고조파 발진기

고전 역학에서 조화 진동자는 평형 위치에서 변위했을 때 변위 x에 비례하는 복원력 F를 경험하는 시스템입니다.

{\displaystyle {F}}=-k{\vec {x}},

여기서 k는 양의 상수입니다.

F가 시스템에 작용하는 유일한 힘인 경우, 시스템은 단순 고조파 발진기라고 불리며, 평형점에 대한 정현파 진동, 즉 일정한 진폭과 일정한 주파수(진폭에 의존하지 않음)를 겪습니다.

속도에 비례하는 마찰력(감쇠)도 존재하는 경우 고조파 발진기는 감쇠 발진기로 설명됩니다.마찰 계수에 따라 시스템은 다음을 수행할 수 있습니다.

비감쇠된 경우보다 낮은 주파수로 진동하고 진폭이 시간에 따라 감소합니다(감쇠된 발진기).
진동 없이 평형 위치로 감쇠합니다(과감쇠된 오실레이터).

과소 감쇠 발진기와 과다 감쇠 발진기 사이의 경계 해법은 마찰 계수의 특정 값에서 발생하며 임계 감쇠라고 합니다.

외부 시간에 의존하는 힘이 존재할 경우 고조파 발진기를 종동 발진기라고 합니다.

기계적 예로는 진자(변위 각도가 작은), 스프링에 연결된 질량 및 음향 시스템이 있습니다.다른 유사한 시스템으로는 RLC 회로와 같은 전기 고조파 발진기가 있습니다.조화 진동자 모델은 물리학에서 매우 중요한데, 왜냐하면 안정된 평형 상태의 힘을 받는 질량은 작은 진동에 대한 조화 진동자 역할을 하기 때문입니다.고조파 발진기는 자연에서 널리 발생하며 시계나 무선 회로와 같은 많은 인공 장치에 이용됩니다.그것들은 사실상 모든 사인파 진동과 파동의 원천이다.

단순 고조파 발진기

질량 스프링 고조파 발진기

단순 고조파 운동

단순한 고조파 발진기는 구동되거나 감쇠되지 않는 발진기입니다.질량 m은 단일 힘 F를 경험하는 질량 m으로 $구성$ 되며, 이 힘은 점 $x$ = 0의 방향으로 질량을 당기고 질량의 위치 x와 상수 k에만 의존한다.시스템의 힘의 균형(뉴턴의 제2법칙)은 다음과 같습니다.

F=ma=m{\frac {mathrm {d}^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}=m1200dot {x}=-kx

이 미분 방정식을 풀면서, 우리는 운동이 함수에 의해 설명된다는 것을 발견한다.

x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),

어디에

(\displaystyle \obe =\frac {k}{m}})}

운동은 주기적이며 일정한 진폭 A의 사인파 방식으로 반복됩니다.단순 고조파 오실레이터의 동작은 진폭 외에도 $T=2\pi /\omega$ T $T=2\pi /\omega$ $T=2\pi /\omega$ / $T=2\pi /\omega$ { $displaystyle$ T $=2\pi$ /\ $mega$ 단일 발진 시간 또는 단위 시간당 사이클 수인 $f=1/T$ f $f=1/T$ / $f=1/T$ { $displaystyle$ f $=1/T$ 로 특징지어집니다.주어진 시간 t에서의 위치는 사인파의 시작점을 결정하는 위상 δ에 따라 달라집니다.주기와 주파수는 질량 m의 크기와 힘 상수 k에 의해 결정되며, 진폭과 위상은 시작 위치와 속도에 의해 결정된다.

단순한 고조파 발진기의 속도와 가속도는 위치와 동일한 주파수로 진동하지만 위상이 이동됩니다.속도는 0 변위에 대해 최대이며 가속도는 변위와 반대 방향입니다.

위치 x의 단순한 고조파 발진기에 저장되는 위치 에너지는 다음과 같습니다.

U=tfrac {1}{2}}kx^{2}.

감쇠 고조파 발진기

감쇠비 값에 대한 시스템 동작 의존도 »

두 스프링 사이의 다이내믹 카트로 구성된 감쇠 고조파 발진기를 보여주는 비디오 클립입니다.카트 위에 있는 가속도계는 가속도의 크기와 방향을 보여줍니다.

실제 발진기에서는 마찰 또는 감쇠로 인해 시스템의 움직임이 느려집니다.마찰력에 의해 속도는 작용하는 마찰력에 비례하여 감소합니다.단순한 비파형 고조파 발진기에서 질량에 작용하는 유일한 힘은 복원력인 반면, 감쇠된 고조파 발진기에는 항상 운동에 반대되는 방향으로 마찰력이 추가로 존재합니다.많은 진동 시스템에서 마찰력_f F는 물체의 속도 v에 비례하도록 모델링할 수 있습니다. $F f$ = $-diff$ , 여기서 c는 점성 댐핑 계수라고 합니다.

감쇠 고조파 발진기에 대한 힘의 균형(뉴턴의 제2법칙)은 다음과^[1]^[2]^[3] 같습니다.

F=-kx-c{\frac {mathrm {d} x} {\mathrm {d} t} =m frac {mathrm {d} x} {\mathrm {d} t^{2}}

그 형태를 다시 쓸 수 있다.

{\mathrm {d} ^{2} {\mathrm {d} x} + 2 \zeta _{0} {\mathrm {d} x} {\mathrm {d} t} + \mathrm {d} x= 0,

어디에

${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ 0 $=$ m ${\textstyle$ \ $omega _$ {0 $}=sqrt$ { $frac {k}{$ m ${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ }}}}을 "발진기의 비감쇠 각도 주파수"라고 합니다.
${\textstyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}}$ = c ${\textstyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}}$ m k （ \ $textstyle$ \ zeta = $param frac$ { $c}{2 paramrt$ { param}}}}를 ${\textstyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}}$ "비율"이라고 한다.

감쇠 고조파 발진기의 스텝 응답. 곡선은 μ = = μ₁ = δ1₀ - δ의² 세 가지 값에 대해 플롯됩니다.시간은 붕괴 시간 θ = 1/(만₀)의 단위입니다.

감쇠비θ 값은 시스템의 동작을 결정짓습니다.감쇠 고조파 발진기는 다음과 같습니다.

오버앰프( > > 1) :시스템은 진동 없이 정상 상태로 돌아갑니다(급감소).감쇠비θ의 값이 클수록 평형상태로 돌아가는 속도가 느려진다.
심각하게 감쇠(최소값 = 1):시스템은 진동 없이 가능한 한 빨리 정상 상태로 돌아갑니다(초기 속도가 0이 아닌 경우 오버슈트가 발생할 수 있음).이는 종종 문과 같은 시스템의 댐핑에 적합합니다.
언더 덤프( < < 1) :시스템은 진폭이 점차 0으로 감소하면서(암프되지 않은 경우와 약간 다른 주파수로) 진동합니다.언더댐프 고조파 발진기의 각 주파수는 ${\textstyle \omega _{1}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},}$ 1 ${\textstyle \omega _{1}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},}$ ${\textstyle \omega _{1}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},}$ ${\textstyle \omega _{1}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},}$ 1 - ${\textstyle \omega _{1}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},}$ 2 , ${\textstyle \omega _{1}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},}$ {\ $textstyle \opha _{1$ } = \ $opha$ _{0} {\ $caprt {1-\zeta$ ^{ $2}}}$ 로 ${\textstyle \omega _{1}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},}$ 지정되며, 언더댐프 고조파 발진기의 지수적 $\lambda =\omega _{0}\zeta .$ 는 $=$ $\lambda =\omega _{0}\zeta .$ ={\ $da\da$ style $display}$ 로 지정됩니다 $.$

감쇠 발진기의 Q 계수는 다음과 같이 정의됩니다.

Q=2\pi\times {\text{에너지 저장}}{\text{사이클당 에너지 손실}}}.

Q는 Q ${\textstyle Q={\frac {1}{2\zeta }}.}$ ${\textstyle Q={\frac {1}{2\zeta }}.}$ 의 댐핑 비율과 관련이 있습니다 $.$ ({ $textstyle$ Q $=sqfrac {1}{2\zeta$ }). $}$

구동 고조파 발진기

종동 고조파 발진기는 외부적으로 가해지는 힘 F(t)에 의해 한층 더 영향을 받는 감쇠 발진기이다.

뉴턴의 제2법칙은 그 형태를 취한다.

({displaystyle F(t)-kx-c{\frac {mathrm {d} x} {\mathrm {d} t}}=m frac {mathrm {d} x} {\mathrm {d} t^{2}}}}).}

그것은 보통 형태로 다시 쓰여진다.

{\mathrm {d} ^{2} {\mathrm {d} t^{{0} +\mathrm {d} t} {\mathrm {d} {\mathrm {d} t} {\m} x = frac {F(t) {F(t} {m} {m} {m} {m} {m} {m} {m} {m} {m} {m} {m} {m} {m} {m} {m} {m} {m} {m} {m} {m} {

이 방정식은 어떠한 추진력에도 정확하게 풀 수 있으며, 이는 용서받지 못한 방정식을 만족시키는 해법 z(t)를 사용한다.

{\mathrm {d}^{2}z}+2\zeta \mathrm {d}z{0}{\mathrm {d}t}+\mathrm {d}^{2}z=0,

감쇠 정현파 진동으로 표현될 수 있습니다.

z(t)=Ae^{-\zeta \mega _{0}t}\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\mega _{0}t+\varphi \right})}

ζ 1

1의 경우.진폭 A와 위상θ는 초기 조건과 일치하기 위해 필요한 동작을 결정합니다.

스텝 입력

$<$ < $1$ $및$ x( $0$ )= 0인 $단위$ 스텝 입력의 경우:

{F(t)}{m}={begin{cases}\obega_{0}^2}&t\geq 0\\\0&t<0\end{cases}

해결책은

x(t)=1-e^{-\zeta \mega _{0}t}{\frac {sin \leftrt {1-\zeta ^{2}}\obega _{0}t+\varphi \right}}{\sin(\varphi)}},

위상 δ에 의해 주어짐

\displaystyle \cos \varphi =\zeta .}

오실레이터가 변경된 외부 조건에 적응해야 하는 시간은 $τ$ = 1 $/(ω 0)$ 입니다.물리학에서는 적응을 릴렉세이션이라고 하고, θ를 릴렉세이션 타임이라고 합니다.

전기공학에서는 θ의 배수를 안착시간이라고 합니다.즉, 신호가 최종값에서 고정된 이탈시간(일반적으로 10% 이내) 내에 있는지 확인하는 데 필요한 시간입니다.오버슈트라는 용어는 응답 최대값이 최종값을 초과하는 정도를 의미하며 언더슈트는 응답 최대값 이후 시간 동안 응답이 최종값 아래로 떨어지는 정도를 의미합니다.

정현파 구동력

구동 고조파 발진기의 상대 주파수

\omega /\omega _{0}

/

\omega /\omega _{0}

0 {\

displaystyle \obega /\obega

_

{0}}

및

\omega /\omega _{0}

댐핑

\zeta

{\

displaystyle \zeta}

를

\zeta

사용하는 진폭의 정상 상태 변화.이 플롯은 고조파 발진기 스펙트럼 또는 운동 스펙트럼이라고도 합니다.

정현파 구동력의 경우:

{\mathrm {d} ^{2} {\mathrm {d} t^{2} + 2 \zeta _{0} {\mathrm {d} t} + \mathrm {d} t} + \mathrm {2} x = frac {1} {m} {m}F_{0}\sin(\omega t),

F_{0}

서 F 0

({

은

F_{0}

구동 진폭이고

\omega

({

displaystyle \obega})

는

\omega

사인파 구동 메커니즘의 구동 주파수입니다.이러한 유형의 시스템은 내부 기계적 저항 또는 외부 공기 저항을 가진 AC 구동 RLC 회로(저항-인덕터-캐패시터) 및 구동 스프링 시스템에 나타납니다.

일반적인 솔루션은 초기 조건에 따라 달라지는 과도 솔루션과 초기 조건과는 무관하며 구동 $F_{0}$ F $(\$ 구동 주파수 $\omega$ {\ $displaystyle \obega$ 비감쇠 각도 주파수 $\omega _{0}$ 0(\ $displaystyle \obe$ {0})에만 의존하는 정상 상태의 합입니다. $0$ 및 감쇠비 ${\(\display\zeta$ 입니다.

정상 상태 용액은 위상 변화가 유도되는 구동력에 비례합니다 $\varphi$ {\ $displaystyle \varphi$ }:

({displaystyle x(t)=snarfrac {F_{0}}{mZ_{m}\obega }}\sin(\obega t+\varphi)})

어디에

Z_{m}=sqrt {left(2\obega_{0}\zeta\right)^{2}+{\frac {1}{\obega^{2}-\obega^{2}}}}{2}}}

임피던스 또는 선형 응답 함수의 절대값입니다.

\varphi =\arctan \leftfrac {2\obega \obe _{0}\zeta }{\obe ^{2}-\obe _{0}^{2}}\right)+n\pi

는 구동력에 상대적인 진동 위상입니다.위상 값은 보통 -180° ~0 사이로 간주됩니다(즉, arctan 인수의 양의 값과 음의 값 모두에 대해 위상 지연을 나타냅니다).

공진이라고 하는 특정 구동 주파수, 즉 공진 ${\textstyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}}$ θ r $=$ ${\textstyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}}$ 1 - ${\textstyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}}$ 2 {\ $textstyle$ \ $mega$ _ ${$ $r$ }=\ $mega$ _ ${0}}{\textstyle {1-2\zeta$ ^{ $2$ 의 경우, 진폭( $F_{0}$ $F_{0}$ {\ $displaystyle F_{$ 0 $F_{0}$ 의 경우)은 최대값입니다. $\zeta <1/{\sqrt {2}}$ 공명 효과가 발생하는 것은 $\zeta <1/{\sqrt {2}}$ amp $\zeta <1/{\sqrt {2}}$ < $/$ 2 \ $displaystyle \zeta$ < 1 / { \ $sqrt$ {2 $}$ $\zeta <1/{\sqrt {2}}$ , 、 즉, 감쇠가 현저하지 않은 시스템에 대해서만 발생합니다.강하게 감쇠되지 않은 시스템의 경우 진폭 값이 공진 주파수 부근에서 상당히 커질 수 있습니다.

과도 솔루션은 $F_{0}=0$ ( $F_{0}=0$ 0 $=$ $F_{0}=0$ { $displaystyle F_{0}=$ 0 $F_{0}=0$ 감쇠 고조파 오실레이터와 동일하며 이전에 발생한 다른 이벤트에 대한 시스템 응답을 나타냅니다.과도 솔루션은 일반적으로 무시해도 될 정도로 빠르게 소멸됩니다.

파라메트릭 발진기

파라메트릭 발진기는 구동된 고조파 발진기로, 발진기의 파라미터(예: 감쇠력 또는 복원력)를 변화시킴으로써 구동 에너지가 공급됩니다.파라메트릭 진동의 친숙한 예는 놀이터 ^[4]^[5]^[6]그네에서 "펌핑"하는 것입니다.그네를 탄 사람은 그네의 진동에 맞추어 좌우로 흔들거나('펌핑') 교대로 서서 쪼그려 앉음으로써 그네의 관성모멘트를 변화시킴으로써 외부 구동력(밀기)을 가하지 않고 그네의 진동 진폭을 증가시킬 수 있다.다양한 파라미터가 시스템을 구동합니다.가변 가능한 파라미터의 예로는 공진주파수 $\omega$ (\ $displaystyle \obega)$ 와 $\omega$ $(\displaystyle \beta$ 가 있습니다.

파라메트릭 오실레이터는 많은 애플리케이션에서 사용됩니다.다이오드의 캐패시턴스가 주기적으로 변화할 때 고전적인 바락터 파라미터 발진기가 진동합니다.다이오드의 캐패시턴스를 변화시키는 회로를 "펌프" 또는 "드라이버"라고 합니다.마이크로파 전자제품에서 도파관/YAG 기반 파라메트릭 오실레이터는 동일한 방식으로 작동합니다.설계자는 주기적으로 파라미터를 변경하여 진동을 유도합니다.

파라메트릭 발진기는 특히 라디오와 마이크로파 주파수 범위에서 저소음 증폭기로 개발되었습니다.리액턴스(저항이 아님)가 다양하기 때문에 열 노이즈는 최소입니다.또 다른 일반적인 용도는 주파수 변환입니다. 예를 들어 오디오 주파수에서 무선 주파수로의 변환입니다.예를 들어, 광파라미터 오실레이터는 입력 레이저파를 주파수가 낮은 두 개의 출력 파형( $\omega _{s},\omega _{i}$ s $\omega _{s},\omega _{i}$ , ${\$ $\omega _{s},\omega _{i}$ \ $displaystyle$ \ $메가 _{s$ }, \ $메가$ _ ${i})$ 으로 변환합니다.

파라메트릭 공명은 시스템이 파라메트릭으로 들뜨고 공진 주파수 중 하나로 진동할 때 기계 시스템에서 발생합니다.파라미터의 들뜸은 강제와는 다릅니다.시스템 파라미터의 시간변동 수정으로 액션이 표시되기 때문입니다.이 효과는 불안정 현상을 보이기 때문에 일반 공명과 다릅니다.

범용 발진기 방정식

방정식

{\mathrm {d} ^{2}q} {\mathrm {d} + 2 \zeta {\mathrm {d} \mathrm {d} = 0

는 모든 2차 선형 진동 시스템이 ^{[citation needed]}이 형태로 축소될 수 있기 때문에 범용 발진기 방정식으로 알려져 있습니다.이것은 비차원화를 통해 이루어집니다.

강제함수가 f $(t)$ = $cos(t)$ = $cos(tt c)$ = $cos$ (t)) $=$ $cos c$ $(t$ ),)이면 방정식은 다음과 같이 된다.

{\mathrm {d} ^{2}q} {\mathrm {d} + 2 \zeta {\mathrm {d} {\mathrm {d} \cos(\mothrm {d} ) = \cos(\mega \cos(\cos)} }

이 미분 방정식의 해는 "과도적"과 "안정적 상태"의 두 부분으로 구성됩니다.

일시적인 솔루션

상미분 방정식을 푸는 것에 기초한 해법은 임의의 상수₁ c와₂ c에 대한 것이다.

\displaystyle q_{t}(\displaystyle q_{case} e^{-\zeta} e^{\displaystyle {-\zeta ^{2}-1})\left(c_{1} e^{\displaystyle}\displaystyle {case} e^{-}\displaystate} e^{case}\left} e^{t}\dicleft}\disterflight}\t}}}\\e^{-\zeta \seta }(c_{1}+c_{2)}\timeout )=e^{-\timeout }(c_{1}+c_{2)}\critical )&\zeta = 1critical text{(임계 감쇠)}}\\e^{-\zeta \text}\left[c_{1}\cos \leftgeta ^{2}\sin \leftgeta ^{2}\sin \sin \leftgeta ^{2}}\sin \sin \text {1-right}\zeta （ text {amp}\text } } dddddddd ）}}\end {case}}

과도 솔루션은 강제 함수와 독립적입니다.

안정 상태 솔루션

아래의 보조 방정식을 풀고 솔루션의 실제 부분을 구함으로써 "복소 변수 방법"을 적용합니다.

{\mathrm {d} ^{2}q} {\mathrm {d} + 2 \zeta {\mathrm {d} \display } = \cos(\mathrm {d} \cos(\cos) +i\sin(\ope \mathram {d}) = e^{\cape

솔루션이 다음과 같은 형태라고 가정합니다.

(\displaystyle q_{s}(\displaystyle)=Ae^{i(\obmega \display +\varphi)}).}

0차부터 2차까지의 파생상품은 다음과 같습니다.

(\displaystyle q_{s}=Ae^{i(\obega \mathrm {d} q_{s}}}{\mathrm {d} =i\obe Ae^{i(\obe \mathrm {d} +\varphi)} } 、\brac {\mathrmathrmathrm {d} } {s}}

이 양들을 미분방정식에 대입하면

(\displaystyle -\Omega ^{i(\obera +\varphi)}+2\zeta i\ober Ae^{i(\obera +\varphi)}=a\ober ^{i(\obera \barpi)}+a\obera ^{2}A+2\obera+2\zeta+i(\varpa+A)

왼쪽의 지수 항으로 나누면 다음과 같이 됩니다.

\displaystyle -\obega ^{2}A+2\zeta i\obega A+A=e^{-i\varphi }=\cos \varphi -i\sin \varphi .}

실제 부분과 가상의 부분을 같게 하면 두 개의 독립적인 방정식이 생성됩니다.

(\displaystyle A(1-\Omega ^{2}=\cos \varphi,\cos 2\zeta \sin \varphi .}

진폭 부분

이상적인 고조파 발진기의 주파수 응답에 대한 신호도

두 방정식을 제곱하고 합하면

(\displaystyle\왼쪽).정렬됨A^{2}(1-\obega ^{2}^{2}\cos ^{2}\varphi \(2\zeta \obega A)^{2}&=\sin ^{2}\varphi \end{aligned}\right\}\rightarrow A^{2}(1-\obe ^{2})^2+z ^{2}\varphi\ba\ba\bea} } ^{{{2} } } \vari\varp}

그러므로,

A=A(\zeta,\Operatorname {sgn} \leftfrac {-\sin \varphi} {2\zeta \varphi}} {\right} {\frac {1} {(1-\mega ^2}^2}^2}+(2\zeta \seta \obe \opera \obe } } } } } } } } 。

이 결과를 공진에 관한 이론 섹션 및 RLC 회로의 "규모 부분"과 비교합니다.이 진폭 함수는 2차 시스템의 주파수 응답을 분석하고 이해하는 데 특히 중요합니다.

단계 부품

,를 풀려면 두 방정식을 나누면 됩니다.

\tan \varphi =-{\frac {2\zeta \obe ^{2}}=black {2\zeta \obe }{\varphi \equiv \varphi (\zeta,\obe)=\arctan\frac {2\frac

이 위상 함수는 2차 시스템의 주파수 응답을 분석하고 이해하는 데 특히 중요합니다.

풀 솔루션

진폭과 위상 부분을 결합하면 정상 상태 솔루션이 됩니다.

\displaystyle q_{s}(\displaystyle q_{s})(\zeta,\Omega)\cos(\mega \displays +\varphi(\zeta,\obega)=A\cos(\mega \tau +\varphi).}

원래의 범용 발진기 방정식의 해는 과도 및 정상 상태 솔루션의 중첩(합)입니다.

\displaystyle q(\displaystyle)=q_{t}(\display)+q_{s}(\display)}

위의 방정식을 푸는 방법에 대한 자세한 설명은 계수가 일정한 선형 ODE를 참조하십시오.

동등한 시스템

공학의 여러 영역에서 발생하는 고조파 발진기는 수학적 모델이 동일하다는 점에서 동일합니다(위의 범용 발진기 방정식 참조).아래 표는 기계학과 전자공학에서 4개의 고조파 발진기 시스템에서 유사한 양을 보여줍니다.표의 동일한 라인 상에 있는 유사한 파라미터가 수치적으로 동일한 경우, 발진기의 동작(출력 파형, 공진 주파수, 댐핑 계수 등)은 동일합니다.

번역 기계	회전 기계	시리즈 RLC 회로	병렬 RLC 회로
$위치$ x $(디스플레이 스타일$ x $)$	$\theta$ ${\$ { $displaystyle \theta }$	외상으로 하겠습니다. $q$	플럭스 링크 $\displaystyle \varphi }$
속도 $(\displaystyle\frac{mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}})$	각속도 $(\displaystyle\frac{d}\theta}{\mathrm{d}t}})$	현재의 $(\displaystyle\frac{mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}})$	전압 $(\displaystyle\frac{mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}})$
덩어리 $m$	관성 모멘트 $I$	인덕턴스 $L$	캐패시턴스 $C$
모멘텀 $p$	각운동량 $L$	플럭스 링크 $\displaystyle \varphi }$	외상으로 하겠습니다. $q$
스프링 상수 $k$	비틀림 상수 ${\displaystyle\mu}$	엘라스탄스 $1/C$	자기 저항 $1/L$
감쇠 $(\displaystyle c)$	회전 마찰 ${\displaystyle\Gamma}$	저항 $R$	컨덕턴스 $G=1/R$
$F(t)$ F ( $F(t)$ ) { $displaystyle$ F $(t)}$	구동 토크 $\tau (t)$ ( $\tau (t)$ ) { $displaystyle \tau ( t$ ) }	전압 $e$	현재의 $i$
비감쇠 공진 $f_{n}$ $f_{n}$ {\ $style f_{n$
${1}{2\pi}}{\displayrt {\frac {k}{m}}}$	${1}{2\pi}}{\sqrt {\frac {mu }{I}}$	${\displaystyle {1}{2\pi}}{\displayrt {\frac {1}{LC}}}}}:$	${\displaystyle {1}{2\pi}}{\displayrt {\frac {1}{LC}}}}}:$
$(\displaystyle \zeta$
$(\displaystyle\frac {c} {2}} {\frac {1} {km}}}$	$\displaystyle\frac{Gamma}{2}{\sqrt\frac{1}{I\mu }}}}}:$	$(\displaystyle\frac {R}{2}}{sqrt\frac {C}{L}}})$	${\frac {G} {2}} {\sqrt {\frac {L} {C}}$
미분 방정식:
$mµdot {x}+cµdot {x}}+kx=F$	$(displaystyle I {\theta }}+Gamma (dot {\theta }}+\mu \theta =\gamma)$	$\displaystyle L{\dot {q}}+R{\dot {q}}+q/C=e}$	$\displaystyle C{\ddot\varphi}}+G{\dot\varphi}}+\varphi/L=i}$

보수 세력에 대한 적용

단순한 고조파 발진기의 문제는 물리학에서 자주 발생한다. 왜냐하면 작은 움직임의 한계에서 어떤 보존력의 영향 아래 평형상태의 질량이 단순한 고조파 발진기로서 작용하기 때문이다.

보존력은 잠재적 에너지와 관련된 힘이다.고조파 발진기의 전위 에너지 함수는

V(x)=tfrac {1}{2}}kx^{2}.

임의의 퍼텐셜 $V(x)$ 함수 V $x$ )(\ $displaystyle V($ x $V(x)$ 가 주어졌을 때, 에너지 $x=x_{0}$ ( $x=x_{0}$ $=$ $x=x_{0}$ 0 {\ $displaystyle$ x=x_{ $0$ 주위에x(\ $displaystyle$ x $)$ 의 관점에서 $x$ $테일러$ 확장을 수행하여 평형에서 작은 섭동의 거동을 모델링할 수 있다.

{\displaystyle V(x)=V(x_{0})+V'(x_{0})\cdot(x-x_{0})+{\tfrac {1}{2}V'(x_{0})\cdot(x-x_{0})+O(x_{0})^{3}.

V $V(x_{0})$ ( $V(x_{0})$ 0 $V(x_{0})$ ) { $displaystyle V$ (x_{ $0})$ 는 $V(x_{0})$ $V(x_{0})$ 이므로 x $x_{0}$ {\ $displaystyle x_{0}}$ 에서 $x_{0}$ 평가된 첫 번째 도함수는 0이어야 하므로 선형 항이 삭제됩니다.

V(x)=V(x_{0})+{\tfrac {1}{2}V'(x_{0})\cdot(x-x_{0})^2}+O(x_{0})^3}

$상수항$ V $(x 0)$ 는 임의이므로 드롭될 수 있으며, 좌표 변환을 통해 단순 고조파 발진기의 형식을 검색할 수 있습니다.

V(x)\약 {tfrac {1}{2}V'(0)\cdot x^{2}=tfrac {1}{2}kx{2}.

따라서 사라지지 않는 2차 도함수를 갖는 임의의 전위 에너지 $V(x)$ V $)$ { $displaystyle$ V $(x)}$ 가 $V(x)$ 주어졌을 때, 평형점 주변의 작은 섭동에 대한 대략적인 해법을 제공하기 위해 단순한 고조파 발진기에 대한 해법을 사용할 수 있다.

예

단순 진자

단순 진자는 감쇠가 없고 진폭이 작은 조건에서 거의 단순한 고조파 운동을 나타낸다.

댐핑이 없다고 가정할 때 $길이$ l ${displaystyle$ l $l$ 의 단순 진자를 지배하는 미분 방정식은 다음과 같습니다. $g$ 서 g ${displaystyle$ g $}$ 는 $g$ 중력의 국소 가속도입니다.

{\displaystyle\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}+{\frac {g}{l}}\sin \theta = 0.}

진자의 최대 변위가 작을 경우 $\sin \theta \approx \theta$ sin $\sin \theta \approx \theta$ $\sin \theta \approx \theta$ ≈ $\sin \theta \approx \theta$ display display $display$ \ sin \ $theta \ approx$ \ theta $}$ 를 $\sin \theta \approx \theta$ 사용하여 대신 방정식을 고려할 수 있습니다.

{d^{2}\theta }{dt^{2}+{\frac {g}{l}}\theta = 0.

이 미분 방정식의 일반적인 해법은 다음과 같다.

\displaystyle \theta(t)=A\cos \left({\sqrt {g}{l}}t+\varphi\right),}

where

A

and

\varphi

are constants that depend on the initial conditions. Using as initial conditions

\theta (0)=\theta _{0}

and

{\dot {\theta }}(0)=0

, the solution is given by

(\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\cos \leftfret {frac {g}{l}}t\right),}

where

\theta _{0}

is the largest angle attained by the pendulum (that is,

\theta _{0}

is the amplitude of the pendulum). The period, the time for one complete oscillation, is given by the expression

{\displaystyle\pi = 2\pi {rt {frac {l} {g}} = flac {2\pi } {\mega } }

which is a good approximation of the actual period when

\theta _{0}

is small. Notice that in this approximation the period

\tau

is independent of the amplitude

\theta _{0}

. In the above equation,

\omega

represents the angular frequency.

스프링/질량계

평형(A), 압축(B) 및 신장(C) 상태의 스프링-질량계

스프링이 늘어나거나 덩어리에 의해 압축되면 스프링은 복원력을 갖게 됩니다.후크의 법칙은 스프링이 압축되거나 일정한 길이로 늘어날 때 스프링이 가하는 힘의 관계를 나타냅니다.

F(t)=-kx(t),

where F is the force, k is the spring constant, and x is the displacement of the mass with respect to the equilibrium position. The minus sign in the equation indicates that the force exerted by the spring always acts in a direction that is opposite to the displacement (i.e. the force always acts towards the zero position), and so prevents the mass from flying off to infinity.

힘 균형 또는 에너지 방법을 사용하면 이 시스템의 운동이 다음과 같은 미분 방정식으로 제공된다는 것을 쉽게 알 수 있다.

F(t)=-kx(t)=m{\frac {mathrm {d}^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}x(t)=ma,

the latter being Newton's second law of motion.

초기 변위가 A이고 초기 속도가 없는 경우, 이 방정식의 해는 다음과 같습니다.

x(t)=A\cos \left({\sqrt\frac {k}{m}}t\오른쪽).

이상적인 무질량 스프링에서 m $\style$ m은 $m$ $스프링$ 끝의 질량입니다.스프링 자체에 질량이 있는 경우 유효 질량은 m $(\displaystyle$ m $m$ 에 포함되어야 합니다.

Energy variation in the spring–damping system

In terms of energy, all systems have two types of energy: potential energy and kinetic energy. When a spring is stretched or compressed, it stores elastic potential energy, which is then transferred into kinetic energy. The potential energy within a spring is determined by the equation ${\textstyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}.}$

When the spring is stretched or compressed, kinetic energy of the mass gets converted into potential energy of the spring. By conservation of energy, assuming the datum is defined at the equilibrium position, when the spring reaches its maximal potential energy, the kinetic energy of the mass is zero. When the spring is released, it tries to return to equilibrium, and all its potential energy converts to kinetic energy of the mass.

Definition of terms

Symbol	Definition	Dimensions	SI units
$a$	Acceleration of mass	${\mathsf {LT^{-2}}}$	m/s²
$A$	Peak amplitude of oscillation	${\mathsf {L}}$	m
$c$	Viscous damping coefficient	${\mathsf {MT^{-1}}}$	N·s/m
$f$	Frequency	${\mathsf {T^{-1}}}$	Hz
$F$	Drive force	${\mathsf {MLT^{-2}}}$	N
$g$	Acceleration of gravity at the Earth's surface	${\mathsf {LT^{-2}}}$	m/s²
$i$	Imaginary unit, $i^{2}=-1$	—	—
$k$	Spring constant	${\mathsf {MT^{-2}}}$	N/m
$m,M$	Mass	${\mathsf {M}}$	kg
$Q$	Quality factor	—	—
$T$	Period of oscillation	${\mathsf {T}}$	s
$t$	Time	${\mathsf {T}}$	s
$U$	Potential energy stored in oscillator	${\mathsf {ML^{2}T^{-2}}}$	J
$x$	Position of mass	${\mathsf {L}}$	m
$\zeta$	Damping ratio	—	—
$\varphi$	Phase shift	—	rad
$\omega$	Angular frequency	${\mathsf {T^{-1}}}$	rad/s
$\omega _{0}$	Natural resonant angular frequency	${\mathsf {T^{-1}}}$	rad/s

Notes

^ Fowles & Cassiday (1986, p. 86)
^ Kreyszig (1972, p. 65)
^ Tipler (1998, pp. 369, 389)
^ Case, William. "Two ways of driving a child's swing". Archived from the original on 9 December 2011. Retrieved 27 November 2011.
^ Case, W. B. (1996). "The pumping of a swing from the standing position". American Journal of Physics. 64 (3): 215–220. Bibcode:1996AmJPh..64..215C. doi:10.1119/1.18209.
^ Roura, P.; Gonzalez, J.A. (2010). "Towards a more realistic description of swing pumping due to the exchange of angular momentum". European Journal of Physics. 31 (5): 1195–1207. Bibcode:2010EJPh...31.1195R. doi:10.1088/0143-0807/31/5/020. S2CID 122086250.

References

Fowles, Grant R.; Cassiday, George L. (1986), Analytic Mechanics (5th ed.), Fort Worth: Saunders College Publishing, ISBN 0-03-089725-4, LCCN 93085193
Hayek, Sabih I. (15 Apr 2003). "Mechanical Vibration and Damping". Encyclopedia of Applied Physics. WILEY-VCH Verlag GmbH & Co KGaA. doi:10.1002/3527600434.eap231. ISBN 9783527600434.
Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8
Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2003). Physics for Scientists and Engineers. Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
Tipler, Paul (1998). Physics for Scientists and Engineers: Vol. 1 (4th ed.). W. H. Freeman. ISBN 1-57259-492-6.
Wylie, C. R. (1975). Advanced Engineering Mathematics (4th ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-072180-7.

External links

The Harmonic Oscillator from The Feynman Lectures on Physics

[1] Fowles & Cassiday (1986, p. 86)

[2] Kreyszig (1972, p. 65)

[3] Tipler (1998, pp. 369, 389)

[Case-4] Case, William. "Two ways of driving a child's swing". Archived from the original on 9 December 2011. Retrieved 27 November 2011.

[Case96-5] Case, W. B. (1996). "The pumping of a swing from the standing position". American Journal of Physics. 64 (3): 215–220. Bibcode:1996AmJPh..64..215C. doi:10.1119/1.18209.

[Roura-6] Roura, P.; Gonzalez, J.A. (2010). "Towards a more realistic description of swing pumping due to the exchange of angular momentum". European Journal of Physics. 31 (5): 1195–1207. Bibcode:2010EJPh...31.1195R. doi:10.1088/0143-0807/31/5/020. S2CID 122086250.

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