양자 조화 발진기

뉴턴의 고전역학의 법칙(A–B)과 양자역학의 슈뢰딩거 방정식(C–H)에 따른 고조파 발진기의 궤적.A~B에서는 입자(스프링에 부착된 공으로 표시됨)가 앞뒤로 진동합니다.C~H에서 슈뢰딩거 방정식의 해는 수평축이 위치이고 수직축은 파동함수의 실제 부분(파란색) 또는 허수 부분(빨간색)이다.G, H가 아닌 C, D, E, F는 에너지 고유 상태입니다.H는 고전적인 궤적에 근접하는 양자 상태인 일관성 있는 상태입니다.

양자 고조파 발진기는 고전적인 고조파 발진기의 양자 기계적 유사체입니다.임의의 평활 전위는 보통 안정된 평형점 근처에서 고조파 전위로 근사될 수 있기 때문에, 양자 역학에서 가장 중요한 모델 시스템 중 하나입니다.게다가, 이것은 정확하고 분석적인 해법이 ^[1]^[2]^[3]알려진 몇 안 되는 양자역학 시스템 중 하나입니다.

1차원 고조파 발진기

해밀턴 및 에너지 고유 상태

처음 8개의 바운드 고유 상태에 대한 파형 함수 표현, n = 0 ~ 7입니다.수평축은 x 위치를 나타냅니다.

대응하는 확률 밀도.

입자의 해밀턴식은 다음과 같다.

{{displaystyle {\hat {p}^2}}={2m}+{\frac {1}{2}k{x}}{2}={{\hat {p}{2m}}+{\frac {1}{2}}m}+{\frac {1}{{2}}{{\hat {x}}},

여기

서 m은 입자의 질량,

{\textstyle \omega ={\sqrt {k/m}}}

는 힘 상수,

{\textstyle \omega ={\sqrt {k/m}}}

{\textstyle \omega ={\sqrt {k/m}}}

/

{\textstyle \omega ={\sqrt {k/m}}}

m \

textstyle

\ obega =

subsigrt {k

/m

}

은

{\textstyle \omega ={\sqrt {k/m}}}

발진기의 각

{\hat {x}}

{\hat {p}}

x

{\hat {x}}

^

{display

style {

x}}

는

{\hat {x}}

위치 연산자, p ^ {

display

style {

p}

는

{\hat {p}}

운동량 연산자(지정)입니다.

{\hat {p}}=-i\hbar \,\partial /\partial x

^

=

- i

{\hat {p}}=-i\hbar \,\partial /\partial x

/ /

{\

{\

{\hat {p}}=-i\hbar \,\partial /\partial x

{

displaystyle

{

p}=-i\

hbar, \

display /\display

x

}

좌표

{\hat {p}}=-i\hbar \,\partial /\partial x

기준.해밀턴의 첫 번째 항은 입자의 운동 에너지를 나타내고, 두 번째 항은 후크의 법칙에서와 같이 입자의 잠재 에너지를 나타냅니다.

시간 독립형 슈뢰딩거 방정식을 쓸 수도 있다.

{H}}\left \psi \right \rangle = E\left \psi \right \rangle ~,

여기

서 E는 시간 독립 에너지 수준 또는 고유값을 지정하는 결정되는 실수를 나타내며, 솔루션

δθ는 해당 수준의 에너지 고유 상태를 나타냅니다.

스펙트럼 방법을 사용하여 파동 함수 $δx$ $δ =$ $δ (x)$ 에 대해 좌표 기준으로 이 고유값 문제를 나타내는 미분 방정식을 풀 수 있다.솔루션 패밀리가 있는 것으로 나타났습니다.이 기준에서 그것들은 헤르미트 함수에 해당한다.

{\displaystyle \psi _{n}(x)=black {1}{\displayrt {2^{n},n!}}\left\frac {m\ope}{\pi \hbar }}{1/4}e^{-{\frac {m\ope x^2}}{2\hbar }}H_{n}\left({\sqrt {m\ope }x\hbar }}x\q =nright,nad,

함수_n H는 물리학자들의 에르미트 다항식이다.

({displaystyle H_{n}(z)=param1)^{n}~e^{z^{2}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left(e^{-z^{2}}\오른쪽).}

대응하는 에너지 레벨은 다음과 같습니다.

({displaystyle E_{n}=\hbar \ober \bigl (}n+{\tfrac {1}{\bigr})=(2n+1){\hbar \over 2)\ober ~}

이 에너지 스펙트럼은 세 가지 이유로 주목할 만하다.첫째, 에너지가 양자화되므로 이산 에너지 값(δ의 $정수$ +반배수)만 가능하다. 이는 입자가 제한될 때 양자역학 시스템의 일반적인 특징이다.둘째, 이러한 개별 에너지 수준은 원자의 Bohr 모델이나 상자 안에 있는 입자와는 달리 균일한 간격입니다.셋째, 달성 가능한 가장 낮은 에너지( $n$ = 0 상태의 에너지, 지면 상태)는 전위 유정의 최소값과 동일하지 않지만 그 위의 $θθ$ / $2$ 이다. 이를 영점 에너지라고 한다.제로 포인트 에너지 때문에, 지면 상태에서의 발진기의 위치와 운동량은 고정되지 않고(일반 발진기처럼), 하이젠베르크 불확도 원리에 따라 변동 범위가 작습니다.

지면 상태 확률 밀도는 원점에 집중되어 있습니다. 즉, 입자는 에너지가 거의 없는 상태에서 대부분의 시간을 퍼텐셜 웰의 바닥에서 보낸다는 것을 의미합니다.에너지가 증가함에 따라 확률 밀도는 상태의 에너지가 잠재적 에너지와 일치하는 고전적인 "회전점"에서 최고조에 달합니다.(매우 흥분한 상태에 대해서는, 다음의 설명을 참조해 주세요).이것은 입자가 가장 느리게 움직이는 전환점 근처에서 더 많은 시간을 보내는(따라서 더 많이 발견될 가능성이 높은) 고전적인 고조파 발진기와 일치합니다.따라서 대응원칙이 충족된다.더욱이, 그림에서 보여지는 것처럼, 간섭성 상태라고 불리는 특별한 비분산 파동 패킷은 고전적인 물체와 매우 비슷하게 진동한다; 그것들은 해밀턴의 고유 상태가 아니다.

연산자

하단의 지면 상태(n = 0)에서 시작하여 상단을 향해 에너지가 증가하는 경계 고유 상태에 대한 확률 밀도 δ_n(x).수평축은 x

위치

를 나타내며 밝은 색상은 높은 확률 밀도를 나타냅니다.

Paul Dirac에 의해 개발된 "레이더 연산자" 방법은 미분 방정식을 직접 풀지 않고도 에너지 고유값을 추출할 수 있다.그것은 특히 양자장 이론에서 더 복잡한 문제들로 일반화 될 수 있다.이 접근법에 따라 $연산자a$ 와 그 $인접 †$ a를 정의합니다.

{m\oper 2\hbar}}\lefthat {x}+{i\over m\oper m\oper }{\hat {p}\right}\\a^{\har }&=hargrt {m\over 2\hbar}}\lefthat {x}-{i \over m\over m\over }{\hat {p}\right}\end {aligned}}

이러한 연산자는 고전적으로 x

{\

displaystyle

x}

m{\frac {dx}{dt}}

m{\frac {dx}{dt}}

m{\frac {dx}{dt}}

x

m{\frac {dx}{dt}}

{\

displaystyle

m

{\frac {dx}{dt

의 위상 공간에서 정규화된 회전의 발생기이며, 즉 고전적인 고조파 오실레이터의 시간에 따른 전진 및 후진 진화를 설명합니다.

이러한 연산자는 ${\hat {x}}$ x $^(\$ 및 ${\hat {x}}$ ${\hat {p}}$ p $^(\$ 의 ${\hat {x}}$ 한 표현으로 이어집니다.

{\displaystyle} {\hat {x} & = displayrt { frac { hbar } { 2 m \ obega } } ( a^ { \ display } + a ) \ \{p}&=ifrac {hbar m\obega }{2}}(a^{\bar m}-a)~\end { aligned}}

$연산자$ a와 $인접 †$ a가 같지 않기 때문에 연산자 a는 에르미트어가 아닙니다.이러한 사다리 연산자에 의해 작동될 때 에너지 고유 $상태$ nµ(포크 상태라고도 함)는 다음과 같습니다.

1}n+1\rangle {displaystyle {nargle }n}n\nargle {n}n}n\n\n\n}n\n\nargle

그러면 a는 본질적으로 발진기에 단일 양자 에너지를 부가하는 $반면$ a는 양자를 제거하는 것이 $명백$ 합니다^†.이 때문에, 이러한 연산자를 「생성」과「어니힐레이션」연산자라고 부르기도 합니다.

위의 관계에서 다음 속성을 $가진$ 숫자 연산자 N을 정의할 수도 있습니다.

displaystyle \ = a^ { \ \ \N&=a^{\dagger}a\\ n n.\ N\left n\right n\rangle .\end {aligned} N\left n\right n\rangle .\end {aligned}

다음과 같은 정류자는 표준 정류 관계를 대입하면 쉽게 구할 수 있다.

[a,a^{\dagger}}=1,\qquad [N,a^{\dagger}]=a^{\display},\qquad [N,a]=-a,

그리고 해밀턴 연산자는 다음과 같이 표현될 수 있다.

({displaystyle {H}}=\hbar \obega \left(N+{\frac {1}{2}}\right),}

그래서 N의 $고유$ 상태 또한 에너지의 고유 상태입니다.

정류 특성이 산출됩니다.

{\displaystyle {\begin{aligned}Na^{\dagger}n\left(n,a^{\dagger}N+[N,a^{\dagger}\right)n\rangle \&=\left(a^{\dagger}\right)N+a^{\langle(n)N\l\le(n)

그리고 마찬가지로

Na n\rangle =(n-1)a n\rangle .

즉, 가 n $'$ 에 작용하여 최대 승수 n~ $1'$ 을 $생성$ 하고^† n $'$ 에 작용하여 n $+1'$ 을 생성함을 $의미$ 합니다. $이$ 때문에 a는 소멸 연산자("하강 연산자")와^† 생성 연산자("상승 연산자")로 불린다.두 연산자를 함께 사다리 연산자라고 합니다.양자장 이론에서 $a$ 와^† a는 $에너지$ 의 양자에 해당하는 입자를 파괴하고 생성하기 때문에 "반사화"와 "생성" 연산자로 번갈아 불립니다.

에너지 고유 상태가 주어졌을 때, 우리는 더 적은 $에너지$ 를 가진 또 다른 고유 상태를 생성하기 위해 하강 $연산자$ a와 함께 작동할 수 있다.하강 연산자를 반복적으로 적용하면 에너지 고유 상태를 E $=$ -120까지 $생성$ 할 수 있습니다.하지만, 그 이후로는

n =\n aarangle =\rangle n\rangle {}a n\rangle 0displaystyle n=\rangle n\rangle n\rangle n}a =\rangle n\rangle n\rangle }a =\rangle

이고, 0은 0입니다.

a 0=0 (\displaystyle a\left 0\rangle = 0).}

이 경우 하강 연산자의 후속 애플리케이션은 추가 에너지 고유 상태 대신 0 kets만 생성합니다.에서 '아, 아, 아, 아, 아, 아, 아, 아, 아, 아, 아, 아, 아, 아, 아, 아, 아, 아, 아, 아, 아, 아, 아, 아,

0 0 {\displaystyle {H}\left 0\right\rangle = left 0\hbar \Omega }{2}\left 0\right\rangle }

마지막으로, 상승 연산자와 0º에 작용하고 적절한 정규화 인자를 곱함으로써, 우리는 무한대의 에너지 고유 상태를 생성할 수 있다.

\displaystyle \left 0\right\rangle, \left 1\right\rangle, \left 2\right\rangle, \left n\right\rangle, \ldots \right\}

그렇게 해서

({displaystyle {H}}\left n\right\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left n\right\rangle ,})

이 값은 이전 섹션에서 설명한 에너지 스펙트럼과 일치합니다.

임의의 고유 상태는 0µ로 나타낼 수 있습니다.

n\rangle = param frac {(a^{\display })^{n}}{\displayrt {n!}} 0\rangle .

증명

{\displaystyle{\begin{정렬}\langle naa^{\dagger}n\rangle&=\langle n\left([a,a^{\dagger}]+a^{\dagger}a\right)n\rangle=\langle n(N+1)n\rangle =n+1\\\Rightarrow a^{\dagger}n\rangle&={\sqrt{n+1}}n+1\rangle\\\Rightarrow n\rangle&={\frac{a^{\dagger}}{\sqrt{n}}}n-1\rangle ={\frac{{2(a^{\dagger})^}}{\sqrt{n(n-1)}}}.n-2\rangle=\cdots = flac {(a^{\cdots })^{n}}{\cdots {n!}} 0\rangle .\end {aligned}}

분석 질문

앞의 분석은 상승 연산자와 하강 연산자 사이의 정류 관계만을 사용하여 대수적이다.대수적 분석이 완료되면 분석적인 질문으로 눈을 돌려야 한다.우선, 그라운드 상태, 즉 a $a\psi _{0}=0$ 0 $=$ $a\psi _{0}=0$ ({ $displaystyle$ a $\psi$ _ ${0$ }= $0$ 의 방정식의 해를 구해야 한다.위치 표현에서, 이것은 1차 미분 방정식이다.

{\opegadisplaystyle \left(x+{\frac {m\opega}}}}{\frac {d}\right}\ {00}}

그 해는 쉽게 가우스라는^[4] 것을 알 수 있다.

_ x (displaystyle \psi _{0}(x)=Ce^{-{\frac {m\Omega x^{2}}}}}}{2\hbar}}}}}}}).}

개념적으로 이 방정식의 해는 하나뿐이라는 것이 중요합니다. 예를 들어 두 개의 선형 독립 접지 상태가 있다면 고조파 발진기에 대한 두 개의 고유 벡터의 독립적 사슬을 얻을 수 있습니다.일단 지면 상태가 계산되면 위치 표현에서 상승 연산자의 명시적 형식을 사용하여 들뜬 상태가 에르미트 다항식 x 가우스 지면 상태임을 귀납적으로 보여줄 수 있다.또한 지표 상태의 고유성에서 예상한 바와 같이 Hermite 함수는 사다리법에 의해 구성된 에너지 고유 상태

\psi _{n}

n

{\displaystyle

\

psi _{n

}}가 완전한 직교 정규 ^[5]함수 집합을 형성한다는 것을 증명할 수 있다.

이전 섹션과 명시적으로 연결하면 위치 표현에서 접지 상태 0µ은 0 $µ$ $a|0\rangle =0$ 0 { $displaystyle$ a 0 $\rangle = 0$ 에 $a|0\rangle =0$ 결정됩니다.

a right \\ \ left (x + { \ } { \ } { \ \ { } \ \ \ } \ \ \ \ \ \ \ \ \ row \ \ \ \ \ {\ \ \ {\ \ \ \ \ \ \ {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

\displaystyle \left\frack x\mid 0\right\rangle =\frac {m\hbar }{\pi \hbar }{\frac {m\opha}}{\exp \frac {m\opha }{2\hbar } =\psi _0~},

때문에, 「」

\displaystyle x\mid a^{\display}\mid 0\rangle =\psi _{1}(x)~,}

따라서

\psi _{1}(x,t)=\langle x\mid e^{-3i\omega t/2}a^{\dagger }\mid 0\rangle

1 (

\psi _{1}(x,t)=\langle x\mid e^{-3i\omega t/2}a^{\dagger }\mid 0\rangle

,

\psi _{1}(x,t)=\langle x\mid e^{-3i\omega t/2}a^{\dagger }\mid 0\rangle

)

=

\psi _{1}(x,t)=\langle x\mid e^{-3i\omega t/2}a^{\dagger }\mid 0\rangle

\psi _{1}(x,t)=\langle x\mid e^{-3i\omega t/2}a^{\dagger }\mid 0\rangle

\psi _{1}(x,t)=\langle x\mid e^{-3i\omega t/2}a^{\dagger }\mid 0\rangle

-

\psi _{1}(x,t)=\langle x\mid e^{-3i\omega t/2}a^{\dagger }\mid 0\rangle

\psi _{1}(x,t)=\langle x\mid e^{-3i\omega t/2}a^{\dagger }\mid 0\rangle

\psi _{1}(x,t)=\langle x\mid e^{-3i\omega t/2}a^{\dagger }\mid 0\rangle

t /

\psi _{1}(x,t)=\langle x\mid e^{-3i\omega t/2}a^{\dagger }\mid 0\rangle

a

\psi _{1}(x,t)=\langle x\mid e^{-3i\omega t/2}a^{\dagger }\mid 0\rangle

\psi _{1}(x,t)=\langle x\mid e^{-3i\omega t/2}a^{\dagger }\mid 0\rangle

\psi _{1}(x,t)=\langle x\mid e^{-3i\omega t/2}a^{\dagger }\mid 0\rangle

0

\psi _{1}(x,t)=\langle x\mid e^{-3i\omega t/2}a^{\dagger }\mid 0\rangle

⟩ \

displaystyle \psi

_ {

1}

(

x,t

)=\

specle

x

\mid

e

^{-3i\mode t

/2

}a^{\mid

0

\rangle

등입니다.

및

양자 고조파 발진기는 길이와 에너지에 대한 자연적인 척도를 가지고 있으며, 이는 문제를 단순화하는 데 사용될 수 있습니다.이것들은 비차원화로 찾을 수 있다.

그 결과 에너지가 δ $단위$ 로 측정되고 거리가δ/( $m)$ 단위로측정되면 해밀턴이 다음과 같이 단순화됩니다.

H dx2}2}{\displaystyle H=-{\frac {1}{2}\over dx^{2}+{\frac {2}{2}}{}}}{\displaystyle H=-{1}{\frac {2}

만, 는 1/2로 감소시킵니다.

_\rangle =\over displaystyle \psi _{n}(x)=\left\mid n\right\rangle = {2^{n}n}n!pi}/2)~}}~\pi^{-1/4}\exp4x^{2}/2)~H_{n}(x),}

displaystyle E_{n}=n+{\tfrac {1}{2}}~,}

여기

서_n H

(x)

는 에르미트 다항식이다.

혼란을 피하기 위해 이 기사에서는 이러한 "자연 단위"는 대부분 채택되지 않을 것입니다.그러나 계산 수행 시 번잡함을 우회하여 유용한 경우가 많습니다.

예를 들어, 이 $발진기$ 에 대한 시간 의존적인 슈뢰딩거 연산자인 H - $t iδ$ 의 기본해(전파자)는 간단히 메흘러 ^[6]^[7]커널로 요약됩니다.

xy\ K i texp \2\ t

여기

서 K

(x, y;0)

=

δ (x

-

y)

입니다.특정 초기설정 †(x,0

)

의 가장 일반적인 솔루션은 다음과 같습니다.

=\ dydisplaystyle \psi(x,t)=\int dy~K(x,y;t)\psi(y,0),}

있는

α =3의 간섭성 상태의 확률 분포(및 위상이 색으로 표시됨)의 시간 진화.

최소 불확실성 σxσp).mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output.frac .den{과 조화 진동자의 일관성 있는 주(또한 Glauber주들로 알려진 것)특별한nondispersive 파 포장하다.Vertical-align:실제로의 기대 값은 고전 시스템과 거의 비슷하게 진화하고 자유 아래 평온}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}ℏ⁄2.이들은 해밀턴이 아닌 소멸 연산자의 고유 벡터이며, 결과적으로 직교성이 결여된 과잉 완전 기저를 형성한다.

간섭 상태는 α $µC$ 로 지수화되고 $nµ$ 기준으로 다음과 같이 표현된다.

= _ \ \1}{2}} \^{{ {\ } {\flangle =\fl}} n\rangle = e^{-{\frac {1}{2}} \alpha ^{\alpha} e^{-{\alpha ^{*}a}} 0\rangle .}

$a\left|0\right\rangle =0$ 0 $a\left|0\right\rangle =0$ $=$ 0 { $style a\left$ 0 $\right\rangle =$ 0 } 이며 $a \left| 0 \right\rangle = 0$ Kermack-Mcrae 식별을 통해 마지막 형식은 지면 상태에 작용하는 단일 변위 연산자와 $|\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle$ 합니다. $|\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle$ $|\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle$ $|\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle$ $|\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle$ a $|\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle$ ^ $|\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle$ $|\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle$ $|\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle$ $D$ ( $|\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle$ ) $= display$ \ $langle$ \ langle \ style \ style $알파 ^{*}{\hat {a}}} 0\rangle$ = $D(\alpha$ ) $0\rangle$ 위치 공간 파형 함수는 다음과 같습니다.

\displaystyle \psi _{\alpha }(x')=\left\frac {m\hbar}{\pi \hbar}}{\frac {4} e^{\frac {i}{\hbar}}}}}\le {\alpha }x-{\far}{\fr}{\fr} {fr}

코히런트 상태는 에너지 고유 상태가 아니기 때문에 시간 진화는 파동 함수 위상의 단순한 이동이 아닙니다.그러나 시간 분해 상태 역시 일관성이 있지만 위상 분해 $매개$ 변수 $\alpha (t)=\alpha (0)e^{-i\omega t}$ ( $\alpha (t)=\alpha (0)e^{-i\omega t}$ ) $\alpha (t)=\alpha (0)e^{-i\omega t}$ ( $\alpha (t)=\alpha (0)e^{-i\omega t}$ ) $\alpha (t)=\alpha (0)e^{-i\omega t}$ e - $\alpha (t)=\alpha (0)e^{-i\omega t}$ ${\$ $\alpha (t)=\alpha (0)e^{-i\omega t}$ \ $displaystyle \alpha$ ( t) = \ $alpha$ ( $0)$ e $^{-i\obega$ t $\alpha (t)=\alpha (0)e^{-i\omega t}$ 이다.

들뜬

양자 고조파 발진기의

n

=

30

들뜸 상태에 대한 파형 함수(위) 및 확률 밀도(아래).수직 점선은 고전적인 전환점을 나타내며 점선은 고전적인 확률 밀도를 나타냅니다.

n이 클 $경우$ 고유 상태는 고전적인 허용 영역, 즉 $에너지 n$ E를 가진 고전적인 입자가 이동할 수 있는 영역으로 국지화됩니다.고유 상태는 전환점, 즉 고전 입자가 방향을 바꾸는 고전적으로 허용되는 영역의 끝에 있는 점 근처에서 정점에 도달합니다.이 현상은 에르미트 다항식의 점근점과 WKB 근사치를 통해 검증될 수 있다.

$x$ 에서의 진동 주파수는 $에너지 n$ E와 $위치$ x의 고전 입자의 $운동량$ p $(x)$ 에 비례합니다.또한 진폭의 제곱(확률 밀도 결정)은 p $(x)$ 에 반비례하여 고전 입자가 x $부근$ 에 머무는 시간을 반영합니다.터닝 포인트의 작은 부근에서의 시스템 동작은 단순한 고전적인 설명이 아니라 에어리 함수를 사용하여 모델링할 수 있습니다.에어리 함수의 속성을 사용하여 고전적으로 허용된 영역 밖에서 입자를 찾을 확률을 대략적으로 추정할 수 있습니다.

({displaystyle {n2}{n^{1/3}3^{2/3}\Gamma^{2}({\tfrac {1}{3}}}})=black{1}{n^{1/3}\cdot 7.46408092658)...

적분으로

}{{displaystyle {1}{2\pi}\int _{0}^{\infty}e^{(2n+1)\left(x-{\tfrac {1}{2}}\sinh(2x)\right)}자~}

공간

양자역학의 위상공간 공식에서 준가동성 분포의 몇 가지 다른 표현에서의 양자 고조파 발진기의 고유상태를 닫힌 형태로 쓸 수 있다.이들 중 가장 널리 사용되는 것은 위그너 준가동성 분포입니다.

에너지 고유 $상태$ nµ에 대한 위그너 준가동성 분포는 ^{[citation needed]}위에서 설명한 자연 단위에서 다음과 같다.

}}})\displaystyle F_{n}(x,pac}-frac})

여기서_n L은 Laguerre 다항식이다.이 예에서는 위그너 맵을 통해 에르미트 다항식과 라게르 다항식이 어떻게 링크되는지 보여 줍니다.

한편, 고조파 발진기 고유 상태의 후시미 Q 함수는 한층 더 단순한 형태를 가진다.위에서 설명한 자연 단위에서 작업하면

Q_{n}(x,p)=블랙 {(x^{2}+p^{2})^{n}}{n!2}}}}}}{\frac {e^{-(x^{2}+p^{2}}}}}{\frac {e^{2}}}}}}}}{\pi }}

이 주장은 Segal-Bargmann 변환을 사용하여 검증할 수 있다.구체적으로, Segal-Bargmann 표현에서 상승 연산자는 단순히 z

z=x+ip

+

z=x+ip

z=x+ip

{\

displaystyle

z

=x+ip}

이고

z=x+ip

접지 상태는 상수 함수 1이므로, 이 표현에서 정규화된 고조파 발진기 상태는

z^{n}/{\sqrt {n!}}

z^{n}/{\sqrt {n!}}

/

z^{n}/{\sqrt {n!}}

n

z^{n}/{\sqrt {n!}}

! {\

displaystyle

z

^{n}/{\rt {n}!

}}}.

이 시점에서 우리는 시갈-바르그만 변환의 관점에서 후시미 Q 함수의 공식에 호소할 수 있다.

N차원 등방성 고조파 발진기

1차원 고조파 발진기는 N차원으로 $쉽게$ 일반화할 수 있습니다. $여기$ 서 N $= 1, 2, 3$ , $\dots.$ 한 차원에서는 입자의 위치가 단일 좌표 $x$ 로 지정되었습니다. N $차원$ 에서는 N개의 위치 좌표로 $대체$ 되며_N, 이 좌표는 x, $\dots,$ x로 $표시$ 됩니다₁. 각 위치 좌표에 대응하는 모멘텀은 p, $\dots,$ $p$ 로₁_N 지정됩니다.이러한 연산자 간의 표준 정류 관계는 다음과 같습니다.

{{x_}{}&=hbar \display_j}\{}},{jdisplaystyle {[}x_{i}{i}{\displaystyle {i}{i}{\hbar \displaystyle}{i}{i}{i}{i}{i}{i}{i}{x}{i}{i}{displaystyle}{i}{i}{\hbar display}&=0\{}p_{i},p_{j}{]{aligned0\end{aligned}

는 ''입니다.

({displaystyle H=\sum _{i=1}^{N}\left({p_{i}^2}\over 2m)+{1 \over 2)m\Omega ^{2}x_{i}^2}\right).}

이 해밀턴의 형태가 분명히 나타내듯이, N차원 고조파 발진기는 질량과 스프링 상수가 동일한 N개의 독립적인 1차원 고조파 발진기와 $정확히$ 유사합니다.이 경우, x, ..., $x$ 의₁_N 양은 $N개$ 의 각 입자의 위치를 나타냅니다. $이것$ 은² 각각 하나의 좌표에 따라 잠재적 에너지를 항으로 분리할 수 있는 r 전위의 편리한 특성입니다.

이러한 관찰을 통해 솔루션은 간단해집니다.특정 양자수 $\{n\}\equiv \{n_{1},n_{2},\dots ,n_{N}\}$ {n $\{n\}\equiv \{n_{1},n_{2},\dots ,n_{N}\}$ { $\{n\}\equiv \{n_{1},n_{2},\dots ,n_{N}\}$ 1 , n 2 , $\{n\}\equiv \{n_{1},n_{2},\dots ,n_{N}\}$ , $\{n\}\equiv \{n_{1},n_{2},\dots ,n_{N}\}$ $\{n\}\equiv \{n_{1},n_{2},\dots ,n_{N}\}$ { $displaystyle$ \ { $n\}$ \ $equiv$ \ { $n_{$ 1}, $n_{2},$ \ $dots$ , $n_{N}\}$ 에 $\{n\}\equiv \{n_{1},n_{2},\dots ,n_{N}\}$ 대해 N차원 발진기의 에너지 고유함수는 다음과 같이 표현된다.

\ _ \ _{ \ _ \ \displaystyle \mathbf {x} \psi _{n\} \rangle = \display_{i}^{i}

사다리 연산자 방법에서 우리는 N개의 사다리 연산자 집합을 $정의$ 한다.

\displaystyle {m\oper 2\hbar}\left(x_{i}+{i \over m\oper m\{i}\right},\a_{i}^{\right}&=displayrt {m\oper 2\hbar}\left(x_{i}\{i}\end {aligned}) 정렬

1차원 케이스와 유사한 절차에 의해 $a$ 와_i^†_i 연산자가 각각 낮아지고 에너지가 $상승$ 한다는 것을 알 수 있다.해밀턴호는

({displaystyle H=\hbar \obe\sum _{i=1}^{N}\left(a_{i}^{\dagger}, a_{i}+{\frac {1}{2}}\right).}

이 해밀토니안은 다음과 같이 정의된

동적

대칭군 U

(N)(

N차원

에서 유니터리 군) 아래에서 불변합니다.

U_{ all Usumstyle U\dagger}^{{i}^{\dagger}U_{ji}\quad {text {for all}\in U(N)}

U_{ji}

서

(\

는

U_{ji}

U

(N)

를 정의하는 행렬 표현 요소입니다.

시스템의 에너지 수준은 다음과 같습니다.

\displaystyle E=\hbar \left[(n_{1}+\cdots +n_{N}+{N\over 2)\right]}

\displaystyle n_{i}=0,1,2,\displays \text{n}}i 입니다.}

1차원의 경우와 마찬가지로 에너지를 정량화한다.N개의 독립된 1차원 발진기에 $비유$ 할 수 있는 1차원 에너지의 $N배$ 입니다.한 가지 더 다른 점이 있습니다. 1차원의 경우, 각 에너지 레벨은 고유한 양자 상태에 해당합니다.N차원에서는 지면 상태를 제외하고 에너지 수준이 저하되며, 이는 동일한 에너지를 가진 여러 상태가 있음을 의미합니다.

퇴행은 비교적 쉽게 계산할 수 있다.예를 들어, 3차원의 경우를 생각해 봅시다. $n$ $= n 1$ + $n 2$ + $n$ 을₃ 정의합니다. $n$ 이 동일한 모든 상태는 동일한 에너지를 가집니다. $특정$ n에 대해 $특정 1$ n을 선택합니다. $그러면 2$ n + $n 3 = n$ - n 입니다₁.n $- n 1$ + $1개$ 의 가능한 $쌍$ { $n 3,$ n}이₂₂ $있습니다$ .n은 0 ~ $n$ - $n$ 의₁ $값$ 을 취할 수 있으며, $각 2$ n에 대해 $n$ 의₃ 값은 고정됩니다.따라서 퇴행성 정도는 다음과 같습니다.

=\sum {( g_{n}=\sum _{n1}=0}^n-n_{1}={black(n+2){n}{n}{n}(2)

일반 n

N

과 n의 공식 [g는

단일군

U(N)의 대칭적 환원 불가 n차

검정력 표현의 치수이다]

displaystyle g_{n}=binom {N+n-1}{n}}

위에 주어진 특수한

경우

N = 3은 이 일반 방정식에서 직접 나온 것이다.그러나 이는 구별 가능한 입자 또는 N차원(

치수

가 구별 가능하기 때문에)의 한 입자에 대해서만 해당됩니다.1차원 고조파 트랩의 N보손의

경우

축퇴는 N보다 작거나

같은

정수를 사용하여

정수

n을 분할하는 방법의 수로 확장됩니다.

displaystyle g_{n}=p(N_{-},n)}

${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }kn_{k}=n}$ 는 ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }kn_{k}=n}$ δk ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }kn_{k}=n}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }kn_{k}=n}$ ≤ kn ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }kn_{k}=n}$ = ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }kn_{k}=n}$ n {\ $textstyle \sum$ _ ${k=0}^{\infty$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }n_{k}=N}$ } $kn_{k}=$ n ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }kn_{k}=n}$ } $=$ N {\ $textstyle$ \ $sum _{k=$ 0}^{\ $infty}$ n $=n$ 인 상태 $케트$ 에 N quanta를 $넣는$ 제약으로 인해 발생한다.

고조파 : 3D 등방성 고조파 발진기

2D 밀도 플롯의 슈뢰딩거 3D 구면 조화 궤도 솔루션; 플롯을 생성하는 데 사용된 매스매티카 소스 코드가 맨 위에 있습니다.

구대칭 3차원 고조파 발진기에서 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식은 변수의 분리에 의해 명시적으로 풀 수 있습니다.현재의 경우는 이 기사를 참조해 주세요.이 절차는 수소 유사 원자 문제에서 수행되는 분리와 유사하지만, 다른 구면 대칭 전위를 가집니다.

V1displaystyle V(r)={1 \over2}\mu \obe ^{2}r^{2}}

여기

서 μ는 입자의 질량입니다.m은 아래 자기 양자 번호로 사용되기

때문

에, 이 기사의 앞부분과 같이 질량은 m이

아닌

μ로 표시됩니다.

솔루션은^[8] 다음과 같습니다.

_ rright)}( rdisplaystyle \psi,r\ta=phi)N_{kl}r^{-\nu r^{2}}L_{k}^{\left(l+{1 \over2}\right)}(2\nu r^{2})Y_{lm}(\theta,\phi)}

서 ''는

display N_{ kl

\;\nu^{l}}{(2k+2l+1)!!

}}}}~}

은

N_{kl}={\sqrt {{\sqrt {\frac {2\nu ^{3}}{\pi }}}{\frac {2^{k+2l+3}\;k!\;\nu ^{l}}{(2k+2l+1)!!}}}}~~

정규화

\nu \equiv {\mu \omega  \over 2\hbar }~

입니다.

\nu \equiv {\mu \omega  \over 2\hbar }~

ν

\nu \equiv {\mu \omega  \over 2\hbar }~

\nu \equiv {\mu \omega  \over 2\hbar }~

ℏ

\

displaystyle \ equiv

\

mu

\

over

2 \ hbar

\nu \equiv {\mu \omega  \over 2\hbar }~

} ~

\nu \equiv {\mu \omega  \over 2\hbar }~

。

{L_{k}^{(l+{1 \over2})}(2\nu r^{2})

일반화 라게르 다항식이다.다항식의 $차수$ k는 음이 아닌 정수이다.

$Y_{lm}(\theta ,\phi )\,$ Y $Y_{lm}(\theta ,\phi )\,$ m ( $Y_{lm}(\theta ,\phi )\,$ , $Y_{lm}(\theta ,\phi )\,$ $){$ $displaystyle Y_{lm}(\theta ,\phi )$ 은 구면 고조파 $Y_{lm}(\theta ,\phi )\,$ 함수이다.
$θ$ 는 환산 플랑크 $\hbar \equiv {\frac {h}{2\pi }}~.$ 이다 $\hbar \equiv {\frac {h}{2\pi }}~.$ $\hbar \equiv {\frac {h}{2\pi }}~.$ θ $\hbar \equiv {\frac {h}{2\pi }}~.$ $2 θ$ . { $displaystyle$ \ $hbar$ \ $equiv$ { 2 \ pi $}$ } ~ .

는 '''입니다.

\displaystyle E=\hbar \left(2k+l+{\frac {3}{2}}\frac)}

에너지는 보통 단일 양자수로 설명된다.

(\displaystyle n\equiv 2k+l),}

k는 음이 아닌 정수이므로, $모든$ $짝수$ n에 대해 우리는 $θ$ = $0, 2, \dots, n$ - 2, $n$ 을 가지며, 모든 $홀수$ n에 대해 $우리$ 는 θ $= 1$ , $3$ , $\dots,$ n - $2$ , $n$ 을 가진다. 자기 $양자수$ m은 $-s δ$ δ δ $δ$ δ δ δ δ δ δ δ를 만족하는 정수이므로, 모든 $n$ 과 δ에 $대해$ m에 대해 서로 다른 라벨이 붙은 양자 상태가 존재한다. $따라서$ 레벨 n에서의 퇴행은

_)={( 2displaystyle \sum _{l=\ldots,n-2,n}(2l+1)={(n+1)\over 2}

여기서 n이

짝수

인지 홀수인지에 따라 합계가 0 또는 1부터 시작됩니다.이 결과는 위의 차원 공식에 따른 것이며, 관련된 퇴행성 그룹인 SU(

3) [9]

의 대칭적 표현의 차원성에 해당한다.

프로그램

격자:: 포논

우리는 고조파 발진기의 개념을 많은 입자의 1차원 격자로 확장할 수 있다.N개의 동일한 원자의 1차원 양자역학 고조파 사슬을 생각해보자.이것은 격자의 가장 단순한 양자역학 모형입니다. 여기서 포논이 어떻게 발생하는지 볼 수 있습니다.우리가 이 모델을 위해 개발할 형식주의는 2차원과 3차원으로 쉽게 일반화할 수 있다.

이전 절에서와 같이, 우리는 질량 위치를 평형 위치에서 측정하여 x $, x 2,$ …로 나타낸다 $1$ ( $입자$ i가 평형 위치에 있는 경우 x $i$ = $0$ ).2차원 이상에서 $x$ 는_i 벡터량이다.이 시스템의 해밀턴식은

\{H}_{}^{ { + \2Omega ^{ _display\mathb} \mathbf {n}

여기

서 m은 각 원자의 (균일한) 질량이고

i

, x와

i

p는 i번째 원자의 위치와 운동량 연산자로, 합계는 가장 가까운 이웃(nn)에 걸쳐 이루어집니다.그러나 보다 편리한 푸리에 공간에서 작업할 수 있도록 입자 좌표보다는 파동 벡터의 정상 모드 측면에서 해밀턴을 다시 쓰는 것이 관례입니다.

그런 다음 $xs$ 의 이산 푸리에 변환으로 정의되는 N개의 "정상 좌표" $Q$ 와_k $ps$ 의 푸리에 변환으로 정의되는 N개의 "공역 모멘타" δ를 $소개$ 한다.

{n}\sum _displaystyle Q_{k}={1\over\sum _{l}e^{l}x_{l}}}

\{over _{displaystyle \Pi _{k}={1\over\sum _{l}e^{l}p_{l}}}}}}

$양 n$ k는 포논의 파장 수, 즉 2µ를 파장으로 나눈 값입니다.원자 수가 한정되어 있기 때문에 양자화된 값을 취합니다.

이렇게 실제 공간 중 됩니다.

{\displaystyle{\begin{정렬}[x_{나는},p_{m}\right]&,=i\hbar \delta _ᆯ\\\left[Q_{k},\Pi_{k'}\right]&, ={1\over N}\sum _ᆱe^ᆲe^ᆳ[x_{나는},p_{m}]\{\displaystyle{나는}\left[x_{나는},p_{m}\right]&, ={1\over N}\sum _{l,m}\left[Q_{k}\right]&,{l,m}e^{ik}{)},\&, ={\over Ni\hbar}\sum _{m}e^{iam(k-k의)}=i\hbar \delta _{k,k의}\.\\left는 경우에는 Q_{k},Q_{k'}\\&={i\hbar \over N}\sum _{m}e^{iam(k-k')}=i\hbar \par _{k,k'}\left[Q_{k'}\right]&=left[\Pi _{k}\right]=endaligned}}{end}}}} 정렬됨

인 결과로부터, 「」라고 하는 것은, 「」

{\displaystyle{\begin{정렬}\sum _{나는}x_{나는}x_{l+m}&, ={1\over N}\sum _{kk의}Q_{k}Q_{k'}\sum _{나는}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk의}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{나는}{p_{나는}}^{2}&, =\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}~,\end{정렬}}}{\displaystyle{displaystyle{정렬}\sum _{나는}x_{l+m}&, ={1\over N}\sum _{k`}Q_{k`}\sum _{나는}e^{ial\left(k+k'\righ.t==\{K_K}

기본 삼각법을 통해 잠재적 에너지 항이 다음과 같은 것을 보여주는 것은 쉽다.

_{j+1=over_{j})

어디에

\mega _{k}=sqrt {2\mega ^{2}(1-\cos(ka)}}~.

해밀토니안은 파동 벡터 공간에서 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

\displaystyle \mathbf {H} = {1 \over {2m}\sum _{k}\left({\Pi _{k}\Pi _{-k}}}+m^{2})}\obega _{k}^2}Q_{k}Q_{-k}\right}~ .}

위치 변수 사이의 커플링은 변환되어 사라졌습니다. $Qs$ 와 $δs$ 가 은둔자(비결합)인 경우 변환된 해밀턴이 N개의 비결합 고조파 발진기를 $기술$ 합니다.

양자화의 형태는 경계 조건 선택에 따라 달라집니다. 단순화를 위해 주기적인 경계 조건을 적용하여 ( $N + 1$ )번째 원자를 첫 번째 원자와 동등하다고 정의합니다.물리적으로 이것은 체인의 끝부분에서 체인을 결합하는 것에 해당합니다.그 결과 양자화됩니다.

k=k_{n}={2n\pi\over Na}\quad {hbox{for}}\n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots,\pm {N\over2}

n에 $대한$ 상한은 위에서 설명한 바와 같이 격자 $간격$ a의 2배인 최소 파장에서 나옵니다.

모드 $are$ 의_k 고조파 발진기 고유값 또는 에너지 레벨은 다음과 같습니다.

\displaystyle E_{n}=\left({1 \over 2)+n\오른쪽)\hbar \ober _{k}\displays n=0,1,2,3,\ldots }

만약 우리가 제로점 에너지를 무시한다면, 레벨은 균등하게 떨어져 있을 것이다.

\displaystyle \hbar \obe , 2\hbar \obe , 3\hbar \obe , \ldots }

따라서 정확한 양의 에너지 δ는 다음 에너지 레벨로 $밀어내기$ 위해 고조파 발진기 격자에 공급되어야 합니다.전자장이 양자화될 때의 광자 케이스와 유사하게 진동 에너지의 양자를 포논이라고 한다.

모든 양자계는 파동과 입자와 같은 성질을 보인다.포논의 입자상 특성은 두 번째 양자화 방법 ^[10]및 연산자 기술을 사용하여 가장 잘 이해할 수 있습니다.

연속체 한계에서는 na가 고정인 상태에서 a→0, N→na가 고정된다.표준좌표는 스칼라필드의 디커플링된 모멘텀모드 「 $\$ $k$ $\phi _{k}$ 에 Q devolve를 배치하고_k $로케이션인덱스$ i $($ 변위 다이내믹 변수가 아님)는 스칼라필드의 $파라미터$ x 인수 $x,$ $\phi (x,t)$ 가 됩니다.

분자 진동

The vibrations of a diatomic molecule are an example of a two-body version of the quantum harmonic oscillator. In this case, the angular frequency is given by $\omega ={\sqrt {\frac {k}{\mu }}}$ where $\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$ is the reduced mass and $m_{1}$ and $m_{2}$ are the masses of the two atoms.^[11]
The Hooke's atom is a simple model of the helium atom using the quantum harmonic oscillator.
Modelling phonons, as discussed above.
A charge $q$ with mass $m$ in a uniform magnetic field $\mathbf {B}$ is an example of a one-dimensional quantum harmonic oscillator: Landau quantization.

References

^ Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0.
^ Liboff, Richard L. (2002). Introductory Quantum Mechanics. Addison–Wesley. ISBN 978-0-8053-8714-8.
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^ The normalization constant is $C=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}$ , and satisfies the normalization condition $\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{0}(x)^{*}\psi _{0}(x)dx=1$ .
^ See Theorem 11.4 in Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
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External links

[1] Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0.

[2] Liboff, Richard L. (2002). Introductory Quantum Mechanics. Addison–Wesley. ISBN 978-0-8053-8714-8.

[3] Rashid, Muneer A. (2006). "Transition amplitude for time-dependent linear harmonic oscillator with Linear time-dependent terms added to the Hamiltonian" (PDF-Microsoft PowerPoint). M.A. Rashid – Center for Advanced Mathematics and Physics. National Center for Physics. Retrieved 19 October 2010.

[4] The normalization constant is $C=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}$ , and satisfies the normalization condition $\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{0}(x)^{*}\psi _{0}(x)dx=1$ .

[5] See Theorem 11.4 in Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158

[6] Pauli, W. (2000), Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics (Dover Books on Physics). ISBN 978-0486414621 ; Section 44.

[7] Condon, E. U. (1937). "Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations", Proc. Natl. Acad. Sci. USA 23, 158–164. online

[8] Albert Messiah, Quantum Mechanics, 1967, North-Holland, Ch XII, § 15, p 456.online

[9] Fradkin, D. M. "Three-dimensional isotropic harmonic oscillator and SU3." American Journal of Physics 33 (3) (1965) 207–211.

[Mahan-10] Mahan, GD (1981). Many particle physics. New York: Springer. ISBN 978-0306463389.

[11] "Quantum Harmonic Oscillator". Hyperphysics. Retrieved 24 September 2009.

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