토릭 코드

토릭 코드는 위상 양자 오류 ^[1]수정 코드이며, 2차원 스핀 격자에 정의된 스태빌라이저 코드의 예입니다.그것은 양자 이중 ^[2]모델 중 가장 단순하고 잘 연구된 것이다.또한 위상 순서의 가장 단순한 예인 Z₂ 위상 순서(1991년 ^[3][4]Z 스핀 액체의 맥락에서₂ 처음 연구됨)이다.토릭 코드는 특정 ^[5]한계에서 Z 격자₂ 게이지 이론으로 간주될 수도 있습니다.그것은 알렉세이 키타예프에 의해 소개되었다.

토릭 코드는 주기적인 경계 조건으로부터 이름을 얻어서 토러스 모양을 만들어 냅니다.이러한 조건은 해석 연구에 유용한 모델 번역 불변성을 제공한다.그러나 실험적인 실현을 위해서는 개방된 경계 조건이 필요하며, 2D 표면에 시스템을 삽입할 수 있습니다.결과 코드는 일반적으로 평면 코드라고 불립니다.이 동작은 대부분의 경우 토릭 코드와 동일합니다(전부는 아닙니다.

오류 정정 및 계산

토릭 코드는 2차원 격자에 정의되며, 보통 정사각형 격자로 선택되며, 각 모서리에 스핀θ 자유도가 있습니다.그것들은 주기적인 것으로 선택되었다.스태빌라이저 연산자는 격자의 각 $정점{\displaystyle }$ v$\displaystyle$ v$}$ 및$$ 플라크트^{[definition needed]}($또는{\displaystyle }$ 이중 ^{[clarification needed]}격자의 정점) p$\displaystyle$ p$}$ 주위의$$ 스핀에 다음과 같이 정의된다.

$\displaystyle A_{v}=\prod _{i\in v}\prod _{i}^x},,,B_{p}=\prod _{i\in p}\prod _{i}^z}.}$

여기서 i ${\displaystyle v}$v \ $display$ $style$ i \ $in$ v$$touching$$ 、 v$v{\displaystyle }$ the v \ $display$ style$$v$$$the{\displaystyle }$ 、 i ${\$ ${\displaystyle p}$ \ $display style$$$i \ $in$p$$$to{\displaystyle }$$$ 、 quettequettequette $quettequetteinging{\displaystyle }$ing {\ {\ {\ing {\ {\ {\ {\ {\ {\ where where where where where where {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\코드의 스태빌라이저 공간은 모든 스태빌라이저가 3차적으로 작용하는 공간입니다.따라서 이 공간 내의 모든 ${\displaystyle 상태}$ δ$$δ {\$displaystyle \psi$ \rangle$}$은 다음과 같이 유지됩니다.

$\displaystyle A_{v} \psi \rangle = \psi \rangle , , , , , , , , , B_{p} \psi \rangle = \psi \rangle , , , , , , , , , \forall p . }$

토릭 코드의 경우, 이 공간은 4차원이며, 따라서 2큐빗의 양자 정보를 저장하는 데 사용될 수 있습니다.이는 독립 스태빌라이저 오퍼레이터의 수를 고려함으로써 입증할 수 있다.오류가 발생하면 상태가 스태빌라이저 공간 밖으로 이동되어 위의 조건이 유지되지 않는 정점과 플레이트가 생성됩니다.이러한 위반의 위치는 오류 수정에 사용할 수 있는 코드의 증후군입니다.

토릭 코드와 같은 토폴로지 코드의 고유한 특성은 안정제 위반이 준입자로 해석될 수 있다는 것입니다.$구체적$으로는 코드가 다음과$$같은$상태일$경우

${\displaystyle A_{}}$ v ${\displaystyle \varphi {}_{}}$ -${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle displaydisplay}$ \ $displaystyle A$_ { $v }$ \$phi \rangle =$- \$phi \rangle$ ,

$\displaystyle$anyon으로 알려진 준입자는 $정점{\displaystyle }$v\$displaystyle$ v$\backslash$displaystyle b_${p}$에 존재한다고 할 수 있습니다. 마찬가지로 ${\displaystyle B_{}}$ p$\${p}의 위반은 플레이트의 $\displaystyle$ m$\$nyon과$$ 관련되어 있습니다.따라서 스태빌라이저 공간은 애니온 진공에 해당합니다.단일 스핀 오차로 인해 애니온 쌍이 생성되고 격자 주위로 전송됩니다.

에러가 Anyon 쌍을 생성하고 Anyon을 이동하면 동작하는 모든 링크로 구성된 두 개의 경로를 연결할 수 있습니다.그 후 Anyon이 만나 소멸된 경우 이 경로는 루프를 나타냅니다.루프가 토폴로지적으로 사소한 경우 저장된 정보에는 영향을 주지 않습니다.이 경우 Anyon을 말살하면 생성 및 전송에 관련된 모든 오류가 수정됩니다.단, 루프가 토폴로지적으로 중요하지 않은 경우에는 애니온의 재애니힐레이션은 상태를 스태빌라이저 공간으로 되돌리지만 저장된 정보에 대한 논리연산도 구현한다.따라서 이 경우 오류는 수정되지 않고 통합됩니다.

각 스핀에서 비트와 위상 오류가 독립적으로 발생하는 노이즈 모델을 모두 확률 p로 고려합니다.p가 낮으면 생성 지점에서 멀리 이동하지 않은 희박하게 분포된 애니온 쌍이 생성됩니다.수정은 Anyon이 생성된 쌍을 식별한 후(최대 등가 클래스까지), 다시 아닐하여 오류를 제거함으로써 수행할 수 있습니다.그러나 p가 증가할수록 위상적으로 중요하지 않은 루프가 형성될 위험 없이 Anyon이 어떻게 쌍을 이룰 수 있는지에 대해서는 더 모호해진다.이것에 의해, 에러 수정이 성공할 가능성이 거의 확실히 주어집니다.랜덤 결합 이징 모델에 대한 매핑을 통해 이 임계 확률은 약 11%^[6]인 것으로 밝혀졌다.

다른 오류 모델도 고려할 수 있으며 임계값도 찾을 수 있습니다.지금까지 연구된 모든 사례에서 이 코드는 해싱 경계를 포화시키는 것으로 밝혀졌다.위상 오류보다 비트 오류가 더 자주 발생하는 편파 오류 또는 그 반대 오류와 같은 일부 오류 모델의 경우 ^[7][8]최적의 임계값을 달성하기 위해 사각 격자 이외의 격자를 사용해야 합니다.

이러한 임계값은 상한이며 이를 달성하기 위한 효율적인 알고리즘이 발견되지 않는 한 유효하지 않습니다.가장 잘 사용되는 알고리즘은 최소 무게 완전 ^[9]일치입니다.독립적인 비트 및 플립 오류가 있는 노이즈 모델에 적용하면 약 10.5%의 임계값이 달성됩니다.이는 최대 11%에 약간 못 미칩니다.단, 비트와 위상오류 사이에 상관관계가 있는 경우(예: 편광 해제 노이즈)에는 매칭이 잘 되지 않습니다.

토릭 코드 내에 저장된 논리 정보에 대해 양자 계산을 수행하는 방법이 검토되었으며, 코드의 속성은 내결함성을 제공합니다.스태빌라이저가 적용되지 않는 '구멍', 정점 또는 플레이트를 사용하여 스태빌라이저 공간을 확장하면 많은 큐비트를 코드로 인코딩할 수 있는 것으로 나타났다.그러나 유니버설 유니터리 게이트 세트는 유니터리 연산에 의해 폴트 톨러런스하게 구현될 수 없기 때문에 양자 컴퓨팅을 실현하기 위해서는 추가 기술이 필요합니다.예를 들어 범용 양자 컴퓨팅은 큐비트로 대체될 때 필요한 추가 게이트에서 순간이동하기 위해 사용되는 tidBits라고 불리는 인코딩된 양자 스텁을 통해 마법 상태를 준비함으로써 달성될 수 있습니다.또한 마법 상태의 준비는 내결함성이 있어야 하며, 이는 시끄러운 마법 상태에서 마법 상태를 증류함으로써 달성될 수 있다.이 원리에 기초한 양자 계산을 위한 측정 기반 스킴이 발견되었으며, 그 오차 역치는 2차원 ^[10][11]아키텍처에서 가장 높은 것으로 알려져 있다.

해밀턴과 자기 수정

토릭 코드의 스태빌라이저 연산자는 준초점이며, 2차원 격자에서 서로 가까운 스핀에만 작용하기 때문에 다음과 같은 해밀턴을 정의하는 것은 비현실적이지 않다.

${\displaystyle H_{\rm {TC}}=-J\sum _{v}A_{v}-J\sum _{p}B_{p},,J>0.}$

이 해밀턴의 접지 상태 공간은 코드의 안정화 공간입니다.들뜬 상태는 그 수에 비례하는 에너지와 함께 다른 모든 상태와 일치합니다.따라서 국소 오차는 국소 ^[12]섭동에 대해 안정적인 것으로 나타난 격차에 의해 에너지적으로 억제된다.그러나 그러한 섭동의 동적 효과는 여전히 ^[13][14]코드에 문제를 일으킬 수 있다.

또한 이 갭은 코드에 열 오류에 대한 복원력을 제공하므로 특정 임계 시간 동안 거의 확실하게 수정할 수 있습니다.이 시간은 J$(\displaystyle$ J$)$에 $따라{\displaystyle }$ 증가하지만 이 커플링의 임의 증가는 비현실적이기 때문에 해밀턴이 제공하는 보호에는 여전히 한계가 있습니다.

토릭 코드 또는 평면 코드를 완전 자기 보정 양자 메모리로 만드는 방법이 종종 고려됩니다.자가 보정은 해밀턴이 자연스럽게 오류를 무한정 억제하여 열역학 한계에서 분리를 일으키는 수명을 의미합니다.토릭 코드에서는 임의 ^[15][16]간 장거리 상호 작용이 존재하는 경우에만 가능한 것으로 확인되었습니다.이를 실현하기 위한 제안이 연구소에서 제시되었습니다. 또 다른 접근법은 모델을 더 높은 차원으로 일반화하는 것이며, 준 국소적 ^[18]상호작용만으로 4D로 자가 보정이 가능합니다.

애니온 모형

앞에서 설명한 바와 같이, 이른바 $\displaystyle$$e$와 m$\displaystyle$m은$$ 각각 모델의 정점과 플레이트와 관련되어 있습니다.이러한 준입자는 편조의 사소한 효과 때문에 임의 입자로 묘사될 수 있다.구체적으로는, 어느 종이나 서로에 대해서는 보소닉이지만, $2개$의$e-디스플레이$스타일$또는$$m-디스플레이 스타일$m의 브레이딩은 효과가 없고$,$ $e-디스플레이 스타일$m과$m-디스플레이$ $스타일$$$m의$$ 완전한 모노드로미는$-1$의${\displaystyle }$위상을 낳는다.이러한 결과는 부정적이지 않다$.$보소닉 또는 페르미온 통계와 함께 존재하며, 따라서 임의적입니다.

준입자의 무지음 상호 통계는 위상적으로 중요하지 않은 루프에 의해 수행되는 논리 연산을 보여준다.위 그림의 파란색 토러스에 표시된 것과 같이 위상적으로 중요하지 않은 루프 주위에 e$\style$anyon$$ $쌍$을 만든 후 쌍을 다시 환기하기 전에 전송을 고려하십시오.상태는 스태빌라이저 공간으로 돌아가지만 루프는 저장된 큐비트 중 하나에 논리 연산을 구현합니다.m$\displaystyle$ m$}$개의$$ 모든 것이 마찬가지로 논리 연산 위에 있는 빨간색 루프를 통해 이동하면 $논리{\displaystyle }$ 연산도 수행됩니다.anyon을 브레이딩할 때 발생하는 - $(\displaystyle -1)$ 단계는$$ 이러한 작업이 통근하지 않고 오히려 반커밋됨을 나타냅니다.따라서 이들은 저장된 큐비트 중 하나에서 $논리{\displaystyle }$Z(\$displaystyle$ Z$)$ 및$$ $(\displaystyle$ X$)$ Pauli$$ 연산자로 해석될 수 있습니다.다른 쪽 큐비트의 대응하는 논리 Pauli는 파란색 루프 뒤에 $\displaystyle$ m$\$anyon$$, $빨간색{\displaystyle }$ 뒤에 e$\displaystyle$ e$\$anyon에$$ 해당합니다.$\displaystyle$ e$}$와 m$\displaystyle$ m$}$이 병렬 경로를 통과하면 편선이 발생하지 않으므로$-1의$위상이 발생하지 않고 대응하는 논리 연산이 전환됩니다.이는 이들 폼 조작이 다른 큐비트로 동작하기 때문에 예상대로입니다.

$e$와$m{\displaystyle }$ $모두$ 쌍으로 생성될 수 있기 때문에 이 두 준입자가 모두 $자체{\displaystyle }$ 대립자임을 알 수 있다.따라서 $2개$의 e$\display$e-on으로$$ 구성된 복합 입자는 진공과 동등합니다. 왜냐하면 진공에서 이러한 한 쌍이 생성되고 이러한 한 쌍이 진공으로 소멸되기 때문입니다.따라서 이들 복합 재료는 땋은 것이 항상 완전히 사소하기 때문에 보손 통계량을 가지고 있다.$2m$의$디스플레이 스타일$manyon$$ 복합체도 진공과 동등합니다.이러한 복합 재료의 생성은 애니온의 융합으로 알려져 있으며, 그 결과는 융합 규칙에 따라 작성될 수 있다.이 경우, 이것들은 형태를 취합니다.

${\displaystyle e\times e=1,,,,m\times m=1.}$

$여기$서 1$(디스플레이 스타일$1)은$$ 진공 상태를 나타냅니다.$e($디스플레이 $스타일{\displaystyle }$ e$)$와 m$(디스플레이 스타일$ m$)$의 조합은 단순하지 않습니다.따라서 이것은 융합규칙을 가진 모델 내의 또 다른 준입자($때로는{\displaystyle }$ $§\displaystyle\psi$를 구성한다.

${\displaystyle e\times m=\psi}$

두$$개의 $디스플레이{\displaystyle }$ $스타일\$$psi$를 한 번 교환하면 구성 $요소{\displaystyle }$$e$와$m$의$$완전한 모노드로미가 포함되므로$-1$의${\displaystyle }$단계가$$ 발생한다는 것을 알 수 있습니다$.$$이$는 ${\\displaystyle$$psi$의 페르미온 자기통계정보를 의미합니다.

일반화

오류 수정 코드를 형성하기 위해 토러스를 사용할 필요는 없습니다.다른 표면도 사용할 수 있으며, 그 토폴로지 특성은 안정제 공간의 축퇴를 결정한다.일반적으로 위의 원리에 따라 2차원 스핀 격자에 정의된 양자 오차 보정 코드를 표면 ^[19]코드라고 한다.

고차원 스핀을 사용하여 유사한 코드를 정의할 수도 있습니다.이것들은 양자 이중^[20] 모델과 문자열망 ^[21]모델이며, 이는 임의의 동작에 있어 보다 풍부한 기능을 허용하기 때문에 보다 고도의 양자 계산 및 오류 ^[22]수정 제안에 사용될 수 있다.여기에는 Abelian anyons를 가진 모델뿐만 아니라 비 Abelian ^[23][24][25]통계량을 가진 모델도 포함됩니다.

실험의 진척

토릭 코드의 특성에 대한 가장 명확한 시연은 상태 기반 접근법이었다.이들은 해밀턴의 실현을 시도하지 않고 스태빌라이저 공간에서 코드를 준비한다.이 기술을 사용하여 실험은 애니온의^[26][27][28] 생성, 운송 및 통계와 위상 얽힘 ^[28]엔트로피의 측정을 증명할 수 있었다.보다 최근의 실험에서도 ^[29][28]코드의 오류 수정 특성을 입증할 수 있었습니다.

토릭 코드의 실현과 해밀턴에 의한 일반화에는, 조셉슨 접합을 사용해 많은 진전이 있었다.해밀턴이 어떻게 구현될 수 있는지에 대한 이론은 다양한 종류의 위상 ^[30]코드를 위해 개발되어 왔다.또한 작은 격자에 대한 토릭 코드 해밀턴을 실현하고, 그 퇴화된 지면 ^[31]상태에 의해 제공되는 양자 메모리를 입증하는 실험도 수행되었다.

실현을 위한 다른 이론적이고 실험적인 작업들은 차가운 원자에 기초하고 있다.광학 격자로 위상 코드를 실현하기 위해 사용될 수 있는 방법의 툴킷이 탐색되었으며, 위상^{[32] [33]}순서의 최소 인스턴스에 관한 실험도 마찬가지이다.이러한 토릭 코드의 최소 예는 분리된 정사각형 ^[34]플레이트에서 실험적으로 실현되었습니다.또한 Rydberg 원자를 사용한 토릭 모델의 시뮬레이션도 진행 중이며, 해밀턴 원자와 소멸 노이즈의 효과를 ^[35][36]입증할 수 있다.

레퍼런스

외부 링크

• https://skepsisfera.blogspot.com/2010/04/kitaevs-toric-code.html