}$ \} ( $\rho \equiv \sum _{x}p_{X}\left(x\right)\rho _{x}$ 밀도 연산자 $\rho \equiv \sum _{x}p_{X}\left(x\right)\rho _{x}$ p $\rho \equiv \sum _{x}p_{X}\left(x\right)\rho _{x}$ {\ {\ {\ ${\$ {\ {\ {\ {\ {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $style$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p p p \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $I\geq \Lambda \geq 0$ succeeds with high probability on the state $\rho$ :

디스플레이 스타일Tr}}\left\{\Lambda\rho\right\}\geq 1-\epsilon .}

다음으로 하위 정규화된 상태 ${\sqrt {\Lambda }}\rho _{x}{\sqrt {\Lambda }}$ ${\sqrt {\Lambda }}\rho _{x}{\sqrt {\Lambda }}$ x ${\sqrt {\Lambda }}\rho _{x}{\sqrt {\Lambda }}$ { $displaystyle$ { $sqrt$ { $Lambda }}$ \ $rho$ _ { x $\rho _{x}$ $}$ { \ sqrt { $Lambda }$ }는 ${\sqrt {\Lambda }}\rho _{x}{\sqrt {\Lambda }}$ 원래 $\rho _{x}$ $\rho _{x}$ x $\rho _{x}$ { \ $displaystyle$ \ $rho _$ { $x$ }} 에 근접합니다.

\mathbb {E} _{\left\} \rt {\sqrt {\Lambda }} \rho _{X} \right _{1} \right \} \leq 2 \ sqrt \ sepsilon }

( $\left\Vert A\right\Vert _{1}$ ( \ $displaystyle \ left$ \ $Vert$ A \ $right$ \ $Vert$ _ ${$ } )는 $\left\Vert A\right\Vert _{1}$ $연산자$ A { \ $displaystyle$ A }의 $A$ 핵규범이므로 $\left\Vert A\right\Vert _{1}\equiv$ 1 ${\$ \ $displaystyle$ \ $\$ A \ $right$ \ $equiv$ ） Tr $\left\Vert A\right\Vert _{1}\equiv$ $\left\{{\sqrt {A^{\dagger }A}}\right\}$ $\left\{{\sqrt {A^{\dagger }A}}\right\}$ $\left\{{\sqrt {A^{\dagger }A}}\right\}$ $\left\{{\sqrt {A^{\dagger }A}}\right\}$ \ \ \ A \ \ \\\ \ \ \ \ \A \ equal \ $display$ style $($ 。

다음 불평등은 우리에게도 유용하다.0 、 0 $0\leq \rho ,\sigma ,\Lambda \leq I$ $0\leq \rho ,\sigma ,\Lambda \leq I$ 、 $0\leq \rho ,\sigma ,\Lambda \leq I$ 、 0 $0\leq \rho ,\sigma ,\Lambda \leq I$ 、 0 \ $leq$ \ $rho$ 、 \ $sigma$ 、 \ $Lambda$ $\sigma$ $\Lambda$ $0\leq \rho ,\sigma ,\Lambda \leq I$ $0\leq \rho ,\sigma ,\Lambda \leq I$ operators operators operators operators operators operators operators operators operators operators $operators$ （ \ $displaystyle$ \ $rho$ $\rho$ $。$

디스플레이 스타일Tr}}\left\{\Lambda\rho\right\leq\text{Tr}}\left\{\Lambda\sigma\right\}+\left\Vert \rho - \sigma \right \Vert _{1}.}

(1)

위의 부등식에 대한 양자 정보 이론적 해석은 상태 ${\$ 에 작용하는 양자 측정에서 $\Lambda$ {\(\ $displaystyle \rho)$ 를 $\Lambda$ $\rho$ 얻을 확률은 $\sigma$ {\(\ $displaystyle \Lambda)$ 에서 $\Lambda$ da(\displaystyle \lambda $)$ 를 $\Lambda$ 얻을 확률에 의해 상한을 갖는 것이다 $.$ $playstyle \sigma }$ summed with the distinguishability of the two states $\rho$ and $\sigma$ .

비가환 결합 결합 결합

레마: [센이 간다]다음 바운드는 0 $≤$ \ $displaystyle 0$ \ $Tr\left\{\sigma \right\}\leq 1$ $leq$ \ sigma $0\leq \sigma$ } $Tr\left\{\sigma \right\}\leq 1$ $Tr\left\{\sigma \right\}\leq 1$ \ $displaystyle$ Tr $\ left$ \ { \ $sigma$ \ right \ } \ $leq$ 1 $Tr\left\{\sigma \right\}\leq 1$ $\Pi _{N}$ {\ {\ {\ {\1 ） $\Pi _{1}$ $0\leq \sigma$ {\ {\ {\ {\ {\ {\ $1$ $\sigma$ 、 \ $displaystyle$ \ $Pi _$ { { } $）$ 。 $Tr$ $Tr}}\left\{\sigma\right\}-{\text{$ $Tr}}\left\{\$ $Pi _{N}\cdots \Pi _{1}\cdots \Pi _{N}\right\}\leq 2grt {sum _{i=1}^{N}{\text{\text}$ $Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{i}\right)\sigma \right\}}}$

Sen의 결합은 확률론에서 다음과 같은 결합과 유사하기 때문에 "비교환 결합 결합"이라고 생각할 수 있다.

\displaystyle \Pr \left(A_{1}\cap \cdots\cap A_{N}\right)^{c}\right\}=\Pr \left\{A_{1}^{c}\cup \cdots \cup A_{N}^{c}\right\}\leq \sum _{i=1}^N}\Pr \left\{A_{i}^{c}\right\}

$A_{1},\ldots ,A_{N}$ 1, $A_{1},\ldots ,A_{N}$ $A_{1},\ldots ,A_{N}$ $(\$ 은 $A_{1},\ldots ,A_{N}$ 이벤트입니다.프로젝터 로직과 유사한 바운드는 다음과 같습니다.

디스플레이 스타일Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{1}\cdots \Pi _{N}\cdots \Pi _{1}\right\}\leq \sum _{i=1}^{N}{\text{\text}Tr}}\left\{\left(I-\Pi_{i}\오른쪽)\rho\right\}

if we think of $\Pi _{1}\cdots \Pi _{N}$ as a projector onto the intersection of subspaces.단, 위의 경계는 프로젝터 $\Pi _{1}$ \ $Pi _{$ 1 $\Pi _{1}$ ...), $\Pi _{1}=\left\vert +\right\rangle \left\langle +\right\vert$ $(\$ _{ $N$ $})$ 이 $\Pi _{{N}}$ 통근하고 있는 경우(\ $displaystyle \Pi$ _{1} $=$ left\ $vert +\right$ \ $rangle \le$ \Left $）$ $ght\rangle \left\right\vert$ $\rho =\left\vert 0\right\rangle \left\langle 0\right\vert$ gh gh $= 0$ ${\$ { $display style$ \ $right \rangle 0$ \ $right$ \ $vert }$ gh gh gh gh gh gh gh gh $\rho =\left\vert 0\right\rangle \left\langle 0\right\vert$ gh gh 、 0 \ display style \ $rho$ = \ right $\rho =\left\vert 0\right\rangle \left\langle 0\right\vert$ \ right \ rangle 0 \ vert ）。만약 프로젝터가 작동하지 않는다면, 센이 가는 것이 차선책이고 우리의 목적에는 충분합니다.

비가환적 결합의 HSW 정리

우리는 이제 Sen의 비가환적 결합으로 HSW 정리를 증명한다.증명은 코드북 생성, POVM 구축, 오류 분석의 몇 가지 부분으로 나뉩니다.

코드북 세대먼저 Alice와 Bob이 임의의 코드 선택에 어떻게 동의하는지 설명합니다. $x\rightarrow \rho _{x}$ x $x\rightarrow \rho _{x}$ $x\rightarrow \rho _{x}$ ${\$ x ( \ $display style$ x \ $right arrow$ \ $rho$ _ { $x\rightarrow \rho _{x}$ x } )및 $x\rightarrow \rho _{x}$ $p_{X}\left(x\right)$ p $p_{X}\left(x\right)$ ( $p_{X}\left(x\right)$ ) ( $p_{X}\left(x\right)$ \ $display$ style $p$ _ { X $}$ \ $left$ ( $x$ \ $right )$ 가 있습니다.IID\ $p_{X^{n}}\left(x^{n}\right)$ p X n( $x$ n $)$ 에 따라 M $(\displaystyle$ M $)$ 의 $M$ 클래식 $x^{n}$ n $displaystyle$ x $^$ {n $x^{n}$ $})\$ left $(x^{n}\right$ 를 $M$ 합니다.선택 후 $\left\{x^{n}\left(m\right)\right\}_{m\in \left[M\right]}$ 로 $\left\{x^{n}\left(m\right)\right\}_{m\in \left[M\right]}$ 을 $\left\{x^{n}\left(m\right)\right\}_{m\in \left[M\right]}$ 합니다 $\left\{x^{n}\left(m\right)\right\}_{m\in \left[M\right]}$ \ $style$ M $]$ $right)\right\}_{m\in\left[M\right$ 이로 인해 다음과 같은 양자 코드워드가 생성됩니다.

\displaystyle \rho _{x^{n}\left(m\right)}=\rho _{x_{1}\left(m\right)}\otimes \cdots \rho _{n}\left(m\right)}.}

양자 코드북은 $\left\{\rho _{x^{n}\left(m\right)}\right\}$ { $\left\{\rho _{x^{n}\left(m\right)}\right\}$ $\left\{\rho _{x^{n}\left(m\right)}\right\}$ n ( $\left\{\rho _{x^{n}\left(m\right)}\right\}$ ) $}$ { $displaystyle \ left$ \ { \ $rho$ _ { x $\left\{\rho _{x^{n}\left(m\right)}\right\}$ ^ { $n$ } \ $left$ ( $m$ \ $right$ ) } \ $right$ 입니다.코드북의 평균 상태는 다음과 같습니다.

\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n} \rho _{X^{n} \right\}=\sum _{x^{n} p_{X^{n}\right)\rho _{x^{n}} \rho ^{nimes},

(2)

$\rho =\sum _{x}p_{X}\left(x\right)\rho _{x}$ 서 $\rho =\sum _{x}p_{X}\left(x\right)\rho _{x}$ $\rho =\sum _{x}p_{X}\left(x\right)\rho _{x}$ $\rho =\sum _{x}p_{X}\left(x\right)\rho _{x}$ ( x ) $\rho =\sum _{x}p_{X}\left(x\right)\rho _{x}$ { $displaystyle \rho$ = \ $sum$ _ { $x}p_{X}\left(x\right)\rho$ _ ${x$ 입니다.

POVM Construction . Sens'는 위의 레마에서 Bob이 Alice가 전송하는 상태를 디코딩하는 방법을 제안합니다.Bob은 먼저 "수신 상태가 일반적인 평균 서브스페이스에 있습니까?"라고 질문해야 합니다.이를 수행하려면 { $\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n},I-\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}$ , $\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n},I-\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}$ 、 $\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n},I-\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}$ 、 $\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n},I-\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}$ I - , $\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n},I-\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}$ 、 {\ $\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n},I-\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}$ $}$ { $displaystyle$ \left \ { \ \ \ \ $\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n},I-\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}$ 에 대응하는 일반적인 서브스페이스 측정을 수행합니다. $Pi$ _ ${\rho,\delta$ }^{ $n},I-\Pi$ _ ${\rho,\delta$ }^{ $n}\right$ 다음으로, 「 $m^{\text{th}}$ ${$ m $^{\text{th}}}}$ 의 $m^{{{\text{th}}}}$ 수신된 코드워드는, 「조건적으로 일반적인 서브 스페이스입니까?」라고 차례차례 묻습니다.이는 어떤 의미에서 "수신된 코드워드는 $m^{\text{th}}$ {\ $displaystyle$ m $^{\text{th}}}$ 이 $m^{{{\text{th}}}}$ (가) 전송된 코드워드입니까?"라는 질문과 동일합니다.이러한 질문은 조건부로 일반적인 $\left\{\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta },I-\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}$ 프로젝터에 대응하는 측정을 실행함으로써 실행할 수 있습니다.{ $\left\{\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta },I-\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}$ $\left\{\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta },I-\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}$ n $\left\{\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta },I-\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}$ $\left\{\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta },I-\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}$ ）、 $\left\{\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta },I-\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}$ 、 $\left\{\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta },I-\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}$ - $\left\{\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta },I-\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}$ $\left\{\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta },I-\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}$ n $\left\{\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta },I-\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}$ $\left\{\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta },I-\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}$ $\left\{\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta },I-\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}$ 、 $\left\{\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta },I-\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}$ { $display$ style \ $\left\{\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta },I-\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}$ \ { \ \ \ \ \ 。 $Pi$ _ ${\rho$ _ ${x^{n}\left(m\right)},\delta$ }, $I-\Pi$ _ ${\rho$ _{ $x^{n}\left(m\right)},\delta$ }\ $right$

이 시퀀셜 디코딩 방식이 제대로 작동해야 하는 이유는 무엇입니까?그 이유는 전송된 코드워드가 평균적으로 일반적인 서브스페이스에 존재하기 때문입니다.

\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\text{\text}Tr}}\left\{\Pi _{\rho,\rho}\rho _{X^{n}\right\}\right\}= 텍스트{Tr}}\left\{\Pi _{\rho},\delta}\\mathbb {E}_{X^{n}}\left\{\rho_{X^{n}}\right\}\right\}

\displaystyle = 텍스트{Tr}}\left\{\Pi _{\rho,\delta}\rho^{\otimes n}\right\}

\displaystyle \geq 1-\ilon,}

여기서 부등식은 (\ref{eq:1st-typ-prop})에서 나옵니다.또한 프로젝터 $\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }$ $\rho _{x^{n}\left(m\right)}$ $\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }$ $\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }$ n ( $\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }$ m $\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }$ ) , ${\$ { \ $rho _$ { \ $rho$ _ { $x$ $^$ { $n$ } \ $\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }$ $left$ ( $\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }$ $\rho _{x^{n}\left(m\right)}$ \ $\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }$ $right$ ) , \ $delta$ $\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }$ } $\rho _{x^{n}\left(m\right)}$ $\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }$ x $\rho _{x^{n}\left(m\right)}$ x $\rho _{x^{n}\left(m\right)}$ x x x $\rho _{x^{n}\left(m\right)}$ x x also also n also" also also $also$ """"""""""""""""""""""""""" also"""""""" also also also also also also also also"""""""""" （ \ $Pi$ _ { { { \

\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\text{\text}Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}},\delta }\rho _{X^{n}\right\}\geq 1-\epsilon .}

에러 분석.순차 디코딩 방식에서 $m^{\text{th}}$ {\ $style$ m $^{\text{th}}}$ 코드워드를 $m^{\text{th}}$ $m^{\text{th}}$ 검출할 확률은 다음과 같습니다.

디스플레이 스타일Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right),\delta }{\hat {Pi }}_{X^n}\left(m-1\right),\cdots {\hat {Pi }}_{\rho _X^n}\left(오른쪽)\delta } {\ta },_{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}

여기서 ${\hat {\Pi }}\equiv I-\Pi$ 는 ${\hat {\Pi }}\equiv I-\Pi$ ${\hat {\Pi }}\equiv I-\Pi$ ${\hat {\Pi }}\equiv I-\Pi$ - $（$ $displaystyle$ ）{ $displaystyle$ }{ $hat$ { Pi $}}\equiv$ I-\ $Pi$ ${\hat {\Pi }}\equiv I-\Pi$ (일반적인 서브스페이스에 한 번만 투영하는 것을 관찰합니다.) $m^{\text{th}}$ m $m^{\text{th}}$ {\ $displaystyle$ m $^{\text{th}}$ 코드워드에 $m^{\text{th}}$ 대한 잘못된 검출 가능성은 다음과 같습니다.

\displaystyle 1-{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right),\delta }{\hat {Pi }}_{X^n}\left(m-1\right),\cdots {\hat {Pi }}_{\rho _X^n}\left(오른쪽)\delta } {\ta },_{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}

이 스킴의 평균 에러 확률은 다음과 같습니다.

\displaystyle 1-{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right),\delta }{\hat {Pi }}_{X^n}\left(m-1\right),\cdots {\hat {Pi }}_{\rho _X^n}\left(오른쪽)\delta } {\ta },_{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}.}

평균 오류 확률을 분석하는 대신 평균 오류 확률의 기대치를 분석합니다. 여기서 예상치는 코드의 무작위 선택에 관한 것입니다.

1-\mathbb {E}_{X^{n}}\left\{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{\text}Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right),\delta }{\hat {Pi }}_{X^n}\left(m-1\right),\cdots {\hat {Pi }}_{\rho _X^n}\left(오른쪽)\delta } {\ta },_{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}\right\}.

(3)

우리의 첫 단계는 상기 수량에 Sen bounds를 적용하는 것입니다.단, 그 전에 위의 식을 약간만 다시 써야 합니다.

1=\mathbb {E}_{X^{n}}\left\{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{\text}Tr}}\left\{\rho_{X^{n}\left(m\right)}\right\}\right\

=\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text}Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}+{\text{Tr}}\left\{\hat {\rho,\delta}^{n}\rho_{X^{n}\left(m\right)}\rho_{X^{n}\left\right\}\right\

=\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text}Tr}}\left\{\Pi _{\rho,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho},\delta }^{n}\right\}+{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\hat {\rho,\delta }^{n}\mathbb {E}_{X^{n}\left\rho _{X^{n}\left(m\right)}\rho _{X^{n}\right\}\}

=\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text}Tr}}\left\{\Pi _{\rho,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho,\delta }^{n}\right\}+{\text{Tr}}\left\{\hat {\rho,\delta}^{n}\rho^{\otimes n}\right\

\displaystyle \leq \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text}Tr}}\left\{\Pi _{\rho,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho,\delta }^{n}\right\}+\epsilon }

(3)로 대체하면(현재로서는 $\epsilon$ $§(\displaystyle\epsilon)$ 용어를 $\epsilon$ 잊어버리고) 상한을 얻을 수 있습니다.

\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{\text}Tr}}\left\{\Pi _{\rho,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho,\delta }^{n}\right\}\right\}}

-\mathbb {E}_{X^{n}}\left\{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{\text}Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right),\delta }{\hat {Pi }}_{X^n}\left(m-1\right),\cdots {\hat {Pi }}_{\rho _X^n}\left(오른쪽)\delta } {\ta },_{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}\right\}.

$\sigma =\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}$ 다음 Sen을 $\sigma =\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}$ $\sigma =\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}$ $\sigma =\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}$ $\sigma =\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}$ n $\sigma =\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}$ $\sigma =\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}$ n $\sigma =\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}$ ( m ) $\sigma =\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}$ n $\sigma =\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}$ 、 $\sigma =\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}$ n \ $displaystyle$ \ $display$ = \ $Pi$ _ { \ $rho$ , \ $right }^{ n$ } \ $rho$ _ { { n $}$ \ $left$ ( m $\$ right )로 이 식에 적용합니다. $\$ $Pi$ _ ${\rho ,\delta$ }^{ $n}$ 및 $\sigma =\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}$ 순차 프로젝터는 ${\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }$ $\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }$ n ( $\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }$ ) , ${\$ \ $rho _$ { $X ^$ { $n$ } \ $\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }$ ${\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }$ ( $\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }$ ${\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }$ \ ${\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }$ ) ${\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }$ , \ $delta$ $}$ , $、$ $e$ {\hat ${Pi$ }} $_{\rho$ _ ${X^{n}\left(1\right)},\delta$ ${\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }$ 이것에 의해, $\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}2\left[{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right]^{1/2}\right\}.$ { $\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}2\left[{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right]^{1/2}\right\}.$ $\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}2\left[{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right]^{1/2}\right\}.$ $\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}2\left[{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right]^{1/2}\right\}.$ [ $\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}2\left[{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right]^{1/2}\right\}.$ ( I $\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}2\left[{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right]^{1/2}\right\}.$ - $\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}2\left[{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right]^{1/2}\right\}.$ $\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}2\left[{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right]^{1/2}\right\}.$ n ( $\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}2\left[{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right]^{1/2}\right\}.$ ) 、 $\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}2\left[{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right]^{1/2}\right\}.$ $\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}2\left[{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right]^{1/2}\right\}.$ $\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}2\left[{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right]^{1/2}\right\}.$ N （）。 $}.$ $Tr}}\left\{\Pi_{\rho_{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)$ $\Pi _{\rho,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}$ $\Pi _{\rho,\text}^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{\text}$ $Tr}}\left\{\$ $Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}$ \ $Pi$ _ ${\rho,\delta$ }^{ $n}\right\}^{1/2}\right\}$ 제곱근의 $\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}2\left[{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right]^{1/2}\right\}.$ 오목함에 따라 위에서부터 이 식을 묶을 수 있습니다 $.$

2\left[\mathbb {E}_{X^{n}}\left\{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text}Tr}}\left\{\Pi_{\rho_{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho,\text}^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{\text}Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho,\delta }^{n}\right\}\right\}\right]^{1/2

\displaystyle \leq 2\left[\mathbb {E} _{X^{n}} \left \{\frac {1}{M}} \sum _{m} {\text}Tr}}\left\{\Pi_{\rho_{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i\neq m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho,\delta }^{n}\right\}\right\}\right]^{1/2}

여기서 두 번째 경계는 $(\$ m $^{\text{th}})$ 코드워드와 $m^{\text{th}}$ 같지 않은 모든 코드워드를 합산하여 이어집니다(이 합계는 더 클 수 있습니다).

이제 우리는 제곱근 안의 항을 작게 만들 수 있다는 것을 보여주는 데만 초점을 맞추고 있다.첫 번째 조건을 고려합니다.

\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{\text}Tr}}\left\{\Pi_{\rho_{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho,\delta }^{n}\right\}\right\}}

\displaystyle \leq \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text}Tr}}\left\{\left(I-\Pi_{X^{n}\left(m\right)}\rho_{X^{n}\left(m\right)}\rho_{X^{n}\left(m\right)}\rho\left\left\Vert \rho _{X^{n}\left(m\right)}-\Pi _{\rho,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho,\delta }^{n}\right\Vert _{1}\right\}

(\displaystyle\leq\ilon+2clonrt\clon}).}

여기서 첫 번째 부등식은 (1)부터, 두 번째 부등식은 온화한 연산자 보조항과 무조건적이고 조건부적인 전형성의 속성에서 온다.이제 두 번째 항과 다음과 같은 불평등 사슬을 고려해보자.

\displaystyle \sum _{i\neq m}\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\text{\text}Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho,\delta }^{n}\rho _{\left(m\right)}\Pi _{\right}\rho _{\rho,\right}\}

=\sum _{i\neq m}{\text{Tr}}\left\{\mathbb {E}_{X^{n}}\left\{\}Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right),\delta }\right\}\Pi _{\rho,\delta }^{n}\mathbb {E}_{X^{n}\left\right} \rho _{X^{n}\rho {\}\right}\rho {\}\} \rhi} \right

=\sum _{i\neq m}{\text{Tr}}\left\{\mathbb {E}_{X^{n}}\left\{\}파이 _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\right\}\Pi _{\rho,\delta }^{n}\Pi _{\right

\displaystyle \leq \sum _{i\neq m}2^{-n\left[H\left(B\right)-\delta\right]\{텍스트{Tr}}\left\{\mathbb {E}_{X^{n}}\left\{\}Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right),\delta }\right\}\Pi _{\rho,\delta }^{n}\right\}

$X^{n}\left(m\right)$ 번째 등호는 $코드워드$ X $X^{n}\left(m\right)$ ( $X^{n}\left(m\right)$ m $X^{n}\left(m\right)$ \ $displaystyle$ X $^{n}$ \ $left$ ( $X^{n}\left(m\right)$ m \ $right$ )와 X $X^{n}\left(i\right)$ n $X^{n}\left(i\right)$ ( $X^{n}\left(i\right)$ i ) \ $displaystyle$ X $^{n}$ \ $left$ ( i \ $right )$ 는 $X^{{n}}\left(m\right)$ $X^{{n}}\left(i\right)$ 서로 다르기 때문에 독립적이기 때문입니다.두 번째 등식은 (2)부터 이어진다.첫 번째 부등식은 (\ref{eq:3rd-typ-prop})에서 나옵니다.계속해서, 우리는

\displaystyle \leq \sum _{i\neq m}2^{-n\left[H\left(B\right)-\delta \right]}\\mathbb {E}_{X^{n}}\left\{\text{\text}Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\right\}\right\}

\displaystyle \leq \sum _{i\neq m}2^{-n\left[H\left(B\right)-\delta\right]}\2^{n\left[H\left(B X\right)+\delta\right]}

\displaystyle = \sum _{i\neq m}2^{-n\left[I\left(X;B\right)-2\delta\right]}

\displaystyle \leq M\2^{-n\left[I\left(X;B\right)-2\delta\right}.}

첫 번째 부등식은 $\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\leq I$ 、 $\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\leq I$ n $\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\leq I$ $\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\leq I$ \ $displaystyle \Pi$ _ ${\rho ,\delta$ }^{ $n}\leq$ I $\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\leq I$ }에서 $\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\leq I$ 이어지며, 예상과 트레이스를 교환합니다.두 번째 부등식은 (\ref{eq:2nd-cond-typ})에서 나옵니다.다음 두 가지는 간단하다.

모든 것을 종합하면, 평균 에러 확률의 예측에 최종 한계가 있습니다.

1-\mathbb {E}_{X^{n}}\left\{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{\text}Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right),\delta }{\hat {Pi }}_{X^n}\left(m-1\right),\cdots {\hat {Pi }}_{\rho _X^n}\left(오른쪽)\delta } {\ta },_{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta}\right\}\right\

\displaystyle \left [\left (\eilon +2 rtrt \ explayilon }} \ right ) +M\ 2^{-n\left[I\left(X;B\right)-2\delta\right]\right]^{1/2}.}

따라서 M $M=2^{n\left[I\left(X;B\right)-3\delta \right]}$ $M=2^{n\left[I\left(X;B\right)-3\delta \right]}$ n [ $M=2^{n\left[I\left(X;B\right)-3\delta \right]}$ ( $M=2^{n\left[I\left(X;B\right)-3\delta \right]}$ ; $M=2^{n\left[I\left(X;B\right)-3\delta \right]}$ ) - $](\$ M $=2^{n\left)$ 를 $M=2^{n\left[I\left(X;B\right)-3\delta \right]}$ 하면 됩니다. $I\left(X;B\right)-3\delta\right$ 에러 발생 가능성이 소멸하는 코드가 존재합니다.

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레퍼런스

를 클릭합니다Holevo, Alexander S. (1998), "The Capacity of Quantum Channel with General Signal States", IEEE Transactions on Information Theory, 44 (1): 269–273, arXiv:quant-ph/9611023, doi:10.1109/18.651037.
를 클릭합니다Schumacher, Benjamin; Westmoreland, Michael (1997), "Sending classical information via noisy quantum channels", Phys. Rev. A, 56 (1): 131–138, Bibcode:1997PhRvA..56..131S, doi:10.1103/PhysRevA.56.131.
Wilde, Mark M. (2017), Quantum Information Theory, Cambridge University Press, arXiv:1106.1445, Bibcode:2011arXiv1106.1445W, doi:10.1017/9781316809976.001
를 클릭합니다Sen, Pranab (2012), "Achieving the Han-Kobayashi inner bound for the quantum interference channel by sequential decoding", IEEE International Symposium on Information Theory Proceedings (ISIT 2012), pp. 736–740, arXiv:1109.0802, doi:10.1109/ISIT.2012.6284656, S2CID 15119225.
를 클릭합니다Guha, Saikat; Tan, Si-Hui; Wilde, Mark M. (2012), "Explicit capacity-achieving receivers for optical communication and quantum reading", IEEE International Symposium on Information Theory Proceedings (ISIT 2012), pp. 551–555, arXiv:1202.0518, doi:10.1109/ISIT.2012.6284251, S2CID 8786400.

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