슈뢰딩거 방정식의 이론적 및 실험적 정당성

슈뢰딩거 방정식에 대한 이론적·실험적 정당성은 비상대적 입자의 역학을 설명하는 방정식인 슈뢰딩거 방정식의 발견에 동기를 부여한다.동기는 맥스웰 방정식으로 기술된 역학을 가진 상대론적 입자인 광자를 모든 종류의 입자에 대한 아날로그로 사용한다.

고전 전자파

빛의 성질

빛의 양자 입자는 광자라고 불린다.빛은 파도와 입자와 같은 성질을 가지고 있다.즉 어떤 실험에서는 빛이 광자(입자)로 만들어질 수 있고 다른 실험에서는 빛이 파도처럼 작용할 수 있다는 것이다.고전적인 전자파의 역학은 맥스웰의 방정식, 즉 전자동학에 대한 고전적인 설명에 의해 완전히 설명된다.출처가 없는 상태에서 맥스웰 방정식은 전기장 벡터와 자기장 벡터에 파동 방정식으로 쓸 수 있다.맥스웰의 방정식은 무엇보다도 빛의 파동 같은 성질을 설명한다.사진판 또는 CCD에서 "일반적"(일관적 또는 열적) 빛이 발생하는 경우, 단위 시간당 평균 "히트", "점" 또는 "클릭"의 수는 빛의 전자기장 제곱에 거의 비례한다.형식적인 유추에 의해, 물질 입자의 파동 기능은 절대값 제곱을 취함으로써 확률 밀도를 찾는 데 사용될 수 있다.전자파장과 달리 양자-기계파장 기능은 복잡하다.(전자파장 복합표기법의 경우 편리성을 위해 종종 사용되지만, 사실 그 장은 실재하는 것으로 이해된다.그러나 파장기능은 참으로 복잡하다.)

맥스웰의 방정식은 19세기 후반에 완전히 알려져 있었다.따라서 빛에 대한 동적 방정식은 광자가 발견되기 훨씬 전부터 잘 알려져 있었다.이것은 전자와 같은 다른 입자들에게는 해당되지 않는다.그것은 전자가 입자 같은 성격과 파동 같은 성질을 모두 가지고 있다는 원자와의 빛의 상호작용에서 추측되었다.뉴턴 역학은 거시적인 물체의 입자 같은 행동에 대한 설명으로 전자와 같은 매우 작은 물체를 묘사하는 데 실패했다.유괴적 추론은 전자와 같은 거대한 물체(질량이 있는 입자)의 역학을 얻기 위해 수행되었다.빛의 역학을 기술한 방정식인 전자파 방정식을 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger 방정식)을 발견하기 위한 시제품으로 사용되었는데, 이는 비상대적 거대 입자의 파동적, 입자적 역학을 기술한 방정식이다.

평면 사인파

전자파 방정식

전자파 방정식은 전자파가 매개체를 통해 또는 진공에서 전파되는 것을 설명한다.전기장 E 또는 자기장 B의 관점에서 쓰여진 방정식의 동질적인 형태는 다음과 같은 형태를 취한다.

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} \ -\{1 \over c^{2}}:{2}\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2}}\\\\}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} \ -\{1 \over c^{2}}:}\partial ^{2}\mathbf {B} \over \partial t^{2}}\}\partial t^{}\ = 0}$

여기서 c는 중간의 빛의 속도다.진공상태에서 c = 2.998 × 초당⁸ 10m는 자유공간에서 빛의 속도다.

자기장은 패러데이 법칙(cgs 단위)을 통한 전기장과 관련이 있다.

${\displaystyle \mathrm{\nabla }}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle E\mathbf{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ c ${\displaystyle \partial \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{B}{}}$ t {\$displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {B}{\partial t$

전자파 방정식의 평면파 솔루션

z 방향으로 이동하는 전자파에 대한 평면 사인파 용액은 (cgs 단위 및 SI 단위)

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mid \mathbf {E} \mid \mathrm {Re} \left\{ \zeta \rangle \exp \left[i\left(kz-\omega t\right)\right]\right\}\equiv \mid \mathbf {E} \mid \mathrm {Re} \left\{ \phi \rangle \right\}}$

전기장을 위해서 그리고

${\displaystyle \mathbf {r},t)={\hat {\mathbf {z}}}}}\times \mathbf {E}(\mathbf {r},t)}$

자기장을 위해 k는 wavenumber이고

$\displaystyle \omega _{}^{}}=ck}$

$파형$의 각도 주파수, c ${\displaystyle c}$은 빛의 속도다.벡터의 모자는 x, y, z 방향의 단위 벡터를 나타낸다.복잡한 표기법에서 수량 $\mid {\displaystyle }$ ${\displaystyle E\mathbf{}}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle \mid \mathbf {E} \mid$ \mathbf \mid $}$은 파형의 진폭이다.

여기

${\displaystyle \jeta \angle \equiv {\pmatrix}\zeta _{x}\\nd{pmatrix}}={\nd{pmatrix}}={\pmatrix}}}={\cos \expeta \fteftefteft(i\x}\i)\\sin \theta \exp \left(i\lift _{y}\right)\end{pmatrix}}$

x-y 평면에 있는 존스 벡터야이 벡터의 표기법은 일반적으로 양자 문맥에서 사용되는 디락 브라켓 표기법이다.양자 표기법은 존스 벡터가 양자 상태 벡터로 해석될 것을 예상하여 여기에서 사용된다.각 $\theta {\displaystyle }$, ${\displaystyle \alpha {}_{}}$ ${\displaystyle \text{x}{}_{}}$, ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ y ${\$ 각도는 전기장이 각각 X축과 파동의 두 초기 단계로 만드는 각도다$$.

수량

$\displaystyle \phi \rangle =\exp \left[i\left(kz-\omega t\right)\right] \zeta \rangle }$

파동의 상태 벡터야파동의 양극화와 파동의 공간적·시간적 기능성을 기술한다.평균 광자 수가 1보다 훨씬 적을 정도로 흐릿한 일관성 있는 상태 광선의 경우 이는 대략 단일 광자의 양자 상태와 동일하다.

전자파의 에너지, 운동량 및 각도 운동량

고전 전자파의 에너지 밀도

평면파의 에너지

고전적 전자기장의 단위 부피당 에너지는 (cgs 단위)

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{c}={\frac {1}{8\pi }}\left[\mathbf {E} ^{2}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {B} ^{2}(\mathbf {r} ,t)\right]}$.

평면 파형의 경우 복잡한 표기법(따라서 인자 2로 나눈 값)으로 변환하면

${\displaystyle {\mathcal {E}_{c}={\frac {\mid \mathbf {E} \mid ^2}}{8\pi}}}}}}$

파장의 파장에 걸쳐 에너지의 평균을 낸 곳

각 구성 요소 내 에너지 비율

평면파의 x 성분에서 에너지의 분율(선형 양극화 가정)은

${\displaystyle f_{x}={\frac {\mid \mathbf {E}\mid ^{2}\cos ^{2}\cos ^{{2}\theta }{\mid \mathbf {E}{2}}}=\mid \x}^{x}}\pi _{x}}}}$

y 성분과 유사한 식을 사용하여.

두 성분의 분율은

${\displaystyle {}_{}^{}{\varphi }_{}}$ ${\displaystyle x_{}^{}}$∗ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$ +${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ =${\displaystyle {}_{}⟨}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ϕ ϕ ϕ =$=$ = ${\displaystyle 1}$ {\$displaystyle \phi$ \$phi \{x}^{x$}}\x$}+\pi _{y}^{y}}}}}\langle \phi$ \phi \langle \$phi \rangele \rangele$ =1$\}.$

고전 전자파의 모멘텀 밀도

모멘텀 밀도는 Poynting 벡터에 의해 주어진다.

${\displaystyle \mathcal{P}}$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{4\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}\mathbf{}}$( ${\displaystyle r}$, t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \times }$ B${\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle t\mathbf{}}$) ${\displaystyle {\boldsymbol {\\mathcal {P}}={1$\over 4\$pi c}\mathbf {E}(\mathbf {r},t$)\$time \mathbf {B$

z 방향으로 이동하는 정현상 평면 파형의 경우, 운동량은 z 방향이며 에너지 밀도와 관련이 있다.

${\displaystyle \mathcal{P}}$ ${\displaystyle c}$= ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$

운동량 밀도는 파장에 걸쳐 평균을 냈다.

고전파 전자파의 각운동량 밀도

각운동량 밀도는

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {L}}}=\mathbf {r} \times {\boldsymbol {\mathcal {P}}}={1 \over 4\pi c}\mathbf {r} \times \left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right]}$.

사인파 평면 파형의 경우 각도 운동량은 z 방향으로 되어 있으며 (복잡한 표기법으로 넘어가기)에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}={{\mid \mathbf {E} \mid ^{2}} \over {8\pi \omega }}\left(\mid \langle R \phi \rangle \mid ^{2}-\mid \langle L \phi \rangle \mid ^{2}\right)={1 \over \omega }{\mathcal {E}}_{c}\left(\mid \phi _{R}\mid ^{2}-\mid \phi _{L}\mid ^{2}\right)}$

여기서 다시 파장을 통해 밀도가 평균화된다.여기서 오른쪽과 왼쪽 원형 편극 장치 벡터는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle R\rangle \equiv {1\\\sqrt{2}}:{\begin{pmatrix}1\i\end{pmatrix}}}}}$

그리고

${\displaystyle L}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \equiv }$ 1 ${\displaystyle \begin{array}{c}2\mathrm{}\end{array}\frac{}{}}$( ${\displaystyle \begin{array}{c}1\\ \\ \end{array}}$- i${\displaystyle \begin{array}{}\end{array}}$) ${\$

단일 운영자 및 에너지 절약

예를 들어, 파동은 회절 격자 안의 2차 결정 또는 슬릿을 통과함으로써 변환될 수 있다.시간$$ t에서 시간 t$({\displaystyle t}$+$$)으로 상태 변환을 정의할 수 있다. {\$displaystyle$ (t$+\$tau $)}$

${\displaystyle \varphi }$( ${\displaystyle t}$+ ${\displaystyle \tau }$)${\displaystyle }$⟩${\displaystyle }$= ${\displaystyle U\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ (${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle \varphi }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \phi (t+\tau )\rangle ={\hat {U}(\tau$) $\phi (t)\rangle$ $\}.$

파도의 에너지를 보존하기 위해 우리는 필요로 한다.

${\displaystyle \langle \phi (t+\tau ) \phi (t+\tau )\rangle =\langle \phi (t) {\hat {U}}^{\dagger }(\tau ){\hat {U}}(\tau ) \phi (t)\rangle =\langle \phi (t) \phi (t)\rangle =1}$

여기서 $†{\$는 U의 부선이며, 복잡한$$ 결합은 행렬의 전치된다.

이것은 에너지를 보존하는 변환은 반드시 복종해야 함을 의미한다.

${\displaystyle {\hat {U}^{\daugger}{\hat {U}=I}$

여기서 나는 ID 연산자이고 U는 단일 연산자라고 불린다.국가 변화에서 에너지 절약을 보장하기 위해 단일 물성이 필요하다.

은둔자 연산자와 에너지 절약

▼ ${\displaystyle \tau$ $\}$이($가{\displaystyle }$) 최소 $실량{\displaystyle }$ d t ${\displaystyle dt}$인 경우, 단일 변환은 ID 행렬(최종 상태가 초기 상태에 매우 가깝음)에 매우 가깝고 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\hat {U}\\cH}\tau }관련 I-i{\hat}}$

그리고 에 의해 조정됨.

$U$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}^{}}$^ † ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ I ${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}^{}}$ { ${\displaystyle {\{}^{}}$ { { { { ${$ { { ${\hat {\U}^{\dager }\chat$ {$H}^{\dagger$

나는 편의상 도입된다.이 규약을 통해 에너지 절약은 H가 에르미트 연산자가 되어야 하며 H가 입자의 에너지와 관련이 있다는 것을 보여줄 것이다.

에너지 절약은 필요

${\displaystyle I={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}\approx \left(I+i{\hat {H}}^{\dagger }\tau \right)\left(I-i{\hat {H}}\tau \right)\approx I+i{\hat {H}}^{\dagger }\tau -i{\hat {H$$}}}\tau +{\hat{H}^{\daugger }{\hat$ {$H}\tau ^{2$

${\displaystyle \tau }$이(가) 최소이므로, $\tau {\displaystyle }${\$displaystyle$$\tau$ $}$에 대해서는 ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ 2$${\$displaystyle$$\tau$$$$\}\}\}$을(를) 소홀히 할 수 있으므로$$ 마지막 용어를 생략할 수 있다.또한 H가 그 부선과 동일할 경우:

${\displaystyle \stackrel{}{H}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$= $^{\$

다음에 해당된다(시간 $\tau {\displaystyle }$= d ${\displaystyle t}$ ${\$

${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}^{}}$ ${\displaystyle {^}^{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ =${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\hat {U}^{\daugger }{\hat {U}=I$

그래서, 실제로, 에너지가 보존된다.

그들의 연대에 해당하는 연산자를 에르미트어 또는 자기 성인으로 부른다.

극소수의 양극화 상태 번역은

${\displaystyle \varphi }$( ${\displaystyle t}$+ ${\displaystyle d}$ t${\displaystyle }$) $⟩$ -${\displaystyle \varphi }$ (${\displaystyle }$t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$⟩ =${\displaystyle }$- ${\displaystyle I\stackrel{}{}}$ H ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ d ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \phi (t+dt)\rangele$ -$\phi =-i{\hat {H}dt (t)\rangle$ $\}.$

그러므로 에너지 절약은 극소량의 양극화 상태의 변형이 은둔자 운영자의 행동을 통해 발생하도록 요구한다.이 파생은 고전적이지만, 에르미트 연산자가 에너지를 절약하는 극소수의 변환을 생성하는 개념은 양자역학의 중요한 기초를 이룬다.슈뢰딩거 방정식의 유래는 이 개념에서 직접 나타난다.

고전전기역학의 양자유추

여기까지의 치료는 고전적인 것이었다.그러나 입자의 양자역학적 처리방식은 공식적으로 유사한 선을 따라 전자역학에 대한 맥스웰의 방정식에 따른다.고전적인 "상태 벡터"의 아날로그

$\displaystyle \mid \phi \rangle }$

고전적인 설명에는 광자의 설명에 있는 양자 상태 벡터가 있다.

광자의 에너지, 운동량 및 각도 운동량

에너지

초기 해석은 맥스 플랑크의 실험과 알버트 아인슈타인의 실험에 바탕을 두고 있는데, 그것은 전자기 방사선이 광자로 알려진 불가해한 에너지 패킷으로 구성되어 있다는 것이었다.각 패킷의 에너지는 파동의 각 주파수와 관계가 있다.

$\displaystyle \epsilon =\hbar \omega }$

여기서 $\hslash {\displaystyle }$ ${\displaystyle \hbar }$은(는) 축소된 Planck 상수로 알려진 실험적으로 결정된 수량이다$$.볼륨 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ 박스에 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 광자가$$ 있는 경우 전자기장의 에너지$($영점 에너지 무시)는

$N\hbar \omega }$

그리고 에너지 밀도는

${\displaystyle {N\hbar \omega \over V}}$

광자의 에너지는 많은 수의 광자에 대해 양자 치료와 고전 치료법이 일치해야 한다는 대응 원리를 통해 고전적 영역과 관련될 수 있다.따라서 매우 큰 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 경우 양자 에너지 밀도는 고전적인 에너지 밀도와 동일해야 한다$.$

${\displaystyle \frac{N}{}}$ ${\displaystyle \frac{\hslash }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ V${\displaystyle }$= ${\displaystyle E_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \mid \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{E\mathbf{}{}^{2\mathrm{}}}{}}$ 2 ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\${\n$\hbar \over$ V$}={\mathcal{E}_{c}={\frac {\mid \mathbf{E} \mid \2}}{8\pi$ $\}\}\}\}\}\}.$

그러면 일관성 있는 상태에서 상자 안의 평균 광자 수는 다음과 같다.

${\displaystyle N}$= V ${\displaystyle \frac{8\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\displaystyle \frac{\Omega }{}}$ ${\displaystyle \frac{\omega }{}}$ ${\displaystyle E\mathbf{}}$ ${\displaystyle \mid {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$

모멘텀

또한 대응 원리는 광자의 운동량과 각운동량을 결정한다.탄력을 위해.

${\displaystyle {\mathcal{P}_{c}={N\hbar \omega \over cV}={N\hbar k \over V}}}}$

광자의 모멘텀이

${\displaystyle \hslash }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \hbar k}($또는 동등하게 $h\frac{{\displaystyle }}{}$ $\frac{}{}$ ${\displaystyle$h$\over \lambda }).$

각운동량 및 스핀

각도 운동량도 이와 유사하다.

${\displaystyle {\mathcal{L}={1\over\omega}{\\mathcal{E}_{c}\왼쪽(\mid \psi _{R}\mid \psi _{L}\mid \{L}\mid ^{2}\}\오른쪽)={\hbar \over V}\왼쪽(\mid \psi _{R}\mid ^{2}-\mid \psi _{L}\mid ^{2}\오른쪽)}$

즉 광자의 각운동량은

${\displaystyle l_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$= ${\displaystyle \hslash }$ (${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle r_{}}$ R ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}\mid }$ ${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\$\{$2}\rig$

the quantum interpretation of this expression is that the photon has a probability of ${\displaystyle \mid \psi _{R}\mid ^{2}}$ of having an angular momentum of ${\displaystyle \hbar }$ and a probability of ${\displaystyle \mid \psi _{L}\mid ^{2}}$ of having an angular momentum of ${\$디스플레이 $스타일$ -$\hbar$$}$ 따라서 우리는 정량화되는 광자의 각운동량과 에너지까지 생각할 수 있다.이것은 실제로 실험적으로 검증되었다.광자는 각 모멘텀a가 ±${\displaystyle \hslash }$ ${\displaystyle \pm \hbar }$인 것으로만 관찰되었다$.$

스핀 연산자

광자의 스핀은 각도 운동량 계산에서$$ $\hslash {\displaystyle }$ ${\displaystyle \hbar }$의 계수로 정의된다.광자가 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle R\rangele}$ 상태이면$$ 스핀 1이 있고 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle L\rangele}$ 상태이면$$ -1이 있다.스핀 연산자는 외부 제품으로 정의된다.

^ ≡ ⟨ =( - i ) ${\${\$hat{S}\equiv$ R\angle $\langle$R$\langle$\langle L$={\begin{$pmatrix}0$&i\i\end{pmatrix$

eigenvalues 1과 함께 회전 연산자의 값은 R⟩{R\rangle\displaystyle}및 L){L\rangle\displaystyle}, 각각.

스핀 측정의 광자에 대한 기대 가치 합니다.

⟨ ψ S^ ψ ⟩ =∣ ψ R∣ 2− ∣ ψ L∣ 2{\displaystyle\langle \psi{\hat{S}}}\rangle=\mid \psi _{R}\mid ^{2}-\mid \psi _{L}\mid ^{2}\psi.

연산자 S은 식별할 수 있는 수량, 각운동량에 결부되어 있다.사업자의 그 eigenvalues이 허용된 관측 값을 본다.이 각 운동량을 노렸지만 일반적으로 어떤 관측 가능한 수량의 현실이다 입증되었다.

단일 광자에 대한 확률

예전에는 확률 광자의 행동에 적용될 수 없는 두가지 방법 즉 확률의 광자 덩어리는 있을 것 같은 횟수를 세는 특정 상태에서, 또는 발생 가능성 단일 광자 특정 국가에 있는 가능성을 계산하는 데 쓰일 수도 있는 시스템이 될 수 있다.전 해석 열적 또는 일정 가벼운(양자 광학 보)에 적용할 수 있다.한single-photon 포크 상태에 대한 후자의 해석은 옵션.디랙은double-slit 실험의 맥락에서:이[주 1]설명한다.

양자 역학의 사람들이 발견되기 전 어떤 시간이 빛의 파장과 광자 사이의 연관성이 통계적 성격의야 한다는 것을 깨달았습니다.연기자들이 알지 못 했던 그러나"파동 함수"한 광자. 특정한 곳에 대한 가능성에 대한 정보 아니라 광자의 그 장소에 가장 가능성 있는 많은 것이었다.이러한 구분의 중요성을 다음과 같은 방법으로 만들어질 수 있다.우리는 빛의 빔의 광자 덩어리 큰 번호 같은 강도의 두 요소들에 헤어졌다로 구성된 수 있다고 합시다.가설을 빔의 광자 덩어리에 가장 가능성 있는 번호로 연결되어 있는 길에, 우리는 절반의 총 수를 각 구성 요소에 들어갔어야 했다.만약은 두 구성 기기들 지금 방해하기 위해 만들어진다, 우리는 한 요소의 것으로 다른에 간섭할 수 있는 광자 요구해야 한다.때때로 이 두 광자 하나 다르고 그들은 4광자들을 수행해야 할 것 다른 때라 할 것이다.이 에너지 보존 반박할 것이다.하나의 광자에 확률과 파동 함수가 연결하는 새로운 이론, 그 어려움을 각 광자 부분적으로 각은 두 구성 기기들 들어옴으로써 가져옵니다.각 광잔 다음 그 자체를 방해한다.두개의 다른 광자 간 간섭 전혀 못하고 있다.

— Paul Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Fourth Edition, Chapter 1

확률 진폭

광자가 특정 양극화 상태에 있을 확률은 고전적인 맥스웰 방정식(글라우버-수다르산 P-원포톤 포크 상태의 표현에서)에 의해 계산된 필드에 걸친 확률 분포에 따라 달라진다.제한된 공간의 제한된 영역에서 일관성 있는 상태에서 광자수의 기대값은 현장에서 2차적이다.양자역학에서, 유추에 의해, 단일 입자의 상태나 확률 진폭은 기본적인 확률 정보를 포함한다.일반적으로 확률 진폭을 조합하는 규칙은 확률 구성의 고전적 규칙과 매우 흡사하다. (다음 인용문은 Baym, 1장에서 인용)

1. 두 연속 확률에 대한 확률 진폭은 개별 가능성에 대한 진폭의 산물이다. ...
2. 구별할 수 없는 몇 가지 방법 중 하나로 발생할 수 있는 공정의 진폭은 각각의 개별 방법에 대한 진폭의 합이다. ...
3. 공정이 발생할 총 확률은 1과 2로 계산된 총 진폭의 절대값 제곱이다.

드 브로글리 파도

1923년 루이스 드 브로글리는 모든 입자가 광자와 유사한 파동과 입자성 모두를 가질 수 있는지에 대한 문제를 다루었다.광자는 질량이 없고 빛의 속도로 이동한다는 점에서 많은 다른 입자들과 다르다.구체적으로 드 브로글리는 파동과 그것과 연관된 입자를 모두 가진 입자가 아인슈타인의 두 가지 위대한 1905년의 기여인 특수 상대성 이론과 에너지와 운동량의 정량화와 일치하는지에 대한 질문을 했다.그 대답은 긍정적이었습니다.전자의 파동과 입자성은 슈뢰딩거 방정식이 발견된 지 2년 뒤인 1927년에 실험적으로 관측되었다.

드 브로글리 가설

드 브로글리는 모든 입자가 입자와 파동 둘 다와 연관되어 있다고 추측했다.파동의$$ 각도 주파수 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$ 및 wavenumber $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$은 입자의 에너지 E 및 운동량 p에 의해 관련되었다.

$\displaystyle E=\hbar \omega }$

그리고

${\displaystyle p}$= ${\displaystyle \hslash }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle$ p$=\hbar$ k$\}.$

문제는 모든 관성 기준 프레임의 모든 관찰자가 파동의 단계에 동의할 수 있는지 여부까지 감소한다.만약 그렇다면, 입자에 대한 파동 같은 설명은 특수 상대성 이론과 일치할 수 있다.

휴식 프레임

먼저 입자의 나머지 프레임을 고려한다.이 경우 파동의 주파수와 수명은 다음과 같은 입자 특성의 에너지 및 운동량과 관련이 있다.

${\displaystyle E_{0}=mc^{2}=\hbar \omega_{0}}$

그리고

${\displaystyle p_{0}=0=\hbar k_{0}}$

여기서 m은 입자의 나머지 질량이다.

이것은 무한 파장과 무한 위상 속도의 파장을 설명한다.

${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {\varphi }_{}}$= ${\displaystyle \frac{{\Omega \mathrm{}}_{}}{}}$ 0 k 0 ${\$

파장은 에 비례하여 작성될 수 있다.

${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cos(\omega _{0}^{}t)}$.

그러나 이것은 입자의 나머지 프레임에 있는 시계라고 생각할 수 있는 단순한 조화 발진기의 해결책이기도 하다.우리는 파동이 진동하는 것과 같은 주파수로 똑딱거리는 시계를 상상할 수 있다.파도와 시계의 위상은 동기화할 수 있다.

관찰자 틀

관찰자 틀의 파동 위상은 입자 틀의 파동 위상과 같으며, 또한 두 프레임의 시계와도 같다는 것을 알 수 있다.따라서 특수상대성이론에는 파도와 입자와 같은 그림의 일관성이 있다.

관찰자 시계의 위상

입자에 대해 상대 속도 v로 움직이는 관찰자의 프레임에서 입자 시계는 주파수에서 똑딱거리는 것이 관찰된다.

${\displaystyle \omega_{c}={\omega_{0} \over \c}}}}}$

어디에

${\displaystyle \cHB ={1\over{\sqrt{1-{v^{2} \over c^{2}}:}}}}$

관찰자가 관찰한 입자 시계의 시간 확장을 설명하는 로렌츠 인자.

관찰자 시계의 위상은

${\displaystyle \omega_{c}t={\omega_{0} \over \chba }(\reason t_{0}=\omega _{0}}}})$

여기서 $t{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 입자 프레임에서 측정한 시간이다$$.관찰자 시계와 입자 시계 모두 위상에 대해 일치한다.

관찰자 파동의 위상

관찰자 프레임에 있는 파동의 빈도와 빈도는 다음과 같다.

${\displaystyle E=\gamma m_{o}c^{2}=\hbar \omega =\hbar \hbar \omega_{o}}}$

그리고

${\displaystyle {\vec}=\bec {v}=\bar {k}}={\bar \bar \hbar{k}={o}{\v^{c^{2}}:$

위상속도로

${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {\varphi }_{}}$= ${\displaystyle \Omega \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{k}{}}$= ${\displaystyle E\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{p}{}}$= c ${\displaystyle 2\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\$

관찰자 틀에서 파동의 위상은

${\displaystyle \omega t-kx=\omega t-{\omega \over v_{\phi }}vt=\omega t\left(1-{v^{2} \over c^{2}}\right)={\omega t \over \gamma ^{2}}={1 \over \gamma ^{2}}{\gamma$$m_{o}c^{2} \hbar }(\hbar t_{o}}=\omega _{o}=\c}t}$ $.$

관찰자 프레임의 파동 위상은 입자 프레임의 위상과, 입자 프레임의 시계와, 관찰자 프레임의 시계와 같다.입자의 파동 같은 그림은 특수상대성이성과 일치한다.

사실, 우리는 이러한 관계가 특별한 상대론적 4벡터 표기법을 사용하여 간결하게 쓰여질 수 있다는 것을 이제 알고 있다.

관련 4-벡터:

포 포지션 ${\displaystyle \mathbf {X} =(ct,{\vec{x}})}$

사폭도 ${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma(c,{\vec {u}})}$

사모멘텀 ${\displaystyle \mathbf {P} =\왼쪽({\frac {E}{c},{\vec {p}\오른쪽)}$

사파 벡터 ${\displaystyle \mathbf {K} =\frac {\omega }{c},{\vec {k}\오른쪽)=\좌측({\frac {\bec},{\frac {\omega }{v_{\pi}}}{n\hat {n\오른쪽)}}$

4벡터 사이의 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X}{d\tau }}}$

${\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} =m_{o}\mathbf {U}}}$

${\displaystyle \mathbf{K} =\좌({\frac {m_{}}{\hbar }}\우)\mathbf {U} =\좌({\frac {\omega _{c^{2}}}\우)\mathbf {U}}}}}}}$

파동의 위상은 상대론적 불변성이다.

${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {X} =\omega t-{\vec}\cdot {\x}}=\omega _{o}t_{o}=\omega _{o}\o}\tau }}}$

보어 원자

고전물리학과의 관찰 불일치

드 브로글리 가설은 원자 물리학의 미해결 문제들을 해결하는 데 도움을 주었다.고전물리학은 원자에서 전자의 관찰된 행동을 설명할 수 없었다.구체적으로 가속 전자는 라르모 공식에 따라 전자기 방사선을 방출한다.핵 주위를 도는 전자는 방사선에 에너지를 잃고 결국 핵으로 소용돌이쳐 들어가야 한다.이것은 관찰되지 않는다.원자는 고전적인 Larmor 공식에 의해 예측된 것보다 훨씬 더 긴 시간 계산에서 안정적이다.

또한 흥분된 원자가 이산 주파수로 방사선을 방출한다는 점도 주목됐다.아인슈타인은 이 사실을 빛의 분리된 에너지 패킷을 실제 입자로 해석하기 위해 사용했다.그러나 만약 이러한 실제 입자들이 이산 에너지 패킷의 원자로부터 방출된다면, 방출체인 전자도 이산 에너지 패킷의 에너지를 변화시켜야 하는가?뉴턴 역학에는 이것을 설명하는 것은 아무것도 없다.

드 브로글리 가설은 원자를 공전하는 전자에 대해 유일하게 허용되는 상태는 각 전자와 관련된 입력을 허용하는 상태라는 점에 주목함으로써 이러한 현상을 설명하는 데 도움이 되었다.

발머 시리즈

발머 시리즈는 흥분된 수소 원자로부터 방출될 수 있는 빛의 주파수를 식별한다.

${\displaystyle \hbar \hbar \omega _{n}=R\left({1}{2^{2}}:}-{n1}{n^{2}}\오른쪽)\quad n=3,4,5,...}$

여기서 R은 Rydberg 상수로 알려져 있고 13.6 전자 전압과 같다.

보어 모델의 가정

1913년에 도입된 보어 모델은 발머 시리즈에 이론적 근거를 제공하려는 시도였다.모형의 가정은 다음과 같다.

1. 궤도를 선회하는 전자는 분리된 정량화된 에너지를 가진 원형 궤도로 존재했다.즉, 모든 궤도가 가능한 것은 아니고 특정한 궤도에만 해당된다.
2. 고전 역학의 법칙은 전자가 허용 궤도에서 다른 궤도로 점프를 할 때 적용되지 않는다.
3. 전자가 한 궤도에서 다른 궤도로 점프할 때 에너지 차이는 두 궤도 사이의 에너지 차이와 동일한 에너지를 갖는 빛의 단일 양자(광자라고 함)에 의해 이동(또는 공급)된다.
4. 허용되는 궤도는 궤도 각도 운동량의 정량화(분리) 값, 방정식에 따른 L에 따라 달라진다.
   ${\displaystyle {L}=n\hbar }$
   여기서 n = 1,2,3이고 주 양자수라고 한다.

보어 모델의 의미

원형 궤도에서 원심력은 전자의 매력적인 힘의 균형을 맞춘다.

${\displaystyle {filename^{2} \over r}={{e_{{}}M}^{2} \over r^{2}}}$

여기서 m은 전자의 질량, v는 전자의 속도, r은 궤도의 반지름이며

${\displaystyle {e_{M}={e \over {4\pi \epsilon _{0}}}}$

여기서 e는 전자나 양성자의 전하다.

궤도를 선회하는 전자의 에너지다.

${\displaystyle E={1 \over2}mv^{2}-{{e_{M}^{2} \over r}=-{1 \over2}{{e_{{{{e_}}{{{}}}}}}}}}M}^{2} \over r}}$

원심력 발현에서 오는 거야

보어 모델의 각운동량 가정은 다음을 암시한다.

$L=mvr=n\hbar }$

즉, 원심력 방정식과 결합할 때, 궤도의 반경은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle r}$= ${\displaystyle n\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{{}_{}}^{}}{}}$ M ${\displaystyle \frac{{{}_{}}^{\mathrm{}}}{}}$ ${\$

이것은 에너지 방정식을 통해

${\$$$$M}}^{2}} \over$ r$}=-{1 \over$ 2$}\왼쪽({m{e_{M}^{4} \over \hbar ^{2}}\오른쪽){1 \over$ n$^\{$$2}}}$ .

에너지 수준 간의 차이는 발머 시리즈를 복구한다.

보어 모델에 대한 드 브로글리의 공헌

Bohr 가정은 관찰된 발머 시리즈를 복구한다.그러나 보어 가설에 근거한 가정은 더 이상 일반 이론에 근거하지 않는다.예를 들어, 허용된 궤도는 각운동량에 의존해야 하는 이유는 무엇인가?드 브로글리 가설은 약간의 통찰력을 제공한다.

만약 우리가 전자에 의해 주어진 모멘텀이 있다고 가정한다면

$[\displaystyle p=ft=\hbar k}$

드 브로글리 가설에 의해 가정된 각운동량은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle L=mvr=\hbar kr=\hbar \left({2\pi \over \lambda }\오른쪽)r}$

여기서 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은 전자파의 파장이다.

만약 원자 내에서 입석 전자파만 허용된다면, 파장의 정수들과 동일한 궤도를 가진 궤도만 허용된다.

${\displaystyle \lambda }$= ${\displaystyle \frac{\mathrm{2\pi }}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$r$\overn$ n$\}\}.$

이는 허용된 궤도에 각운동량이 있음을 의미한다.

$L=n\hbar }$

보어의 네 번째 가정이야

가정 1, 2는 즉시 뒤따른다.드 브로글리가 보여준 에너지 절약에 따른 가정 3은 입자의파동 해석과 일치한다.

동적 방정식의 필요성

보어 원자에 적용된 드 브로글리 가설의 문제는 우리가 빈 공간에서 유효한 평면파 솔루션을 강한 매력적 잠재력이 있는 상황으로 강제했다는 것이다.우리는 아직 전자파의 진화에 대한 일반적인 동적 방정식을 발견하지 못했다.슈뢰딩거 방정식은 드 브로글리 가설의 즉각적인 일반화와 광자의 역학이다.

슈뢰딩거 방정식

광자 역학과의 유사성

광자의 역학은 다음과 같다.

${\displaystyle \phi(t+dt)\rangele - \phi(t)\rangele =-i{\hat {H}dt \phi(t)\rangele }$

여기서 H는 맥스웰의 방정식에 의해 결정되는 에르미트 연산자다.운영자의 은둔성은 에너지가 보존되도록 보장한다.

Erwin Schrödinger는 거대한 입자에 대한 역학이 에너지를 절약하는 광자 역학과 같은 형태라고 말했다.

${\displaystyle \psi(t+dt)\rangele - \psi(t)\rangele =-i{\hat {H}dt \psi(t)\rangele }$

여기서 ${\displaystyle \psi }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \psi (t)\rangele }$은 입자의 상태 벡터로서$$, H는 이제 결정되어야 할 미지의 에르미트 연산자가 되었다.

입자 상태 벡터

슈뢰딩거는 광자의 경우와 같은 양극화 상태보다는 벡터의 상태가 입자의 위치에 따라 좌우된다고 가정했다.한 입자가 하나의 공간 차원에 산다면, 그는 그 선을 무한히 길이의 작은 빈($bin)$으로 나누어$$ 각 빈에 상태 벡터의 구성요소를 할당했다$.$

${\displaystyle \psi (t)\rangle \equiv {\begin{pmatrix}\vdots \\\psi _{j-1}(t)\\\psi _{j}(t)\\\psi _{j+1}(t)\\\vdots \end{pmatrix}}}$.

첨자 j는 빈을 식별한다.

행렬 형태 및 전환 진폭

전환 방정식은 다음과 같이 행렬 형태로 작성할 수 있다.

${\displaystyle \psi$$H_{jk}\,dt\,\psi _{k}(t)}$.

은둔자의 조건에는

${\$$H_{kj}^{*}}}}}$.

슈뢰딩거는 작은 시간 단계 dt 동안에만 인접한 빈으로 확률을 누출시킬 수 있다고 가정했다.즉, H의 모든 구성요소는 인접 빈 사이의 전환을 제외하고 0이다.

${\displaystyle H_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$± ${\displaystyle 1_{}^{}}$,${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle H_{j\pm$ 1$,j}^{}{}\neq$ 0$\},$

${\displaystyle H_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$, ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle H_{j,j}^{}{}}\neq$ 0$\}$ .

더욱이 우측으로의 모든 전환이 동일하다는 점에서 공간이 균일하다고 가정한다.

${\$$H_{j,j-1}^{}\equiv H_{R}}$.

왼쪽으로 전환할 때도 마찬가지다.

${\$$H_{j,j+1}^{}\equiv H_{L$ .

전이 방정식은 다음과 같다.

$ψ$$H_{L}\psi _{j+1}(t)-H_{R}\psi _{j}(t)+$$H_{R}\psi _{j-1}(t)-H_{L}\psi _{j}(t)+$$H_{jj}\psi _{j}(t)}$.

오른쪽의 첫 번째 항은 오른쪽에서 빈 j로 확률 진폭의 이동을 나타낸다.두 번째 항은 빈 j에서 오른쪽으로 확률의 누설을 나타낸다.세 번째 항은 왼쪽에서 빈 j로 확률을 유출하는 것을 의미한다.네 번째 항은 빈 j에서 왼쪽으로의 누설을 나타낸다.최종 항은 확률 진폭의 위상 변화를 빈 j 단위로 나타낸다.

확률 진폭을 bin $크기{\displaystyle }$ size${\displaystyle \lambda$}의 두 번째 순서로 확장하고 공간이$$ 등방성이라고 가정하면 $H{\displaystyle {}_{}{R}_{}}$ = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}${\$displaysty H_{R}=H_{L}\equiv H_{0}}}}}$ 전환$$ 방정식이 다음과 같이 감소한다.

$t$$H_{0}{\lambda ^{2}}:{\partial ^{2}\psi _{j}(t) \partial x^{2}}+$$H_{jj}\psi _{j}(t)}$.

슈뢰딩거 방정식 1차원

전환 방정식은 드 브로글리 가설과 일치해야 한다.자유 공간에서 드 브로글리 파형의 확률 진폭은 에 비례한다.

$\displaystyle \exp \왼쪽[i\왼쪽(kx-\omega t\오른쪽)\오른쪽]}$

어디에

${\displaystyle E=\hbar \hbar \omega = {p^{2}이상 \2m}={\hbar ^{2}k^{2}이상 \2m}}}}}}}}}}}}$

비제국주의적인 한도로

자유 공간을 위한 드 브로글리 솔루션은 우리가 필요로 한다면 전환 방정식의 해결책이다.

${\displaystyle H_{0}\lambda ^{2}=-{\hbar \cover 2m}}}$

그리고

${\displaystyle H_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$

전환 방정식의 시간 파생 항은 드 브로글리 파동의 에너지로 식별할 수 있다.공간 파생 용어는 운동에너지로 식별할 수 있다.이는 H ${\displaystyle j_{}}$ ${\$를 포함하는 용어가 잠재적 에너지에 비례함을$$ 시사한다.이것은 슈뢰딩거 방정식을 산출한다.

${\displaystyle i\hbar {\partial \psi(x,t) \over \partial t}=-{\frac {\hbar ^{2}}:{\frac {\2}\psi(x,t){\partial x^{2}}+U(x,t)}$

여기서 U는 고전적인 잠재 에너지와

${\displaystyle \cHB(x,t)\equiv {1\\\sqrt {\sqrt}}\reason _{j}(t)}$

그리고

${\displaystyle 1}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{\mathrm{}}^{}}$ ψ${\displaystyle {}^{}{}_{}^{}{}^{}}$ (${\displaystyle x}$, t ) ${\displaystyle \psi }$( ${\displaystyle x}$, t ) ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$ { ( x , ${\displaystyle t}$) d ${\displaystyle$ 1$=\int _{-\infit }^{\$infit $}^{*(x,t)\dx}$.

슈뢰딩거 방정식 3차원

3차원에서 슈뢰딩거 방정식은

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}:{{2m}\nabla ^{2}\psi }+U\hbar =i\hbar {\partial \over \partial t}\partial t}\psi }}}$

수소원자

수소 원자에 대한 용액은 발머 시리즈에 의해 정확히 주어진 에너지의 입력을 설명한다.이것은 슈뢰딩거 방정식과 물질의 파동 같은 행동에 대한 눈부신 검증이었다.

참고 항목

• 양자역학의 기본개념
• 각도 주파수
• 디라크 방정식
• 경로 적분식
• 광전 효과
• 광자 양극화
• 양자전기역학
• 슈뢰딩거 방정식과 양자역학의 경로적분제형성과의 관계
• 스턴-게라크 실험
• 파동-입자 이중성

메모들

참조

• Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 047130932X.
• Baym, Gordon (1969). Lectures on Quantum Mechanics. W. A. Benjamin. ISBN 978-0805306675.
• Dirac, P. A. M. (1958). The Principles of Quantum Mechanics (Fourth ed.). Oxford. ISBN 0-19-851208-2.