두 주체의 통근 장애 측정 작업
이 기사는 수학적 개념에 관한 것이다. 전기 부품은 정류자(전기) 를 참조 하십시오. 표준 켤레 도면요소 간 의 관계는 표준 정류 관계를 참조 하십시오.그 외의 용도는, 「정류」를 참조해 주세요. 수학 에서, 정류자는 특정 이항 연산이 가환하지 못하는 정도를 나타냅니다.그룹 이론 과 링 이론 에는 다른 정의가 사용됩니다.
군론 그룹 G의 두 요소 g 와 h의 정류자는 다음과 같다.
[g , h ] ghhh −1 −1 이 요소는 g와 h 가 출퇴근하는 경우 에만 그룹의 정체성과 동일하다(정의 = hg [g h ]hg일 경우 동일 ).
그룹의 모든 정류자 집합은 일반적으로 군 연산에서는 닫히지 않지만, 모든 정류자에 의해 생성된 G 의 부분군 은 닫히고 G의 유도 그룹 또는 정류자 0가 및 해결 가능한 그룹과 가장 큰 아벨 지수 그룹 을 정의하기 위해 사용된다.
위의 정류자의 정의는 이 기사 전체에 걸쳐 사용되지만, 많은 다른 그룹 이론가들은 정류자를 다음과 같이 정의한다.
[g , h ] [1] [2] ghhh −1 −1 아이덴티티(그룹 이론) 정류자 정체성은 그룹 [3] 중요 한 도구이다. 식x xax −1 정의된 a by x 의 켤레 를 나타냅니다.
x y = x [ x , y ] . {\displaystyle x^{y}=x[x,y] } [ y , x ] = [ x , y ] − 1 . {\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1} } [ x z = x y x z y cdot [ x y ]^{ y} x z x y z ⋅ x ]. { display x y y cdotz } } [ x y1 = y x 1 displaystyle \ x y^ 1 = x y x display style \ x 1 y right x x } [ x y z y ⋅ [ y z 1 x z ⋅ x y x = display style left y ^ 1 right z right ]\ cdot left ] [ z ] x = 1 displaystyle \left [ x , y \ right ] , z^ { x } \ cdot \ left \ right ] , y^ { z } \ cdot \ left 、 z 、 z 、 x } \ right = 1 . } 아이덴티티(5)는 필립 홀과 에른스트 위트의 이름 을 따서 홀-윗 아이덴티티라고도 한다. 링 이론 정류자에 대한 야코비 아이덴티티의 그룹 이론 유사체입니다(다음 절 참조).
n.B. 위의 a by x 의 켤레 정의는 일부 그룹 [4] 다른 많은 군 이론가들은 a by x 의 켤레를 [5] xax −1 정의한다. 이는 종종 x a displaystyle {}^{x}a
특정 부분군의 진정한 모듈인 많은 아이덴티티가 사용됩니다. 이것들은 특히 해결 가능 한 그룹과 0가수 그룹의 연구에 유용할 수 있다. 예를 들어, 모든 그룹에서 세컨드 파워는 정상적으로 동작합니다.
( x y ) 2 = x 2 y 2 [ y , x ] [ [ y , x ] , y ] . {\displaystyle(xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][y,x],y] } 파생 된 부분군이 중심인 경우
( x y ) n = x n y n [ y , x ] ( n 2 ) . {{displaystyle(xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}. } 링 이론 링 의 두 요소 a 와 b(관련 대수 포함)의 정류자는 다음과 같이 정의된다.
[ a , b ] = a b − b a . (\displaystyle [a,b]=ab-ba). } a 와 b가 출퇴근하는 경우 에만 제로입니다.선형 대수학 에서, 공간의 두 내형상 이 하나의 기저로 통근 행렬에 의해 표현된다면, 그것들은 모든 기저로 표현된다.정류자를 Lie 브래킷으로 사용함으로써 모든 연관대수를 Lie 대수로 변환 할 수 있다.
링 또는 연관대수의 두 요소 a 와 b의 반교합자 는 다음과 같이 정의된다.
{ a , b } = a b + b a . (\displaystyle\{a,b\}=ab+ba) [ a b ] displaystyle [ a b a b ] displaystyle [ a b [6] 반교합자는 덜 자주 사용되지만 클리포드 대수 와 조던 대수 를 정의 하기 위해 그리고 입자 물리학 에서 디락 방정식의 도출에 사용될 수 있습니다.
힐베르트 공간에 작용하는 두 연산자의 정류자는 양자역학에서 이들 연산자에 의해 기술된 두 관측가능성 이 동시에 얼마나 잘 측정될 수 있는지를 수량화하기 때문에 중심 개념이다.불확실성 원리는 궁극적으로 로버슨-슈뢰딩거 [7] 관계 에 의해 그러한 정류자에 대한 정리이다.위상공간 에서, 함수별 생성물의 등가 정류자는 모얄 괄호라고 불리며 , 언급된 힐베르트 공간 정류자 구조와 완전히 동형입니다.
아이덴티티(링 이론) 정류자에는 다음과 같은 속성이 있습니다.
리알게브라 항등식 [ A + B , C ] = [ A , C ] + [ B , C ] {\displaystyle [A+B,C]=[A,C]+[B,C]} [ A , A ] = 0 {\displaystyle [A,A]=0} [ A , B ] = − [ B , A ] {\displaystyle [A,B]=440B,A]} [ A , [ B , C ] ] + [ B , [ C , A ] ] + [ C , [ A , B ] ] = 0 \displaystyle [A, [B,C]+[C,A]+[C,[A,B]=0} 관계(3)는 반상환성 , (4)는 야코비 항등식이다.
추가 아이덴티티 [ A , B C ] = [ A , B ] C + B [ A , C ] {\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]} [ A , B C D ] = [ A , B ] C D + B [ A , C ] D + B C [ A , D ] {\displaystyle [A, BCD]=[A,B] CD+B[A,C]D+BC[A,D]} [ A , B C D E ] = [ A , B ] C D E + B [ A , C ] D E + B C [ A , D ] E + B C D [ A , E ] {\displaystyle [A, BCDE]=[A,B] CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]} [ A B , C ] = A [ B , C ] + [ A , C ] B {\displaystyle [AB,C]= A[B,C]+[A,C] B} [ A B C , D ] = A B [ C , D ] + A [ B , D ] C + [ A , D ] B C {\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D] BC} [ A B C D , E ] = A B C [ D , E ] + A B [ C , E ] D + A [ B , E ] C D + [ A , E ] B C D {\displaystyle [ABCD,E]= ABC[D,E]+ AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]B CD} [ A , B + C ] = [ A , B ] + [ A , C ] {\displaystyle [A,B+C]=[A,B]+[A,C]} [ A + B , C + D ] = [ A , C ] + [ A , D ] + [ B , C ] + [ B , D ] {\displaystyle [A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]} [ A B , C D ] = A [ B , C ] D + [ A , C ] B D + C A [ B , D ] + C [ A , D ] B {\displaystyle [AB, CD]=A[B,C]D+[A,C] BD+CA[B,D]+C[A,D]B} [ [ A , C ] , [ B , D ] ] = [ [ [ A , B ] , C ] , D ] + [ [ [ B , C ] , D ] , A ] + [ [ [ C , D ] , A ] , B ] + [ [ [ D , A ] , B ] , C ] {\displaystyle [[A,C],[B,B],C],D]+[[B,C],D],A]+[[C,D],A]+[[D,A],B]+[[D,A],B],C] A가 링 R의 고정 요소인 경우 ID(1)는 맵 ad R → displaystyle \operatorname {ad} _{A: 광고 ar B = A B ] display operatorname {ad } _ A = ] 화살표 R. 즉, 지도 광고는A 파생물 을 정의합니다.아이덴티티(2), (3)는 3개 이상의 요인에 대한 라이프니츠 규칙을 나타내며, 모든 도출에 유효하다. 아이덴티티(4)~(6)는 라이프니츠 규칙으로도 해석할 수 있다. 동일성(7), (8)은 Z-이원형 을 나타낸다.
위의 식별 정보 중 일부는 위의 ± 첨자 [8] 예를 들어 다음과 같습니다.
[ A B , C ] ± = A [ B , C ] − + [ A , C ] ± B {\displaystyle [AB,C]_{\pm}=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm}B} [ A B , C D ] ± = A [ B , C ] − D + A C [ B , D ] − + [ A , C ] − D B + C [ A , D ] ± B {\displaystyle [AB, CD]_{\pm}=A[B,C]_{-}D+ AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{\pm}B} [ [ A , B ] , [ C , D ] ] = [ [ [ B , C ] + , A ] + , D ] − [ [ [ B , D ] + , A ] + , C ] + [ [ [ A , D ] + , B ] + , C ] − [ [ [ A , C ] + , B ] + , D ] {\displaystyle [[A,B],[C,D]=param[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[B,D]_{+},A]_{+},C]+ [[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[A,C]_{+},B]_{+},D]} [ A , [ B , C ] ± ] + [ B , [ C , A ] ± ] + [ C , [ A , B ] ± ] = 0 \displaystyle \left [A, [B,C]_{\pm }\right]+\left[B,A]_{\pm }\right]=0} [ A , B C ] ± = [ A , B ] − C + B [ A , C ] ± {\displaystyle [A,BC]_{\pm}=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm} [ A , B C ] = [ A , B ] ± C ∓ B [ A , C ] ± {\displaystyle [A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }} 지수 아이덴티티 지수 A = exp ( A = 1 A 1 A ⋯ display style ^ A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac{1}{2! }}A^{ cdots} 바나흐 대수나 형식 멱급수의 링 과 같이 의미 있게 정의할 수 있다.
이러한 링에서, 중첩된 정류자에 적용된 Hadamard의 보조항 은 e A e A = B A B ] 1 2 ! A A 、 A A B ] = AD text ) . }}[A,[A,B]+{\frac {1}{ 3! }}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \=\e^{\operatorname {ad}_{A}}(B) }(Adjoint 파생 참조). 이 공식은 log(exp (A) exp (B))의 Baker-Campbell-Hausdorff 확장 의 기초가 됩니다.
유사한 확장은 일련의 중첩 정류자(거짓말 괄호)의 관점에서 표현식 e {\ displaystyle ^{A}}(
e A e B e − A e − B = exp ( [ A , B ] + 1 2 ! [ A + B , [ A , B ] ] + 1 3 ! ( 1 2 [ A , [ B , [ B , A ] ] ] + [ A + B , [ A + B , [ A , B ] ] ] ) + ⋯ ) . \displaystyle e^{ A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2! }}[A{+}B,[A,B]+{\frac {1}{3! }}\left({\frac {1}{2}}}[A,[B,[B,A]]+[A{+}B,[ A{+}B, [A,B]]]\right)+\cdots\right) }
등급환 및 대수 등급화 된 대수를 다룰 때, 정류자는 보통 등급화된 정류자 로 대체되며, 균질 성분에서 다음과 같이 정의된다.
[ ω , η ] g r := ω η − ( − 1 ) 소자 ω 소자 η η ω . {\displaystyle [\obe,\eta]_{gr:=\obe \eta -(-1)^{\bea \bea \eta }\eta \obe.} 인접 유도 특히, 1개 의 링 R내의 복수의 정류자를 취급하는 경우는, 다른 표기법이 도움이 됩니다. 요소 r display \in } d x → R displaystyle \mathrm {ad} {x} 매핑하는 인접 관계를 정의합니다.R\to }
광고 x ( y ) = [ x , y ] = x y − y x . \displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.} 이 매핑은 링 R에서 파생된 것 입니다.
a d x ( y z ) = a d x ( y ) z + y a d x ( z ) . \displaystyle \mathrm {ad} _{x}\!(yz)\\mathrm {ad} _{x}\!(y)_z,+,y,\mathrm {ad} _{x}\!(z) } Jacobi 항등식에 의해 변환 연산에 대한 파생이기도 하다.
a d x [ y , z ] = [ a d x ( y ) , z ] + [ y , a d x ( z ) ] . \displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]\[\mathrm {ad} _{x}\!(y),z],+,[y,\mathrm {ad} _{x}\!(z)}}}}}. 이러한 매핑을 구성하면 예를 들어 ad ad ad ( = y ] displaystyle \operatorname ad } {x operatorname {ad {y x,[y,
광고 x 2 ( z ) = 광고 x ( 광고 x ( z ) ) = [ x , [ x , z ] ] . \displaystyle \operatorname {ad} _{x} \!(z)\=\\operatorname {ad} _{x} \!(z)\=\[x,[x,z], } d displaystyle \mathrm { ad} 간주 d : R → En R to mathrm End 여기 서En R displaystyle mathrm R 다음 \ displaystyle \mathrm {ad} 라이 대수 동형사상입니다.
광고 [ x , y ] = [ 광고 x , 광고 y ] . {\displaystyle \operatorname {ad} _{x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right] } 반면, 이것은 항상 링 동형사상은 아닙니다 .보통 ad x x ad ad ad displaystyle \operatorname {ad} _{xy} neq ,\operatorname {ad} _{y
일반 라이프니츠 규칙 제품의 반복 도함수를 확장하는 일반적인 라이프니츠 규칙은 인접 표현을 사용하여 추상적으로 작성할 수 있습니다.
x n y = ∑ k = 0 n ( n k ) 광고 x k ( y ) x n − k . {\displaystyle x^{n}y=\sum _{k=0}^{n}{k}\operatorname {ad}_{x}^{k}\!(y),x^{n-k}. } x 를 미분 연산자 displaystyle\ display 대체 하고 y를 곱셈 연산자 g g displaystyle _ f g mapsto fg m f = m （displaystyle operatorname { ad }(\f )로 대체합니다. identity는 n번째 n g ){displaystyle \partial n}\!(fg
「 」를 참조해 주세요. 메모들 레퍼런스 Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1 Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics Prentice Hall , ISBN 0-13-805326-X Herstein, I. N. (1975), Topics In Algebra (2nd ed.), Wiley, ISBN 0471010901 Liboff, Richard L. (2003), Introductory Quantum Mechanics (4th ed.), Addison-Wesley , ISBN 0-8053-8714-5 McKay, Susan (2000), Finite p-groups , Queen Mary Maths Notes, vol. 18, University of London , ISBN 978-0-902480-17-9 MR 1802994 McMahon, D. (2008), Quantum Field Theory , McGraw Hill , ISBN 978-0-07-154382-8 추가 정보 McKenzie, R. ; Snow, J. (2005), "Congruence modular varieties: commutator theory" , in Kudryavtsev, V. B.; Rosenberg, I. G. (eds.), Structural Theory of Automata, Semigroups, and Universal Algebra , NATO Science Series II, vol. 207, Springer, pp. 273–329, doi :10.1007/1-4020-3817-8_11 , ISBN 9781402038174 외부 링크
![{\displaystyle x^{y}=x[x,y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbfda5e3214a078a56860ef1d958532efd6ecc6c)
![{\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c8c7dabf4a3f20a3f9a04a295468426eb22009)
![{\displaystyle [x,zy]=[x,y]\cdot [x,z]^{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9b7c4a764e30d0e2c80b7f31778d427aa3e032)
![{\displaystyle [xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d505bd20b4dfad61942e780f9019f2342a28df)
![{\displaystyle \left[x,y^{-1}\right]=[y,x]^{y^{-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ec042607b8431621da1694a5e0373d26817d09)
![{\displaystyle \left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec4802d72362fa5f8b6f440bee17b73b8f9ff48)
![{\displaystyle \left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \left[[y,z],x^{y}\right]=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969627eb5e4b01b893d68ba8cb5aefb6fb9dcb4e)
![{\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c75b2bcc9c723ec68c6e482e9e1e002b02082d3)
![{\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/128ae0855aada1e122d118d63c2bfa18a08eb603)
![{\displaystyle [a,b]=ab-ba.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c73ba7fbd6260acd540051cc2c6f9131ff0d7f8e)
![{\displaystyle [a,b]_{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7289995fc78776166741f2a036fbcfb0e632c02)
![{\displaystyle [a,b]_{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59120bf940c61971319243298b88ebb28f752588)
![{\displaystyle [A+B,C]=[A,C]+[B,C]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f1c95436e1c9c40871bc7a3704072ae067dc10)
![{\displaystyle [A,A]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c816c8f8631ef069ad0b1aee64ed996ad8309ed)
![{\displaystyle [A,B]=-[B,A]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b04a066443e96c0b27d4b14f7f5d51c7b2b0c3)
![{\displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/046dbc0d4387302c8d321afb443e35bc1890fcac)
![{\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c7c96785faa7d6e5ecc7d8ada53830b24338c60)
![{\displaystyle [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa03949d714777910e992c14aeed34adf42d9766)
![{\displaystyle [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b79c370dc9984ff5e2720b3e06c6153af7ba572)
![{\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ba3177011b65b292d8dc39dd2e3391f29b0a07)
![{\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e755fd1fe3c26c40e007256c6976b9612e5d9b)
![{\displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e00b8c22f5a63ff3dbbcf8a74f0d01f43994afa)
![{\displaystyle [A,B+C]=[A,B]+[A,C]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f50e382d516600cfe9f7a34376ebe694bb62177)
![{\displaystyle [A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e47836a02ce95e65488370410a80446b1ae636c)
![{\displaystyle [AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/309878de035824af6f921ace77d4640671b41e15)
![{\displaystyle [[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33e847e641c8d2810846e666be23d2512b08eb2f)
![{\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a40684049019f333e05818bcd1ce5b48f839561)
![{\displaystyle [AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/187aaec93ded1a30cd6ad33d9e323c786d4a39fd)
![{\displaystyle [AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{\pm }B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2abfd9c204056463779a2541fa7f5bc02930bf9a)
![{\displaystyle [[A,B],[C,D]]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[[B,D]_{+},A]_{+},C]+[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[[A,C]_{+},B]_{+},D]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c14c4def5d057ec857052e280d0c27658c3796d)
![{\displaystyle \left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B]_{\pm }\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa38c6ec51fd44c85b6a7dd7820d8ebaee4f2cf)
![{\displaystyle [A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98b11c185b145fc8d01612ed03124f0e2f3dce3f)
![{\displaystyle [A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f480a46e5c19fea0ae860621b38e69606a71239)
![{\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e4b0b44677de183969e936bb4cede2bf5515ad4)
![{\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}}[A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f104655d91482ecf24b550407ef28112b27bd564)
![{\displaystyle [\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a31537974b529c2386b07f032b0452d7ab70e81)
![{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e06c88110f66faa14de2b3fba0644b13e96429)
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} _{x}\!(z)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e49b2f65e16c28bbcad712a40e4bf680ebf909)
![{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c27f6b58b814f258e43d4529f26e9ec0523b58a)
![{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z))\ =\ [x,[x,z]\,].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856ad01497c91a4c78ba471c5ba199d82744c717)
![{\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c43069feeed684198e360f083c3c004bf3cb2f2)
