스태빌라이저 코드

이 기사는 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 전문적일 수 있다. 기술적인 세부사항을 삭제하지 않고 비전문가도 쉽게 이해할 수 있도록 개선해 주시기 바랍니다. (2022년 4월) (이 템플릿메시지 삭제 방법 및 삭제 시기 확인)

양자 오차 보정 이론은 양자 컴퓨팅과 양자 통신 장치의 실용적인 실현과 엔지니어링에 중요한 역할을 합니다.첫 번째 양자 오류 수정 코드는 작동 및 성능 면에서 기존의 블록 코드와 현저하게 유사합니다.양자 오류 수정 코드는 노이즈가 많고 복호화된 양자 상태를 순수한 양자 상태로 복원합니다.스태빌라이저 양자 오류 수정 코드는 보호하고자 하는 큐비트에 ancilla qubit를 추가합니다.유니터리 부호화 회로는 글로벌 상태를 더 큰 힐버트 공간의 서브공간으로 회전시킨다.이 고도로 얽힌 부호화된 상태는 로컬 노이즈 오류를 수정합니다.양자오류보정부호는 노이즈가 특정 오차모델에 준거하는 노이즈가 있는 큐비트 채널에 대해 송신자 및 수신자가 노이즈가 없는 큐비트 채널을 시뮬레이트하는 방법을 제공함으로써 양자계산 및 양자통신을 실용화한다.

양자 오차 보정의 안정화 이론은 양자 코드로 사용하기 위해 몇 가지 고전적인 이진수 또는 4차 코드를 가져올 수 있게 해준다.단, 클래식코드를 Import할 때는 이중포함(또는 자기정통성) 제약조건을 충족해야 합니다.연구자들은 이러한 제약을 충족하는 고전적 코드의 많은 예를 발견했지만, 대부분의 고전적 코드는 그렇지 않습니다.그럼에도 불구하고, 이러한 방식으로 고전적 코드를 가져오는 것은 여전히 유용합니다(단, 얽힘에 의한 안정기 형식주의가 이 어려움을 어떻게 극복하는지 살펴 보십시오).

수학적 배경

스태빌라이저 형식주의는 Pauli 그룹$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\displaystyle$\Pi)$의 요소를 이용하여 양자 오류 수정 코드를 공식화합니다.${\displaystyle 세트}$ ${\displaystyle =}$ {${\displaystyle }$I ,${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle Y}$ , Z $}$ { $displaystyle$\ $Pi$= \$left$ \ {$I$ ,$X$ ,$Y$ ,$Z$ \ $right$\ }는$$ 다음 Pauli 연산자로 구성됩니다.

$(\displaystyle I\equiv {bmatrix} 1&0&1&1\end {bmatrix}, X\equiv {bmatrix} 0&1&0&end {bmatrix}, Y\equiv {matrix} 0&i\end {batrix}, Z}$

위의 연산자는 2차원 힐버트 공간의 벡터로 표현되는 상태인 단일 큐비트에 대해 작용합니다.$\pi {\displaystyle \mathrm{}}$\ $displaystyle$$$\ $Pi }$의 연산자는 고유값${\displaystyle }$±$$(\ $displaystyle$ \$pm$1)을$$ 가지며 통근 또는 반 통근입니다.세트 ${\displaystyle {\pi n}^{}}$\ $displaystyle$$$\ $Pi$^ { $n$} 은$$ Pauli 연산자의$$n \ $displaystyle$n$$ 의 tensor $곱$으로 구성됩니다.

$\displaystyle \Pi ^{n}=\left\{\display{array}{c}e^{i\phi}\otimes\cdots\{n}:\forall j\in \left\{1,\ldots,n\right\}A_{j}\in \Pi,\phi\in \left\{0,\pi /2,\pi,3\pi /2\right\}\end{array}\right\}.}$

${\displaystyle {\delta n}^{}}$\$displaystyle \Pi ^{n}$의 요소는 n${displaystyle$ n$}$큐비트의$$ $양자{\displaystyle }$ 레지스터에 작용합니다.우리는 때때로 다음과 같은 것들에서 텐서 곱 기호를 생략한다.

$\displaystyle A_{1}\cdots A_{n}\equiv A_{1}\otimes \cdots \otimes A_{n}.}$

n$(\displaystyle$ n$$$)-$fold Pauli 그룹 $(\displaystyle$ \$Pi ^{n})$은 n$(\displaystyle$ n$)$ 큐비트에$$ 걸친 $양자{\displaystyle }$ 스태빌라이저 코드의 부호화 회로 및 오류 수정 절차 모두에 중요한 역할을 합니다.

정의.

$k$$$$$$k}$ $논리$$큐비트$를 n ${\displaystyle$ n$}$$개$의 물리 큐비트로 인코딩하는 스태빌라이저 양자 오류 수정 코드를 정의합니다$.$이러한 코드의 비율은 k$({$$displaystyle$ k$/n$입니다. $스태빌라이저{\displaystyle \mathcal{}}$S({$displaystyle$${S})$는 n$({displaystyle$$n$의 아벨 ${\displaystyle {서브그룹}^{}}$입니다$.$$({$는 연산자$$을 포함하지 않습니다${\displaystyle {.}^{}}$- $I^{\otimes$n$\}\}.$연산자의 동시${\displaystyle }$+ $(\displaystyle +1)$-eigenspace가 코드 공간을 구성합니다.코드스페이스의 치수는 $({$})이므로 k$({displaystyle$k}) 큐비트를$$ $부호화$할 수 있습니다.$스태빌라이저{\displaystyle \mathcal{}}$ S$(\$는 n${\displaystyle }$-$$(\$displaystyle n-k)$ 독립$$ 제너레이터에 $대해{\displaystyle }$ 최소한의 대표성을 가집니다.

$\displaystyle \left \{g_{1},\ldots,g_{n-k}\\forall iin \left\{1,\ldots,n-k\right\},\g_{i}\in\mathcal {S}\right\}.}$

발전기는 모두 다른 두 개의 제품(글로벌 단계까지)이 아니라는 점에서 독립적입니다.${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {g\mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle \dots ,}$ g${\displaystyle n_{}}$ -$$ (\$displaystyle g_{1},\ldots,g_{n-k})$는 패리티 체크 매트릭스와 동일한 방식으로 작동합니다.

스태빌라이저 오류 수정 조건

양자 오차 보정 이론의 기본 개념 중 하나는 Pauli 그룹 $(\$의 지원을 받아 이산 오차 세트를 수정하는 것으로 충분하다는 것입니다. 부호화된 양자 상태에 영향을 미치는 오차는 Pauli 그룹 $(\$$displaystyle\mathcal {E})$의 $서브셋{\displaystyle \mathcal{}}$ E$(\$$displa$)라고 가정합니다.$ystyle \Pi ^{n$

${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset \Pi ^{n}.}$

E$(\$$displaystyle\$$mathcal$$${$E$$})$와 S$(\$displaystyle\$Pi ^{n$는 둘 다$δn$의 서브셋이기 $때문$에 부호화된 양자 상태에 영향을 주는 $(\$ {E$})$는 특정$gstylement$와 일치하거나 반합합니다.$S(\displaystyle$ {S$})$의 경우$$ 오류 $E(\displaystyle$ E$$$)$는 $(\displaystyle${$S$})의 요소 $g$$(\displaystyle$ g$\})$와 반교합하는 경우 수정할 수 있으며, $반교합{\displaystyle }$ $오류$ E$(\$displaystyle E$$$)$는 S(\style g)의 각 $요소$ $g(\$displaystyle)를 측정하여 검출할 수 있습니다$.$$$$(\$$displaystyle\$$mathcal$$${$S$$})$ 및$$ E(\$displaystyle$$$E$)$를 $식별$하는 $신드롬$을$$계산합니다.$신드롬$은$길이$n - k의 이진 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$r ${\displaystyle$ \$mathbf {$r$$$$}입니다.이러한 요소는 $E$가 $각{\displaystyle }$ g${\displaystyle s\mathcal{}}$ S$${\$displaystyle g\in$ \mathcal$$ ${S$와 일치하는지$$ 여부를 나타냅니다.모든 요소와 일치하는 $에러{\displaystyle }$E {\$displaystyle$$n}$${\displaystyle }$$S의$g$(\$$displaystyle$$${$S$는$S$에 $있는{\displaystyle \mathcal{}}$ 경우에만 수정할 수 있습니다. S$(\${S$})$의 모든 요소와$$ 일치하지만 S$(\displaystyle$ {$S$에 있지 않으면 인코딩 상태가 손상됩니다.스태빌라이저 오류 수정 조건을 ctly 요약합니다. 스태빌라이저 코드는 E$(\$$E_{1}, E_{2})$의 E(\displaystyle {$E})$에$있는$ 오류를 수정할 수 있습니다.

${\displaystyle E_{1}^{\dagger}\notin {\mathcal {Z}}\left({\mathcal {S}}\오른쪽)}$

또는

${\displaystyle E_{1}^{\dagger}E_{2}\in {\mathcal {S}}$

${\displaystyle 여기}$서${\displaystyle }$Z$(\${\$mathcal {Z}}\left$({\$mathcal$ ${$$S}\right)$는$S(\$displaystyle {$S})($$즉$, S$(\$displaystyle {$S$의 모든 멤버와 통근하는 요소의 하위 그룹)의 $중앙{\displaystyle \mathcal{}}$ 집중 장치입니다.

파울리 군과 이항 벡터 사이의 관계

$\pi {\displaystyle \mathrm{}}$\ $displaystyle$\$Pi }$ 요소와$$ 2진 벡터 공간${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {{}_{}}^{}}$2) $(\$(\$mathbb {Z} _{2}\right$$2})$ 사이에 간단하지만 유용한 매핑이 존재하며, 이 매핑은 양자 오차 보정 이론을 단순하게 한다.이는 각각 Pauli 연산자와 행렬 연산자가 아닌 이진 벡터와 이진 연산을 사용하여 양자 코드를 나타냅니다.

먼저 1비트 케이스의 매핑을 나타냅니다.$[$ $]$ \ $displaystyle$ \$$left라고 가정합니다.$A\right]$는 $연산자{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ A$)$의 동등성 클래스 세트이며, 위상은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \left [A\right]=\left\{\beta A\in \mathbb {C},\\left\vert \right\vert =1\right\}.}$

$[{\displaystyle \mathrm{\pi }}$ {\$$$]$ { $displaystyle \left$ [ \ $Pi$ \ right $]$를 위상 없는 Pauli 연산자의 집합이라고 가정합니다$.{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 [${\displaystyle }$] ]${\displaystyle =}$ {${\displaystyle }$[ ${\displaystyle A}$ ] A ${\displaystyle \in }$ ∈$π$ \ [ \ left [ \$Pi$ \ right ] = \ left \ { \ \ \ \ $left$ [ left$$]$A\right]\\ A\in \Pi$\right$\backslash \}.$${\displaystyle }맵{\displaystyle {{\mathbb{}}_{}}^{}}$ : (${\displaystyle {{\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$) 2 $→$ ${\displaystyle \mathrm{\pi }}$ { $displaystyle N$ : \ left ( \$mathbb${ Z$$}$$_${2$} \ right$}$ \ $rowrowrow$ \ row$$ \ row \ $rowrow$ rowrowrow rowrow a a a a a a 。

$(*displaystyle 00 to I,01 to X,11 to Y,10 to Z)$

$예$를 들어${\displaystyle u}$ , v${\displaystyle {\mathrm{}}^{{}_{}}}$( Z 2)$$2 \ $displaystyle u$ ,$v$ \ $in \$left ( \$mathbb${ $Z }$ _ {2} \ right$)^2$}$$2 . = ( ${\displaystyle z}$${\displaystyle x{}^{}{}^{}}$$$) \ $displaystyle u$= \$$$left$$$( z $x$$$\ right )$v$ v${\displaystyle {}^{}}$ ) ) ) ) ) )$display =$ { $display style$v } { right } { sprimeft } { sprimart } { sprimeaking } } } suppose suppose suppose suppose suppose suppose suppose suppose suppose suppose $suppose{\displaystyle }$$e$ x$\}$ , $z{\displaystyle {}^{}}$ { $displaystyle$ z^ { \ $prime }$、 $x{\displaystyle {}^{\mathrm{}}{\mathrm{}}_{}}$ Z 2 $displaystyle$ x^ { \ $prime$} \ $in$\ $mathbb${ $Z } _$ {$\}$ . $예$를 $들어{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle 0\mathrm{}}$1)$$\ $displaystyle$ u = \ $left$($$0$1$\ $right$ )$$} $。$$그런{\displaystyle }$ 다음${\displaystyle }$N (${\displaystyle u}$ )$=$ ${\displaystyle X}$ {\$displaystyle N\left(u$\right)=X$\}.$ $지도{\displaystyle }$ N {\$displaystyle$ N$}$은$({\displaystyle }$는) 동형성을 ${\displaystyle \mathrm{유도}}$합니다${\displaystyle .[}$ N${\displaystyle {}^{}}$ : ( Z ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$)${\displaystyle {{}_{}}^{}}$2${\displaystyle {}^{}}$ [$]$ { $displaystyle$ \$left$ [$N$ \ $right$] :$\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^2}\오른쪽$ 화살표 \$left[\Pi \right]$는 (${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2)$$2 $displaystyle \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^2}$에${\displaystyle {}^{}}$벡터를 추가하는 것은 Pauli 연산자를 글로벌 위상으로 곱하는 것과 같기 때문입니다.

$\displaystyle \left(u+v\right)=\left[N\left(u\right)\left]\left[N\left(v\right)\right]}$

$⊙$ {\$displaystyle \odot}$은 두 $요소{\displaystyle }$ u${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ( ${\displaystyle {{\mathrm{}}_{}}^{}}$)$$ {\$displaystyle$u,$v\in \left(\mathbb {Z} _{2}\right$$2}$ 사이의 심플렉틱 곱을 나타냅니다.

$(\displaystyle u\odot v\equiv zx^{\prime }-xz^{\prime 。$

심플렉틱 제품 $⊙$ {\$displaystyle \odot}$은(는)$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle \Pi$ 요소의 정류 관계를 제공합니다.

$\displaystyle N\left(u\오른쪽)N\left(v\right)=\left(-1\right)^{\left(u\odot v\right)}N\left(v\right)N\left(u\right).}$

따라서 심플렉틱 곱과 $매핑{\displaystyle }$N({$displaystyle$N})은$$ 2진수 대수의 관점에서 파울리 관계를 표현하기 위한 유용한 방법을 제공한다.위의 정의를 확장하고 N$(\displaystyle$ N$)$을 여러 큐비트로 $매핑하는{\displaystyle }$ 것은 간단합니다.$A{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle A_{}}$n \$displaystyle$ \$mathbf${ A } =$A_{1} \otimes$ \$cdots$ \{$n}$ denote$$$$n \ $displaystyle$\Pi $^{n$ ${\displaystyle {we}^{}}$ n$$\ $display style$ \ Pi$$ $^{$n} の bit bit { { { { ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ define define $[{\displaystyle }$ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [${n}\right]=\left\{\left[\mathbf {A}$ \$right]\\mathbf {A}$ \$in \Pi ^{n}\right\}$ 여기서$$

$\displaystyle \left[\mathbf {A} \right]=\left\{\display\mathbb {A} \\display \in \mathbb {C} ,\displaystyle \vert \right \vert = 1\right\}.}$

상기 동등성 클래스의 그룹 연산 $「\displaystyle\ast」$는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \left[\mathbf {A} \right]\ast \left[\mathbf {B} \right]\equiv \left[A_{1}\right]\ast \left[B_{1}\right]\otimes \cdots \otimes \left[A_{n}\right]\ast \left[B_{n}\right]=\left[A_{1}B_{1}\right]\otimes \cdots \otimes \left[A_{n}B_{n}\right]=\left[\mathbf {AB} \right]}$

등가 클래스 $](\displaystyle \left$[\$Pi ^{n}\$right])는$$ 연산 ${\$ {\$displaystyle \ast$ 아래의 교환 그룹을 형성합니다. $(\displaystyle 2n)$ 차원 벡터 공간을 고려하십시오.

$\displaystyle \left(\mathbb {Z} _{2} \right)^2n}=\left(\mathbf {z,x} \right):\mathbf {z} ,\in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{n}\right\}.}$

연산$$+ \$displaystyle$ +$$\displaystyle$$$$( \ $mathbb${ $Z } _$ {$2}$ \ $right$)^$2n,$ + )로$$ 정의되는 ${\displaystyle {{\mathbb{}}_{}}^{}}$ ( ( ${\displaystyle {{}_{}}^{\mathrm{}}}$) 2${\displaystyle {}^{}{n}^{}}$)${\displaystyle }$, $+$ )을 형성합니다.u ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle z\mathbf{}}$x${\displaystyle }$) , ${\displaystyle v\mathbf{}}$ ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle z{\mathbf{}}^{\mathrm{}}x{}^{}{\mathbf{}}^{}}$ x $)$ )$=$ \$left(\mathbf {z}$ \$mathbf {x}$ \$right),$ \$mathbf {v}$= \$left(\mathbf {z}$^{\$prime} ^{\}$ ) =\$primathbf${\$right}$} } } =\primathbf {\} } } } } } $u$ =\primathbf {primathbf {right} $각각$ {$Z} _{2}\$right)^{$2n}$입니다$.$각 벡터 z{\displaystyle \mathbf{z}}, 탭{\displaystyle \mathbf{)}}요소이며 각각 z′을 위해 유사한 표현과{\displaystyle \left(x_{1},\ldots{n}\right ,x_)}(x1,…,)n){\displaystyle \left(z_{1},\ldots{n},z_ \right)}(z1,…, zn)다. {\displaystyle \mathbf{z}^{\prime}}, 탭′{\displaystyle \mathbf{)}^{\prime}}.그symplectic 제품 유{\displaystyle \mathbf{너}의 ⊙{\displaystyle \odot}}그리고 v{\displaystyle \mathbf{v}}은.

${{displaystyle \mathbf {u} \odot \mathbf {v\equiv} \sum _{i=1}^{n}z_{i}x_{i}^{\prime}^-x_{i}z_{i}^{\prime}}}}}$

또는

$\displaystyle \mathbf {u} \odot \mathbf {v\equiv } \sum _{i=1}^{n}u_{i}\odot v_{i}}$

$여기$서 ${\displaystyle u{}_{}}$ ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle z_{}}$ i ${\displaystyle x{}_{}{}_{}{i}_{}}$) { $displaystyle$ $u$_ { i } = \$$${\displaystyle left{}_{}^{}{}_{}^{}}$ ( z$$${\displaystyle {\_}_{}^{}}$ {$$$i$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ x$$${\displaystyle {\_}_{}^{}}$ { $i$${\displaystyle {}_{}^{}}$ \ $right$$$}$$ i$v$ \$left$ ( z _ { i$)^{$ \ $prime } x _$ { $i$} \ $right$ z = ( x _ { i } \ right ) . $map{\displaystyle \mathbf{}{}^{}}$$2n}\rightarrow \Pi ^{n$}:

$\displaystyle \mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)\equiv N\left(u_{1}\right)\otimes \cdots \left(u_{n}\right).}$

허락하다

$\displaystyle \mathbf {X} \left(\mathbf {x} \right)\equiv X^{x_{1}\otimes X^{x_{n}},,,,\mathbf {Z} \left(\mathbf {z} \right)\equiv Z^{cdotimes {1}}\cdotes$

N$)$ {$displaystyle \mathbf {N}$ \$left(\mathbf {u}$ \$right)}$ 및$$ $)$ X$)$ {$displaystyle \mathbf {Z}$ \$left(\right)\mathbf {X}$ \$left(\mathbf {x}$ \$right)$가 동일한 클래스에 속하도록 $합니다{\displaystyle \mathbf{}}$.

$\displaystyle \left[\mathbf {n} \right]=\left[\mathbf {Z} \left(\mathbf {z} \right)\mathbf {X} \left(\mathbf {x} \right)\].}$

지도${\displaystyle }$[${\displaystyle N\mathbf{}]{}^{}}$: ( ${\displaystyle {\mathrm{}}^{{}_{}}}$2) ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$ ${\displaystyle \to }$ [ ${\displaystyle {\pi }^{}}$ n$]$ { $displaystyle \left$[ \ $mathbf${ $N }$ \ $right$] :$\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^2n}\rightarrow$\left[\$Pi ^{n$}\right$]$는 앞의 경우와 같은 이유로 나타나는 동형입니다.

$\displaystyle \left[\mathbf {u+v} \right]=\left[\mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)\left[\mathbf {N} \left(\mathbf {v} \right)\right],$

$여기$서${\displaystyle \mathbf{}}$u , ${\displaystyle \mathbf{v}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ( ${\displaystyle {{\mathrm{}}_{}}^{}}$) ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$\$displaystyle \mathbf {u,v}$ \$in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^2n$심플렉틱 곱은 $연산자{\displaystyle \mathbf{}}$ $displaystyle \mathbf {N}$ \$left(\mathbf {u}$ \$right)$ 및 $(\$ \$left(\mathbf {v}$ \$right$의 변환 관계를 캡처합니다.

$\displaystyle \mathbf {N\left(\mathbf {u}\오른쪽)N} \left(\mathbf {v} \right)=\left(\mathbf {u} \odot \mathbf {v} \right)^{\left(\mathbf {v} \right)}\mathbf {N} \left(\mathbf {N} \left(\mathbfu} \right)\left(\light)}$

위의 2진수 표현과 심플렉틱 대수는 고전적인 선형 오차 보정과 양자 오차 보정 사이의 관계를 보다 명확하게 하는데 유용하다.

이 언어의 양자 오차 보정 코드를 심플렉틱 벡터 공간과 비교하면 다음과 같은 것을 알 수 있다.심플렉틱 부분공간은 파울리 대수의 직합(즉 부호화 큐비트)에 대응하고, 등방성 부분공간은 안정제 세트에 대응한다.

스태빌라이저 코드의 예

스태빌라이저 코드의 예로는 5 큐비트${\displaystyle [}$ [${\displaystyle 5}$,${\displaystyle 1}$, $]{$ $displaystyle \left [ 5, 1$, $3$\ $right$]} 스태빌라이저$$ 코드가 있습니다.k ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}${$displaystyle$ k$=1}$논리$$ 큐비트를 n ${\displaystyle =}$ {{$displaystyle$ n$=5}$ 물리적$$ $큐비트$로 $인코딩$하고 임의 단일 큐비트 오류로부터 보호합니다.코드 $거리{\displaystyle }$ d ${\displaystyle =}$ $({displaystyle d$3)입니다. 스태빌라이저는${\displaystyle }$n - ${\displaystyle \mathrm{k}}$ $=$ 4({$displaystyle n-k=4})$ Pauli$$ 연산자로 $구성$됩니다.

${\displaystyle\begin{array}{ccc}g_{1}&=&X&Z&X&I\\g_{2}&=&I&X&Z&X\g_{3}&=&X&I&X&Z\\g_{4}&=&Z&X&I&X&Z\end {array}}$

상기의 오퍼레이터는 통근합니다.따라서 코드스페이스는 상기 연산자의 동시 +1-eigenspace입니다.부호화된 양자 레지스터에서 단일 비트 오류가 발생한다고 가정합니다.세트${\displaystyle }${${\displaystyle {Xi}_{}}$ ${\displaystyle {Yi}_{}}$ ${\displaystyle {Zi}_{}}$ $}$ {$displaystyle \left\{X_{i}$에 싱글비트 오류가 있습니다.$Y_{i$},$Z_$${i$$\}\backslash$$right$$\}.$ ${\displaystyle {여기}_{}}$서$Ai$는 $Qubit$i의 Pauli 오류를 $나타냅니다$.임의의 단일 큐비트 오류에 고유 신드롬이 있는지 확인하는 것은 간단합니다.수신기는 패리티 측정을 통해 신드롬을 식별하고 수정 연산을 적용하여 단일 비트 오류를 수정합니다.

레퍼런스

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• Shor, Peter W. (1995-10-01). "Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory". Physical Review A. American Physical Society (APS). 52 (4): R2493–R2496. doi:10.1103/physreva.52.r2493. ISSN 1050-2947. PMID 9912632.
• Calderbank, A. R.; Shor, Peter W. (1996-08-01). "Good quantum error-correcting codes exist". Physical Review A. American Physical Society (APS). 54 (2): 1098–1105. arXiv:quant-ph/9512032. doi:10.1103/physreva.54.1098. ISSN 1050-2947. PMID 9913578. S2CID 11524969.
• Steane, A. M. (1996-07-29). "Error Correcting Codes in Quantum Theory". Physical Review Letters. American Physical Society (APS). 77 (5): 793–797. doi:10.1103/physrevlett.77.793. ISSN 0031-9007. PMID 10062908.
• A. 칼더뱅크, E. 레인즈, P.Shor 및 N. Sloane, "GF(4)를 통한 코드를 통한 양자 오류 수정", IEEE Trans.Inf. 이론, 제44권, 1369-1387, 페이지, 1998.https://arxiv.org/abs/quant-ph/9608006 에서 구할 수 있습니다.