변수의 분리

수학에서 변수의 분리(일명 푸리에법)는 일반 미분방정식과 부분 미분방정식을 푸는 여러 방법 중 하나로, 대수학에서는 두 변수 각각이 방정식의 다른 면에 발생하도록 방정식을 다시 쓸 수 있게 한다.

일반 미분 방정식(ODE)

미분 방정식을 양식으로 작성할 수 있다고 가정합시다.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}f(x)=g(x)h(f(x))}$

$예$를 들어 y${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ y$=f(x$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}=g(x)h(y).}$

h(y) ≠ 0이면, 우리는 다음을 얻기 위해 항을 재정렬할 수 있다.

${\displaystyle {dy \over h(y)}=g(x)\,dx,}$

두 변수 x와 y가 분리되도록. dx(및 dy)는 단순한 수준에서 편리한 표기법으로 볼 수 있으며, 이는 조작을 보조하기 위한 편리한 기억력을 제공한다. dx를 미분(적소수)으로 공식 정의하면 어느 정도 진전된다.

대체 표기법

라이프니츠의 표기법을 싫어하는 사람들은 이것을 다음과 같이 쓰는 것을 선호할 것이다.

${\displaystyle {\frac {1}{h(y)}{\frac {dy}{dx}=g(x),}$

그러나 그것이 왜 이것을 "변수의 변화"라고 불리는지 확실히 해두지는 못한다. $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대한 방정식의 양쪽을 통합하면 다음과 같다$.$

${\displaystyle \int{\frac {1}{h(y)}{\frac {dy}{dx}\,dx=\int g(x)\,dx,}$

(A1)

또는 동등하게

${\displaystyle \int{1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx}$

통합에 대한 대체 규칙 때문에.

두 통합성을 평가할 수 있다면 미분방정식의 해법을 찾을 수 있다. 이 프로세스를 통해 파생 모델 $d{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}${\$displaystyle${\$frac {dy}{dx}}$을(를) 분리할 수 있는 분수처럼$$ 취급할 수 있는지 확인하십시오. 이를 통해 우리는 아래 예에서 보듯이 분리 가능한 미분 방정식을 보다 편리하게 해결할 수 있다.

(A1)에서와 같이 두 개의 통합 상수를 사용할 필요는 없다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle \int{1}{h(y)}}\,dy+C_{1}=\int g(x)\,dx+C_{2},}$

단일 상수 $C{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}가 동일하기$$ 때문에).

예

인구 증가는 종종 미분 방정식에 의해 모델링된다.

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}=kP\왼쪽(1-{\prac {P}{K}\오른쪽)}$

$여기$서 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$은 $시간{\displaystyle }$ t ${\$$displaystyle t$ k {\$displaystyle$ $k}$은 성장 속도, K {\displaystyle $K}$은 $환경$의 운반 용량이다$.$

변수의 분리는 이 미분 방정식을 푸는 데 사용될 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aigned}&{\frac {dP}{dt}=kP\left(1-{\prac {P}{K}\오른쪽)\\[5pt]&\int {\frac {dP}{P}{P}{K}\오른쪽)}}}=\intk\,dt\end{aigned}}$

왼쪽의 적분을 평가하기 위해 분수를 단순화한다.

${\displaystyle {\frac {1}{P\left(1-{\{\frac {P}{K}\오른쪽)}}}}={\frac {K}{P\왼쪽(K-P\오른쪽)}}}$

분수를 부분분수로 분해해서

${\displaystyle {\frac {K}{P(K-P)}}}={\frac {1}{P}+{\frac {1}{K-P}}}}}$

그래서 우리는

${\displaystyle {\begin{aigned}&\int \left({\frac {1}{P}+{\frac {1}{K-P}\right)d.P=\int k\,dt\\[6pt]&\ln P -\ln K-P =kt+C\\[6pt]&\ln K-P -\ln P =-kt-C\\[6pt]&\ln \left {\cfrac {K-P}{P}}\right =-kt-C\\[6pt]&\left {\dfrac {K-P}{P}}\right =e^{-kt-C}\\[6pt]&\left {\dfrac {K-P}{P}}\right =e^{-C}e^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K-P}{P}}=\pm e^{-C}e^{-kt}\end{aligned}}}$

$A{\displaystyle }$=${\displaystyle }$± ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle C^{}}$ ${\$를$$두십시오.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {K-P}{P}}=Ae^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K}{P}}-1=Ae^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K}{P}}=1+Ae^{-kt}\\[6pt]&{\frac {P}{K}}={\frac {1}{1+Ae^{-kt}}}\\[6pt]&P={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}\end{aigned}}}}$

따라서 로지스틱 방정식의 해법은 다음과 같다.

${\displaystyle P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}}}}}}$

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을$($를) 찾으려면 ${\displaystyle \mathrm{t}}$= 0 ${\displaystyle t=0}$ 및 $P$ ( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$로 두십시오.$P_{0$ 그러면 우리는

${\displaystyle P_{0}={\frac {K}{1+Ae^{0}}}}$

$e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle e^{0}=1}$및 A에 대한 해결 방법

${\displaystyle A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}.}$

분리 가능한 OSE를 n번째 순서로 일반화

분리 가능한 1차 주문 OSDE를 말할 수 있는 것과 마찬가지로, 분리 가능한 2차 주문, 3차 주문 또는 n차 주문 OSDE를 말할 수 있다. 분리 가능한 1차 주문 OSDE:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}=f(y)g(x)}$

파생상품은 알 수 없는 기능인 y에 대해 작업하는 운영자임을 강조하기 위해 대안으로 다음과 같은 방법으로 작성할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}={\frac {d}{dx}}(y)}$

따라서 1차 방정식에 대한 변수를 구분할 때, 실제로 1차 방정식은 연산자의 dx 분모를 x 변수로 측면으로 이동시키고 d(y)는 y 변수로 측면에 남게 된다. 제2차분자 연산자는 유추하여 다음과 같이 분해한다.

${\dplaystyle {\frac{d^{2}y}{dx^{2}}={\frac {d}}{dx}\좌익}{dx}}\frac {d}{dx}}{dx}}{dx}(y)\우측)={dx}}}}$

제3의, 제4의, n의 분자 연산자도 같은 방법으로 분해한다. 따라서, 1차 분리 가능한 ODE가 형태에 축소될 수 있는 것과 거의 유사하다.

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}=f(y)g(x)}$

분리 가능한 2차 주문 ODE는 양식으로 축소할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}=f\left(y'\right)g(x)}$

n번째 순서 분리 가능한 OSDE는

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=f\!\left(y^{(n-1)}\오른쪽)g(x)}$

예

단순 비선형 2차 미분 방정식을 고려하십시오.

이 방정식은 y'와 y'만의 방정식으로, 위에서 설명한 일반적인 형태로 축소할 수 있으며 따라서 분리할 수 있다. 2차 분리가 가능한 방정식이므로 한 쪽에 있는 모든 x 변수 및 다른 쪽에 있는 모든 y 변수를 수집하여 다음을 얻으십시오.이제 x에 대해서는 오른쪽을, y에 대해서는 왼쪽을 통합한다.이것으로 알 수 있다.단순화하여 다음 작업을 수행:이것은 이제 최종적인 답을 주는 간단한 본질적인 문제가 되었다.

부분 미분 방정식

변수의 분리방법은 열방정식, 파동방정식, 라플라스 방정식, 헬름홀츠 방정식, 생화방정식 등 경계와 초기조건으로 광범위한 선형 부분미분 방정식을 푸는 데도 사용된다.

부분미분방정식을 풀기 위한 변수 분리의 해석법도 부분미분방정식의 시스템을 푸는 데 사용할 수 있는 불변구조물의 분해 계산법으로 일반화되었다.^[2]

예: 균질 케이스

1차원 열 방정식을 고려하십시오. 방정식은

${\displaystyle {\frac {\fract u}{\propert t}-\properties {\fract ^{2}u}{\propert x^{2}}=0}$

(1)

변수 u는 온도를 나타낸다. 경계조건은 동질적이다, 즉

${\displaystyle u{\big }_{x=0}=u{\big }_{x=L}=0}$

(2)

경계 조건을 만족하는 0이 아닌 다음 특성을 가진 솔루션을 찾도록 하자: u는 x에 대한 u의존도가 분리되어 있는 제품이다.

$[\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t)]}$

(3)

u를 다시 방정식 (1)로 대체하고 제품 규칙을 사용하여,

${\displaystyle {\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X"(x)}}}$

(4)

오른손은 x에만 의존하고 왼손은 t에만 의존하기 때문에, 양쪽은 일정한 값인 어떤 값인 λ과 같다. 따라서 다음과 같다.

$\displaystyle T'(t)=-\lambda \alpha T(t),}$

(5)

그리고

$[\displaystyle X](x)=-\lambda X(x)]}$

(6)

-여기서는 미분 연산자 모두의 고유값이며, T(t)와 X(x)는 상응하는 고유함수다.

이제 X(x)에 대한 λ 0 값에 대한 해결책이 발생할 수 없음을 보여 주겠다.

λ < 0이라고 가정해 보자. 그러면 B, C와 같은 실수가 존재한다.

${\displaystyle X(x)=Be^{\sqrt{-\lambda }\,x}+Ce^{-{\sqrt{-\lambda }}\,x}.}$

(2)로부터 얻는다.

${\displaystyle X(0)=0=X(L),}$

(7)

따라서 B = 0 = C는 u가 동일한 0임을 의미한다.

λ = 0이라고 가정하자. 그러면 B, C와 같은 실수가 존재한다.

$[\displaystyle X(x)=Bx+C.}$

(7)로부터 우리는 1과 동일한 방식으로 u가 동일한 0이라고 결론짓는다.

그러므로 반드시 > > 0의 경우일 것이다. 그러면 A, B, C 같은 실수가 존재한다.

${\displaystyle T(t)=Ae^{-\lambda \alpha t}}$

그리고

${\displaystyle X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x).}$

(7)로부터 C = 0을 얻고, 어떤 양의 정수 n을 얻는다.

${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}.}$

이는 u의 의존도가 (3)의 특수한 형태를 갖는 특수한 경우에서 열 방정식을 해결한다.

일반적으로 경계 조건을 만족하는 (1)에 대한 해결책의 합도 (1)과 (3)을 만족한다. 따라서 완전한 해결책은 다음과 같이 주어질 수 있다.

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}\exp \left(-{\frac {n^{n^{2}\pi ^{L^{{{L^}}}}}}}\rig}\rig}\rig)}}\rig)}오른쪽)}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 D는_n 초기 조건에 의해 결정되는 계수다.

초기 조건의 경우

${\displaystyle u{\big }_{t=0}=f(x),}$

우리는 얻을 수 있다.

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\d_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}.}$

f(x)의 사인 시리즈 확장이다. 양쪽에 $\sin$ $n\frac{}{}$ $\frac{}{}$ $\frac{x}{}$ L ${\$ x}을(를) 곱하기${$$L}}$과(와) [0, L]을(를) 통해 통합하면

${\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}\int _{0}^{0}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}\,dx.}$

이 방법은 고유 특성 X, 여기서${}_{}^{}${${\sin sinn\frac{}{}}_{}^{}$ ${\frac{\pi }{}}_{}^{}$ ${\frac{x}{}}_{}^{}$ ${\frac{}{}}_{}^{}$ ${\}}_{}^{}$ n${}_{}^{}$= $1_{}^{}$ ${\mathrm{}}_{}^{}${ \$textstyle \reft$\{$n\pi x}{L}\{n\}\{n=1}^{\inforty$이 직교 및 완전해야 한다. 일반적으로 이것은 스터름-리우빌 이론에 의해 보장된다.

예: 균질하지 않은 경우

방정식이 균질하지 않다고 가정하면,

${\displaystyle {\frac {\fract u}{\propert t}-\fract {\fract ^{2}{\fract x^{2}}=h(x,t)}}$

(8)

경계조건은 (2)와 같다.

h(x,t), u(x,t) 및 f(x)를 다음으로 확장

${\displaystyle h(x,t)=\sum _{n=1}^{\n}h_{n}(t)\sin {\frac {n\pi x}{L},}$

(9)

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\inful u_{n}(t)\sin {\frac {n\pi x}{L}$

(10)

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\inflt }b_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L},}$

(11)

여기서_n h(t)와 b는_n 통합에 의해 계산될 수 있는_n 반면 u(t)는 결정된다.

(9) 및 (10)을 (8)로 다시 대체하고 사인 함수의 직교성을 고려할 때

${\displaystyle u'_{n}(t)+\alpha {\frac {n^{2}\pi^{2}}:{L^{2}}u_{n}(t)=h_{n}(t),}$

예를 들어, Laplace 변환 또는 Integration factor와 같이 쉽게 해결할 수 있는 선형 미분 방정식의 시퀀스 입니다. 마침내, 우리는 얻을 수 있다.

${\displaystyle u_{n}(t)=e^{-\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}t}\left(b_{n}+\int _{0}^{t}h_{n}(s)e^{\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}s}\,ds\right).}$

경계 조건이 비균질인 경우 (9)와 (10)의 확장은 더 이상 유효하지 않다. 경계조건만 만족하는 함수 v를 찾아 u에서 빼야 한다. 그러면 u-v 함수는 균일한 경계 조건을 만족하며, 위의 방법으로 해결할 수 있다.

예: 혼합 파생상품

혼합 유도체를 포함하는 일부 방정식의 경우, 이 방정식은 위의 첫 번째 예에서와 같이 쉽게 분리되지 않지만 그럼에도 불구하고 변수의 분리가 여전히 적용될 수 있다. 2차원 생화 방정식 고려

${\displaystyle {\frac {\fract ^{4}{\frac x^{4}}+2{\frac ^{2}}{\frac {4}{\frac ^{4}}}}=0.}$

일반적인 방법으로 진행하면서, 우리는 양식의 해결책을 찾는다.

${\displaystyle u(x,y)=X(x)Y(y)}$

그리고 우리는 그 방정식을 얻는다.

${\displaystyle {\frac{X^{X^}{X(x)}{X(x)}{X(x)}{X(y)}}{\frac {Y}}}{Y^{Y^{Y(4)(y)}{Y(y)}{Y(y)}}}{Y(y)=0}}}}.$

양식에 이 방정식을 쓰는 것

${\displaystyle E(x)+F(x)G(y)+H(y)=0,}$

x와 y에 관한 파생상품은 첫 번째와 마지막 조건을 제거하여

${\displaystyle F'(x)G'(y)=0,}$

즉, F(x) 또는 G(y) 중 하나가 상수여야 한다. This further implies that either ${\displaystyle -E(x)=F(x)G(y)+H(y)}$ or ${\displaystyle -H(y)=E(x)+F(x)G(y)}$ are constant. X와 Y의 방정식으로 돌아가면 두 가지 사례가 있다.

${\displaystyle {\begin{aigned}X"(x)&=-\lambda _{1}X(x)\\X^{(4)}(x)&=\mu _{1}X(x)\\Y^{Y^{(4)-2\lambda _{1}Y"(y)&=-\mu _{1}Y(y)(y)\end{aigned}}}$

그리고

${\displaystyle {\reasoned}Y"(y)&=-\lambda _{2}Y(y)\\Y^{Y^{}(y)&=\mu _{2}Y(y)\\X^{}}-(x)-2\lambda _{2}X(x)&=-\mu _{2}X(x)\ended}}}}}}$

< , i= , i> ${\displaystyle$\ \$da _{i}}{i}=0,\displaystyle$ $\{i$$}=$0,\$displayda_{i}}}0$에 대한 개별 사례를 고려하여 $각각$ 해결할 수$.$

곡선 좌표

직교 곡선 좌표에서는 여전히 변수의 분리를 사용할 수 있지만, 일부 세부 사항에서는 데카르트 좌표와 다르다. 예를 들어, 규칙성 또는 주기적 조건은 경계 조건 대신 고유값을 결정할 수 있다. 예를 들어 구형 고조파를 참조하십시오.

적용가능성

부분 미분 방정식

파동 방정식, 헬름홀츠 방정식, 슈뢰딩거 방정식과 같은 많은 PDE에 대해 변수 분리의 적용성은 스펙트럼 정리의 결과물이다. 변수의 분리가 불가능한 경우도 있다. 변수의 분리는 일부 좌표계에서는 가능하지만 다른 좌표계에서는 불가능할 수 있으며,^[3] 어떤 좌표계가 분리를 허용하는가는 방정식의 대칭 특성에 따라 달라진다.^[4] 아래는 정확한 방법이 개별적인 경우(예: 위의 생화 방정식)에 따라 다를 수 있지만 특정 선형 방정식에 대한 방법의 적용 가능성을 보여주는 주장의 개요다.

$D$=${\displaystyle }${${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$${\displaystyle }$,${\displaystyle }$$t$${\displaystyle }$) ${\displaystyle u$${\displaystyle (}$$x,$$)}$의 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ ${\displaystyle \mathrm{u}(}$x$,t)에 대한$ 초기 경계 값 문제를 다음${\displaystyle }$두 변수에서$$ ${\displaystyle \mathrm{고려}}$하십시오$.$

${\displaystyle (Tu)(x,t)=(Su)(x,t)}$

여기서 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대한 $차등{\displaystyle }$ 연산자이고$$ S ${\displaystyle S}$은(는) $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$에 대한 차등 연산자(경계 데이터:

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle u}$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle u}$)${\displaystyle }$= (${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle (Tu)(0,t)=(Tu)=0}$ $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle \mathrm{0<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; (Tu)(0,t)=(Tu)(a)=0\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/d35202a335495e17d6c4b9d115365f98ac296b3d"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:24.794ex;\; height:2.843ex;">}}$ ${\displaystytle t\geq 0}$

${\displaystyle (S}$ ${\displaystyle u}$)${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= h${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle (Su)(x,0)=h(x)}$ 0 ${\displaystyle \mathrm{for<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; (Su)(x,0)=h(x)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/15542e33dcadc9eefa048d0d35c8fe40617c8dd3"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:17.55ex;\; height:2.843ex;">}}$x ${\displaystyle \le }$ a ${\displaystyle 0\leq$ x$\leq a}$

여기서 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$은(는) 알려진 함수다.

우리는 $u{\displaystyle (x}$, t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$) g${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle u(x,t)=f(x)g(t)}.$ $pDE$를${\displaystyle }$f (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle g}$(${\displaystyle t}$ )$${\$displaysty f(x)g(t)}$로 나눈다$.$

${\displaystyle {\frac {Tf}{f}}={\frac {Sg}{g}}}}$

오른쪽은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에만 의존하고 왼쪽은 t ${\displaystyle t}$에만 의존하므로$$ 두 개의 일반적인 미분 방정식을 제공하는 상수 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$과 같아야 한다$.$

${\displaystyle Tf=Kf, Sg=kg}$

$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$ 및 $S$ ${\displaystyle S}$ 연산자의 고유값 문제로 인식할 수 있다$.$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이(가) 관련 경계 조건과 함께$$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ L$^{2}[0,l]}$ 공간상의 소형 자기 적응 연산자라면 스펙트럼 정리에는 다음이 존재한다. basis for ${\displaystyle L^{2}[0,l]}$ consisting of eigenfunctions for ${\displaystyle T}$. Let the spectrum of ${\displaystyle T}$ be ${\displaystyle E}$ and let ${\displaystyle f_{\lambda }}$ be an eigenfunction with eigenvalue ${\displaystyle \lambda \in E}$. Then for an$y{\displaystyle }$ 함수 t ${\displaystyle t}$은(는)$$x {\$displaystyle x}$과(와) 관련하여 정사각형으로 통합되며$,$ 이 함수를 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$의 선형 조합으로 작성할 수 있다$.$ 특히 솔루션 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyty u}$은 다음과 같이 작성될 수 있다$$.

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{\lambda \in E}c_{\lambda \}f_{\lambda }(x)}$

일부 함수 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \lambda {}_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle c_{\lambda }(t$ 변수 분리에서 이러한 함수는 S ${\displaystyle g}$= K ${\displaystyle g}$ ${\displaysty Sg=Kg}$에 대한 솔루션으로 제공된다.

따라서 스펙트럼 정리는 변수의 분리가 (가능할 때) 모든 해답을 찾을 수 있도록 보장한다.

$d{\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\$2}}:{dx^{$2}}:}$와 같은 많은 차등 연산자의 경우$,$ 부품별 통합에 의해 스스로 적응하고 있음을 보여줄 수 있다. 이러한 연산자는 콤팩트하지 않을 수 있지만, 그 역자(존재할 때)는 파동 방정식의 경우와 같이 있을 수 있으며, 이러한 역자는 원 연산자와 동일한 고유특성과 고유값을 갖는다(가능한 0을 제외).^[5]

행렬

변수 분리의 행렬 형태는 크로네커 합이다.

예를 들어, 우리는 일반 그리드의 2D 이산 Laplacian을 고려한다.

${\displaystyle L=\mathbf {D_{xx} \oplus \mathbf {D_{y}} =\mathbf {D_{xx}} \otimes \mathbf {D_{y}},\}$

여기서 $D{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{x}}_{}}$ ${\$ 및$$ $D{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{y}}_{}}$ ${\$은(는) x-방향과 y방향에 있는 1D 이산 라플라시안이며$$, $I{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ {$I}$은 적절한 크기의 ID이다$$. 자세한 내용은 이산 라플라시아인의 주요 기사 크로네커 합을 참조하십시오.

소프트웨어

어떤 수학 프로그램들은 변수를 분리할 수 있다: 다른 프로그램들 중에서도 Xcas^[6].

참고 항목

• 불가분미분방정식

메모들

참조

• Polyanin, Andrei D. (2001-11-28). Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-299-9.
• Myint-U, Tyn; Debnath, Lokenath (2007). Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers. Boston, MA: Birkhäuser Boston. doi:10.1007/978-0-8176-4560-1. ISBN 978-0-8176-4393-5.
• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Graduate Studies in Mathematics. 140. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.

외부 링크

• "Fourier method", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• John Renze, Eric W. Weisstein, Separation of variables (Differential Equation) at MathWorld.
• EqWorld에서 변수의 일반화 및 기능 분리 방법: 수학 방정식의 세계.
• PDE를 해결하기 위한 변수 분리 예제
• "변수분리의 짧은 정당성"