전자파 4전위

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공변량 공식 전자기 텐서 (표준 – 에너지 텐서) 사류 전자파 4전위
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v t

전자기 4전위는 전자기장을 유도할 수 있는 상대론적 벡터 함수이다.이것은 전기 스칼라 전위와 자기 벡터 전위를 하나의 ^[1]4벡터로 결합합니다.

소정의 기준범위 및 소정의 게이지에서 측정되는 바와 같이 전자파 4전위의 제1성분은 전기스칼라전위로 간주되며, 나머지 3성분은 자기벡터전위를 구성한다.스칼라와 벡터 전위는 모두 프레임에 의존하지만, 전자파 4전위는 로렌츠 공변량입니다.

다른 전위와 마찬가지로 게이지 선택에 따라 많은 다른 전자파 4전위가 동일한 전자장에 해당합니다.

이 문서는 텐서 지수 표기법과 민코프스키 메트릭 부호 표기법(+ - - -)을 사용한다.표기법에 대한 자세한 내용은 벡터의 공분산 및 반차이 및 지수 상승 및 하강을 참조하십시오.공식은 SI 단위와 가우스-cgs 단위로 제공됩니다.

정의.

전자파 4전위는 다음과 ^[2]같이 정의할 수 있습니다.

SI 단위	가우스 단위
${\displaystyle A^{\alpha}=\lefts\frac {1}{c}}\phi,\mathbf {A}\right},\!}$	${\displaystyle A^{\alpha}=(\phi,\mathbf {A})}$

여기서 θ는 전위이고 A는 자기 전위(벡터 전위)이다.A의^α 단위는 SI에서는 V·s·m⁻¹, 가우스-cgs에서는 Mx·cm이다⁻¹.

이러한 4전위와 관련된 전기장과 자기장은 다음과 같습니다.^[3]

SI 단위	가우스 단위
${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\phi} -{\frac \mathbf {A} {\frac t}}$	${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\phi} -{\frac {1}{c}} {\frac {A} {\frac t}}$
$\displaystyle \mathbf {B} = \mathbf {a} \times \mathbf {A}$	$\displaystyle \mathbf {B} = \mathbf {a} \times \mathbf {A}$

특수 상대성 이론에서, 전기장과 자기장은 로렌츠 변환 하에서 변환됩니다.이것은 텐서, 즉 전자기 텐서의 형태로 작성될 수 있다.이는 전자파 4전위 및 4급 경사의 관점에서 다음과 같이 기술됩니다.

$\displaystyle F^{\mu \nu }=\display ^{\nu }-\display ^{\nu }-A^{\mu }=begin {bmatrix}0&-E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/\0&C}E_{y}/c&B_{z}&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}$

민코프스키 메트릭의 시그니처가 (+ - - -)라고 가정합니다.위의 시그니처가 대신 (+++)일 경우:

${\displaystyle F',^{\mu \nu }=\displays ',^{\nu }-\displays ',^{\nu }A^{\mu }=begin {bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/\0-{\mu}A}$

이는 기본적으로 물리적으로 관측 가능한 양의 관점에서 4전위를 정의하고 위의 정의로 감소시킨다.

로렌츠 게이지 내

종종 관성 기준 프레임에서 로렌츠 게이지 조건${\displaystyle {\mathrm{}}_{}{}^{}}$ A ${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$ $=$0 {\$displaystyle \disples$ _${\alpha }A^{\alpha$ }=$0}$을 사용하여 맥스웰 방정식을 다음과 ^[2]같이 단순화한다.

SI 단위	가우스 단위
$\displaystyle \Box A^{\alpha}=\mu _{0}J^{\alpha}}$	${\displaystyle \Box A^{\alpha}=black {4\pi}{c}}J^{\alpha}}$

여기서^α J는 4전류의 성분이다.

${\displaystyle \Box = {1}{c^{2}}{\frac {\frac ^{2}}-\fracla ^{2}=\frac ^{\alpha }\frac _{\alpha }}}$

달랑베르의 연산자입니다.스칼라 및 벡터 퍼텐셜의 관점에서 이 마지막 방정식은 다음과 같습니다.

SI 단위	가우스 단위
${\displaystyle \Phi = frac {\silon _{0}}}$	$\displaystyle \Phi = 4\pi \rho }$
$\displaystyle \Box \mathbf {A} = \mu _{0}\mathbf {j}$	${\displaystyle \Box \mathbf {A} = flac {4\pi } {c}} \mathbf {j}$

주어진 전하 및 전류 분포, δ(r, t) 및 j(r, t)에 대해 SI 단위의 이러한 방정식에 대한 해는 다음과 같습니다.^[3]

${\displaystyle{\begin{정렬}\phi(\mathbf{r},t)&, ={\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}}\int\mathrm{d}^{3}x^{\prime}{\frac{\rho \left(\mathbf{r}^{\prime},t_{r}\right)}{\left \mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right}}\\\mathbf{A}(\mathbf{r},t)&, ={\frac{\mu_{0}}{4\pi}}\int\mathrm{d}^{3}x^{\prime}{\frac{\mathbf{j}\left(\mat.hbf{r}^{\prime},t_{r}\right}}{\left \mathbf {r} -\mathbf {r}^{\prime}\right}},\end{aligned}}}}$

어디에

$\displaystyle t_{r}=t-{\frac {left \mathbf {r} -\mathbf {r} '\right }{c}}$

지연된 시간입니다.이것은 때때로 다음과 같이 표현된다.

$\displaystyle \rho \left(\mathbf {r}\right)=\left[\rho \left(\mathbf {r} ',t\right],}$

여기서 각 괄호는 지연된 시간에 시간을 평가해야 함을 나타냅니다.물론 위의 방정식은 단순히 불균일 미분방정식에 대한 해이기 때문에 균질방정식에 대한 해는 경계조건을 만족시키기 위해 여기에 더할 수 있다.일반적으로 이러한 균질한 솔루션은 경계 밖의 소스로부터 전파되는 파동을 나타냅니다.

예를 들어 진동 전류(또는 전하)의 일반적인 경우에 대해 위의 적분을 평가하면 r(유도장)에 따라 변화하는⁻² 자기장 성분과 r(방사장)^{[clarification needed]}으로 감소하는⁻¹ 성분을 모두 얻을 수 있다.

게이지의 자유도

A는 하나의 형태로 평탄화되면 Hodge 분해 정리를 통해 정확한 형태, 코엑스 형태 및 조화 형태의 합으로 분해될 수 있다.

${\displaystyle A}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle d}$α + ${\displaystyle \beta }$+ ${\displaystyle \beta }$ +$$（ \ $displaystyle$ A $= d$ \ $alpha$+ \$displaystyle$ \ $exposed$ + \ exposed$\}$ 。

이 분해의 세 가지 형태 중 A에는 게이지 자유도가 있으며, 오직 코엑스 형태만이 전자기 텐서에 영향을 미친다.

${\displaystyle F}$ ${\displaystyle =}$ $(\displaystyle$ F$=dA$

정확한 형식은 해당 영역에서의 조화 형식과 마찬가지로 닫힙니다. $따라서{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{항상}}$ d ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$ $=$ 0 {\$displaystyle dd\alpha =$ 0$$ ${\displaystyle =}$ 0 {\$displaystyle$ d$\alpha = 0$}입니다.$따라서$α와$\alpha$에 $관계없이{\displaystyle }$ α와$α$는 단순하게 처리됩니다.

${\displaystyle F}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \beta }$ ${displaystyle$ F$=d\delta$ \$delta$ \delta$\}.$

「 」를 참조해 주세요.

• 4벡터
• 고전 전자기학의 공변 공식화
• 제피멘코의 방정식
• 글루온 필드
• 아로노프-봄 효과

레퍼런스

• Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5.
• Jackson, J D (1999). Classical Electrodynamics (3rd). New York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.