로렌츠 그룹의 표현 이론

로렌츠 그룹은 특수 상대성 시간의 대칭의 Lie 그룹이다.이 그룹은 힐버트 공간의 행렬, 선형 변환 또는 단일 운영자의 집합으로 실현될 수 있다. 그것은 다양한 표현을 가지고 있다.^{[nb 1]}이 집단은 양자역학과 함께 특수상대성이란 가장 철저하게 정립된 두 가지 물리적 이론이며,^{[nb 2]} 이 두 이론의 결합은 로렌츠 집단의 무한 차원 단일적 표현에 대한 연구이기 때문에 의미가 크다.이것들은 주류 물리학에서 역사적 중요성과 더불어 더 추측성적인 오늘날 이론과의 연관성을 둘 다 가지고 있다.

개발

로렌츠 그룹의 리 대수학의 유한차원 표현에 대한 완전한 이론은 세미이 구현된 리 알헤브라의 표현 이론의 일반적 프레임워크를 이용하여 추론한다.연결된 구성 ${\displaystyle \text{요소}}$ SO${\displaystyle }$(${\displaystyle 3}$ ;${\displaystyle {}^{}1{}^{}}$) + ${\$$전체$ 로렌츠 그룹 O(3; 1)의 SO$}}(3$; 1)은 Lie$$contaction과 매트릭스 지수(matrix index)를 이용하여 얻는다.유니버설 커버 그룹(및 스핀 그룹, 더블 커버) ${\displaystyle \text{SL}}$(${\displaystyle 2\mathbb{}}$,${\displaystyle }$C$){\displaystyle {\$$text${$SL}(2,\mathb {C})$의 ${\displaystyle \text{SO}(3}$ ;${\displaystyle 1{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$$text${$SO}}(3;1)^{+}$을 얻고, ${\displaystyle \text{SL}}$(${\displaystyle 2\mathbb{},}$ C$){\displaystyle{\text${\text$}$의 표현에서 기능공간에 대한 작용 관점에서 명시적으로 부여한다$$.$SL}(2,\mathb {C}$) 및$$ $s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{l}}$(${\displaystyle 2}$,$){\displaystyle {\mathfrak{sl}(2,\mathb {C}$ $)\}.$시간 역전과 공간 역전의 대표자는 공간 역전과 시간 역전에 주어지며, 완전한 로렌츠 그룹에 대한 유한 차원 이론을 완성한다.(m, n) 표현에 대한 일반적인 특성이 간략히 설명되어 있다.기능 공간에 대한 작용이 고려되며, 구형 고조파 및 리만 P 기능에 대한 작용이 예로 나타난다.${\displaystyle \text{SL}}$(${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle {\text{{$에 대해 복구할 수 없는 단일 표현에 대한 무한 차원 사례가 실현된다.$SL}(2,\mathb {C} )}$ 주계열 및 보완계열.마지막으로 ${\displaystyle \text{SL}}$(${\displaystyle 2\mathbb{}}$,${\displaystyle }$C )${\displaystyle {\$$text${$SL}(2,\mathbb {C} )}$이(가) 주어지며, 리알헤브라에 대해서는 SO(3, 1)의 표현이 분류되어 실현된다.

대표이론의 발달은 역사적으로 에일리 카탄과 헤르만 베일 등에 기인하는 반이행 집단의 보다 일반적인 대표이론의 발달에 따른 것이지만, 로렌츠 집단은 물리학의 중요성 때문에 또한 특별한 관심을 받았다.주목할 만한 기여자는 그들의 Bargmann-Wigner 프로그램을 가진 물리학자 E. P. Wigner와 수학자 Valentine Bargmann인데,^[1] 그 결론 중 하나는 대략, 비균형 로렌츠 그룹의 모든 단일 표현에 대한 분류는 가능한 모든 상대론적 파동 방정식의 분류에 해당한다.^[2]로렌츠 집단의 불가해한 무한차원 표현의 분류는 폴 디라크의 이론물리학 박사과정 학생인 하리쉬-찬드라에 의해 1947년에 제정되었다.^{[nb 3]}$S{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{L}}$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrm {SL}(2,\mathb {C})$에 대한 해당 분류는 같은 해에 Bargmann 및 이스라엘 Gelfand가 Mark Naimark와 함께 독립적으로 발행했다$$.

적용들

유한차원과 무한차원의 많은 표현들이 이론물리학에서 중요하다.표현은 고전적 장 이론의 장 설명, 가장 중요한 것은 전자기장, 상대론적 양자역학의 입자, 양자장 이론의 입자와 양자장 이론의 입자 및 끈 이론과 그 이상의 다양한 물체의 설명에 나타난다.표현 이론은 또한 스핀의 개념에 대한 이론적 근거를 제공한다.그 이론은 충분한 시간적 여유가 있는 작은 지역에서 물리학은 특수 상대성 이론이라는 점에서 일반 상대성 이론에 들어간다.^[3]

유한차원 unreducable non-solitical 표현과 비균형 로렌츠 그룹의 unreducable unimital 표현, Poincare 그룹은 직접적인 물리적 관련성을 갖는 표현이다.^[4][5]

로렌츠 집단의 무한 차원 단일 표현은 상대론적 양자역학과 양자장 이론의 힐버트 공간에 작용하는 푸앵카레 집단의 불가해한 무한 차원 단일 표현들의 제한에 의해 나타난다.그러나 이것들은 또한 수학적인 흥미와 단순한 제약이 아닌 다른 역할에서의 잠재적인 직접적인 물리적 관련성의 것이다.^[6]상대성 이론과 양자역학에 부합하는 투기적 이론(^[7][8]디락 팽창과 하리쉬찬드라 엑스포네르에는 무한대의 상대성이 있다)이 있었지만, 입증된 물리적 적용은 발견되지 않았다.현대의 투기 이론은 잠재적으로 아래에 유사한 성분을 가지고 있다.

고전장 이론

전자기장과 중력장은 자연에 대한 정확한 설명을 제공하는 유일한 고전적인 장이지만, 다른 고전적인 장들도 중요하다.2차 정량화라고 하는 양자장 이론(QFT)에 대한 접근방식에서 출발점은 하나 이상의 고전적인 장으로, 예를 들어 디락 방정식을 푸는 파동함수를 정량화 (2차) 이전의 고전장으로 간주한다.^[9]2차 정량화와 그것과 연관된 라그랑의 형식주의는 QFT의 근본적인 측면은 아니지만,^[10] 지금까지 모든 양자장 이론은 표준 모델을 포함하여 이런 방식으로 접근할 수 있는 경우가 있다.^[11]이 경우 최소 작용 원리를 사용하여 라그랑지아에서 도출한 오일러-라그랑지 방정식에서 이어지는 필드 방정식의 고전적 버전이 있다.이러한 장 방정식은 상대론적으로 불변성이어야 하며, 그 해법(아래 정의에 따라 상대론적 파동 함수로 적격)은 로렌츠 그룹의 어떤 표현에 따라 변모해야 한다.

필드 구성의 공간에 대한 로렌츠 그룹의 작용(필드 구성은 특정 솔루션의 스페이스타임 히스토리, 예를 들어 모든 공간에 있는 전자기장은 하나의 필드 구성)은 정류자 대괄호가 f로 대체되는 것을 제외하고 양자 역학의 힐버트 공간에 대한 작용과 유사하다.ield 이론적 포아송 대괄호.^[9]

상대론적 양자역학

현재 목적을 위해 다음과 같이 정의한다.^[12]상대론적 파형 함수는 임의의 적절한 로렌츠 변환 transformation에 따라 다음과 같이 변환되는 n 함수 ψ의^α 집합이다.

${\displaystyle \psi '^{\lambda }(x)=D{[\lambda ]^{\lamba }}}{\beta }}\psi ^{\beta }\왼쪽(\Lambda ^{-1}x\rig)}}}}}}$

여기서 D[λ]는 아래에 소개될 (m, n) 표현들의 일부 직접 합에 속하는 λ을 나타내는 n차원 행렬이다.

가장 유용한 상대론적 양자역학 원입자 이론(그런 이론이 완전히 일관되는 것은 없다)은 클라인-고든 방정식과^[13] 디락 방정식이다^[14].그들은 상대론적으로, 로런츠 scalars)(0,0)((m, n)그들의 솔루션은 로렌츠들 밑 transform cm이고 bispinors 각각((0,.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{고정이 있다.디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/2컵⊕(1/2,0)).전자기장은 이 정의에 따른 상대론적 파동함수로, (1, 0)⊕ (0, 1) ⊕에 따라 변한다.^[15]

무한 차원 표현을 산란 분석에 사용할 수 있다.^[16]

양자장 이론

양자장 이론에서 상대론적 불변성에 대한 요구는 다른 방법들 중에서도 S-매트릭스는 반드시 푸앵카레 불변성이어야 한다는 점에서 입력된다.^[17]이것은 포크 공간에 작용하는 로렌츠 그룹의 무한 차원 표현이 하나 이상 있다는 것을 암시한다.^{[nb 4]}그러한 표현의 존재를 보장하는 한 가지 방법은 로렌츠 그룹의 발전기 실현을 추론할 수 있는 표준 형식주의를 사용한 시스템의 라그랑지적 설명(중요한 요건을 부과한 상태에서, 참조를 참조)의 존재로부터 로렌츠 그룹의 발전기 실현을 추론할 수 있다.^[18]

필드 연산자의 변환은 로렌츠 집단의 유한차원 표현과 푸앵카레 집단의 무한차원 단일적 표현에 의해 수행되는 보완적 역할을 예시하며, 수학과 물리학의 깊은 통합을 목격한다.^[19]그림에서 n-구성 요소 필드 연산자의 정의를 고려하십시오.^[20] 상대론적 필드 연산자는 스페이스타임에 n 연산자 가치 함수의 집합으로, 적절한^[21][22] 푸앵카레 변환(Poincaré transformation, a)에 따라 변환된다.

${\displaystyle \PSI ^{\alpha }(x)\to \PSI '^{\alpha }(x)=U[\Lambda ,a]\Psi ^{\alpha }(x)U^{-1}\왼쪽[\Lambda ,a\right]=D{\\왼쪽[\람바 ^{-1}\오른쪽]^{\알파 }}}{\알파 }}{\베타 }\PSI ^{\베타 }}(\람바 x+a)}}$

여기서 U[U], a]는 hil이 정의된 힐버트 공간에 대해 ( λ, a)를 나타내는 단일 연산자이며, D는 로렌츠 그룹의 n차원 표현이다.변환 규칙은 양자장 이론의 두 번째 와이트만 공리다.

현장 운영자가 확실한 질량 m과 스핀 s(또는 나선성)를 가진 단일 입자를 설명하기 위해 따라야 하는 미분 제약 조건을 고려하여 다음과^{[23][nb 5]} 같이 추론한다.

${\displaystyle \Psi ^{\alpha }(x)=\sum _{\sigma }\int dp\left(a(\mathbf {p} ,\sigma )u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x}+a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{-ip\cdot x}\right),}$

(X1)

여기서 a는^† 각각 생성 및 소멸 연산자로 해석된다.생성 연산자는 다음과^[23][24] 같이 변환한다^†.

${\displaystyle a^{\bma }(\mathbf {p},\mathbf },\mathma \right)=U[\Lambda ]a^{\dager }(\mathbf {p},\sigma )U\left[\Lambda^{-1}\오른쪽]=a^{\dager }(\Lambda \p},\rho )D^{{\lambda ,\mathbf {p}{-1}^{-1}\rho }}}}}}{{{rho_{\sigma}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고 유사하게 전멸 연산자.만들어질 요점은 자기장 운영자가 로렌츠 그룹의 유한차원 비군사적 표현에 따라 변환하는 반면, 창조 운영자는 입자의 질량과 회전(m, s)으로 특징지어지는 푸앵카레 집단의 무한 차원 단일적 표현에 따라 변환하는 것이다.둘 사이의 연결은 계수함수라고도 하는 파동함수다.

${\displaybf u^{\ip\cdot x}(\mathbf {p},\mathbf {cdot x},\mathbf {p},\ma )e^{-ip\cdot x}}$

로렌츠 변환에 의해 작동되는 지수(x, α)와 푸앵카레 변환에 의해 작동되는 지수(p, α)를 모두 포함한다.이것을 로렌츠-라고 부를 수도 있다.푸앵카레 연결.^[25]연결을 표시하기 위해 방정식의 양면(X1)을 로렌츠 변환에 적용하여 예를 들어 u,

${\displaystyle {D[\Lambda ]^{\alpha }}_{\alpha '}u^{\alpha '}(\mathbf {p} ,\lambda )={D^{(s)}[R(\Lambda ,\mathbf {p} )]^{\lambda '}}_{\lambda }u^{\alpha }\left(\Lambda \mathbf {p} ,\lambda '\right),}$

여기서 D는 λ의 비위생적인 로렌츠 그룹 대표자, D는^(s) λ과 p와 관련된 소위 위그너 회전 R의 단일 대표자이며, p는 푸앵카레 그룹의 대표성에서 유래한 것이며, s는 입자의 스핀이다.

모든 위의 공식은 연산자의 창조와 소멸 연산자의 측면에서 정의뿐만 아니라 미분 방정식은 필드 운영자에 의해 입자에 지정된 질량, 스핀과고 또한 파동 함수가 그 transform,[nb 6]도록 되어 있는(m, n)표현, 수 있는 것에 만족을 포함. de양자역학과 특수상대성이론의 프레임워크가 주어지면 그룹 이론적 고려사항에서만 회복되었다.^{[nb 7]}

추측이론

스페이스타임이 D = 4차원 이상을 가질 수 있는 이론에서, 적절한 차원의 일반화된 로렌츠 그룹 O(D - 1, 1)가 O(3; 1)를 대신한다.^{[nb 8]}

로렌츠 불변성의 요건은 아마도 끈 이론에서 그것의 가장 극적인 효과를 가져온다.고전적 상대론적 문자열은 남부-고토 액션을 이용하여 라그랑주 틀에서 다룰 수 있다.^[26]이것은 어떤 스페이스타임 차원에서도 상대론적으로 불변 이론을 낳는다.^[27]그러나 밝혀진 바와 같이, 오픈과 클로즈드 보소닉 문자열의 이론(가장 단순한 문자열 이론)은 스페이스타임의 차원이 26이 아니면 로렌츠 그룹이 상태(힐버트 공간)의 공간에 표현되는 방식으로 정량화가 불가능하다.^[28]슈퍼스트링 이론에 상응하는 결과는 다시 로렌츠 불변성을 요구하는 추론이지만, 지금은 초대칭과 함께 추론된다.이러한 이론에서 푸앵카레 대수는 푸앵카레 대수를 확장하는 Z-graded₂ Lie 대수로 대체된다.그러한 대수학의 구조는 로렌츠 불변성의 요구에 의해 크게 고정되어 있다.특히 페르미온 연산자(1등급)는 (일반) 로렌츠 리 대수학의 (0, 1/2) 또는 (1/2, 0) 대표 공간에 속한다.^[29]그러한 이론에서 가능한 유일한 공간적 차원은 10이다.^[30]

표현 현현

일반적으로 집단의 대표론, 특히 거짓말 집단의 대표론은 매우 풍부한 주제다.로렌츠 그룹은 그것을 "동의할 수 있다"고 만드는 몇 가지 속성과 그것을 표현 이론의 맥락 안에서 "매우 동의할 수 없다"고 만드는 다른 속성이 있다; 그 그룹은 단순하고 따라서 반이행적이지만 연결되지 않으며, 그 요소들 중 어떤 것도 간단히 연결되지 않는다.더구나 로렌츠 그룹은 콤팩트하지 않다.^[31]

유한차원 표현의 경우, 반편성의 존재는 로렌츠 그룹이 잘 발달된 이론을 사용하여 다른 반편성 그룹과 동일한 방식으로 다루어질 수 있다는 것을 의미한다.게다가 모든 표현은 리 대수학이 완전한 환원성 특성을 가지고 있기 때문에, 환원 불가능한 것으로부터 만들어진다.^{[nb 9][32]}그러나 로렌츠 그룹의 비 컴팩트성은 단순한 연결성의 결여와 결합하여 단순하게 연결된 컴팩트한 그룹에 적용되는 단순한 프레임워크에서처럼 모든 측면에서 다룰 수는 없다.비구체성은 연결된 단순한 Lie 그룹의 경우 비독점적 유한차원적 표현은 존재하지 않는다는 것을 의미한다.^[33]단순한 연결성의 결여는 그룹의 스핀 표현을 야기한다.^[34]비연결성은 전체 로렌츠 그룹의 표현을 위해 시간 역전과 공간 역전을 별도로 처리해야 함을 의미한다.^[35][36]

로렌츠 집단의 유한차원 표현 이론의 발전은 대체로 대상의 것을 따른다.거짓말 이론은 1873년 소푸스 거짓말에서 비롯되었다.^[37][38]1888년까지 간단한 리알헤브라의 분류는 빌헬름 킬링에 의해 근본적으로 완성되었다.^[39][40]1913년 여기서 따라갈 길인 단순한 리알헤브라의 표상을 위한 최고 무게의 정리가 에일리 카탄에 의해 완성되었다.^[41][42]Richard Brauer는 어떻게 로렌츠 리 대수학의 스핀 표현이 클리포드 알헤브라에 내장될 수 있는지를 설명하는 Weyl-Brauer 행렬의 개발에 책임이 크다.^[43][44]로렌츠 그룹은 또한 역사적으로 표현 이론에서도 특별한 관심을 받아왔다. 물리학에 있어서 예외적인 중요성 때문에 아래의 무한 차원 단일 표현에 대한 역사를 보라.수학자 헤르만 웨일과^{[41][45][37][46][47]} 하리쉬 찬드라^[48][49], 물리학자인 유진 위너와^[50][51] 발렌타인 바그만은 일반 대표^[52][53][54] 이론과 특히 로렌츠 그룹 모두에 상당한 공헌을 했다.^[55]물리학자인 폴 디락은 아마도 1928년 디락 방정식과 함께 오랫동안 중요했던 실용적 응용에서 모든 것을 명백하게 엮은 최초의 사람일 것이다.^{[56][57][nb 10]}

리 대수

로렌츠 그룹의$$ Lie 대수 $s{\displaystyle \mathfrak{}\mathfrak{o}}$ (${\displaystyle 3}$;${\displaystyle {}_{}1}$ )$$${\displaystyle {C\mathbb{}}_{}}$ ${\${\$mathfrak{$$so$$}}_{\$$mathb{C}}}}}}}}}}}$의 복합화에 대한 수정 불가능한 복합 선형 표현을 찾을 수 있다$.$$s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{o}}$( ${\displaystyle 3}$; $){\displaystyle {\mathfak{so}}}}$에 대한 편리한 근거는 회전 3개 발생기 J와_i 부스트$3개$ 발생기 K에_i 의해 주어진다$$.그것들은 관례와 Lie 대수학 기초에 명시적으로 주어진다.

리 대수학(Lie 대수학)은 복잡하게 되어, 그 기초는 그 두 가지 이상의^[58] 구성요소로 바뀐다.

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {J} +i\mathbf {K}{2}},\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i\mathbf {K}{2}.}$

A = (A₁₂, A, A₃)와 B = (B₁, B₂, B₃)의 성분은 Lie 대수 $s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{u}}$( $){\displaystyle {\mathfrak{su}}(2)$의 정류 관계를 별도로 만족하며$$, 더욱이 서로 통근한다.^[59]

$왼쪽[왼쪽]A_{i},A_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}A_{k},\quad \left[B_{i},B_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}B_{k},\quad \left[]A_{i},B_{j}\right]=0,}$

여기서 i, j, k는 각각 값 1, 2, 3을 취하는 지수로서 3차원_ijk Levi-Civita 기호가 된다.$A{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {}_{}}${\mathbf {B} _{\mathb {C}} }$$} }이(가) A와 B의 복잡한 선형 범위를 각각 나타내도록$$ 한다.

사람은 이형성을^{[60][nb 11]} 가지고 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\mathfrak{ 그렇게}}(3;1)\hookrightarrow{\mathfrak{ 그렇게}}(3;1)_{\mathbb{C}}&\cong \mathbf(}\oplus\mathbf{B}_{\mathbb{C}}\cong{\mathfrak{뉴}}(2)_{\mathbb{C}}\oplus{\mathfrak{뉴}}(2)_{\mathbb{C}}_{\mathbb{C}\\[5pt]&,\cong{\mathfrak{sl}}(2,\mathbb{C})\oplus{\mathfrak{sl}}(2,\mathbb{C})\\는 경우에는 5.로]&\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus i{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} }\hookleftarrow {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),\end{aligned}}}$

(A1)

여기서 $s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{l}}$(${\displaystyle 2}$ ,${\displaystyle C\mathbb{}}$ )$${\$mathfak {sl}(2,\mathb {C}$)은 s ${\displaystyle \mathrm{u}}$( 2)${\displaystyle b\mathbf{}}$ B${\displaystyle .}${\$displaystyle {\mathfak {su}(2)\cong \mathbf {A$} $\cong \mathbf {B}}$의 복잡화다.

이러한 이형성의 효용성은 $s{\displaystyle \mathfrak{}\mathfrak{u}}$ ( $){\displaystyle${\$mathfak{su}(2$의 모든 취소할 수 없는 복잡한 s ${\displaystyle \mathfrak{l}}$ (${\displaystyle 2\mathbb{}}$, ${\displaystyle \mathrm{C}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle{\mathfrak{sl}(2,\mathb {C}),}$의 모든 수정 불가능한 선형 표현이 알려져$$ 있다는 사실에서 비롯된다.$s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{l}}$( ${\displaystyle 2}$,$){\displaystyle {\mathfrak{sl}(2,\mathb {C})}$의 수정 불가능한 복합 선형 표현은$$ 가장 높은 중량 표현 중 하나에 이형성이다.이것들은 s ${\displaystyle \mathfrak{l}}$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle C\mathbb{}}$ )${\displaystyle }$.$${\$displaystyle {\mathfrak{sl}(2,\mathb {C}$ )의 복잡한 선형 표현으로 명시되어 있다$.$

단위의 속임수

The Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ is the Lie algebra of ${\displaystyle {\text{$$SL}}(2,\mathb {C})\time {\text{$$SL}}(2,\mathbb${C$}).}$리 대수 $s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathrm{u}}$ (${\displaystyle }$2${\displaystyle }$) ${\displaystyle \oplus }$ s${\displaystyle \mathfrak{u}}$ ( ${\displaystyle 2}$ )${\displaystyle }$.${\displaystyle {\mathfrak{su}}\$$oplus$ {\mathfak {$su}}}}}}}}}.$$}$ The latter is a compact real form of ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}$ Thus from the first statement of the unitarian trick, representations of SU(2) × SU(2) are in one-to-one correspondence with holomorphic representations of ${\displaystyle \text{SL}(2}$${\디스플레이$$SL}}(2,\mathb {C})\time {\text{$$SL}}(2,\mathb {C} )}$

압축성에 의해, Peter-Weyl 정리는 SU(2) × SU(2)에 적용되며,^[61] 따라서 수정 불가능한 문자의 정형성이 어필될 수 있다.SU(2) × SU(2)의 수정 불가능한 단일 표현은 정확하게 수정 불가능한 SU(2)의 수정 불가능한 단일 표현에 대한 텐서 제품이다.^[62]

단순한 연결성에 호소함으로써, 단위의 속임수에 대한 두 번째 진술이 적용된다.다음 목록의 개체는 일대일 대응 관계에 있다.

• ${\displaystyle \text{SL}}$(${\displaystyle 2\mathbb{}}$,${\displaystyle }$C${\displaystyle }$)$$ ${\displaystyle \text{SL}}$(${\displaystyle 2}$,${\displaystyle C\mathbb{}}$ ) $displaystyle {\text{$$SL}}(2,\mathb {C})\time {\text{$$SL}}(2,\mathb {C} )}$
• SU(2) × SU(2)의 원활한 표현
• $s{\displaystyle \mathfrak{}\mathfrak{u}}$ (${\displaystyle 2}$ ) ${\displaystyle \oplus }$ s ${\displaystyle \mathfrak{u}}$( ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle {\mathfrak {su}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)$의 실제 선형 표현
• $s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{l}}$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle \oplus }$ s ${\displaystyle \mathfrak{l}}$( 2${\displaystyle }$, $){\displaystyle${\$mathfrak {sl}(2,\mathb {C})\oplus {\mathfrak$ {$sl}(2,\mathb {C} )}$의 복잡한 선형 표현

표현의 텐서 제품은 Lie 대수 수준에서 다음 중 하나로^{[nb 12]} 나타난다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)&=\pi _{1}(X)\otimes \mathrm {Id} _{V}+\mathrm {Id} _{U}\otimes \pi _{2}(X)&&X\in {\mathfrak {g}}\\\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X,Y)&=\pi _{1}(X)\otimes \mathrm {Id} _{V}+\mathrm {Id} _{U}\otimes \pi _{2}(Y)&&(X,Y)\in {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}\end{aligned}}}$

(A0)

여기서 ID는 ID 연산자다.여기서 (G6)에서 이어지는 후자의 해석을 의도한다.The highest weight representations of ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ are indexed by μ for μ = 0, 1/2, 1, .... (The highest weights are actually 2μ = 0, 1, 2, ..., but the notation here is adapted to that of ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).$$\}\}$ ) 그런 두 가지 복잡한 선형 인자의 텐서 제품은 ${\displaystyle \mathfrak{s}}$ l${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \mathfrak{s}}$ l${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle C\mathbb{}}$)${\displaystyle }$. ${\$디스플레이 $스타일 {\mathfrak{sl}(2,\mathb{C})\oplus{\mathfrak{sl}}}}}}$의 수정 불가능한 복합 선형 표현을 형성한다$.$

저 멀리 왼쪽의 실제적인 형태의 마지막으로, R{\displaystyle \mathbb{R}}-linear, s입니다(3;1){\displaystyle{\mathfrak{ 그렇게}}(3;1)}, 그리고 맨 오른쪽, s나는(2, C),(A1)에{\displaystyle{\mathfrak{sl}}(2,\mathbb{C}),}[nb 13]C{\displaystyle \mathbb{C}에서 가져옵니다. }-lin${\displaystyle \mathfrak{s}}$ l ( 2$$,${\displaystyle C\mathbb{}}$)${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \mathfrak{s}}$ l${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2\mathbb{}}$, C$){\displaystyle {\mathfrak {sl}(2,\mathb {C})\oplus${\$mathfrak {sl}(2,\mathb {C} )}$의 귀 표현.

sl(2, C)의 (μ, μ)-표현

The complex linear representations of the complexification of ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} },}$ obtained via isomorphisms in (A1), stand in one-to-one correspondence with the real linear representations of ${\displaystyle \mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C}}$${\displaystyle )}$ .${\displaystyle {\mathfrak{sl}(2,\mathb {C})}$ $s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{l}}$(${\displaystyle 2\mathbb{}}$, C$){\displaystyle {\mathfrak{sl}(2,\mathb {C}$)의 모든 실제 선형 표현 집합은 따라서$$^[63] 한 쌍(μ, μ)에 의해 색인화된다.실제 선형 $s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathrm{u}}$( 2$){\displaystyle {\mathfrak{su}(2)}$표현의$$ 복잡화에 정확하게 해당하는 복잡한 선형인 반면, 결합 선형인 것은 (0, ν)^[63]이다.다른 모든 것들은 진짜 선형일 뿐이다.선형성 속성은 (A1)에서 s${\displaystyle }$l (${\displaystyle 2\mathbb{}}$,${\displaystyle }$C$){\displaystyle {\mathfrak{sl}(2,\mathb {C})}$의 표준 주입에서 그 복합화에 따른다$$.형태(ν, ν) 또는 μ, μ, μ(μ, μ)에 대한 표현은 실제 행렬에 의해 주어진다(후자는 다시 해석할 수 없다).명시적으로 $s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{l}}$(${\displaystyle 2}$, $){\displaystyle {\mathfrak {sl}(2,\mathb$ {$C})$의 실제 선형(μ, μ) 표현은 다음과 같다$$$.$

${\displaystyle \varphi _{\mu ,\nu }(X)=\left(\varphi _{\mu }\otimes {\overline {\varphi _{\nu }}}\right)(X)=\varphi _{\mu }(X)\otimes \operatorname {Id} _{\nu +1}+\operatorname {Id} _{\mu +1}\otimes {\overline {\varphi _{\nu }(X)}},\qquad X\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

where ${\displaystyle \varphi _{\mu },\mu =0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots }$ are the complex linear irreducible representations of ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ and ${\displaysty$$르 {\overline {\barphi _{\nu }},\nu =0,{\tfrac {1}{1}{2}},{\tfrac {3}{2}},\ldots}}}$ 복잡한$$ 결합 표현.(표시는 보통 수학 문헌 0, 1, 2, …에 있지만, $여기$서 s ${\displaystyle \mathfrak{o}}$(${\displaystyle 3}$,${\displaystyle }$1$){\displaystyle{\mathfrak{$so}}}{\mathfrak$}}}{so}}}{{11)$ Lie$$ 대수학에 대한 표지를 준수하기 위해 반정수를 선택한다.)여기서 텐서 제품은 (A0)의 이전 의미로 해석된다.이러한 표현은 아래에서 구체적으로 실현된다.

(m, n)의 표시(3; 1)

Via the displayed isomorphisms in (A1) and knowledge of the complex linear irreducible representations of ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ upon solving for J and K, all irreducible representations of ${\displayst$$yle {\mathfrak {{so$}(3$;1)_{\mathb {C}}}},$ $제한적$으로 s ${\displaystyle \mathfrak{o}}$(${\displaystyle 3}$ ;${\displaystyle }$1 $){\displaystyle${\$mathfrak}{so}(1)$의 것을 얻는다$$.이렇게 해서 얻은$$ $s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{o}}$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 3}$; 1$){\displaystyle {\mathfrak{\mathfrak}}}}}$의 표현은 실제 선형(복잡하거나 $결합$ 선형은 아님)이다. 왜냐하면 대수는 결합 시 닫히지 않지만, 여전히 해석할 수 없기 때문이다.^[60]$s{\displaystyle \mathfrak{}\mathfrak{o}}$ ( ${\displaystyle 3}$; $){\displaystyle {\mathfrak{so}}(3;1$)가 반실행이므로, 모든 표현은 취소할 수 없는 것의 직접 합으로 작성할 수 있다.^[60]

따라서 로렌츠 대수학의 유한 치수 불가해한 표현은 순서 쌍의 반정수 m = μ 및 n = μ에 의해 분류되며, 통상적으로 다음 중 하나로 기록된다.

${\displaystyle (m,n)\equiv \pi _{(m,n)}:{\mathfrak {so}(3;1)\to {\mathfrak {gl}(V),}$

여기서 V는 유한차원 벡터 공간이다.이것들은 유사성 변환에 이르기까지, 독특하게 다음과 같이^{[nb 14]} 주어진다.

${\displaystyle {\begin}\pi _{(m,n)}(J_{i}&=J_{i}^{(m)}\otimes 1_{(2n+1)}+1_{(2m+1)}\otimes J_{i}^{(n)}\\\pi _{(m,n)}(K_{i})&=i\left(1_{(2m+1)}\otimes J_{i}^{(n)}-J_{i}^{(m)}\otimes 1_{(2n+1)}\right),\end{aligned}}}$

(A2)

여기서 1은_n n차원 단위 행렬이며

${\displaystyle \mathbf {J}^{(n)}^{{{1}^{(n)}J_{2}^{(n)}, J_{3}^{(n)}\right)}}}}$

$s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{o}}$ ( 3${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cong }$ s${\displaystyle \mathfrak{u}}$ ($){\displaystyle {\mathfrak{so}(3)\cong{\mathfrak{su}(2)}$의 (2n + 1)차원적 표현도 스핀 행렬 또는 각도 모멘텀 행렬이라고 한다.이것들은^[64] 명시적으로 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\begin}\좌측(J_{1}^{(j)}\우측)_{a'a}&={\frac {1}{1}2}}\좌측({\sqrt {(j-a)(j+a+1))}}\delta _{a',a+1}+{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a-1}\right)\\\left(J_{2}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt {(j-a)(j+a+1)}}}\delta _{a',a+1}-{\sqrt{(j+a)-{(j-a+1)}}}}\delta _{a',a-1}\right)\\\\좌(J_{3}^{3}}^_{a}&=a'a',a},a}\end{a}}}}}}}}정렬}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 Δ는 크로네커 삼각주를 의미한다.성분에서 -m ≤ a, a a ≤ m, -n ≤ b, b′ n은 다음과 같이^[65] 표현된다.

${\displaystyle{\begin{정렬}(\pi_{())}\left(J_{나는}\right)\right)_{a'b',ab}&, =\delta _ᆲ\left(J_{나는}^{(m)}\right)_{a'a}+\delta _ᆴ\left(J_{나는}^{(n)}\right)_ᆵ\\\left(\pi_{())}\left(K_{나는}\right)\right)_{a'b',ab}&, =i\left(\delta_{a'a}\left(J_{나는}^{(n)}\right)_{b'b}-\delta _ᆸ\left(J_{나는}^{(m)}\right)_{a'a}\right)\end{aligne.d}}}$

공통표현황

작은(m, n)에 대한 설명할 수 없는 표현.

	m = 0	1/2	1	3/2
n = 0	스칼라(1)	왼손잡이 바일 스피너(2)	셀프듀얼 2-형식 (3)	(4)
1/2	오른손잡이 바일 스피너(2)	4-57 (4)	(6)	(8)
1	반자율배당 2-형식 (3)	(6)	트레이스리스 대칭의 텐서 (9)	(12)
3/2	(4)	(8)	(12)	(16)

• (0, 0) 표현은 1차원 사소한 표현이며 상대론적 스칼라장 이론에 의해 전달된다.
• 페르미오닉 초대칭 생성기는 (0, 1/2) 또는 (1/2, 0) 표현들 중 하나(Weyl Spinter)에서 변환한다.^[29]
• 입자의 4-모멘텀(무질량 또는 질량)은 (1/2, 1/2) 표현, 즉 4-벡터 아래 변한다.
• 추적 불가능한 (1,1) 대칭 텐서 장의 물리적 예는 에너지-모멘텀 텐서 T의^μν 미량^{[nb 15]} 없는 부분이다.^{[66][nb 16]}

비대각 직접합계

m ≠ n을 나타내는 불가역적 표현에 대해서는 복잡한 숫자 분야에서 운용하는 것이 필수적이기 때문에, 표현(m, n)과 (n, m)의 직접 합은 실제 숫자에 대해 선형 연산자를 사용할 수 있기 때문에 물리학과 특별히 관련이 있다.

• (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2)은 비스파이너 표현이다.아래의 Dirac 스피너 및 Weyl 스피너 및 비스파이너도 참조하십시오.
• (1, 1/2) ⊕ (1/2, 1)은 라리타-슈윙거 필드 표현이다.
• (3/2, 0) ⊕ (0, 3/2)는 가설이 있는 그라비티노의 대칭일 것이다.^{[nb 17]}(1, 1/2) ⊕ (1/2, 1)표현으로부터 얻을 수 있다.
• (1, 0) ⊕ (0, 1)은 패리티-불변형 2-폼 필드(예: 곡률 양식)의 표현이다.전자기장 텐서는 이 표현에 따라 변형된다.

그룹

이 절의 접근방식은 결국 기본적인 Lie 통신에 기초하는 이론에 기초한다.^[67]리 서신은 본질적으로 연결된 리 그룹과 리 알헤브라스 사이의 사전이다.^[68]그들 사이의 링크는 리 대수에서 리 그룹으로의 지수적 매핑으로${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \exp }$ : ${\displaystyle g}$→ ${\displaystyle G}$. ${\displaystyle \exp :{\mathfak{g}\to G.}$

일부 벡터 공간 V에 대한$$ ${\displaystyle \pi \mathfrak{}}$: g${\displaystyle }$→ g ${\displaystyle \mathfrak{l}}$ ${\displaystyle (V}$) ${\displaystyle \pi :{\mathfrak{g}\to {\mathfrak{gl}(V)}$이 표현인 경우 G의 연결된 성분의 π은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi (g=e^{iX})&\equiv e^{i\pi (X)},&&X\in {\mathfrak {g}},\quad g=e^{iX}\in \mathrm {im} (\exp ),\\\Pi (g=g_{1}g_{2}\cdots g_{n})&\equiv \Pi (g_{1})\Pi (g_{2})\cdots \Pi (g_{n}),&&g\notin \mathrm {im} (\exp ),\quad g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\in \mathrm {im} (\exp ).\end{정렬}}}$

(G2)

이 정의는 결과표현이 투영적인지 여부를 적용한다.

SO에 대한 지수지도의 과부하도(3, 1)

실질적인 관점에서 (G2)의 첫 번째 공식을 그룹의 모든 요소에 사용할 수 있을지가 중요하다.${\displaystyle 그러나\mathfrak{}}$ 일반적인 경우, 예를 들어${\displaystyle \text{SL}(2}$ ,${\displaystyle C\mathbb{}}$ )$${\$displaystyle$ {\$displaystyle$X\$in${\$mathfak{g}$에 대해서는 모든 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ g ${\$displaystyle ${\text}$에 대해 유지된다$.$$SL}(2,\mathb$ {C$}$ 모든 g ∈ G가 exp 이미지에 있는 것은 아니다.

그러나 ${\displaystyle \exp }$: ${\displaystyle s\mathrm{o}}$ ( ${\displaystyle 3}$; ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \text{SO}}$( 3${\displaystyle }$; 1${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$+ ${\${\text$}$$SO}}(3;1)^{+}}$은(는) 허탈하다.이것을 보여주는 한 가지 방법은 이형성 ${\displaystyle \text{SO}}$( 3${\displaystyle }$; ${\displaystyle 1{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \text{PGL}}$( ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle C\mathbb{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\text{$$SO}}(3;1)^{+}\cong {\text{$$PGL}(2,\mathb {C}),}$ 후자는$$ 뫼비우스 그룹이다.${\displaystyle \text{GL}}$(${\displaystyle n}$, $){\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathb {C} )}$의 몫이다($$연계 기사 참조).지수 $지도$는${\displaystyle }$p : ${\displaystyle \text{GL}}$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ,C\mathbb{}}$) → ${\displaystyle \mathrm{PGL}}$(${\displaystyle }$2 ,${\displaystyle C\mathbb{}}$ )${\displaystyle }$로 표시된다. ${\displaystyle p:{\text{GL}}(n,\mathb {C})\to {\text${\text$}$$PGL}}(2,\mathb {C} )}$ 지도$$ ${\displaystyle \exp }$: ${\displaystyle \mathfrak{g}}$ l ${\displaystyle (n\mathbb{},}$ C )${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \text{GL}}$(${\displaystyle n,}$ $){\displaystyle \exp :{\mathfrak{gl}(n,\mathb {C})\text{GL}(n,\mathb {C} )}}}$에 붙는다$$.^[69]아이덴티티에서 p의 차등인 π을 적용(Lie)한다.그러면

${\displaystyle \forall X\in {\mathfrak {gl}(n,\mathb {C}):\quad p(\exp(iX)=\exp(i\pi(X)).}$

왼손은 (exp와 p가 모두) 허탈하므로 오른손은 허탈하므로 ${\displaystyle \exp }$: ${\displaystyle p\mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{g}}$ ${\displaystyle \mathfrak{l}}$(${\displaystyle 2}$,${\displaystyle C\mathbb{}}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \text{PGL}}$(${\displaystyle 2,}$ $){\displaystyle \exp :{\mathfrak{pgl}(2,\mathb {C})\text{\text}$$PGL}(2,\mathb$ {$C} )}$은(는) 허탈하다.^[70]마지막으로 다시 한 번 주장을 재활용하지만 SO(3;⁺ 1)와 ${\displaystyle \text{PGL}(2}$, ${\displaystyle C\mathbb{}}$) 사이에 알려진 이형성(Isomorphism) ${\displaystyle {\text{$로렌츠 그룹의 연결된 구성 요소에 대해 exp가 실행 중인지 확인하려면$$ $PGL}(2,\mathb {C}$)}

기본군

로렌츠 그룹은 이중으로 연결된다. 예: π₁(SO(3; 1)는 두 개의 등가 등급의 루프(loop)를 요소로 하는 그룹이다.

투영적 표현

π₁(SO(3; 1)은 ⁺두 개의 원소를 가지고 있으므로, Lie 대수학의 일부 표현은 투영적 표현을 산출할 것이다.^{[73][nb 18]}일단 표현이 투영적인지 안다면, 공식 (G2)은 모든 그룹 요소와 투영적인 요소를 포함한 모든 표현에 적용되며, 그룹 요소의 대표자는 Lie 대수학(G2)에서 그룹 요소를 나타내는 데 사용되는 요소에 따라 달라진다(G2)ntation

로렌츠 그룹의 경우 (m, n) 표기는 m + n이 반정수일 때 투영된다.스피너 단원을 참조하십시오.

SO(3; 1)의 투영적 표현 π의 경우,⁺ 다음을^[72] 보유한다.

${\displaystyle \left[\Pi (\Lambda _{1})\Pi (\Lambda _{2})\Pi ^{-1}(\Lambda _{1}\Lambda _{2})\right]^{2}=1\Rightarrow \Pi (\Lambda _{1}\Lambda _{2})=\pm \Pi (\Lambda _{1})\Pi (\Lambda _{2}),\quad \Lambda _{1},\Lambda _{2}\in \mathrm {SO} (3;1),}$

(G5)

SO(3; 1)에서 ⁺두 번 통과된 루프는 이중 연결성 때문에 한 점에 수축할 수 있으므로 호모토피 클래스는 일정한 지도의 그것이다.π은 이중값 함수라는 것을 따른다.SO(3; 1) 모두의 연속적인 표현을 얻기 위해 부호를 일관되게 선택할 수는 없지만, 이는 어느 지점에서나 국소적으로 가능하다.^+[33]

커버 그룹 SL(2, C)

$s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{l}}$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle {\mathfrak{sl}(2,\mathb {C})}$을(를) 기준으로 실제 Lie 대수라고$$ 간주한다.

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\sigma _{1},{\frac {1}{2}}\sigma _{2},{\frac {1}{2}}\sigma _{3},{\frac {i}{2}}\sigma _{1},{\frac {i}{2}}\sigma _{2},{\frac {i}{2}}\sigma _{3}\right)\equiv (j_{1},j_{2},j_{3},k_{1},k_{2},k_{3}),}$

Pauli 행렬이 있는 곳.관계에서

${\displaystyle [\displayma _{i},\disma _{j}]=2i\epsilon _{ijk}\jma _{k}}}}$

(J1)

얻어지다

${\displaystyle [j_{i},j_{j}]=i\epsilon _{i}j_{k},\i_{j}}=ijk}k_{k},\ijk},\i_{j}}}, \i_i\ik}j}j}j}, _{k},},}$

(J2)

이는 $정확히{\displaystyle \mathfrak{}}$ s ${\displaystyle \mathrm{o}}$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 3}$; 1$){\displaystyle {\mathfrak{so}}(3;1$)에 대한 3차원 버전의 정류 관계 형식이다($$아래 규칙 및 Lie 대수 기준 참조).따라서 선형성에 의해 확장된 지도 J파운드의_ii J파운드의 K파운드는_ii 이형성이다.${\displaystyle \text{SL}}$(${\displaystyle 2}$ , ${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle {\text{$$SL}(2,\mathb {C} )}$은(는) 간단히 연결되며$$ SO(3; 1)의 범용 커버 그룹이다.⁺

SL(2, C)에 대한 지수 매핑의 비주사성

지수 매핑 ${\displaystyle \exp }$: ${\displaystyle s\mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{l}}$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle C\mathbb{}}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \text{SL}}$( ${\displaystyle 2\mathbb{}}$, ${\displaystyle \mathrm{C}}$) ${\displaystyle \exp :{\mathfrak{sl}(2,\mathb{C})\to {\text${\text$}$$SL}(2,\mathb {C} )}$은(는) 켜져 있지 않음.^[76]행렬

${\displaystyle q={\pmatrix}-1&1\0&-1\\\end{pmatrix}}$

(S6)

${\displaystyle \text{sl}}$ (${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle C\mathbb{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\text{$$SL}}(2,\mathb {$${\displaystyle C\mathbb{}}$$}),}$ 그러나 Q = exp(Q)와 같은$$ Q ${\displaystyle \in }$ s ${\displaystyle l\mathfrak{}}$ (${\displaystyle 2,}$C$){\displaystyle Q\in {\mathfrak$ {$sl}(2,\mathb {C} )$은 $없다{\displaystyle }$.^{[nb 22]}

일반적으로 g가 $Lie{\displaystyle \mathfrak{}}$ 대수 g${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\mathfrak{g},}$와 연결된 Lie 그룹 G의 요소라면 (Lie)까지,

${\displaystyle g=\exp(X_{1})\cdots \exp(X_{n}),\qquad X_{1},\ldots X_{n}\in {\mathfrak {g}.}$

(S7)

매트릭스 q는 기록할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(-X)\exp(i\pi H)&=\exp \left({\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\\\end{pmatrix}}\right)\exp \left(i\pi {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\right)\\[6pt]&={\pmatrix}1&-1\0&1\\\end{pmatrix}{pmatrix}-1&0\0&-1\\\\end{pmatrix}\\\nd{pmatrix}\\\nd{pmatrix}-1\0&-1\\end{pmatrix}=q.\end{정렬}}}$

(S8)

SL(2, C)과 SL(2, C) 및 리알헤브라의 표현 실현

$s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{l}}$( ${\displaystyle 2\mathbb{}}$,${\displaystyle }$C${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathfrac {sl}(2,\mathb {C})$ 및$$ ${\displaystyle \text{SL}(2}$, ${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle {\text}$의 복잡한 선형 표현$SL2}}(2$$,\$$mathb$ {$C}$ )}은$($는) s${\displaystyle {}^{}\mathfrak{o}}$ ( ${\displaystyle 3{}^{}}$; 1)$$+ {\$displaystyle${\$mathfak{so}(3;$1)^{+}}표현보다$$ 구하기가 더 쉽다$$.그것들은 처음부터 기록될 수 있다.홀로모르픽 그룹 표현(해당되는 리 대수표현이 복잡한 선형이라는 의미)은 지수에 의한 복합 선형 리 대수표현과 관련이 있다.s ${\displaystyle \mathfrak{l}}$( ${\displaystyle 2}$,$){\displaystyle {\mathfrak{sl}}(2,\mathb {C})$의 실제 선형 표현은$$ 정확히 (μ, μ)의 표현이다.그것들은 또한 강조될 수 있다.(μ, 0)의 표현은 복잡한 선형이며 (이형성) 가장 높은 중량 표현이다.이것들은 보통 하나의 정수로만 인덱싱된다(그러나 여기서 반정수를 사용한다).

수학 컨벤션은 편의를 위해 이 절에서 사용된다.lie 대수 원소들은 i의 인수에 따라 다르며, 다른 곳에서 사용되는 물리학 관습에 비해 지수적 매핑에는 i 인자가 없다.s ${\displaystyle \mathfrak{l}}$( ${\displaystyle 2}$,$){\displaystyle {\mathfrak{sl}(2,\mathb {C})}$의 근거를 다음과$$^[77] 같이 한다.

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}},\quad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}},\quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\\end{pmatrix}}.}$

(S1)

이 기초의 선택, 그리고 표기법은 수학 문헌에서 표준이다.

복잡한 선형 표현

무reducable holomphic (n + ${\displaystyle \text{1}}$)차원${\displaystyle \mathrm{표현}SL\mathbb{}}$(${\displaystyle 2}$, C ${\displaystyle )}$ , n$\$ ${\displaystyle 2}$, {\$displaystyle {\text{$$SL}}(2,\mathb {C}),n\geqslant 2,}$은(는) 2 $변수{\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ n${\displaystyle {}_{}^{}}$2,$${\$displaystyle \mathbf {P} _{n}^{2$}의 동종 다항 n의 공간에 대해 실현될 수 있으며$$, 원소는$$^[78][79] 다음과 같다.

${\displaystyle P{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=c_{n}z_{1}^{n}+c_{n-1}z_{1}^{n-1}z_{2}+\cdots +c_{0}z_{2}^{n},\quad c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {Z} .}$

${\displaystyle \text{SL}(2\mathbb{}}$, C${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\text{$$SL}(2,\mathb {C})$에 의해^[80][81] 제공됨

${\displaystyle(\phi _{n}(g)P){\begin{pmatrix}z_{1}\nd{pmatrix}\\end{pmatrix}}=\좌측[\n]{pmatrix}a&d\end{pmatrix}}}}}P\right]{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\end{pmatrix}}=P\pgin{pmatrix}a&b\c&d\\end{pmatrix}^{-1}{\begin{pmatrix}z_{1}\z_{2}\end{pmatrix}\right),\qad P\in \in \mathbf {P}{n}^{n}^{2}.}$

(S2)

관련 ${\displaystyle \mathfrak{s}}$ l${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2\mathbb{}}$,${\displaystyle }$C${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathfak {sl}(2,\mathb {C})$ -action은$$ (G6) 및 위의 정의를 사용하며, s ${\displaystyle \mathfrak{l}}$(${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle{\mathfrak{sl}(2,\mathb {C}),}$의 기본 요소에 대해 사용되며$,$

${\displaystyle \phi _{n}(H)=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}+z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}},\quad \phi _{n}(X)=-z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\quad \phi _{n}(Y)=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}}.}$

(S5)

$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ 이 표현들은 매트릭스 리 알헤브라가 된다$.$

실형 제현 현현

The (μ, ν)-representations are realized on a space of polynomials ${\displaystyle \mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}}$ in ${\displaystyle z_{1},{\overline {z_{1}}},z_{2},{\overline {z_{2}}},}$ homogeneous of degree μ in ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$$그리고{\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ 동질의 ν은 z ${\displaystyle \stackrel{}{1_{}}}$의${\displaystyle }$ν, z ${\displaystyle \stackrel{}{2_{}}}$의 ${\displaystyle {\overline {z_{1},{\overline {z_{2}}.}}$의^[79] 표현은 다음과^[83] 같다.

${\phi _{\mu ,\nu }(g)P{\begin{pmatrix}z_\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=\좌측[\phi _{\mu,\nu }{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\pmatrix?P\right]{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\end{pmatrix}}=P\pgin{pmatrix}a&b\c&d\\end{pmatrix}^{-1}{\begin{pmatrix}z_{1}\z_{2}\end{pmatrix}\right),\quad P\in \mattbf {P} _{mu,\nu}^{}{}{}{2}.}$

(S6)

(G6)을 다시 채용함으로써 다음과 같은 사실을 알게 된다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\phi _ᆬ(E)P=&, -{\frac{P\partial}{\partial z_{1}}}\left(E_{11}z_{1}+E_{12}z_{2}\right)-{\frac{P\partial}{\partial z_{2}}}\left(E_{21}z_{1}+E_{22}z_{2}\right)\\&, -{\frac{P\partial}{\partial{\overline{z_{1}}}}}\left({\overline{E_{11}}}{\overline{z_{1}}}+{\overline{E_{12}}}{\overline{z_{2}}}\ri.ght)-{\frac {\partial P}{\partial {\overline {z_{2}}}}}\left({\overline {E_{21}}}{\overline {z_{1}}}+{\overline {E_{22}}}{\overline {z_{2}}}\right)\end{aligned}},\quad E\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} ).}$

(S7)

특히 기본 요소에 대해서는,

${\displaystyle{\begin{정렬}\phi _ᆫ(H)&, =-z_{1}{\frac{\partial}{\partial z_{1}}}+z_{2}{\frac{\partial}{\partial z_{2}}}-{\overline{z_{1}}}{\frac{\partial}{\partial{\overline{z_{1}}}}}+{\overline{z_{2}}}{\frac{\partial}{\partial{\overline{z_{2}}}}}\\\phi _ᆸ(X)&, =-z_{2}{\frac{\partial}{\partial z_{1}}}-{\o.verline{z_{2}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{1}}}}}\\\phi _{\mu ,\nu }(Y)&=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}}-{\overline {z_{1}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{2}}}}}\end{aligned}}}$

(S8)

(m, n) 표현 특성

그(m, n), 위(A1)(그 진짜의 형태 s나는에 제한들로(3,1){\displaystyle{\mathfrak{sl}}(3,1)을 통해 정의된})더 이상 줄일 수 없는 복잡한 선형 표현 πm)μ과 s의 나는(2, C)πn)ν,{\displaystyle{\mathfrak{sl}}(2,\mathbb{C}),}근간을 이루고 있의 텐서의 제품에 그들은. 오직 irred설득력 ^[61]있는 표현

• ir = π_μ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ if_ν if if if if if if if if if ^{[nb 23]}if if where 여기서 π_μ π은 SU_ν(2)의^[84] red red red representation red red red red red red red red red red red red red red red red red red red red red red red red red red red red red red red red red red represent red red represent represent represent represent
• 고유성은 Ⅱ가_m SU(2)의 유일한 불가해한 표현이라는 점에서 따르며, 이는 최고 중량의 정리의 결론 중 하나이다.^[85]

치수

(m, n)의 표현은 (2m + 1)(2n + 1)차원이다.^[86]이는 ${\displaystyle \text{SL}}$(${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle {\text${\text$}$의 표현에서 주어진 것과 같은 구체적인 실현에서 치수를 계산하는 것부터 가장 쉬운 방법이다.$SL}(2,\mathb${${\displaystyle C\mathbb{}}$$}$) 및$$ ${\displaystyle \mathfrak{s}}$ l${\displaystyle }$(${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$C${\displaystyle }$) ${\displaystyle {sl}(2,\mathb {C}$ $)\}.$ Lie 일반 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$Weil 치수 공식의 경우,^[87]

${\displaystyle \dim \pi _{\rho }={\frac {\Pi }{\langle R^{+}\rho +\delta \rangele}{\Pi _{\langle \alpha \in R^{+}},}}},}$

적용되며, 여기서⁺ R은 양의 뿌리의 집합이고, Δ는 양의 뿌리의 절반이다.The inner product ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ is that of the Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$ invariant under the action of the Weyl group on ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}},}$ the Cartan subalgebra.The roots (really elements of ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ are via this inner product identified with elements of ${\displaystyle {\mathfrak {h}}.}$ For ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$ the formula reduces to dim π_μ = 2μ + 1 = 2m + 1, where the present notation 반드시 고려되어야 한다.최고 중량은 2μ이다.^[88]텐서 제품을 찍음으로써, 결과는 다음과 같다.

충실함

Lie 그룹 G의 표현 π이 충실하지 않으면 N = ker π은 비교 정규 부분군이다.^[89]관련 사례는 세 가지다.

1. N은 비물질적이고 아벨이다.
2. N은 비구체적이고 비아벨리안이다.
3. N은 별개다.이 경우, Z가 G의 중심인 N ⊂ Z.^{[nb 24]}

SO(3; 1)의 경우 SO(3; 1)가 ⁺반단순이기 때문에 첫 번째 경우는 제외된다.^{+[nb 25]}SO(3; 1)가 ⁺단순하기 때문에 두 번째 사례(및 첫 번째 사례)는 제외된다.^{[nb 26]}세 번째 경우, SO(3; 1)는 ⁺${\displaystyle \text{SL}}$(2${\displaystyle ,C\mathbb{}}$) /${\displaystyle }${${\displaystyle }$± ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\text{$$SL}}(2,\mathb {C} )/\{\pm$ I$\}}$ 그러나$$${\displaystyle }${${\displaystyle }$± I${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{\pm I\}}}}$은(는) ${\displaystyle \text{SL}(2,}$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$)의 중심이다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\text}$$SL}}(2,\mathb{C}$)} SO(3;⁺ 1)의 중심이 사소한 것에 따르는 것으로$$, 이것은 세 번째 경우를 제외한다.결론은 모든 π : SO(3;⁺ 1) → GL(V) 및 모든 투영적 표현 π : SO(3;⁺ 1) → V, W 유한차원 벡터 공간은 PGL(W)이 충실하다는 것이다.

직접(abelian) 적지 않은non-discrete 정상적인 하위 그룹(1차원) 적지 않은 이상에 의해 그 리 algebra,[90]에 대체되거나 SO(3;1)+의 중심 신규 l는의 중심(3;1)에 의해 대체되+{\displaystyle{\ma과 algebras을 위한 근본적인 매복하여 서신 왕래, 문구는 번역 위의 추론을 사용함으로써.thfra$k{sl}}(3.1$$)^{+}}$ 모든 반실행 Lie 대수학의 중심은$$ 사소한 것이며^[91] $s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{o}}$( 3 ;$){\displaystyle {\mathfrak{so}}}}}}{\$mathfrak{$so}}}}}}}}}}}$은 반단순하고 단순하여 비견적 이상이 없다.

관련된 사실은 해당 ${\displaystyle \text{SL}}$( ${\displaystyle 2\mathbb{}}$, C${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\text{$$SL}(2,\mathb {C} )}$이(가) 충실하면$$ 표현은 투영적이다.반대로 표현이 비프로젝티브인 경우 해당 ${\displaystyle \text{SL}(2}$, C${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\text{$$SL}(2,\mathb {C} )}$표현은$$ 충실하지 않지만 2:1이다.

비단위성

(m, n) 리 대수적 표현은 에르미트인이 아니다.따라서 해당 집단의 (투영적) 표현은 결코 단일하지 않다.^{[nb 27]}이것은 로렌츠 그룹의 비대칭성 때문이다.사실, 연결된 단순한 비복합적 Lie 그룹은 비합리적인 단일 유한차원 표현을 가질 수 없다.^[33]이것에 대한 위상학적 증거가 있다.^[92]Let u : G → GL(V)은 V가 유한한 차원인 경우 비 컴팩트 연결 단순 리 그룹 G의 연속적인 단일 표현이다.그런 다음 U(G) ⊂ U(V) ⊂ GL(V) 여기서 U(V)는 V의 단일 변환으로 구성된 GL(V)의 콤팩트 서브그룹이다.u의 낟알은 G의 정상적인 부분군이다. G는 단순하기 때문에 ker u는 G의 전부다. 이 경우 u는 사소한 것이고, 또는 ker u는 사소한 것이며, 이 경우 u는 충실한 것이다.후자의 경우 u는 그 이미지의 차이점형주의로, ^[93]u(G) g G(G)와 u(G)는 리(Lie)이는 u(G)가 콤팩트 그룹 U(V)의 내장된 비 컴팩트 Lie 하위그룹임을 의미한다.이는 u(G) ⊂ U(V)의 서브스페이스 위상에서는 불가능한 것으로, 만일 u(G) 그룹의 임베디드 Lie 하위집단이 모두^[94] 닫힌다면, 그것은 콤팩트할 것이고,^{[nb 28]} 그러면 G는 가정과 달리 ^{[nb 29]}콤팩트할 것이다.^{[nb 30]}

로렌츠 그룹의 경우, 이것은 정의에서도 직접 볼 수 있다.건축에 사용된 A와 B의 표현은 에르미트어이다.J는 에르미트인이지만 K는 반헤르미티아인이라는 뜻이다.^[95]관심 대상에는 로렌츠 인바리어트 양성확정규범이 필요하지 않기 때문에 비단위성은 양자장 이론에서 문제가 되지 않는다.^[96]

SO(3)로 제한

그러나 (m, n) 표현은 회전 부분군 SO(3)로 제한될 때 단일하지만, 이러한 표현은 SO(3)의 표현으로 해석할 수 없다.클레브슈-고단 분해를 적용하면 (m, n) 표현에 최고 중량(spin) m + n, m + n - 1, … 각 가능한 최고 중량(spin)이 정확히 한 번 발생하는 최대 중량(spin)^[97]의 SO(3) 내 변위 부공간이 있음을 알 수 있다.최대 중량(스핀) j의 중량 하위 공간은 (2j + 1)차원이다.예를 들어 (1/2, 1/2) 표현은 각각 차원 3과 1의 스핀 1과 스핀 0 하위 공간을 가진다.

각운동량 연산자는 J = A + B에 의해 주어지기 때문에 회전 하위표현의 양자역학에서 가장 높은 스핀은 (m + n)ℏ이며 각도 모멘텀a 추가의 "상용" 규칙과 3-j 기호, 6-j 기호 등이 적용된다.^[98]

스피너

표현에 스핀이 있는지 여부를 결정하는 것은 수정할 수 없는 표현에 대한 SO(3) 불변 하위 영역이다.위의 단락에서 m + n이 반 통합적인 경우 (m, n) 표현이 회전하는 것으로 본다.가장 간단한 것은 치수 2의 Weyl-spinor인 (1/2, 0)과 (0, 1/2)이다.그 다음, 예를 들어 (0, 3/2)와 (1, 1/2)는 각각 치수 23/2 + 1 = 4와 (2 + 1)(21/2 + 1) = 6의 스핀 표현이다.위 항에 따르면, 최근 두 경우 모두 3/2와 1/2 회전하는 하위 공간이 있으므로, 이러한 표현은 SO(3)에 따라 잘 동작해야 하는 단일 물리적 입자를 나타낼 수 없다.그러나 일반적으로 스핀이 다른 여러 SO(3) 하위 표현을 가진 표현은 스핀이 잘 정의된 물리적 입자를 나타낼 수 있다는 점을 배제할 수 없다.단 한 번의 스핀만 남기고 비물리적 구성요소를 투영하는 적절한 상대론적 파동 방정식이 있을 수 있다.^[99]

수정할 수 없는 표현에서 n (SO(3에 따른)에 대한 순수한 스핀 n/2 표현 구성에는 스핀이 아닌 표현으로 디락 표현에서 텐서 제품을 추출하고, 적절한 하위 공간을 추출하며, 최종적으로 차등 제약 조건을 부과하는 것이 포함된다.^[100]

이중표현황

다음과 같은 정리들을 적용하여 취소할 수 없는 표현들의 이중적 표현이 원래 표현과 이형적인지 여부를 검토한다.

1. 반실행 Lie 대수학의 불가해한 표현에 대한 이중 표현 가중치 집합은 원래 표현에 대한 가중치 집합의 음수를 포함한 것이다.^[101]
2. 두 개의 되돌릴 수 없는 표현은 동일한 중량을 갖는 경우에만 이형이다.^{[nb 31]}
3. 각 반실행 Lie 대수에는 μ가 지배적 적분 중량인 경우 w μ(μ₀)^[102]가 다시 지배적 적분 중량인 Weyl 그룹의 고유한₀ 원소가 존재한다.
4. $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\$이(가) 가장 높은 무게 ${\displaystyle {{\mu \_}_{}}_{}^{}}$₀{\mu_{0}^{*}}이($가{\displaystyle {}_{}^{}}$) 가장 높은 가중치 w₀(-μ)^[102]이다.

여기서 Weyl 그룹의 원소들은 뿌리의 실제 벡터 공간에서 매트릭스 곱셈에 의해 작용하는 직교 변환으로 간주된다.-I가 반실행 Lie 대수학의 Weyl 그룹의 요소라면 w = -I₀.$s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{l}}$( ${\displaystyle 2\mathbb{}}$,${\displaystyle }$C${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\mathfrak{sl}(2,\mathb {C})$의 경우$,$ Weyl 그룹은 W = {I, -I}^[103]이다.It follows that each π_μ, μ = 0, 1, … is isomorphic to its dual ${\displaystyle \pi _{\mu }^{*}.}$ The root system of ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ is shown in the figure to the right.^{[nb 32]}Weyl 그룹은${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\gamma }_{}}$ ${\displaystyle \{w_{\gamma}\}\}$에 의해 생성되며, 여기서$$ $w{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\gamma }_{}}$ ${\$은(는) 모든 루트에 걸쳐 γ과 직교하는 평면에 반사된다$$.^{[nb 33]}검사 결과 w_α ⋅ w_β = -I so -I ∈ W. π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, ≅, ≅, σ, ^[104]so, so의 결론은 is, is, is, is, ⁺is, is.

${\displaystyle \pi \pi _{m,n}^{*}\quad \pi _{m,n}^{*}\cong \pi _{m,n}\quad 2m, 2n\in \mathbf {N}}}}}$

복합 결합 표현

π이 리 대수학(Lie 대수학)의 표현이라면 ${\$은 표현이며$$, 여기서 막대는 대표적인 행렬에서 입력-현상 복합적 결합을 나타낸다.이것은 그 복잡한 결합에서 덧셈과 곱셈으로 통한다.^[105]일반적으로 s ${\displaystyle \mathfrak{l}}$(${\displaystyle n}$, $){\displaystyle {\mathfrak{sl}(n,\mathb {C})}$의 모든 불가해한 표현은 π = π⁺ + π으로⁻ 고유하게 쓸 수 있다$$^[106].

${\displaystyle \pi ^{\pm ^{\pm }(X)={\frac {1}{1}pi(X)\pm i\pi \left(i^{-1}X\right)\right),}}$

$\pi {\displaystyle {}^{}}$+ ${\$ 홀로모르픽$$(holomorphic linear) 및 $\pi {\displaystyle {}^{}}$- ${\$ 반홀로모르픽$$(hypgate linear) 포함.$s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{l}(2}$, C${\displaystyle }$)의 경우,$$$\mu {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\$${C$$}}}$이(가) 홀로모르픽,$$$\mu$ ${\displaystyle \stackrel{}{{\mu }_{}}}$μ $displaystyle{\pi _{\mu$}}}은$$(가$)$ 홀로모르픽, 반홀로모르픽이다.아래의 식(S8)에서 ${\displaystyle {\mu ,}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$,${\displaystyle 0_{}}$$},$ , ${\displaystyle {0,}_{}}$ { ${\$에 대한 명시적 표현들을 직접 조사하면 각각 홀로모르픽과 반홀모픽임을 알 수 있다.또한 표현식(S8)을 자세히 검사하면 ${\displaystyle {\pi }_{}}$${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$${\displaystyle {\pi }_{}}$${\displaystyle {}^{}}$- ${\$$pi _{\mu ,\nu }$에 대해$$ π + {\$displaystystyle$\pi $^-}$을(으)로$$ 식별할 수 있다.

${\displaystyle \pi \pi _{\mu ,\nu }^{\pi _{\nu +1},\qquad \pi _{\mu,\nu }^{\overline {\pi _{\nu ^{\oplus }}}}}}}}.}$

SO(3; 1) ⁺수율에 대해 위의 ID(기능의 포인트 추가로 해석됨) 사용

${\displaystyle{\begin{정렬}{\overline{\pi_{m,n}}}&={\overline{\pi_{m,n}^{+}+\pi _{m,n}^{-}}}={\overline{\pi_{m}^{_{2n+1\oplus}}}}+{\overline{{\overline{\pi_{n}}}^{_{2m+1\oplus}}}}\\&, =\pi _{n}^{_{2m+1\oplus}}+{\overline{\pi_{m}}}^{_{2n+1\oplus}},&&2m,2n\in\mathbb{N}_{n,m}^{+}+\pi _{n,m}^{-}=\pi _{n,m}\\& =\pi. \\{\overline{\Pi_{m,n}}&=\Pi _{n,m}\end{정렬}}}}$

여기서 그룹 표현에 대한 문구는 exp(X) = exp(X)에서 온다.따라서 해석할 수 없는 표현(m, n)은 m = n. 형식상의 환원 가능한 표현(m, n)도 실제 행렬을 갖는 경우에만 실제 행렬을 나타낸다.

부선 표현, 클리포드 대수 및 디락 스피너 표현

일반적인 표현 이론에서 (1987, V)이 Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$g ,$${\$displaystyle {\mathfrak{g},}$의 표현인 경우, End(V)에${\displaystyle }$g ,$${\$displaystyle${\$mathfrak {g},}$의 연관 표현이 있으며, 또한 다음과 같이 표기된다.

${\displaystyle \pi(A)=[\pi(X),A],\qquad A\in \operatorname {End}(V),\X\in {\mathfrak {g}.}$

(I1)

마찬가지로, 그룹 G의 표현(II, V)은 G의 끝(V)에 π을 나타내며, 여전히 다음과^[107] 같이 π을 나타낸다.

${\displaystyle \Pi (g)(A)=\Pi (g)A\Pi (g)^{-1},\qquad A\in \operatorname {End}(V),\g\in G.}$

(I2)

If π and Π are the standard representations on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ and if the action is restricted to ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)\subset {\text{End}}(\mathbb {R} ^{4}),}$ then the two above representations are the adjoint representation of the Lie algebra and각 그룹의 부선 표현해당하는 표현(일부 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 또는$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$은 매트릭스 Lie 그룹에 항상 존재하며, 일반적으로 표현 이론의 조사에, 특히 주어진 Lie 그룹에 대해 가장 중요하다.

이것을 로렌츠 그룹에 적용하면 (AX, V)가 투영적 표현인 경우, (G5)를 사용한 직접 계산은 End(V)에 유도된 표현이 적절한 표현, 즉 위상 요인이 없는 표현이라는 것을 보여준다.

In quantum mechanics this means that if (π, H) or (Π, H) is a representation acting on some Hilbert space H, then the corresponding induced representation acts on the set of linear operators on H. As an example, the induced representation of the projective spin (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) representation on End(H) is the non-projective 4-vector (1/2, 1/2) r경구적 ^[108]표현

단순성을 위해 End(H)의 "discret part"만 고려하십시오. 즉, H에 대한 기반이 주어지며, 여기에는 무한 치수가 포함될 수 있는 다양한 차원의 상수 행렬 집합이 포함된다.이 단순화된 끝(H)에서 위의 유도 4 벡터 표현은 네 개의 감마 행렬에 의해 확장되는 불변 4차원 아공간을 가진다.^[109](연동 기사에서는 미터법 규약이 다르다.)In a corresponding way, the complete Clifford algebra of spacetime, ${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} ),}$ whose complexification is ${\displaystyle {\text{M}}(4,\mathbb {C} ),}$ generated by the gamma matrices decomposes as a direct sum of representation spaces of a scalarirreducible representation (irrep), the (0, 0), a pseudoscalar irrep, also the (0, 0), but with parity inversion eigenvalue −1, see the next section below, the already mentioned vector irrep, (1/2, 1/2), a pseudovector irrep, (1/2, 1/2) with parity inversion eigenvalue +1 (not −1), and a tensor irrep, (1, 0) ⊕ (0, 1).^[110]치수는 최대 1 + 1 + 4 + 4 + 6 = 16이다.바꾸어 말하면, 환언하면

${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )=(0,0)\oplus \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)\oplus [(1,0)\oplus (0,1)]\oplus \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)_{p}\oplus (0,0)_{p},}$

(I3)

관례대로, 대표자는 대표 공간과 혼동된다.

(1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) 회전 표현

$C{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{l}}_{}}$ ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$,${\displaystyle {}_{}}$1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle {\Cl}_{3,1}(\mathb {R})$ 내의 텐서 (1, 0) ⊕ (0, 1) 표기의 6차원 표현 공간에는 두 가지 역할이 있다$$.The^[111]

${\displaystyle \ju ^{\mu \nu ^}=-{\frac {i}{4}}\왼쪽[\mu }}}\mu }}, 오른쪽],}$

(I4)

where ${\displaystyle \gamma ^{0},\ldots ,\gamma ^{3}\in {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )}$ are the gamma matrices, the sigmas, only 6 of which are non-zero due to antisymmetry of the bracket, span the tensor representation space.게다가, 그들은 로렌츠 리 대수학의 정류 관계를 가지고 있다.^[112]

${\displaystyle \left[\sigma ^{\mu \nu },\sigma ^{\rho \tau }\right]=i\left(\eta ^{\tau \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \tau }\sigma ^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }\sigma ^{\tau \nu }-\eta ^{\nu \rho }\sigma ^{\mu \tau }\right),}$

(I5)

따라서 C ${\displaystyle {\mathcal{l}}_{}}$ ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$,${\displaystyle {}_{}1\mathbb{}{}_{}}$( R${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\mathcal{Cl}_{3,1}(\mathb {R$}),}{1/2, 0) ⊕(0, 1/2) 회전 표현을 구성한다.자세한 내용은 비스파이너 및 디락 대수학을 참조하십시오.

The conclusion is that every element of the complexified ${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )}$ in End(H) (i.e. every complex 4×4 matrix) has well defined Lorentz transformation properties. In addition, it has a spin-representation of the Lorentz Lie algebra, which upon exponentiation becomes a spin representation of the group, acting on ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4},}$ making it a space of bispinors.

Reducible representations

There is a multitude of other representations that can be deduced from the irreducible ones, such as those obtained by taking direct sums, tensor products, and quotients of the irreducible representations. Other methods of obtaining representations include the restriction of a representation of a larger group containing the Lorentz group, e.g. ${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbb {R} )}$ and the Poincaré group. These representations are in general not irreducible.

The Lorentz group and its Lie algebra have the complete reducibility property. This means that every representation reduces to a direct sum of irreducible representations. The reducible representations will therefore not be discussed.

Space inversion and time reversal

The (possibly projective) (m, n) representation is irreducible as a representation SO(3; 1)⁺, the identity component of the Lorentz group, in physics terminology the proper orthochronous Lorentz group. If m = n it can be extended to a representation of all of O(3; 1), the full Lorentz group, including space parity inversion and time reversal. The representations (m, n) ⊕ (n, m) can be extended likewise.^[113]

Space parity inversion

For space parity inversion, the adjoint action Ad_P of P ∈ SO(3; 1) on ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ is considered, where P is the standard representative of space parity inversion, P = diag(1, −1, −1, −1), given by

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{P}(J_{i})=PJ_{i}P^{-1}=J_{i},\qquad \mathrm {Ad} _{P}(K_{i})=PK_{i}P^{-1}=-K_{i}.}$

(F1)

It is these properties of K and J under P that motivate the terms vector for K and pseudovector or axial vector for J. In a similar way, if π is any representation of ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ and Π is its associated group representation, then Π(SO(3; 1)⁺) acts on the representation of π by the adjoint action, π(X) ↦ Π(g) π(X) Π(g)⁻¹ for ${\displaystyle X\in {\mathfrak {so}}(3;1),}$ g ∈ SO(3; 1)⁺. If P is to be included in Π, then consistency with (F1) requires that

${\displaystyle \Pi (P)\pi (B_{i})\Pi (P)^{-1}=\pi (A_{i})}$

(F2)

holds, where A and B are defined as in the first section. This can hold only if A_i and B_i have the same dimensions, i.e. only if m = n. When m ≠ n then (m, n) ⊕ (n, m) can be extended to an irreducible representation of SO(3; 1)⁺, the orthochronous Lorentz group. The parity reversal representative Π(P) does not come automatically with the general construction of the (m, n) representations. It must be specified separately. The matrix β = i γ⁰ (or a multiple of modulus −1 times it) may be used in the (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2)^[114] representation.

If parity is included with a minus sign (the 1×1 matrix [−1]) in the (0,0) representation, it is called a pseudoscalar representation.

Time reversal

Time reversal T = diag(−1, 1, 1, 1), acts similarly on ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ by^[115]

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{T}(J_{i})=TJ_{i}T^{-1}=-J_{i},\qquad \mathrm {Ad} _{T}(K_{i})=TK_{i}T^{-1}=K_{i}.}$

(F3)

By explicitly including a representative for T, as well as one for P, a representation of the full Lorentz group O(3; 1) is obtained. A subtle problem appears however in application to physics, in particular quantum mechanics. When considering the full Poincaré group, four more generators, the P^μ, in addition to the Jⁱ and Kⁱ generate the group. These are interpreted as generators of translations. The time-component P⁰ is the Hamiltonian H. The operator T satisfies the relation^[116]

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{T}(iH)=TiHT^{-1}=-iH}$

(F4)

in analogy to the relations above with ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ replaced by the full Poincaré algebra. By just cancelling the i's, the result THT⁻¹ = −H would imply that for every state Ψ with positive energy E in a Hilbert space of quantum states with time-reversal invariance, there would be a state Π(T⁻¹)Ψ with negative energy −E. Such states do not exist. The operator Π(T) is therefore chosen antilinear and antiunitary, so that it anticommutes with i, resulting in THT⁻¹ = H, and its action on Hilbert space likewise becomes antilinear and antiunitary.^[117] It may be expressed as the composition of complex conjugation with multiplication by a unitary matrix.^[118] This is mathematically sound, see Wigner's theorem, but with very strict requirements on terminology, Π is not a representation.

When constructing theories such as QED which is invariant under space parity and time reversal, Dirac spinors may be used, while theories that do not, such as the electroweak force, must be formulated in terms of Weyl spinors. The Dirac representation, (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2), is usually taken to include both space parity and time inversions. Without space parity inversion, it is not an irreducible representation.

The third discrete symmetry entering in the CPT theorem along with P and T, charge conjugation symmetry C, has nothing directly to do with Lorentz invariance.^[119]

Action on function spaces

If V is a vector space of functions of a finite number of variables n, then the action on a scalar function ${\displaystyle f\in V}$ given by

${\displaystyle (\Pi (g)f)(x)=f\left(\Pi _{x}(g)^{-1}x\right),\qquad x\in \mathbb {R} ^{n},f\in V}$

(H1)

produces another function Πf ∈ V. Here Π_x is an n-dimensional representation, and Π is a possibly infinite-dimensional representation. A special case of this construction is when V is a space of functions defined on the a linear group G itself, viewed as a n-dimensional manifold embedded in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m^{2}}}$ (with m the dimension of the matrices).^[120] This is the setting in which the Peter–Weyl theorem and the Borel–Weil theorem are formulated. The former demonstrates the existence of a Fourier decomposition of functions on a compact group into characters of finite-dimensional representations.^[61] The latter theorem, providing more explicit representations, makes use of the unitarian trick to yield representations of complex non-compact groups, e.g. ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$

The following exemplifies action of the Lorentz group and the rotation subgroup on some function spaces.

Euclidean rotations

The subgroup SO(3) of three-dimensional Euclidean rotations has an infinite-dimensional representation on the Hilbert space

${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {S} ^{2}\right)=\operatorname {span} \left\{Y_{m}^{l},l\in \mathbb {N} ^{+},-l\leqslant m\leqslant l\right\},}$

where ${\displaystyle Y_{m}^{l}}$ are the spherical harmonics. An arbitrary square integrable function f one the unit sphere can be expressed as^[121]

${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{l=1}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}f_{lm}Y_{m}^{l}(\theta ,\varphi ),}$

(H2)

where the f_lm are generalized Fourier coefficients.

The Lorentz group action restricts to that of SO(3) and is expressed as

${\displaystyle {\begin{aligned}(\Pi (R)f)(\theta (x),\varphi (x))&=\sum _{l=1}^{\infty }\sum _{m,=-l}^{l}\sum _{m'=-l}^{l}D_{mm'}^{(l)}(R)f_{lm'}Y_{m}^{l}\left(\theta \left(R^{-1}x\right),\varphi \left(R^{-1}x\right)\right),\\[5pt]&R\in \mathrm {SO} (3),x\in \mathbb {S} ^{2},\end{aligned}}}$

(H4)

where the D^l are obtained from the representatives of odd dimension of the generators of rotation.

The Möbius group

The identity component of the Lorentz group is isomorphic to the Möbius group M. This group can be thought of as conformal mappings of either the complex plane or, via stereographic projection, the Riemann sphere. In this way, the Lorentz group itself can be thought of as acting conformally on the complex plane or on the Riemann sphere.

In the plane, a Möbius transformation characterized by the complex numbers a, b, c, d acts on the plane according to^[122]

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},\qquad ad-bc\neq 0}$.

(M1)

and can be represented by complex matrices

${\displaystyle \Pi _{f}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\qquad \lambda \in \mathbb {C} -\{0\},\operatorname {det} \Pi _{f}=1,}$

(M2)

since multiplication by a nonzero complex scalar does not change f. These are elements of ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ and are unique up to a sign (since ±Π_f give the same f), hence ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}\cong {\text{SO}}(3;1)^{+}.}$

The Riemann P-functions

The Riemann P-functions, solutions of Riemann's differential equation, are an example of a set of functions that transform among themselves under the action of the Lorentz group. The Riemann P-functions are expressed as^[123]

${\displaystyle {\begin{aligned}w(z)&=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\\\alpha &\beta &\gamma &\;z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\end{matrix}}\right\}\\&=\left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{\alpha }\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{\gamma }P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\\0&\alpha +\beta +\gamma &0&\;{\frac {(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}}\\\alpha '-\alpha &\alpha +\beta '+\gamma &\gamma '-\gamma &\end{matrix}}\right\}\end{aligned}},}$

(T1)

where the a, b, c, α, β, γ, α′, β′, γ′ are complex constants. The P-function on the right hand side can be expressed using standard hypergeometric functions. The connection is^[124]

${\displaystyle P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\\0&a&0&\;z\\1-c&b&c-a-b&\end{matrix}}\right\}={}_{2}F_{1}(a,\,b;\,c;\,z).}$

(T2)

The set of constants 0, ∞, 1 in the upper row on the left hand side are the regular singular points of the Gauss' hypergeometric equation.^[125] Its exponents, i. e. solutions of the indicial equation, for expansion around the singular point 0 are 0 and 1 − c ,corresponding to the two linearly independent solutions,^{[nb 34]} and for expansion around the singular point 1 they are 0 and c − a − b.^[126] Similarly, the exponents for ∞ are a and b for the two solutions.^[127]

One has thus

${\displaystyle w(z)=\left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{\alpha }\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{\gamma }{}_{2}F_{1}\left(\alpha +\beta +\gamma ,\,\alpha +\beta '+\gamma ;\,1+\alpha -\alpha ';\,{\frac {(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}}\right),}$

(T3)

where the condition (sometimes called Riemann's identity)^[128]

${\displaystyle \alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1}$

on the exponents of the solutions of Riemann's differential equation has been used to define γ′.

The first set of constants on the left hand side in (T1), a, b, c denotes the regular singular points of Riemann's differential equation. The second set, α, β, γ, are the corresponding exponents at a, b, c for one of the two linearly independent solutions, and, accordingly, α′, β′, γ′ are exponents at a, b, c for the second solution.

Define an action of the Lorentz group on the set of all Riemann P-functions by first setting

${\displaystyle u(\Lambda )(z)={\frac {Az+B}{Cz+D}},}$

(T4)

where A, B, C, D are the entries in

${\displaystyle \lambda ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),}$

(T5)

for Λ = p(λ) ∈ SO(3; 1)⁺ a Lorentz transformation.

Define

${\displaystyle [\Pi (\Lambda )P](z)=P[u(\Lambda )(z)],}$

(T6)

where P is a Riemann P-function. The resulting function is again a Riemann P-function. The effect of the Möbius transformation of the argument is that of shifting the poles to new locations, hence changing the critical points, but there is no change in the exponents of the differential equation the new function satisfies. The new function is expressed as

${\displaystyle [\Pi (\Lambda )P](u)=P\left\{{\begin{matrix}\eta &\zeta &\theta &\\\alpha &\beta &\gamma &\;u\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\end{matrix}}\right\},}$

(T6)

where

${\displaystyle \eta ={\frac {Aa+B}{Ca+D}}\quad {\text{ and }}\quad \zeta ={\frac {Ab+B}{Cb+D}}\quad {\text{ and }}\quad \theta ={\frac {Ac+B}{Cc+D}}.}$

(T7)

Infinite-dimensional unitary representations

History

The Lorentz group SO(3; 1)⁺ and its double cover ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ also have infinite dimensional unitary representations, studied independently by Bargmann (1947), Gelfand & Naimark (1947) and Harish-Chandra (1947) at the instigation of Paul Dirac.^[129][130] This trail of development begun with Dirac (1936) where he devised matrices U and B necessary for description of higher spin (compare Dirac matrices), elaborated upon by Fierz (1939), see also Fierz & Pauli (1939), and proposed precursors of the Bargmann-Wigner equations.^[131] In Dirac (1945) he proposed a concrete infinite-dimensional representation space whose elements were called expansors as a generalization of tensors.^{[nb 35]} These ideas were incorporated by Harish–Chandra and expanded with expinors as an infinite-dimensional generalization of spinors in his 1947 paper.

The Plancherel formula for these groups was first obtained by Gelfand and Naimark through involved calculations. The treatment was subsequently considerably simplified by Harish-Chandra (1951) and Gelfand & Graev (1953), based on an analogue for ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ of the integration formula of Hermann Weyl for compact Lie groups.^[132] Elementary accounts of this approach can be found in Rühl (1970) and Knapp (2001).

The theory of spherical functions for the Lorentz group, required for harmonic analysis on the hyperboloid model of 3-dimensional hyperbolic space sitting in Minkowski space is considerably easier than the general theory. It only involves representations from the spherical principal series and can be treated directly, because in radial coordinates the Laplacian on the hyperboloid is equivalent to the Laplacian on ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ This theory is discussed in Takahashi (1963), Helgason (1968), Helgason (2000) and the posthumous text of Jorgenson & Lang (2008).

Principal series for SL(2, C)

The principal series, or unitary principal series, are the unitary representations induced from the one-dimensional representations of the lower triangular subgroup B of ${\displaystyle G={\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$ Since the one-dimensional representations of B correspond to the representations of the diagonal matrices, with non-zero complex entries z and z⁻¹, they thus have the form

${\displaystyle \chi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}z&0\\c&z^{-1}\end{pmatrix}}=r^{i\nu }e^{ik\theta },}$

for k an integer, ν real and with z = re^iθ. The representations are irreducible; the only repetitions, i.e. isomorphisms of representations, occur when k is replaced by −k. By definition the representations are realized on L² sections of line bundles on ${\displaystyle G/B=\mathbb {S} ^{2},}$ which is isomorphic to the Riemann sphere. When k = 0, these representations constitute the so-called spherical principal series.

The restriction of a principal series to the maximal compact subgroup K = SU(2) of G can also be realized as an induced representation of K using the identification G/B = K/T, where T = B ∩ K is the maximal torus in K consisting of diagonal matrices with z = 1. It is the representation induced from the 1-dimensional representation z^kT, and is independent of ν. By Frobenius reciprocity, on K they decompose as a direct sum of the irreducible representations of K with dimensions k + 2m + 1 with m a non-negative integer.

Using the identification between the Riemann sphere minus a point and ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ the principal series can be defined directly on ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} )}$ by the formula^[133]

${\displaystyle \pi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)= cz+d ^{-2-i\nu }\left({cz+d \over cz+d }\right)^{-k}f\left({az+b \over cz+d}\right).}$

Irreducibility can be checked in a variety of ways:

• The representation is already irreducible on B. This can be seen directly, but is also a special case of general results on irreducibility of induced representations due to François Bruhat and George Mackey, relying on the Bruhat decomposition G = B ∪ BsB where s is the Weyl group element^[134]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$.

• The action of the Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ of G can be computed on the algebraic direct sum of the irreducible subspaces of K can be computed explicitly and the it can be verified directly that the lowest-dimensional subspace generates this direct sum as a ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-module.^[8][135]

Complementary series for SL(2, C)

The for 0 < t < 2, the complementary series is defined on ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} )}$ for the inner product^[136]

${\displaystyle (f,g)_{t}=\iint {\frac {f(z){\overline {g(w)}}}{ z-w ^{2-t}}}\,dz\,dw,}$

with the action given by^[137][138]

${\displaystyle \pi _{t}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)= cz+d ^{-2-t}f\left({az+b \over cz+d}\right).}$

The representations in the complementary series are irreducible and pairwise non-isomorphic. As a representation of K, each is isomorphic to the Hilbert space direct sum of all the odd dimensional irreducible representations of K = SU(2). Irreducibility can be proved by analyzing the action of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ on the algebraic sum of these subspaces^[8][135] or directly without using the Lie algebra.^[139][140]

Plancherel theorem for SL(2, C)

The only irreducible unitary representations of ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ are the principal series, the complementary series and the trivial representation. Since −I acts as (−1)^k on the principal series and trivially on the remainder, these will give all the irreducible unitary representations of the Lorentz group, provided k is taken to be even.

To decompose the left regular representation of G on ${\displaystyle L^{2}(G)}$ only the principal series are required. This immediately yields the decomposition on the subrepresentations ${\displaystyle L^{2}(G/\{\pm I\}),}$ the left regular representation of the Lorentz group, and ${\displaystyle L^{2}(G/K),}$ the regular representation on 3-dimensional hyperbolic space. (The former only involves principal series representations with k even and the latter only those with k = 0.)

The left and right regular representation λ and ρ are defined on ${\displaystyle L^{2}(G)}$ by

${\displaystyle {\begin{aligned}(\lambda (g)f)(x)&=f\left(g^{-1}x\right)\\(\rho (g)f)(x)&=f(xg)\end{aligned}}}$

Now if f is an element of C_c(G), the operator ${\displaystyle \pi _{\nu ,k}(f)}$ defined by

${\displaystyle \pi _{\nu ,k}(f)=\int _{G}f(g)\pi (g)\,dg}$

is Hilbert–Schmidt. Define a Hilbert space H by

${\displaystyle H=\bigoplus _{k\geqslant 0}{\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C} )\right)\otimes L^{2}\left(\mathbb {R} ,c_{k}{\sqrt {\nu ^{2}+k^{2}}}d\nu \right),}$

where

${\displaystyle c_{k}={\begin{cases}{\frac {1}{4\pi ^{3/2}}}&k=0\\{\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}&k\neq 0\end{cases}}}$

and ${\displaystyle {\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C} )\right)}$ denotes the Hilbert space of Hilbert–Schmidt operators on ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} ).}$^{[nb 36]} Then the map U defined on C_c(G) by

${\displaystyle U(f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(f)}$

extends to a unitary of ${\displaystyle L^{2}(G)}$ onto H.

The map U satisfies the intertwining property

${\displaystyle U(\lambda (x)\rho (y)f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(x)^{-1}\pi _{\nu ,k}(f)\pi _{\nu ,k}(y).}$

If f₁, f₂ are in C_c(G) then by unitarity

${\displaystyle (f_{1},f_{2})=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Tr} \left(\pi _{\nu ,k}(f_{1})\pi _{\nu ,k}(f_{2})^{*}\right)\left(\nu ^{2}+k^{2}\right)\,d\nu .}$

Thus if ${\displaystyle f=f_{1}*f_{2}^{*}}$ denotes the convolution of ${\displaystyle f_{1}}$ and ${\displaystyle f_{2}^{*},}$ and ${\displaystyle f_{2}^{*}(g)={\overline {f_{2}(g^{-1})}},}$ then^[141]

${\displaystyle f(1)=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Tr} \left(\pi _{\nu ,k}(f)\right)\left(\nu ^{2}+k^{2}\right)\,d\nu .}$

The last two displayed formulas are usually referred to as the Plancherel formula and the Fourier inversion formula respectively.

The Plancherel formula extends to all ${\displaystyle f_{i}\in L^{2}(G).}$ By a theorem of Jacques Dixmier and Paul Malliavin, every smooth compactly supported function on ${\displaystyle G}$ is a finite sum of convolutions of similar functions, the inversion formula holds for such f. It can be extended to much wider classes of functions satisfying mild differentiability conditions.^[61]

Classification of representations of SO(3, 1)

The strategy followed in the classification of the irreducible infinite-dimensional representations is, in analogy to the finite-dimensional case, to assume they exist, and to investigate their properties. Thus first assume that an irreducible strongly continuous infinite-dimensional representation Π_H on a Hilbert space H of SO(3; 1)⁺ is at hand.^[142] Since SO(3) is a subgroup, Π_H is a representation of it as well. Each irreducible subrepresentation of SO(3) is finite-dimensional, and the SO(3) representation is reducible into a direct sum of irreducible finite-dimensional unitary representations of SO(3) if Π_H is unitary.^[143]

The steps are the following:^[144]

1. Choose a suitable basis of common eigenvectors of J² and J₃.
2. Compute matrix elements of J₁, J₂, J₃ and K₁, K₂, K₃.
3. Enforce Lie algebra commutation relations.
4. Require unitarity together with orthonormality of the basis.^{[nb 37]}

Step 1

One suitable choice of basis and labeling is given by

${\displaystyle \left j_{0}\,j_{1};j\,m\right\rangle .}$

If this were a finite-dimensional representation, then j₀ would correspond the lowest occurring eigenvalue j(j + 1) of J² in the representation, equal to m − n , and j₁ would correspond to the highest occurring eigenvalue, equal to m + n. In the infinite-dimensional case, j₀ ≥ 0 retains this meaning, but j₁ does not.^[66] For simplicity, it is assumed that a given j occurs at most once in a given representation (this is the case for finite-dimensional representations), and it can be shown^[145] that the assumption is possible to avoid (with a slightly more complicated calculation) with the same results.

Step 2

The next step is to compute the matrix elements of the operators J₁, J₂, J₃ and K₁, K₂, K₃ forming the basis of the Lie algebra of ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).}$ The matrix elements of ${\displaystyle J_{\pm }=J_{1}\pm iJ_{2}}$ and ${\displaystyle J_{3}}$ (the complexified Lie algebra is understood) are known from the representation theory of the rotation group, and are given by^[146][147]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j\,m\right J_{+}\left j\,m-1\right\rangle &=\left\langle j\,m-1\right J_{-}\left j\,m\right\rangle ={\sqrt {(j+m)(j-m+1)}},\\\left\langle j\,m\right J_{3}\left j\,m\right\rangle &=m,\end{aligned}}}$

where the labels j₀ and j₁ have been dropped since they are the same for all basis vectors in the representation.

Due to the commutation relations

${\displaystyle [J_{i},K_{j}]=i\epsilon _{ijk}K_{k},}$

the triple (K_i, K_i, K_i) ≡ K is a vector operator^[148] and the Wigner–Eckart theorem^[149] applies for computation of matrix elements between the states represented by the chosen basis.^[150] The matrix elements of

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{0}^{(1)}&=K_{3},\\K_{\pm 1}^{(1)}&=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}(K_{1}\pm iK_{2}),\end{aligned}}}$

where the superscript (1) signifies that the defined quantities are the components of a spherical tensor operator of rank k = 1 (which explains the factor √2 as well) and the subscripts 0, ±1 are referred to as q in formulas below, are given by^[151]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j'm'\left K_{0}^{(1)}\right j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\,m'\,k=1\,q=0 j\,m\right\rangle \left\langle j\left\ K^{(1)}\right\ j'\right\rangle ,\\\left\langle j'm'\left K_{\pm 1}^{(1)}\right j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\,m'\,k=1\,q=\pm 1 j\,m\right\rangle \left\langle j\left\ K^{(1)}\right\ j'\right\rangle .\end{aligned}}}$

Here the first factors on the right hand sides are Clebsch–Gordan coefficients for coupling j′ with k to get j. The second factors are the reduced matrix elements. They do not depend on m, m′ or q, but depend on j, j′ and, of course, K. For a complete list of non-vanishing equations, see Harish-Chandra (1947, p. 375).

Step 3

The next step is to demand that the Lie algebra relations hold, i.e. that

${\displaystyle [K_{\pm },K_{3}]=\pm J_{\pm },\quad [K_{+},K_{-}]=-2J_{3}.}$

This results in a set of equations^[152] for which the solutions are^[153]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j\left\ K^{(1)}\right\ j\right\rangle &=i{\frac {j_{1}j_{0}}{\sqrt {j(j+1)}}},\\\left\langle j\left\ K^{(1)}\right\ j-1\right\rangle &=-B_{j}\xi _{j}{\sqrt {j(2j-1)}},\\\left\langle j-1\left\ K^{(1)}\right\ j\right\rangle &=B_{j}\xi _{j}^{-1}{\sqrt {j(2j+1)}},\end{aligned}}}$

where

${\displaystyle B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}-j_{1}^{2})}{j^{2}(4j^{2}-1)}}},\quad j_{0}=0,{\tfrac {1}{2}},1,\ldots \quad {\text{and}}\quad j_{1},\xi _{j}\in \mathbb {C} .}$

Step 4

The imposition of the requirement of unitarity of the corresponding representation of the group restricts the possible values for the arbitrary complex numbers j₀ and ξ_j. Unitarity of the group representation translates to the requirement of the Lie algebra representatives being Hermitian, meaning

${\displaystyle K_{\pm }^{\dagger }=K_{\mp },\quad K_{3}^{\dagger }=K_{3}.}$

This translates to^[154]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j\left\ K^{(1)}\right\ j\right\rangle &={\overline {\left\langle j\left\ K^{(1)}\right\ j\right\rangle }},\\\left\langle j\left\ K^{(1)}\right\ j-1\right\rangle &=-{\overline {\left\langle j-1\left\ K^{(1)}\right\ j\right\rangle }},\end{aligned}}}$

leading to^[155]

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}\left(j_{1}+{\overline {j_{1}}}\right)&=0,\\\left B_{j}\right \left(\left \xi _{j}\right ^{2}-e^{-2i\beta _{j}}\right)&=0,\end{aligned}}}$

where β_j is the angle of B_j on polar form. For B_j ≠ 0 follows ${\displaystyle \left \xi _{j}\right ^{2}=1}$ and ${\displaystyle \xi _{j}=1}$ is chosen by convention. There are two possible cases:

• ${\displaystyle {\underline {j_{1}+{\overline {j_{1}}}=0.}}}$ In this case j₁ = − iν, ν real,^[156]

  ${\displaystyle \left\langle j\left\ K^{(1)}\right\ j\right\rangle ={\frac {\nu j_{0}}{j(j+1)}}\quad {\text{and}}\quad B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}+\nu ^{2})}{4j^{2}-1}}}}$

This is the principal series. Its elements are denoted ${\displaystyle (j_{0},\nu ),2j_{0}\in \mathbb {N} ,\nu \in \mathbb {R} .}$

• ${\displaystyle {\underline {j_{0}=0.}}}$ It follows:^[157]

  ${\displaystyle \left\langle j\left\ K^{(1)}\right\ j\right\rangle =0\quad {\text{and}}\quad B_{j}={\sqrt {\frac {j^{2}-\nu ^{2}}{4j^{2}-1}}}}$

Since B₀ = B_j0, B²
_j is real and positive for j = 1, 2, ... , leading to −1 ≤ ν ≤ 1. This is complementary series. Its elements are denoted (0, ν), −1 ≤ ν ≤ 1.

This shows that the representations of above are all infinite-dimensional irreducible unitary representations.

Explicit formulas

Conventions and Lie algebra bases

The metric of choice is given by η = diag(−1, 1, 1, 1), and the physics convention for Lie algebras and the exponential mapping is used. These choices are arbitrary, but once they are made, fixed. One possible choice of basis for the Lie algebra is, in the 4-vector representation, given by:

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}=J^{23}=-J^{32}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}},&K_{1}=J^{01}=-J^{10}&=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\\[8pt]J_{2}=J^{31}=-J^{13}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}},&K_{2}=J^{02}=-J^{20}&=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\\[8pt]J_{3}=J^{12}=-J^{21}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},&K_{3}=J^{03}=-J^{30}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.\\[8pt]\end{aligned}}}$

The commutation relations of the Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ are:^[158]

${\displaystyle \left[J^{\mu \nu },J^{\rho \sigma }\right]=i\left(\eta ^{\sigma \mu }J^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \sigma }J^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }J^{\sigma \nu }-\eta ^{\nu \rho }J^{\mu \sigma }\right).}$

In three-dimensional notation, these are^[159]

${\displaystyle \left[J_{i},J_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}J_{k},\quad \left[J_{i},K_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}K_{k},\quad \left[K_{i},K_{j}\right]=-i\epsilon _{ijk}J_{k}.}$

The choice of basis above satisfies the relations, but other choices are possible. The multiple use of the symbol J above and in the sequel should be observed.

For example, a typical boost and a typical rotation exponentiate as,

${\displaystyle \exp(-i\xi K_{1})={\begin{pmatrix}\cosh \xi &\sinh \xi &0&0\\\sinh x&\cosh x&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\qquad \exp(-i\theta J_{1})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}},}$

symmetric and orthogonal, respectively.

Weyl spinors and bispinors

By taking, in turn, m = 1/2, n = 0 and m = 0, n = 1/2 and by setting

${\displaystyle J_{i}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}={\frac {1}{2}}\sigma _{i}}$

in the general expression (G1), and by using the trivial relations 1₁ = 1 and J⁽⁰⁾ = 0, it follows

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)}(J_{i})&={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{i}\otimes 1_{(1)}+1_{(2)}\otimes J_{i}^{(0)}\right)={\frac {1}{2}}\sigma _{i}\\\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)}(K_{i})&={\frac {i}{2}}\left(1_{(2)}\otimes J_{i}^{(0)}-\sigma _{i}\otimes 1_{(1)}\right)=-{\frac {i}{2}}\sigma _{i}\\[6pt]\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}(J_{i})&={\frac {1}{2}}\left(J_{i}^{(0)}\otimes 1_{(2)}+1_{(1)}\otimes \sigma _{i}\right)={\frac {1}{2}}\sigma _{i}\\\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}(K_{i})&={\frac {i}{2}}\left(1_{(1)}\otimes \sigma _{i}-J_{i}^{(0)}\otimes 1_{(2)}\right)={\frac {i}{2}}\sigma _{i}\end{aligned}}}$

(W1)

These are the left-handed and right-handed Weyl spinor representations. They act by matrix multiplication on 2-dimensional complex vector spaces (with a choice of basis) V_L and V_R, whose elements Ψ_L and Ψ_R are called left- and right-handed Weyl spinors respectively. Given

${\displaystyle \left(\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)},V_{\text{L}}\right)\quad {\text{and}}\quad \left(\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)},V_{\text{R}}\right)}$

their direct sum as representations is formed,^[160]

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}\left(J_{i}\right)&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{i}\end{pmatrix}}\\[8pt]\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}\left(K_{i}\right)&={\frac {i}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&-\sigma _{i}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

(D1)

This is, up to a similarity transformation, the (1/2,0) ⊕ (0,1/2) Dirac spinor representation of ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).}$ It acts on the 4-component elements (Ψ_L, Ψ_R) of (V_L ⊕ V_R), called bispinors, by matrix multiplication. The representation may be obtained in a more general and basis independent way using Clifford algebras. These expressions for bispinors and Weyl spinors all extend by linearity of Lie algebras and representations to all of ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).}$ Expressions for the group representations are obtained by exponentiation.

Open problems

The classification and characterization of the representation theory of the Lorentz group was completed in 1947. But in association with the Bargmann–Wigner programme, there are yet unresolved purely mathematical problems, linked to the infinite-dimensional unitary representations.

The irreducible infinite-dimensional unitary representations may have indirect relevance to physical reality in speculative modern theories since the (generalized) Lorentz group appears as the little group of the Poincaré group of spacelike vectors in higher spacetime dimension. The corresponding infinite-dimensional unitary representations of the (generalized) Poincaré group are the so-called tachyonic representations. Tachyons appear in the spectrum of bosonic strings and are associated with instability of the vacuum.^[161][162] Even though tachyons may not be realized in nature, these representations must be mathematically understood in order to understand string theory. This is so since tachyon states turn out to appear in superstring theories too in attempts to create realistic models.^[163]

One open problem is the completion of the Bargmann–Wigner programme for the isometry group SO(D − 2, 1) of the de Sitter spacetime dS_D−2. Ideally, the physical components of wave functions would be realized on the hyperboloid dS_D−2 of radius μ > 0 embedded in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{D-2,1}}$ and the corresponding O(D−2, 1) covariant wave equations of the infinite-dimensional unitary representation to be known.^[162]

See also

• Bargmann–Wigner equations
• Center of mass (relativistic)
• Dirac algebra
• Gamma matrices
• Lorentz group
• Möbius transformation
• Poincaré group
• Representation theory of the Poincaré group
• Symmetry in quantum mechanics
• Wigner's classification

Remarks

Notes

Freely available online references

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References

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