스톤이 단변수 단일 집단에 대한 정리

수학에서 스톤이 1-모수 단일군 그룹에 대한 정리는 힐베르트 $공간{\displaystyle \mathcal{}}$ H ${\${\$mathcal{H}$와 1-모수군 가족에 대한 자기 성직 연산자 사이의 일대일 일치성을 확립하는 기능 분석의 기본 정리다.

${\displaystyle(U_{t})_{t\in \mathb {R}}}}}$

매우 연속적인 단일 운영자, 즉

${\displaystyle \forall t_{0}\in \mathb {R},\psi \in {\mathcal {H}:\qquad \lim_{t\t_}U(\psi )=U_{t_{0}}(\psi ),}$

동형성, 즉,

$\displaystyle \forall s,t\in \mathb {R} :\qquad U_{t+s}=U_{t}U_{s}.}$

그러한 단일 매개변수 집단은 일반적으로 강하게 연속되는 단일 매개변수 단일집단으로 불린다.

그 정리는 마샬 스톤(1930, 1932년)에 의해 증명되었고, 노이만(1932)은 $({\displaystyle {}_{}{}_{}}$t ) t${\displaystyle {}_{}{u}_{}}$ R ${\$강하게 연속되어야$$ 한다는 요건은 최소한 힐베르트의 공간이 분리될 때 약하게 측정할 수 있다고 말할 수 있다는 것을 완화시킬 수 있다는 것을 보여주었다.

이것은 연속적으로만 되어 있는$$ $매핑{\displaystyle }$ t${\displaystyle }$u ${\displaystyle U_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle t\mapsto U_{t}}$의 파생형을 정의할 수 있기 때문에 인상적인 결과다.또한 리 집단과 리 알헤브라의 이론과도 관련이 있다.

형식명세서

정리의 진술은 다음과 같다.^[1]

정리.Let${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}{}_{}}$) ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {R\mathbb{}}_{}}$ ${\$은(는) 강하게 연속되는 1-모수 단일 모수 그룹이다$$.그리고 D ${\displaystyle A_{}}$ ${\$${D}_{A}\to {\mathcal$${\mathcal{D}}}$에 자가 적응하는 고유한 (개략적으로 무한) ${\displaystyle 연산자\mathcal{}}$ A가 $존재$한다${\displaystyle {}_{}}$

${\displaystyle \forall t\in \mathb {R} :\qquad U_{t}=e^{itA}.}$

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 도메인은

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}=\left\{\psi \in {\mathcal {H}}\left \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-i}{\varepsilon }}\left(U_{\varepsilon }(\psi )-\psi \right){\text{ exists}}\right.\right\}}$

Conversely, let ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}}$ be a (possibly unbounded) self-adjoint operator on ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}\subseteq {\mathcal {H}}.}$ Then the one-parameter family ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$에 의해 정의된 단일 운영자의

${\displaystyle \forall t\in \mathb {R} :\qquad U_{t}=e^{itA}$

강한 연속적인 단발성 그룹이다.

정리의 양쪽 부분에서 $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ A ${\$ e$^{it$$A}$은(는) 무한 자기 적응 연산자에 대한 스펙트럼 정리에 의해 정의된다$$.

The operator ${\displaystyle A}$ is called the infinitesimal generator of ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }.}$ Furthermore, ${\displaystyle A}$ will be a bounded operator if and only if the operator-valued mapping ${\displaystyle t\mapsto U_{t}}$ is norm-continuous.

$mathb$ {R}에서 강하게 연속되는 단일 그룹$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}{}_{}}$)의 최소 $생성기{\displaystyle }$ A$$${\$\mathb ${R}}}}$은(는) 다음과 같이 계산할 수 있다$$.

${\displaystyle A\psi =-i\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {U_{\varepsilon }\psi -\psi }{\varepsilon },},}$

표준 토폴로지에 한계가 존재하는$$ 벡터 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$로 $구성$된 ${\displaystyle A}$ 도메인.${\displaystyle \mathrm{즉}}$, $t{\displaystyle }$${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle t=$$0$}에서$$t {\$displaystyle$ $u_{$t$}$에 대해$$$$A {\$displaystyle$ $A}$은$({\displaystyle }$는$)$ $U{\displaystyle {}_{}}$ t ${\$displaystyle $U_{t$}의 파생상품의 - ${\displaystyle \mathrm{i배}}$와 같다$$$.$ 정리 설명의 일부는 이 파생상품이 존재한다는 것이다. 즉, $A{\displaystyle }$ ${\display a}$은 밀도 있다$$.y 정의된 자가 점 연산자.$U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$은(는) 연속적으로 가정할 뿐이고, 차이가 나지 않기 때문에 유한차원 사례에서도 결과는 분명하지 않다.

예

번역 운영자의 가족

$왼쪽[왼쪽]T_{t}(\psi )\right](x)=\psi(x+t)}$

단일하위 연산자의 단일하위 그룹이며, 이 계열의 최소 생성기는 차동 연산자의 확장이다.

${\displaystyle -i{\frac {d}{dx}}}$

$R{\displaystyle \mathbb{}.}$ ${\displaystyle \mathb {R}$에 대한 콤팩트한 지원을 통해 지속적으로 상이한 복합 값 함수의 공간에 정의됨$.$ 따라서$$

${\displaystyle T_{t}=e^{t{\frac{d}{dx}}}.}$

즉, 모멘텀 오퍼레이터가 라인에서 모션을 발생시킨다.

적용들

스톤의 정리는 양자역학에서 수많은 응용을 가지고 있다.예를 들어, Hilbert 주(州) H의 공간을 가진 고립된 양자역학 시스템을 감안할 때, 시간 진화는 $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에서 강하게 연속적인 1-모수 단일군이다$.$ 이 그룹의 최소 발전기는 시스템 해밀턴식이다.

푸리에 변환 사용

스톤의 정리는 푸리에 변환의 언어를 사용하여 다시 작성될 수 있다.실제 라인 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$은(는) 로컬 컴팩트 아벨리아 그룹이다$$.$그룹{\displaystyle \mathbb{}}$ C*-algebra $C{\displaystyle {}^{}}$non${\displaystyle {}^{}}$($){\displaystyle$ C$^{*}(\mathb {R}$)의 비-degenerate *표시는 R , ${\displaysty \mathb{R},},$ 즉$$, 강력하고 지속적인 1-모수 단일모수 그룹과 일대일 대응 관계에$$ 있다${\displaystyle .}$On the other hand, the Fourier transform is a *-isomorphism from ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ to ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ),}$ the ${\displaystyle C^{*}}$-algebra of continuous complex-valued functions on the real line that vanish at infinity.Hence, there is a one-to-one correspondence between strongly continuous one-parameter unitary groups and *-representations of ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ).}$ As every *-representation of ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$ corresponds uniquely to a self-adjoint operator, Stone's Theorem holds.

따라서 강하게 연속되는 1-모수 단일변수집단의 극소수 발생기를 구하는 절차는 다음과 같다.

• Let${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {t\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ R ${\$는) 힐버트 $공간{\displaystyle \mathcal{}}$ H ${\${\$mathcal {H}$에 대한 R ${\$의 강하게 연속된 단일 표현이다$.$

• 먼저 $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에서 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$(${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle C^{*}(\mathb {R})}$의 비-degeneration *-$reho }$을(를$)$ 산출하려면 이 단일 표현을 통합하십시오$$.

${\displaystyle \f\in C_{c}(\mathb {R} ):\qquad \rho(f):=\int _{\mathb {R} }f(t)~~U_{t}dt,}$

그런 다음 연속성을$$ 통해 $\rho {\displaystyle }${\$displaystyle \rho$}을(를) $모든{\displaystyle {}^{}}$ C${\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle )}${\$displaystyle$ C$^{*}(\mathb {R})$로 확장하십시오.

• Fourier 변환을 $사용$하여$$H {\$displaystyle${\$mathcal${H$$}에서 C 0$($)$${\$displaystyle C_{$0}(\$mathb$ {R$})$의 비분할 *-표현 \$displaystyle$ \$tau$$$$}$을(를$)$ 가져오십시오$.$

• Riesz-Markov Organization에 의해,$$theorem {\$displaystyle \tau }$은(는) R ${\displaystyle$$\mathb {R$$}$에 대한 투영 값 측정치를 발생시키며$$, $이$는 한이 없을 수 있다$.$

• 그러면 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이$({\displaystyle }$가) (${\displaystyle U_{}}$ t${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {R\mathbb{}}_{}}$. ${\displaystyle(U_{t})_{t\in \mathb {R}}}}$의 최소 생성기다.

$C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle C^{*}(\mathb {R} )}$의 정확한 정의는 다음과$$ 같다.콤팩트한 지원을 통해$$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $C_{c}(\mathb {R}$ )의 연속적인$$ 복합 값 함수를$$*-$알제브라{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle {}_{}R\mathbb{}}$ ${\displaystyle )}$, ${\displaystyle$ $\mathb {R}을($를) 고려하십시오. 여기서 콘볼루션에 의해 곱이 주어진다.The completion of this *-algebra with respect to the ${\displaystyle L^{1}}$-norm is a Banach *-algebra, denoted by ${\displaystyle (L^{1}(\mathbb {R} ),\star ).}$ Then ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ is defined to be the enveloping ${\displaystyle C^{*}}$-alge(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ,${\displaystyle \star }$) ${\displaystyle (L^{1}(\mathb {R}$ ) $,\star$ $)\}$의 브래지어, 즉 가능한 가장 큰 $C{\displaystyle {}^{}}$∗ ${\$ C$^{*}}$에 대한 완료.It is a non-trivial fact that, via the Fourier transform, ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ is isomorphic to ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ).}$ A result in this direction is the Riemann-Lebesgue Lemma, which says that the Fourier transform maps ${\displaystyle L^{1}(\mathbb$${R}$~ $C$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}R\mathbb{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle C_{0}(\mathb {R}).$$}$

일반화

The Stone–von Neumann theorem generalizes Stone's theorem to a pair of self-adjoint operators, ${\displaystyle (P,Q)}$, satisfying the canonical commutation relation, and shows that these are all unitarily equivalent to the position operator and momentum operator on ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ).$$}$

힐-요시다 정리는 스톤의 정리를 일반화하여 바나흐 공간에 대한 수축의 강력한 1-모수 세모그룹을 연속적으로 형성한다.

참조

참고 문헌 목록

• Hall, B.C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• Neumann, J. von (1932), "Über einen Satz von Herrn M. H. Stone", Annals of Mathematics, Second Series (in German), Annals of Mathematics, 33 (3): 567–573, doi:10.2307/1968535, ISSN 0003-486X, JSTOR 1968535
• Stone, M. H. (1930), "Linear Transformations in Hilbert Space. III. Operational Methods and Group Theory", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, National Academy of Sciences, 16 (2): 172–175, doi:10.1073/pnas.16.2.172, ISSN 0027-8424, JSTOR 85485, PMC 1075964, PMID 16587545
• Stone, M. H. (1932), "On one-parameter unitary groups in Hilbert Space", Annals of Mathematics, 33 (3): 643–648, doi:10.2307/1968538, JSTOR 1968538
• K. 요시다, 기능분석, Springer-Verlag, (1968년)