WKB의 근사치

수리물리학에서 WKB 근사법 또는 WKB 방법은 공간적으로 다른 계수를 갖는 선형 미분 방정식에 대한 근사해를 찾는 방법입니다.이것은 일반적으로 양자역학에서 파동함수가 지수함수로 재캐스트되고 반고전적으로 팽창한 후 진폭 또는 위상이 천천히 변화하는 반고전적 계산에 사용됩니다.

이름은 웬첼-크래머스-브릴루앵의 이니셜리즘이다.LG 또는 Liouville-Green 방식이라고도 합니다.자주 사용되는 다른 문자 조합에는 JWKB와 WKBJ가 있습니다.여기서 "J"는 Jeffreys를 나타냅니다.

간단한 이력

이 방법은 모두 1926년에 개발한 물리학자 그레고르 웬첼, 헨드릭 앤서니 크래머, 레온 브릴루앵의 이름을 따서 붙여졌다.1923년, 수학자 해롤드 제프리스는 슈뢰딩거 방정식을 포함하는 클래스인 선형 2차 미분 방정식에 대한 근사해법을 개발했다.슈뢰딩거 방정식 자체는 2년이 지나서야 개발되었고, 웬첼, 크래머, 브릴루인은 분명히 이 초기 연구를 알지 못했기 때문에 제프리스는 종종 신용을 무시당한다.양자역학의 초기 텍스트에는 WBK, BWK, WKBJ, JWKB 및 BWKJ를 포함하여 이니셜의 조합이 얼마든지 포함되어 있습니다.권위 있는 토론과 비판적인 조사가 로버트 B에 의해 이루어졌다.딩글.^[1]

근본적으로 동등한 방법의 초기 출현은 1817년 프란체스코 칼리니, 1837년 조셉 리우빌, 1837년 조지 그린, 1912년 레일리 경, 1915년 리처드 간스입니다.Liouville과 Green은 1837년에 이 방법을 창안했다고 할 수 있으며, 일반적으로 Liouville-Green 또는 LG ^[2][3]방법이라고도 합니다.

이 방법에 대한 Jeffreys, Wentzel, Kramers 및 Brilouin의 중요한 공헌은 전환점의 양쪽에 에버네센트와 진동 솔루션을 연결하는 전환점의 처리를 포함했다는 것입니다.예를 들어, 이것은 잠재적인 에너지 힐로 인해 슈뢰딩거 방정식에서 발생할 수 있습니다.

공식화

일반적으로 WKB 이론은 가장 큰 도함수에 작은 파라미터 θ를 곱한 미분방정식의 해 근사법이다.근사법은 다음과 같다.

미분 방정식의 경우

${\displaystyle \varepsilon {d^{n}y}+a(x){d^{n-1}y}{display^{n}+\cdots +k(x){dy}}+m(x)y=0,}$

점근 급수 팽창 형태의 해법을 가정하다

${\displaystyle y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\flac}}\sum _{n=0}^{\infty }\flash ^{n}S_{n}(x)\right]}$

제한 → → 0입니다.θ의 점근 스케일링은 방정식에 의해 결정됩니다 – 아래 예를 참조하십시오.

위의 ansatz를 미분방정식에 대입하여 지수항을 소거함으로써 팽창에서의 임의의 수의_n 항 S(x)를 풀 수 있다.

WKB 이론은 다중 척도 ^[4][5][6]분석의 특별한 경우입니다.

예

이 예는 Carl M. Bender와 Steven Orsjag의 ^[6]텍스트에서 나온 것입니다.2차 균질 선형 미분 방정식 고려

$\displaystyle \silon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}=Q(x)y,}$

$여기$서 Q${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$0 ${\displaystyle 0}${ $display$Q ($x$ )\ $neq$ 0$$。치환

${\displaystyle y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\flac }}\sum _{n=0}^{\infty }\flash ^{n}S_{n}(x)\right]}$

결과가 방정식이 되다

${\displaystyle ^{2}\left[{\frac {1}{\frac ^{2}}\lefty(\sum _ {n=0}^{\infty})\frac ^2}+{\frac {1}{\frac }{\infty} ^{\fty} ^{\frac } ^{n} } ^{\ft}'}s}}$

선행 순서(순간 연속이 점근적으로 일관된다고 가정함)에 대해 위의 내용은 다음과 같이 근사할 수 있습니다.

$(\displaystyle\frac{{2}}{\displaystyle ^{2}})S_{0}'^{2}+{\frac {2\apilon ^{2}}{\frac}}S_{0}'S_{1}'+{\frac {\apilon ^{2}}{\frac }}S_{0}'=Q(x)}$

한계 θ → 0에서 지배적 균형은 다음과 같이 주어진다.

$(\displaystyle\frac{{2}}{\displaystyle ^{2}})S_{0}'^{2}\sim Q(x)}$

그래서 is은 ε에 비례합니다.이들을 동등하게 설정하고 검정력을 비교한다.

${\displaystyle \silon ^{0}:\display S_{0}'^{2}=Q(x)}$

해답으로 아이코날 방정식으로 인식될 수 있다.

${\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}^{\displayrt {Q(t)}}},dt.}$

§ 수정의 1차 처리 능력 고려

$\displaystyle \silon ^{1}:\display 2S_{0}'S_{1}'+S_{0}'=0.}$

이게 해결책이야

$({displaystyle S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\ln Q(x)+k_{1})$

여기서₁ k는 임의의 상수입니다.

이제 시스템에 대한 한 쌍의 근사치(S가 두 개의 기호를 취할 수 있기 때문에₀ 한 쌍의)가 있습니다. 1차 WKB 근사치는 두 개의 선형 조합입니다.

${\displaystyle y(x)\approx c_{1}Q^{4}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x}{\sqrt {Q(t)}},dt\right}+{2}}Q^{-{\frac {1}{4}}(x)\exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x}{\sqrt {Q(t)}}},dt\right]}$

고차항은 θ의 고승에 대한 방정식을 살펴봄으로써 얻을 수 있다.

${{displaystyle 2S_{n}'+S'_{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}S'_{j}S'_{n-j}=0}$

n 2 2의 경우.

점근 급수의 정밀도

y(x)에 대한 점근 급수는 일반적으로 특정 값 n = n_max 후에 일반 항 θⁿ_n S(x)가 증가하기 시작하는 발산 급수이다.따라서 WKB 메서드에 의해 달성되는 최소 오류는 기껏해야 마지막에 포함된 항의 순서입니다.

방정식의 경우

$\displaystyle \silon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}=Q(x)y,}$

Q(x) < 0 analytic function, n$$ {\$displaystyle n_{\max$}} 값 $및$ 마지막 항의 크기는 ^[7]다음과 같이 추정할 수 있습니다.

${\displaystyle n_{\max}\약 2\epsilon ^{-1}\left \int _{x_{\ast}}{\sqrt {-Q(z)}},dz\right,}$

${\displaystyle \delta ^{\max}}S_{n_{\max}}}\about {sqrt {2\pi}{n_{\max}}}\exp[-n_{\max}}}},$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 x$$0({$displaystyle x_{0})$은 y${\displaystyle ({x\mathrm{}}_{}}$ 0$)$ {$displaystyle$ $y$$(x_{0})$를 평가해야 하는 $지점$이고 x $∗$ {\$ast}$는 (복잡한) 터닝 포인트입니다. $여기$서 Q$($))$$ 0($x_{\$$style$ }) = $0$$xstyledisplay =$ $)$에 $가장{\displaystyle }$ 가까운 지점입니다.

숫자_max n은 x $({$과 가장 가까운 터닝 포인트 $사이$의 진동 수로 해석할 수 있습니다.

$\delta {\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}{}^{}}$ ( ${\displaystyle x}$) { $displaystyle \epsilon$^ { -$1 Q$( x ) }가 느리게 변화하는 함수인 경우,

$\displaystyle \epsilon \left \frac {dQ}{dx}\right \ll Q^{2},^{\text{{\text{}Q^{3/2}{\text{\text}\text{\text}?]}}}}$

숫자_max n은 크고 점근 급수의 최소 오차는 기하급수적으로 작습니다.

슈뢰딩거 방정식의 적용

위의 예는 1차원 시간 독립 슈뢰딩거 방정식에 특히 적용될 수 있다.

${\displaystyle - {\frac {hbar ^{2}} {\frac {d^{2}} {dx^{2}} \ Psi (x) + V (x) \ Psi (x) = E \ Psi (x ) }$

라고 고쳐 쓸 수 있다.

${\displaystyle {d^{2}}{dx^{2}}\Psi(x)=440frac {2m}{\hbar ^{2}}\left(V(x)-E\right)\Psi(x)}$

터닝 포인트로부터 떨어진 근사치

파동함수는 복잡할 수 있는 다른 함수 δ(작용과 밀접하게 관련됨)의 지수로 다시 쓸 수 있다.

$(\displaystyle \Psi(x)=e^{\Phi(x)})$

하도록

$\displaystyle \Phi '(x)+\left[\]Phi ' (x ) \ right ]^{2} = flac { 2m } { \ hbar ^ {2} } \ left ( V ( x ) - E \ right , }$

여기서 δ는 x에 대한 δ의 도함수를 나타낸다.이 도함수 δ'는 실함수 A와 B를 도입함으로써 실수와 허수로 분리할 수 있다.

$\displaystyle \Phi '(x)=A(x)+iB(x)}$

파동 함수의 진폭은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \exp \left[\int _{x_{0}^{x}A(x'),dx'\right],$

단계일 때

${\displaystyle \int _{x_{0}}{x}B(x'),dx'.}$

슈뢰딩거 방정식의 실재 부분과 상상의 부분이 된다.

$({displaystyle A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}=black {2m}{\hbar ^{2}}\left(V(x)-E\right})})}$

${\displaystyle B'(x)+2A(x)B(x)=0.}$

다음으로 반고전적 근사법을 사용한다.즉, ħ에서는 각 기능이 멱급수로서 전개됩니다.위의 방정식을 통해 방정식의 실제 부분을 만족시키려면 멱급수가 적어도 1/µ의 순서로 시작해야 함을 알 수 있습니다.

${{displaystyle A(x)=subfrac {1}{\hbar}}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}A_{n}(x),}$

${\displaystyle B(x)=subfrac {1}{\hbar }}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}B_{n}(x).}$

이 확장의 0번째 순서로 A와 B의 조건을 기입할 수 있습니다.

$({displaystyle A_{0}(x)^{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right),}$

${\displaystyle A_{0}(x)B_{0}(x)=0\;}$

첫 번째 도함수 A'(x)와 B'(x)는 지배적인⁻² θ보다 높은 차수 1/θ의 인자를 포함하고 있기 때문에 폐기되었다.

그런 다음 위상(${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle )}$ $=$ {\$displaystyle A_{0}(x$)=$0})$에 비해 진폭이 충분히 느리게 변화하면 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle B_{0}(x)=\pm {2m\left(E-V(x)\right}}},$

이는 고전 운동에서 항상 그렇듯이 총 에너지가 잠재 에너지보다 클 때만 유효하다.

다음 확장 순서로 동일한 절차를 수행한 후 다음 절차를 수행합니다.

한편, (진폭에 비해) 위상이 천천히 변화하는 경우에는 (${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$0 (${\displaystyle x}$) $=$ (\$displaystyle B_{0}(x$)=$0$ )

${\displaystyle A_{0}(x)=\pm {2m\left(V(x)-E\right}}},$

이는 잠재 에너지가 총 에너지(양자 터널링이 발생하는 상태)보다 클 때만 유효하다.

이전 ^[8]섹션의 예시와 같이 확장 수율의 다음 순서를 찾습니다.

일반적으로 허용되는 지역, 즉 () < \ $displaystyle$V ($x$ )<$E}$ 지수의 적분 함수는 허수이며 대략적인 파동 함수는 진동함수입니다.고전적으로 금지된 V ( \ $displaystyle$V ($x$ ) >$E$ 용액이 증가 또는 쇠퇴하고 있습니다.분모에서 이 두 근사 해는 E = V(x)인 고전적인 터닝 포인트 근처에서 단수가 되어 유효할 수 없다는 것이 명백하다.(터닝 포인트는 고전 입자가 방향을 바꾸는 지점입니다.

전환점 부근의 행동

이제 전환점 근처의 파동 함수의 동작을 고려합니다.이를 위해서는 다른 방법이 필요합니다.첫 번째 터닝 포인트 x 근처에서는₁ ${\displaystyle \frac{\mathrm{2m}}{}}$ †${\displaystyle \frac{{}^{}}{}\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ (${\displaystyle V}$ (${\displaystyle x}$) -${\displaystyle E}$) { $displaystyle {\hbar ^{2}\left(V(x)-E\right})$를 멱급수로 확장할 수 있습니다.

${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}\cdot(x-x_{1}+U_{2}\cdot (x-x_{1})^{2}+\cdots \;.}$

첫 번째 주문은

${\displaystyle {d^{2}}{dx^{2}}\Psi(x)=U_{1}\cdot (x-x_{1}\cdot \Psi (x)}$

이 미분방정식은 에어리 방정식으로 알려져 있으며, 해법은 에어리 ^[9]함수로 작성될 수 있습니다.

${\displaystyle\Psi(x)=C_{A}{\textrm {Ai}}\left({\sqrt[{3}]){U_{1}}\cdot(x-x_{1}\right)+C_{B}{\textrm {Bi}}\left({\sqrt[{3}]){U_{1}}\cdot(x-x_{1}\right).}$

$§$의 고정 값(\style$\hbar$에 대해 파형 함수는 회전 지점 근처에 한정되지만 위 이미지에서 볼 수 있듯이 파형 함수는 그곳에서 피크됩니다.${\(\displaystyle\hbar)$가 작아질수록 전환점에서의 파동 함수의 높이는 높아집니다.

일치 조건

이제 슈뢰딩거 방정식에 대한 글로벌(대략적) 솔루션을 구축하는 것이 남았다.파동함수가 정사각형 적분가능하기 위해서는 두 고전적으로 금지된 영역에서 기하급수적으로 감쇠하는 솔루션만 취해야 합니다.그런 다음 이들은 터닝 포인트를 통해 고전적으로 허용된 영역에 적절히 "연결"해야 합니다.대부분의 E 값에 대해 다음 일치 절차는 작동하지 않습니다.+ ${\(\displaystyle +\infty)$근방의$$ 용액을 고전허용영역에 연결함으로써 얻을 수 있는 함수는 ${\(\displaystyle -\infty)$근방의$$ 용액을 고전허용영역에 연결함으로써 얻을 수 있는 함수와 일치하지 않는다.두 기능이 일치한다는 요건은 에너지 E에 조건을 부과하며, 이는 정확한 양자 에너지 수준에 대한 근사치를 제공합니다.

고전적인 터닝 포인트의 한쪽에 있는 두 계수가 주어졌을 때, 고전적인 터닝 포인트의 다른 쪽에 있는 두 계수는 에어리 함수를 사용하여 이들을 연결함으로써 결정할 수 있습니다.$따라서{\displaystyle {}_{}}$ C${\displaystyle {}_{}}$0 , ${\$ \ $displaystyle C_{0$, \$theta$} 와$$${\displaystyle {}_{}}$C${\displaystyle {}_{}}$+ ,${\displaystyle {}_{}}$ -$$\ $display C_{+}$ , $C_{-}$ 의 $관계$를 찾을$$ 수 있습니다.이 관계는 에어리 함수의 알려진 점근 함수를 사용하여 구한다.관계는 다음과 같습니다(종종 "연결 공식"^[10]이라고 함).

${\displaystyle C_{+}=+{\frac {1}{2}}C_{0}\cos {left(\theta - {\frac {pi }{4}}},$

$({displaystyle C_{-}=-{\frac {1}{2}}C_{0}\sin {left(\theta - {\frac {pi }{4}}\right}).}$

이제 글로벌(대략) 솔루션을 구축할 수 있습니다.다른 터닝 포인트에서도 같은 처리를 할 수 있습니다.다른 터닝 포인트 x가₂ 있다고 가정합니다.그러나 위의 식은 위의 x에서 결정된₁ 식과 다르게 나타납니다. 이러한 삼각함수의 인수의 차이입니다.

일치 조건은 단일값의 정사각형 적분 가능한 근사 솔루션을 얻기 위해 다음과 같은 형태를 취합니다.

$\displaystyle \int _{x_{2}}{\displayrt {2m\left(E-V(x)\right)}}, dx=(n+1/2)\pi \hbar,}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 x${\displaystyle {}_{}}$1, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$2({$displaystyle x_{1},x_{2}})$는 적분이 사라지는 전위의 전환점입니다.여기서 n은 음이 아닌 정수입니다.이 조건은 다음과 같이 고쳐 쓸 수도 있습니다.

기존 에너지 곡선으로 둘러싸인 면적은 ${\displaystyle \mathrm{2\mu }\mu }$ （${\displaystyle n}$ +${\displaystyle 1}$ / ${\displaystyle 2\mathrm{}}$） { $displaystyle$2 \$pi$ \ $hbar ( n$ + 1 / $2$) $。$

어느 쪽이든, 에너지 조건은 "마슬로프 보정"이 ^[11]1/2인 Bohr-Sommerfelt 양자화 조건의 버전이다.

다양한 영역의 근사치를 합친 후 실제 고유 함수에 대한 근사치를 얻을 수 있음을 보여줄 수 있다.특히, 마슬로프 보정 보어-소머펠트 에너지는 슈뢰딩거 ^[12]연산자의 실제 고유값에 대한 근사치이다.특히, 에너지의 오차는 양자 에너지 수준의 일반적인 간격에 비해 작습니다.따라서, 보어와 솜머펠트의 "오래된 양자 이론"은 궁극적으로 슈뢰딩거 방정식으로 대체되었지만, 적절한 슈뢰딩거 연산자의 고유값에 대한 근사치로서 그 이론의 일부 흔적은 남아있다.

확률 밀도

그런 다음 대략적인 파동 함수와 관련된 확률 밀도를 계산할 수 있습니다.양자 입자가 고전적으로 금지된 영역에서 발견될 확률은 작습니다.한편, 고전적으로 허용된 영역에서 양자 입자가 주어진 간격에서 발견될 확률은 고전 입자가 운동 ^[13]기간 동안 그 간격에서 보내는 시간의 대략적인 비율이다.고전 입자의 속도는 전환점에서 0이 되기 때문에 전환점 근처에서 고전적으로 허용된 다른 영역보다 더 많은 시간을 보냅니다.이 관측치는 전환점 근처의 파동 함수(및 확률 밀도)의 피크를 설명한다.

다양한 가능성을 가진 슈뢰딩거 방정식에 WKB 방법을 적용하고 섭동 방법 및 경로 적분과의 비교는 뮐러-커스틴에서 ^[14]처리한다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

최신 레퍼런스

• Bender, Carl; Orszag, Steven (1978). Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. McGraw-Hill. ISBN 0-07-004452-X.{{cite book}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
• Child, M. S. (1991). Semiclassical mechanics with molecular applications. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-855654-3.
• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• Liboff, Richard L. (2003). Introductory Quantum Mechanics (4th ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.
• Olver, Frank William John (1974). Asymptotics and Special Functions. Academic Press. ISBN 0-12-525850-X.
• Razavy, Mohsen (2003). Quantum Theory of Tunneling. World Scientific. ISBN 981-238-019-1.
• Sakurai, J. J. (1993). Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 0-201-53929-2.

이력 레퍼런스

• Carlini, Francesco (1817). Ricerche sulla convergenza della serie che serva alla soluzione del problema di Keplero. Milano.
• Liouville, Joseph (1837). "Sur le développement des fonctions et séries.". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1: 16–35.
• Green, George (1837). "On the motion of waves in a variable canal of small depth and width". Transactions of the Cambridge Philosophical Society. 6: 457–462.
• Rayleigh, Lord (John William Strutt) (1912). "On the propagation of waves through a stratified medium, with special reference to the question of reflection". Proceedings of the Royal Society A. 86 (586): 207–226. Bibcode:1912RSPSA..86..207R. doi:10.1098/rspa.1912.0014.
• Gans, Richard (1915). "Fortplantzung des Lichts durch ein inhomogenes Medium". Annalen der Physik. 47 (14): 709–736. Bibcode:1915AnP...352..709G. doi:10.1002/andp.19153521402.
• Jeffreys, Harold (1924). "On certain approximate solutions of linear differential equations of the second order". Proceedings of the London Mathematical Society. 23: 428–436. doi:10.1112/plms/s2-23.1.428.
• Brillouin, Léon (1926). "La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de resolution par approximations successives". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. 183: 24–26.
• Kramers, Hendrik A. (1926). "Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung". Zeitschrift für Physik. 39 (10–11): 828–840. Bibcode:1926ZPhy...39..828K. doi:10.1007/BF01451751. S2CID 122955156.
• Wentzel, Gregor (1926). "Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik". Zeitschrift für Physik. 38 (6–7): 518–529. Bibcode:1926ZPhy...38..518W. doi:10.1007/BF01397171. S2CID 120096571.

외부 링크

• Fitzpatrick, Richard (2002). "The W.K.B. Approximation". (전리층으로부터의 전파 산란에 대한 WKB 근사 적용).