양자통계역학

현대 물리학
${\displaystyle {H} \psi _{n}(t)\rangle = i\hbar {frac {\frac } {\frac t} \psi _{n}(t)\rangle }$ ${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=t_{\mu \nu }}$ 슈뢰딩거와 아인슈타인 필드 방정식
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분류 현대 물리학
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양자역학
${\displaystyle i\hbar {\frac t} \psi (t) \rangle = {H} \psi (t) \rangle }$ 슈뢰딩거 방정식
서론 용어집 역사
배경 고전 역학 구 양자론 브라켓 표기법 해밀턴식 방해다
기초 상보성 데코히렌스 얽힘 에너지 레벨 측정. 비국소성 양자수 주 중첩 대칭 터널링 불확실성 파동 함수 접다
실험 벨 부등식 데이비슨-게르머 더블 슬릿 엘리추르-바이드만 프랑크-헤르츠 레깃-가르그 부등식 마흐-젠더 포퍼 양자 지우개 선택 지연 슈뢰딩거의 고양이 스턴-게라크 휠러의 지연 선택
제제 개요 하이젠베르크 상호 작용 매트릭스 위상 공간 슈뢰딩거 Sum-over-History(경로 적분)
방정식 디락 클라인-고든 파울리 리드버그 슈뢰딩거
해석 개요 베이지안 일관성 있는 이력 코펜하겐 브로이쾅 앙상블 숨김 변수 현지의 다세계 객관적 붕괴 양자 논리 관계형 트랜잭션
상세 토픽 상대론적 양자역학 양자장론 양자정보과학 양자 컴퓨팅 양자 카오스 밀도 매트릭스 산란 이론 양자통계역학 양자 기계 학습
과학자 아하로노프 벨 베테 블래킷 블로치 쾅 보어 태어난 보스 드 브로글리 콤프턴 디락 데이비슨 데비 에렌페스트 아인슈타인 에버렛 폭 페르미 파인만 글라우버 거츠빌러 하이젠베르크 힐베르트 조던 크래머스 파울리 새끼 양 란다우 라우에 모즐리 밀리칸 온네스 플랑크 라비 라만 리드버그 슈뢰딩거 시몬스 솜메르펠트 폰 노이만 와일 빈 위그너 지만 자이링거
v t

양자통계역학은 양자역학계에 적용되는 통계역학이다.양자역학에서 통계적 앙상블(가능 양자상태에 대한 확률 분포)은 양자계를 기술하는 힐버트 공간 H상의 트레이스 1의 비음성, 자기접점, 트레이스 클래스 연산자 S에 의해 기술된다.이것은 양자역학의 다양한 수학적 형식론에서 보여질 수 있다.그러한 형식주의 중 하나는 양자 논리에 의해 제공된다.

기대.

고전적인 확률 이론으로부터, 우리는 랜덤 변수 X의 기대치가 그것의 분포_X D에 의해 정의된다는 것을 안다.

${\displaystyle \mathbb {E} (X)=\int _{\mathbb {R}}\lambda \,d,\operatorname {D} _{X}(\lambda)}$

물론 랜덤 변수가 적분 가능하거나 랜덤 변수가 음수가 아니라고 가정합니다.마찬가지로, A를 양자역학계의 관측가능이라고 하자.A는 H 상에서 조밀하게 정의된 자기접속 연산자에 의해 부여됩니다.A의 스펙트럼 측정값은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {E} _{A} (U)=\int _{U}\lambda d\operatorname {E} (\displayda ) }$

A를 일의로 결정하고 반대로 A에 의해 일의로 결정한다.E는_A R의 보렐 부분 집합에서 H의 자기접점 투영 격자 Q로 부울 동형사상입니다. 확률 이론과 유사하게, 상태 S가 주어졌을 때, 우리는 R의 보렐 부분 집합에서 정의된 확률 측도인 S 아래의 A의 분포를 도입합니다.

${\displaystyle \operatorname {D} _{A}(U)=\operatorname {Tr}(\operatorname {E} _{A}(U)S).}$

마찬가지로, A의 기대치는 확률 분포_A D의 관점에서 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathbb {E} (A)=\int _{\mathbb {R}}\lambda \,d,\operatorname {D} _{A}(\lambda)}$

이 예상은 D의 정의에_A 사용되는 혼합 상태 S에 상대적이다.

비고. 기술적 이유로, 무한 연산자에 대해 보렐 함수 미적분에 의해 정의된 A의 양의 부분과 음의 부분을 별도로 고려할 필요가 있다.

쉽게 알 수 있는 것은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \mathbb {E}(A)=\operatorname {Tr}(AS)=\operatorname {Tr}(SA).}$

S가 벡터$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle \psi$에 대응하는 순수 상태일 경우 다음과 같이 됩니다.

$\displaystyle \mathbb {E} (A)=\langle \psi A \psi \rangle .}$

연산자 A의 트레이스는 다음과 같이 기술됩니다.

${\displaystyle \operatorname {Tr}(A)=\sum _{m}\sumle m A m\rangle .}$

폰 노이만 엔트로피

상태의 무작위성을 기술하는 데 있어서 특별한 중요성의 하나는 공식적으로 정의된 S의 폰 노이만 엔트로피이다.

${\displaystyle \mathrm{H}}$ ${\displaystyle （}$ ${\displaystyle S}$） ${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle \mathrm{Tr}}$ ${\displaystyle （}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {log\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle {}_{}}$ 、 ${\displaystyle S}$） { $displaystyle \operatorname${$H$（ $S$） = - \$operatorname${ $Tr$} ( S \ $log$_ {2$} S$)$$} 。

실제로 연산자 S₂ 로그 S가 반드시 트레이스 클래스일 필요는 없습니다.그러나 S가 추적 클래스가 아닌 음이 아닌 자가 점 연산자일 경우 Tr(S) = +self-consume를 정의한다.또한 어떤 밀도 연산자 S도 대각화할 수 있으며, 어떤 직교 정규 기반에서 (아마도 무한한) 형태의 행렬로 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle {bmatrix}\cdots & 0&\cdots & 0&\cdots &\cdots &\vdots &\0&\cdots &\vdots &\0&\cdots &\cdots &\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\cdots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\cdots\dots$

그리고 우리는

${\displaystyle \operatorname {H}(S)=-\sum _{i}\sum _{i}\log _{2}\superda _{i}.}$

확률이 0인 이벤트는 엔트로피의 원인이 되지 않기 때문에 ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle {log\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}0}$ 0 $=$ ${\displaystyle 0}$ {\$displaystyle \;0$\log $_{2}0=0$이라는 규칙이 ${\displaystyle 있습니다\mathrm{}}$.이 값은 확장 실수(즉 [0, θ])이며, 이는 분명히 S의 단일 불변량이다.

비고. 일부 밀도 연산자 S의 경우 H(S) = +solid일 수 있다.사실 T는 대각행렬이다.

${\displaystyle T=bgin{bmatrix}{\frac {1}{2(\log _{2}^{2}}}&\cdots \0&{\frac {1}{3(\log _{2}3)^2}}&\cdots & 0&\cdots & dots & dots$

T는 음이 아닌 트레이스 클래스이며 T 로그₂ T가 트레이스 클래스가 아님을 나타낼 수 있습니다.

정리.엔트로피는 단일 불변량이다.

고전적인 엔트로피(정의의 유사성에 주목)와 유사하게, H(S)는 상태 S에서 무작위성의 양을 측정합니다.고유값이 분산될수록 시스템 엔트로피가 커집니다.공간 H가 유한 차원인 시스템에서 엔트로피는 대각선 형태로 다음 표현을 갖는 상태 S에 대해 최대화된다.

$(\displaystyle {\frac {1}{n}}&\cdots & 0&{\frac {1}{n}}&\frac {n}}&\vdots &\vdots &\vdots &\frac {n}}&\frac {n}&\matrix$

이러한 S에 대해 H(S) = log₂ n.상태 S를 최대 혼합 상태라고 합니다.

순수한 상태는 형태 중 하나라는 것을 기억하라.

$(\displaystyle S= \psi \rangle \displayle \psi , )$

θ에 대하여 노름 1의 벡터.

정리.S가 순수한 상태인 경우에만 H(S) = 0입니다.

S는 대각형이 0이 아닌 엔트리가 1인 경우에만 순수한 상태입니다.

엔트로피는 양자 얽힘의 척도로 사용될 수 있다.

깁스 정준합주

평균 에너지 E를 가진 해밀턴 H에 의해 기술된 시스템의 앙상블을 고려합니다. H가 순수점 ${\displaystyle {스펙트럼}_{}}$을$$가지며 $H의 고유값$ E n(\displaystyle$$ E_${n$})이 +displate로 충분히 빠르면^{−r H} e는 모든 양의 r에 대해 음이 아닌 트레이스 클래스 연산자가 됩니다.

깁스 정규 앙상블은 주로 설명된다.

${\displaystyle S=mathrm {e} ^{-\display H}} {\operatorname {Tr}(\mathrm {e} ^{-\display H}}}}}$

여기서 β는 에너지의 앙상블 평균이 다음을 만족하는 것이다.

$\displaystyle \operatorname {Tr}(SH)=E}$

그리고.

${\displaystyle \operatorname {Tr}(\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-\mathrm E_{n}} = Z(\beta)} }$

이것은 분할 함수라고 불리며, 고전 통계 역학의 표준 분할 함수의 양자 역학 버전입니다.앙상블에서 무작위로 선택된 시스템이 에너지 $고유값{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$m {\$display E_{m}$에 해당하는 상태에 있을 확률은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\mathcal {P}}(E_{m})=blac {-\sum E_{n}}{\sum E_{n}\mathrm {e}}}.}$

특정 조건에서 깁스 표준 앙상블은 에너지 보존 요구 ^{[clarification needed]}조건의 대상 상태의 폰 노이만 엔트로피를 최대화합니다.

그랜드 표준 앙상블

에너지와 입자의 수가 변동할 수 있는 개방 시스템의 경우, 시스템은 밀도 매트릭스에 의해 설명되는 그랜드 표준 앙상블에 의해 설명됩니다.

${\displaystyle \rho =\frac {\mathrm {e} ^{\sum _{i}\mu _{i}-H}}}{\operatorname {Tr} \left(\mathrm {e} ^{\sum _ {i}\mu _{i}-H} } } } } } }오른쪽}}$

여기서 N, N₂, ...은₁ 저장소와 교환되는 여러 종류의 입자에 대한 입자 번호 연산자입니다.이것은 (다양한 N의) 표준 앙상블과 비교하여 더 많은 상태를 포함하는 밀도 매트릭스입니다.

그랜드 파티션 기능은

${\displaystyle {\mathcal {Z}(\beta,\mu _{1},\mu _{2},\cdots)=\operatorname {Tr}(\mathrm {e}^{\mu _{i}N_{i}-H})}}})$

「 」를 참조해 주세요.

• 양자 열역학
• 열양자장론

레퍼런스

• J. von Neumann, 양자역학 수학재단, 프린스턴 대학 출판부, 1955.
• F. Reif, 통계 및 열물리학, McGraw-Hill, 1965.