슈뢰딩거 방정식과 양자역학의 경로적분제형성과의 관계

이 글은 슈뢰딩거 방정식과 운동 에너지와 전위 에너지로 구성된 단순 비-상대론적 단차원 해밀턴을 이용한 양자역학의 경로 적분형 공식과 관련된다.

배경

슈뢰딩거 방정식

슈뢰딩거의 방정식은 브라켓 표기법으로 보면 다음과 같다.

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}} \psi \rangele ={\hat {H} \psi \rangle }}$

여기서 $H{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$은(는) 해밀턴 연산자다.

해밀턴 오퍼레이터는 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\hat{H}}={\frac {{\p}^{2}}:{2m}+V({\hat {q}})}$

여기서 $V{\displaystyle }$(${\displaystyle q\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$) ${\displaystyle V({\hat{q}})$는 잠재적 에너지, m은 질량이며 우리는 단순성을 위해 공간 차원 q가 하나뿐이라고 가정했다.

방정식의 공식 해법은

${\displaystyle \psi(t)\rangele =\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}}{0}\hbar \equiv \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}}}{\hbar}}}오른쪽) 0\hat {H}$

여기서 초기 상태는 자유공학적 공간상태 ${\displaystyle q{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{0}\rangele }$이라고 가정했다$.$

T에서 ${\displaystyle 초기\mathrm{}}$ 상태 0${\displaystyle }$⟩$${\$displaystyle 0$\rangele$}$에서 최종 자유 입자 공간 상태 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle F\rangele}($으)로의$$ 전환에 대한 전환 확률 진폭

${\displaystyle \langle F \psi(T)\rangle =\왼쪽\langle F{\bigg }\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}}{\hbar }}{\hat {H}T\오른쪽){\bigg }$

경로 적분식

경로 적분 제형은 전환 진폭이 단순히 수량의 적분이라고 명시한다.

${\displaystyle \exp \left({\frac {i}{\hbar }}}}S\right)}$

초기 상태부터 최종 상태까지의 모든 가능한 경로에 걸쳐.여기 S가 고전적인 액션이다.

원래 디라크에 기인하고 파인만에^[1] 의해 개념화된 이 전환 진폭의 개혁은 경로 적분 제형의 기초를 형성한다.^[2][3]

슈뢰딩거 방정식에서 경로 적분 공식까지

다음의 파생은^[4] 트로터 제품 공식을 이용하는데, 이 공식을 보면, 자칭 연산자 A와 B의 경우(특정 기술 조건을 만족하는 경우)가 있다.

${\displaystyle e^{i(A+B)}\psi =\lim _{N\rightarrow \infty }(e^{iA/N}e^{iB/N})^{N}\psi }$,

A와 B가 통근하지 않더라도

시간 간격 [0, T]을 N개의 길이로 나눌 수 있다.

${\displaystyle \delta t={\frac {T}{N}}.}$

그런 다음 전환 진폭을 기록할 수 있다.

${\displaystyle \left\langle F{\bigg }\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}T\right){\bigg }0\right\rangle =\left\langle F{\bigg }\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right)\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right)\cdots \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg }0\right\rangle .}$

운동 에너지와 잠재적 에너지 운영자는 통근하지 않지만, 위에서 인용한 트로터 제품 공식은 각각의 작은 시간 간격에 걸쳐 우리는 이러한 비통행성을 무시하고 쓸 수 있다고 말한다.

${\displaystyle \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right)\approx \exp \left({-{i \over \hbar }{{\hat {p}}^{2} \over 2m}\delta t}\right)\exp \left({-{i \over \hbar }V\left(q_{j}\right)\delta t}\right).}$

공칭적 단순성을 위해 우리는 이 대체물을 만드는 것을 잠시 연기한다.

아이덴티티 매트릭스를 삽입하면

$\displaystyle I=\int dq q\angle \langle q }$

N - 산출할 지수 사이의 1회

${\displaystyle \left\langle F{\bigg }\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}T\right){\bigg }0\right\rangle =\left(\prod _{j=1}^{N-1}\int dq_{j}\right)\left\langle F{\bigg }\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg }q_{N-1}\right\rangle \left\langle q_{N-1}{\bigg }\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg q_{{N-2}\right\rangele \cdots \left\langle q_{1}{\bigg }\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}}}{\hbigg {}}\0\right\rangle.}$

이제 트로터 제품 공식과 관련된 대체품을 구현하여 효과적으로 사용할 수 있게 되었다.

${\displaystyle \left\langle q_{j+1}{\bigg }\exp \frac {i}{\hbar }}}{\hbar }}{\hot{H}\delta t\right){\bigg q_{j}\langle q_{j+1}{{j+1}Bigg }\exp \left({-{i \over \hbar }{{\hbar }{\p}^{2} \over 2m}\delta t}\right)\exp \eft({{i \i \vbar }V\{j}\rig}\delta t}\rig){{\rig}\rig}\rig}\rig)\rig}\rig}\rig}\delta t}\\\\\\\\\\\Bigg q_{j}\right\rangele .}$

우리는 그 정체성을 삽입할 수 있다.

${\displaystyle I=\int {dp \over 2\pi }p\angle \langle p }$

양보할 수 있는 진폭 속으로.

${\displaystyle{\begin{정렬}\left\langle q_{j+1}{\bigg}\exp \left(-{\frac{나는}{\hbar}}{\hat{H}}\deltat\right){\bigg}q_{j}\right\rangle&=\exp \left(-{\frac{나는}{\hbar}}V\left(q_{j}\right)\delta t\right)\int{\frac{에서}{2\pi}}\left\langle q_{j+1}{\bigg}\exp \left(-{\frac{나는}{\hbar}}{{p^{2}}{2m}}\deltat\right\frac){\bigg}p\right\.울렸다.르 \langle pq_{j}\rangle \\&,=\exp \left(-{\frac{나는}{\hbar}}V\left(q_{j}\right)\delta t\right)\int{\frac{에서}{2\pi}};=\exp \left(-{\frac{나는}{\hbar}}V\left(q_{j}\right)\delta t\right)\int{\frac{에서}{2\ \left(-{\frac{나는}{\hbar}}{{p^{2}}{2m}}\deltat\right\frac)\left\langle q_{j+1}p\right\rangle\left\langle pq_{j}\right\rangle \\& \exp.\hbar 파이}}}\exp \frac{i}{\hbar}}{\frac {p^{2}}:}\m}}\i1\{\hbar}{}}}{\p\좌(q_{j+1}-q_{j}\오른쪽)\end{aigned}}}}}}}}}}}$

자유 입자파 함수가

${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q_{}}$ j ${\displaystyle {}_{}}$= $exp$(${\displaystyle \frac{i\frac{}{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\frac{\hslash }{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{p}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{j_{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{\hslash }{\sqrt{}}}$ {$${ { \ \$langle$ p $q_{j}\rangle ={\frac${\$exp \eflac {\i}{\hbar$}{\$pq_{j}\hbar }}}}}}}}}}}}}{\sqr$

적분 over p를 수행하여 얻을 수 있다(양자장 이론의 공통 통합 참조).

${\displaystyle \left\langle q_{j+1}{\bigg }\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg }q_{j}\right\rangle =\left({-im \over 2\pi \delta t\hbar }\right)^{1 \over 2}\exp \left[{i \over \hbar }\delta t\left({1 \over 2}m\left({q_{j+1}-q_{j} \over \delta t}\right)^{2}-V\left(q_{j}\right)\right)\right]}$

전체 기간의 전환 진폭은

${\displaystyle \left\langle F{\bigg }\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}T\right){\bigg }0\right\rangle =\left({-im \over 2\pi \delta t\hbar }\right)^{N \over 2}\left(\prod _{j=1}^{N-1}\int dq_{j}\right)\exp \left[{i \over \hbar }\sum _{j=0}^{N-1}\delta t\left({1 \over 2}m\left({q_{j+1}-q_{j} \over \delta t}\right)^{2}-V\left(q_{j}\right)\right)\오른쪽}$

만약 우리가 큰 N의 한도를 택한다면, 전환 진폭은 다음과 같이 감소한다.

${\displaystyle \left\langle F{\bigg }\exp \left({-{i \over \hbar }{\hat {H})T}\right){\bigg }0\right\rangele =\int Dq(t)\exp \left[{i \over \hbar }S\right]}}$

여기서 S는 에 의해 주어지는 고전적인 작용이다.

${\displaystyle S=\int _{0}^{T}dtL\왼쪽(q(t),{\dot{q}}(t)\오른쪽)}$

그리고 L은 라그랑고 고전적인 라그랑고어로

${\displaystyle L\left(q,{\dot {q}\오른쪽)={1 \{}m 이상 {\dot{q}^{2}-V(q)}$

초기 상태에서 최종 상태로 가는 입자의 가능한 경로는 끊어진 선으로 근사하며 적분 측정치에 포함된다.

${\displaystyle \int Dq(t)=\lim _{N\to \inflit }\왼쪽({\frac {-im}{2\pi \delta t\hbar }}}}}*{{j=1}^{n-1}int dq_{j}\rim 오른쪽)^{{N\}$

이 표현식은 실제로 경로 통합을 취하는 방식을 정의한다.앞에 있는 계수는 표현이 정확한 치수를 갖도록 하기 위해 필요하지만 어떠한 물리적 적용에서도 실제적인 관련성은 없다.

이것은 슈뢰딩거 방정식의 경로 적분 제형을 복구한다.

경로 적분 공식에서 슈뢰딩거 방정식으로

경로 적분은 전위가 존재하는 경우에도 초기 상태와 최종 상태에 대해 슈뢰딩거 방정식을 재현한다.이것은 무한히 분리된 시간에 걸쳐 경로-통합을 취함으로써 가장 쉽게 볼 수 있다.

${\displaystyle \psi (y;t+\varepsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x;t)\int _{x(t)=x}^{x(t+\varepsilon )=y}\exp \left(i\int \limits _{t}^{t+\varepsilon }\left({\tfrac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}-V(x)\right)\,dt\right)\,Dx(t)\,dx\qquad (1)}$

시간 분리가 극미하고 ẋ의 큰 값에 대해 취소 진동이 심해지므로 경로 적분은 x에 가까운 y에 대해 가장 큰 가중치를 가진다.이 경우, 가장 낮은 순서로 전위 에너지는 일정하며, 운동에너지의 기여만 비교가 되지 않는다.(이러한 지수 내 운동 에너지와 잠재적 에너지 조건의 분리는 본질적으로 트로터 제품 공식이다.)작용의 지수화는

${\displaystyle e^{-i(x)}e^{i{\frac {{\dot{x}^{2}}:\varepsilon }}}}$

첫 번째 항은 ψ(x)의 국부적으로 잠재적 에너지에 비례하는 양만큼 ψ(x)의 국부적으로 회전한다.두 번째 용어는 자유 입자 전파기로, i 곱하기 확산 과정에 해당한다.ε에서 가장 낮은 순서는 가법이며, 어떤 경우라도 (1)을 사용한 경우:

${\displaystyle \psi(y;t+\varepsilon )\cHB^{-i;t)e^{-i(x)}e^{\frac {i(x-y)^{2}}{2\barepsilon }\,dx\,}$

전술한 바와 같이, in의 확산은 자유 입자 전파로부터 분산되어 있으며, 위상에서는 전위로부터 포인트에 따라 천천히 변화되는 추가 극소수 회전은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\partial \psi}{\partial t}=i\cdot \left({\tfrac {1}{2}}\nabla ^{2}-V(x)\right)\psi \,}$

슈뢰딩거 방정식이야경로 적분 정규화는 자유 입자 사례에서와 정확히 동일한 방식으로 고정되어야 한다는 점에 유의하십시오.임의의 연속 전위는 비록 단일한 전위에는 신중한 치료가 필요하지만 정상화에 영향을 미치지 않는다.

참조