물리법칙: 용수철 눈금을 거리에 따라 선형으로 변형시키는 데 필요한 힘
훅의 법칙: 힘은 연장에 비례합니다. 부르동 튜브 는 훅의 법칙에 기반을 두고 있습니다. 위의 감긴 금속 튜브 내부의 가스 압력 에 의해 생성된 힘은 압력에 비례하는 양만큼 그것을 풀어줍니다. 많은 기계식 시계와 시계의 핵심에 있는 균형 바퀴 는 후크의 법칙에 달려 있습니다. 코일 스프링에 의해 발생하는 토크는 바퀴가 돌린 각도에 비례하기 때문에, 그 진동은 거의 일정한 주기를 갖습니다. 물리학 에서 후크의 법칙은 스프링 을 일정한 거리(x )만큼 늘리거나 압축하는 데 필요한 힘(F )이 해당 거리에 대해 선형적 으로 확장된다는 경험적 법칙 입니다. 즉, F kx , 여기서 k 는 스프링의 일정한 요인 특성(즉, 강성 )이며, x 는 스프링의 가능한 전체 변형에 비해 작습니다. 이 법칙의 이름은 17세기 영국의 물리학자 로버트 훅 의 이름을 따서 지어졌습니다. 그는 1676년에 라틴어 애너그램 으로 이 법칙을 처음 진술했습니다.[1] [2] 그는 1678년 [3] ut tensio sicvis 후크는 1678년 작품에서 1660년부터 법을 알고 있었다고 말합니다.
높은 건물에 바람이 불고, 음악가가 기타 줄 을 뽑는 것과 같이 탄력 있는 신체가 변형 되는 많은 다른 상황에서 후크의 방정식은 (어느 정도) 성립합니다. 이 방정식을 가정할 수 있는 탄성체 또는 물질은 선형 탄성체 또는 후크(Hookean )라고 합니다.
훅의 법칙은 적용된 힘에 대한 스프링과 다른 탄성체의 실제 반응에 대한 1차 선형 근사치 일 뿐입니다. 어떤 재료도 영구적인 변형이나 상태 변화 없이는 특정한 최소 크기 이상으로 압축되거나 최대 크기 이상으로 늘어날 수 없기 때문에 힘이 어느 정도 한계를 넘으면 결국 실패해야 합니다. 많은 물질들은 탄성 한계 에 도달하기 훨씬 전에 훅의 법칙에서 눈에 띄게 벗어날 것입니다.
반면에 후크의 법칙은 힘과 변형이 충분히 작기만 하면 대부분의 고체에 대한 정확한 근사치입니다. 이러한 이유로 훅의 법칙은 과학과 공학의 모든 분야에서 광범위하게 사용되며 지진학 , 분자 역학 및 음향학 과 같은 많은 학문의 기초가 됩니다. 또한 기계식 시계 의 스프링 눈금 , 압력계 , 갈바노미터 , 밸런스 휠 의 기본 원리입니다.
현대의 탄성 이론 은 후크의 법칙을 일반화하여 탄성 물체나 물질의 변형 (변형)은 그 물체에 가해지는 응력에 비례한다고 말합니다. 그러나 일반적인 스트레스와 변형은 여러 개의 독립적인 성분을 가질 수 있기 때문에 "비례성 인자"는 더 이상 단일 실수가 아니라 실수의 행렬 로 표현될 수 있는 선형 맵(텐서 )일 수 있습니다.
이 일반적인 형태에서 후크의 법칙은 복잡한 물체에 대한 변형과 응력 사이의 관계를 그것들이 만들어지는 재료의 고유한 특성의 관점에서 추론할 수 있게 합니다. 예를 들어, 균일한 단면 을 가진 균질한 막대가 늘어나면 단순한 스프링처럼 행동할 것이며, 강성 k 는 단면적에 정비례하고 길이에 반비례한다고 추론할 수 있습니다.
형식적 정의 선형 스프링 스프링의 신장과 압축 고정된 물체에 한쪽 끝이 붙어 있는 단순한 나선형 스프링을 생각해 보자. 자유단은 크기 가s F인 힘에 의해 당겨집니다. 용수철이 길이가 더 이상 변하지 않는 평형 상태에 이르렀다고 가정해봅시다. x 를 스프링의 자유 끝이 "풀린" 위치에서 변위된 양이라고 가정합니다(스프링이 늘어지지 않을 때). 훅의 법칙은
아니면, 동등하게, x = F s k {\displaystyle x={\frac {F_{s}}{k}} 여기서 k 는 양수이며, 용수철의 특징입니다. 코일 사이에 공간이 있는 스프링을 압축할 수 있으며 압축을 위해 동일한 공식이 유지되며 이 경우 F 와s x 는 모두 음수입니다.[4]
그래픽 유도 이 공식에 따르면, 변위 x의 함수로서 가해진 힘s F 의 그래프는 기울기가 k 인 원점 을 지나는 직선이 될 것입니다.
또한s F는 스프링이 자유로운 끝을 당기는 것에 작용하는 복원력 이라는 관습에 따라 기술되어 있습니다. 이 경우 방정식은
F s = − k x {\displaystyle F_{s}=-kx} 복원력의 방향이 변위의 방향과 반대이기 때문입니다.
비틀림 스프링 후크 법칙의 비틀림 아날로그는 비틀림 스프링 에 적용됩니다. 물체를 회전시키는 데 필요한 토크(τ)는 평형 위치로부터의 각도 변위(θ)에 정비례한다고 기술되어 있습니다. 물체에 가해지는 토크와 비틀림으로 인한 각도 변형 사이의 관계를 설명합니다. 수학적으로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
τ = − k θ {\displaystyle \tau =-k\theta} 위치:
τ는 뉴턴 미터 또는 N·m 단위로 측정된 토크입니다. k는 비틀림 상수 (N·m/radian 단위)로 측정되며, 비틀림 스프링의 강성 또는 각도 변위에 대한 저항을 특징으로 합니다. θ는 평형 위치로부터의 각도 변위(라디안 단위의 measured)입니다. 선형의 경우와 마찬가지로 이 법칙은 토크가 각도 변위에 비례한다는 것을 보여주며, 음의 부호는 토크가 각도 변위와 반대 방향으로 작용한다는 것을 나타내어 시스템을 평형 상태로 되돌리는 복원력을 제공합니다.
일반 "스칼라" 스프링 후크의 스프링 법칙은 변형과 응력 모두가 양과 음이 될 수 있는 단일 숫자로 표현될 수 있는 한, 임의의 복잡성을 가진 어떤 탄성 물체에도 일반적으로 적용됩니다.
예를 들어, 두 개의 평행한 판에 부착된 고무 블록이 늘어나거나 압축 되지 않고 전단에 의해 변형될 때, 전단력s x 의 측면 변위는 후크의 법칙을 따릅니다(충분히 작은 변형의 경우).
후크의 법칙은 양쪽 끝에 지지된 직선의 철근이나 콘크리트 보가 어떤 중간 지점에 놓인 무게 F 에 의해 휘어질 때에도 적용됩니다. 이 경우의 변위 x 는 빔의 언로딩된 형상에 대한 횡방향으로 측정된 빔의 편차입니다.
벡터 공식 그 축을 따라 신장 또는 압축되는 나선 스프링의 경우, 인가되는(또는 복원되는) 힘과 그에 따른 신장 또는 압축은 동일한 방향(해당 축의 방향)을 갖습니다. 따라서s F와 x 를 벡터 로 정의하면 후크의 방정식 은 여전히 유지되며 힘 벡터는 신장 벡터 에 고정된 스칼라 를 곱한 것이라고 말합니다.
일반 텐서 형식 방향이 다른 힘을 받으면 일부 탄성체는 한 방향으로 변형됩니다. 수직도 수평도 아닌 횡방향 하중에 의해 구부러지는 비구형 직사각형 단면을 갖는 수평 목재 빔이 한 예입니다. 이러한 경우, 변위 x 의 크기 는 후자의 방향이 동일하게 유지되는 한(그리고 그 값이 너무 크지 않은) 힘 F 의 크기에 비례할 것입니다. 따라서 후크의 법칙 F -kx 그러나 힘과 변위 벡터 는 방향이 다르기 때문에 서로 스칼라 배수가 아닙니다. 게다가, 그들의 크기 사이의 비율 k 는 벡터 F 의s 방향에 따라 달라질 것입니다.
그러나 이러한 경우 힘과 변형 벡터 사이에는 충분히 작기만 하면 고정된 선형 관계 가 존재하는 경우가 많습니다. 즉, 임의의 실수 α, β 및 임의의 변위 벡터 X, X에 대해 F κ(X ), ( αX + βX) = α κ(X) + β κ(X)와 같은 함수 κ가 있습니다. 이러한 함수를 (2차) 텐서라고 합니다.
임의의 직각좌표계 에 대하여 힘과 변위 벡터는 실수의 3×1 행렬 로 나타낼 수 있습니다. 그런 다음 이들을 연결 행렬 이 에 변위 벡터를 곱하면 다음과 같은 힘 벡터를 얻을 수 있습니다.
F = [ F 1 F 2 F 3 ] = [ κ 11 κ 12 κ 13 κ 21 κ 22 κ 23 κ 31 κ 32 κ 33 ] [ X 1 X 2 X 3 ] = κ X {\displaystyle \mathbf {F} \,=\,{\begin{bmatrix} F_{1}\\ F_{2}\\ F_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\kappa _{11}&\kappa _{12}&\kappa _{13}\\\kappa _{21}&\kappa _{22}&\kappa _{23}\\\kappa _{31}&\kappa _{32}&\kappa _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\boldsymbol {\kappa }}\mathbf {X} } 그것은, F i = κ i 1 X 1 + κ i 2 X 2 + κ i 3 X 3 {\displaystyle F_{i}=\kappa _{i1}X_{1}+\kappa _{i2}X_{2}+\kappa _{i3}X_{3}} for i = 1, 2, 3 따라서 법칙 단일 실수 k가 아닌 텐서 때
연속매체에 대한 훅의 법칙 (a) 폴리머 나노스프링의 개략도. 코일 반경, R, 피치, P, 스프링의 길이, L 및 턴수, N은 각각 2.5μm, 2.0μm, 13μm 및 4입니다. 나노스프링의 전자현미경 사진은 로딩 전(b-e), 연신(f), 압축(g), 구부림(h), 회수(i). 모든 스케일 바는 2μm입니다. 용수철은 가해진 힘에 대한 선형 반응을 따랐고, 이는 후크의 법칙이 나노 스케일에서 유효하다는 것을 증명했습니다.[5] 연속적 인 탄성 재료(고무 블록, 보일러 벽 또는 철근 등) 내부의 재료의 응력과 변형률은 후크의 스프링 법칙과 수학적으로 유사한 선형 관계에 의해 연결되며 종종 이 이름으로 언급됩니다.
그러나 어떤 지점 주변의 고체 매질에서의 변형 상태는 단일 벡터로 설명할 수 없습니다. 아무리 작더라도 같은 물질 덩어리는 서로 다른 방향을 따라 동시에 압축, 늘이기, 전단이 가능합니다. 마찬가지로, 그 소포의 스트레스는 동시에 밀기, 당기기, 전단을 할 수 있습니다.
이러한 복잡성을 포착하기 위해서는 점 주변의 매체의 관련 상태를 2차 텐서, 변형 텐서 ε(변위 응력 텐서 연속매체에 대한 훅의 스프링 법칙의 아날로그는 다음과 같습니다.
σ = c ε , {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {c} {\boldsymbol {\varepsilon}},} 여기서 c 강성 텐서 또는 탄성 텐서 라고 불리는 4차 텐서(즉, 2차 텐서 사이의 선형 맵)입니다. 다음과 같이 쓸 수도 있습니다. ε = s σ , {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon}}=\mathbf {s} {\boldsymbol {\sigma }} 여기서 준수 텐서 라고 불리는 텐서
데카르트 좌표계에서 응력 및 변형률 텐서는 3 × 3 행렬로 나타낼 수 있습니다.
ε = [ ε 11 ε 12 ε 13 ε 21 ε 22 ε 23 ε 31 ε 32 ε 33 ] ; σ = [ σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 ] {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon_{11}&\varepsilon_{12}&\varepsilon_{13}\\\varepsilon_{21}&\varepsilon_{22}&\varepsilon_{23}\\\varepsilon_{31}&\varepsilon_{33}\end{bmatrix}\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }\,=\, {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}} 9개의 숫자 σ와 9개의 숫자 3 × 3 = 81개 c의 행렬로 표현됩니다. 훅의 법칙에 따르면 σ i j = ∑ k = 1 3 ∑ l = 1 3 c i j k l ε k l {\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}c_{ijkl}\varepsilon _{kl}} where i ,j = 1,2,3
세 가지 텐서는 일반적으로 매체 내부의 점마다 다르며 시간에 따라 다를 수도 있습니다. 스트레인 텐서 텐서 따라서 물질의 구성 및 물리적 상태와는 무관합니다. 한편, 강성 텐서 c 압력 및 미세 구조와 같은 물리적 상태 변수에 의존합니다.
σ, ε, c의 고유한 대칭성으로 인해 후자의 탄성 계수는 21개만 독립적입니다. 이 수는 정방정계 결정의 경우 9, 육각형 구조의 경우 5, 입방정계 대칭의 경우 3과 같이 물질의 대칭성에 의해 더욱 감소될 수 있습니다.[7] (어떤 방향으로든 동일한 물리적 특성을 갖는) 등방성 매질의 경우, c 벌크 모듈러스 K 와 전단 모듈러스 G 의 두 개의 독립적인 수치로 감소될 수 있습니다.
유사법칙 훅의 법칙은 두 양 사이의 단순한 비례성이기 때문에, 그 공식과 결과는 유체 의 운동이나 전기장 에 의한 유전체 의 편광을 설명하는 것과 같은 다른 많은 물리적 법칙들의 공식과 수학적으로 유사합니다.
특히. 탄성 응력을 변형률과 관련시키는 텐서 방정식 σ = c ε은 점성 응력 텐서 τ 및 점성 유체 흐름에서의 변형률 텐서 ε̇과 관련되는 방정식 τ = μ ε̇과 전적으로 유사합니다; 비록 전자는 정적 응력(변형량과 관련된)에 관한 반면, 후자는 동적 응력(과 관련된)에 관한 것입니다. 변형률 ).
측정단위 SI 단위 에서는 변위를 미터(m) 단위로, 힘은 뉴톤 (N 또는 kg·m/s2 ) 단위로 측정합니다. 따라서, 스프링 상수 k와 텐서
연속 매체의 경우, 응력 즉 파스칼(Pa, 또는 N/m, 또는 kg/(m·s))로 측정됩니다. 변형 텐서 ε의 요소는 무차원(변위를 거리로 나눈 값)입니다. 따라서ijkl c의 항목도 압력 단위로 표시됩니다.
탄성 소재에 대한 일반적인 적용 저탄소강의 응력-변형률 곡선, 응력 (단위면적당 힘)과 변형률 (결과적으로 발생하는 압축/스트레칭, 변형이라고 함)의 관계를 보여줍니다. 후크의 법칙은 원점과 항복점 사이의 곡선 부분(2)에 대해서만 유효합니다. 힘에 의해 변형된 후, 물질의 분자나 원자가 안정적인 평형 상태로 초기 상태로 되돌아가면서 빠르게 원래의 모양을 되찾는 물체는 훅의 법칙을 따르는 경우가 많습니다.
후크의 법칙은 특정 적재 조건에서 일부 재료에 대해서만 적용됩니다. 강철은 대부분의 엔지니어링 응용 분야에서 선형 탄성 거동을 보여줍니다. 후크의 법칙 은 탄성 범위 전체(즉, 항복 강도 미만의 응력)에서 유효합니다. 알루미늄과 같은 일부 다른 재료의 경우 후크의 법칙은 탄성 범위의 일부에 대해서만 유효합니다. 이러한 재료의 경우 비례 한계 응력이 정의되며, 그 아래에서 선형 근사와 관련된 오차는 무시할 수 있습니다.
고무는 탄성이 응력에 의존하고 온도와 하중 속도에 민감하기 때문에 일반적으로 "Non-Hookan" 물질로 간주됩니다.
큰 변형 의 경우에 대한 훅 법칙의 일반화는 네오 훅 고체 와 무니-리블린 고체 모델에 의해 제공됩니다.
유도식 균일바의 인장응력 탄성 소재 의 로드는 선형 스프링 으로 볼 수 있습니다. 로드의 길이는 L 이고 단면적은 A 입니다. 인장 응력 σ은 탄성 계수 E에 의해 분율 연장 또는 변형률 ε에 선형적으로 비례합니다.
σ = E ε . {\displaystyle \sigma =E\varepsilon .}
탄성 계수는 종종 일정한 것으로 간주될 수 있습니다. 결국.
ε = Δ L L {\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}} (즉, 길이의 분수 변화)와 그 이후 σ = F A , {\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}\,} 다음은 다음과 같습니다. ε = σ E = F A E . {\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}={\frac {F}{ AE}\.}
길이의 변화는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
Δ L = ε L = F L A E . {\displaystyle \Delta L=\varepsilon L={\frac {FL}{ AE}\.}
봄기운 용수철에 저장된 퍼텐셜 에너지 el (x ) 는 다음과 같습니다.
U e l ( x ) = 1 2 k x 2 {\displaystyle U_{\mathrm {el} }(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}} 스프링을 점진적으로 압축하는 데 필요한 에너지를 합산하는 데서 비롯됩니다. 즉, 힘의 적분 과변위. 외력은 변위와 같은 일반적인 방향을 가지므로 용수철의 위치 에너지는 항상 음이 아닙니다.
이 전위 U Ux (x ) = 1/ 2kx 포물선 으로 시각화될 수 있습니다. 스프링이 양의 x 방향으로 늘어나면 포물선 모양으로 퍼텐셜 에너지가 증가합니다(스프링이 압축되는 것과 같은 일이 발생합니다). 퍼텐셜 에너지의 변화는 일정한 속도로 변화하기 때문입니다.
d 2 U e l d x 2 = k . {\displaystyle {\frac {d^{2} }U_{\mathrm {el} }}{dx^{2}}}=k\,.} U 의 변화는 변위와 가속도가 0일 때도 일정하다는 것에 유의하세요.
완화된 힘 상수(일반화된 준수 상수) 완화된 힘 상수(일반화된 준수 상수의 역수)는 일반적인 "강성" 힘 상수와 대조적으로 분자 시스템에 대해 고유하게 정의되므로 이를 사용하면 반응물 , 전이 상태 및 화학 반응 생성물에 대해 계산된 힘 필드 간에 의미 있는 상관 관계를 만들 수 있습니다. 퍼텐셜 에너지 를 내부 좌표에 2차 형태로 쓸 수 있는 것처럼 일반화된 힘으로도 쓸 수 있습니다. 결과 계수를 준수 상수 라고 합니다. 일반 모드 분석을 수행할 필요 없이 분자의 내부 좌표에 대한 준수 상수를 계산하는 직접적인 방법이 있습니다.[8] 일찍이 1980년에 공유 결합 강도 기술자로서 완화된 힘 상수(역순응 상수)의 적합성이 입증되었습니다. 최근에는 비공유 결합 강도 기술자로서의 적합성도 입증되었습니다.[9]
고조파 발진기 스프링에 의해 매달린 질량은 고조파 발진기의 고전적인 예입니다. 하모닉 발진기 의 대표적인 예는 스프링 끝에 부착된 질량 m입니다. 질량을 약간 당긴 다음 방출함으로써 시스템은 평형 위치에 대해 정현파 진동 운동으로 설정됩니다. 스프링이 후크의 법칙을 따르고, 마찰 과 스프링의 질량을 무시할 수 있는 한, 진동의 진폭은 일정하게 유지되고, 진동수 f 는 스프링의 질량과 강성에 의해서만 결정되는 진폭과 무관합니다.
f = 1 2 π k m {\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}} 이 현상은 배와 사람들의 주머니에 운반할 수 있는 정확한 기계 시계 와 시계의 건설을 가능하게 했습니다.
무중력 공간에서의 회전 질량 m 이 힘 상수 k 로 스프링에 부착되어 자유 공간에서 회전하는 경우 스프링 장력(F t 구심력 (F c
F t = k x ; F c = m ω 2 r {\displaystyle F_{\mathrm {t} }=kx\,;\qquad F_{\mathrm {c} }=m\omega ^{2}r} F k = m ω 2 {\displaystyle k=m\omega ^{2}} ω = 2 πf이면 위와 같은 주파수 방정식이 나옵니다. f = 1 2 π k m {\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}
연속매체에 대한 선형탄성이론 참고: 반복되는 지수에 대한 합산 이라는 아인슈타인의 합산 규칙 이 아래에 사용됩니다. 등방성 물질 점성 유체에 대한 유사한 현상은 점도 를 참조하십시오. 등방성 물질은 공간상의 방향과 무관한 특성을 특징으로 합니다. 따라서 등방성 물질을 포함하는 물리 방정식은 이들을 나타내기 위해 선택된 좌표계와 독립적이어야 합니다. 변형 텐서는 대칭 텐서입니다. 임의의 텐서의 추적 은 임의의 좌표계와 무관하기 때문에, 대칭 텐서의 가장 완전한 무좌표 분해는 상수 텐서와 무추적 대칭 텐서의 합으로 표현하는 것입니다.[10] 따라서 인덱스 표기법 :
ε i j = ( 1 3 ε k k δ i j ) + ( ε i j − 1 3 ε k k δ i j ) {\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left ({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}\varepsilon _{kkk}\delta _{ij}\right)} δ는 크로네커 삼각주입니다. 직접 텐서 표기법: ε = 볼 ( ε ) + 디브 ( ε ) ; 볼 ( ε ) = 1 3 트르 ( ε ) I ; 디브 ( ε ) = ε − 볼 ( ε ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon}}=\operatorname {vol}({\boldsymbol {\varepsilon})+\operatorname {dev}({\boldsymbol {\varepsilon})\,;\qquad \operatorname {vol}({\boldsymbol {\varepsilon})={\tfrac {1}{3}\operatorname {tr}({\boldsymbol {\varepsilon})~\mathbf {I}\, ;\qquad \operatorname {dev}({\boldsymbol {\varepsilon}})={\boldsymbol {\varepsilon}}-\operatorname {vol}({\boldsymbol {\varepsilon})} 여기
오른쪽의 첫 번째 항은 부피 변형 텐서 라고도 알려진 상수 텐서이고, 두 번째 항은 편차 변형 텐서 또는 전단 텐서 라고도 알려진 무추적 대칭 텐서입니다.
등방성 물질에 대한 훅 법칙의 가장 일반적인 형태는 이제 이 두 텐서의 선형 조합으로 쓰여질 수 있습니다.
σ i j = 3 K ( 1 3 ε k k δ i j ) + 2 G ( ε i j − 1 3 ε k k δ i j ) ; σ = 3 K 볼 ( ε ) + 2 G 디브 ( ε ) {\displaystyle \sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }=3K\operatorname {vol}({\boldsymbol {\varepsilon})+2G\operatorname {dev}({\boldsymbol {\varepsilon})} 여기서 K 는 부피 탄성률 이고 G 는 전단 탄성률 입니다.
탄성 계수 사이의 관계를 사용하여 이 방정식들은 다른 다양한 방법으로 표현될 수도 있습니다. 등방성 물질에 대한 훅의 법칙의 일반적인 형태로, 직접 텐서 표기법으로 표현하면, σ = tr ;\qquad {\mathsf { =\lambda mathbf otimes \mathbf {I} +2\ mathsf { 여기 λ = 3G = = = 인덱스 표기법:
σ i j = λ ε k k δ i j + 2 μ ε i j = c i j k l ε k l ; c i j k l = λ δ i j δ k l + μ ( δ i k δ j l + δ i l δ j k ) {\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \varepsilon _{kkk}~\delta _{ij}+2\mu \varepsilon _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl}\,;\qquad c_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}\right)} 그 역의 관계는[12] ε = 1 2 μ σ − λ 2 μ ( 3 λ + 2 μ ) 트르 ( σ ) I = 1 2 G σ + ( 1 9 K − 1 6 G ) 트르 ( σ ) I {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon}}={\frac {1}{2\mu }{\boldsymbol {\sigma }-{\lambda }{2\mu(3\lambda +2\mu )}\operatorname {tr}({\boldsymbol {\sigma })\mathbf {I} ={\frac {1}{2 G}}{\boldsymbol {\sigma }}+\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} } 따라서 ε = s: σ 관계에서의 적합성 텐서는 s = − λ 2 μ ( 3 λ + 2 μ ) I ⊗ I + 1 2 μ I = ( 1 9 K − 1 6 G ) I ⊗ I + 1 2 G I {\displaystyle {\mathsf {s}}=-{\frac {\lambda }{2\mu(3\lambda +2\mu))}\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} + {\frac {1} {2\mu}} {\mathsf {I}}=\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}\right)\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1} {2} G}{\mathsf {I}} 그렇다면 등방성 물질에 대한 훅의 법칙은 영률 과 푸아송의 비율 로 다음과 같이 표현할 수 있습니다. ε i j = 1 E ( σ i j − ν ( σ k k δ i j − σ i j ) ) ; ε = 1 E ( σ − ν ( 트르 ( σ ) I − σ ) ) = 1 + ν E σ − ν E 트르 ( σ ) I {\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}{\big(}\sigma _{ij}-\n u (\sigma _{kk}\delta _{ij}-\sigma _{ij}){\big)}\, ;\qquad {\boldsymbol {\varepsilon}}={\frac {1}{E}{\big(}{\boldsymbol {\sigma }-\n u(\operator name {tr}({\boldsymbol {\sigma })\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }){\big)}={\frac {1+\n u }{E}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\n u }{E}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} } 이것은 변형률이 공학에서 응력 텐서로 표현되는 형태입니다. 확장된 형태의 표현은 ε 11 = 1 E ( σ 11 − ν ( σ 22 + σ 33 ) ) ε 22 = 1 E ( σ 22 − ν ( σ 11 + σ 33 ) ) ε 33 = 1 E ( σ 33 − ν ( σ 11 + σ 22 ) ) ε 12 = 1 2 G σ 12 ; ε 13 = 1 2 G σ 13 ; ε 23 = 1 2 G σ 23 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon_{11}&={\frac {1}{E}}{\big(}\sigma_{11}-\n u (\sigma _{22}+\sigma _{33}){\big)}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{E}{\big(}\sigma _{22}-\n u (\sigma _{11}+\sigma _{33}){\big)}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{E}{\big(}\sigma _{33}-\n u (\sigma _{11}+\sigma _{22}){\big)}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2 G}}\sigma _{12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2 G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{2 G}\sigma_{23}\end{aligned}} 여기서 E 는 영률 이고 ν은 포아송 의 비율입니다. (3-D 탄성 참조).
훅의 법칙을 입체적으로 유도하다 훅 법칙의 3차원 형태는 포아송의 비율과 훅 법칙의 1차원 형태를 이용하여 다음과 같이 도출할 수 있습니다. 하중 방향으로 늘어나는 것(1)과 수직 방향으로 줄어드는 것(하중에 의해 발생하는) 두 가지 효과의 중첩으로 변형력과 응력 관계를 고려합니다(2 및 3).
ε 1 ′ = 1 E σ 1 , ε 2 ′ = − ν E σ 1 , ε 3 ′ = − ν E σ 1 , {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon_{1}'&={\frac {1}{E}}\sigma_{1}\,\\\varepsilon_{2}'&=-{\frac {\n u }{E}}\sigma _{1}\,,\\\varepsilon _{3}'&=-{\frac {\n u}{E}\sigma_{1}\,\end{aligned}}} 여기 서 ν은 포아송의 비율 이고 E는 영률입니다.
우리는 방향 2와 방향 3의 하중과 비슷한 방정식을 갖지만,
ε 1 ″ = − ν E σ 2 , ε 2 ″ = 1 E σ 2 , ε 3 ″ = − ν E σ 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}''&=-{\frac {\n u }{E}}\sigma _{2}\,,\\\varepsilon _{2}''&={\frac {1}{E}}\sigma _{2}\,,\\\varepsilon _{3}''&=-{\frac {\n u}{E}\sigma_{2}\,\end{aligned}}} 그리고. ε 1 ‴ = − ν E σ 3 , ε 2 ‴ = − ν E σ 3 , ε 3 ‴ = 1 E σ 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}'''&=-{\frac {\n u }{E}}\sigma _{3}\,,\\\varepsilon _{2}'''&=-{\frac {\n u }{E}}\sigma _{3}\,,\\\varepsilon _{3}'''&={\frac {1}{E}}\sigma _{3}\,. \end{align}}}
세 가지 경우(ε = ε' + ε″ + ε‴)를 종합하면 다음과 같습니다.
ε 1 = 1 E ( σ 1 − ν ( σ 2 + σ 3 ) ) , ε 2 = 1 E ( σ 2 − ν ( σ 1 + σ 3 ) ) , ε 3 = 1 E ( σ 3 − ν ( σ 1 + σ 2 ) ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon_{1}&={\frac {1}{E}}{\big(}\sigma_{1}-\n u (\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big)}\,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}}{\big(}\sigma _{2}-\n u (\sigma _{1}+\sigma _{3}){\big)}\,\\\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big(}\sigma _{3}-\n u (\sigma _{1}+\sigma _{2}){\big )}\,\end{aligned}}} 또는 하나 의 adding을 가감하여 ε 1 = 1 E ( ( 1 + ν ) σ 1 − ν ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) ) , ε 2 = 1 E ( ( 1 + ν ) σ 2 − ν ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) ) , ε 3 = 1 E ( ( 1 + ν ) σ 3 − ν ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon_{1}&={\frac {1}{E}}{\big(}(1+\n) u )\sigma _{1}-\n u (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big)}\,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}{\big(}(1+\n) u )\sigma _{2}-\n u (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big)}\, \\\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\n u )\sigma _{3}-\n u (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big)}\,\end{aligned}} 그리고 더 나아가 우리는 해결 1 통해 더 나아갑니다. σ 1 = E 1 + ν ε 1 + ν 1 + ν ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) . {\displaystyle \sigma_{1}={\frac {E}{1+\n u }}\varepsilon _{1}+{\frac {\n u}{1+\n u}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})\,}
합계계산
ε 1 + ε 2 + ε 3 = 1 E ( ( 1 + ν ) ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) − 3 ν ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) ) = 1 − 2 ν E ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) σ 1 + σ 2 + σ 3 = E 1 − 2 ν ( ε 1 + ε 2 + ε 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}&={\frac {1}{E}{\big(}(1+\n) u )(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-3\n u (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big)}={\frac {1-2\n u }{E}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})\\\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}&={\frac {E}{1-2\n u }}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\end{align}} 그리고 그것 σ 1 = E 1 + ν ε 1 + E ν ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) ( ε 1 + ε 2 + ε 3 ) = 2 μ ε 1 + λ ( ε 1 + ε 2 + ε 3 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}&={\frac {E}{1+\n u }}\varepsilon _{1}+{\frac {E\n u}{(1+\n) u )(1-2\n) u )}}(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3})\&=2\mu \varepsilon_{1}+\lambda(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3})\,\end{aligned}} 여기 서 μ 와 λ는 라메 파라미터입니다.
방향 2와 3의 유사한 처리는 후크의 법칙을 3차원적으로 제공합니다.
행렬 형태에서 등방성 물질에 대한 훅의 법칙은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
[ ε 11 ε 22 ε 33 2 ε 23 2 ε 13 2 ε 12 ] = [ ε 11 ε 22 ε 33 γ 23 γ 13 γ 12 ] = 1 E [ 1 − ν − ν 0 0 0 − ν 1 − ν 0 0 0 − ν − ν 1 0 0 0 0 0 0 2 + 2 ν 0 0 0 0 0 0 2 + 2 ν 0 0 0 0 0 0 2 + 2 ν ] [ σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 13 σ 12 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon_{11}\\\varepsilon_{22}\\\varepsilon_{33}\\\2\varepsilon_{23}\2\varepsilon_{13}\2\varepsilon_{12}\end{bmatrix}\,=\,{\{\begin{bmatrix}\varepsilon_{11}\\\varepsilon_{22}\\varepsilon_{33}\\gamma_{23}\\\gamma_{13}\\\gamma_{12}\end{bmatrix}\,=\, {\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\n u &-\n u &0&0&0\-\n u &1&-\n u &0&0&0\-\n u &-\n u &1&0&0&0\\0&0&0&2+2\n u &0&0\\0&0&0&0&2+2\n u &0\\0&0&0&0&0&2+2\n u \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}} 여기서 γ = 2 ε는 공학적 전단 변형률입니다. 역관계는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. [ σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 13 σ 12 ] = E ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) [ 1 − ν ν ν 0 0 0 ν 1 − ν ν 0 0 0 ν ν 1 − ν 0 0 0 0 0 0 1 − 2 ν 2 0 0 0 0 0 0 1 − 2 ν 2 0 0 0 0 0 0 1 − 2 ν 2 ] [ ε 11 ε 22 ε 33 2 ε 23 2 ε 13 2 ε 12 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma_{11}\\\sigma_{22}\\\sigma_{33}\\\sigma_{23}\\\sigma_{13}\\\sigma_{12}\end{bmatrix}\,=\, {\frac {E}{(1+\n) u )(1-2\n) u )}}{\begin{bmatrix}1-\n u &\n u &\n u &0&0&0\n u &1-\n u &\n u &0&0&0\n u &\n u &1-\n u &0&0&0\\0&0&0&{\frac {1-2\n u }{2}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1-2\n u }{2}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1-2\n u }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}} 라메 상수 덕분에 단순화할 수 있습니다. [ σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 13 σ 12 ] = [ 2 μ + λ λ λ 0 0 0 λ 2 μ + λ λ 0 0 0 λ λ 2 μ + λ 0 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 0 μ ] [ ε 11 ε 22 ε 33 2 ε 23 2 ε 13 2 ε 12 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma_{11}\\\sigma_{22}\\\sigma_{33}\\\sigma_{23}\\\sigma_{13}\\\sigma_{12}\end{bmatrix}\,=\, {\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &0&0\\mu &2\mu +\lambda &0&0&0\mu &0&0\mu &0&0\mu &0&0\mu &0&0\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon_{22}\\\varepsilon_{33}\2\varepsilon_{23}\\2\varepsilon_{13}\\2\varepsilon_{12}\end{bmatrix}}} 벡터 표기법에서 이것은 [ σ 11 σ 12 σ 13 σ 12 σ 22 σ 23 σ 13 σ 23 σ 33 ] = 2 μ [ ε 11 ε 12 ε 13 ε 12 ε 22 ε 23 ε 13 ε 23 ε 33 ] + λ I ( ε 11 + ε 22 + ε 33 ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\, 2\mu {\begin{bmatrix}\varepsilon_{11}&\varepsilon_{12}&\varepsilon_{13}\\\varepsilon_{22}&\varepsilon_{23}\\\varepsilon_{13}&\varepsilon_{23}&\varepsilon_{33}\end{batrix}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}\right)} 여기
평면응력 평면 응력 조건에서 σ = σ = σ = σ = σ = 0. 그 경우 후크의 법칙은 형식을 취합니다.
[ σ 11 σ 22 σ 12 ] = E 1 − ν 2 [ 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 − ν 2 ] [ ε 11 ε 22 2 ε 12 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\n u ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\n u &0\n\n u &1&0\\0&0&{\frac {1-\n u }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}
벡터 표기법에서 이것은
[ σ 11 σ 12 σ 12 σ 22 ] = E 1 − ν 2 ( ( 1 − ν ) [ ε 11 ε 12 ε 12 ε 22 ] + ν I ( ε 11 + ε 22 ) ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\n u^{2}}\left((1-\n) u ){\begin{bmatrix}\varepsilon_{11}&\varepsilon_{12}\\\\varepsilon_{12}&\varepsilon_{22}\end{bmatrix}+\n u \mathbf {I} \left(\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}\right)}
역관계는 일반적으로 축소된 형태로 작성됩니다.
[ ε 11 ε 22 2 ε 12 ] = 1 E [ 1 − ν 0 − ν 1 0 0 0 2 + 2 ν ] [ σ 11 σ 22 σ 12 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon_{11}\\varepsilon_{22}\2\varepsilon_{12}\end{bmatrix}\,=\,{\frac {1}{E}{\begin{bmatrix}1&-\n u &0\-\n u &1&0\\0&0&2+2\n u \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}
면 변형률 평면 변형 조건에서 ε = ε = ε = ε = ε = 0. 이 경우 후크의 법칙은 형식을 취합니다.
[ σ 11 σ 22 σ 12 ] = E ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) [ 1 − ν ν 0 ν 1 − ν 0 0 0 1 − 2 ν 2 ] [ ε 11 ε 22 2 ε 12 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\n u )(1-2\n) u )}}{\begin{bmatrix}1-\n u &\n u &0\n\n u &1-\n u &0\\0&0&{\frac {1-2\n u }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}
이방성 물질 코시 응력 텐서 (σ = σ)와 일반화된 훅 법칙(σ = c ε)의 대칭성은 c = c임을 의미합니다. 마찬가지로, 무한소 변형 텐서의 대칭성은 c = c임을 의미합니다. 이러한 대칭을 강성 텐서 c 의 작은 대칭 이라고 합니다. 따라서 탄성 상수의 수가 81개에서 36개로 줄어듭니다.
또한 변위 구배와 코시 응력이 일 켤레이기 때문에 응력-변형률 관계는 변형률 에너지 밀도 함수(U )로부터 유도될 수 있으며, 그 다음
σ i j = ∂ U ∂ ε i j ⟹ c i j k l = ∂ 2 U ∂ ε i j ∂ ε k l . {\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial U}{\partial \varepsilon _{ij}}\quad \implies \quad c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2} U}{\부분 \varepsilon_{ij}\부분 \varepsilon_{kl}}\,} 미분 c임 이를 강성 텐서의 주요 대칭 이라고 합니다. 따라서 탄성 상수의 수가 36개에서 21개로 줄어듭니다. 주대칭과 부대칭은 강성 텐서가 21개의 독립적인 성분만을 가지고 있음을 나타냅니다.
행렬 표현(stiffness tensor) 후크 법칙의 이방성 형태를 행렬 표기법으로 표현하는 것이 유용한 경우가 많은데, 이를 보이그트 표기법이라고 도 합니다. 이를 위해 우리는 응력과 변형 텐서의 대칭성을 이용하여 직교 좌표계(e 1 ,e 2 ,e 3
[ σ ] = [ σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 13 σ 12 ] ≡ [ σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 ] ; [ ε ] = [ ε 11 ε 22 ε 33 2 ε 23 2 ε 13 2 ε 12 ] ≡ [ ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 ] {\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma_{11}\\sigma_{22}\\\sigma_{33}\\\sigma_{23}\\sigma_{13}\\sigma_{12}\end{bmatrix}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\sigma_{1}\\\sigma_{2}\\sigma_{3}\\sigma_{4}\sigma_{5}\\sigma_{6}\end{bmatrix}\,;\qquad [{\boldsymbol {\varepsilon}}]\,=\,\,q {\begin{bmatrix}\varepsilon_{11}\\\varepsilon_{22}\\\varepsilon_{33}\\2\varepsilon_{23}\\2\varepsilon_{13}\2\varepsilon_{12}\end{bmatrix}\,\equiv \,{\begin{batrix}\varepsilon_{1}\\\varepsilon_{2}\\varepsilon_{3}\\varepsilon_{4}\\\varepsilon_{5}\\\varepsilon_{6}\end{bmatrix}} 그렇다면 강성 텐서(c )는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. [ c ] = [ c 1111 c 1122 c 1133 c 1123 c 1131 c 1112 c 2211 c 2222 c 2233 c 2223 c 2231 c 2212 c 3311 c 3322 c 3333 c 3323 c 3331 c 3312 c 2311 c 2322 c 2333 c 2323 c 2331 c 2312 c 3111 c 3122 c 3133 c 3123 c 3131 c 3112 c 1211 c 1222 c 1233 c 1223 c 1231 c 1212 ] ≡ [ C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 12 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 C 13 C 23 C 33 C 34 C 35 C 36 C 14 C 24 C 34 C 44 C 45 C 46 C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C 56 C 16 C 26 C 36 C 46 C 56 C 66 ] {\displaystyle [{\mathsf {c}}]\,=\, {\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{b matrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}} 훅의 법칙은 다음과 같이 쓰여져 있습니다. [ σ ] = [ C ] [ ε ] 아니면 σ i = C i j ε j . {\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]=[{\mathsf {C}}][{\boldsymbol {\varepsilon}}]\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{i}=C_{ij}\varepsilon _{j}\,} 마찬가지 로 준법 텐서는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. [ s ] = [ s 1111 s 1122 s 1133 2 s 1123 2 s 1131 2 s 1112 s 2211 s 2222 s 2233 2 s 2223 2 s 2231 2 s 2212 s 3311 s 3322 s 3333 2 s 3323 2 s 3331 2 s 3312 2 s 2311 2 s 2322 2 s 2333 4 s 2323 4 s 2331 4 s 2312 2 s 3111 2 s 3122 2 s 3133 4 s 3123 4 s 3131 4 s 3112 2 s 1211 2 s 1222 2 s 1233 4 s 1223 4 s 1231 4 s 1212 ] ≡ [ S 11 S 12 S 13 S 14 S 15 S 16 S 12 S 22 S 23 S 24 S 25 S 26 S 13 S 23 S 33 S 34 S 35 S 36 S 14 S 24 S 34 S 44 S 45 S 46 S 15 S 25 S 35 S 45 S 55 S 56 S 16 S 26 S 36 S 46 S 56 S 66 ] {\displaystyle [{\mathsf {s}}]\,=\, {\begin{bmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1131}&2s_{1112}\\s_{2211}&s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2231}&2s_{2212}\\s_{3311}&s_{3322}&s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3331}&2s_{3312}\\2s_{2311}&2s_{2322}&2s_{2333}&4s_{2323}&4s_{2331}&4s_{2312}\\2s_{3111}&2s_{3122}&2s_{3133}&4s_{3123}&4s_{3131}&4s_{3112}\\2s_{1211}&2s_{1222}&2s_{1233}&4s_{1223 }&4s_{1231}&4s_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}&S_{15}&S_{16}\\ S_{12}&S_{22}&S_{23}&S_{24}&S_{25}&S_{26}\\ S_{13}&S_{23}&S_{33}&S_{34}&S_{35}&S_{36}\\ S_{14}&S_{24}&S_{34}&S_{44}&S_{45}&S_{46}\\ S_{15}&S_{25}&S_{35}&S_{45}&S_{55}&S_{56}\\S_{16}&S_{26}&S_{36}&S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}}
좌표계 변경 선형 탄성 재료가 기준 구성으로부터 다른 구성으로 회전된 경우, 회전된 구성에서의 강성 텐서의 성분이 기준 구성에서의 성분과 관계에[13]
c p q r s = l p i l q j l r k l s l c i j k l {\displaystyle c_{pqrs}=l_{pi}l_{qj}l_{rk}l_{sl}c_{ijkl}} 여기서 l 은ab 직교 회전 행렬 [L ] 의 성분입니다. 같은 관계는 반전도 의미합니다.
행렬 표기법에서 변환된 기저(회전 또는 반전)가 기준 기저와 관련된 경우
[ e i ′ ] = [ L ] [ e i ] {\displaystyle [\mathbf {e} _{i}']=[L][\mathbf {e} _{i}]} 그리고나서 C i j ε i ε j = C i j ′ ε i ′ ε j ′ . {\displaystyle C_{ij}\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}=C_{ij}'\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{j}\,.} 또한 재료가 변환 [L ] C i j = C i j ′ ⟹ C i j ( ε i ε j − ε i ′ ε j ′ ) = 0 . {\displaystyle C_{ij}=C'_{ij}\quad \implies \quad C_{ij}(\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}-\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{j})=0\,.}
직교방성 소재 직교성 물질 은 세 개의 직교 대칭면 을 가지고 있습니다. 기저 벡터(e 1 ,e 2 ,e 3
[ σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 ] = [ C 11 C 12 C 13 0 0 0 C 12 C 22 C 23 0 0 0 C 13 C 23 C 33 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 55 0 0 0 0 0 0 C 66 ] [ ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\\ C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\ C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}} 이 관계의 역수는 일반적으로 다음과[14] [page needed 같이 쓰입니다. [ ε x x ε y y ε z z 2 ε y z 2 ε z x 2 ε x y ] = [ 1 E x − ν y x E y − ν z x E z 0 0 0 − ν x y E x 1 E y − ν z y E z 0 0 0 − ν x z E x − ν y z E y 1 E z 0 0 0 0 0 0 1 G y z 0 0 0 0 0 0 1 G z x 0 0 0 0 0 0 1 G x y ] [ σ x x σ y y σ z z σ y z σ z x σ x y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{zx}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\n u_{yx}}{ E_{y}}&-{\frac {\n u _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\n u _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\n u _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\n u _{xz}}{E_{x}}}&-{\frac {\n u _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\\sigma _{yz}\\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}} 어디에
E 는i 축 i 에 따른 영률 입니다.G 는ij 법선이 i방향 인 평면상 에서 j방향의 전단 탄성률 입니다.ν 는 i 방향 으로 확장을 가했을 때 j 방향 으로 수축하는 것에 해당하는 포아송의 비율 입니다.평면 응력 조건에서 σ = σ = σ = 0, 직교성 물질에 대한 후크의 법칙은 다음과 같은 형태를 갖습니다.
[ ε x x ε y y 2 ε x y ] = [ 1 E x − ν y x E y 0 − ν x y E x 1 E y 0 0 0 1 G x y ] [ σ x x σ y y σ x y ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\varepsilon _{y}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\n u_{yx}}{ E_{y}}&\0\-{\frac {\n u _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&0\\0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,.} 그 역의 관계는. [ σ x x σ y y σ x y ] = 1 1 − ν x y ν y x [ E x ν y x E x 0 ν x y E y E y 0 0 0 G x y ( 1 − ν x y ν y x ) ] [ ε x x ε y y 2 ε x y ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{1-\n u_{xy}\n u _{yx}}}{\begin{bmatrix}E_{x}&\n u_{yx}E_{x}&0\\n u_{xy} E_{y}& E_{y}&0\\0&0&G_{xy}(1-\n u_{xy}\n u _{yx})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,.} 상기 강성 매트릭스의 전치된 형태도 종종 사용됩니다.
가로등방성 소재 횡방향 등방성 재료는 대칭축 에 대한 회전에 대해 대칭입니다. 그러한 물질의 경우, 만약 3
[ σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 ] = [ C 11 C 12 C 13 0 0 0 C 12 C 11 C 13 0 0 0 C 13 C 13 C 33 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 11 − C 12 2 ] [ ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\\ C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\ C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {C_{11}-C_{12}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}
더
[ ε x x ε y y ε z z 2 ε y z 2 ε z x 2 ε x y ] = [ 1 E x − ν y x E y − ν z x E z 0 0 0 − ν x y E x 1 E y − ν z y E z 0 0 0 − ν x z E x − ν y z E y 1 E z 0 0 0 0 0 0 1 G y z 0 0 0 0 0 0 1 G x z 0 0 0 0 0 0 1 G x y ] [ σ x x σ y y σ z z σ y z σ z x σ x y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{zx}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\n u_{yx}}{ E_{y}}&-{\frac {\n u _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\n u _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\n u _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\n u _{xz}}{E_{x}}}&-{\frac {\n u _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xz}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\\sigma _{yz}\\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}
보편탄성이방성지수 모든 클래스의 이방성 정도를 파악하기 위해 보편 탄성 이방성 지수 (AU)[16] 입방정 에 적합한 제너 비율 을 대체합니다.
열역학적 기초 탄성 재료의 선형 변형은 단열재 로 근사할 수 있습니다. 이러한 조건과 준정적 과정에서 변형된 물체에 대한 열역학 제1법칙 은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.
δ W = δ U {\displaystyle \delta W=\delta U} 여기 서 δU 는 내부 에너지 의 증가이고 δW는 외부 힘에 의한 작업입니다. 작업은 두 개의 용어로 나눌 수 있습니다. δ W = δ W s + δ W b {\displaystyle \delta W=\delta W_{\mathrm {s}}+\delta W_{\mathrm {b}}} 여기 표면력 의한 일이고 δW는 신체력에 의한 일입니다. δu 변위장 δ W s = ∫ ∂ Ω t ⋅ δ u d S ; δ W b = ∫ Ω b ⋅ δ u d V {\displaystyle \delta W_{\mathrm {s} =\int _{\partial \Omega }\mathbf {t} \cdot \delta \mathbf {u} \,dS\,;\qquad \delta W_{\mathrm {b} =\int _{\Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} \,dV} 여기서 t 견인 벡터, b 신체 코시 응력 과 표면 견인 사이의 관계, t n 정규 ) δ W = δ U = ∫ ∂ Ω ( n ⋅ σ ) ⋅ δ u d S + ∫ Ω b ⋅ δ u d V . {\displaystyle \delta W=\delta U=\int _{\partial \Omega }(\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma })\cdot \mathbf {u} \,dS+\int _{\Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} \,dV\,} 발산정리 를 통해 표면적분 을 부피적분 으로 변환하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. δ U = ∫ Ω ( ∇ ⋅ ( σ ⋅ δ u ) + b ⋅ δ u ) d V . {\displaystyle \delta U=\int_{\Omega}{\big(})\n abla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \delta \mathbf {u} )+\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} {\big )}\,dV\,.} 코시 응력과 항등식의 대칭성을 이용하여 ∇ ⋅ ( a ⋅ b ) = ( ∇ ⋅ a ) ⋅ b + 1 2 ( a T : ∇ b + a : ( ∇ b ) T ) {\displaystyle \n abla \cdot (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}) = (\n abla \cdot \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} +{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}:\n bla \mathbf {b} +\mathbf {a} :(\n abla \mathbf {b})^{\mathsf {T}\right)} 우리는 다음을 가지고 있습니다. δ U = ∫ Ω ( σ : 1 2 ( ∇ δ u + ( ∇ δ u ) T ) + ( ∇ ⋅ σ + b ) ⋅ δ u ) d V . {\displaystyle \delta U=\int_{\Omega }\left ({\bold 기호 {\sigma }:\tfrac {1}{2}\left(\n) bla \delta \mathbf {u} +(\n) bla \delta \mathbf {u})^{\mathsf {T}\right)+\left(\n abla \cdot {\boldsymbol {\sigma}}+\mathbf {b} \right)\cdot \delta \mathbf {u} \right)\,dV\,} 변형률 의 정의와 평형 방정식으로부터 우리는 δ ε = 1 2 ( ∇ δ u + ( ∇ δ u ) T ) ; ∇ ⋅ σ + b = 0 . {\displaystyle \delta {\boldsymbol {\varepsilon}}={\tfrac {1}{2}}\left(\n bla \delta \mathbf {u} +(\n) bla \delta \mathbf {u})^{\mathsf {T}\right)\,;\qquad \n abla \codot {\boldsymbol {\sigma }+\mathbf {b} =\mathbf {0} \,} 그래서 우리는 글을 쓸 수 있습니다. δ U = ∫ Ω σ : δ ε d V {\displaystyle \delta U=\int_{\Omega}{\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon}\,dV} 따라서 내부 에너지 밀도의 변화는 다음과 같습니다. δ U 0 = σ : δ ε . {\displaystyle \delta U_{0}={\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon}}\,} 탄성 재료는 총 내부 에너지가 내부 힘의 위치 에너지 와 동일한 것으로 정의됩니다(탄성 변형 에너지 라고도 함). 따라서 내부 에너지 밀도는 변형률 U δ U 0 = ∂ U 0 ∂ ε : δ ε . {\displaystyle \delta U_{0}={\frac {\partial U_{0}}{\boldsymbol {\varepsilon}}}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon}}\,} 변형률의 변화는 임의적이기 때문에, 탄성 재료의 응력-변형률 관계는 다음과 같이 주어집니다. σ = ∂ U 0 ∂ ε . {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\partial U_{0}}{\boldsymbol {\varepsilon}}\,} 선형 탄성 재료의 경우, 양 선형 σ = c : ε {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}:\boldsymbol {\varepsilon}} 여기서 c 는 강성 텐서 라고도 불리는 재료 상수의 네 번째 순위 텐서입니다. 우리는 선형 탄성 재료에 대하여 왜 c가 네 번째 순위 텐서가 되어야 하는지 알 수 있습니다. ∂ ∂ ε σ ( ε ) = 일정한 = c . {\displaystyle {\frac {\partial }{\boldsymbol {\varepsilon}}}}{\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon}})={\text{constant}}={\mathsf {c}\,} 인덱스 표기법으로 ∂ σ i j ∂ ε k l = 일정한 = c i j k l . {\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial \varepsilon _{kl}}={\text{constant}}=c_{ijkl}\,} 우변 상수는 4개의 지수를 필요로 하며 4번째 순위의 수량입니다. 또한 이 양은 변형 텐서를 응력 텐서로 취하는 선형 변환이기 때문에 텐서여야 함을 알 수 있습니다. 또한 상수가 4순위 텐서에 대한 텐서 변환 규칙을 준수한다는 것을 보여줄 수 있습니다.
참고 항목
메모들 ^ 애너그램은 알파벳 순서로 ceiiinossstuu , Ut tensio, sicvis Petroski, Henry (1996). Invention by Design: How Engineers Get from Thought to Thing 11 . ISBN 978-0674463684 ^ http://civil.lindahall.org/design.shtml, 에서 주례용 애너그램을 찾을 수 있습니다. ^ 봄 의 로버트 훅, 드 포텐시아 레스티튜티바. 샘솟는 몸의 힘을 설명 하다, 런던, 1678^ Young, Hugh D.; Freedman, Roger A.; Ford, A. Lewis (2016). Sears and Zemansky's University Physics: With Modern Physics (14th ed.). Pearson. p. 209. ^ Ushiba, Shota; Masui, Kyoko; Taguchi, Natsuo; Hamano, Tomoki; Kawata, Satoshi; Shoji, Satoru (2015). "Size dependent nanomechanics of coil spring shaped polymer nanowires" . Scientific Reports . 5 : 17152. Bibcode :2015NatSR...517152U . doi :10.1038/srep17152 . PMC 4661696 PMID 26612544 . ^ Belen'kii; Salaev (1988). "Deformation effects in layer crystals" . Uspekhi Fizicheskikh Nauk . 155 (5): 89. doi :10.3367/UFNr.0155.198805c.0089 ^ Mouhat, Félix; Coudert, François-Xavier (5 December 2014). "Necessary and sufficient elastic stability conditions in various crystal systems" . Physical Review B . 90 (22): 224104. arXiv :1410.0065 Bibcode :2014PhRvB..90v4104M . doi :10.1103/PhysRevB.90.224104 . ISSN 1098-0121 . S2CID 54058316 . ^ Vijay Madhav, M.; Manogaran, S. (2009). "A relook at the compliance constants in redundant internal coordinates and some new insights". J. Chem. Phys . 131 (17): 174112–174116. Bibcode :2009JChPh.131q4112V . doi :10.1063/1.3259834 . PMID 19895003 . ^ Ponomareva, Alla; Yurenko, Yevgen; Zhurakivsky, Roman; Van Mourik, Tanja; Hovorun, Dmytro (2012). "Complete conformational space of the potential HIV-1 reverse transcriptase inhibitors d4U and d4C. A quantum chemical study". Phys. Chem. Chem. Phys . 14 (19): 6787–6795. Bibcode :2012PCCP...14.6787P . doi :10.1039/C2CP40290D . PMID 22461011 . ^ Symon, Keith R. (1971). "Chapter 10". Mechanics . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 9780201073928 ^ Simo, J. C.; Hughes, T. J. R. (1998). Computational Inelasticity . Springer. ISBN 9780387975207 ^ Milton, Graeme W. (2002). The Theory of Composites . Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 9780521781251 ^ Slaughter, William S. (2001). The Linearized Theory of Elasticity . Birkhäuser. ISBN 978-0817641177 ^ Boresi, A. P.; Schmidt, R. J.; Sidebottom, O. M. (1993). Advanced Mechanics of Materials (5th ed.). Wiley. ISBN 9780471600091 ^ Tan, S. C. (1994). Stress Concentrations in Laminated Composites . Lancaster, PA: Technomic Publishing Company. ISBN 9781566760775 ^ Ranganathan, S.I.; Ostoja-Starzewski, M. (2008). "Universal Elastic Anisotropy Index". Physical Review Letters . 101 (5): 055504–1–4. Bibcode :2008PhRvL.101e5504R . doi :10.1103/PhysRevLett.101.055504 . PMID 18764407 . S2CID 6668703 . 참고문헌 외부 링크
변환식 균질한 등방성 선형 탄성 재료는 이들 중 임의의 두 개의 모듈리에 의해 고유하게 결정되는 탄성 특성을 갖습니다. 따라서 임의의 두 개가 주어지면 다른 탄성 모듈리는 3D 재료(표의 첫 번째 부분)와 2D 재료(두 번째 부분) 모두에 대해 제공되는 이러한 공식에 따라 계산될 수 있습니다. 3차원 공식 K = {\displaystyle K=\,} E = {\displaystyle E=\,} λ = {\displaystyle \lambda =\,} G = {\displaystyle G=\,} ν = {\displaystyle \n u =\,} M = {\displaystyle M=\,} 메모들 ( K , E ) {\displaystyle (K,\,E)} 3 K ( 3 K − E ) 9 K − E {\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}} 3 K E 9 K − E {\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}} 3 K − E 6 K {\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}} 3 K ( 3 K + E ) 9 K − E {\displaystyle {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}} ( K , λ ) {\displaystyle (K,\,\lambda )} 9 K ( K − λ ) 3 K − λ {\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}} 3 ( K − λ ) 2 {\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda )}{2}} λ 3 K − λ {\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}} 3 K − 2 λ {\displaystyle 3K-2\lambda \,} ( K , G ) {\displaystyle (K,\,G)} 9 K G 3 K + G {\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}} K − 2 G 3 {\displaystyle K-{\tfrac {2G}{3}} 3 K − 2 G 2 ( 3 K + G ) {\displaystyle {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}} K + 4 G 3 {\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}} ( K , ν ) {\displaystyle (K,\,\n) u )} 3 K ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle 3K(1-2\n) u )\,} 3 K ν 1 + ν {\displaystyle {\tfrac {3K\n u}{1+\n u}}} 3 K ( 1 − 2 ν ) 2 ( 1 + ν ) {\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\n u )}{2(1+\n) u )}}} 3 K ( 1 − ν ) 1 + ν {\displaystyle {\tfrac {3K(1-\n) u )}{1+\n u}}} ( K , M ) {\displaystyle (K,\,M)} 9 K ( M − K ) 3 K + M {\displaystyle {\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}} 3 K − M 2 {\displaystyle {\tfrac {3K-M}{2}} 3 ( M − K ) 4 {\displaystyle {\tfrac {3(M-K)}{4}} 3 K − M 3 K + M {\displaystyle {\tfrac {3K-M}{3K+M}}} ( E , λ ) {\displaystyle (E,\,\lambda )} E + 3 λ + R 6 {\displaystyle {\tfrac {E+3\lambda +R}{6}} E − 3 λ + R 4 {\displaystyle {\tfrac {E-3\lambda +R}{4}} 2 λ E + λ + R {\displaystyle {\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}} E − λ + R 2 {\displaystyle {\tfrac {E-\lambda +R}{2}} R = E 2 + 9 λ 2 + 2 E λ {\displaystyle R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}} ( E , G ) {\displaystyle (E,\,G)} E G 3 ( 3 G − E ) {\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}} G ( E − 2 G ) 3 G − E {\displaystyle {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}} E 2 G − 1 {\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}-1} G ( 4 G − E ) 3 G − E {\displaystyle {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}} ( E , ν ) {\displaystyle(E,\,\n) u )} E 3 ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\n u )}}} E ν ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle {\tfrac {E\n u}{(1+\n) u )(1-2\n) u )}}} E 2 ( 1 + ν ) {\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\n) u )}}} E ( 1 − ν ) ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle {\tfrac {E(1-\n) u )}{(1+\n) u )(1-2\n) u )}}} ( E , M ) {\displaystyle (E,\,M)} 3 M − E + S 6 {\displaystyle {\tfrac {3M-E+S}{6}}} M − E + S 4 {\displaystyle {\tfrac {M-E+S}{4 }}} 3 M + E − S 8 {\displaystyle {\tfrac {3M+E-S}{8}}} E − M + S 4 M {\displaystyle {\tfrac {E-M+S}{4M}}} S = ± E 2 + 9 M 2 − 10 E M {\displaystyle S=\pm {\sqrt {E^{2}+9 M^{2}-10EM}} 두 가지 유효한 해결책이 있습니다. 더하기 기호는 displaystyle u \geq }.
빼기 기호는 ν ≤ 0 {\displaystyle u \leq }. ( λ , G ) {\displaystyle(\lambda,\,G)} λ + 2 G 3 {\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}} G ( 3 λ + 2 G ) λ + G {\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}} λ 2 ( λ + G ) {\displaystyle {\tfrac {\lambda}{2(\lambda +G)}}} λ + 2 G {\displaystyle \lambda +2G\,} ( λ , ν ) {\displaystyle(\lambda,\,\n) u )} λ ( 1 + ν ) 3 ν {\displaystyle {\tfrac {\lambda(1+\n) u )}{3\n u}}} λ ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) ν {\displaystyle {\tfrac {\lambda(1+\n) u )(1-2\n) u )}{\n u}}} λ ( 1 − 2 ν ) 2 ν {\displaystyle {\tfrac {\lambda(1-2\n) u )}{2\n u}}} λ ( 1 − ν ) ν {\displaystyle {\tfrac {\lambda(1-\n) u )}{\n u}}} ν = 0 {\displaystyle u = 0\좌측 화살표 \ lambda = 0} ( λ , M ) {\displaystyle(\lambda,\,M)} M + 2 λ 3 {\displaystyle {\tfrac {M+2\lambda }{3}}} ( M − λ ) ( M + 2 λ ) M + λ {\displaystyle {\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}} M − λ 2 {\displaystyle {\tfrac {M-\lambda}{2}} λ M + λ {\displaystyle {\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}} ( G , ν ) {\displaystyle (G,\,\n) u )} 2 G ( 1 + ν ) 3 ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle {\tfrac {2G(1+\n) u )}{3(1-2\n) u )}}} 2 G ( 1 + ν ) {\displaystyle 2G(1+\n) u )\,} 2 G ν 1 − 2 ν {\displaystyle {\tfrac {2G\n u}{1-2\n u}}} 2 G ( 1 − ν ) 1 − 2 ν {\displaystyle {\tfrac {2G(1-\n) u )}{1-2\n u}}} ( G , M ) {\displaystyle (G,\,M)} M − 4 G 3 {\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}} G ( 3 M − 4 G ) M − G {\displaystyle {\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}} M − 2 G {\displaystyle M-2G\,} M − 2 G 2 M − 2 G {\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}} ( ν , M ) {\displaystyle(\n) u,\,M)} M ( 1 + ν ) 3 ( 1 − ν ) {\displaystyle {\tfrac {M(1+\n) u )}{3(1-\n) u )}}} M ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) 1 − ν {\displaystyle {\tfrac {M(1+\n) u )(1-2\n) u )}{1-\n u}}} M ν 1 − ν {\displaystyle {\tfrac {M\n u}{1-\n u}}} M ( 1 − 2 ν ) 2 ( 1 − ν ) {\displaystyle {\tfrac {M(1-2\n) u )}{2(1-\n) u )}}} 2차원 공식 K 2 D = {\displaystyle K_{\mathrm {2D} =\,} E 2 D = {\displaystyle E_{\mathrm {2D} =\,} λ 2 D = {\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} =\,} G 2 D = {\displaystyle G_{\mathrm {2D} =\,} ν 2 D = {\displaystyle \n u _{\mathrm {2D} }=\,} M 2 D = {\displaystyle M_{\mathrm {2D} =\,} 메모들 ( K 2 D , E 2 D ) {\displaystyle(K_{\mathrm {2D}},\,E_{\mathrm {2D})} 2 K 2 D ( 2 K 2 D − E 2 D ) 4 K 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} K 2 D E 2 D 4 K 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} 2 K 2 D − E 2 D 2 K 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}} 4 K 2 D 2 4 K 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} ( K 2 D , λ 2 D ) {\displaystyle(K_{\mathrm {2D}},\lambda_{\mathrm {2D})} 4 K 2 D ( K 2 D − λ 2 D ) 2 K 2 D − λ 2 D {\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}} K 2 D − λ 2 D {\displaystyle K_{\mathrm {2D}}-\lambda _{\mathrm {2D}}} λ 2 D 2 K 2 D − λ 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}} 2 K 2 D − λ 2 D {\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }} ( K 2 D , G 2 D ) {\displaystyle(K_{\mathrm {2D}},\,G_{\mathrm {2D})} 4 K 2 D G 2 D K 2 D + G 2 D {\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}} K 2 D − G 2 D {\displaystyle K_{\mathrm {2D}}-G_{\mathrm {2D}}} K 2 D − G 2 D K 2 D + G 2 D {\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}} K 2 D + G 2 D {\displaystyle K_{\mathrm {2D}}+G_{\mathrm {2D}}} ( K 2 D , ν 2 D ) {\displaystyle(K_{\mathrm {2D}}),\,\n u _{\mathrm {2D} })} 2 K 2 D ( 1 − ν 2 D ) {\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }(1-\n u _{\mathrm {2D} })\,} 2 K 2 D ν 2 D 1 + ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\n u _{\mathrm {2D} }}{1+\n u _{\mathrm {2D} }}}} K 2 D ( 1 − ν 2 D ) 1 + ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\n u _{\mathrm {2D} })}{1+\n u _{\mathrm {2D} }}}} 2 K 2 D 1 + ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\n u _{\mathrm {2D} }}}} ( E 2 D , G 2 D ) {\displaystyle(E_{\mathrm {2D}},\,G_{\mathrm {2D})} E 2 D G 2 D 4 G 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4 G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} 2 G 2 D ( E 2 D − 2 G 2 D ) 4 G 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4 G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} E 2 D 2 G 2 D − 1 {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D}}}} {2 G_{\mathrm {2D} }}}-1} 4 G 2 D 2 4 G 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4 G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} ( E 2 D , ν 2 D ) {\displaystyle(E_{\mathrm {2D}}),\,\n u _{\mathrm {2D} })} E 2 D 2 ( 1 − ν 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\n u _{\mathrm {2D} })}}} E 2 D ν 2 D ( 1 + ν 2 D ) ( 1 − ν 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D}}\n u _{\mathrm {2D} }}{(1+\n u _{\mathrm {2D} })(1-\n u _{\mathrm {2D} })}}} E 2 D 2 ( 1 + ν 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\n u _{\mathrm {2D} })}}} E 2 D ( 1 + ν 2 D ) ( 1 − ν 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\n u _{\mathrm {2D} })(1-\n u _{\mathrm {2D} })}}} ( λ 2 D , G 2 D ) {\displaystyle(\lambda_{\mathrm {2D}},\,G_{\mathrm {2D})} λ 2 D + G 2 D {\displaystyle \lambda_{\mathrm {2D}}+G_{\mathrm {2D}}} 4 G 2 D ( λ 2 D + G 2 D ) λ 2 D + 2 G 2 D {\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}} λ 2 D λ 2 D + 2 G 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}} λ 2 D + 2 G 2 D {\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,} ( λ 2 D , ν 2 D ) {\displaystyle(\lambda_{\mathrm {2D}}),\,\n u _{\mathrm {2D} })} λ 2 D ( 1 + ν 2 D ) 2 ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda_{\mathrm {2D}}(1+\n) u _{\mathrm {2D} })}{2\n u _{\mathrm {2D} }}}} λ 2 D ( 1 + ν 2 D ) ( 1 − ν 2 D ) ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda_{\mathrm {2D}}(1+\n) u _{\mathrm {2D} })(1-\n u _{\mathrm {2D} })}{\n u _{\mathrm {2D} }}}} λ 2 D ( 1 − ν 2 D ) 2 ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda_{\mathrm {2D}}(1-\n) u _{\mathrm {2D} })}{2\n u _{\mathrm {2D} }}}} λ 2 D ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D}}}{\n u _{\mathrm {2D} }}}} ν 2 0 {\displaystyle u_{\mathrm {2D} =0\좌측 화살표 \lambda _{\mathrm {2D} =0} ( G 2 D , ν 2 D ) {\displaystyle(G_{\mathrm {2D}}),\,\n u _{\mathrm {2D} })} G 2 D ( 1 + ν 2 D ) 1 − ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\n u _{\mathrm {2D} })}{1-\n u _{\mathrm {2D} }}}} 2 G 2 D ( 1 + ν 2 D ) {\displaystyle 2G_{\mathrm {2D} }(1+\n u _{\mathrm {2D} })\,} 2 G 2 D ν 2 D 1 − ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\n u _{\mathrm {2D} }}{1-\n u _{\mathrm {2D} }}}} 2 G 2 D 1 − ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\n u _{\mathrm {2D} }}}} ( G 2 D , M 2 D ) {\displaystyle(G_{\mathrm {2D}},\,M_{\mathrm {2D})} M 2 D − G 2 D {\displaystyle M_{\mathrm {2D}}-G_{\mathrm {2D}}} 4 G 2 D ( M 2 D − G 2 D ) M 2 D {\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}} M 2 D − 2 G 2 D {\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,} M 2 D − 2 G 2 D M 2 D {\displaystyle {\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}}
![{\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,;\qquad [{\boldsymbol {\varepsilon }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d84c34fc9efc62922b42a33f888656c62d794b)
![{\displaystyle [{\mathsf {c}}]\,=\,{\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85c8bf05adff9dcaec56f4863dd039fae5986a79)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]=[{\mathsf {C}}][{\boldsymbol {\varepsilon }}]\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{i}=C_{ij}\varepsilon _{j}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f0315b5cfc25f83e499fadf8ce4921e11340f8e)
![{\displaystyle [{\mathsf {s}}]\,=\,{\begin{bmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1131}&2s_{1112}\\s_{2211}&s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2231}&2s_{2212}\\s_{3311}&s_{3322}&s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3331}&2s_{3312}\\2s_{2311}&2s_{2322}&2s_{2333}&4s_{2323}&4s_{2331}&4s_{2312}\\2s_{3111}&2s_{3122}&2s_{3133}&4s_{3123}&4s_{3131}&4s_{3112}\\2s_{1211}&2s_{1222}&2s_{1233}&4s_{1223}&4s_{1231}&4s_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}&S_{15}&S_{16}\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&S_{24}&S_{25}&S_{26}\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&S_{34}&S_{35}&S_{36}\\S_{14}&S_{24}&S_{34}&S_{44}&S_{45}&S_{46}\\S_{15}&S_{25}&S_{35}&S_{45}&S_{55}&S_{56}\\S_{16}&S_{26}&S_{36}&S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34760b2d8ef86f720051aebe5a45a65b312bcab6)
![{\displaystyle [\mathbf {e} _{i}']=[L][\mathbf {e} _{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213d0bb55cc1da894c855871790e09d78635c17b)
