섭동이론(양자역학)

양자역학에서 섭동 이론은 복잡한 양자계를 단순한 관점에서 설명하기 위한 수학적 섭동과 직접 관련된 근사 체계 집합이다.이 아이디어는 수학적 해답이 알려진 단순한 시스템에서 시작하여 시스템에 약한 장애를 나타내는 "퍼터링" 해밀턴을 추가하는 것입니다.교란이 너무 크지 않은 경우, 교란된 시스템과 관련된 다양한 물리적 수량(예를 들어 에너지 수준 및 고유 상태)은 단순 시스템의 수량에 대한 "보정"으로 표현될 수 있다.이러한 보정은 수량 자체의 크기에 비해 작기 때문에 점근 급수와 같은 근사 방법을 사용하여 계산할 수 있습니다.따라서 복잡한 시스템은 더 단순한 시스템에 대한 지식을 바탕으로 연구될 수 있다.사실상, 그것은 간단하고 해결 가능한 시스템을 사용하여 복잡한 미해결 시스템을 묘사하고 있다.

근사 해밀턴인

섭동 이론은 실제 양자 시스템을 기술하는 중요한 도구인데, 심지어 중간 정도의 복잡성의 해밀턴인들에게 슈뢰딩거 방정식에 대한 정확한 해답을 찾는 것이 매우 어려운 것으로 밝혀졌기 때문입니다.수소 원자, 양자 조화 진동자, 상자 안의 입자와 같은 정확한 해밀턴인들은 대부분의 시스템을 충분히 묘사하기에는 너무 이상적이다.섭동 이론을 이용하여, 우리는 이 단순한 해밀턴 사람들의 알려진 해답을 사용하여 보다 복잡한 시스템 범위에 대한 해밀턴을 생성할 수 있다.

섭동 이론 적용

섭동 이론은 당면한 문제를 정확하게 해결할 수 없을 때 적용할 수 있지만, 정확히 풀 수 있는 문제에 대한 수학적 설명에 "작은" 용어를 추가하여 공식화할 수 있습니다.

예를 들어 수소원자의 양자역학 모델에 섭동전위를 부가함으로써 전계의 존재에 의한 수소의 스펙트럼선의 미세한 변화(스타크 효과)를 계산할 수 있다.이것은 터널링 시간(감쇠 속도)이 매우 길지만 선형 전위를 가진 쿨롱 전위의 합계가 불안정하기 때문에(진정한 경계 상태를 가지지 않기 때문에) 근사치일 뿐입니다.이 불안정성은 에너지 스펙트럼 라인의 확대로 나타나며, 섭동 이론은 완전히 재현되지 않는다.

섭동 이론에 의해 생성된 표현은 정확하지 않지만, 확장 매개변수, $예$ 를 들어 α가 매우 작은 한 정확한 결과를 가져올 수 있습니다.일반적으로 결과는 α의 $유한$ 멱급수로 표현되며, 고차수로 합산할 때 정확한 값으로 수렴되는 것으로 보인다.그러나 특정 $순서$ n ~ $1/ α$ 이후에는 영상 시리즈가 일반적으로 발산(점근 영상 시리즈)되므로 결과가 점점 더 악화됩니다.이를 수렴 급수로 변환하는 방법이 있으며, 이는 변동 방법을 통해 큰 확장 매개변수에 대해 가장 효율적으로 평가할 수 있습니다.수렴 섭동도 오답으로 수렴할 수 있으며 분산 섭동 확장은 때때로 낮은^[1] 차수로 좋은 결과를 제공할 수 있다.

전자-광자 상호작용이 섭동적으로 처리되는 양자전기역학(QED) 이론에서, 전자의 자기 모멘트의 계산은 소수점 ^[2]11자리까지의 실험과 일치하는 것으로 밝혀졌다.QED 및 기타 양자장 이론에서는 파인만 다이어그램으로 알려진 특수 계산 기법을 사용하여 멱급수 항을 체계적으로 합산합니다.

제한 사항

큰 섭동

어떤 상황에서는 섭동 이론이 잘못된 접근법이다.이것은 우리가 설명하고자 하는 시스템이 어떤 단순한 시스템에 부과된 작은 섭동에 의해 설명될 수 없을 때 발생한다.예를 들어 양자색역학에서 쿼크와 글루온장의 상호작용은 결합 상수(팽창 파라미터)가 너무 ^{[clarification needed]}커지기 때문에 낮은 에너지로 섭동적으로 처리될 수 없다.

비단열 상태

섭동 이론은 또한 결합 상태와 솔리톤과 ^{[citation needed]}같은 다양한 집단 현상을 포함하여 "자유 모델"로부터 단열적으로 생성되지 않은 상태를 기술하는 데 실패한다.예를 들어, 매력적인 상호작용이 도입되는 자유(즉, 비상호작용) 입자 시스템이 있다고 상상해 보십시오.상호작용의 형태에 따라, 이것은 서로 결합되어 있는 입자 그룹에 대응하는 완전히 새로운 고유 상태의 집합을 만들 수 있습니다.이 현상의 예는 전도 전자 사이의 포논 매개 흡인력이 쿠퍼 쌍으로 알려진 상관 전자쌍을 형성하는 전통적인 초전도도에서 발견될 수 있다.이러한 시스템에 직면했을 때, 보통 변분법이나 WKB 근사치 같은 다른 근사치 체계로 눈을 돌린다.이는 교란되지 않은 모델에는 결합 입자의 유사체가 없고 일반적으로 솔리톤의 에너지가 팽창 파라미터의 역방향으로 가기 때문입니다.그러나 솔리톤 현상에 대해 "적분"하면, 이 경우의 비교란 보정은 섭동 $파라미터$ g의 exp $(-1/ g)$ $또는$ exp $(-1/ g 2)$ 의 순서로 작아집니다.섭동 이론은 섭동 확장이 ^{[citation needed]}유효하지 않은 다른 해답이 있더라도 섭동되지 않은 해답에 "가까이" 가까운 해만을 검출할 수 있다.

어려운 계산

비교란 시스템의 문제는 현대 컴퓨터의 등장으로 다소 완화되었다.밀도 함수 이론과 같은 방법을 사용하여 특정 문제에 대해 수치 비교란적 해법을 얻는 것이 실용화되었습니다.이러한 발전은 양자 ^[3]화학 분야에 특히 도움이 되었다.컴퓨터는 또한 매우 높은 정밀도로 섭동 이론 계산을 수행하는데 사용되어 왔는데, 이것은 실험과 비교될 수 있는 이론적 결과를 생성하는 데 입자 물리학에서 중요한 것으로 증명되었습니다.

시간 독립 섭동 이론

시간 독립 섭동 이론은 섭동 이론의 두 범주 중 하나이며, 다른 하나는 시간에 의존하는 섭동 이론이다.시간 독립 섭동 이론에서, 섭동 해밀턴은 정적입니다(즉, 시간 의존성이 없습니다).시간 독립적 섭동 이론은 에르빈 슈뢰딩거가 파동역학에서 이론을 발표한 직후인 1926년 논문에서 ^[4]제시되었습니다.이 논문에서 슈뢰딩거는 작은 불균형에 의해 교란되는 현의 조화 진동을 연구한 레일리 ^[5]경의 초기 연구를 언급했다.이것이 바로 이 섭동 이론이 종종 레일리-슈뢰딩거 ^[6]섭동 이론으로 언급되는 이유이다.

첫 번째 주문 수정

프로세스는 시간 ^[7]의존성이 없는 것으로 가정되는 교란되지 않은 $해밀턴 0$ H로 시작합니다.시간 독립형 슈뢰딩거 방정식에서 발생하는 에너지 수준과 고유 상태를 알고 있습니다.

H_{0}\left n^{(0)}\left n^{(0)}\right\rangle,\qquad n=1,2,3,\cdots

단순화를 위해 에너지가 이산적이라고 가정한다. $(0)$ 개의 위 첨자는 이러한 양이 교란되지 않은 시스템과 연관되어 있음을 나타냅니다.브라켓 표기법의 사용에 주의해 주세요.

그런 다음 섭동이 해밀턴에 도입된다.V를 외부 장에 의해 생성되는 전위 에너지와 같은 약한 물리적 장애를 나타내는 해밀턴이라고 $가정$ 하자. $따라서$ V는 공식적으로 에르미트 연산자이다. $θ$ 를 0(섭동 없음)에서 1(전체 섭동)까지의 값을 연속적으로 취할 수 있는 무차원 파라미터로 합니다.동요된 Hamiltonian은 다음과 같습니다.

H=H_{0}+\lambda V

교란된 해밀턴의 에너지 수준과 고유 상태는 시간 독립형 슈뢰딩거 방정식에 의해 다시 주어진다.

\displaystyle \left(H_{0}+\lambda V\right) n\rangle = E_{n} n\rangle .}

목적은 오래된 해밀턴의 에너지 수준과 고유 상태의 관점에서 $|n\rangle$ 와 n ${\$ { $displaystyle$ n $\rangle}$ 을_n $|n\rangle$ 표현하는 것입니다.섭동이 충분히 약할 경우, 그것들은 $θ$ 에서 (Maclaurin) 멱급수로 쓸 수 있다.

디스플레이 스타일E_{n}&=E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^(1)+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)+\cdots \\rangle &=\left n^{(0)}\rangle +\lambda ^{1}(오른쪽)

어디에

디스플레이 스타일E_{n}^{(k)}&=frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}E_{n}}{d\lambda ^{k}}{\bigg }_{\bigg }_{\left n^{(k)}\right\rangle &=frac {1}{k}!}}{\frac {d^{k}n\rangle}{d\bigg}_{\bigg}_{\biggda =0.}\end {aligned}}

k = $0$ 이면 각 시계열의 첫 번째 항인 교란되지 않은 값으로 감소합니다.교란이 약하기 때문에 에너지 수준과 고유 상태는 교란되지 않은 값에서 너무 많이 벗어나서는 안 되며 항은 순서가 증가할수록 빠르게 작아져야 한다.

멱급수 확장을 슈뢰딩거 방정식에 대입하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.

$\displaystyle \left(H_{0}+\lambda V\right)\left(\left n^{(0)}\rangle +\left n^{(1)=\left(E_{n}^{0}+\lambda e_{cdots\right}^{{(1)}^{{{}{{{})^{{}{}{}{{}}}}}{{{{}}}}}}{{}}}}}}{}}}}}}{{}}}}}}}$

이 방정식을 확장하여 $θ$ 의 각 거듭제곱의 계수를 비교하면 무한의 연립방정식이 된다.0차 방정식은 단순히 방해받지 않는 시스템에 대한 슈뢰딩거 방정식입니다.

H_{0}\left n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left n^{(0)}\right\rangle .

1차 방정식은

\displaystyle H_{0}\left n^{(0)}\right\rangle = E_{n}^{(0)}\left n^{(1)\right\rangle + E_{n}^{(1)\left n^{0}\right n^{(0)\rangle .rangle

$\langle n^{(0)}|$ n ( $\langle n^{(0)}|$ ) $\langle n^{(0)}|$ { $displaystyle \langle$ n $^{(0)} }$ } 까지의 연산을 실시하면, 좌측의 첫 번째 항은 우측의 첫 번째 항을 취소합니다.(리콜, 동요되지 않은 해밀턴인은 에르미트인이다.)이는 1차 에너지 이동으로 이어집니다.

E_{n}^{(1)=\left\langle n^{(0)}\right V\left n^{(0)}\rangle .

이것은 단순히 시스템이 교란되지 않은 고유 상태에 있는 동안 섭동 해밀턴의 기대치입니다.

이 결과는 다음과 같은 방법으로 해석할 수 있습니다. 섭동이 적용되지만 시스템이 양자 $|n^{(0)}\rangle$ n( ${\$ {\ $displaystyle$ n^{( $0)}\rangle$ $|n^{(0)}\rangle$ 으로 유지된다고 가정하면 에너지 고유 상태는 아니지만 유효한 양자 상태입니다.섭동에 의해 이 상태의 평균 에너지가 $\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$ n ( $\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$ ) $\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$ ( $\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$ ) ${\$ { \ $display$ style \ $langle$ n^ { ( 0 ) $\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$ $|n^{(0)}\rangle$ V n^ { ( 0 ) \ $rangle$ 。단, 교란된 고유 상태가 $|n^{(0)}\rangle$ n ( $|n^{(0)}\rangle$ 0 ) $style display$ n ( 0 $)\rangle$ } {\ $|n^{(0)}\rangle$ {\ {\ shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift shift추가 변화는 2차 이상의 에너지 보정에 의해 이루어집니다.

에너지 고유 상태에 대한 보정을 계산하기 전에 정규화 문제를 해결해야 한다.라고 가정하면

\displaystyle \left\rangle n^{(0)}\right.n^{(0)}\right\rangle =1,}

그러나 섭동 이론은 또한 $\langle n|n\rangle =1$ n n n $\langle n|n\rangle =1$ $(\displaystyle \sublle n\rangle = 1$ 이라고 가정한다.

다음으로 ,의 첫 번째 순서는 다음과 같습니다.

\displaystyle \left(\left\rangle n^{(0)}\right(\left\rangle n^{(1)}\right(\left n^{(0)}\right(\right\rangle n^{(1)}\right)=1}표시 스타일

\displaystyle \left \left . n ^ { ( 0 ) \ right \ rangle + \ right \ left \ n ^ { ( 0 ) } \ right \ left . n^ { (1) } \ right \ n^ { 0 } \ right \ rangle + \ right \ n^ { 0 }

\displaystyle \left\langle n^{(0)\right \left.n^{(1)\right \rangle +\left\langle n^{(1)\right \left.n^{(0)}\right \rangle = 0.}

양자역학에서는 전체 위상이 결정되지 않기 때문에 일반성의 손실 없이 시간 독립 이론에서는 $\langle n^{(0)}|n^{(1)}\rangle$ δ $\langle n^{(0)}|n^{(1)}\rangle$ ( $\langle n^{(0)}|n^{(1)}\rangle$ ) $\langle n^{(0)}|n^{(1)}\rangle$ ( $\langle n^{(0)}|n^{(1)}\rangle$ ) ${\$ \ $display$ \ $langle$ n ^ { ( $0$ ) n^ { ( 0 ) } $n^$ { (1 $)$ } \ rangle $}$ 은 $\langle n^{(0)}|n^{(1)}\rangle$ 순수하게 실재한다고 가정할 수 있다.그러므로,

\displaystyle \left \left \langle n^{(0)\right \rangle =\left \left \langle n^{(1)\right \left . n^{(0)}\right \rangle =-left \right \n^{0},right \n^{0},rangle.rangle.

로 이어지다

\displaystyle \left\rangle n^{(0)}\right.n^{(1)}\right\rangle = 0.}

에너지 고유 상태에 대한 1차 보정을 얻기 위해 1차 에너지 보정을 위한 식을 상기 결과에 $θ$ 의 1차 계수와 동일하게 다시 삽입한다.다음으로 아이덴티티의 해상도를 사용하여 다음 작업을 수행합니다.

{begin { aligned}V\left n^{(0)\right(\sum _ {k\neq n}\left k^{(0)}\right \rangle k^{(0)}\right \right \rangle k^{(0)}V\left n^{(0)}\right\rangle +\left(\left n^{(0)}\right\rangle n^{(0)}\right \rangle n^{(0)}\right \right \rangle n^{(0)}V\left n^{(0)}\right\rangle \&=\sum _{k\neq n}\left k^{(0)}\left \rangle k^{(0)}\right \rangle +E_{n}^(1)\left n{0}\rangle {right

여기서 $|k^{(0)}\rangle$ ${\$ {\ $displaystyle$ k $^{(0)}$ \ $rangle$ }는 $|k^{(0)}\rangle$ n $|n^{(0)}\rangle$ ${\$ {\ $displaystyle n$ ^{(0 $)}\rangle$ $|n^{(0)}\rangle$ 의 $|n^{(0)}\rangle$ 보수에 있습니다. 즉, 다른 고유 벡터입니다.

1차 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다.

\displaystyle \left(E_{n}^{0}\right)\left n^{(1)\right\rangle =\sum _{k\neq n}\left k^{(0)\right\rangle \le k^{(0)\right V\left n^{0}.rangle

는 영차 에너지 수준으로 지탄 받지 않다이라고 가정하고, 즉은 귀무가설이 없eigenstate n(0)⟩{\displaystyle n^{(0)}\rangle의 직교 보수에 있}은 에너지 En({\displaystyle E_{n}^{(0)}}과. 그 후 k로는 인적 dummy 지수 위에 이름 바꾸기{\displaystyle k'}, ′.y $k\neq n$ n \ $display style$ $k$ \ $neq$ n $k\neq n$ } 를 $k\neq n$ 선택할 수 있으며, 1차 방정식에 through $\langle k^{(0)}|$ ( $\langle k^{(0)}|$ 를 $\langle k^{(0)}|$ 곱하면 다음과 같습니다 $.$

\displaystyle \left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\오른쪽)\left\langle k^{(0)}\오른쪽.\left n^{(1)}\right\rangle =\left\rangle k^{(0)}\right V\left n^{(0)}\rangle.}

위의 $\langle k^{(0)}|n^{(1)}\rangle$ k ( $\langle k^{(0)}|n^{(1)}\rangle$ 0 ) $\langle k^{(0)}|n^{(1)}\rangle$ ( $\langle k^{(0)}|n^{(1)}\rangle$ ) ${\$ {\ $displaydisplay$ { displaystyle $\langle$ k $^{$ ( $\langle k^{(0)}|n^{(1)}\rangle$ $0$ ) $n^{$ (1 $)}\rangle }$ 도 $\langle k^{(0)}|n^{(1)}\rangle$ k ( $|k^{(0)}\rangle$ ) ) $|k^{(0)}\rangle$ \ $displaystyle$ k $^{$ ( 0 $)\rangle$ $|k^{(0)}\rangle$ 에 $|k^{(0)}\rangle$ 1차 보정의 컴포넌트를 제공합니다.

결과적으로, 결과는 다음과 같습니다.

\displaystyle \left n^{(1)\right\rangle =\sum _{k\neq n}{\frac {왼쪽\n^{(0)}\right\rangle }{E_{n}^{(0)^{0}\right\rangle } k^0}\sum {\frac}

n번째 에너지 고유 상태의 1차 변화는 각 에너지 고유 $상태$ k $n$ n의 기여가 있습니다. 각 항은 고유 상태와 $얼마나$ 많은 고유 상태가 혼합되는지를 나타내는 행렬 요소 $\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$ k ( $\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$ ) $\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$ ( 0 $\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$ ) ${\$ \ $displaystyle$ \ $langle$ k ^ { ( $0$ ) V n ^ { ( $0$ ) \ $rangle$ V $\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$ n } V n^{ ( 0 )에 비례합니다.또한 고유 $상태$ $k$ 와 n 사이의 에너지 차이에 반비례하며, 이는 인근 에너지에 고유 상태가 더 많을 경우 섭동이 고유 상태를 더 크게 변형시킨다는 것을 의미한다.이러한 상태 중 하나가 $상태$ n과 동일한 에너지를 갖는 경우 이 식은 특이하며, 이것이 퇴화가 없다고 가정한 이유입니다.섭동 고유 상태에 대한 위의 공식은 또한 섭동의 행렬 요소의 절대 크기가 섭동되지 않은 에너지 수준의 해당 차이와 비교하여 작을 때만 섭동 이론을 합법적으로 사용할 수 있다는 것을 의미한다. 즉, $|\langle k^{(0)}|\lambda V|n^{(0)}\rangle |\ll |E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}|.$ k ( $|\langle k^{(0)}|\lambda V|n^{(0)}\rangle |\ll |E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}|.$ ) $|\langle k^{(0)}|\lambda V|n^{(0)}\rangle |\ll |E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}|.$ $|\langle k^{(0)}|\lambda V|n^{(0)}\rangle |\ll |E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}|.$ n ( $|\langle k^{(0)}|\lambda V|n^{(0)}\rangle |\ll |E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}|.$ ) $|\langle k^{(0)}|\lambda V|n^{(0)}\rangle |\ll |E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}|.$ v $|\langle k^{(0)}|\lambda V|n^{(0)}\rangle |\ll |E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}|.$ e $|\langle k^{(0)}|\lambda V|n^{(0)}\rangle |\ll |E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}|.$ ≪ n n n n n n $|\langle k^{(0)}|\lambda V|n^{(0)}\rangle |\ll |E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}|.$ n n n n n n n the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the $|\langle k^{(0)}|\lambda V|n^{(0)}\rangle |\ll |E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}|.$

2차 이상 고차

현재 공식에서는 계산이 매우 지루하지만 유사한 절차를 통해 고차 편차를 찾을 수 있습니다.우리의 정상화 처방에 따르면

\displaystyle 2\left\rangle n^{(0)}\right.n^{(2)\right\rangle +\left\rangle n^{(1)}\right.n^{(1)}\right\rangle = 0.}

2차까지 에너지 및 (정규화된) 고유 상태에 대한 식은 다음과 같습니다.

\displaystyle E_{n}(\lambda)=E_{n}^{(0)}+\lambda\left\left n^{(0)}\rangle +\lambda ^{2}\sum _{k\neq}{\frac {\left\left}

{\displaystyle{\begin{정렬}n(\lambda)\rangle =\left n^{(0)}\right\rangle&+\lambda\sum _{nk\neq}\left k^{(0)}\right\rangle{\frac{\left\langle k^{(0)}\right V\left n^{(0)}\right\rangle}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}^{2}\sum _{nk\neq}\sum _{\neq n\ell}\left k^{(0)}\right\rangle{\frac{\left\langle k^{(0)}\right V\left\ell ^{(0+\lambda.)}\right\rangle \left\langle ^{(0)}\right V\left n^{(0)}\right \rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right(E_{n}^{(0)^{(0)}\right(오른쪽)^{{{}^{}\right}\right}}}\\&, -\lambda ^{2}\sum _{nk\neq}\left k^{(0)}\right\rangle{\frac{\left\langle k^{(0)}\right V\left n^{(0)}\right\rangle \left\langle n^{(0)}\right V\left n^{(0)}\right\rangle}{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)^{2}}}-{\frac{1}{2}}\lambda ^{2}\left n^{(0)}\right\rangle \sum _{nk\neq}{\frac{\left\langle k^{(0)}\right V\left n^{(0)}\righ.t\rangle ^{2}}{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)^{2}}+O(\lambda^{3}).\end { aligned}}

중간 정규화가 이루어진 경우(즉, $\langle n^{(0)}|n(\lambda )\rangle =1$ n ( $\langle n^{(0)}|n(\lambda )\rangle =1$ 0 ) $\langle n^{(0)}|n(\lambda )\rangle =1$ ( $\langle n^{(0)}|n(\lambda )\rangle =1$ ) $\langle n^{(0)}|n(\lambda )\rangle =1$ ( \ $displaystyle$ \ $displayle$ n ^ { ( $0$ ) } $n$ ( \ $displayda$ )\ $rangle$ = $1)),$ 마지막 항을 제외하고 파동 함수에 대한 2차 보정에 대해 동일한 식을 얻을 수 있습니다.

프로세스를 더욱 확장하면 3차 에너지 보정은 다음과 같이 나타납니다.

\displaystyle E_{n}^{(3)=\sum _{k\neq n}\sum _{m\neq n}{\frac {m^{(0)}\rangle m^{(0)}V k^{(0)\rangle k^{0}(N){(0)}-E_{m}^{(0)}\right)^{2}}.}

5차(에너지) 및 4차(상태)에 대한 보정(콤팩트 표기법)

표기법을 소개하면

V_{nm}\equiv \langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle

V_{nm}\equiv \langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle

m

V_{nm}\equiv \langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle

(

V_{nm}\equiv \langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle

) V

V_{nm}\equiv \langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle

( 0 )

{\

、 {

displaystyle V

_ {

nm

} \

equiv

\

langle

n^ { (

0

) } V

m^

{ ( 0 ) \

rangle

,

E_{nm}\equiv E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}

E_{nm}\equiv E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}

m

E_{nm}\equiv E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}

E_{nm}\equiv E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}

n (

E_{nm}\equiv E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}

0

E_{nm}\equiv E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}

) -

E_{nm}\equiv E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}

m (

E_{nm}\equiv E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}

){

displaystyle E_{nm}\equiv E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0

그러면 5차 에너지 보정이 기록될 수 있습니다.

디스플레이 스타일E_{n}^{(1)}&=V_{n}\\E_{n}^{(2)}&=snfrac {V_{nk_{2}}^{2}}{E_{nk_{2}}}}}\k_{4}k_{_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}{E_{nk_{4}}+V_{n}^{2}{\frac {V_{nk_{4}}^{2}{E_{nk_{3}}\{\fr5}k_{\frnk_{_{2}\right)-V_{nn}^{3}{\frac {V_{nk_{5}^{2}}{E_{nk_{5}^{4}}\end{aligned}}}

4번째 순서로 상태를 기입할 수 있습니다.

{\displaystyle{\begin{정렬}n^{(1)}\rangle&={\frac{V_{k_{1}n}}{E_{nk_{1}}}}k_{1}^{(0)}\rangle\\ n^{(2)}\rangle&=\left({\frac{V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{1}}E_{nk_{2}}}}-{\frac{V_{nn}V_{k_{1}n}}{E_{nk_{1}}^{2}}}\right)k_{1}^{(0)}\rangle -{\frac{1}{2}}{\frac{V_{nk_{1}}V_{k_{1}n}}{E_{k_{1}n}^{2}}}n^{(0)}\rangle\\ n^{(3)}\r.각도&={{Bigg [}-{\frac {V_{k_{1}k_{2}k_{3}}V_{k_{3}n}{E_{k_{1}n}E_{nk_{2}}+{\frac_{V}+{\frac {1}{2E_{nk_{2}}}}}}\right){\Bigg ]} k_{1}^{(0)}\rangle \&\quad +{\Bigg [}-{\frac {V_{nk_{2}k_{1}V_{k_{1}+V_{k_{2}}{k_{1}}}E_{nk_{2}^{2}E_{nk_{1}}}}+{\frac {V_{2}V_{nnn}}{E_{nk_{3}}{\Bigg }{{0}\rangle \\n^{4}Rangle \\rangleE_{k_{1}n}E_{k_{2}k_{3}}^{2}E_{k_{2}k_{4}}}-{\frac {V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{4}}V_{k_{k}{k_{1}{k_{k_{k_{k}}}}}}E_{k_{2}n}}}\right)\\&, \quad +{\frac{V_{nn}V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{3}n}V_{k_{2}k_{3}}}{E_{k_{1}n}E_{nk_{3}}E_{k_{2}n}}}\left({\frac{1}{E_{nk_{3}}}}와{\frac{1}{E_{k_{2}n}}}와{\frac{1}{E_{k_{1}n}}}\right)+{\frac{V_{k_{2}n}^{2}V_{k_{1}k_{3}}}{E_{nk_{2}}E_{k_{1}n}}}\left({\frac{V_{k_{3}n}}{E_{nk_{1}}E_{nk_{3}}}}-{\frac{V_{k_{3}k_{1}}}{E_{k_{3}k_.{1}}^{2}}\right)-{\frac {V_{n}\left(V_{k_{3}k_{2}k_{3}V_{k_{1}}+V_{k_{k_{1}}-{k_{k}_{k}_{k}}-{k}-{k}{k}{k}{k}{k}{k}{k}{k}{k}{k}{k}}{k}}{k}}}{k}}{k}}}}{k}}}}}{k}}}}}{E_{k_{1}n}E_{k_{1}k_{3}}^{2}E_{k_{1}k_{2}}}}\\&,\quad +{\frac{V_{nn}^{2}}{E_{k_{1}n}}}\left({\frac{V_{k_{1}n}V_{nn}}{E_{k_{1}n}^{3}}}와{\frac{V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{k_{2}n}^{3}}}\right)-{\frac{V_{k_{1}k_{2}}^{2}V_{nn}V_{k_{1}n}}{E_{k_{1}n}E_{k_{1}k_{2}}^{3}}}{\Bigg]}k_{1}^{(0)}\rangle +{\frac{1}{2}}\left는 경우에는{\frac{V_{nk_{1}}V_{k_{1.}k_{2)}}{E_{nk_{1}}{{k_{2}^{2}}}\left({\frac {V_{k_{2}n}}{E_{k_{2}n}}}-{\frac {V_{k_{2}_{3}}_{k}}}}-{k_{n}}}}}}}:{\left}\\&\quad \left.-{\frac {V_{k_{1}n}V_{k_{2}k_{1}}{E_{1}{2}E_{nk_{2}}}\left({\frac {V_{k_{3}k_{2}}}_{k_{1}}}}}{E_{K_}}}}}}}{{{{{k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}E_{k_{2}n}^{n}-{\frac {2 V_{n}^{2}}^{2}}-{\right)-{\frac {V_{k_{2}k_{3}V_{1}{1}}-{k_{1}}-{1}}-{k}-{1}-{1}-{k}-{k}-{k_1}-{2}-{n}-{2}-{{n}-}-}-{k_{{{{n}-}-}-}-}-}-}-}-{n}-}-{

$관련$ 된_j 모든 항 k는 분모가 사라지지 않도록 k $위$ 에_j 합해야 합니다.

그것은 에너지로 앙은 섭동 V의 국가 n(0)⟩{\displaystyle n^{(0)}\rangle의 k-point 연결되어 상관 관계 함수에k-th 위해 보정이 공감할}. k=2{\displaystyle k=2} 들어, 사람은 역원 라플라스 변환ρ, 2(s){\displaystyle \rho_{n,2}를 고려해야 합니다(s가능하다)2점 상관기 중 }개 $:$

{\displaystyle \mathop {:} \int _{\mathbb {R} V(\tau) n^{(0)} \rangle -\rangle n^{(0)} \rangle ^{2} = \mathrel {:} \mathbb {R} \r} \dso, {\dsho,

$V(\tau )=e^{H_{0}\tau }Ve^{-H_{0}\tau }$ 서 V $V(\tau )=e^{H_{0}\tau }Ve^{-H_{0}\tau }$ ( $V(\tau )=e^{H_{0}\tau }Ve^{-H_{0}\tau }$ ) $V(\tau )=e^{H_{0}\tau }Ve^{-H_{0}\tau }$ $V(\tau )=e^{H_{0}\tau }Ve^{-H_{0}\tau }$ H 0 $V(\tau )=e^{H_{0}\tau }Ve^{-H_{0}\tau }$ V $V(\tau )=e^{H_{0}\tau }Ve^{-H_{0}\tau }$ - $V(\tau )=e^{H_{0}\tau }Ve^{-H_{0}\tau }$ 0 $V(\tau )=e^{H_{0}\tau }Ve^{-H_{0}\tau }$ \ $displaystyle$ V ( \ $tau$ ) = $e^{$ $H_{0}\tau }Ve^{-H_{0}\tau$ }}는 $V(\tau )=e^{H_{0}\tau }Ve^{-H_{0}\tau }$ 유클리드 시간에 진화하는 상호작용 그림 속의 교란 연산자 V이다.그리고나서

E_{n}^{(2)}=-\int _{\mathbb {R}\!{\frac {ds}{-E_{n}^{(0)}},\rho _{n,2}(s)

섭동 이론의 모든 차수와 유사한 공식들이 존재하며, 연결된 상관 함수의 역 라플라스 변환 $\rho _{n,k}$ n , $\rho _{n,k}$ \ $displaystyle \rho$ _ ${n,k}$ 의 $\rho _{n,k}$ $E_{n}^{(k)}$ 에서 $E_{n}^{(k)}$ n $E_{n}^{(k)}$ ( k $E_{n}^{(k)}$ ) { $displaystyle E_$ {n $}^{ (k$ )}}을 $E_{n}^{(k)}$ 표현할 수 있다.

\displaystyle n^{(0)} V(\tau _{1}+\ldots +\display _{k-1})\displaym V(\tau _{1}+\display _{2})V(0) n^{(0)\rangle _{text{1}=0^{}\displaym V(\dots) n)}

정확히 말하면, 만약 우리가

\displaystyle n^{(0)} V(\tau _{1}+\ldots +\display _{k-1})\displaym V(\tau _{1}+\display _{2}V(0) n^{(0)\rangle _{\text{}=intrbbb})_m V(\mathbb)

k차 에너지 이동은 다음과 같이 주어진다.

E_{n}^{k-1}=int_{\mathbb {R}},\display_{i}^{k-1}{\frac {ds_{i}-E_{n}}^{(0)}},\rho_n,{n},{ldots}.

퇴행성 영향

교란되지 않은 해밀턴의 두 개 이상의 에너지 고유 상태가 퇴화되었다고 가정합니다.1차 에너지 이동은 교란되지 않은 시스템에 대한 고유 상태의 기초를 선택할 수 있는 고유한 방법이 없기 때문에 잘 정의되어 있지 않다.주어진 에너지에 대한 다양한 고유 상태는 다른 에너지로 섭동하거나 연속적인 섭동 패밀리가 전혀 없을 수 있다.

이것은 연산자가 다음과 같은 사실을 통해 교란된 고유 상태의 계산에 나타난다.

E_{n}^{(0)}-H_{0}

에는 명확하게 정의된 역이 없습니다.

$D$ 는 이러한 축퇴 고유 상태에 의해 확장된 부분 공간을 나타냅니다.섭동이 아무리 작더라도 퇴화 부분 $공간$ D에서 H의 $고유$ 상태 사이의 에너지 차이는 0이 아니므로 적어도 이들 상태 중 일부의 완전한 혼합이 보장된다.일반적으로 고유값은 분할되고 eigenspace는 단순(1차원)해지거나 적어도 D보다 작은 차원이 됩니다.

성공적인 섭동은 잘 선택되지 않은 D의 기초에 비해 "작지" 않을 것이다.대신, 새로운 고유 상태가 하위 $공간$ D에 가까운 경우 섭동을 "작음"으로 간주한다.새로운 해밀턴의 $대각선$ 은 D로, 말하자면 D의 약간의 변형이어야 한다. $D$ 의 이러한 섭동 고유 상태는 이제 섭동 팽창의 기초가 된다.

n\rangle =\sum _{k\in D}\alpha _{display} k^{(0)}\rangle +\displayda n^{(1)}\rangle .

1차 섭동을 위해, 우리는 퇴화 부분 $공간$ D로 제한된 교란된 해밀턴을 풀어야 한다.

\displaystyle V k^{(0)\rangle =\silon _{k} k^{(0)}\rangle +{\text{small}\qquad \forall k^{(0)}\rangle \in D,}

모든 퇴화 고유 상태에 대해 동시에, 여기서 $\epsilon _{k}$ k {\ $displaystyle \epsilon$ _ ${k}$ 는 $\epsilon _{k}$ 퇴화 에너지 수준에 대한 1차 보정이고, "small"은 D에 직교하는 $O(\lambda )$ O $)$ {\ $displaystyle$ O $(\lambda)}$ 의 $O(\lambda )$ 이다.이것은 행렬의 대각선화와 같다.

\displaystyle \l^{(0)} V l^{(0)}\rangle = V_{kl}\qquad \forall \; k^{(0)}\rangle, l^{(0)}\rangle \in D.}

D $부분$ 공간("small") 밖의 상태를 무시했기 때문에 이 절차는 대략적인 것입니다.축퇴 에너지 $\epsilon _{k}$ k(\ $displaystyle \epsilon$ _ ${k})$ 의 $\epsilon _{k}$ 분리가 일반적으로 관찰된다. $O(\lambda )$ $O(\lambda )$ )(\ $displaystyle$ O $(\lambda$ 분할은 시스템에서 발견된 에너지 범위에 비해 작을 수 있지만 전자 스핀 공명 실험에서 스펙트럼 라인과 같은 특정 세부 사항을 이해하는 데 매우 중요합니다.

D $외부$ 의 다른 고유 상태로 인한 고차 보정은 비퇴화 사례와 동일한 방법으로 찾을 수 있습니다.

\displaystyle \left(E_{n}^{0}\rangle =\sum _{k\not \in D}\left(\langle k^{(0)}\rangle \rangle k^{(0)}\rangle k^{(0)\rangle.

왼쪽 연산자는 D 외부의 $고유$ 상태에 적용되었을 때 단수가 아니기 때문에 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\displaystyle n^{(1)\rangle =\sum _{k\not \in D}{\frac {\frac {\frac k^{(0)}\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\rangle},

그러나 열화 상태에 대한 영향은 O $O(\lambda )$ ( $O(\lambda )$ ) { $displaystyle$ O ( \ $lambda$ ) $O(\lambda )$ } 입니다.

원래의 해밀턴 분할이 근퇴화 부분 공간의 섭동보다 크지 않은 경우 근퇴화 상태도 비슷하게 취급해야 합니다.응용은 거의 자유로운 전자 모델에서 발견되며, 여기서 적절히 처리되면 작은 섭동에도 에너지 갭이 발생한다.다른 고유 상태에서는 모든 근저하 상태의 절대 에너지만 동시에 이동합니다.

퇴폐가 일급으로 치닫다.

축퇴 에너지 고유 상태와 축퇴를 첫 번째 보정 순서로 완전히 끌어올리는 섭동을 고려해보자.

동요된 해밀토니안은 다음과 같이 표시됩니다.

({displaystyle {H}}={H}}_{0}+\lambda {V}\color {h}{,})

${\hat {H}}_{0}$ 서 H ${\hat {H}}_{0}$ ^ $({$ 은 ${\hat {H}}_{0}$ 동요되지 않은 해밀턴, ${\hat {V}}$ ^({ $displaystyle {V})$ 는 ${\hat {V}}$ 섭동 연산자, $0<\lambda <1$ < $0<\lambda <1$ < $0<\lambda <1$ \ $displaystyle$ 0 < \ $lambda < 1$ )은 $0<\lambda <1$ 섭동의 파라미터입니다.

$(\displaystyle$ $n$ $)$ - $제1$ 의 $n$ 비방해 $E_{n}^{(0)}$ $E_{n}^{(0)}$ 0 $E_{n}^{(0)}$ 의 축퇴에 초점을 맞춥니다.이 축퇴 서브스페이스의 비방해 상태를 $\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ 로 나타냅니다.\ $style \psi$ _ ${nk}^(0)\right rangle$ $。$ $\left|\psi _{m}^{(0)}\right\rangle$ ${\$ { \ $displaystyle \ psi$ _ { $m }$ { { m } \ $right$ \ $rangle$ 。 $k$ 서k { $displaystyle$ k $E_{n}^{(0)}$ $}$ 는 $k$ 퇴화 서브스페이스의 섭동되지 않은 상태의 $m\neq n$ 이며 m $m\neq n$ n { $displaystyle$ m\ $neq$ n $}$ 은 $n$ ( $0 )$ 와는 다른 에너지를 가진 기타 모든 에너지 고유 상태를 나타냅니다 $m\neq n$ . $\displaystyle\forall$ m $\neq$ n $"$ 을 $\forall m\neq n$ 가진 다른 상태 간의 최종 퇴화도 우리의 주장을 바꾸지 않습니다.k $(\displaystyle$ k $)$ 의 $k$ $k$ 한 값을 갖는 모든 상태 $\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ n $\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ ( $0$ ) $,$ , （ \ $displaystyle \psi$ _ { $}^{$ ( $\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ $0$ ) $\$ right \ $rangle$ }는 $\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ $E_{n}^{(0)}$ 섭동이 없는 경우 $E_{n}^{(0)}$ 즉 $\lambda =0$ 0 $style$ \ $\lambda =0$ $display$ $=$ 0 display \ da = 0 displaystyle . $E_{n}^{(0)}$ da $\lambda =0$ }의 경우 동일한 $E_{n}^{(0)}$ 를 공유합니다.m $m\neq n$ n $E_{m}^{(0)}$ { $display style$ m \ n \ display style m \ $neq$ n $m\neq n$ } $m\neq n$ m m （ $\left|\psi _{m}^{(0)}\right\rangle$ $E_{n}^{(0)}$ ） ${\$ 、 m ( 0 ) $E_{n}^{(0)}$ $\left|\psi _{m}^{(0)}\right\rangle$ { display $style E$ $E_{m}^{(0)}$ _ { m $E_{n}^{(0)}$ $}^{$ ( 0 ) $E_{n}^{(0)}$ } \ $right$ \ $rangle$ }의 $\left|\psi _{m}^{(0)}\right\rangle$ 기타 상태 $\left|\psi _{m}^{(0)}\right\rangle$ m ( 0 $E_{m}^{(0)}$ )는 $E_{m}^{(0)}$ $E_{n}^{(0)}$ ( $E_{n}^{(0)}$ 0 )와 $E_{n}^{(0)}$ .그들 사이에.

$V_{nl,nk}$ $V_{nl,nk}$ l $V_{nl,nk}$ $V_{nl,nk}$ $V_{nl,nk}$ ({ $display style$ V_{nl $,nk})$ $V_{m,nk}$ $V_{m,nk}$ m $,$ $V_{m,nk}$ k ({ $display style$ V_{ $,nk$ 에 의해 교란되지 않은 고유 상태에 기초한 섭동 ${\hat {V}}$ V $^{$ 의 ${\hat {V}}$ 매트릭스 요소를 나타냅니다.축퇴 서브스페이스의 기저 벡터 $\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ k ( $\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ 0 ) $\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ display $（$ \ $display$ style \ left \ $psi$ _ { $nk$ }^{ $nk }\right \rangle$ }는 $\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ 매트릭스 $V_{nl,nk}\equiv \left\langle \psi _{nl}^{(0)}\right|{\hat {V}}\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ $V_{nl,nk}\equiv \left\langle \psi _{nl}^{(0)}\right|{\hat {V}}\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ $V_{nl,nk}\equiv \left\langle \psi _{nl}^{(0)}\right|{\hat {V}}\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ l , $V_{nl,nk}\equiv \left\langle \psi _{nl}^{(0)}\right|{\hat {V}}\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ k $V_{nl,nk}\equiv \left\langle \psi _{nl}^{(0)}\right|{\hat {V}}\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ n $V_{nl,nk}\equiv \left\langle \psi _{nl}^{(0)}\right|{\hat {V}}\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ ( $V_{nl,nk}\equiv \left\langle \psi _{nl}^{(0)}\right|{\hat {V}}\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ ) V $V_{nl,nk}\equiv \left\langle \psi _{nl}^{(0)}\right|{\hat {V}}\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ ^ 、 n k ( $V_{nl,nk}\equiv \left\langle \psi _{nl}^{(0)}\right|{\hat {V}}\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ 0 ) $、$ \ $display styleft$ V _ n k \ $equiv$ 。 $t \psi$ _ ${filength}^{(0)}\right\rangle}$ 은 $V_{nl,nk}\equiv \left\langle \psi _{nl}^{(0)}\right|{\hat {V}}\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ (는) 대각선입니다.또한 축퇴가 첫 번째 순서로 완전히 상승한다고 가정할 때, 예를 들어 $E_{nl}^{(1)}\neq E_{nk}^{(1)}$ $l\neq k$ l ( $E_{nl}^{(1)}\neq E_{nk}^{(1)}$ ) $E_{nl}^{(1)}\neq E_{nk}^{(1)}$ $E_{nl}^{(1)}\neq E_{nk}^{(1)}$ k $E_{nl}^{(1)}\neq E_{nk}^{(1)}$ ( $E_{nl}^{(1)}\neq E_{nk}^{(1)}$ 1 ) $E_{nl}^{(1)}\neq E_{nk}^{(1)}$ $l\neq k$ $E_{nl$ }^{(1) ${\$ k \ $display style$ $E_$ ${nk$ $}^{$ (1 $l\neq k$ 의 $E_{nl}^{(1)}\neq E_{nk}^{(1)}$ 경우, $l\neq k$ 에너지 보정의 순서로 다음과 같은 공식을 얻을 수 있다.

\displaystyle E_{nk}=E_{n}^0}+\lambda V_{nk,nk}+\sum \sum _{m\neq n}{\frac {\left V_{m,nk}\right ^{2}}-{E_{0}^{0}^{{m}^{{{{{}}}}_{{{}}}}}

또한 $\lambda$ §의 첫 번째 순서로 상태 수정에 대해 설명합니다(\ $displaystyle$ \ $displayda$ }

\displaystyle \left \psi _{fright\rangle =\left \psi _{frac {V_{m,nk} {E_{m}^{{n}(왼쪽) \psi _frac {V_{m} \frac {m} \ E_{n} {0} \prangle } \ psi }ay}{.}}

여기서 상태에 대한 첫 번째 차수 보정은 비교란 상태에 직교한다는 점에 유의하십시오.

\displaystyle \left\colorsle \psi _{param}^{(0)\psi _{param}^{(1)\right\rangle =0\color {param}{.}}

다중 매개 변수 대소문자로의 일반화

θ 대신에 여러 작은 $x^{\mu }=(x^{1},x^{2},\cdots )$ 변수 x $x^{\mu }=(x^{1},x^{2},\cdots )$ $=$ ( $x^{\mu }=(x^{1},x^{2},\cdots )$ $x^{\mu }=(x^{1},x^{2},\cdots )$ , $x^{\mu }=(x^{1},x^{2},\cdots )$ x 2, $x^{\mu }=(x^{1},x^{2},\cdots )$ δ $x^{\mu }=(x^{1},x^{2},\cdots )$ ) { $displaystyle$ x $^{\mu$ }= ( $x^{1},x^{2},\cdots )$ 가 $x^{\mu }=(x^{1},x^{2},\cdots )$ 있는 경우에 대한 시간 독립 섭동 이론의 일반화는 기본적으로 th의 도함수를 정의하는 미분 기하학의 언어를 사용하여 보다 체계적으로 공식화할 수 있다.e 양자 상태 및 교란되지 않은 지점에서 반복적으로 미분을 취함으로써 섭동 보정을 계산한다.

해밀턴 및 힘 연산자

미분 기하학적 관점에서 파라미터화된 해밀턴어는 파라미터 다양체에 정의된 함수로 간주되며, 파라미터의 각 특정 세트 $(x^{1},x^{2},\cdots )$ 1, $(x^{1},x^{2},\cdots )$ , $(x^{1},x^{2},\cdots )$ )({ $displaystyle (x^{1},x^{2},\cdots)}$ 를 $(x^{1},x^{2},\cdots )$ 힐베르트 공간에 작용하는 에르미트 $연산자 H(x μ$ )에 매핑합니다.여기서 매개 변수는 외부 필드, 상호 작용 강도 또는 양자 위상 전이 시 구동 매개 변수가 될 수 있습니다.E $(x μ)$ 와 n $|n(x^{\mu })\rangle$ μ) ${\$ {\ $displaystyle n(x$ ^{\mu })\ $rangle }$ 을 $|n(x^{\mu })\rangle$ 각각 $H μ ($ x)의 n번째 고유 에너지 및 고유 상태로 $한다 n$ .미분기하학에서 상태 $|n(x^{\mu })\rangle$ μ) ${\$ {\ $displaystyle n(x$ ^{\mu })\ $rangle}$ 은 $|n(x^{\mu })\rangle$ 파라미터 매니폴드 위에 벡터다발을 형성하며, 이들 상태의 도함수를 정의할 수 있습니다.그 섭동 이론 x0({\displaystyle x_{0}^{\mu}}, 어떻게 En()μ)과 n()μ)을 추정하기 위해 한 마음이 평온한 기준점에서 다음과 같은 질문:En({\displaystyle E_{n}(x_{0}일 경우 ^{\mu})}과 n 받(x0μ)⟩{\displaystyle n(x_{0}일 경우 ^{\mu})\rangle}에 답하는 것입니다. ⟩ $|n(x^{\mu })\rangle$ 참조점에 가까운 $x$ 에^μ $style n(x$ ^{\mu }\ $rangle }$ 을 $|n(x^{\mu })\rangle$ $($ 를) $표시$ 합니다.

일반성을 잃지 않고 좌표계를 이동할 수 있으며 $x_{0}^{\mu }=0$ $x_{0}^{\mu }=0$ $x_{0}^{\mu }=0$ $=$ $x_{0}^{\mu }=0$ ${\displaystyle x_{0}^{\mu$ }= $0}$ 이 $x_{0}^{\mu }=0$ 원점으로 설정된다.다음과 같은 선형 매개 변수화된 해밀턴이 자주 사용됩니다.

H(x^{\mu})=H(0)+x^{\mu}F_{\mu}

$매개변수 μ$ x를 일반화 좌표로 간주할 경우 $F$ 를_μ 해당 좌표와 관련된 일반화 힘 연산자로 식별해야 한다.서로 다른 $지수$ μ는 파라미터 매니폴드의 서로 다른 방향에 따라 서로 다른 힘을 라벨링한다.예를 들어 x가 μ방향의 외부 자기장을 나타내는 $경우 μ$ $F$ 는_μ 같은 방향의 자화이어야 합니다.

멱급수 팽창으로서의 섭동 이론

섭동 이론의 타당성은 단열 가정에 있다. 단열 가정은 해밀턴의 고유 에너지와 고유 상태를 매개변수의 매끄러운 함수로 가정하여 인근 영역의 값이 매개변수의 멱급수(예: 테일러 팽창)로 계산될 수 있도록 한다.

디스플레이 스타일E_{n}(x^{\mu })&=E_{n}+x^{\mu}\solid_{\mu}E_{n}+{\frac {1}{2!}x^{\mu }x^{\nu }\cdots {\nu }E_{n}+\cdots \\left n(x^{\mu })\right \rangle &= n\rangle +x^{\mu }\cdots _{\frcdu }\fright _{\mu }}x^{\mu }x^{\nu }\cdots _{\nu }n\rangle +\cdots \end{aligned}} \cdots _{\mu } \cdots \nu }

여기서 $μ$ θ는 x에 $대한 μ$ 도함수를 나타낸다. $|\partial _{\mu }n\rangle$ n ${\$ （ \ $displaystyle$ \ $partial _$ { \ $mu }$ n \ $rangle$ }에 적용할 때 벡터 번들에 소멸되지 않는 연결이 있는 경우 공변 도함수로 이해해야 합니다.시리즈의 오른쪽에 있는 모든 용어는 x = $0$ 으로^μ 평가됩니다( $예 n$ : E $\equiv E n$ (0 $)$ 및 $|n\rangle \equiv |n(0)\rangle$ $|n\rangle \equiv |n(0)\rangle$ N $|n\rangle \equiv |n(0)\rangle$ ⟩ $|n\rangle \equiv |n(0)\rangle$ ( $|n\rangle \equiv |n(0)\rangle$ ) ${\$ \ $displaystyle$ n \ $rangle$ \ $equiv$ n ( $0$ )\ $rangle$ $|n\rangle \equiv |n(0)\rangle$ {\ {\ {\ x x x x x x 。이 규칙은 의존성 파라미터가 없는 모든 함수를 명시적으로 평가하도록 이 서브섹션 전체에서 채택됩니다.멱급수는 에너지 수준이 서로 가까울 때 천천히 수렴하거나 수렴하지 않을 수 있습니다.단열 가정은 에너지 준위 퇴화가 있을 때 무너지고, 따라서 섭동 이론은 그 경우에 적용되지 않는다.

헬만-파인만 정리

위의 멱급수 팽창은 임의의 차수에 대한 도함수를 계산하는 체계적인 접근법이 있는 경우 쉽게 평가할 수 있습니다.연쇄 법칙을 사용하여, 도함수는 에너지 또는 상태의 단일 도함수로 분해할 수 있습니다.이러한 단일 도함수를 계산하기 위해 헬만-파인만 정리가 사용된다.첫 번째 헬만-파인만 정리는 에너지의 도함수를 구한다.

\displaystyle _{\mu }E_{n}=\langle n \langle _{\mu }H n\rangle }

두 번째 Hellmann-Feyman 정리는 상태의 도함수(m µn으로 완전한 기초에 의해 분해됨)를 제공한다.

\mu }n\rangle = frac {\mu }H n\rangle }{E_{m}}},\qquad \pad \parcle _{\mu }m\rangle = frac {\mu }

선형 매개 변수화된 해밀턴에서 $μ δH$ 는 단순히 일반화 힘 $연산자 μ$ F를 나타낸다.

이론들은 단순히 다음과 같은 슈뢰딩거 $H|n\rangle =E_{n}|n\rangle ,$ H $H|n\rangle =E_{n}|n\rangle ,$ ⟩ $H|n\rangle =E_{n}|n\rangle ,$ $H|n\rangle =E_{n}|n\rangle ,$ $H|n\rangle =E_{n}|n\rangle ,$ $H|n\rangle =E_{n}|n\rangle ,$ , , \ $displaystyle$ H n $\rangle$ = $E_{n} n\rangle$ 의 양변에 미분 연산자 $μ$ to 를 적용함으로써 도출할 수 있다.

\displaystyle \mu }H \rangle +H \rangle _{\mu }n\rangle =\displaystyle _{\mu }n\rangle +E_{n}\rangle _{\mu }n\rangle }

그런 다음 왼쪽에서 상태 $\langle m|$ m ${\displaystyle$ \ $displayle$ m $}$ 과 $\langle m|$ 겹치고 다시 슈뢰딩거 방정식 $\langle m|H=\langle m|E_{m}$ m $\langle m|H=\langle m|E_{m}$ $=$ m E m $\langle m|H=\langle m|E_{m}$ { $displaystyle$ \ $displayle$ m H =\ $langle$ m $E_{m}$ 을 $\langle m|H=\langle m|E_{m}$ 사용합니다.

\langle m \displaystyle _{\mu }\langle m \displaystyle _{\mu }n\langle =\langle m n\langle +E_{n}\langle m \displaystyle _{\mu}\langle m \langle m \rangle _{\rangle

해밀턴의 고유 상태는 항상 직교 정규 기저 $\langle m|n\rangle =\delta _{mn}$ m $\langle m|n\rangle =\delta _{mn}$ $\langle m|n\rangle =\delta _{mn}$ $\langle m|n\rangle =\delta _{mn}$ $\langle m|n\rangle =\delta _{mn}$ m $\langle m|n\rangle =\delta _{mn}$ \ $displaystyle$ \ $displayle m$ n \ $rangle$ = \ $displays _$ { $mn$ 을 $형성$ 하므로 m = $n$ 과 m ≠ $n$ 의 $경우$ 는 별도로 논의할 수 있다.첫 번째 경우는 첫 번째 정리로, 두 번째 경우는 두 번째 정리로 이어지는데, 이것은 용어를 재정렬함으로써 바로 알 수 있다.Hellmann-Feyman 이론에서 주어진 미분 규칙을 사용하여 에너지와 상태에 대한 섭동 보정을 체계적으로 계산할 수 있다.

에너지 및 상태 보정

두 번째 순서로, 에너지 보정은

({displaystyle E_{n}(x^{\mu})=\frac n H n\rangle +\frac n \mu x^{\mu }+\re \sum _{m\neq n}{\frac n\frac n \frac n \fram n \n \n \rangle \rangle \mu }\fl \frangle _\mu }

여기서 $\Re$ \ $displaystyle \Re$ }는 $\Re$ 실제 부분을 나타냅니다.1차 미분 $μ δE$ 는_n 1차 헬만-파인만 정리에 의해 직접 주어진다.2차 도함수 $μ ν$ 「 $E n$ 」를 얻으려면 , 1차 도함수 $\langle n|\partial _{\nu }H|n\rangle$ 의 결과에 차분 연산자 「E $」 μ$ 를 적용하기만 하면 됩니다.{ $displaystyle \langle$ n \ $partial$ _ ${\nu }$ H n $\rangle$ $\langle n|\partial _{\nu }H|n\rangle$ 는 다음과 같습니다.

\displaystyle _{\nu }\displaystyle _{\n}E_{n}=\langle \displays _{\nu}H n \rangle +\langle n _{\nu }\displays _{\nu }H \displaystylangle _{\n }\displaystylangle _{\n }

선형 매개 변수화된 해밀턴의 경우 연산자 레벨에 2차 도함수 $μ ν θθH$ = $0$ 이 존재하지 않는다는 점에 유의하십시오.전체 기본 집합을 삽입하여 상태의 도함수를 해결합니다.

\displaystyle _{\mu }\displaystyle _{\nu }E_{n}=\sum _{m}\left(\displayle \mu }n\rangle \displaystyle _{\nu }H \rangle \rangle \m \rangle _{\dicle \rangle })

모든 부품은 Hellmann-Feyman 정리를 사용하여 계산할 수 있습니다.Lie 도함수로는 벡터 다발의 접속 정의에 따라 $\langle \partial _{\mu }n|n\rangle =\langle n|\partial _{\mu }n\rangle =0$ ο $\langle \partial _{\mu }n|n\rangle =\langle n|\partial _{\mu }n\rangle =0$ ο $\langle \partial _{\mu }n|n\rangle =\langle n|\partial _{\mu }n\rangle =0$ $\langle \partial _{\mu }n|n\rangle =\langle n|\partial _{\mu }n\rangle =0$ n $\langle \partial _{\mu }n|n\rangle =\langle n|\partial _{\mu }n\rangle =0$ ο n $\langle \partial _{\mu }n|n\rangle =\langle n|\partial _{\mu }n\rangle =0$ = 0 \ displaystyle \ $disples _$ { \ $mu$ } $n$ \ $rangle =$ \ displaystyle $n$ \ $disples$ _ { \ mu $} n$ \ rangle $= 0$ 이다 $\langle \partial _{\mu }n|n\rangle =\langle n|\partial _{\mu }n\rangle =0$ .따라서, $사례$ m = $n$ 은 에너지 분모의 특이점을 회피하는 합계에서 제외될 수 있다.고차 파생 모델에 대해서도 동일한 절차를 수행하여 고차 보정을 수행할 수 있습니다.

상태 보정에 동일한 계산 체계를 적용할 수 있습니다.2차 주문 결과는 다음과 같습니다.

{\displaystyle{\begin{정렬}\left n\left(x^{\mu}\right)\right\rangle)n\rangle&+\sum _{nm\neq}{\frac{\langle m\partial_{\mu}H n\rangle}{E_{n}-E_{m}}}m\rangle x^{\mu}\\&, +\left(\sum_{n}m\neq \sum_{n}l\neq{\frac{\langle m\partial_{\mu}Hl\rangle \langle 나는\partial_{\nu}Hn\rangle}{(E_{n}-E_{m})(E_{n}-E_{나는})}}m\rangle-.\sum_{m\neq n}{\frac {\langle m \partial _{\mu }H\langle n \partial _{\nu }H n\rangle }{(E_{n}-E_{m})^{2}}m\rangle - {\frac {1} {{2}}\nefrac }

에너지 파생상품과 국가 파생상품은 모두 공제 대상에 포함된다.상태 도함수가 발견될 때마다, 완전한 염기 집합을 삽입하여 이를 해결하면 Hellmann-Feynman 정리가 적용됩니다.미분은 체계적으로 계산될 수 있기 때문에, 섭동 보정에 대한 직렬 확장 접근법은 매스매티카와 같은 기호 처리 소프트웨어를 사용하여 컴퓨터에서 코드화할 수 있습니다.

유효 해밀턴식

H( $0)$ 를 저에너지 부분 공간 ${\mathcal {H}}_{L}$ $($ 스타일 ${H}}_$ 또는 고에너지 부분 ${\mathcal {H}}_{H}$ ${\mathcal {H}}_{H}$ H $($ 스타일 ${H})$ 에서 완전히 제한된 해밀턴으로 $한다$ .H}},성이 없어 행렬 요소에 H(0)을 연결하는 저소득과 고에너지 subspaces, 즉 ⟨ mH(0)나는 ⟩)0{\displaystyle \langle mH(0)l\rangle =0}만약 m∈ HL, 나는 ∈ HH{\displaystyle m\in{{H\mathcal}}_{L},l\in{{H\mathcal}}_{H}} 할게. Fμ)∂μH 연결 장치 조건을 연결하는 잠수함.sp높은 에너지의 자유도가 통합되면, 낮은 에너지 부분공간의 효과적인^[10] 해밀턴이 읽힌다.

{\displaystyle H_{mn}^{\text{eff}}\left(x^{\mu}\right)=\snmle m\snm}\snm\snmle m\snrangle x^{\mu}+{\frac1}{2!}}\sum _{l\in {mathcal {H}}_{H}}\left({\frac {\langle m \partial _{\mu }H\langle l \partial _{\nu}H\rangle }{E_{m}-E_{l}}+{\frac {langle m\partial _{\nu}H\langle langle langle l\l })

$m,n\in {\mathcal {H}}_{L}$ 서 m $m,n\in {\mathcal {H}}_{L}$ $m,n\in {\mathcal {H}}_{L}$ H $({$ m $,n\in$ { $mathcal {H}}_{$ L $m,n\in {\mathcal {H}}_{L}$ })은 저에너지 서브공간에서 제한됩니다.위의 결과는 $\langle m|H(x^{\mu })|n\rangle$ m $\langle m|H(x^{\mu })|n\rangle$ ( $\langle m|H(x^{\mu })|n\rangle$ μ ) $\langle m|H(x^{\mu })|n\rangle$ ${\$ { $displaystyle \langle$ m $H (x^{\mu })$ n $\rangle$ $\langle m|H(x^{\mu })|n\rangle$ 의 멱급수 확장을 통해 얻을 수 있습니다.

형식적인 방법으로 정확히 낮은 에너지 상태와 파동 ^[11]함수를 제공하는 효과적인 해밀턴을 정의할 수 있습니다.실제로는 일반적으로 어떤 종류의 근사(퍼터베이션 이론)가 필요합니다.

시간 의존성 섭동 이론

상수 변동 방법

Paul Dirac에 의해 개발된 시간 의존성 섭동 이론은 시간 의존성 해밀턴 ^[12] $H$ 에₀ 적용된 시간 의존성 $섭동$ V $(t)$ 의 효과를 연구합니다.

교란된 해밀턴의 에너지 수준과 고유 상태도 시간에 의존하기 때문에, 교란된 해밀턴의 에너지 수준과 고유 상태 역시 시간에 의존합니다.따라서, 시간 의존성 섭동 이론의 목표는 시간 의존성 섭동 이론과는 약간 다르다.다음 수량에 관심이 있습니다.

특정 초기 상태에 대한 일부 관측 $가능$ 한 A의 시간 종속 기대값입니다.
이러한 기초의 시간 의존적 팽창 계수(특정 시간 의존적 상태 포함)는 비교란 시스템의 에너지 고유켓(전자 벡터)인 상태를 나타낸다.

첫 번째 수량은 교란된 시스템의 거시적 복사본 수에 대해 수행된 A 측정의 고전적인 결과를 낳기 때문에 중요하다.예를 들어, 우리는 A를 수소 원자에서 전자의 x방향 변위라고 생각할 수 있는데, 이 경우 기대치에 적절한 계수를 곱하면 수소 가스의 시간 의존 유전 분극이 나타납니다.적절한 섭동 선택(즉, 진동하는 전위)을 통해 가스의 AC 유전율을 계산할 수 있습니다.

두 번째 수량은 각 고유 상태에 대한 시간 의존적인 점유 확률을 살펴봅니다.이것은 시간 의존적인 전기장이 적용될 때 기체 내의 다른 원자 상태의 모집단에 관심이 있는 레이저 물리학에서 특히 유용합니다.이러한 확률은 입자 물리학과 핵 물리학에서 스펙트럼 라인의 "양자 확대"와 입자 붕괴를 계산하는 데도 유용하다.

우리는 Dirac의 시간 의존적 섭동 이론의 공식 뒤에 있는 방법을 간단히 검토할 것이다.교란되지 않은 시스템에 ${|n\rangle }$ 에너지 기준 n ${\$ { $display$ { n \ $rangle$ }} 을 ${|n\rangle }$ 선택합니다.(교란된 시스템에 대한 에너지 수준 및 고유 상태에 대해 말하는 것은 유용하지 않기 때문에 고유 상태에 대한 (0)개의 상위 첨자를 삭제합니다.)

교란되지 않은 시스템이 $시간$ t = 0에서 (해밀턴의) $|j\rangle$ $⟩$ {\ $displaystyle$ j $\rangle}$ 인 $|j\rangle$ 경우, 이후 시간의 상태는 위상(상태 벡터가 시간에 따라 진화하고 연산자가 일정한)에 의해서만 변화한다.

j(t)\rangle = e^{-iE_{j}t/\hbar} j\rangle ~

이제 시간 의존형 교란 $해밀턴$ V $(t)$ 를 소개합니다.섭동된 시스템의 해밀턴식은

H=H_{0}+V(t)~.

$|\psi (t)\rangle$ ( $|\psi (t)\rangle$ ) $|\psi (t)\rangle$ { $display$ \ $psi ( t$ )\ $rangle }$ 은 $|\psi (t)\rangle$ 시각 $t$ 에서 섭동된 시스템의 양자 상태를 나타낸다.시간 의존적인 슈뢰딩거 방정식을 따르죠

H \psi ( t)\rangle = i\hbar {\frac t} \psi ( t) \rangle ~

각 순간의 양자 상태는 n ${\$ { $displaystyle$ n \ $rangle$ 의 완전한 고유 염기의 선형 조합으로 나타낼 수 있습니다.

\displaystyle \psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar}n\rangle ~,}

(1)

여기서 c $(t)$ 는_n 진폭이라고 하는 $t$ 의 복잡한 함수를 결정한다(엄밀히 말하면 디랙 그림의 진폭이다).

오른쪽에 있는 지수 위상 $\exp(-iE_{n}t/\hbar )$ exp $\exp(-iE_{n}t/\hbar )$ ( - $\exp(-iE_{n}t/\hbar )$ E $\exp(-iE_{n}t/\hbar )$ $\exp(-iE_{n}t/\hbar )$ / ${\$ ) { $displaystyle$ \exp ( - $iE_{n}$ t / \ $hbar$ ) } 를 $\exp(-iE_{n}t/\hbar )$ 명시적으로 추출했습니다.이것은 단지 관례의 문제일 뿐, 일반성을 잃지 않고 실시할 수 있습니다.이 문제가 발생하는 이유는 시스템이 j $|j\rangle$ j $\rangle)$ $|j\rangle$ 에서 $|j\rangle$ 시작되고 섭동이 존재하지 않을 때 진폭은 모든 $t$ 에_j 대해 c $(t)$ = 1 및 $c n (t)$ = n $µ$ $j$ 일 경우 0이라는 편리한 특성을 가지기 때문입니다.

절대진폭 $n c ($ t)의 제곱은 시스템이 시간 t에 n 상태에 있을 확률입니다.

\displaystyle \left c_{n}(t)\right ^{2}=\left \paramle n \psi(t)\rangle \right ^{2}~.}

슈뢰딩거 방정식에 접속하여 θ/θt가 곱의 법칙에 따라 작용한다는 사실을 이용하여 구한다.

\displaystyle \sum _{n}\left(i\hbar {frac {d} c_{n}}{\mathrm {d} t}}-c_{n}(t)\right) e^{-iE_{n}t/\hbar } n\rangle = 0~}.

V $앞$ 의 항등식을 풀고 왼쪽에 있는 브라 $\langle n|$ (\ $displaystyle\langle$ n $)$ 을 $\langle n|$ 곱하면 진폭에 대한 일련의 결합된 미분 방정식으로 줄일 수 있습니다.

({displaystyle {\frac {d} c_{n} {\mathrm {d} t}}=sum frac {-i} {\hbar}}\sum _{k}\c_{k}(t), e^{-i(E_{k}-E_{n}) =bar.

여기서 방정식 (1)을 사용하여 두 번째 항에서 $n$ 의 합을 평가한 다음, $\langle k|\Psi (t)\rangle =c_{k}(t)e^{-iE_{k}t/\hbar }$ k $\langle k|\Psi (t)\rangle =c_{k}(t)e^{-iE_{k}t/\hbar }$ ( $\langle k|\Psi (t)\rangle =c_{k}(t)e^{-iE_{k}t/\hbar }$ ) $\langle k|\Psi (t)\rangle =c_{k}(t)e^{-iE_{k}t/\hbar }$ $\langle k|\Psi (t)\rangle =c_{k}(t)e^{-iE_{k}t/\hbar }$ ( $\langle k|\Psi (t)\rangle =c_{k}(t)e^{-iE_{k}t/\hbar }$ ) $\langle k|\Psi (t)\rangle =c_{k}(t)e^{-iE_{k}t/\hbar }$ - $\langle k|\Psi (t)\rangle =c_{k}(t)e^{-iE_{k}t/\hbar }$ k $\langle k|\Psi (t)\rangle =c_{k}(t)e^{-iE_{k}t/\hbar }$ / $\langle k|\Psi (t)\rangle =c_{k}(t)e^{-iE_{k}t/\hbar }$ {\ \ $displaystyle \ Psi ( t$ ) \ $rangle$ = $c$ _ { $k$ （ $t$ ） e^ { - i e _ $k （$ t } / $bar$ } $\langle k|\Psi (t)\rangle =c_{k}(t)e^{-iE_{k}t/\hbar }$ } } } $}}$ }} }} }} }} }} }} }} }} }} }} }} }} }} }} }} }} }} }} }} }} }} }} }} }} }} }}

V의 $행렬$ 요소는 시간 독립 섭동 이론에서와 유사한 역할을 하며, 진폭이 상태 간에 이동하는 속도에 비례합니다.그러나 이동 방향은 지수 위상 인자에 의해 수정됩니다.에너지 $차이 k$ E - $E$ 의_n 두 배 이상에 걸쳐 위상은 여러 번 0을 중심으로 감깁니다.V의 $시간$ 의존성이 충분히 느린 경우 상태 진폭을 진동시킬 수 있습니다(예: 이러한 진동은 레이저의 복사 천이를 관리하는 데 유용합니다).

지금까지 근사치를 구하지 않았기 때문에 이 미분방정식 집합은 정확합니다.적절한 초기값 $n$ c $(t)$ 를 제공함으로써 원칙적으로 정확한(즉, 비교란) 솔루션을 찾을 수 있었다.이는 두 가지 에너지 수준( $n$ = 1, 2)만 있을 때 쉽게 수행되며, 이 솔루션은 암모니아 분자와 같은 시스템을 모델링하는 데 유용합니다.

그러나 에너지 레벨이 많을 때는 정확한 해결책을 찾기 어렵고, 대신 섭동 해결책을 찾습니다.이것들은 방정식을 적분 형태로 표현함으로써 얻을 수 있다.

{\displaystyle c_{n}(t)=c_{n}(0)-{\frac {i}{\hbar}}}\sum _{k}\int _{0}^{t'\;\crandle n V(t') k\rangle \c_{k}(t'), e^{i(E_{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{e}{n}{n}{n}}}{n}{n}{n}}{n}}{n

이 식을 반복하여 $c$ 를_n 우측으로 치환하면 반복 해답이 생성됩니다.

c_{n}(t)=c_{n}^{(0)+c_{n}^{(1)+c_{n}^{(2)+\cdots

예를 들어, 1차 항은 다음과 같습니다.

({displaystyle c_{n}^{(1)(t)=sum frac {-i}{\hbar}}\sum _{k}\int _{0}^{t'\;\suble n V(t') k\rangle \,c_{k}^{(0)},e^{-i(E_i(E_{k}-{k}-{n}-{t'})}_T'})

같은 근사치로, 위 식에서의 합계는 방해받지 않은 $c_{k}^{(0)}=\delta _{kn}$ c $c_{k}^{(0)}=\delta _{kn}$ k ( $c_{k}^{(0)}=\delta _{kn}$ ) $c_{k}^{(0)}=\delta _{kn}$ $c_{k}^{(0)}=\delta _{kn}$ k $c_{k}^{(0)}=\delta _{kn}$ { $display$ style $c$ _ { $k$ }^{ ( 0 ) = \ $display$ style _ { kn $c_{k}^{(0)}=\delta _{kn}$ } = \ display style c _ { kn $c_{k}^{(0)}=\delta _{kn}$ } = \ display _ { kn } in in in in in in in in in $c_{k}^{(0)}=\delta _{kn}$ in in in in in in in in to to to

{\displaystyle c_{n}^{(1))(t)=snfrac {-i}{\hbar}}\int _{0}^{t}dt'\;\controlle n V(t') k\rangle \,e^{-i(E_{k}-{n}'/hbar }~}.

특정 에너지에서 양자 상태의 밀도에 대한 양자 상태 간의 전이 속도를 관련짓는 페르미의 황금 법칙이나 파인만 다이어그램 방법의 시작점 중 하나인 시간 진화 연산자에 반복 방법을 적용하여 얻은 다이슨 시리즈와 같은 몇 가지 추가 결과가 뒤따른다.

다이슨 시리즈 방법

시간 의존적 섭동은 다이슨 시리즈의 기법을 통해 재구성할 수 있습니다.슈뢰딩거 방정식

\displaystyle H(t) \psi(t)\rangle = i\hbar {frac \psi(t)\rangle } {\display t}

정식 솔루션을 가지고 있다

\displaystyle \psi(t)\rangle = T\exp {left[-{\frac {i}{hbar}}\int _{t}{t'H(t')\right] \psi (t_{0}\rangle ~,}

$여기$ 서 T는 시간 순서 연산자입니다.

TA(t_{1})A(t_{2})=begin{case}A(t_{1})A(t_{2})&t_{1}>t_{2}\A(t_{2})A(t_{1})&t_{2}>t_{1}\end{case}~.

따라서, 지수는 다음의 다이슨 급수를 나타냅니다.

\psi(t)\rangle =\left[1-{\frac {i}{\hbar}}\int _{t_{0}}^{t_{1}H(t_{1})-{\frac {1}\int _{t_{1}_int _ {t_{t}_{t}H(t_{2}+\ldots\right] \psi(t_{0})\rangle ~ .

두 번째 항에서는 1/2! 계수가 시간 순서 연산자 등으로 인한 이중 기여도를 정확히 상쇄합니다.

다음 섭동 문제를 고려하십시오.

\displaystyle [H_{0}+\lambda V(t)]\psi(t)\rangle = i\hbar {\frac \psi(t)\rangle }{\frac t}~,}

파라미터 $is$ 가 작고 $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ $⟩$ { $displaystyle H_{0} n\rangle$ = $E_{n} n\rangle }$ 이 $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ 해결되었다고 가정합니다.

상호 작용 영상(또는 Dirac 영상)에 대해 다음과 같은 단일 변환을 수행합니다.

\displaystyle \psi(t)\rangle = e^{-{\frac {i}{\hbar}}H_{0}(t_{0}) \psi _{I}(t)\rangle ~}

결과적으로 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

\displaystyle \frac {i}{\hbar }{0}(t-t_{0})}V(t)e^{-{\frac {i}{0}(t-t_{0})\psi _{I}(t)\rangle frac =\fraci {0}{0}{0}

위의 다이슨 시리즈를 통해 해결됩니다.

{\displaystyle \psi _{I}(t)\rangle =\left [1-{\frac {i\frac {i}{\hbar}}}\int _{t}{t}dt_{1}e^{\frac {i}{\hbar}}}}H_0}(T)_{1}-t_{0}}e^{\frac {i}{\hbar}}H_{0}(t_{2}-t_{0})V(t_{2})e^{-{\frac {i}}}H_{0}(t_{2}-t_{0})\ldotsi}\ldotsi(오른쪽)

$θ$ 가 작은 섭동 계열로 표시됩니다.

교란되지 않은 $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ H $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ n ${\$ { $displaystyle H_{0 }$ n\ $rangle = E_{n}$ n\rangle $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ $}$ 및 $\sum _{n}|n\rangle \langle n|=1$ $=$ 1 { $displaystyle \sum$ _ ${n}$ n $\rangle$ n $= 1$ } $\sum _{n}|n\rangle \langle n|=1$ 의 해법을 사용하면 순수 스펙트럼의 단순성을 가정할 수 있다.

\displaystyle \psi _{I}(t)\rangle =\left [1-{\frac {i\frac}{m}\sum _{n}\int _{t}{t}dt_{1}\nangle mV(t_{1})\frac {\fr}

따라서 처음에는 섭동이 섭동되지 않은 $|\alpha \rangle =|\psi (t_{0})\rangle$ α $|\alpha \rangle =|\psi (t_{0})\rangle$ δ $|\alpha \rangle =|\psi (t_{0})\rangle$ $|\alpha \rangle =|\psi (t_{0})\rangle$ ( $|\alpha \rangle =|\psi (t_{0})\rangle$ t 0 ) $|\alpha \rangle =|\psi (t_{0})\rangle$ δ { $displaystyle \alpha$ \rangle $= \psi$ ( $t_{0}$ \ $rangle$ $|\alpha \rangle =|\psi (t_{0})\rangle$ , initially d d $|\beta \rangle$ 、 $displaystyle \rangle$ $|\beta \rangle$ $|\beta \rangle$ $|\beta \rangle$ β β β β β is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is thus thus thus is is is is thus thus thus thus thus thus thus thus thus thus thus thus thus thus thus thus thus thus thus d d d d d d

A_{\alpha \bar }=-{\frac {i\barda}{\hbar}}{\int _{t_{0}}^{t_{1}\clangle V(t_{1})\alpha \rangle e^{-{-{\frac {i}}} =-{\alpha

이전 절에서 상술한 바와 같이 연속체에 대한 해당 전이 확률은 페르미의 황금 법칙에 의해 제공된다.

이와는 별도로, 시간 의존적인 섭동 이론 다이슨 시리즈 안에 시간 의존적인 섭동 이론도 조직되어 있다는 것을 주목하십시오.이것을 보려면, 위의 다이슨 시리즈로부터 얻은 유니터리 진화 연산자를 다음과 같이 적습니다.

U(t)=1-{\frac {i\flac {i}{t}{t}{1}dt_{1}e^{\frac {i}{\hbar}}H_{0}(t_{1}-t_{0})V(t_{e1}){frac}{frc}{frc }i}{\hbar}}H_{0}(t_{2}-t_{0})V(t_{2})e^{-{\frac {i}{\hbar}}H_{0}(t_{2}-t_{0})+\cdots

시간에 구애받지 않는 $섭동$ V를 취할 수 있습니다.

아이덴티티 해결 사용

\displaystyle \sum _{n} n\rangle \suble n = 1

$H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ 이산 스펙트럼의 경우 H $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ n $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ n $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ ${\$ { $displaystyle H_{0} n\rangle$ = $E_{n} n\rangle }$ 인 $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ 경우, 다음과 같이 입력합니다.

{\displaystyle{\begin{정렬}(t)=1&, -\left\{{\frac{i\lambda}{\hbar}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\sum _{m}\sum _{n}\langle 인류 Vn\rangle e^{-{\frac{나는}{\hbar}}(E_{n}-E_{m})(t_{1}-t_{0})}m\rangle\langle n\right\}\\&, -\left\{{\frac{\lambda ^{2}}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}_{m}\sum _{n}\sum _{q}e^{-{\f dt_{2}\sum.rac{나는}{\hbar }}(E_{n}-E_{m}(t_{1}-t_{0})}\langle m V n\langle \langle n q\rangle e^{-{\frac {i}{\hbar}}}(E_{q}-E_{n}{0})_{0})

두 번째 순서로 모든 중간 상태를 요약해야 한다는 것은 명백합니다. $t_{0}=0$ 0 $=$ { $displaystyle t_{0$ }= $0}$ 및 $t_{0}=0$ 더 큰 시간의 점근 한계를 $t_{0}=0$ 합니다.즉, 섭동 계열의 각 기여에서 $δ$ 가 임의로 작을 경우 적분자에 승수 $e^{-\epsilon t}$ - $δ$ t {\ $display$ style e^{-\ $epsilon$ t $}}$ 를 추가해야 한다. $따라서$ 한계 t $\to$ θ는 모든 진동 항을 제거하지만 영속 항은 유지함으로써 시스템의 최종 상태를 반환합니다.따라서 적분은 계산할 수 있으며, 대각 항을 다른 항과 분리하여 산출한다.

Vn\rangle t^{2}+\ldots 인류{\displaystyle{\begin{정렬}(t)=1&, -{\frac{i\lambda}{\hbar}}\sum _{n}\langle nVn\rangle t-{\frac{i\lambda ^{2}}{\hbar}}\sum _{nm\neq}{Vn\rangle 인류 \frac{\langle nVm\rangle \langle}{E_{n}-E_{m}}}t-{\frac{1}{2}}{\frac{\lambda ^{2}}{\hbar ^{2}}}\sum _{m,n}\langle nVm\rangle \langle \\&, +\lambda \sum. _{m\neqn}{\frac {\langle m V n\rangle }{E_{n}-E_{m}} m\langle \langle n +\lambda ^{2}\sum _{q\neq n}\sum _{n}\sum _{n}\frac {\frangle m v\langle n}

여기서, 시계열은 위에서 지정한 교란된 문제의 고유값을 재귀적으로 산출하는 반면, 나머지 시간 지연 부분은 위에 $|n(\lambda )\rangle =U(0;\lambda )|n\rangle )$ 고정 고유함수에 대한 수정값을 산출합니다 $|n(\lambda )\rangle =U(0;\lambda )|n\rangle )$ n ( $|n(\lambda )\rangle =U(0;\lambda )|n\rangle )$ ) ) $=$ ( $0$ ; $|n(\lambda )\rangle =U(0;\lambda )|n\rangle )$ ) n $|n(\lambda )\rangle =U(0;\lambda )|n\rangle )$ { $displaystyle n$ ( \ $lambda )\ rangle$ $|n(\lambda )\rangle =U(0;\lambda )|n\rangle )$ } . $rangle$ ）。

유니터리 진화 연산자는 교란되지 않은 문제의 임의 고유 상태에 적용 가능하며, 이 경우 작은 시간에 유지되는 영속적인 급수를 산출합니다.

강한 섭동 이론

작은 섭동의 경우와 비슷한 방법으로, 강한 섭동 이론을 발전시키는 것이 가능하다.평소처럼 슈뢰딩거 방정식을 고려한다.

\displaystyle H(t) \psi(t)\rangle = i\hbar {frac \psi(t)\rangle } {\display t}

그리고 우리는 교란 범위가 커지는 이중 다이슨 시리즈가 존재하는지 여부를 고려합니다.이 질문은 긍정적인 방법으로 대답할 수 있으며, 이 시리즈는 잘 알려진 단열 ^[14]시리즈입니다.이 접근방식은 매우 일반적이며 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.섭동 문제를 고려하다

[H_{0}+\lambda V(t)] \psi (t)\rangle = i\hbar {\frac \psi (t)\rangle } {\frac t

$\to$ 입니다 $.$ 우리의 목표는 그 형태에서 해결책을 찾는 것이다.

\displaystyle \psi \rangle = \psi _{0}\rangle + {\frac {1}\rangle + {\frac {1}{\frac {2} \psi _{2}\rangle + \ldots }

그러나 위의 방정식을 직접 대입하면 유용한 결과를 얻을 수 없다.이 상황은 다음과 같은 의미 있는 방정식을 생성하는 $=$ = $t$ t $\tau =\lambda t$ \ $displaystyle$ \ $displayda$ t로 $\tau =\lambda t$ 시간 변수를 재스케일링하여 조정할 수 있습니다.

V(t) \psi _{0}\rangle = i\hbar {\frac \psi _{0}\rangle }{\frac \frac

V(t) \psi _{1} \rangle + H_{0} \psi _{0} \rangle = i\hbar {\frac \psi _{1} \rangle } {\frac

\displaystyle \vdots }

선행 순서 방정식의 해답을 알면 풀 수 있습니다.그러나 이 경우에는 단열 근사법을 사용할 수 있습니다.V $V(t)$ ( $V(t)$ ) $V(t)$ { $displaystyle$ V $(t)}$ 가 $V(t)$ 시간에 구애받지 $V(t)$ 경우 통계역학에서 자주 사용되는 Wigner-Kirkwood 시리즈를 얻을 수 있습니다.실제로, 이 경우 우리는 단일 변환을 도입한다.

\psi (t)\rangle = e^{-{\frac {i}{\hbar}}}\langle V(t-t_{0})\psi _{F}(t)\rangle

상호 작용 용어를 제거하려고 할 때 자유로운 그림을 정의합니다.작은 섭동에 대해 이중적인 방법으로 슈뢰딩거 방정식을 풀어야 합니다

\displaystyle e^{\frac {i}{\hbar}}\lambda V(t-t_{0})}H_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar}}}\psi_{F}(t)\rangle=i\hbar{frac\psi_{F}(t)\rangle }{\frac}}

확장 파라미터 $appears$ 은 지수에만 나타나기 때문에 대응하는 Dyson 시리즈, 듀얼 Dyson 시리즈는 큰 $µs$ 에서 의미가 있습니다.

\psi _{F}(t)\rangle =\left [1-{\frac {i}{hbar}}\int _{t}^{t}dt_{1}e^{\frac {i}{\hbar}}}\dtda V(t_{1}-t_{0})H_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar}}\lambda V(t_{1}-t_{0})-{\frac {1}{\hbar ^{2}}\int _{t}dt_{1}\int _int {t_t_{0}{t}{t}{t}{t}{d}}{d}}}{t}}}{t}}}{d}}}{t}}}}}{t}}{t}}}}{t}}}}}}}}}{t}}H_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar}}\lambda V(t_{1}-t_{0})}e^{\frac {i}{\hbar}}\lambda V(t_{2}-t_{0}}}}H_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar}}}\lambda V(t_{2}-t_{0}}+\ldots \right] \psi(t_{0})\rangle .

After the rescaling in time $\tau =\lambda t$ we can see that this is indeed a series in $1/\lambda$ justifying in this way the name of dual Dyson series.그 이유는 단순히 $H$ 와 V를 $교환$ 하는₀ 것만으로 이 시리즈를 입수할 수 있고, 이 교환을 적용하면서 이 시리즈를 다른 시리즈로 바꿀 수 있기 때문입니다.이것은 섭동 이론에서 이중성 원리라고 불립니다. $H_{0}=p^{2}/2m$ 0 $=$ $H_{0}=p^{2}/2m$ / $H_{0}=p^{2}/2m$ m ({ $displaystyle H_{0$ }= $p^{2}/2m})$ 의 $H_{0}=p^{2}/2m$ 선택지는 앞서 말한 바와 같이 위그너-커크우드 시리즈(Gradient expansion)를 생성한다.위그너-커크우드 시리즈는 WKB ^[15]근사값과 정확히 같은 고유값을 갖는 반고전 계열입니다.

예

1차 섭동 이론의 예 – 4차 발진기의 지상 상태 에너지

4차 퍼텐셜 섭동을 갖는 양자 조화 진동자와 해밀턴을 고려합니다.

H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}{\frac ^{2}x{2}}+{frac {m\opega ^{2}}+{frac {\frac ^{4}

고조파 발진기의 접지 상태는 다음과 같습니다.

\displaystyle \psi _{0}=\leftfrac {\pi }}{\frac {1}{4} e^{-\alpha x^{2}/2}

( $\alpha =m\omega /\hbar$ $\alpha =m\omega /\hbar$ $\alpha =m\omega /\hbar$ $\alpha =m\omega /\hbar$ / $ℏ$ （ \ $displaystyle$ \ $alpha =$ m $\Omega$ / \hbar $\alpha =m\omega /\hbar$ ) 및 비교란 지면 상태의 에너지는 다음과 같습니다.

({displaystyle E_{0}^{(0)}=tfrac {1}{2}}\hbar \omega .,}

첫 번째 순서 보정 공식을 사용하여

E_{0}^{(1)=\lambda \left frac {\pi }{\frac {2}{2}x^{4}e^{-\alpha x^{2}/2}x}x{\flac}\lambda x^{\flac

또는

E_{0}^{(1)=\lambda \left frac {\pi }{\pi }{\frac {1}{2}}{\frac {\flac }{\flac }{{2}}{\flac } {\frac } {\frac } {\fright

1차 및 2차 섭동 이론의 예 - 양자 진자

해밀턴의 양자 수학 진자를 고려하다

H=-{\frac {hbar ^{2}}{2ma^{2}}{\frac \phi ^{2}}-\fracda \cos \phi

잠재적 에너지 $-\lambda \cos \phi$ - $-\lambda \cos \phi$ cos $-\lambda \cos \phi$ （ \ $displaystyle$ - \ $cos$ \ phi $）$ 를 $-\lambda \cos \phi$ 섭동으로 받아들인다 $.$

V=-\cos\phi

교란되지 않은 정규화된 양자파 함수는 강성 회전자의 함수이며 다음과 같이 주어진다.

(\displaystyle \psi _{n}(\phi)=subscfrac {e^{in\phi}}}{\subscrt {2\pi }}})

그리고 에너지

({displaystyle E_{n}^{(0)}=blac {hbar ^{2}n^{2}}{2ma^{2}}})

로터에 대한 1차 에너지 보정은 위치 에너지로 인해 다음과 같습니다.

\displaystyle E_{n}^{(1)=-{\frac {1}{2\pi }}\cos \phi e^{-in\phi }=-{\frac {1}{2\pi }}\int \cos \phi =0}

2차 보정을 위한 공식을 사용하면 얻을 수 있습니다.

E_{n}^{(2)}=flac {ma^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}\sum _{k}{\frac {\left \int e^{-ik\phi }\cos \phi e^{in\phi }\{n2}}{\k}}}}}}{2}}}}}}{2\sum_k}}}}}}}{2\sum_k}}}}

또는

{\displaystyle E_{n}^{(2)}=frac {ma^{2}}{2\hbar ^{2}}{\sum _{k}{\frac {left(\displaystyle _{n,1-k}+\frac _{n,1-k}\right)\{2}}\frac _{n,{n,{{n}}}},{n},{n}}}},{n},\frac {n},\frac {n},\},\},

또는

E_{n}^{(2)}=flac {ma^{2}}{\hbar ^{2}}\leftflac {1}{2n-1}+{\right}=flac {ma^{2}{hbar ^{2}}{4

섭동으로서의 위치 에너지

운동 $에너지$ E(\ $displaystyle$ E $E$ 를 가진 입자의 자유 운동 상태일 때 슈뢰딩거 방정식의 해는

\displaystyle \sla ^{2}\psi ^{(0)}+k^{2}\psi ^{(0)}=0}

는 $k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}$ k $k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}$ $k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}$ m E / ${\$ $k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}$ { { { $displaystyle$ k = $k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}$ 2 $mE/\hbar$ ^{ $2$ 의 평면파에 대응합니다.공간 내에 약한 전위 $U(x,y,z)$ U $(x$ , $z )가 존재$ 하는 $U(x,y,z)$ 경우 첫 번째 근사치에서는 섭동 상태를 방정식으로 설명합니다.

\displaystyle \sla ^{2}\psi ^{(1)+k^{2}\psi ^{(1)}=slac {2mU}{\hbar ^{2}}\psi ^{(0)}}

그 특별한 구성요소는^[16]

\displaystyle \psi ^{(1))(x,y,z)=-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}\int \psi ^{(0)}U(x',y',z'){\frac {e^{ikr}}}{r},dy'z'}

$r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}$ 서 r 2 $=$ ( $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}$ - $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}$ $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}$ ) $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}$ + ( $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}$ - $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}$ $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}$ ) $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}$ + ( $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}$ - $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}$ $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}$ ) 2 $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}$ \ $displaystyle$ r $^{2$ }=( $x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^2$ 2차원의 경우, 해는 다음과 같습니다.

\displaystyle \psi ^{(1)(x,y)=-{\frac {im}{2\hbar ^{2}}\int \psi ^{(0)}U(x',y')H_{0}^{(1)}(kr),dx'dy'}

$r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}$ 서 r 2 $=$ ( $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}$ - $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}$ $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}$ ) $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}$ + ( $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}$ - $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}$ $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}$ ) $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}$ { \ $displaystyle$ r $^{2$ }=( $x-x')^{2}+(y-y')^2}}$ $H_{0}^{(1)}$ $H_{0}^{(1)}$ ( 1) $H_{0}^{(1)}$ {\ $displaystyle H_{0}^{(1)}}$ 은 $H_{0}^{(1)}$ 첫 번째 종류의 행켈 함수이다.1차원의 경우 해결책은 다음과 같습니다.

\displaystyle \psi ^{(1))(x)=-{\frac {im}{\hbar ^{2}}\int \psi ^{(0)}U(x'){\frac {e^{ikr}}{k}}},frac'}

$r=|x-x'|$ 서 r $r=|x-x'|$ - $r=|x-x'|$ { $display$ r = x - $x$ ' $r=|x-x'|$ 입니다.

적용들

레퍼런스

^ Simon, Barry (1982). "Large orders and summability of eigenvalue perturbation theory: A mathematical overview". International Journal of Quantum Chemistry. 21: 3–25. doi:10.1002/qua.560210103.
^ Aoyama, Tatsumi; Hayakawa, Masashi; Kinoshita, Toichiro; Nio, Makiko (2012). "Tenth-order QED lepton anomalous magnetic moment: Eighth-order vertices containing a second-order vacuum polarization". Physical Review D. 85 (3): 033007. arXiv:1110.2826. Bibcode:2012PhRvD..85c3007A. doi:10.1103/PhysRevD.85.033007. S2CID 119279420.
^ van Mourik, T.; Buhl, M.; Gaigeot, M.-P. (10 February 2014). "Density functional theory across chemistry, physics and biology". Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 372 (2011): 20120488. Bibcode:2014RSPTA.37220488V. doi:10.1098/rsta.2012.0488. PMC 3928866. PMID 24516181.
^ Schrödinger, E. (1926). "Quantisierung als Eigenwertproblem" [Quantization as an eigenvalue problem]. Annalen der Physik (in German). 80 (13): 437–490. Bibcode:1926AnP...385..437S. doi:10.1002/andp.19263851302.
^ Rayleigh, J. W. S. (1894). Theory of Sound. Vol. I (2nd ed.). London: Macmillan. pp. 115–118. ISBN 978-1-152-06023-4.
^ Sulejmanpasic, Tin; Ünsal, Mithat (2018-07-01). "Aspects of perturbation theory in quantum mechanics: The BenderWuMathematica® package". Computer Physics Communications. 228: 273–289. Bibcode:2018CoPhC.228..273S. doi:10.1016/j.cpc.2017.11.018. ISSN 0010-4655. S2CID 46923647.
^ J.J. 사쿠라이와 J. 나폴리타노(1964, 2011).Modern Quantum Mechanics (제2판), Adison Wesley ISBN 978-0-8053-8291-4.제5장.
^ Landau, L. D.; Lifschitz, E. M. (1977). Quantum Mechanics: Non-relativistic Theory (3rd ed.). ISBN 978-0-08-019012-9.
^ Hogervorst M, Meineri M, Penedones J, Salehi Vaziri K (2021). "Hamiltonian truncation in Anti-de Sitter spacetime". Journal of High Energy Physics. 2021 (8): 63. arXiv:2104.10689. Bibcode:2021JHEP...08..063H. doi:10.1007/JHEP08(2021)063. S2CID 233346724.
^ Bir, Gennadiĭ Levikovich; Pikus, Grigoriĭ Ezekielevich (1974). "Chapter 15: Perturbation theory for the degenerate case". Symmetry and Strain-induced Effects in Semiconductors. ISBN 978-0-470-07321-6.
^ Soliverez, Carlos E. (1981). "General Theory of Effective Hamiltonians". Physical Review A. 24 (1): 4–9. Bibcode:1981PhRvA..24....4S. doi:10.1103/PhysRevA.24.4 – via Academia.Edu.
^ 앨버트 메시아(1966년).Quantum Mechanics, North Holland, John Wiley & Sons.ISBN 0486409244; J. J. 사쿠라이(1994)Modern Quantum Mechanics (Addison-Wesley) ISBN 9780201539295.
^ Frasca, M. (1998). "Duality in Perturbation Theory and the Quantum Adiabatic Approximation". Physical Review A. 58 (5): 3439–3442. arXiv:hep-th/9801069. Bibcode:1998PhRvA..58.3439F. doi:10.1103/PhysRevA.58.3439. S2CID 2699775.
^ Mostafazadeh, A. (1997). "Quantum adiabatic approximation and the geometric phase". Physical Review A. 55 (3): 1653–1664. arXiv:hep-th/9606053. Bibcode:1997PhRvA..55.1653M. doi:10.1103/PhysRevA.55.1653. S2CID 17059815.
^ Frasca, Marco (2007). "A strongly perturbed quantum system is a semiclassical system". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 463 (2085): 2195–2200. arXiv:hep-th/0603182. Bibcode:2007RSPSA.463.2195F. doi:10.1098/rspa.2007.1879. S2CID 19783654.
^ Lifshitz, E.M. & LD 및 Sykes Landau(JB)(1965).양자역학, 비상대론적 이론.퍼가몬 프레스

외부 링크

"L1.1 General problem. Non-degenerate perturbation theory". YouTube. MIT OpenCourseWare. 14 February 2019. Archived from the original on 2021-12-12. (Barton Zwiebach 강의)
"L1.2 Setting up the perturbative equations". YouTube. MIT OpenCourseWare. 14 February 2019. Archived from the original on 2021-12-12.

[1] Simon, Barry (1982). "Large orders and summability of eigenvalue perturbation theory: A mathematical overview". International Journal of Quantum Chemistry. 21: 3–25. doi:10.1002/qua.560210103.

[2] Aoyama, Tatsumi; Hayakawa, Masashi; Kinoshita, Toichiro; Nio, Makiko (2012). "Tenth-order QED lepton anomalous magnetic moment: Eighth-order vertices containing a second-order vacuum polarization". Physical Review D. 85 (3): 033007. arXiv:1110.2826. Bibcode:2012PhRvD..85c3007A. doi:10.1103/PhysRevD.85.033007. S2CID 119279420.

[3] van Mourik, T.; Buhl, M.; Gaigeot, M.-P. (10 February 2014). "Density functional theory across chemistry, physics and biology". Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 372 (2011): 20120488. Bibcode:2014RSPTA.37220488V. doi:10.1098/rsta.2012.0488. PMC 3928866. PMID 24516181.

[4] Schrödinger, E. (1926). "Quantisierung als Eigenwertproblem" [Quantization as an eigenvalue problem]. Annalen der Physik (in German). 80 (13): 437–490. Bibcode:1926AnP...385..437S. doi:10.1002/andp.19263851302.

[5] Rayleigh, J. W. S. (1894). Theory of Sound. Vol. I (2nd ed.). London: Macmillan. pp. 115–118. ISBN 978-1-152-06023-4.

[6] Sulejmanpasic, Tin; Ünsal, Mithat (2018-07-01). "Aspects of perturbation theory in quantum mechanics: The BenderWuMathematica® package". Computer Physics Communications. 228: 273–289. Bibcode:2018CoPhC.228..273S. doi:10.1016/j.cpc.2017.11.018. ISSN 0010-4655. S2CID 46923647.

[7] J.J. 사쿠라이와 J. 나폴리타노(1964, 2011).Modern Quantum Mechanics (제2판), Adison Wesley ISBN 978-0-8053-8291-4.제5장.

[8] Landau, L. D.; Lifschitz, E. M. (1977). Quantum Mechanics: Non-relativistic Theory (3rd ed.). ISBN 978-0-08-019012-9.

[9] Hogervorst M, Meineri M, Penedones J, Salehi Vaziri K (2021). "Hamiltonian truncation in Anti-de Sitter spacetime". Journal of High Energy Physics. 2021 (8): 63. arXiv:2104.10689. Bibcode:2021JHEP...08..063H. doi:10.1007/JHEP08(2021)063. S2CID 233346724.

[10] Bir, Gennadiĭ Levikovich; Pikus, Grigoriĭ Ezekielevich (1974). "Chapter 15: Perturbation theory for the degenerate case". Symmetry and Strain-induced Effects in Semiconductors. ISBN 978-0-470-07321-6.

[11] Soliverez, Carlos E. (1981). "General Theory of Effective Hamiltonians". Physical Review A. 24 (1): 4–9. Bibcode:1981PhRvA..24....4S. doi:10.1103/PhysRevA.24.4 – via Academia.Edu.

[12] 앨버트 메시아(1966년).Quantum Mechanics, North Holland, John Wiley & Sons.ISBN 0486409244; J. J. 사쿠라이(1994)Modern Quantum Mechanics (Addison-Wesley) ISBN 9780201539295.

[fra1-13] Frasca, M. (1998). "Duality in Perturbation Theory and the Quantum Adiabatic Approximation". Physical Review A. 58 (5): 3439–3442. arXiv:hep-th/9801069. Bibcode:1998PhRvA..58.3439F. doi:10.1103/PhysRevA.58.3439. S2CID 2699775.

[most-14] Mostafazadeh, A. (1997). "Quantum adiabatic approximation and the geometric phase". Physical Review A. 55 (3): 1653–1664. arXiv:hep-th/9606053. Bibcode:1997PhRvA..55.1653M. doi:10.1103/PhysRevA.55.1653. S2CID 17059815.

[fra2-15] Frasca, Marco (2007). "A strongly perturbed quantum system is a semiclassical system". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 463 (2085): 2195–2200. arXiv:hep-th/0603182. Bibcode:2007RSPSA.463.2195F. doi:10.1098/rspa.2007.1879. S2CID 19783654.

[16] Lifshitz, E.M. & LD 및 Sykes Landau(JB)(1965).양자역학, 비상대론적 이론.퍼가몬 프레스

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[10]

[11]

[12]

[14]

[15]

[16]

Search