파울리 방정식

양자역학에서 파울리 방정식 또는 슈뢰딩거-폴리 방정식은 스핀-분자 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 공식으로, 입자의 스핀과 외부 전자기장의 상호작용을 고려한다. 디락 방정식의 비상대적 한계로 빛의 속도보다 훨씬 적은 속도로 입자가 움직이는 곳에 사용할 수 있어 상대적 효과는 소홀히 할 수 있다. 1927년 볼프강 파울리에 의해 공식화되었다.^[1]

방정식

자기 벡터 전위 ${\$ \m $}$ 과 $m$ $\mathbf {A}$ (와) 전기 스칼라 전위 $\phi$ {\ $displaystyle$ $q}$ 이 $q$ 가) 설명하는 전자기장에서 질량 $m$ ${\$ $displaystyle$ $\mathbf$ ${A$ $}$ 과(와)의 입자에 대해 Pauli 방정식은 다음과 같다 $\phi$

파울리 방정식 (일반)

$\left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right] \psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}} \psi \rangle$

Here ${\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$ are the Pauli operators collected into a vector for convenience, and $\mathbf {p} =-i\hbar \nabla$ is the momentum operator. $|\psi \rangle$ 의 상태 , $|\psi \rangle$ ${\displaystyle \psi \rangele }($ Dirac 표기법)은 2-성분 스피너 파동 함수 또는 컬럼 벡터(기본 선택 후)로 간주할 수 있다.

\psi \rangle =\psi _{+} {\mathord {\uparrow }}\rangle +\psi _{-} {\mathord {\downarrow }}\rangle \,{\stackrel {\cdot }{=}}\,{\begin{bmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{bmatrix}}

.

해밀턴 연산자는 Pauli 연산자 때문에 2 × 2 행렬이다.

{\hat{H}}={\frac {1}{2m}\왼쪽[{\boldsymbol {\sigma }}}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A}\오른쪽)^{2}+q\pi

슈뢰딩거 방정식으로 대체하면 파울리 방정식이 주어진다. 이 해밀턴은 전자기장과 상호작용하는 전하 입자로 고전적인 해밀턴과 비슷하다. 이 고전적인 사례에 대한 자세한 내용은 로렌츠 힘을 참조하십시오. 전자파장이 없는 경우 자유 입자의 운동 에너지 용어는 p ${\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}$ ${\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}$ ${\$ ^{2 $}}m}}$ 에 불과하며, $\mathbf {p}$ 서 ${\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}$ p $\mathbf {p}$ {\ $displaysty \mathbf {p}}}$ 은 $\mathbf {p}$ 운동 운동 운동 운동 운동 운동 운동 운동력인 반면 전자기장이 있는 경우에는 최소 결합 $\mathbf {\Pi } =\mathbf {p} -q\mathbf {A}$ = p $\mathbf {\Pi } =\mathbf {p} -q\mathbf {A}$ $\mathbf {\Pi } =\mathbf {p} -q\mathbf {A}$ 를 포함한다. ${\displaystyle \mathbf {\Pi$ } $=\mathbf {p} -q\mathbf {A$ 여기서 이제 $\mathbf {\Pi }$ ${\$ 은 $\mathbf {\Pi }$ 운동운동운동운동운동운동력이고 p ${\$ 은 $\mathbf {p}$ 표준운동력이다.

Pauli 연산자는 Pauli 벡터 ID를 사용하여 운동 에너지 용어에서 제거할 수 있다.

({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)

벡터와 달리 $\mathbf {p} -q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$ $\mathbf {p} -q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$ p $\mathbf {p} -q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$ - $\mathbf {p} -q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$ q A = $\mathbf {p} -q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$ i $\mathbf {p} -q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$ $\mathbf {p} -q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$ - q $\displaystyle \mathbf {p} -q\mathbf$ { $A} =-i$ \hbar \nabla -q\mathbf ${A}$ 에는 $\mathbf {p} -q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$ 0이 아닌 교차 제품이 있다는 $\mathbf {p} -q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$ 점에 유의하십시오. 이는 스칼라 함수 $\psi$ $\psi$ 에 적용된 교차 제품을 고려해 볼 수 있다 $\psi$

\left[\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)\times \left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)\right]\psi =-q\left[\mathbf {p} \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\mathbf {p} \psi \right)\right]=iq\hbar \left[\nabla \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hb\left[\nabla \times \mathbf {A} \right)-\mathbf {A} \times \lift(\nabla \psi \right)+\mathbf {A} \timeslef(\nabla \psi \rig)=i}\i

여기서 $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$ = $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$ $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$ $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$ ${\$ 은 자기장이다 $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$ .

전체 파울리 방정식의 경우, 그 다음 하나를 얻는다^[2].

파울리 방정식 (표준 형식)

${\hat {H}} \psi \rangle =\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right] \psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}} \psi \rangle$

약한 자기장

For the case of where the magnetic field is constant and homogenous, one may expand ${\textstyle (\mathbf {p} -q\mathbf {A} )^{2}}$ using the symmetric gauge ${\textstyle \mathbf {A} ={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {r} }$ , where ${\textstyle \mathbf {r} }$ is the position 연산자. 우리는 얻는다.

(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )^{2}= \mathbf {p}  ^{2}-q(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )\cdot \mathbf {B} +{\frac {1}{4}}q^{2}\left( \mathbf {B}  ^{2} \mathbf {r}  ^{2}- \mathbf {B} \cdot \mathbf {r}  ^{2}\right)\approx \mathbf {p} ^{2}-q\mathbf {L} \cdot \mathbf {B} \,,

여기서 ${\textstyle \mathbf {L} }$ ${\$ 은 ${\textstyle \mathbf {L} }$ $($ 는) 입자 각도 운동량이며 B ${\$ 개의 자기장 항을 무시했다 ${\textstyle B^{2}}$ 따라서 우리는 얻는다.

파울리 방정식 (자장)

$\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left( \mathbf {p} ^{2}-q(\mathbf {L} +2\mathbf {S} )\cdot \mathbf {B} \right)\right]+q\phi \right] \psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}} \psi \rangle$

여기서 S ${\textstyle \mathbf {S} =\hbar {\boldsymbol {\sigma }}/2}$ = ${\textstyle \mathbf {S} =\hbar {\boldsymbol {\sigma }}/2}$ ${\textstyle \mathbf {S} =\hbar {\boldsymbol {\sigma }}/2}$ / 2 ${\textstyle \mathbf {S} =\hbar {\boldsymbol {\sigma }}/2$ }은 ${\textstyle \mathbf {S} =\hbar {\boldsymbol {\sigma }}/2}$ $($ 는) 입자의 스핀이다. 스핀 앞에 있는 인자 2는 디락 g-요인으로 알려져 있다. The term in ${\textstyle \mathbf {B} }$ , is of the form ${\textstyle -{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$ which is the usual interaction between a magnetic moment ${\textstyle {\boldsymbol {\mu }}}$ and a magnetic field, like in the Zeeman effect.

등방성 상수 자기장의 ${\textstyle -e}$ 전자 ${\textstyle -e}$ - e ${\textstyle -e}$ 의 ${\textstyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$ 경우, 총 각도 ${\textstyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$ J = ${\textstyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$ + ${\textstyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$ {\ $textstyle \mathbf {J}$ =\ $mathbf {L} +\mathbf {S}}$ 및 Wigner-Eckart 정리를 사용하여 방정식을 더 줄일 수 있다. 그래서 우리는 찾을 수 있다.

\left[{\frac { \mathbf {p}  ^{2}}{2m}}+\mu _{\rm {B}}g_{J}m_{j} \mathbf {B}  -e\phi \right] \psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}} \psi \rangle

where ${\textstyle \mu _{\rm {B}}={\frac {e\hbar }{2m}}}$ is the Bohr magneton and ${\textstyle m_{j}}$ is the magnetic quantum number related to ${\textstyle \mathbf {J} }$ . The term ${\textstyle g_{J}}$ is known as the Landé g-factor, and is given here by

g_{J}={\frac{3}{2}}+{\frac{3}{4}-\ell(\ell +1)}{2j(j+1)},},

^[a]

여기서 $\ell$ 은 $\ell$ (는 $)$ L 2 {\ $displaystyle L^{2}}$ 과 관련된 궤도 양자 번호이고, $j$ ${\displaystyle$ $j$ $}$ 은 $j$ $J^{2}$ $J^{2}$ ${\$ J $^{2}}$ 와 관련된 총 궤도 양자 번호다 $J^{2}$

디락 방정식에서

파울리 방정식은 Dirac 방정식의 비-상대적 양자 방정식, 입자의 스핀-스핀에 대한 움직임의 상대적 양자 방정식이다.^[3]

파생

디랙 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\left({\begin{array}{c}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{array}}\right)=c\,\left({\begin{array}{c

{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{2}\\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{1}\end{array}}\right)+q\,\phi \,\left({\begin{array}{c}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{array}}\right)+mc^{2}\,\left({\begin{array}{c}\psi _{1}\\-\psi _{2}\end{array}}\right)}

,

여기서 ${\textstyle \partial _{t}={\frac {\partial }{\partial t}}}$ ${\textstyle \partial _{t}={\frac {\partial }{\partial t}}}$ ${\textstyle \partial _{t}={\frac {\partial }{\partial t}}}$ = ${\textstyle \partial _{t}={\frac {\partial }{\partial t}}}$ ${\textstyle \partial _{t}={\frac {\partial }{\partial t}}}$ t {\ $textstyle$ \ \ $_{t}={\frac {}{\fract t}}$ 및 $\psi _{1},\psi _{2}$ $\psi _{1},\psi _{2}$ $\psi _{1},\psi _{2}$ 2 ${\$ 2성분 스피너로 $\psi _{1},\psi _{2}$ 되어 비스피너를 형성한다.

다음 ansatz 사용:

\left({\begin{array}{c}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{array}}\right)=\mathrm {e} ^{-\displaystyle i{\frac {mc^{2}t}{\hbar }}}\left({\begin{array}{c}\psi \\\chi \end{array}}\right)

,

두 개의 새로운 스피너로 , $\psi ,\chi$ , , $\psi ,\chi$ {\ $displaystyle \\$ ,\ $chi$ $\psi ,\chi$ 방정식은 다음과 같이 된다.

{\displaystyle i\hbar \partial _{t}\left({\begin{array}{c}\psi \\\chi \end{array}}\right)=c\,\left({\begin{array}{c}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\chi \\{\boldsymbol {\si

gma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi \end{array}}\right)+q\,\phi \,\left({\begin{array}{c}\psi \\\chi \end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}0\\-2\,mc^{2}\,\chi \end{array}}\right)}

.

비상대적 한계에서 $\partial _{t}\chi$ rest $\partial _{t}\chi$ $\partial _{t}\chi$ $\partial _{t}\chi$ 과 $\partial _{t}\chi$ 운동 및 정전기 에너지는 나머지 에너지 $mc^{2}$ $mc^{2}$ ${\$ }}에 대하여 작다 $mc^{2}$

그러므로,

\chi \frac {{\boldsymbol {\sigma}}\cdot {\boldsymbol {\Pi}\}\psi{2\,mc}\, 약 {\frac}\}\,

Dirac 방정식의 상위 성분에 삽입되어 Pauli 방정식(일반 형식)을 찾을 수 있다.

\mathrm {i}\,\hbar \,\partial _{t}\,\psi =\frac{{\boldsymbol{\\sigma}}}}}\\pi \}^{2}}:{{2\,m}+q\phi \psi.}}}}}}}}}}}}}}}}

Foldy-Wouthuysen 변환으로부터

또한 외부 분야의 디라크 방정식에서 시작하여 폴디-우투이센 변환을 수행하는 파울리 방정식을 엄격히 도출할 수 있다.^[3]

파울리 커플링

Pauli의 방정식은 g-요인 g=2를 제공하는 최소 결합을 요구함으로써 도출된다. 대부분의 기초 입자는 2와 다른 변칙적인 g-요소를 가지고 있다. 상대론적 양자장 이론의 영역에서는 변칙적인 인자를 더하기 위해 때로는 Pauli coupling이라고 불리는 비소수 결합을 정의한다.

p_{\mu }\to p_{\mu }-qA_{\mu }+a\sigma _{\mu \f^{\mu \nu }}}}}}}}

where $p_{\mu }$ is the four-momentum operator, $A_{\mu }$ if the electromagnetic four-potential, $a$ is the anomalous magnetic dipole moment, ${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^$ {\mu}}은 전자기 텐서,μ ν σ)나는 2[γ μ,γ ν]{\textstyle \sigma_{\mu \nu}={\frac{나는}{2}}[\gamma_{\mu},\gamma_{\nu}]}이 로오 렌쯔 형 스핀 매트릭스와 정류자의 감마 매트릭스 γμ{\displaystyle \gamma ^{\mu}}.[4][5]에서 컨텍스트의non-relativistic 양자 역학입니다., inst슈뢰딩거 방정식으로 작업하는 ead의 Pauli coupling은 임의의 g-요인에 대해 Pauli 방정식을 사용하는 것과 동등하다(또는 Zeeman 에너지를 가정하는 것).

참고 항목

각주

^ 여기서 사용되는 공식은 g-요인 ${\textstyle g_{S}=2}$ = ${\textstyle g_{S}=2}$ ${\textstyle g_{S}=2}$ 및 궤도 ${\textstyle g_{S}=2}$ ${\textstyle g_{L}=1}$ g-요인 ${\textstyle g_{L}=1}$ = ${\textstyle g_{L}=1}$ ${\textstyle g_{L}=1}$ 가 있는 스핀 particle의 입자에 대한 것이다 ${\textstyle g_{L}=1}$

참조

^ Pauli, Wolfgang (1927). "Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons". Zeitschrift für Physik (in German). 43 (9–10): 601–623. Bibcode:1927ZPhy...43..601P. doi:10.1007/BF01397326. ISSN 0044-3328. S2CID 128228729.
^ Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Physics of Atoms and Molecules (1st ed.). Prentice Hall. p. 638–638. ISBN 0-582-44401-2.
^ ^a ^b Greiner, Walter (2012-12-06). Relativistic Quantum Mechanics: Wave Equations. Springer. ISBN 978-3-642-88082-7.
^ Das, Ashok (2008). Lectures on Quantum Field Theory. World Scientific. ISBN 978-981-283-287-0.
^ Barut, A. O.; McEwan, J. (January 1986). "The four states of the Massless neutrino with pauli coupling by Spin-Gauge invariance". Letters in Mathematical Physics. 11 (1): 67–72. Bibcode:1986LMaPh..11...67B. doi:10.1007/BF00417466. ISSN 0377-9017. S2CID 120901078.

책들

Schwabl, Franz (2004). Quantenmechanik I. Springer. ISBN 978-3540431060.
Schwabl, Franz (2005). Quantenmechanik für Fortgeschrittene. Springer. ISBN 978-3540259046.
Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Frank Laloe (2006). Quantum Mechanics 2. Wiley, J. ISBN 978-0471569527.

[3] 여기서 사용되는 공식은 g-요인 ${\textstyle g_{S}=2}$ = ${\textstyle g_{S}=2}$ ${\textstyle g_{S}=2}$ 및 궤도 ${\textstyle g_{S}=2}$ ${\textstyle g_{L}=1}$ g-요인 ${\textstyle g_{L}=1}$ = ${\textstyle g_{L}=1}$ ${\textstyle g_{L}=1}$ 가 있는 스핀 particle의 입자에 대한 것이다 ${\textstyle g_{L}=1}$

[1] Pauli, Wolfgang (1927). "Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons". Zeitschrift für Physik (in German). 43 (9–10): 601–623. Bibcode:1927ZPhy...43..601P. doi:10.1007/BF01397326. ISSN 0044-3328. S2CID 128228729.

[2] Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Physics of Atoms and Molecules (1st ed.). Prentice Hall. p. 638–638. ISBN 0-582-44401-2.

[:0-4] Greiner, Walter (2012-12-06). Relativistic Quantum Mechanics: Wave Equations. Springer. ISBN 978-3-642-88082-7.

[5] Das, Ashok (2008). Lectures on Quantum Field Theory. World Scientific. ISBN 978-981-283-287-0.

[6] Barut, A. O.; McEwan, J. (January 1986). "The four states of the Massless neutrino with pauli coupling by Spin-Gauge invariance". Letters in Mathematical Physics. 11 (1): 67–72. Bibcode:1986LMaPh..11...67B. doi:10.1007/BF00417466. ISSN 0377-9017. S2CID 120901078.

[1]

[2]

[a]

[3]

v t 양자역학
배경	소개 역사 타임라인 고전역학 구양자론 용어집
기초	타고난 규칙 브라-켓 표기법 상보성 밀도 행렬 에너지 레벨 접지 상태 흥분 상태 퇴보 수준 영점 에너지 얽힘 해밀턴어 간섭 탈착성 측정 비균등성 양자 상태 중첩 튜닝링 산란 이론 양자역학의 대칭 불확실성 파동함수 무너지다 파동-입자 이중성
공식화	공식화 하이젠베르크 상호작용 매트릭스 역학 슈뢰딩거 경로 적분식 위상공간
방정식	디락 클라인-고든 파울리 뤼드베르크 슈뢰딩거
해석	해석 베이시안 일관된 이력 코펜하겐 드 브로글리-봄 앙상블 숨겨진 변수 국부적 다세계 객관적 붕괴 양자 논리 관계성 트랜잭션 반 노이만위너
실험	벨의 부등식 다비슨-제르머 지연선택양자지우개 더블 슬릿 프랑크-헤르츠 마하-젠더 간섭계 엘리추르 바이드만 포퍼 양자 지우개 스턴-제라흐 휠러의 지연된 선택
과학	양자생물학 양자화학 양자 혼돈 양자 우주론 양자 미분학 양자역학 양자 기하학 양자 측정 문제 양자 확률 미적분학 양자 스페이스타임
기술	양자 알고리즘 양자 증폭기 양자 버스 양자 세포 자동자 양자 유한 자동자 양자 채널 양자 회로 양자 복잡성 이론 양자 컴퓨팅 타임라인 양자암호법 양자전자 양자오류수정 양자 이미징 양자 이미지 처리 양자 정보 양자키분배 양자 논리 양자 논리 관문 양자기계 양자기계학습 양자 메타물질 양자 계측학 양자망 양자신경망 양자 광학 양자 프로그래밍 양자센싱 양자 시뮬레이터 양자 순간이동
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