이차원 양-밀스 이론

수학물리학에서 2차원 양-밀스 이론은 양-밀스 이론의 특수한 경우로서, 스페이스타임의 치수가 2로 간주된다.이 특별한 경우는 엄격하게 정의된 Yang-Mills 측정을 허용하는데, 이는 (유클리드) 경로 적분을 연결 모듈로 게이지 변환 집합에 대한 측정으로 해석할 수 있다는 것을 의미한다.이러한 상황은 현재 대책으로서 이론의 엄밀한 구도를 알 수 없는 4차원적인 경우와 대비된다.

특히 관심 있는 주제의 측면에는 큰 N $U(N)$ 가 있는데, 이 한계에서는 구조 그룹을 단일 그룹 U $U(N)$ ( $U(N)$ ) $U(N)$ 로 하고 $U(N)$ 그 다음 하나는 $N$ $N$ 이 무한대로 되도록 $N$ 한다.2차원 양-밀스 이론의 큰-N 한계는 끈 이론과 연관성이 있다.

배경

양-밀스 측정에 대한 관심은 양-밀스 분야의 양자 이론을 형성하기 위한 통계적 기계적 또는 건설적 양자장 이론적 접근법에서 비롯된다.A gauge field is described mathematically by a 1-form $A$ on a principal $G$ -bundle over a manifold $M$ taking values in the Lie algebra $L(G)$ of the Lie group $G$ . We assume that the structure group ${\displaystyle$ 게이지 필드의 물리적 대칭을 설명하는 $G}$ 은(는) Lie 대수 L $L(G)$ ( G $L(G)$ ) $L(G)$ 에 바이인바리어트 메트릭을 가진 콤팩트한 Lie 그룹이며 $L(G)$ 우리는 또한 $다지관$ M $M$ 에 리만 메트릭을 부여했다고 가정한다 $M$ 양-밀스 작용은 다음과 같다.

S_{YM}(A)={\frac {1}{1}2}}\int _{M}\F^{A}\ ^{2}\,d\sigma _{M}}

여기서 $F^{A}$ $F^{A}$ ${\$ 는 연결 $형태$ A $A$ 의 곡률이며 $F^{A}$ $A$ 통합의 표준 제곱은 Lie 대수학 및 베이스 다지관의 메트릭에서 나왔으며, $\sigma _{M}$ $\sigma _{M}$ ${\$ 은 M{\ $displaystyle M$ 의 리만 볼륨 측정값이다 $\sigma _{M}$ .

측정 $\mu _{T}$ $\mu _{T}$ ${\$ 는 다음에 의해 정식으로 주어진다 $\mu _{T}$ .

d\mu _{T}(A)={\frac {1}{Z_{T}}e^{-S_{YM}(A)/T}DA,

T>0

>

T>0

T>0

파라미터를

T>0

사용하고 Z

Z_{T}

{\

을(를) 사용하여 번들의 모든 연결 공간에 대한 정규화된 확률 측도로서 형식

Z_{T}

정규화 상수다.보다 정확히 말하면, 확률 측정은 게이지 변환 아래 연결 궤도의 공간에 더 의미가 있을 가능성이 높다.

양-밀의 2차원 다지관 측정

양-밀스 이론에 대한 2차원의 연구는 적어도 1975년 A. A. 미그달의 연구로 거슬러 올라간다.^[1]미그달의 작품에 나타나는 어떤 공식들은 돌이켜 보면 이론의 구조 그룹에 있는 열 알맹이와 연결되어 있는 것으로 보일 수 있다.열알의 역할은 1970년대 후반 다양한 작품에서 더욱 노골화되었고, 1981년 메노티와 오노프리 작품에 열알 작용이 도입되면서 절정에 이르렀다.^[2]

연속체 이론에서 양-밀 측정 $\mu _{T}$ ${\$ $}$ 는 브루스 드라이버와^[3] 레오나드 그로스, 크리스토퍼 킹, 암바르 센굽타에 $M={\mathbb {R} }^{2}$ M = $M={\mathbb {R} }^{2}$ 2 ${\$ }}가 $M={\mathbb {R} }^{2}$ 엄격하게 $\mu _{T}$ 정의된 경우다.^[4]소형 manifolds은 경우와non-oriented, 또는 경계 없이, 지정된 다발 형태로 적응하였고, 그 Yang–Mills 조치 Sengupta[5][6][7][8]이 2차원 Yang-Mills 조치는 5공간 관계에 의해서 암시를 만족시키기 위해 훈련에 대한 가우스 조치를 사용하여 생성된다 이 접근법에서 건설되었다. 그 topolog표면과 보따리의 쐐기울타리Wilson 루프 변수(공간의 확실한 중요한 변수)는 확률적 미분 방정식과 이들의 예상 값을 명시적으로 계산한 후 열 커널 작용의 결과와 일치하는 것으로 확인되었다.

다나 S. 파인(Dana^[9]^[10]^[11] S. Fine)은 루프 기대값을 계산하는 데 공식적 양-밀(Sang-Mills) 기능 적분을 사용했다.다른 접근법으로는 클라이멕과 콘드랙리^[12], 아슈테카르 등이 있다.^[13]티에리 레비^[14]^[15](Tierry Lévy)는 매우 일반적인 틀에서 2차원 양-밀 측정치를 구성했는데, 루프 예상 값 공식부터 시작하여 측정치를 구성했는데, 이는 전환 확률로 구성되는 브라운 운동 측정치와 다소 유사하다.또한 루프 기대치에서 측정치를 구성하는 것을 목표로 했던 다른 작품들과 달리, 레비의 구조는 루프 관측 가능성의 매우 넓은 계열을 고려할 수 있게 한다.

이산형 양-밀 측정은 양-밀 측정의 격자 게이지 이론 버전에 사용된 용어로서 특히 콤팩트한 표면에 사용된다.이 경우의 격자는 표면의 삼각형이다.주목할 만한 점 facts[16][17]:만약 삼각 그 정책을 정의하는데 이용된다(나는)이 불연속 Yang–Mills 조치는 연속체의 다발의 토폴로지 부호화할 수 있었다.;두개 노면은 공통된 경계선 루프를 따라 sewn 있(ii), 해당 이산 Yang–Mills 조치는 복합 파도에 대한 조치를 산출하기 위해 빙빙 돌다 있다.에이스.

2차원에서의 Wilson 루프 기대값

For a piecewise smooth loop $\gamma$ on the base manifold $M$ and a point $u$ on the fiber in the principal $G$ -bundle $P\to M$ over the base point $o\in M$ of the loop, there is the holonomy $h_{\gamma }(A)$ $h_{\gamma }(A)$ $h_{\gamma }(A)$ ( $h_{\gamma }(A)$ ) $h_{\gamma }(A)$ 번들에 있는 $A$ $연결$ A ${\displaystyle A}.$ For regular loops $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}$ , all based at $o$ and any function $\varphi$ on $G^{n}$ the function ${\displaystyle A\mapsto \varphi {\b$ $igl (}h_{\gamma _{1}}(A),\ldots ,h_{\gamma _{n}}(A){\bigr )}}$ is called a Wilson loop variable, of interest mostly when $\varphi$ is a product of traces of the holonomies in representations of the group $G$ . With $M$ being a two-dimensional Riemannian manifold the loop expectation 값

\int \varphi {\bigl (}h_{\gamma _{1}(A),\ldots, h_{n}(A){n}(A)}\d\mu _{T}(A)

위에 언급한 작품들에서 계산되었다.

$M$ $M$ 이 $M$ (가) 평면인 경우

\int \varphi {\bigl (}h_{\gamma }(A){\bigr )}\,d\mu _{T}(A)=\int_{G}\varphi(x)Q\,dx,

Q_{t}(y)

서

Q_{t}(y)

Q_{t}(y)

( y

Q_{t}(y)

)

Q_{t}(y)

은

Q_{t}(y)

그룹

G

G

의 열 커널이고

G

{\displaystyle a

}은

a

루프

\gamma

{\displaysty \gamma }

로 둘러싸인 영역이며

\gamma

통합은 단위 질량 하르 측도와 관련된다.이 공식은 드라이버와^[3] 그로스 외 에 의해 증명되었다.^[3]가우스 측정의 가우스 측정 구성을 사용하여 평면에 평행 운송의 방정식을 스트라토노비치스토크스틱 미분방식으로 해석하여 평행 운송을 정의한다.

$M$ $M$ 이 $M$ (가) 2-sphere인 경우

\int \varphi {\bigl (}h_{\gamma }(A){\bigr )}\,d\mu _{T}(A)={\frac {1}{Q_{Tc}(e)}}\int _{G}\varphi (x)Q_{Ta}(x)Q_{Tb}(x^{-1})\,dx,

여기서 현재 $b$ $b$ 은 $b$ (는) 루프 " ${\displaystyle \gamma },$ $c$ $c$ 이(가) 구의 전체 영역이다 $c$ .이 공식은 양-밀스 측정의 조건화된 가우스 측도구축을 사용하여 센굽타에^[5] 의해 입증되었으며, 메노티와 오노프리의 열 커널 작용을 사용하여 얻은 것과 결과가 일치한다.^[2]

상위 속 표면의 예로서 $M$ $M$ 이(가) 토러스인 경우 $M$

\int \varphi {\bigl (}h_{\gamma }(A){\bigr )}\,d\mu _{T}(A)={\frac {\int _{G}\varphi (x)Q_{Ta}(x)Q_{Tb}(x^{-1}wzw^{-1}z^{-1})\,dx\,dw\,dz}{\int _{G}Q_{Tc}(wzw^{-1}z^{-1})\,dw\,dz}},

$c$ ${\displaystyle$ $c$ $}$ 이(가) 토러스 전체 영역이고 $c$ , $a$ 에서 ${\$ $displaystyle$ $\properties$ $a$ 을(를 $)$ 감싸는 수축 $\gamma$ 루프.이것은 Sengupta에 의해 증명되었고, 경계 표면과 비종교적 위상이 있는 다발의 경우뿐만 아니라 상위 속들의 상대물도 증명되었다.^[6]^[8]

2차원 양-밀스 이론에는 루프 기대치에 관한 광범위한 물리학 문헌이 있다.^[18]^[19]^[20]^[21]^[22]^[23]^[24]^[25]위의 공식들 중 많은 것들이 1970년대의 물리학 문헌에서 알려졌는데, 그 결과는 처음에 열 낟알보다는 게이지 그룹의 문자에 대한 합계의 관점에서 표현되었고, $\varphi$ 라는 함수는 그룹의 어떤 표현에서 트레이스가 되었다 $\varphi$ .이어 메노티와 오노프리의 작품에서 열 커널을 포함하는 표현들이 '열 커널 작용'의 형태로 명시적으로 나타났다.^[2]열 낟알의 콘볼루션 특성의 역할은 물리학 문헌에서 양-밀스 이론에서 영감을 받은 확률론적 코서페이스 공정을 구성하고, 간접적으로는 마케엔코와 미그달에^[22] 의해서 세르지오 알베리오 외 연구소의 ^[26]^[27]작품에 사용되었다.

Low-T 한계

양-밀스 파티션 함수는 공식적으로

\int e^{-{\frac {1}{T}}S_{YM}(A)}\,DA

2차원 사례에서 우리는 이것을 루프 기대 값에 나타나는 분모(비례)로 볼 수 있다.따라서 예를 들어, torus의 파티션 함수는

\int _{G^{2}}Q_{{TS}(aba^{-1}b^{-1})\,da\,db,

여기서 $S$ $S$ 은 $S$ (는) 토러스 영역이다.현장에서 가장 영향력 있는 두 작품에서^[28]^[29] 에드워드 $T\downarrow 0$ 은 $T\downarrow 0$ $T\downarrow 0$ 0 $T\downarrow 0$ 로서 파티션 $T\downarrow 0$ 함수가 모듈리 공간의 자연적 볼륨 측정에 관하여 평면 연결의 모듈리 공간의 볼륨을 산출한다는 것을 보여주었다.이 부피 측정은 표면이 방향을 잡을 수 있을 때 모듈리 공간의 자연적 공감 구조와 연관되며, 표면이 방향을 잡을 수 없는 경우 특정 복합체의 비틀림이다.비튼의 발견은 여러 연구자들에 의해 다른 방식으로 연구되어 왔다.^[30]^[31]^[32]Let ${\mathcal {M}}_{g}^{0}$ ${\mathcal {M}}_{g}^{0}$ ${\mathcal {M}}_{g}^{0}$ ${\$ 은(는) 사소한 묶음에서 평면 연결의 모듈리 공간을 나타내며 ${\mathcal {M}}_{g}^{0}$ , Lie 대수학에는 Ad-invariant 측정지표가 장착된 $G$ 콤팩트하게 연결된 반단순 리 $그룹$ G{\ $displaystyle G}$ 이다. $g\geq 2$ $g\geq 2$ $g\geq 2$ ${\displaystyle g\geq 2$ 위튼은 이 모듈리 공간의 동시적 볼륨이 다음에서 주어지는 것을 보여주었다^[28].

$\operatorname {vol} _{\overline {\Omega }}{\bigl (}{\mathcal {M}}_{g}^{0}{\bigr )}= Z(G) \operatorname {vol} (G)^{2g-2}\sum _{\alpha }{\frac {1}{(\dim \alpha )^{2g-2}}},$

그 합계가 $G$ $G$ 의 모든 수정 불가능한 표현에 걸쳐 있다 $G$ 이는 센굽타에^[33] 의해 엄격하다는 것이 입증되었다(리사 제프리 및 케펑 류의^[34] 작품도 참조).평면 연결의 모듈리 공간에는 공감적 구조에 관한 큰 문헌이^[35]^[36]^[37]^[38]^[39] 있으며, 보다 일반적으로 모듈리 공간 자체에 관한 문헌이 있는데, 주요 초기 작품은 마이클 아티야와 라울 보트의 작품이다.^[40]

Sengupta는^[33] 양-밀스 측정으로 돌아와서, 측정 자체가 약한 의미에서 $\geq 2$ $2$ 의 속(속 $)$ 의 방향성 표면에 대한 동시성 체적 측정값의 적절한 배수로 수렴된다는 것을 증명했다 $\geq 2$ 티에리 레비와 제임스 R.Norris는 이러한 수렴에 대해 큰 편차 원칙을 확립하여, 비록 이 기능이 측정의 엄격한 공식화에 명시적으로 나타나지 않더라도, 양-밀 측정은 양-밀의 작용 기능을 암호화한다는 것을 보여주었다.

Large-N 한계

The large-N limit of gauge theories refers to the behavior of the theory for gauge groups of the form $U(N)$ , $SU(N)$ , $O(N)$ , $SO(N)$ , and other such families, as $N$ goes to ${\displaystyle \$ $이$ 문제에 관한 큰 물리학 문헌이 있는데 $\uparrow \infty$ 여기에는 제라르두스 't 후프트'의 주요 초기 작품들이 포함되어 있다.이 분석의 핵심 도구는 마케엔코-미그달 방정식이다.

2차원에서 마케엔코-미그달 방정식은 카자코프와 코스토프가 개발한 특수한 형태를 취한다.큰-N 한계에서, 마케엔코-미그달 방정식의 2-D 형태는 복잡한 곡선에 대한 Wilson 루프 기능과 관련된 것으로, 최소 하나의 교차점이 적은 단순한 곡선 쌍에 대한 Wilson 루프 함수 곱에 대한 것이다.구체나 평면의 경우, 마케엔코-미그달 방정식이 임의 곡선에 대한 윌슨 루프 함수 연산을 단순 폐쇄 곡선에 대한 윌슨 루프 함수 연산을 (원칙적으로) 줄일 수 있다고 제안되었다.

차원 2에서는 I. M. Singer에 의해 주요 아이디어의 일부가 제안되었는데,^[42] 그는 이 한계를 마스터 필드(물리학의 일부 영역에서 일반적인 개념)라고 명명했다.쉬^[43] 교수는 무작위 행렬 이론의 아이디어를 이용하여 2차원 양-밀스 루프 기대값의 $큰-N$ $N$ 한계에 $N$ 대해 연구했다.Sengupta는^[44] 평면에서 루프 기대값의 큰 N 한계를 계산하고 자유 확률을 가진 연결에 대해 논평했다.싱어,^[42] 마이클 앤셀레비치, 센굽타의^[45] 제안 중 하나를 확인한 결과 $,$ 양-밀스 그룹의 비행기에 대한 N 측정의 큰 한계는 $U(N)$ $측정$ 의 자유 확률 $이론적$ 상대자에 의해 주어지는 것으로 $U(N)$ 나타났다 $.$ 비행기의 마스터 분야에 대한 광범위한 연구는 티에리 레비에 의해 만들어졌다.^[46]^[47]브루스 K는 몇 가지 주요한 공헌을 했다.운전기사 브라이언 C. C.홀, 토드 켐프,^[48] 프랑크 가브리엘,^[49] 앙투안 달크비스트.^[50]달크비스트와 노리스는^[51] 2차원 구체에 마스터 필드를 구축했다.

2보다 큰 시간 간격 차원에서는 엄격한 수학적 결과의 측면에서 거의 없다.소라브 차터지는 2보다 큰 차원에 대한 N 게이지 이론에서 몇 가지 결과를 증명했다.Chatterjee는^[52] 격자 간격이 0이 되는 경향이 있기 때문에 어떤 N에 대해서도 $U(N)$ U $U(N)$ ( $U(N)$ ) ${\디스플레이 스타일$ U $(N)}$ 격자 $U(N)$ 게이지 이론의 자유 에너지 선도 용어를 위한 명시적인 공식을 확립했다.Let $Z(n,\varepsilon ,g)$ be the partition function of $d$ -dimensional $U(N)$ lattice gauge theory with coupling strength $g$ in the box with lattice spacing $\varepsilon$ and size being n spacings in each d이림Chatterjee는 치수 d=2와 3에서 $\log Z(n,\varepsilon ,g)$ $\log Z(n,\varepsilon ,g)$ $\log Z(n,\varepsilon ,g)$ , $\log Z(n,\varepsilon ,g)$ , $\log Z(n,\varepsilon ,g)$ ) $\log Z(n,\varepsilon ,g)$ 이(가)라는 $\log Z(n,\varepsilon ,g)$ 것을 보여주었다.

n^{d}\좌({\frac {1}{2}}(d-1)N^{2}\log(g^{2}\varepsilon ^{4-d}+(d-1)\log \좌({\frac {\prod _\j=1}^{N-1}j!}}{{(2\pi )^{N/2}}\\오른쪽)++N^{2}K_{d}\오른쪽)

n

n

의 선행 순서까지

n

여기서

K_{d}

{\

는 제한적인 자유 에너지 용어다

K_{d}

.

n\to \infty

4에서도 n

n\to \infty

→

n\to \infty

{\displaystyle n\to \infit },

\varepsilon \to 0

→

\varepsilon \to 0

→ 0

{\displaystyle \varepsilon \to

0

\varepsilon \to 0

g\to 0

→

g\to 0

g\to 0

에

g\to 0

대해 유사한 결과를 얻었다.

참조

^ Migdal, A. A. (1975). "Recursion equations in gauge field theories". Soviet Physics JETP. 42: 413–418.
^ ^a ^b ^c Menotti, P; Onofri, E (1981). "The action of SU(N) lattice gauge theory in terms of the heat kernel on the group manifold". Nuclear Physics B. 190: 288–300.
^ ^a ^b ^c Driver, Bruce K. (1989). "YM₂:Continuum expectations, lattice convergence, and lassos". Communications in Mathematical Physics. 123: 575–616. doi:10.1007/BF01218586.
^ Gross, Leonard; King, Chris; Sengupta, Ambar (1989). "Two dimensional Yang-Mills theory via stochastic differential equations". Annals of Physics. 194 (1): 65–112. doi:10.1016/0003-4916(89)90032-8.
^ ^a ^b Sengupta, Ambar (1992). "The Yang-Mills Measure for S²". Journal of Functional Analysis. 108 (2): 231–273. doi:10.1016/0022-1236(92)90025-E.
^ ^a ^b Sengupta, Ambar N. (1992). "Quantum Gauge Theory on Compact Surfaces". Annals of Physics. 220 (1): 157. doi:10.1016/0003-4916(92)90334-I.
^ Sengupta, Ambar N. (1997). "Yang-Mills on Surfaces with Boundary: Quantum Theory and Symplectic Limit". Communications in Mathematical Physics. 183: 661–704. doi:10.1007/s002200050047.
^ ^a ^b Sengupta, Ambar N. (1997). "Gauge Theory on Compact Surfaces". Memoirs of the American Mathematical Society. 126 (600).
^ Fine, Dana S. (1990). "Quantum Yang-Mills on the two-sphere". Communications in Mathematical Physics. 134: 273–292.
^ Fine, Dana S. (1991). "Quantum Yang-Mills on a Riemann surface". Communications in Mathematical Physics. 140: 321–338.
^ Fine, Dana S. (1996). "Topological sectors and measures on moduli space in quantum Yang-Mills on a Riemann surface". Journal of Mathematical Physics. 3: 1161–1170.
^ Klimek, Slawomir; Kondracki, Witold (1987). "A construction of two-dimensional quantum chromodynamics". Communications in Mathematical Physics. 113 (3): 389–402.
^ Ashtekar, Abhay; Lewandowski, Jerzy; Marolf, Donald; Mourão, José; Thiemann, Thomas (1997). "SU(N) quantum Yang-Mills theory in two dimensions: a complete solution". Journal of Mathematical Physics. 38 (11): 5453?5482.
^ Lévy, Thierry (2003). "Yang-Mills Measure on Compact Surfaces". Memoirs of the American Mathematical Society. 166 (790).
^ Lévy, Thierry (2010). "Two-dimensional Markovian holonomy fields". Astérisque. 329.
^ Lévy, Thierry (2005). "Discrete and continuous Yang-Mills measure for non-trivial bundles over compact surfaces". Probability Theory and Related Fields. 136: 171–202. arXiv:math-ph/0501014.
^ Becker, Claas; Sengupta, Ambar N. (1998). "Sewing Yang-Mills measures and moduli spaces over compact surfaces". Journal of Functional Analysis. 152 (1): 74–99.
^ Gross, David; Taylor IV, Washington. "Two-dimensional QCD is a string theory". Nuclear Physics B. 400: 181–208.
^ Cordes, Stefan; Moore, Gregory; Ramgoolam, Sanjaye (1997). "Large N 2D Yang-Mills theory and topological string theory". Communications in Mathematical Physics. 185 (3): 543–619.
^ Kazakov, K.; Kostov, I. K. (1980). "Nonlinear strings in two-dimensional l $U(\infty )$ gauge theory". Nuclear Physics B. 176 (1): 199–205.
^ Migdal, A. A. (1975). "Recursion equations in gauge field theories". Sov. Phys. JETP. 42 (3): 2413–418.
^ ^a ^b Makeenko, Yuri M.; Migdal, A. A. (1980). "Self-consistent area law in QCD". Physics Letters B. 97 (2): 253–256.
^ Makeenko, Yuri M.; Migdal, A. A. (1981). "Quantum chromodynamics as dynamics of loops". Nuclear Physics B. 188 (2): 269–316.
^ Rusakov, Boris (1995). "Lattice QCD as a theory of interacting surfaces". Physics Letters B. 344 (1–4): 293–300.
^ Rusakov, Boris (1997). "Exactly soluble QCD and confinement of quarks". Nuclear Physics B. 507 (3): 691–706. arXiv:hep-th/9703142.
^ Albeverio, Sergio; Høegh-Krohn, Raphael; Holden, Helge (1988). "Stochastic multiplicative measures, generalized Markov semigroups, and group-valued stochastic processes and fields". Journal of Functional Analysis. 78 (1): 154–184.
^ Albeverio, Sergio; Høegh-Krohn, Raphael; Kolsrud, Torbjörn (1989). "Representation and construction of multiplicative noise". Journal of Functional Analysis. 87 (2): 250–272.
^ ^a ^b Witten, Edward (1991). "On quantum gauge theories in two dimensions". Communications in Mathematical Physics. 141 (1): 153–209.
^ Witten, Edward (1992). "Two-dimensional gauge theories revisited". Journal of Geometry and Physics. 9 (4): 303–368. arXiv:hep-th/9204083. doi:10.1016/0393-0440(92)90034-X.
^ Forman, Robin (1993). "Small volume limits of 2-d Yang-Mills". Communications in Mathematical Physics. 151 (1): 39–52.
^ King, Christopher; Sengupta, Ambar N. (1994). "An explicit description of the symplectic structure of moduli spaces of flat connections". Journal of Mathematical Physics. 10: 5338?5353.
^ King, Christopher; Sengupta, Ambar N. (1994). "The semiclassical limit of the two-dimensional quantum Yang-Mills model". Journal of Mathematical Physics. 10: 5354?5361. arXiv:hep-th/9402135.
^ ^a ^b Sengupta, Ambar N. (2003). "The Volume Measure for Flat Connections as Limit of the Yang-Mills measure". Journal of Geometry and Physics. 47 (4): 398–426.
^ Liu, Kefeng (1996). "Heat kernel and moduli space". Mathematics Research Letters. 3 (6): 743?762.
^ Jeffrey, Lisa; Weitsman, Jonathan; Ramras, Daniel A. (2017). "The prequantum line bundle on the moduli space of flat SU(N) connections on a Riemann surface and the homotopy of the large N limit". Letters in Mathematical Physics. 107 (9): 1581–1589.
^ Jeffrey, Lisa; Weitsman, Jonathan. "Symplectic geometry of the moduli space of flat connections on a Riemann surface: inductive decompositions and vanishing theorems". Canadian Journal of Mathematics. 52 (3): 582–612.
^ Goldman, William M. (1984). "The symplectic nature of fundamental groups of surfaces". Advances in Mathematics. 54 (2): 200–225. doi:10.1016/0001-8708(84)90040-9.
^ Huebschmann, Johannes (1996). "The singularities of Yang-Mills connections for bundles on a surface. II. The stratification". Mathematische Zeitschrift. 221 (1): 83–92.
^ Huebschmann, Johannes (1996). "Poisson geometry of flat connections for SU(2)-bundles on surfaces". Mathematische Zeitschrift. 221 (2): 243–259. arXiv:hep-th/9312113.
^ Atiyah, Michael; Bott, Raoul (1983). "The Yang-Mills equations over Riemann surfaces". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. 308 (1505): 523–615.
^ Lévy, Thierry; Norris, James R. (2006). "Large deviations for the Yang-Mills measure on a compact surface". Communications in Mathematical Physics. 261 (2): 405–450.
^ ^a ^b Singer, Isadore M. (1995). On the master field in two dimensions. Functional analysis on the eve of the 21st century. Vol. 1. pp. 263–281.
^ Xu, Feng (1997). "A random matrix model from two-dimensional Yang-Mills theory". Communications in Mathematical Physics. 190 (2): 287–307.
^ Sengupta, Ambar N. (2008). Traces in two-dimensional QCD: the large-N limit. Traces in number theory, geometry and quantum fields. Vol. 1. pp. 193?212.
^ Anshelevich, Michael; Sengupta, Ambar N. (2012). "Quantum free Yang-Mills on the plane". Journal of Geometry and Physics. 62 (2): 330–343.
^ Lévy, Thierry (2017). "The Master Field on the Plane". Astérisque. 388.
^ Lévy, Thierry; Maida, Mylene (2010). "Central limit theorem for the heat kernel measure on the unitary group". Journal of Functional Analysis. 259 (12): 3163–3204. arXiv:0905.3282.
^ Driver, Bruce; Hall, Brian C.; Kemp, Todd (2017). "Three proofs of the Makeenko-Migdal equation for Yang-Mills theory on the plane". Communications in Mathematical Physics. 351 (2): 741–774.
^ Driver, Bruce; Gabriel, Franck; Hall, Brian C.; Kemp, Todd (2017). "The Makeenko-Migdal equation for Yang-Mills theory on compact surfaces". Communications in Mathematical Physics. 352 (3): 967?978. arXiv:1602.03905.
^ Dahlqvist, Antoine (2016). "Free energies and fluctuations for the unitary Brownian motion". Communications in Mathematical Physics. 348 (2): 395?444.
^ Dahlqvist, Antoine; Norris, James R. (2020). "Yang-Mills measure and the master field on the sphere". Communications in Mathematical Physics. 377 (2): 1163–1226.
^ Chatterjee, Sourav (2016). "The leading term of the Yang-Mills free energy". Journal of Functional Analysis. 271 (10): 2944–3005. arXiv:1602.01222.

[Migdal_1975-1] Migdal, A. A. (1975). "Recursion equations in gauge field theories". Soviet Physics JETP. 42: 413–418.

[Menotti_Onofri_1981-2] Menotti, P; Onofri, E (1981). "The action of SU(N) lattice gauge theory in terms of the heat kernel on the group manifold". Nuclear Physics B. 190: 288–300.

[Driver_1989-3] Driver, Bruce K. (1989). "YM₂:Continuum expectations, lattice convergence, and lassos". Communications in Mathematical Physics. 123: 575–616. doi:10.1007/BF01218586.

[GKS_1989-4] Gross, Leonard; King, Chris; Sengupta, Ambar (1989). "Two dimensional Yang-Mills theory via stochastic differential equations". Annals of Physics. 194 (1): 65–112. doi:10.1016/0003-4916(89)90032-8.

[Seng_S21992-5] Sengupta, Ambar (1992). "The Yang-Mills Measure for S²". Journal of Functional Analysis. 108 (2): 231–273. doi:10.1016/0022-1236(92)90025-E.

[Seng_QGTC1992-6] Sengupta, Ambar N. (1992). "Quantum Gauge Theory on Compact Surfaces". Annals of Physics. 220 (1): 157. doi:10.1016/0003-4916(92)90334-I.

[Seng_YMbound1997-7] Sengupta, Ambar N. (1997). "Yang-Mills on Surfaces with Boundary: Quantum Theory and Symplectic Limit". Communications in Mathematical Physics. 183: 661–704. doi:10.1007/s002200050047.

[Seng_GTCS1997-8] Sengupta, Ambar N. (1997). "Gauge Theory on Compact Surfaces". Memoirs of the American Mathematical Society. 126 (600).

[Fine_1990-9] Fine, Dana S. (1990). "Quantum Yang-Mills on the two-sphere". Communications in Mathematical Physics. 134: 273–292.

[Fine_1991-10] Fine, Dana S. (1991). "Quantum Yang-Mills on a Riemann surface". Communications in Mathematical Physics. 140: 321–338.

[Fine_1996-11] Fine, Dana S. (1996). "Topological sectors and measures on moduli space in quantum Yang-Mills on a Riemann surface". Journal of Mathematical Physics. 3: 1161–1170.

[KlimKon_1987-12] Klimek, Slawomir; Kondracki, Witold (1987). "A construction of two-dimensional quantum chromodynamics". Communications in Mathematical Physics. 113 (3): 389–402.

[Ashtekar_1997-13] Ashtekar, Abhay; Lewandowski, Jerzy; Marolf, Donald; Mourão, José; Thiemann, Thomas (1997). "SU(N) quantum Yang-Mills theory in two dimensions: a complete solution". Journal of Mathematical Physics. 38 (11): 5453?5482.

[Levy_2003-14] Lévy, Thierry (2003). "Yang-Mills Measure on Compact Surfaces". Memoirs of the American Mathematical Society. 166 (790).

[Levy_2010-15] Lévy, Thierry (2010). "Two-dimensional Markovian holonomy fields". Astérisque. 329.

[Levy_2005-16] Lévy, Thierry (2005). "Discrete and continuous Yang-Mills measure for non-trivial bundles over compact surfaces". Probability Theory and Related Fields. 136: 171–202. arXiv:math-ph/0501014.

[BeckSeng_1998-17] Becker, Claas; Sengupta, Ambar N. (1998). "Sewing Yang-Mills measures and moduli spaces over compact surfaces". Journal of Functional Analysis. 152 (1): 74–99.

[Grossetal_1993-18] Gross, David; Taylor IV, Washington. "Two-dimensional QCD is a string theory". Nuclear Physics B. 400: 181–208.

[Cordesetal_1997-19] Cordes, Stefan; Moore, Gregory; Ramgoolam, Sanjaye (1997). "Large N 2D Yang-Mills theory and topological string theory". Communications in Mathematical Physics. 185 (3): 543–619.

[KazakKos_1980-20] Kazakov, K.; Kostov, I. K. (1980). "Nonlinear strings in two-dimensional l $U(\infty )$ gauge theory". Nuclear Physics B. 176 (1): 199–205.

[Mak_1975-21] Migdal, A. A. (1975). "Recursion equations in gauge field theories". Sov. Phys. JETP. 42 (3): 2413–418.

[MakMig_1980-22] Makeenko, Yuri M.; Migdal, A. A. (1980). "Self-consistent area law in QCD". Physics Letters B. 97 (2): 253–256.

[MakMig_1981-23] Makeenko, Yuri M.; Migdal, A. A. (1981). "Quantum chromodynamics as dynamics of loops". Nuclear Physics B. 188 (2): 269–316.

[Rus_1995-24] Rusakov, Boris (1995). "Lattice QCD as a theory of interacting surfaces". Physics Letters B. 344 (1–4): 293–300.

[Rus_1997-25] Rusakov, Boris (1997). "Exactly soluble QCD and confinement of quarks". Nuclear Physics B. 507 (3): 691–706. arXiv:hep-th/9703142.

[Albeverio_1988-26] Albeverio, Sergio; Høegh-Krohn, Raphael; Holden, Helge (1988). "Stochastic multiplicative measures, generalized Markov semigroups, and group-valued stochastic processes and fields". Journal of Functional Analysis. 78 (1): 154–184.

[Albeverio_1989-27] Albeverio, Sergio; Høegh-Krohn, Raphael; Kolsrud, Torbjörn (1989). "Representation and construction of multiplicative noise". Journal of Functional Analysis. 87 (2): 250–272.

[Witten_1991-28] Witten, Edward (1991). "On quantum gauge theories in two dimensions". Communications in Mathematical Physics. 141 (1): 153–209.

[Witten_1992-29] Witten, Edward (1992). "Two-dimensional gauge theories revisited". Journal of Geometry and Physics. 9 (4): 303–368. arXiv:hep-th/9204083. doi:10.1016/0393-0440(92)90034-X.

[Forman_1993-30] Forman, Robin (1993). "Small volume limits of 2-d Yang-Mills". Communications in Mathematical Physics. 151 (1): 39–52.

[KingSeng_1994a-31] King, Christopher; Sengupta, Ambar N. (1994). "An explicit description of the symplectic structure of moduli spaces of flat connections". Journal of Mathematical Physics. 10: 5338?5353.

[KingSeng_1994b-32] King, Christopher; Sengupta, Ambar N. (1994). "The semiclassical limit of the two-dimensional quantum Yang-Mills model". Journal of Mathematical Physics. 10: 5354?5361. arXiv:hep-th/9402135.

[Seng_2003-33] Sengupta, Ambar N. (2003). "The Volume Measure for Flat Connections as Limit of the Yang-Mills measure". Journal of Geometry and Physics. 47 (4): 398–426.

[Liu_1996-34] Liu, Kefeng (1996). "Heat kernel and moduli space". Mathematics Research Letters. 3 (6): 743?762.

[JeffWeitRam_2017-35] Jeffrey, Lisa; Weitsman, Jonathan; Ramras, Daniel A. (2017). "The prequantum line bundle on the moduli space of flat SU(N) connections on a Riemann surface and the homotopy of the large N limit". Letters in Mathematical Physics. 107 (9): 1581–1589.

[JeffWeit_2000-36] Jeffrey, Lisa; Weitsman, Jonathan. "Symplectic geometry of the moduli space of flat connections on a Riemann surface: inductive decompositions and vanishing theorems". Canadian Journal of Mathematics. 52 (3): 582–612.

[Gold_1984-37] Goldman, William M. (1984). "The symplectic nature of fundamental groups of surfaces". Advances in Mathematics. 54 (2): 200–225. doi:10.1016/0001-8708(84)90040-9.

[Hueb_YMsing_1996-38] Huebschmann, Johannes (1996). "The singularities of Yang-Mills connections for bundles on a surface. II. The stratification". Mathematische Zeitschrift. 221 (1): 83–92.

[Hueb_1996-39] Huebschmann, Johannes (1996). "Poisson geometry of flat connections for SU(2)-bundles on surfaces". Mathematische Zeitschrift. 221 (2): 243–259. arXiv:hep-th/9312113.

[AB_1983-40] Atiyah, Michael; Bott, Raoul (1983). "The Yang-Mills equations over Riemann surfaces". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. 308 (1505): 523–615.

[LevyNorris_2006-41] Lévy, Thierry; Norris, James R. (2006). "Large deviations for the Yang-Mills measure on a compact surface". Communications in Mathematical Physics. 261 (2): 405–450.

[Singer_1995-42] Singer, Isadore M. (1995). On the master field in two dimensions. Functional analysis on the eve of the 21st century. Vol. 1. pp. 263–281.

[Xu_1997-43] Xu, Feng (1997). "A random matrix model from two-dimensional Yang-Mills theory". Communications in Mathematical Physics. 190 (2): 287–307.

[Seng_2008-44] Sengupta, Ambar N. (2008). Traces in two-dimensional QCD: the large-N limit. Traces in number theory, geometry and quantum fields. Vol. 1. pp. 193?212.

[AnshSeng_2012-45] Anshelevich, Michael; Sengupta, Ambar N. (2012). "Quantum free Yang-Mills on the plane". Journal of Geometry and Physics. 62 (2): 330–343.

[Levy_2017-46] Lévy, Thierry (2017). "The Master Field on the Plane". Astérisque. 388.

[LM2010-47] Lévy, Thierry; Maida, Mylene (2010). "Central limit theorem for the heat kernel measure on the unitary group". Journal of Functional Analysis. 259 (12): 3163–3204. arXiv:0905.3282.

[DHK_2017-48] Driver, Bruce; Hall, Brian C.; Kemp, Todd (2017). "Three proofs of the Makeenko-Migdal equation for Yang-Mills theory on the plane". Communications in Mathematical Physics. 351 (2): 741–774.

[Gab_2017-49] Driver, Bruce; Gabriel, Franck; Hall, Brian C.; Kemp, Todd (2017). "The Makeenko-Migdal equation for Yang-Mills theory on compact surfaces". Communications in Mathematical Physics. 352 (3): 967?978. arXiv:1602.03905.

[Dahl_2016-50] Dahlqvist, Antoine (2016). "Free energies and fluctuations for the unitary Brownian motion". Communications in Mathematical Physics. 348 (2): 395?444.

[DahlNorr_2020-51] Dahlqvist, Antoine; Norris, James R. (2020). "Yang-Mills measure and the master field on the sphere". Communications in Mathematical Physics. 377 (2): 1163–1226.

[Chatterjee_2016-52] Chatterjee, Sourav (2016). "The leading term of the Yang-Mills free energy". Journal of Functional Analysis. 271 (10): 2944–3005. arXiv:1602.01222.

[1]

[2]

[3]

[4]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[5]

[6]

[8]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

Search

이차원 양-밀스 이론

네임스페이스

더

목차

배경

양-밀의 2차원 다지관 측정

2차원에서의 Wilson 루프 기대값

Low-T 한계

Large-N 한계

참조