양자역학의 대칭

에 대한 일련의 기사의 일부
양자역학
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial t}{\psi(t)\rangele ={\hat {H} \psi(t)\rangele }}$ 슈뢰딩거 방정식
소개 용어집 역사
배경 고전역학 구양자론 브라-켓 표기법 해밀턴어 간섭
기초 상보성 탈착성 얽힘 에너지 레벨 측정 비균등성 양자수 주 중첩 대칭 튜닝링 불확실성 파동함수 무너지다
실험 벨의 부등식 다비슨-제르머 더블 슬릿 엘리추르 바이드만 프랑크-헤르츠 레게트-가그 부등식 마하-젠더 포퍼 양자 지우개 지연선택 슈뢰딩거의 고양이 스턴-제라흐 휠러의 지연 선택
공식화 개요 하이젠베르크 상호작용 매트릭스 위상공간 슈뢰딩거 누적 이력(경로 적분)
방정식 디락 클라인-고든 파울리 뤼드베르크 슈뢰딩거
해석 개요 베이시안 일관된 이력 코펜하겐 드 브로글리-봄 앙상블 숨겨진 변수 국부적 다세계 객관적 붕괴 양자 논리 관계성 트랜잭션
고급 주제 상대론적 양자역학 양자장 이론 양자정보과학 양자 컴퓨팅 양자 혼돈 밀도 행렬 산란 이론 양자통계역학 양자기계학습
과학자들 아하로노프 벨 베테 블랙켓 블로흐 봄 보어 태어난 보스 드 브로글리 콤프턴 디락 다비송 데비예 에렌페스트 아인슈타인 에버렛 포크 페르미 파인만 글라우버 구츠윌러 하이젠베르크 힐베르트 조던 크레이머스 파울리 양고기 란다우 라우에 모즐리 밀리칸 오네스 플랑크 라비 라만 뤼드베르크 슈뢰딩거 시몬스 소머펠트 폰 노이만 바일 빈 위그너 지만 질링거
v t

양자장 이론
파인만 도표
역사
배경 장 이론 전자기학 약한 힘 강한 힘 양자역학 특수상대성 일반상대성 게이지 이론
대칭 양자역학의 대칭 C대칭 P-대칭 T-대칭 공간 번역 대칭 시간 변환 대칭 회전 대칭 로렌츠 대칭 푸앵카레 대칭 게이지 대칭 명시적 대칭 깨짐 자연대칭파단 양-밀스 이론 노에더 전하 위상 전하
도구들 변칙 교차 유효장 이론 기대값 파데예프-포포프 유령 파인만 도표 격자 게이지 이론 LSZ 환원식 파티션 함수 전파자 수량화 정규화 리노말화 진공 상태 윅의 정리 와이트먼 공리
방정식 디라크 방정식 클라인-고든 방정식 프로카 방정식 휠러-드위트 방정식 바그만-위그너 방정식
표준 모델 양자전기역학 전기와크 상호작용 양자 색역학 힉스 메커니즘
불완전 이론 위상 양자장 이론 끈 이론 초대칭 테크니컬러 만물론 양자 중력
과학자들 C. D. 앤더슨 P. W. 앤더슨 베테 비요르켄 보골류보프 브라우트 캘런 콜먼 드위트 디락 다이슨 잉글러트 페르미 파인만 피에르즈 포크 프롤리히 글래쇼 겔만 징그럽다 구랄니크 하이젠베르크 힉스 하그 하겐 't 후프트' 조던 켄달 키블 양고기 란다우 리 메이저나나 밀스 남부 니시지마 파리시 폴리아코프 살람 슈윙거 스카이르메 수다르산 토모나가 벨트만 병동 와인버그 바이스코프 바일 윌체크 윌슨 양 유카와
v t

양자역학에서의 대칭은 양자역학, 상대론적 양자역학 및 양자장 이론의 맥락에서 그리고 표준 모델과 응축 물질 물리학의 수학적 공식에서 응용과 함께 어떤 변환에서 변하지 않는 스팩타임과 입자의 특징을 기술한다. 일반적으로 물리학의 대칭성, 불변성, 보존법칙은 물리 이론과 모델을 형성하는 데 근본적으로 중요한 제약조건이다. 실제로, 그것들은 문제를 해결하고 일어날 수 있는 일을 예측하는 강력한 방법이다. 보존법은 항상 문제에 대한 해답을 직접적으로 주는 것은 아니지만, 그것들은 정확한 제약조건과 수많은 문제를 해결하기 위한 첫 번째 단계를 형성한다.

이 글은 연속 대칭의 고전적 형태와 그 양자 연산자 사이의 연관성을 개략적으로 설명하고, 그것들을 Lie 그룹과 연관시키고, 로렌츠 그룹과 푸앵카레 그룹의 상대론적 변환과 관련시킨다.

표기법

이 글에서 사용하는 공칭 규약은 다음과 같다. 볼드페이스는 벡터, 4개의 벡터, 행렬, 벡터 연산자를 나타내며, 양자 상태는 브라켓 표기법을 사용한다. 넓은 모자는 연산자를 위한 것이고, 좁은 모자는 단위 벡터(그 구성요소를 텐서 색인 표기법으로 포함)를 위한 것이다. 달리 명시되지 않은 한 반복된 텐서 지수에 대한 합계 규약을 사용한다. 민코스키 미터 시그니처는 (+--)이다.

비관계 양자역학에서 파동함수의 대칭변환

연속속속속칭칭

일반적으로 지속적인 대칭과 보존법 사이의 대응은 노에더의 정리에 의해 주어진다.

근본적인 양자 연산자의 형태, 예를 들어 부분 시간 파생으로서의 에너지와 공간 구배로서의 모멘텀은 초기 상태를 고려할 때 명확해지고, 그 중 하나의 매개변수를 약간 변경한다. 이 작업은 교체(길이), 지속 시간(시간) 및 각도(회전)에 대해 수행할 수 있다. 또한 특정 수량의 불변성은 길이와 각도를 변경함으로써 볼 수 있으며, 이는 이러한 수량의 보존을 예시한다.

뒤에

$displaystyle {\\widehat {\\\Oomega}\psi(\mathbf {r}t)=\psi(\mathbf {r}t}t}}}}}}}}}}}}}})$

$\Omega {\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\${\$widehat {\\Oomega}}}$이(가) 단일 운영자를 나타내는$$ 것으로 간주한다. 단위성은 일반적으로 공간, 시간 및 스핀의 변환을 나타내는 연산자에게 필요하다. 상태(일부 회전으로 어딘가에서 입자를 찾을 수 있는 총 확률을 나타냄)는 이러한 변환에서 불변해야 하기 때문이다. 역은 은둔자 결합체 $\Omega {\displaystyle {\stackrel{}{\mathrm{}}}^{}}$Ω ${\displaystyle {^}^{}}$- ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathrm{}}}^{}}$ = Ω ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}^{}}$ ${\displaystyle {†}^{}}$ ${\$ 결과는 여러 입자 파장 기능까지 확장할 수 있다$.$ 표준으로 Dirac 표기법으로 쓰여진 양자 상태 벡터의 변환은 다음과 같다.

${\displaystyle {\widehat {\Oomega }\왼쪽 \mathbf {r}(t)\rigle =\왼쪽 \mathbf {r} '(t)'\rigle }$

Now, the action of ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}}$ changes ψ(r, t) to ψ(r′, t′), so the inverse ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}^{-1}={\widehat {\Omega }}^{\dagger }}$ changes ψ(r′, t′) back to ψ(r, t), so an operator ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ invariant undeR $\Omega {\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$이(가) 다음을$$ 충족함:

${\displaystyle {\widehat {A}}\psi ={\widehat {\Omega }}^{\dagger }{\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi \quad \Rightarrow \quad {\widehat {\오메가{}}{\widehat{A}\psi ={\widehat{A}{\widehat {\Oomega}}\psi}}$

따라서 다음과 같다.

${0}{\displaystyle [{\widehat{\\\\]\오메가},{\widehat {A}]\psi =0}$

어떤 주라도 관측가능성을 대표하는 양자 연산자도 에르미트인이어야 고유값이 실제 수치($즉{\displaystyle \stackrel{}{}}$, 연산자가 에르미트식 결합체 A${\displaystyle \stackrel{}{}^}$ = ${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {^}^{}}$ $^{\$widehat{$A}^{\doger$

.

다음은 양자 이론과 관련된 집단 이론의 핵심 사항이며, 예시들은 기사 전반에 걸쳐 제시된다. 매트릭스 그룹을 사용하는 다른 접근방법은 홀의^[1][2] 책을 참조하십시오.

렛츠₁ G는 Lie group으로, 국소적으로₂ 지속적으로 변화하는 실제 매개변수 ,, ,, ... of의_N 유한수 N에 의해 국소적으로 매개변수화되어 있는 그룹이다. 보다 수학적인 언어에서, G는 그룹 연산이 원활한 그룹이기도 한 부드러운 다지관임을 의미한다.

• 그룹의 치수 N은 그룹의 매개변수 수입니다.
• G에서 그룹 요소 g는 매개변수의 함수다.

$displaystyle g=G(\xi _{1},\xi _{2},\cdots )}}$

0으로 설정된 모든 파라미터는 그룹의 ID 요소를 반환한다.

${\displaystyle I=G(0,0\cdots )}$

그룹 요소는 벡터에 작용하는 행렬 또는 기능에 작용하는 변환이다.

• 그룹 생성자는 그룹 매개변수에 대한 그룹 요소의 부분파생상품이며, 매개변수가 0으로 설정되었을 때 평가된 결과는 다음과 같다.

$[\\displaystyle X_{j}=\displaystyle. g\xi _{j}=flash \xi \{j}}\right _{\xi }=0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

다지관의 언어에서 발전기는 정체성의 G에 대한 접선 공간의 요소들이다. 발전기는 또한 극소수 그룹 원소 또는 G의 Lie 대수학의 원소로도 알려져 있다(아래 정류자의 논의 참조).

이론물리학에서 생성자의 한 가지 측면은 대칭에 해당하는 연산자로 스스로 구성될 수 있으며, 이는 행렬 또는 미분 연산자로 작성될 수 있다. 양자 이론에서, 집단의 단일 표현에 대해, 생성자는 다음과 같은 인자를 필요로 한다.

$[\displaystyle X_{j}=i\property. g\xi _{j}=flash \xi \{j}}\right _{\xi }=0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그룹의 생성자는 벡터 공간을 형성하는데, 이것은 생성자의 선형 결합도 생성자를 형성한다는 것을 의미한다.

• 발전기(매트릭스 또는 차동 연산자)는 정류 관계를 만족한다.

$c}{\displaystyle \left[X_{a},X_{b}\right]=if_{abc}X_{c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 f는_abc 그룹의 (일반적으로 종속적인) 구조 상수다. 이것은 벡터 공간 특성과 함께 그룹의 모든 생성자의 집합을 Lie 대수학으로 만든다. 브라켓의 대칭성 때문에, 그룹의 구조 상수는 처음 두 지수에서 대칭성이 된다.

• 그런 다음 그룹의 표현은 그룹 G(또는 그것의 Lie 대수학)가 벡터 공간에 작용하는 방법을 설명한다. (예를 들어 벡터 공간은 G를 대칭 그룹으로 갖는 해밀턴인의 고유 벡터 공간일 수 있다.) 우리는 대문자 D를 사용하여 대표성을 나타낸다. 그런 다음 D를 구별하여 리 대수(D)의 표현을 얻을 수 있으며, 종종 D로 표시되기도 한다. 이 두 가지 표현은 다음과 같다.

$displaystyle D[g(\xi _{j})]\ji=e^{j}}}}}}}}}}}}}}}}$

반복된 인덱스 j에 대한 요약 없이 표현은 그룹 요소를 취하고 구성 규칙을 보존하는 선형 연산자다.

${\displaystyle D(\xi _{a}D(\xi _{b})=D(\xi _{a}\xi _{b}).}$

다른 표현들의 직접적인 합으로 분해될 수 없는 표현을 unreducable이라고 한다. 대괄호 안에 D와⁽ⁿ⁾ 같이 위첨자 숫자 n으로 수정할 수 없는 표현에 라벨을 붙이거나, 둘 이상의 숫자가 있을 경우^{(n, m, ... )} D로 표기하는 것이 관례다.

스칼라에 의한 곱셈에 의해 다른 두 벡터가 동일한 물리적 상태를 나타내는 양자 이론에서 발생하는 추가적인 미묘함이 있다. 여기서, 적절한 표현 개념은 계획적인 표현으로, 오직 스칼라까지 구성 법칙을 충족시킬 뿐이다. 양자역학적 스핀의 맥락에서 그러한 표현을 스핀오럴이라고 한다.

번역, 시간 진화 및 회전의 생성자로서 모멘텀과 에너지

공간 번역 연산자 $T{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ($){\displaystyle${\$widehat{T}}(\Delta \mathbf {r}$)은 극소수 변위 Δr로 공간 좌표를 이동시키는 파동 기능에 작용한다$$. 명시적 표현 $T{\displaystyle \hat{}}$ ${\$은(는) 약 r(r + Δr, t)의 테일러 확장에 의해 신속하게 판별할 수 있으며$$, 그 다음(첫 번째 주문 항을 유지하고 두 번째 및 상위 주문 항을 무시함), 모멘텀 연산자 $^{\widehat{\mathbf{p$Simp}.시간 매개변수에 작용하는 시간 변환 연산자의 경우, taylor(r, t + Δt)의 테일러 팽창은 약 t이며, 에너지 연산자 $E{\displaystyle \stackrel{}{}}$ $^{\$로 대체되는 시간 파생은 약 t이다$.$

이름	변환 $연산자{\displaystyle \stackrel{}{}}$ T ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$	시간 변환/진화 $연산자{\displaystyle \stackrel{}{}}$ U ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$
파동 기능에 대한 작용	$displaystystyled}T}(\Delta \mathbf {r} )\psi(\mathbf {r}t)=\psi(\mathbf {r} +\Delta \mathbf {r}t)}$	${\displaystyle {\widehat {U}(\Delta t)\psi(\mathbf {r},t)=\psi(\mathbf {r},t+\Delta t)}}$
최소자자자子	${{\displaystydata.T}(\Delta \mathbf {r} )=I+{\frac {i}{\hbar }\Delta \mathbf {r}\cdot {\widehatt{p}}}}}}}}}}}}}}}}$	$tdisplaystyle {\widehat{U}(\Delta t)=I-{\frac {i}{\hbar }}\Delta t{\widehat{\widehat{\\\\delta t}E}}$
유한 연산자	$화살표 displaystystaystyline \lim_{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}N\오른쪽 화살표 \inflt }\왼쪽(I+{\frac {i}{\hbar }}}}}{{N}}\cdot{\widehatt{p}}}}}\mathbf {p}}}\ { {rmathb}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}N}=\exp \left({\frac {i}{\hbar }}}\delta mathbf {r}\cdot {\widehatt {\\widehatt{p}\}={\widehat}T}(\Delta \mathbf {r} )}$	$화살표 {\displaystysty \lim_{{{}N\오른쪽쪽 \inflt}\왼쪽(I-{\frac {i}{\hbar }}}}}{{\delta t}\cdot{\widehat{{}}}}E}\{{\ {i오른쪽){{{{\frac widehat {E}\delta t{\widehart}{{{N}=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}}\Delta t{\widehat{}E}\delta t { t)}={\widehat{U}(\Delta t)}}$
제너레이터	모멘텀 연산자 $displaystyle {\}}}}}}=-i\hbar \cla }}$	에너지 연산자 $tdisplaystyle {\widehat}{\displaystyle {\widehat}{\partialE}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$

지수함수는 오일러로 인해 그러한 한계로서 정의에 의해 발생하며, 물리적으로나 수학적으로 다음과 같이 이해할 수 있다. 순번역은 많은 작은 번역으로 구성될 수 있으므로 유한 증분에 대한 번역 연산자를 얻기 위해서는 Δr를 Δr/N으로, Δt를 Δt/N으로 대체한다. 여기서 N은 양의 0이 아닌 정수다. 그러면 N이 증가함에 따라 Δr과 Δt의 크기는 더욱 작아지는 동시에 방향은 변하지 않게 된다. 파동함수 N번에서 극소수 연산자를 연기하고 무한대 경향이 있는 N은 유한 연산자를 부여한다.

공간 및 시간 변환은 작동자와 발전기가 통근한다는 것을 의미한다.

정자

연산자	$}{\displaystyleft{{{\}T}(\mathbf {r} _{1}),{\widehatt {T}(\mathbf {r}_{2}\right]\psi(\mathbf {r}t)=0}$	${\displaystyle \left[{\widehat {U}(t_{1}), {\widehatt {U}(t_{2})\right]\psi(\mathbf {r},t)=0}$
제너레이터	$widehat {displaystyle \{p}_{i},{\widehat {p}_{j},\right]\mathbf {r}=0}}}}}}}}}}}}}}}}t}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$	$mathbf {r {r},t0}{\ \left[{\widehat{p}}}}}}}}\pi,\mathbf {r}=0}$

시간 독립적인 해밀턴인의 경우, 에너지는 시간 내에 보존되고 양자 상태는 정지 상태: 해밀턴인의 고유성은 에너지 고유값 E:

${displaystystyle {\widehat {U}=\exp 왼쪽(-{\frac {i\Delta tE}{hbar }}})}}\hbar \hbar)}}}}}}\va \i)}}}}}}}}\expara \i$

그리고 모든 정지상태는 그 형태를 가지고 있다.

${\displaybstyle \psi(\mathbf {r},t+t_{0})={\widehat {U}(t-t_{0})\psi(\mathbf {r},t_{0})}}$

여기서 t는₀ 초기 시간이며, 초기 시간이 설정되었을 때 연속성의 손실이 없기 때문에 일반적으로 0으로 설정된다.

${\displaystyle \mathrm{대체}}$ 표기법은 $U{\displaystyle \hat{}}$( ${\displaystyle t}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle \equiv }$ U${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$ , t ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle {\widehat$ {$U}(t-t_{0})\equiv U(t,t_{0}})$ 입니다$.$

회전 생성기로서의 각도 운동량

회전 연산자는 입자의 공간 좌표를 일정한 각도 Δθ로 회전시키는 파동 기능에 작용한다.

${\displaystyle {R}(\Delta \theta ,{\hatsbf {a}}}}})\psi(\mathbf {r},t)=\psi(\mathbf {r},t)}}$

여기서 r′은 단위 벡터 $a{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$=${\displaystyle }$( 1,${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {\hat {\\mathbf {a}}}}}}=(a_{1},a_{2},a_{3})$에 의해 정의된 축에 대한 회전 좌표로서, 다음과 같은 방법으로 주어진다.

$}{{\displaystyle \mathbf {r}={\widehatt{R}(\Delta \theta,{\hatbf{a}}}})\mathbf {r}\, {r}\,}$

여기서 $R{\displaystyle \stackrel{}{}^(\mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle \theta \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ,${\displaystyle \stackrel{}{}}$) ${\displaystyle {\widehat{R}(\Delta \theta,{\hattbf {a}}}})$은 축과 각도에 따라 달라지는 회전 행렬이다. In group theoretic language, the rotation matrices are group elements, and the angles and axis ${\displaystyle \Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}=\Delta \theta (a_{1},a_{2},a_{3})}$ are the parameters, of the three-dimensional special orthogonal group, SO(3). The rotation matrices about the standard Cartesian basis vector ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x},{\hat {\mathbf {e} }}_{y},{\hat {\mathbf {e} }}_{z}}$ through angle Δθ, and the corresponding generators of rotations J = (J_x, J_y, J_z), are:

${\displaystyle{\widehat{R}}_{)}\equiv{\widehat{R}}(\Delta \theta,{\hat{\mathbf{e}}}_{x})={\begin{pmatrix}1&, 0&, 0\\0&,\cos \Delta \theta&-\sin \Delta \theta \\0&,\sin \Delta \theta&\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,}{\displaystyle{\widehat{R}}_{)}\equiv{\widehat{R}}(\Delta \theta,{\hat{\mathbf{e}}}_{x})={\be.gin{pmatrix}1&, 0&, 0\\0&, \cos \Delta \theta &-\sin \Delta \0&\sin \Delta \delta \\end{pmatrix}\...}$	${\displaystyle J_{x}\equiv J_{1}=i\message.{\frac{\partial{\widehat{R}}(\theta,{\hat{\mathbf{e}}}_{x})}{\theta\partial}}\right _{\theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&, 0&, 0\\0&, 0&, -1\\0&, 1&, 0\\\end{pmatrix}}\,,}{\frac{\partial{\widehat{R}}(\theta,{\hat{\mathbf{e}}}_{x})}{\theta\partial}}\right _{\theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&, 0&, 0\\0&, 0&, -1\\0&, 1&a.융점, 0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle{\widehat{R}}_{y}\equiv{\widehat{R}}(\Delta \theta,{\hat{\mathbf{e}}}_{y})={\begin{pmatrix}\cos\Delta \theta&0&,\sin\Delta \theta \\0&, 1&, 0\\-\sin \Delta \theta&0&,\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,}{\displaystyle{\widehat{R}}_{y}\equiv{\widehat{R}}(\Delta \theta,{\hat{\mathbf{e}}}_{y})={\be.gin{pmatrix}\cos \Delta\theta &0&\sin \delta \\0&1&0\\-\sin \Delta \theta \\\end{pmatrix}\}$	${\displaystyle J_{y}\equiv J_{2}=i\message.{\frac{\partial{\widehat{R}}(\theta,{\hat{\mathbf{e}}}_{y})}{\theta\partial}}\right _{\theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&, 0&, 1\\0&, 0&, 0\\-1&, 0&, 0\\\end{pmatrix}}\,,}{\frac{\partial{\widehat{R}}(\theta,{\hat{\mathbf{e}}}_{y})}{\theta\partial}}\right _{\theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&, 0&, 1\\0&, 0&, 0\\-1&, 0&a.융점, 0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle{\widehat{R}}_{z}\equiv{\widehat{R}}(\Delta \theta,{\hat{\mathbf{e}}}_{z})={\begin{pmatrix}\cos\Delta \theta&-\sin \Delta \theta&0\\\sin \Delta \theta&\cos \Delta \theta&0\\0&, 0&, 1\\\end{pmatrix}}\,,}{\displaystyle{\widehat{R}}_{z}\equiv{\widehat{R}}(\Delta \theta,{\hat{\mathbf{e}}}_{z})={\be.gin{pmatrix}\cos \Delta\theta &-\sin \delta \te0\\\sin \delta \delta \theta &0\0&1\\end{pmatrix}\...}$	${\displaystyle J_{z}\equiv J_{3}=i\message.{\frac {\partial {\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})}{\partial \theta }}\right _{\theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.}$

$일반적$으로 ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$에 의해 정의된 축에 대한 회전의 경우 회전 행렬 요소는 다음과 같다$.$^[3]

${\displaystyle [{\widehat{R}}(\theta ,{\hattheat{a}}}}})]_{ij}=(\delta _{ij}-a_{j}a_{j}}}}\cos \cos \ta +a_{i}a}a}a}a_{j}a}a}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 Δ는_ij 크로네커 삼각주, Δ는_ijk Levi-Civita 기호다.

공간과 시간 변환에 비해 회전 연산자를 어떻게 결정하는지는 명확하지 않다. 특별한 경우(x, y 또는 z축에 대한 회전)를 고려한 후 일반적인 결과를 유추하거나, 일반 회전 행렬과 Δ_ij 및 ε의_ijk 텐서 지수 표기법을 직접 사용할 수 있다. 작은 Δθ에 해당하는 최소 회전 연산자를 도출하기 위해 작은 각도 근사 sin(Δδ) Δ≈ 및 cos(Δδ) 11을 사용하고, 그 다음 테일러는 r 또는 r에_i 대해 확장하고, 첫 번째 순서 항을 유지하며, 각운동량 연산자 성분을 대체한다.

	$e{\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$에 대한 회전	${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$에 대한 회전
파동 기능에 대한 작용	${\displaystyle {\widehat{R}(\Delta \theta ,{\hatsbf {e}}}}}\psi(x,y,z,t)=\psi(x-\Delta \ta \ta \x+y,z,t)}$	${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\psi (r_{i},t)=\psi (R_{ij}r_{j},t)=\psi (r_{i}-\varepsilon _{ijk}a_{k}\Delta \theta r_{j},t)}$
최소자자자子	$displaystyle {\widehatt{R}(\Delta \theta ,{\hatsbf{e}}}}}}}}}{z}}}}}}}})I-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \delta \\\widehat{\\widehat}L}_{z}}}$	${\displaystyle{\begin{정렬}{\widehat{R}}(\Delta \theta,{\hat{\mathbf{}}})&, =I-(-\Delta\theta a_{k}\varepsilon_{kij}r_{j}){\frac{\partial}{\partial r_{나는}}}\\&, =I-(\Delta\theta a_{k}\varepsilon_{kji}r_{j}){\frac{\partial}{\partial r_{나는}}}\\&amp을 말한다.=I-\Delta \theta{\hat{\mathbf{}}\cdot(\mathbf{r}\times \nabla)\\&amp을 말한다.=I-{\frac{i\Delta)세타{\hbar }{\hbar }}{\mathbf {a}}}}}}}\cdot {\widehat {\mathbf {L}\ended}}}}}$
무한 회전	${\displaystyle {\widehat {R}}=1-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\,,\quad {\widehat {\mathbf{L}}}=i\hbar {\mathbf {a}}{\frac {\partial }{\partial \theta}}}}}$	같다
유한한전	$화살표 {datastaystymathbf}}}}}}}}N\오른쪽 화살표 \inflt }\왼쪽(1-{\frac {i}{\hbar }}}}{{{N}}}}}{\hattheta \databf{a}}}}}}}\widehat {\mathbf {}}}}}}}}오른쪽)^^{N}=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}}}\Delta \theta {\hatsbf{a}}}}}}}\cdot {\widehatt{\mathbf{L}}\right)widehat{R}$	같다
제너레이터	각운동량 연산자 $L{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$의 z 성분${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \hslash \frac{\mathrm{}}{}}${ {${\displaystyle \frac{\mathrm{}\theta }{}}$ { {$${ {\$displaystyle {\l}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta}}}}}}$	풀 각도 운동량 연산자 $L{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$ {$L$

각운동량의 z 성분은 도트 ${\displaystyle 제품\stackrel{}{\mathbf{}}}$ a ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$$displaystyle {\hatsbf {a$$}}}$을(를) 사용하여$$${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$$displaystyle {\\mathbf {a}}}}}}}$에 정의된 축을 따라 구성 요소로 대체할 수 있다$.$

다시 말해, Δ many를 Δθ/N으로 대체하고 N은 무한히 회전하는 경향이 있어 유한 회전이 많은 작은 회전으로부터 이루어질 수 있다.

같은 축에 대한 회전은 통근할 수 있다. 예를 들어 축에 대한₁ 각도 and과₂ through을 통한 회전이 가능하다.

${\displaystyle R(\theta _{1}+\theta _{2},\mathbf {e})=R(\theta _{1}\mathbf {e} _{i})R(\theta _{2}\mathbf {e} _{i}\quad [R(\theta _{1}\mathbf {e} _{i})]R(\theta _{2}\mathbf {e} _{i}=0\,.}$

그러나 서로 다른 축에 대한 회전은 통근하지 않는다. 일반 감화 규칙은 다음과 같이 요약된다.

${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}L_{k}.}$

이런 의미에서 궤도 각운동량은 회전이라는 상식적 특성을 가지고 있다. 위의 정류자 각각은 일상의 물체를 잡고 가능한 순서에서 두 개의 축에 대해 동일한 각도로 회전함으로써 쉽게 증명할 수 있다. 최종 구성은 서로 다르다.,

양자역학에서, 수학적으로 오비탈 케이스와 유사하게 나타나지만 다음에 설명된 다른 성질을 갖는 또 다른 형태의 회전이 있다.

스핀 각도 운동량

이전의 모든 수량은 고전적인 정의를 가지고 있다. 스핀(spin)은 고전 아날로그가 전혀 없는 양자역학에서 입자가 보유하고 있는 양으로 각운동량 단위를 가지고 있다. 스핀 벡터 연산자는 $S{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$= (${\displaystyle S\stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{x_{}}}$ ${\displaystyle ^,}$ S ${\displaystyle \stackrel{}{y_{}}}$ ${\displaystyle ^,}$ S ${\displaystyle \stackrel{}{z_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$) ${\displaystyle {\widehat {\\mathbf{S}}}}}}}}=({\widehat {S_{x}}}},{\widehat {S_{z}}}}}}}})$로 표시된다$.$ 구성 요소의 고유값은 기본 방향 중 하나에 투영된 스핀 측정의 $가능$한 결과$({\displaystyle \hbar }$)이다.

공간의 한 지점에서 다면체 파동함수(spinor)에 작용하는$$ 공간의 $단위{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 벡터 a$$ {\displaystyle ${\hat{a}$에 대한 각도 θ을 통해$$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$$displaybf$ {$a}}}$의 $축$에 대한 회전(일반 공간의 회전)은 다음과 같이 표현된다.

그러나 z 분사 양자수 number은 양수 또는 음수 정수 값(0 포함)만 취할 수 있는 궤도 각운동량과 달리, z 분사 스핀 양자수 s는 모든 양의 반정수 값과 음의 반정수 값을 취할 수 있다. 각 스핀 양자 번호에는 회전 행렬이 있다.

주어진 z-투영 스핀 양자수 s에 대한 지수를 평가하면 (2s + 1)차원 스핀 매트릭스가 주어진다. 이것은 2s + 1 성분의 열 벡터로 스피너를 정의하는데 사용할 수 있으며, 이 성분은 공간의 고정된 지점에서 스핀 행렬에 따라 회전 좌표계로 변환된다.

s = 1/2의 가장 단순한 비경쟁 사례에 대해 스핀 연산자는 다음과 같이 주어진다.

${\\displaystystyle {\widehatbf{S}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

표준 표현에서 Pauli 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma_{1}=\sigma _{)}={\begin{pmatrix}0&, 1\\1&, 0\end{pmatrix}}\,,\quad\sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&, -i\\i&, 0\end{pmatrix}}\,,\quad\sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&, 0\\0&, -1\end{pmatrix}}}{\displaystyle \sigma_{1}=\sigma _{)}={\begin{pmatrix}0&, 1\\1&, 0\end{pmatrix}}\,,\quad \sigma_{2.}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&.-i\\i&0\end{pmatrix}\\\nd\nd\pmatrix}\ma _{3}=\z}={\pmatrix}1&0\0&-1\end{pmatrix}}}}}$

총각운동량

및 도 운동자(연動子)의 이다.

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {J}}}}}={\widehat {\mathbf {L}}}+{\widehat {\mathbf {S}}}}}}$

그리고 특히 핵물리학 및 다핵 원자 및 분자의 양자 화학에서 다핵 시스템에게 중요한 양이다.

유사한 회전 행렬이 있다.

${\displaystyle {\widehat{J}(\theta ,{\hatthemat{\mathbf{a}}}})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}}}}\hatta {\widehats{\mathbf{J}}}}}}}}}오른쪽)$

양자 고조파 오실레이터 내 보존 수량

n차원 양자 고조파 오실레이터의 동적 대칭 그룹은 특수 단일 그룹 SU(n)이다. 예를 들어, 해당 리 알헤브라의 최소 생성기 수는 각각 SU(2)와 SU(3)가 3개, 8개다. 이는 정확히 이들 시스템에 3~8개의 독립 보존량(해밀턴계 제외)으로 이어진다.

2차원 양자 고조파 오실레이터는 해밀턴과 각운동량의 예상 보존량을 가지지만 에너지 수준 차이의 추가 보존량과 각운동량의 다른 형태를 가진다.

상대론적 양자역학에서 로렌츠 그룹

다음은 로렌츠 그룹의 개요; 부스트 및 회전 처리 시간(spacetime)이다. 이 섹션 전체에 걸쳐 T를 참조하십시오. Ohlsson(2011)^[4]과 E. 애버즈(2004)^[5]

Lorentz transformations can be parametrized by rapidity φ for a boost in the direction of a three-dimensional unit vector ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}=(n_{1},n_{2},n_{3})}$, and a rotation angle θ about a three-dimensional unit vector ${\$$displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}=(a_{1},a_{2},a_{3})}$ defining an axis, so ${\displaystyle \varphi {\hat {\mathbf {n} }}=\varphi (n_{1},n_{2},n_{3})}$ and ${\displaystyle \theta {\hat {\mathbf {a} }}=\theta (a_{1},a_{2},a_{3})}$ are together 6개의 로렌츠 그룹 매개변수(회전용 3개, 부스트용 3개) 로렌츠 그룹은 6차원이다.

스팩타임의 순수 회전

위에서 고려한 회전 행렬과 회전 생성기는 순수 회전 로렌츠 변환을 나타내는 4차원 매트릭스의 공간 같은 부분을 형성한다. 로렌츠 그룹 요소 $R{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$, ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ y${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\$ {$R}_{$x},{\$widehat$ {$R}_{y},{\$widehat{R}_{\$widehat{R}_{z}}$ 및 순수$$ 회전을 위한 생성기 J = (J₁₂, J₃)는 다음과 같다.

${\displaystyle{\widehat{R}}(\Delta \theta,{\hat{\mathbf{e}}}_{x})={\begin{pmatrix}1&, 0&, 0&, 0\\0&, 1&, 0&, 0\\0&, 0&,\cos \Delta \theta&-\sin \Delta \theta \\0&, 0&,\sin \Delta \theta&\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,}{\displaystyle{\widehat{R}}(\Delta \theta,{\hat{\mathbf{e}}}_{x})={\begin{pmatrix.}1&, 0&, 0&, 0\\0&, 1&, 0&, 0\\0&, 0&,\cos \Delta \theta&-\sin \Delta \theta \0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \\\end{pmatrix}}$	${\displaystyle J_{x}=J_{1}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0\\\0&0&1&0\\nd{pmatrix}\}$
${\displaystyle{\widehat{R}}(\Delta \theta,{\hat{\mathbf{e}}}_{y})={\begin{pmatrix}1&, 0&, 0&, 0\\0&,\cos \Delta \theta&0&,\sin\Delta \theta \\0&, 0&, 1&, 0\\0&,-\sin \Delta \theta&0&,\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,}{\displaystyle{\widehat{R}}(\Delta \theta,{\hat{\mathbf{e}}}_{y})={\begin{pmatrix.}1&, 0&, 0&, 0\\0&,\cos \Delta \theta&0&,\sin \Delta \t.헤타 \0&0&1\\0&0\\0&-\sin \Delta \theta &0&\cos \Delta \\\\end{pmatrix}}$	${\displaystyle J_{y}=J_{2}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\\0&0&0&1\0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\nd{pmatrix}\}$
${\displaystyle{\widehat{R}}(\Delta \theta,{\hat{\mathbf{e}}}_{z})={\begin{pmatrix}1&, 0&, 0&, 0\\0&,\cos \Delta \theta&-\sin \Delta \theta&0\\0&,\sin \Delta \theta&\cos \Delta \theta&0\\0&, 0&, 0&, 1\\\end{pmatrix}}\,,}{\displaystyle{\widehat{R}}(\Delta \theta,{\hat{\mathbf{e}}}_{z})={\begin{pmatrix.}1&, 0&, 0&, 0\\0&,\cos \Delta \theta&-\sin \Delta \th.eta &0\\0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \0&0&0&1\\end{pmatrix}\...}$	${\displaystyle J_{z}=J_{3}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0\nd{pmatrix}.}$

회전 행렬은 임의의 네 벡터 A = (A₀₁, A, A₂, A₃)에 작용하여 다음과 같이 공간과 같은 구성요소를 회전시킨다.

${\displaystyle \mathbf {A}'={\widehat{R}(\Delta \theta,{\hatbf {n}}}})\mathbf {A}}}$

시간과 같은 좌표를 변경하지 않고 그대로 두는 것. 행렬 식에서 A는 열 벡터로 처리된다.

스페이스 타임의 순수 부스트

A boost with velocity ctanhφ in the x, y, or z directions given by the standard Cartesian basis vector ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x},{\hat {\mathbf {e} }}_{y},{\hat {\mathbf {e} }}_{z}}$, are the boost transformation matrices. 이러한 행렬 $B{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ z ${\$ {$B}_{x},{\widehat {B}_{y},{\widehat{B}_{z}$ 및$$ 해당하는 생성기 K = (K₁, K₂, K₃)는 로렌츠 그룹의 나머지 세 그룹 요소 및 생성기들이다.

${\displaystyle{\widehat{B}}_{)}\equiv}{\widehat{B}(\varphi,{\hat{\mathbf{e}}}_{x})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi&\sinh \varphi&0&, 0\\\sinh \varphi&\cosh \varphi&0&, 0\\0&, 0&, 1&, 0\\0&, 0&, 0&, 1\\\end{pmatrix}}\,,}{\displaystyle{\widehat{B}}_{)}\equiv{\widehat{B}}(\varphi ,{\hat{\mathbf{e}}}_{)}.)={\begin{pmatrix}\cosh \varphi&\sinh \varphi&.0&0\\\sinh \varphi &\cosh \varphi &0&0\\0&0&0\\0&0&0\\nd{pmatrix}}$	${\displaystyle K_{x}=K_{1}=i\message.{\frac{\partial{\widehat{B}}(\varphi,{\hat{\mathbf{e}}}_{x})}{\varphi\partial}}\right _{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&, 1&, 0&, 0\\1&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\\\end{pmatrix}}\,,}{\frac{\partial{\widehat{B}}(\varphi,{\hat{\mathbf{e}}}_{x})}{\varphi\partial}}\right _{\varphi =0}=i{\begin{pmat.rix}0&, 1&, 0&, 0\\1&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\\\end{pma트릭스}\...}$
${\displaystyle{\widehat{B}}_{y}\equiv}{\widehat{B}(\varphi,{\hat{\mathbf{e}}}_{y})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi&0&,\sinh \varphi&0\\0&, 1&, 0&, 0\\\sinh \varphi&0&,\cosh \varphi&0\\0&, 0&, 0&, 1\\\end{pmatrix}}\,,}{\displaystyle{\widehat{B}}_{y}\equiv{\widehat{B}}(\varphi ,{\hat{\mathbf{e}}}_{y}.)={\begin{pmatrix}\cosh \varphi&0&, \sinh \varphi &0\\0&1&0&0\\\sinh \varphi &0&\cosh \varphi &0\0&0&0&1\\end{pmatrix}\}$	${\displaystyle K_{y}=K_{2}=i\message.{\frac{\partial{\widehat{B}}(\varphi,{\hat{\mathbf{e}}}_{y})}{\varphi\partial}}\right _{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&, 0&, 1&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\\\end{pmatrix}}\,,}{\frac{\partial{\widehat{B}}(\varphi,{\hat{\mathbf{e}}}_{y})}{\varphi\partial}}\right _{\varphi =0}=i{\begin{pmat.rix}0&, 0&, 1&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\\\end{pma트릭스}\...}$
${\displaystyle {\widehat {B}}_{z}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &0&0&\sinh \varp안녕 \0&1&0\\0&0&0&0\\\sinh \varphi &0&0&\cosh \varphi \\\\end{pmatrix}\}$	${\displaystyle K_{z}=K_{3}=i\message.{\frac {\partial {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})}{\partial \varphi }}\right _{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.}$

부스트 행렬은 네 개의 벡터 A = (A₀, A₁, A₂, A₃)에 작용하며 시간 유사 성분과 공간 유사 성분을 다음과 같이 혼합한다.

$displaystyle \A}}}}}}{\widehat{B}(\varphi, {n})\mathbf{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

부스트(를)란 두 프레임 사이의 상대적 속도를 말하며, 아래 설명과 같이 번역의 발생기로서 모멘텀과 혼동해서는 안 된다.

부스트와 회전 조합

회전 생산물은 또 다른 회전(부분군의 빈번한 예시)을 주는 반면, 부스트와 부스트 또는 회전과 부스트의 생산물은 순수한 부스트나 순수한 회전으로 표현할 수 없다. 일반적으로 어떤 로렌츠 변환도 순수한 회전과 순수한 부스트의 산물로 표현할 수 있다. 자세한 배경은 (예를 들어) B.R. Durney(2011)^[6]와 H.L.^[7] Berk 등 및 관련 자료를 참조하십시오.

부스트와 회전 발전기는 각각 D(K)와 D(J)로 표시되며, 이 맥락에서 대문자 D는 그룹 표시를 나타낸다.

로렌츠 그룹의 경우 발전기 K와 J의 D(K)와 D(J)는 다음과 같은 정류 규칙을 충족한다.

정자

	순전전	순수 부스트	로렌 환환
제너레이터	${b]=}{abc}{\displaystyle \left[J_{a},J_{b}\right]=i\vesilon_{abc}J_{c}}}$	${bright]=-}{b}{\displaystyle \left[K_{a}, K_{b}\right]=-i\vesilon_{abc}J_{c}}}$	$c}}{\displaystyle \left[J_{b}\right]=i\varepsilon _{abc}K_{c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$
표현	${\displaystyle \left[{D(J_{a}}),{D(J_{b}}}\right]=i\varepsilon _{d(J_{c}}}}}}}}}}}}}}}}$	${\displaystyle \left[{D(K_{a}),{D(K_{b}}}\right]=-i\varepsilon _{d(J_{c}})}}}}}}}$	${\displaystyle \left[{D(J_{a}}),{D(K_{b}}}\right]=i\varepsilon _{d(K_{c}}}}}}}}}}}}}}}}}$

모든 정류자에서, 회전만 해도 회전을 위한 회복 실체와 혼합된 부양 실체는 단순히 또 다른 회전을 제공한다. 발전기를 지수화하면 일반적인 로렌츠 변환으로 결합되는 부스트 및 회전 연산자가 제공되며, 그 아래에서는 스페이스타임 좌표가 하나의 정지 프레임에서 다른 부스트 및/또는 회전 프레임으로 변환된다. 마찬가지로, 발전기의 표현을 강조하면 부스트 및 회전 연산자를 나타내는데, 이 연산자 아래에서 입자의 스피너 필드가 변환한다.

변법칙칙

	순수 부스트	순전전	로렌 환환
변형	${\displaystyle {\widehat{B}(\varphi ,{\hatbf{n}}})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}}\varphi {\hat {\mathbf{n}}}}\cdot \mathbf {K}\k}\k}\오른쪽)}}}}}}$	${\displaystyle {\widehat{R}(\theta ,{\hatbf{a}}}})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}}\theta {\\\mathbf {a}}}}}}\cdot \mathbf {J}\rig}\right)}}}}$	${\displaystyle \Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }},\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\왼쪽(\varphi {\hat {\mathbf {n}}}}}}\cdot \mathbf {K} +\theta {\\hatbf {a}}}}}}}\cdot \mathbf {J}\right]}}$
표현	${\displaystyle D[{\widehat{B}(\barphi ,{\hattbf{n}}}}})]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}}}\hat {\mathbf {n}}}}}}\cdot D(\mathbf {K})\오른쪽)$	${\displaystyle D[{\widehatt{R}}(\theta ,{\hattbf{a}}}}})]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}}}}\ta {\mathbf {J}\}\right)$	${\displaystyle D[\Lambda (\theta ,{\hat {\mathbf {a} }},\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}}\{\varphi {\mathbf {n}}}}}}}\cdot D(\mathbf {K})++\ta {\mathbf {a}}}}\cdot D(\mathbf {J} )\right]}}$

문헌에서, 부스트 발생기 K와 회전 발생기 J는 때때로 로렌츠 변환 M을 위한 하나의 발생기, 즉 대칭 4차원 매트릭스와 다음과 같은 항목이 있는 하나의 4차원 매트릭스로 결합된다.

$Mvarec}{}=\\displaystyle M^{0a}=K_{a}\quad M^{a}=\varepsilon_{c}J_{c}\,}$

그리고 그에 상응하여 부스트와 회전 매개변수는 다른 대칭 4차원 매트릭스 Ω으로 수집되며 다음과 같은 항목이 입력된다.

$\displaystyle \omega_{0a}=-\omega_{a}=\varphi n_{a}\c}\i1}\i1\i1\i1\i1\i1\i1\i1\i1\i1\i1\ta \varepsilon_{c}$

일반적인 로렌츠 변환은 다음과 같다.

${\displaystyle \Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }},\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{2}}\omega _{\alpha \beta }M^{\alpha \beta }\right)=\exp \left[-{\frac {i}{2}}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} +\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)\right]}$

반복 매트릭스 지수 α 및 β에 대한 합계를 구한다. λ 행렬은 4개의 벡터 A = (A₀, A₁, A₂, A₃)에 작용하며 시간 유사 성분과 공간 유사 성분을 다음과 같이 혼합한다.

$, displaystysty \mathbf{}}A} '=\lambda(\varphi ,{\mathbf{n}}}}},\theta, {\hatbf{a}}}}}\mathbf{A}}}}}}}$

상대론적 양자역학에서 파동기능은 더 이상 단일 성분 스칼라장이 아니라 이제 2(2s + 1) 성분 스피너장이며 여기서 s는 입자의 스핀이다. 이러한 기능의 공간적 변환은 다음과 같다.

민코프스키 공간의 적절한 직교 로렌츠 변환(r, t) → λ(r, t) 아래에서 모든 단입자 양자 상태는 로렌츠_σ 그룹의 일부 표현 D에 따라 국소적으로 변환된다.^[8]

$}}{\displaystyle \psi \psi _{\sigma }}(\mathbf {r}t)\오sisi쪽화표 D(\lambda )\psi ^{-1}(\lambda ^{-1}(\mathbf{r}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 D(D)는 유한 치수 표현, 즉 a(2s + 1)×(2s + 1) 치수 제곱 행렬이며, ψ은 (2s + 1) 허용 값인 σ을 가진 성분을 포함하는 컬럼 벡터로 생각된다.

${\displaystyle\psi(\mathbf{r},t)={\begin{bmatrix}\psi _ᆰ(\mathbf{r},t)\\\psi _ᆱ(\mathbf{r},t)\\\vdots \\\psi _ᆲ(\mathbf{r},t)\\\psi _ᆳ(\mathbf{r},t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons({\psi(\mathbf{r},t)}(\mathbf{r},t)}^{\star}&.;{\p{\displaystyle\psi(\mathbf{r},t)={\begin{bmatrix}\psi _ᆰ(\mathbf{r},t)\\\psi _ᆱ(\mathbf{r},t)\\\vdots \\\psi _ᆲ(\mathbf{r},t)\\\psi _ᆳ(\mathbf{r},t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons({\psi(\mathbf{r},t)}(\mathbf{r},t)}^{\star}&.;{\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&\cdots &{\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }\end{bmatrix}}}$

진짜 되돌릴 수 없는 표현 및 회전

간단히 말해서 D(K)와 D(J)의 불가해한 표현은 로렌츠 그룹의 표현을 회전시키는 데 사용될 수 있다. 새 연산자 정의:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {J} +i\mathbf {K}}{2}}\\}\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i\mathbf {K}{2}}\}}}}}$

따라서 A와 B는 단순히 서로의 복잡한 결합체일 뿐이며, 대칭적으로 형성된 정류자를 만족시키는 다음과 같다.

$왼쪽] 디스플레이 A_{i},A_{j}\right]=\varepsilon _{ijk}A_{k}\...\quad \left[B_{i}},B_{j}\right]=\varepsilon _{ijk}B_{k}\\\\quad \left[left]A_{i},B_{j}\오른]=0\...}$

그리고 이것들은 근본적으로 궤도 및 스핀 각도 운동량 운영자가 만족하는 정류자들이다. 따라서 A와 B는 각운동량과 유사한 연산자 알헤브라를 형성한다. 동일한 래더 연산자, z-거부 등은 각각의 구성 요소가 상호 통근하는 것과 독립적으로 서로 독립적으로 작용한다. 스핀 양자 숫자와 유사하게, 우리는 해당 값들의 집합 m = a = a = a, a 1, ...a + 1, -a와 n = b, b - 1, ... -b + 1, -b를 가진 양의 정수 또는 절반의 정수 a, b를 도입할 수 있다. 위의 정류 관계를 만족하는 행렬은 회전 a와 b가 Kronecker 델타 값에 각도 모멘텀 매트릭스 요소를 곱하여 주어진 구성요소를 갖는 것과 동일하다.

${\displaystyle \left(A_{x}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{x}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{x}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{x}^{(n)}\right)_{n'n}}$

${\displaystyle \left(A_{y}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{y}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{y}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{y}^{(n)}\right)_{n'n}}$

${\displaystyle \left(A_{z}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{z}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{z}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{z}^{(n)}\right)_{n'n}}$

각 경우에 행 번호 m′n′과 열 번호 mn은 쉼표로 구분되며, 차례로:

${\displaystyle \left(J_{z}^{(m)}\right)_{m'm}=m\delta _{m'm}\,\quad \left(J_{x}^{(m)}\pm iJ_{y}^{(m)}\right)_{m'm}=m\delta _{a',a\pm 1}{\sqrt {(a\mp m)(a\pm m+1)}}}$

그리고 J의⁽ⁿ⁾ 경우와 유사하다.^{[note 1]} 3개의^(m) J 행렬은 각각 (2m + 1)×(2m + 1) 제곱 행렬이고, 3개의 J는⁽ⁿ⁾ 각각 (2n + 1)×(2n + 1) 제곱 행렬이다. 정수 또는 반정수 m과 n은 저자가 사용하는 등가 표기법: D^{(m, n)} ≡ (m, n) ≡ D^(m) ⊗ D에⁽ⁿ⁾ 의해 모든 수정 불가능한 표현을 숫자로 나타내며, 각각 [(2m + 1) (2n + 1)×[(2m + 1)][(2n + 1)] 제곱 행렬이다.

스핀 s가 있는 입자에 적용;

• 왼손(2s + 1) 구성 요소 스피너는 실제 불손 D 아래에서^{(s, 0)} 변형된다.
• 오른손(2s + 1) 구성 요소 스피너는 실제 불복제 D^{(0, s)} 아래에서 변형된다.
• ⊕로 상징되는 직접 합계를 취하면(단순 매트릭스 개념은 행렬의 직접 합 참조), 2(2s + 1)-성분 스피너가 변환하는^{(m, n)} D ⊕ D에^{(n, m)} 따른 표현을 얻는다. 여기서 m + n = s. 이것들 역시 진짜 반칙이지만, 위에서 보듯이 복잡한 결합체로 갈라진다.

이 경우 D는 D(J), D(K) 또는 전체 로렌츠 변환 D(D) 중 하나를 가리킨다.

상상대식식

Dirac 방정식과 Weyl 방정식의 맥락에서, Weyl 방정식을 만족하는 Weyl spinters는 로렌츠 그룹의 가장 단순한 불가역 회전 표현 하에서 변환한다. 이 경우 스핀 양자 수는 허용되는 최소 0 수: 1/2이기 때문이다. 2-성분 왼쪽 손 Weyl Spinor는^{(1/2, 0)} D에서, 2-성분 오른쪽 손 Weyl Spinor는 D에서^{(0, 1/2)} 변형한다. Dirac 방정식 변형을 만족하는 Dirac 스피너는 Weyl 스피너에 대한 불복수의 직접 합계인 D^{(1/2, 0)} ⊕ D에^{(0, 1/2)} 따라 변형을 한다.

에 있어서의 은 장(章)의 자자(자子) 그子(그子) 그그(그그) 그그(그그) 그그그(그그) 그그그그

공간 번역, 시간 번역, 회전, 부스트가 모두 합쳐져 푸앵카레 집단을 이룬다. 그룹 요소는 세 개의 회전 행렬과 세 개의 부스트 행렬(로렌츠 그룹과 동일)이며, 하나는 시간 변환용이고, 3개는 스페이스타임의 공간 변환용이다. 각각 발전기가 있다. 따라서 푸앵카레 집단은 10차원이다.

특수상대성이론에서 공간과 시간은 4위치 벡터 X = (ct, -r)로 모을 수 있고, 동시에 4모멘텀 벡터 P = (E/c, -p)로 결합되는 에너지와 운동량도 모을 수 있다. 상대론적 양자역학을 염두에 두고 시간 지속시간과 공간 변위 매개변수(총 4개, 시간 1개, 공간 3개)가 합쳐져 시간 변위 ΔX = (Δt, -Δr)가 되며, 에너지 및 운동 연산자를 4-모멘텀에 삽입하여 4-모멘텀 연산자를 얻는다.

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {P} }}=\left({\frac {\widehat {E}}{c}},-{\widehat {\mathbf {p} }}\right)=i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)\...}$

총 , , 스튜어드, 스트레스티스트 변환기( 44개, 1회 3 3 3):

${\displaystyle {\widehat {X}}(\Delta \mathbf {X} )=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {X} \cdot {\widehat {\mathbf {P} }}\right)=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(\Delta t{\widehat {E}}+\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}\right)\right]\,.}$

포앵카레 대수학을 정의하는 4-모멘텀 P(스pacetime 변환의 생성기) 성분과 각운동량 M(로렌츠 변환의 생성기) 사이에 정류 관계가 있다.^[10][11]

• $displaystyle [P_{\mu }}}}},}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{i}[M_{\mu \nu }}},P_{\rho }}]=\etta _{\mu \rho }P_{\nu }-\nu \nu \p_{\mu }\,},},},}}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{i}}[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,}$

여기서 η은 민코프스키 미터 텐서(통화 관계에서 4모멘텀 연산자를 위해 어떤 모자라도 떨어뜨리는 것이 일반적이다). 이러한 방정식은 오늘날까지 알려진 공간과 시간의 근본적 성질을 표현한 것이다. 그들은 정류자가 포아송 괄호로 대체되는 고전적인 상대편이 있다.

상대론적 양자역학에서 스핀을 설명하기 위해 Pauli-Lubanski 유사벡터

${\displaystyle W_{\mu }={\frac {1}{2}}\\varepsilon _{\mu \rho \sigma \}J^{\nu \rho }}{{p^{\sigma}}}}$

Casimir 연산자는 총 각운동량에 대한 일정한 스핀 기여를 말하며, P와 W, M과 W 사이의 정류 관계가 있다.

$displaystyle \left[P^{\mu }},W^{\nu }\right]=0\...}$

${\displaystyle \ft[J^{\mu \nu }},W^{\rho }\right]=i\left(\eta^{\rho \nu }-\eta }{\rho \w^{}{}\rho \w^{}}\nu \rig)\r}$

$왼쪽] 디스플레이 W_{\mu },W_{\nu }\\nu \}\epsilon _{\mu \rho \sigma \}{\rho \p^{\sigma },}}}$

W로 구성된 불변제, 카시미르 불변제 인스턴스(instance of Casimir invariants)는 로렌츠 그룹의 불가침 표현을 분류하는 데 사용될 수 있다.

.

양자장 이론에서의 단일군

집단 이론은 대칭을 수학적으로 분석하는 추상적인 방법이다. 양자 이론에는 단일 연산자가 가장 중요하기 때문에 입자 물리학에서는 단일 집단이 중요하다. N 치수 단일 제곱 행렬의 그룹은 U(N)로 표시된다. 단일 운영자는 확률 또한 보존된다는 것을 의미하는 내부 생산물을 보존하기 때문에, 시스템의 양자 역학은 단일 변환 하에서 불변한다. $U{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}${\$displaystyle${\$widehat{U}}}$을(를) 단일 연산자로 하여$$ 역은 $은둔자{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ 부선 U ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$= ${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {^}^{}}$ ${\$이 해밀턴은 해밀턴과 통한다.

$}{\displaystyle \left[{\widehat {U},{\widehat {H}\오쪽]=0}$

연산자 $U{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$에 해당하는 관측 가능이 보존되며$$, 해밀턴인은 $변환{\displaystyle \stackrel{}{}}$ U${\displaystyle \stackrel{}{}}$^$${\$displaystyle${\$widehat {U}$에 따라 불변한다$.$

양자역학의 예측은 집단의 작용에 따라 불변해야 하기 때문에 물리학자들은 집단을 대표하는 단일변형을 찾는다.,

각 U(N)의 중요한 부분군은 단위 결정인자를 갖는 단일 군집합(또는 "단일")이다. 이들을 특수 단일 군집합이라고 하며 SU(N)로 표시한다.

U(1)

가장 간단한 단일 집단은 U(1)로, 계량 1의 복잡한 숫자일 뿐이다. 이 1차원 매트릭스 항목은 다음과 같은 형식이다.

$displaystyle U=e^{-i\theta}}{\displaystyle U=e^{-i\theta$

여기서 1차원 행렬은 항상 행렬 곱셈으로 통근하기 때문에 θ은 집단의 매개변수이고, 집단은 아벨리안이다. 복잡한 스칼라장에 대한 양자장 이론의 라그랑비아인은 U(1) 변환에서 불변하는 경우가 많다. U(1) 대칭과 관련된 양자 번호가 있는 경우(예: 바이런과 전자기 상호작용에서 3개의 렙톤 수) 우리는 다음을 가진다.

$displaystyle U=e^{-ia\theta}}{\displaystyle U=e^{-ia\theta$

및U(2) 및 SU(2)

U(2) 요소의 일반적 형태는 a와 b의 두 개의 복잡한 숫자로 매개변수화된다.

${pmatrixdisplaysty U={\begin}a}a^{ndpmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}별:$

그리고 SU(2)의 경우 결정 인수는 1로 제한된다.

$}{\displaystyle \det(U)=a^{}+b^{}={}^{b^{b}=1}$

집단 이론 언어에서 Pauli 행렬은 특수 단일 군집단의 생성자로, SU(2)로 표시된다. 이들의 정류 관계는 2의 인자를 제외하고 궤도 각도 운동량과 동일하다.

${\displaystyle [\displayma _{a},\disma _{b}]=2i\hbar \varepsilon _{vma _{c}}}$

SU(2)의 그룹 요소는 다음과 같이 작성할 수 있다.

${\displaystyle U(\theta ,{\hat {\mathbf{e}}}}}=e^{i\theta \sigma _{j}/2}}$

여기서 σ은_j Pauli 행렬이며, 그룹 매개변수는 축을 중심으로 회전한 각이다.

2차원 등방성 양자 고조파 오실레이터는 대칭군 SU(2)를 가지며, 이성적 비등방성 오실레이터의 대칭대수는 u(2)의 비선형 확장이다.^[12]

U(3) 및 SU(3)

8개의 Gell-Mann 행렬 λ_n(그들에 대한 기사 및 구조 상수 참조)은 양자 색역학에서 중요하다. 그것들은 원래 핵물리학에서 여전히 실용적으로 중요한 향미의 SU(3) 이론에서 생겨났다. 그것들은 SU(3) 그룹의 발전기들이기 때문에, SU(3)의 요소는 SU(2)의 요소와 유사하게 쓰일 수 있다.

${\displaystyle U(\theta ,{\hat {e}}}}}}{j}}=\exp \left(-{\frac {i}{2}}\sum _{n=1}^{8}\theta _{n}\lambda _{n}\오른쪽)}}}}$

여기서 θ은_n 8개의 독립적인 매개변수다. λ_n 행렬은 정류자를 만족시킨다.

${\displaystyle \left[\data _{a},\fda _{b}\right]=2if_{ft}\putda _{c}}}$

여기서 지수 a, b, c는 1, 2, 3... 8을 취한다. 구조 상수 f는_abc SU(2)와 유사한 모든 지수에서 완전히 대칭성이 없다. 표준 색상 충전 기준(빨간색인 경우 r, 녹색인 경우 g, 파란색인 경우 b):

${\displaystyle r\rangele ={\pmatrix}1\0\\end{pmatrix}\\\nd{pmatrix}\nd{pmatrix}\\nd{pmatrix}\\nd}\nd}\nd}\pmatrix}}}}$

색 상태는 λ과₃ λ₈ 행렬의 고유상태인 반면, 다른 행렬은 색상 상태를 함께 혼합한다.

8개 글루온 상태(8차원 열 벡터)는 λ과₃ λ₈ 행렬에 대해 자체 Lie 대수 su(3)에 작용하는 8차원 표현인 SU(3)의 부선 표현에 대한 동시 고유점이다. 표현(표준표현과 그 이중)의 텐서 곱을 형성하고 적절한 인용구를 취함으로써 양성자와 중성자 및 기타 하드론은 다양한 색상의 SU(3) 표현의 고유 성분이다. SU(3)의 표현은 "최고 중량의 이론"^[13]으로 설명할 수 있다.

물질과 반물질

상대론적 양자역학에서 상대론적 파동 방정식은 자연의 놀랄만한 대칭을 예측한다: 모든 입자는 그에 상응하는 항정신병 물질을 가지고 있다. 이것은 상대론적 파동 방정식의 해법인 스피너 장에 수학적으로 포함되어 있다.

충전 결합은 입자와 항정신병자를 전환한다. 이 연산에 의해 변하지 않는 물리적 법칙과 상호작용은 C 대칭성을 가진다.

이산 스페이스타임 대칭

• 패리티는 왼손잡이에서 오른손잡이까지의 공간 좌표의 방향을 반영한다. 비공식적으로 공간은 거울의 이미지로 "반사"된다. 이 연산에 의해 변하지 않는 물리적 법칙과 상호작용은 P 대칭성을 가진다.
• 시간 역전은 시간 좌표를 뒤집는데, 이는 미래에서 과거로 이어지는 시간에 해당한다. 우주에는 없는 신기한 시간의 특성은 단방향이라는 것이다: 시간에 따라 앞으로 이동하는 입자는 과거로 되돌아가는 항정신병과 같다. 이 연산에 의해 변하지 않는 물리적 법칙과 상호작용은 T 대칭성을 가진다.

C, P, T 대칭

• 패리티(물리학) § 분자
• CPT 정리
• CP 위반
• PT 대칭
• 로렌츠 위반

게이지 이론

양자 전자역학에서 대칭군은 U(1)이고 아벨리안이다. 양자 색역학에서 대칭 그룹은 SU(3)이고 비아벨리안이다.

전자기 상호작용은 전하가 없는 광자에 의해 매개된다. 전자파 텐서는 게이지 대칭을 갖는 전자기 4전위장을 가지고 있다.

강한 (색) 상호작용은 8가지 색상 전하를 가질 수 있는 글루온에 의해 매개된다. 해당 글루온 4개 전위를 가진 8개의 글루온 자기장 강도 텐서가 있으며, 각각 게이지 대칭이 있다.

강한(색상) 상호작용

색전하

스핀 오퍼레이터와 유사하게 Gell-Mann 매트릭스 λ_j:

${\displaystyle {\hat{F}_{j}={\frac {1}{1}:{2}}\lambda _{j}}}$

그리고 색상 요금은 보존 요금이기 때문에 모든 색상 요금 운영자는 해밀턴인과 함께 통근해야 한다.

${\displaystyle \left[{\hat {F}_{j},{\hat {H}\오른쪽]=0}$

이소스핀

Isospin은 강한 상호 작용으로 보존된다.

약한 전자파 상호작용

이중성 변환

현재의 관측과 이론이 존재하거나 존재하지 않는 것과 일치하지만 자기 단면은 이론적으로 실현될 수 있다. 전기와 자기 전하가 이중성 변환에 의해 효과적으로 "서로 회전"될 수 있다.

전자위크 대칭

• 전자위크 대칭
• 전자위크 대칭파단

초대칭

Lie superalgebra는 (적합한) 기본 원소가 정류 관계를 가지거나 반소통 관계를 갖는 대수다. 대칭은 모든 페르미온 입자가 보소닉 유사성을 갖는다는 취지로 제안되었고, 그 반대의 경우도 마찬가지다. 이러한 대칭은 대칭을 제한하는 추가적인 가정(현줄의 존재 등)이 이루어지지 않는다는 점에서 이론적 매력을 가진다. 또한 초대칭성을 가정하면 여러 가지 곤혹스러운 문제를 해결할 수 있다. 리 슈퍼알제브라스로 대표되는 이 대칭들은 실험적으로 확인되지 않았다. 이제는 그것들이 존재한다면 깨진 대칭이라고 믿어지고 있다. 그러나 암흑 물질은 질량을 가진 스핀 3/2 입자인 그라비티노를 구성하며, 초대칭의 파트너가 그라비톤이라고 추측되어 왔다.

교환 대칭 또는 순열 대칭

교환 대칭 또는 순열 대칭의 개념은 동일한 두 개의 입자를 교환한 후 관측 가능한 물리적 양이 변경되어서는 안 된다는 양자 통계학의 근본적인 가정으로부터 파생된다. 동일한 입자의 시스템에 대해서는$$ 모든 관측 가능이 ${\displaystyle {\psi }^{\mathrm{}}}$ 2 ${\$에 비례하므로, 파동 함수 ${\displaysty \psi$ }은$($는) 이러한 교환 시 동일한 상태를 유지하거나 기호를 변경해야 한다고$$ 명시되어 있다. 보다 일반적으로, n개의 동일한 입자로 구성된 시스템의 경우, 파동 함수 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$은(는) 유한_n 대칭 그룹 S의 불가해한 표현으로 변환해야 한다$$. 스핀-통계학적 정리에 따르면 페르미온 상태는 S와_n 보손의 대칭적 비대칭적 비대칭적 비대칭적 비대칭적 표현으로 변모하는 것으로 나타났다. 분자의 로비브로닉 상태의 대칭 분류를 위해 롱구엣-하이긴스는^[14] 공간 역전이 있는 적절한 동일한 핵 순열 및 순열의 그룹으로 분자 대칭 그룹을 도입했다.

두 개의 동일한 입자의 교환은 수학적으로 각 입자의 180도 회전(따라서 하나의 입자의 프레임이 360도 회전하는 것)과 같기 때문에,^[15] 파동함수의 대칭성은 회전 연산자를 적용한 후의 입자의 스핀에 따라 달라진다. 정수 스핀 입자는 360도 회전 시 파동 함수의 기호를 변경하지 않는다. 따라서 전체 시스템의 파동 함수의 기호는 변경되지 않는다. 반정수의 스핀 입자는 360도 회전 시 파동 함수의 기호를 변경한다( 스핀-통계학적 정리에 대한 자세한 내용은 참조).

교환 시 파동 함수가 부호를 변경하지 않는 입자를 보손(boson), 또는 대칭 파동 함수를 가진 입자라 한다. 계통의 파동함수가 부호를 바꾸는 입자를 페르미온이라고 하며, 대칭파함수를 가진 입자를 말한다.

따라서 페르미온은 보손(보스-아인슈타인 통계에 복종하는)과는 다른 통계(페르미-디락 통계라고 한다)를 따른다. 페르미-디락 통계의 결과 중 하나는 페르미온에 대한 배제 원칙이다. 즉, 동일한 페르미온 두 개가 동일한 양자 상태를 공유할 수 없다(즉, 동일한 상태에서 동일한 페르미온 두 개의 파동 함수는 0이다). 이는 페미온에 대한 퇴행성 압력, 즉 페미온의 압축에 대한 강한 저항력을 초래한다. 이 저항은 (원자가 페르미온인 전자를 포함하고 있기 때문에) 일반 원자 물질의 "강성" 또는 "강성"을 발생시킨다.

참고 항목

각주

참조

추가 읽기

• K. J. Barnes (2010). Group theory for the standard model and beyond. Series in high energy physics, cosmology, and gravitation. Taylor & Francis. ISBN 978-142-007-874-9.
• M. Chaichian; R. Hagedorn (1998). Symmetry in quantum mechanics: From angular momentum to supersymmetry. Graduate student series in physics. Institute of physic s (Bristol and Philadelphia). ISBN 0-7503-0408-1.
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• S. Haywood (2011). Symmetries and Conservation Laws in Particle Physics: An Introduction to Group Theory for Particle Physicists. World Scientific. ISBN 978-184-816-703-2.
• M. F. C. Ladd (1989). Symmetry in molecules and crystals. Solid state science. Ellis Horwood series in physical chemistry. ISBN 0-85312-255-5.
• W. Ludwig; C. Falter (1996). Symmetries in physics. Solid state science (2nd ed.). Springer. ISBN 3-540-60284-4.
• B. R. Martin, G.Shaw (22 March 2013). Particle Physics (3rd ed.). Manchester Physics Series, John Wiley & Sons. p. 3. ISBN 978-0-470-03294-7.
• D. McMahon (2008). Quantum Field Theory. Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-154382-8.
• Moretti, V. (2018). Spectral Theory and Quantum Mechanics; Mathematical Foundations of Quantum Theories, Symmetries and Introduction to the Algebraic Formulation 2nd Edition. Berlin, Milan: Springer. ISBN 978-3-319-70705-1.

외부 링크

• (2010) 불가침 텐서 연산자와 위그너-에카르트 정리
• R.D. 리스(2006) 포지션 표현에서 양자역학적 모멘텀 연산자의 파생
• D. E. Soper(2011) 양자역학에서의 위치와 운동량
• 거짓말 그룹
• F. Porter (2009) Lie Groups and Lie Algebras
• 연속 그룹, 거짓말 그룹 및 리 알헤브라스
• P.J. 멀더스 (2011) 양자장 이론
• B.C. 홀(2000년) 그룹 및 대표에 대한 기초 소개