치랄 모형

핵물리학에서 Feza Gürsey가 1960년에 도입한 치랄 모델은 치랄 한계(쿼크의 질량이 0으로 가는 곳)에서 메손의 효과적인 상호작용을 기술하는 현상학적 모델이지만, 반드시 쿼크를 전혀 언급하지 않는다. Lie 그룹 SU(N)의 주요 균질 공간을 표적 다지관으로 하는 비선형 시그마 모델이며, 여기서 N은 쿼크 맛의 수입니다. 대상 다지관의 리만 측량계는 SU(N)의 Maurer-Cartan 형식에 작용하는 킬링 폼에 양수를 곱한 값으로 주어진다.

이 모델의 내부 글로벌 대칭은 각각 왼쪽과 오른쪽 복사본인 _RSU(N)×_LSU(N)이다. 여기서 왼쪽 복사본은 목표 공간에 대한 왼쪽 동작으로 작용하고 오른쪽 복사본은 오른쪽 동작으로 작용한다. 왼쪽 사본은 왼손잡이 쿼크 사이의 풍미 회전을 나타내고 오른쪽 사본은 오른손잡이 쿼크 사이의 회전을 기술하고 있는 반면, 이 L과 R은 서로 완전히 독립되어 있다. 이들 대칭의 축조 조각은 자연적으로 깨져서 그에 상응하는 스칼라 밭이 필요한 남부-골드스톤 보손이다.

이 모델은 스카이라미온이라고 불리는 위상학적 용해법을 인정한다.

정확한 치랄 대칭으로부터의 이탈은 치랄 섭동 이론에서 다루어진다.

원래의 2-맛 모델 개요

Gürsey(1960; Gell-Mann과 Lévy도 참조)의 치랄 모델은 이제 u와 d라는 두 개의 가벼운 쿼크를 가진 QCD의 효과적인 이론으로 인정받고 있다. QCD 라그랑지안은 왼손 및 오른손 쿼크 필드의 독립적인 전지구적 맛 순환 하에서 거의 불변한다.

{\begin{cases}q_{L}\mapsto q_{L}'=Lq_{L}=\exp {\left(-i{\boldsymbol {\theta }}_{L}\cdot {\tfrac {\boldsymbol {\tau }}{2}}\right)}q_{L}\\q_{R}\mapsto q_{R}'=Rq_{R}=\exp {\left(-i{\boldsymbol {\theta }}_{R}\cdot {\tfrac {\boldsymbol {\tau }}{2}}\right)}q_{R}\end{cases}}

여기서 τ은 향미공간의 Pauli 행렬을 나타내고_L θ은_R 해당 회전각이다.

${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ 대칭 그룹 ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ ( ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ 2 ) ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ × ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ ( 2 ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ ) R ${\$ $SU}}(2)_{L}\time {\text{$ $SU}}(2)_{R}}}$ 은 ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ (는) 6개의 보존 전류에 의해 제어되는 치랄군이다.

L_{\mu }^{i}={\bar {q}}_{L}\gamma _{\mu }{\tfrac {\tau ^{i}}{2}}q_{L},\qquad R_{\mu }^{i}={\bar {q}}_{R}\gamma _{\mu }{\tfrac {\tau ^{i}}{2}}q_{R},

벡터 전류와 축방향 전류로 동일하게 잘 표현할 수 있다.

V_{\mu }^{i}=L_{\mu }^{i}+R_{\mu }^{i},\qquad A_{\mu }^{}^{i}=R_{\mu }^{}-L_{\mu }^{}^{}^{}}}.

그에 상응하는 보존된 전하들은 치랄군의 대수학을 생성한다.

\left[Q_{]I}^{i},Q_{I}^{j}\right]=i\엡실론 ^{ijK}Q_{{I}^{k}\qquad \qquad \left[Q_{L}^{i}},Q_{R}^{j}\right]=0,

I=L,R, 또는 동등하게

\left[Q_{V}^{i},Q_{V}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{V}^{k}},\qquad \left[Q_{{A}^{i},Q_{A}^{j}\right]=i\엡실론 ^{ijk}Q_{V}^{k},\qquad \left[Q_{V}^{i},Q_{A}^{j}\right]=i\엡실론 ^{ijk}Q_{A}^{k}.

이러한 정류 관계를 hadronic 반응에 적용한 것이 지난 세기 초 70년대의 현재의 대수적 계산에 지배적이었다.

키랄 모델의 야망인 하드론, 유사칼라 중원 수준에서 키랄 ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ ) ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ R ${\$ $SU}}(2)_{L}\time {\text{$ $SU}(2)_{R}$ 그룹은 ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ 자연적으로 ${\text{SU}}(2)_{V}$ ( ${\text{SU}}(2)_{V}$ 2 ) ${\text{SU}}(2)_{V}$ ${\$ {\ $text{$ QCD 진공으로 $SU}(2)_{V$ 즉, 남부-골드스톤 모드에서 비선형적으로 실현된다. Q는_V 진공을 섬멸하지만 Q는_A 그렇지 않다! 이것은 ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ ( ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ ) ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ ( ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ ) ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ ${\$ 의 Lie 대수라는 사실에 근거한 기하학적 주장을 통해 잘 시각화된다. $SU}}(2)_{L}\time {\text{$ $SU}(2)_{R}}$ 은 ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ SO(4)와 이형이다. 선형 Wigner-Weyl 모드에서 실현된 파손되지 않은 부분군은 ${\text{SO}}(3)\subset {\text{SO}}(4)$ ( ${\text{SO}}(3)\subset {\text{SO}}(4)$ ) ${\text{SO}}(3)\subset {\text{SO}}(4)$ ${\text{SO}}(3)\subset {\text{SO}}(4)$ ( ${\text{SO}}(3)\subset {\text{SO}}(4)$ ) ${\displaystyle {\text{$ $SO}}(3)\subset{\text{$ $SO}(4)}$ 은 ${\text{SO}}(3)\subset {\text{SO}}(4)$ (는) 국소적으로 SU(2)(V: isospin).

SO(4)의 비선형 실현을 구성하기 위해 벡터의 4차원 회전을 기술하는 표현

{\pmatrix}{\pma \pma \end{pmatrix}\equiv {\pmatrix}\pi _{2}\\pi _{3}\pi\\pi \end{pmatrix},}}}}}

6개 각도로 파라메타된 극소수 회전용

\left\{\theta_{i}^{V,A}\right\}\qquad i=1,2,3,

에 의해 주어지다

{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}{\stackrel {SO(4)}{\longrightarrow }}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {\pi }}'}\\\sigma '\end{pmatrix}}=\left[\mathbf {1} _{4}+\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{V}V_{i}+\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{A}A_{i}\오른쪽]{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi}\\\sigma \end{pmatrix}}

어디에

\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{V}V_{i}={\begin{pmatrix}0&-\theta _{3}^{V}&\theta _{2}^{V}&0\\\theta _{3}^{V}&0&-\theta _{1}^{V}&0\\-\theta _{2}^{V}&\theta _{1}^{V}&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\qquad \qquad \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{A}A_{i}={\begin{pmatrix}0&0&0&\theta _{1}^{A}\\\0&0&\theta _{2}^{}}A}\\0&0&\theta _{3}^{A}\\\-\theta _{1}^{A}-\theta _{2}^{A}&-\theta _{3}^{3}^{3}^{3}^{3}^}}^{3}}}}}}}}}}}^{A}&0\end{pmatrix}.

4개의 실제 수량 $(π$ , $σ)$ 은 가장 작은 비종교 치랄 멀티플릿을 정의하고 선형 시그마 모델의 필드 내용을 나타낸다.

위의 SO(4)의 선형 실현에서 비선형 실현으로 전환하기 위해, 실제로 ( $π,$ $σ)$ 의 네 가지 구성요소 중 3개 요소만이 4차원 회전과 관련하여 독립적이라는 것을 관찰한다. 이 세 가지 독립적인 구성요소는 하이퍼스피어 S의³ 좌표에 해당하며, 여기서 $π$ 과 $σ$ 은 제약을 받는다.

{\boldsymbol {\pi }^{2}+\sigma ^{2}=F^{2},

치수 질량의 상수인 F(선구 붕괴)와 함께.

이를 활용하여 σ을 제거하면 SO(4)에 따른 π의 다음과 같은 변환 특성을 얻을 수 있다.

{\begin{cases}\theta ^{V}:{\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}'={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}^{V}\times {\boldsymbol {\pi }}\\\theta ^{A}:{\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}'={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}^{A}{\sqrt {F^{2}-{\boldsymbol {\pi }}^{2}}}\end{cases}}\qquad {\boldsymbol {\theta }}^{V,A}\equiv \left\{\theta _{i}^{V,A}\right\},\qquad i=1,2,3.

두 번째 방정식 우측의 비선형 항(Shifting ting)은 SO(4)의 비선형 실현의 기초가 된다. Chiral 그룹 ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}\simeq {\text{SO}}(4)$ ( ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}\simeq {\text{SO}}(4)$ ) ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}\simeq {\text{SO}}(4)$ L × ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}\simeq {\text{SO}}(4)$ ( ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}\simeq {\text{SO}}(4)$ ) ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}\simeq {\text{SO}}(4)$ ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}\simeq {\text{SO}}(4)$ ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}\simeq {\text{SO}}(4)$ ( 4 ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}\simeq {\text{SO}}(4)$ ) ${\displaystyle {\text{$ $SU}}(2)_{L}\time {\text{$ $SU}}(2)_{R}\simeq {\text{$ $SO}(4)}$ 은 ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}\simeq {\text{SO}}(4)$ (는) 피온의 삼중에서 비선형적으로 실현된다. 단, 여전히 Isospin ${\text{SU}}(2)_{V}\simeq {\text{SO}}(3)$ ) ${\text{SU}}(2)_{V}\simeq {\text{SO}}(3)$ ${\text{SU}}(2)_{V}\simeq {\text{SO}}(3)$ ${\text{SU}}(2)_{V}\simeq {\text{SO}}(3)$ ( $){\displaystyle {\text{$ $SU}}(2)_{V}\simeq {\text{$ $SO$ { $\{{\boldsymbol {\theta }}_{V}\}.$ $\{{\boldsymbol {\theta }}_{V}\}.$ $\{{\boldsymbol {\theta }}_{V}\}.$ . ${\displaystyle \{\boldsymbol {\theta }}}}{\displaystyle$ $\}{\displaystyle \{\boldsymbol{\}}}}}{\ta }}}{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{\$ }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} $A}\}$ 은(는) 비선형적인 "전환"(자발적인 파손)을 나타낸다 $\{{\boldsymbol {\theta }}_{A}\}$ .

스피너 맵을 통해 $이러한$ $(,, ))$ 의 4차원 회전도 유니터리 매트릭스를 도입하여 2×2 매트릭스 표기법을 이용하여 편리하게 작성할 수 있다.

U={\frac {1}{F}\왼쪽(\sigma \mathbf {1} _{2}+i{\boldsymbol{\pi }}}\cdot {\boldsymbol {\\tau}\right)}

그리고 키랄 회전 하의 U의 변환 속성이

U.D.Longwrightarrow U'=LUR^{\daugger }}

여기서 $\theta _{L}=\theta _{V}-\theta _{A},\theta _{R}=\theta _{V}+\theta _{A}.$ $\theta _{L}=\theta _{V}-\theta _{A},\theta _{R}=\theta _{V}+\theta _{A}.$ = $\theta _{L}=\theta _{V}-\theta _{A},\theta _{R}=\theta _{V}+\theta _{A}.$ V - $\theta _{L}=\theta _{V}-\theta _{A},\theta _{R}=\theta _{V}+\theta _{A}.$ $\theta _{L}=\theta _{V}-\theta _{A},\theta _{R}=\theta _{V}+\theta _{A}.$ $\theta _{L}=\theta _{V}-\theta _{A},\theta _{R}=\theta _{V}+\theta _{A}.$ R $\theta _{L}=\theta _{V}-\theta _{A},\theta _{R}=\theta _{V}+\theta _{A}.$ = $\theta _{L}=\theta _{V}-\theta _{A},\theta _{R}=\theta _{V}+\theta _{A}.$ V $\theta _{L}=\theta _{V}-\theta _{A},\theta _{R}=\theta _{V}+\theta _{A}.$ + $\theta _{L}=\theta _{V}-\theta _{A},\theta _{R}=\theta _{V}+\theta _{A}.$ $\theta _{L}=\theta _{V}-\theta _{A},\theta _{R}=\theta _{V}+\theta _{A}.$ ${\displaystyle \theta \{L}=\{V}-\theta _{R}=\eta$ _ ${V}+\ta _{A}.$ $}$

비선형 실현으로의 전환은 다음과 같다.

U={\frac {1}{F}}\left({\sqrt {F^{2}-{\boldsymbol {\pi }}^{2}}}\mathbf {1} _{2}+i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\right),\qquad {\mathcal {L}}_{\pi }^{(2)}={\frac {F^{2}}{4}}\langle \partial _{\mu }U\partial ^{\mu }U^{\dagger }\rangle ,

여기서 $\langle \ldots \rangle$ … $\langle \ldots \rangele$ 은 $\langle \ldots \rangle$ 향미 공간의 추적을 나타낸다. 이것은 비선형 시그마 모델이다.

μ $\textstyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }U$ μ $\textstyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }U$ μ $\textstyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }U$ U ${\$ $_$ ${\mu }\partial$ $^{\dager }$ 또는 $\textstyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }U$ $\textstyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }U^{\dagger }$ μ $\textstyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }U^{\dagger }$ μ $\textstyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }U^{\dagger }$ μ U $\textstyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }U^{\dagger }$ U $\textstyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }U^{\dagger }$ † ${\$ mu $\partial ^{}\dog$ }}}}을 포함하는 용어는 독립적이지 $\textstyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }U^{\dagger }$ 않으며 부분 통합을 통해 이 형식으로 가져올 수 있다. 상수 F²/4는 라그랑지안이 피온 단위로 쓰여질 때 질량이 없는 스칼라 필드의 통상적인 자유 항과 일치하도록 선택된다.

{\mathcal{L}_{\pi }^{{}}={\frac {1}{1}{2}}\partial _{\mu}{\boldsymbol {\pi }}}{\boldsy+}{1}{\frac{1}{2}F^{2}}}\{\pi _{\mu }{\boldsymbol {\pi }}}\cdot {\boldsymbol {\pi }}}^{2}+{\mathcal {O}(\pi ^{6}).

대체 파라메트리징

대체, 등가(Gürsey, 1960), 매개변수화

{\boldsymbol {\pi }\mapsto {\boldsymbol {\pi }{\frac {\sin(\pi /F )}{ \pi /F}},

U를 더 단순하게 표현하고

U=\mathbf{1} \cos \pi +i{\widehat{\pi}}\cdot {\boldsymbol {\\tau}}\cdot {\\boldsymbol{\\\\pi}/F}

아래의 재지정된 $π$ 변환을 참고하십시오.

LUR^{\dagger }=\exp(i{\boldsymbol {\theta }}_{A}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2-i{\boldsymbol {\theta }}_{V}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2)\exp(i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/F)\exp(i{\boldsymbol {\theta }}_{A}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2+i{\boldsymbol {\theta }}_{V}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2)

따라서, 위와 명백히 동일한 등거리, $V$ ; 그리고 위와 유사하게, 다음과 같다.

{\boldsymbol {\pi }}\longrightarrow {\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}_{A}F+\cdots ={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}_{A}F( \pi /F \cot  \pi /F )

부서진 대칭 $아래$ A, 교대. 이 간단한 표현은 $N개$ 의 가벼운 쿼크로 쉽게 일반화되므로( $\textstyle {\text{SU}}(N)_{L}\times {\text{SU}}(N)_{R}/{\text{SU}}(N)_{V}.$ , 1967) $\textstyle {\text{SU}}(N)_{L}\times {\text{SU}}(N)_{R}/{\text{SU}}(N)_{V}.$ (N $\textstyle {\text{SU}}(N)_{L}\times {\text{SU}}(N)_{R}/{\text{SU}}(N)_{V}.$ ) $\textstyle {\text{SU}}(N)_{L}\times {\text{SU}}(N)_{R}/{\text{SU}}(N)_{V}.$ $\textstyle {\text{SU}}(N)_{L}\times {\text{SU}}(N)_{R}/{\text{SU}}(N)_{V}.$ $\textstyle {\text{SU}}(N)_{L}\times {\text{SU}}(N)_{R}/{\text{SU}}(N)_{V}.$ ( $\textstyle {\text{SU}}(N)_{L}\times {\text{SU}}(N)_{R}/{\text{SU}}(N)_{V}.$ ) $\textstyle {\text{SU}}(N)_{L}\times {\text{SU}}(N)_{R}/{\text{SU}}(N)_{V}.$ / $\textstyle {\text{SU}}(N)_{L}\times {\text{SU}}(N)_{R}/{\text{SU}}(N)_{V}.$ ( $\textstyle {\text{SU}}(N)_{L}\times {\text{SU}}(N)_{R}/{\text{SU}}(N)_{V}.$ ) $\textstyle {\text{SU}}(N)_{L}\times {\text{SU}}(N)_{R}/{\text{SU}}(N)_{V}.$ . ${\$ $SU}}(N)_{L}\time {\text{$ $SU}}(N)_{R}/{\text{$ $SU}}(N)_{V}}$

참조

Gürsey, F. (1960). "On the symmetries of strong and weak interactions". Il Nuovo Cimento. 16 (2): 230–240. Bibcode:1960NCim...16..230G. doi:10.1007/BF02860276. S2CID 122270607.
Gürsey, Feza (1961). "On the structure and parity of weak interaction currents". Annals of Physics. Elsevier BV. 12 (1): 91–117. doi:10.1016/0003-4916(61)90147-6. ISSN 0003-4916.
콜먼, S.;Wess, J.;추미노, B(1969년).현상학적 Lagrangians"구조체입니다.I". 물리적 검토.177(5):2239.Bibcode:1969PhRv..177.2239C. doi:10.1103/PhysRev.177.2239.;캘런, C;콜먼, S.;Wess, J.;추미노, B(1969년).현상학적 Lagrangians"구조체입니다.II". 물리적 검토.177(5):2247.Bibcode:1969PhRv..177.2247C. doi:10.1103/PhysRev.177.2247.
Georgi, H. (1984, 2009) 약한 상호작용과 현대 입자 이론 (물리학에 관한 도버 북스) ISBN 0486469042 온라인.
Fry, M. P. (2000). "Chiral limit of the two-dimensional fermionic determinant in a general magnetic field". Journal of Mathematical Physics. 41 (4): 1691–1710. arXiv:hep-th/9911131. Bibcode:2000JMP....41.1691F. doi:10.1063/1.533204. S2CID 14302881.
Gell-Mann, M.; Lévy, M. (1960), "The axial vector current in beta decay", Il Nuovo Cimento, Italian Physical Society, 16 (4): 705–726, Bibcode:1960NCim...16..705G, doi:10.1007/BF02859738, ISSN 1827-6121, S2CID 122945049
Cronin, Jeremiah A. (1967-09-25). "Phenomenological Model of Strong and Weak Interactions in ChiralU(3)⊗U(3)". Physical Review. American Physical Society (APS). 161 (5): 1483–1494. doi:10.1103/physrev.161.1483. ISSN 0031-899X.

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