양자 확률 미적분학

양자 확률 미적분은 확률 미적분을 비확산 변수에 일반화한 것이다.^[1] 양자 확률 미적분학에서 제공되는 도구는 양자 궤적에서와 같이 측정 중인 시스템의 무작위 진화를 모델링하는 데 매우 유용하다.^{[2]: 148} 린드블라드 마스터 방정식이 포커-플랑크 방정식에 양자 일반화를 제공하는 것처럼, 양자 확률 미적분학은 고전 랑게빈 방정식과 유사한 양자 확률 미분 방정식(QSDE)의 유도를 허용한다.

이 글의 나머지 부분에는 양자 확률 미적분과 명확하게 구별하기 위해 고전적인 확률 미적분학이라고 언급될 것이다.

열탕

양자 확률 미적분이 필요한 중요한 물리적 시나리오는 열탕과 상호작용하는 시스템의 경우다. 열탕을 조화 발진기의 조립체로 모델링하는 것은 많은 상황에서 적절하다. 시스템과 욕조 사이의 상호작용의 한 가지 유형은 다음과 같은 해밀턴인에 의해 모델링될 수 있다(표준적 변환을 한 후).^{[3]: 42, 45}

${\displaystyle H=H_{\\mathbf {Z}}+{\frac {1}{1}{1}:{n2}}\sum _{n}\{n}-\kappa _{n}X)^{2}+\omega _{n^{n}q_{n}^{n}2}\rig}\rig)\}\}}}}\}}}\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\}}}}}}}}}}}\}$

여기서 $H{\displaystyle {}_{}}$ s ${\displaystyle {\mathrm{y}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$ ${\$은(는) 시스템 해밀턴식이고,$$Z {\$displaystyle \mathbf$ {$Z}$은(는$)$ 유한 자유도에 해당하는 시스템 변수를 포함하는 벡터이며$$, $n{\displaystyle }$ ${\displaystystyle n$$}$은 여러 목욕 모드에 대한 색인이며, ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ n {${{{\\d}$은 n}이다$.$${\displaystyle {특정}_{}}$ 모드의 주파수 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\$와 ${\displaystyle q_{}}$ ${\$은(는) 특정 모드의 목욕 운영자$$$,$ X {\$displaystyle X}$은(는) 시스템 운영자, ${\displaystyle {\kappa n}_{}}$ ${\$은 시스템과 특정 목욕 모드 간의 커플링을 정량화한다$$.

이 시나리오에서 임의 시스템 $운영자{\displaystyle }$ Y ${\displaystyle Y}$에 대한 운동 방정식을 양자 랜지빈 방정식이라고 하며$$ 다음과 같이 쓸 수 있다.^{[3]: 46–47}

여기서 [${\displaystyle \cdot }$ ,${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle ]}$ ${\$$displaystyle$ $[\cdot ,\cdot ]$ 및${\displaystyle }${ ${\displaystyle \cdot }$, ${\displaystyle \cdot }$ ⋅ }${\displaystyle }$} ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}}}$은 정류자와 반코무터(anticommutator)를 나타내는$$ 메모리 함수$f$는 다음과$$ 같다$.$

$\displaystyle f(t)\equiv \sum _{n}\kappa _{n}^{2}\cos(\omega _{n}t)\...}$

시간 의존적 노이즈 연산자 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi }$은(는) 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \xi (t)\equiv i\sum _{n}\kappa _{n}{\sqrt {\frac {\hbar \omega _{n}}{2}}}\left(-a_{n}(t_{0})e^{-i\omega _{n}(t-t_{0})}+a_{n}^{\dagger }(t_{0})e^{i\omega _{n}(t-t_{0})}\right)\,,}$

욕조 전멸 연산자 ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는) 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle a_{n}\equiv {\frac {\n}q_{n}+ip_{n}}{n}}{\sqrt {2\hbar \omega_{n}}}}\,}$

종종 이 방정식은 필요 이상으로 일반적이며, 그 방정식을 단순화하기 위해 더 많은 근사치가 만들어진다.

화이트 노이즈 포멀리즘

많은 목적에서 백색 소음 형식주의를 달성하기 위해 열탕의 성질에 대해 근사치를 하는 것이 편리하다. 이러한 경우 교호작용을 $해밀턴{\displaystyle }$ H =${\displaystyle {}_{}}$ s ${\displaystyle {\mathrm{y}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ B${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ i ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ ${\$ {$sys} }+H_{B}$로 모델링할 수 있다.$+H_{\mathrm {int} }}$ 여기서$$:^{[4]: 3762}

${\displaystyle H_{B}=\hbar \int _{-\infit }^{\infit }\d}\mathrm {d}\omega \,\omega b^{\dagger }(\omega )b(\omega )\...}$

그리고

${\displaystyle H_{\mathrm {int}=i\hbar \int_{-\infit }^{\nothy}\d}\mathrm {d}\ophomega \,\cappa(\omega)\reft(b^{\doger }-c^{\doger }\b(\b)(오른쪽)}$

where ${\displaystyle b(\omega )}$ are annihilation operators for the bath with the commutation relation ${\displaystyle [b(\omega ),b^{\dagger }(\omega ^{\prime })]=\delta (\omega -\omega ^{\prime })}$, ${\displaystyle c}$ is an operator on the system, ${\displaystyle \kappa (\omega )}$${\displaystyle \kappa (\omega )}$은 시스템에 대한 욕조 모드 커플링의 강도를 정량화하고$$, H $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{y}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$ ${\$은(는) 자유 시스템 진화를 설명한다$$.^{[3]: 148} 이 모델은 수학적으로 단순한 백색 소음 형식주의를 인정하기 위해$$ 회전파 근사치를 사용하며, 하한선인 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$을(를) - ${\displaystyle -\inflt }$까지 확장한다. 연결 강도는 또한 일반적으로 첫 번째 Markov 근사치라고 불리는 상수로 단순화된다.^{[4]: 3763}

${\displaystyle \kappa (\omega )={\sqrt {\frac {\frac {}{2\pi }}\,}$

고조파 오실레이터의 욕조에 결합된 시스템은 소음 입력에 의해 구동되고 소음 출력을 방사한다고 생각할 수 있다.^{[3]: 43} 시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$의 입력 노이즈 연산자는 다음과 같이 정의된다$$.^{[3]: 150 [4]: 3763}

${\displaystyle b_{\mathrm {in}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}\int_{-\infit }^{\d}\mathrm {d}\oema \,e^{-i\omega(t_{0}}b)\{0}\mathmatomega\}\}}}}}}}$

여기서 $b{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle \Omega }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {(\Omega }_{}}$) ${\displaystyle t_{}}$= ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ = t ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$좌측$.b(\omega )\우측\vert _{t=t_{0}}}},$ 이 연산자는 하이젠베르크 그림에 표현되어 있으므로$.$ Satisfaction of the commutation relation ${\displaystyle [b_{\mathrm {in} }(t),b_{\mathrm {in} }^{\dagger }(t^{\prime })]=\delta (t-t^{\prime })}$ allows the model to have a strict correspondence with a Markovian master equation.^{[2]: 142}

지금까지 설명한 화이트 노이즈 설정에서 임의 시스템 운영자 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$에 대한 양자 랑게빈 방정식은 다음과 같은 간단한 형태를 취한다$$.^{[4]: 3763}

고전적인 백색소음에 가장 근접하게 대응되는 경우, 시스템에 대한 입력은 다음과 같은 기대값을 제공하는 밀도 연산자에 의해 설명된다.^{[3]: 154}

${\displaystyle \langle b_{\mathrm {in}^{}{\dager }b_{\mathrm {in}}}}(t^{\primate })\rangele _{\rho_}}}}}}}=N\delta(t^{\primathrummath }).}$

(WN2)

퀀텀 위너 공정

양자 확률적 통합을 정의하기 위해서는 양자 위너 프로세스를 정의하는 것이 중요하다.^{[3]: 155 [4]: 3765}

${\displaystyle B(t,t_{0}}=\int _{t_{0}^{b_{\mathrm {in}}}}}(t^{\premy }})\mathrm {d}{\premy }\,}$

이 정의는 퀀텀 위너 프로세스에게 정류 관계${\displaystyle }$[${\displaystyle B}$( t${\displaystyle }$, ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {†}^{}}$( ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle t}$- ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$B^{\doger }(t,t_{0})]=t-t_{0$ (WN2)에서 목욕탕 소멸 연산자의 속성은 양자 위너 공정이 다음과 같은 기대값을 갖는다는 것을 암시한다.

${\displaystyle \langle B^{\daugger }}{}(t,t_{0})B(t,t_{0})\{\rho(t,t_{0}}}}=N(t-t_{0})\,}$

양자 위너 공정은 밀도 연산자를 정의하여 그들의 퀘이프로빌리티 분포가 가우스 분포로 지정된다.

${\displaystyle \rho(t,t_{0})=(1-e^{-\cappa }\exp \efrac[-}-{\kappa B^{\dager }{}(t,t_{0})B({t_{0}}}}}}}{t_{0}}}}}}\rig)\right}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $N{\displaystyle }$= 1${\displaystyle }$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\kappa }^{}}$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle N=1/(e^{\kappa }-1$^{[4]: 3765}

양자 확률적 통합

시스템 운영자의 확률적 진화는 또한 주어진 방정식의 확률적 통합의 관점에서 정의될 수 있다.

Quantum Itô 적분

시스템 연산자 $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle g(t)}$의 퀀텀 Itô 적분은 다음과$$ 같다.^{[3]: 155}

${\displaystyle (\mathbf {I} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(t_{i})\left(B(t_{i+1},t_{0})-B(t_{i},t_{0})\right)\,,}$

여기서 적분 앞에 있는 굵은 (I)는 Itô을 나타낸다. 이러한 방식으로 적분을 정의하는 특성 중 하나는 증분 ${\displaystyle d}$ B ${\daystyle \mathrm {d}B}$과(${\displaystyle 와{}^{)}}$ d B$display$ {\daystyle \$mathrm {d}B^{\dager }}}}$이(가) 시스템 운영자와 통근한다는$$ 것이다.

Itô 양자 확률 미분 방정식

Itô를 정의하기 위해서는 목욕 통계에 대해 아는 것이 필요하다.^{[3]: 159} 앞에서 설명한 백색 소음 형식주의 맥락에서 Itô는 다음과 같이 정의할 수 있다.^{[3]: 156}

${\displaystyle (\mathbf {I} )\,\mathrm {d} a=-{\frac {i}{\hbar }}[a,H_{\mathrm {sys} }]\mathrm {d} t+\gamma \left((N+1){\mathcal {D}}[c^{\dagger }]a+N{\mathcal {D}}[c]a\right)\mathrm {d} t-{\sqrt {\gamma }}\left([a,c^{\dagger }]\mathrm {d} B(t)-\mathrm {d} B^{\dagger }(t)[a,c]\right)\,,}$

린드블라드 슈퍼 오퍼레이터를 사용하여 방정식이 단순화된 경우:^{[2]: 105}

${\displaystyle {\mathcal{D}[A]a\equiv AA^{}-{\frac{1}{1}{1}{{\frac{1}}{2}}\왼쪽(A^{\dager }}Aa+a)A^{\dagger }A\right)\,}$

이 미분 방정식은 시스템 연산자 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ a$}$을 오른손의$$ 양자 Itô 적분으로 정의하는 것으로 해석되며, 란제빈 방정식(WN1)과 동등하다.^{[4]: 3765}

퀀텀 스트라토노비치 적분

시스템 연산자 $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle g(t)}$의 퀀텀 스트라토노비치 적분은 다음과$$ 같다.^{[3]: 157}

${\displaystyle (\mathbf {S} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {g(t_{i})+g(t_{i+1})}{2}}\left(B(t_{i+1},t_{0})-B(t_{i},t_{0})\right)\,,}$

여기서 일체형 앞에 있는 굵은 (S)는 스트라토노비치를 나타낸다. Itô 제형과 달리 스트라토노비치 일체형의 증분들은 시스템 운영자와 함께 통근하지 않으며,^[3] 다음과 같은 것을 알 수 있다.

${\displaystyle (\mathbf {S} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })-(\mathbf {S} )\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} B(t^{\prime })g(t^{\prime })={\frac {\sqrt {\gamma }}{2}}\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t^{\prime }\,[g(t^{\prime }),c(t^{\prime })]\,.}$

스트라토노비치 양자 확률 미분 방정식

스트라토노비치는 다음과 같이 정의할 수 있다.^{[3]: 158}

${\displaystyle (\mathbf {S} )\,\mathrm {d} a=-{\frac {i}{\hbar }}[a,H_{\mathrm {sys} }]\mathrm {d} t-{\frac {\gamma }{2}}\left([a,c^{\dagger }]c-c^{\dagger }[a,c]\right)\mathrm {d} t-{\sqrt {\gamma }}\left([a,c^{\dagger }]\mathrm {d} B(t)-\mathrm {d} B^{\dagger }(t)[a,c]\right)\,.}$

이 미분방정식은 시스템 $연산자{\displaystyle }$ a ${\displaystyle a}$을 오른손의 양자 스트라토노비치 적분으로 정의한 것으로 해석되며, 란제빈 방정식(WN1)과 같은 형태다.^{[4]: 3766–3767}

Itô와 Stratonovich 통합의 관계

양자 확률적 통합의 두 가지 정의는 다음과 같은 방식으로 서로 관련되며, 앞에서와 같이 $정의$된 N {\$displaystyle$N}을$$(를$)$ 가진 수조를 가정한다.^[3]

${\displaystyle (\mathbf {S} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })=(\mathbf {I} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\gamma }}N\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t^{\prime }\,[g(t^{\prime }),c(t^{\prime })]\,.}$

미적분법칙

고전적인 확률론적 미적분과 마찬가지로, 각각 Itô와 Stratonovich 통합에 적절한 제품 규칙을 도출할 수 있다.^{[3]: 156, 159}

${\displaystyle(\mathbf {I} )\,\mathrm {d}(ab)=a\,\mathrm {d}b+b\,\mathrm {d} a+\mathrmartrm {d} a\,\mathrmatrm {d}b}b\}, b\}$

${\displaystyle(\mathbf {S})\,\mathrm {d}(ab)=a\,\mathrm {d}b+\mathrm {d} a\,b\,}$

고전적인 확률론적 미적분학의 경우와 마찬가지로 스트라토노비치 형식은 보통의 미적분(이 경우는 비고정적이다)을 보존하는 형식이다. 양자 일반화의 특이점은 스트라토노비치 형식이 미적분 비고정 규칙을 보존한다는 것을 증명하기 위해 Itô과 Stratonovitch의 통합을 모두 정의할 필요가 있다는 것이다.^{[3]: 155}

양자 궤도

양자 궤도는 일반적으로 양자 시스템의 상태가 시간에 따라 가로지르는 힐버트 공간을 통과하는 경로로 생각할 수 있다. 확률적 환경에서 이러한 궤도는 종종 측정 결과에 따라 조절된다. 양자 시스템의 조건 없는 마르코비아 진화(모든 가능한 측정 결과에 대해 평균화)는 린드블라드 방정식에 의해 주어진다. 이러한 경우에 조건화된 진화를 설명하기 위해서는 일관된 것을 선택하여 린드블라드 방정식을 풀 필요가 있다. 조건화된 시스템 상태가 항상 순수한 경우, 풀림은 확률론적 슈뢰딩거 방정식(SSE)의 형태일 수 있다. 만일 상태가 혼합될 수 있다면 확률론적 마스터 방정식(SME)을 사용할 필요가 있다.^{[2]: 148}

풀림 예

진공 욕조와 상호 작용하는 시스템에 대해 다음과 같은 Lindblad 마스터 방정식을 고려하십시오.^{[2]: 145}

${\dot {\rho }={\mathcal {D}[c]\rho -i[H_{\mathrm {sys}},\rho ]\,}$

이것은 욕조에서 수행될 수 있는 특정 측정 결과에 대해 평균화된 시스템 상태의 진화를 설명한다. 다음은 욕조에 대해 수행된 지속적인 광자 계수 측정 결과에 따라 조건화된 시스템의 진화를 설명한다.

${\displaystyle \mathrm {d} \rho _{I}(t)=\left(\mathrm {d} N(t){\mathcal {G}}[c]-\mathrm {d} t{\mathcal {H}}[iH_{\mathrm {sys} }+{\frac {1}{2}}c^{\dagger }c]\right)\rho _{I}(t)\,,}$

어디에

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\mathcal {G}}[r]\rho &\equiv &{\frac {r\rho r^{\dagger }}{\operatorname {Tr} [r\rho r^{\dagger }]}}-\rho \\{\mathcal {H}}[r]\rho &\equiv &r\rho +\rho r^{\dagger }-\operatorname {Tr} [r\rho +\rho r^{\dagger }]\rho \end{array}}}$

비선형 ${\displaystyle \mathrm{수퍼}}$ 오퍼레이터${\displaystyle }$및$N{\displaystyle }$ ( t ) {\$displaystyle N(t)}$이(가) 복사산으로$$, 시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$에서 검출된 광자 수를 나타내며$$ 다음과 같은 점프 확률을 제공한다.^{[2]: 152, 155}

${\daystyle \operatorname {E} [\mathrm {d}N(t)]=\mathrm {d}t\operatorname {Tr}[c^{\dager }c\rho _{I}(t)]\}}}$

여기서 $E{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle }$[ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\cdot ]}$은(는) 예상 값을 나타낸다$$. 욕조에서 측정할 수 있는 또 다른 유형의 측정은 호모디네 검출이며, 이는 다음과 같은 방법으로 양자 궤적을 산출한다.

${\daystyle \mathrm {d} \rho_{J}(t)=-i[]H_{\mathrm {sys}},\rho _{J}(t)]\mathrm {d}t+\mathrman {d}[c]\rho_{J}(t)+{J}W(t){\mathrmath {H}[c]\rho _{J}(t})\}\rho}\}\}\not}\no}\}\}$

여기서 $d{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle W}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \mathrm {d} W(t)}$은(는) 다음을 만족하는 Wiener 증분이다$$.^{[2]: 161}

${\dmathrm {d}{rcl}\mathrm {d}W(t)^{2}=&\mathrm {d}t\\\operatorname {E}[\mathrm {d}W(t)]&=&0\,\end{array}}}$

비록 이 두 개의 s는 크게 다르게 보이지만, 그들의 예상 진화를 계산하는 것은 둘 다 실제로 같은 린들라드 마스터 방정식의 풀림임을 보여준다.

${\dot{\rho _{I}(t)=\operatorname {E}[\mathrm {d}\rho \{J}(t)]={\dot {\rho }}}}\mathrm {d}t\d}t\,}$

계산 고려사항

양자 궤도의 중요한 적용 중 하나는 마스터 방정식을 시뮬레이션하는 데 필요한 계산 자원을 줄이는 것이다. 힐버트 차원의 공간용 d, 밀도 행렬을 저장하는 데 필요한 실제 숫자의 양 순서가 있다. d², 그리고 마스터 방정식 진화의 계산에 필요한 시간은 순서가 있다. d반면에, 에 대한 상태 벡터를 저장하는 것은 순서의 실제 숫자의 양만 필요로 한다⁴. d, 그리고 궤적 진화를 계산하는 시간은 순서에 불과하다. d마스터 방정식 진화는 때때로 몬테카를로 파동 함수 접근법이라고 불리는 기법 , 를 사용하여 시뮬레이션한 많은 개별 궤도에 걸쳐 평균화함으로써 근사치가 될 수 있다².^[5] 비록 계산된 궤적 수는 n 마스터 방정식의 정확한 근사치를 위해서는 매우 커야 한다. 궤적 카운트에 대해 좋은 결과를 얻을 수 있다. d². 이 기술은 더 빠른 연산 시간을 산출할 뿐만 아니라 전체 밀도 매트릭스를 저장할 메모리가 충분하지 않은 기계에서 마스터 방정식의 시뮬레이션도 가능하게 한다.^{[2]: 153}

참조