경로 적분 공식

에 관한 일련의 기사의 일부
양자역학
${\displaystyle i\hbar {\frac t} \psi (t) \rangle = {H} \psi (t) \rangle }$ 슈뢰딩거 방정식
서론 용어집 역사
배경 고전 역학 구 양자론 브라켓 표기법 해밀턴식 방해다
기초 상보성 데코히렌스 얽힘 에너지 레벨 측정. 비국소성 양자수 주 중첩 대칭 터널링 불확실성 파동 함수 접다
실험 벨 부등식 데이비슨-게르머 더블 슬릿 엘리추르-바이드만 프랑크-헤르츠 레깃-가르그 부등식 마흐-젠더 포퍼 양자 지우개 선택 지연 슈뢰딩거의 고양이 스턴-게라크 휠러의 지연 선택
제제 개요 하이젠베르크 상호 작용 매트릭스 위상 공간 슈뢰딩거 Sum-over-History(경로 적분)
방정식 디락 클라인-고든 파울리 리드버그 슈뢰딩거
해석 개요 베이지안 일관성 있는 이력 코펜하겐 브로이쾅 앙상블 숨김 변수 현지의 다세계 객관적 붕괴 양자 논리 관계형 트랜잭션
상세 토픽 상대론적 양자역학 양자장론 양자정보과학 양자 컴퓨팅 양자 카오스 밀도 매트릭스 산란 이론 양자통계역학 양자 기계 학습
과학자 아하로노프 벨 베테 블래킷 블로치 쾅 보어 태어난 보스 드 브로글리 콤프턴 디락 데이비슨 데비 에렌페스트 아인슈타인 에버렛 폭 페르미 파인만 글라우버 거츠빌러 하이젠베르크 힐베르트 조던 크래머스 파울리 새끼 양 란다우 라우에 모즐리 밀리칸 온네스 플랑크 라비 라만 리드버그 슈뢰딩거 시몬스 솜메르펠트 폰 노이만 와일 빈 위그너 지만 자이링거
v t

경로 적분 공식은 고전 역학의 작용 원리를 일반화하는 양자 역학에서의 기술입니다.이것은 양자 진폭을 계산하기 위해 무한대의 양자 기계적으로 가능한 궤적에 걸친 합 또는 기능적 적분으로 시스템에 대한 단일 고유 고전 궤적의 고전적 개념을 대체합니다.

이 공식은 이론 물리학의 후속 발전에 결정적인 것으로 증명되었다. 왜냐하면 명백한 로렌츠 공분산(시간과 공간 성분은 같은 방식으로 방정식을 입력한다)이 표준 양자화의 연산자 형식주의보다 달성하기 쉽기 때문이다.이전의 방법과는 달리, 경로 적분은 동일한 양자 시스템에 대한 매우 다른 표준 기술 사이의 좌표를 쉽게 변경할 수 있도록 합니다.또 다른 장점은 이론의 라그랑지안의 정확한 형태를 추측하는 것이 실제로 해밀턴보다 더 쉽다는 것입니다. 라그랑지안은 경로 적분(특정 유형의 상호작용에 대해서는 좌표 공간 또는 파인만 경로 적분)에 자연스럽게 들어갑니다.접근법의 가능한 단점은 S-행렬의 단일성(이는 확률의 보존과 관련이 있으며, 물리적으로 가능한 모든 결과의 확률을 최대 1까지 더해야 한다)이 공식에서 모호하다는 것이다.경로-적분 접근법은 양자역학 및 양자장론의 다른 형식론과 동등한 것으로 증명되었다.따라서 어느 하나의 접근방식을 다른 접근방식에서 도출함으로써 (로렌츠 공분산 또는 단일성으로 대표되는) 어느 하나의 접근방식과 관련된 문제가 ^[1]사라집니다.

경로 적분은 또한 양자 및 확률적 과정과 관련이 있으며, 이것은 양자장 이론을 2차 위상 전이 근처의 변동장의 통계장 이론과 통합한 1970년대의 대합성의 기초를 제공했다.슈뢰딩거 방정식은 가상의 확산 상수를 갖는 확산 방정식이며 경로 적분은 가능한 모든 랜덤 ^[2]워크를 합산하는 방법의 분석적 연속이다.

경로 적분 공식의 기본 개념은 확산과 브라운 ^[3]운동 문제를 해결하기 위해 위너 적분을 도입한 노버트 위너로 거슬러 올라갈 수 있습니다.이 아이디어는 1933년 폴 디락의 ^[4][5]글에서 양자역학에서의 라그랑지안 사용으로 확장되었다.완전한 방법은 1948년 리처드 파인만에 의해 개발되었다.존 아치볼드 휠러의 지도 아래 박사학위 연구 초기에 몇 가지 전제가 마련되었습니다.최초의 동기는 (해밀턴이 아닌) 라그랑지안을 출발점으로 사용하여 휠러-파인 흡수체 이론을 위한 양자역학적 공식을 얻으려는 욕망에서 비롯되었다.

양자 작용 원리

양자역학에서는 고전역학에서와 같이 해밀턴이 시간 번역의 발생자입니다.이는 약간 늦은 시간의 상태가 해밀턴 연산자와 작용한 결과(음수 가상 단위 -i를 곱한 값)에 의해 현재 시간의 상태와 다르다는 것을 의미합니다.일정한 에너지를 가진 상태에서는 이것은 주파수와 에너지 사이의 드 브로글리 관계에 대한 진술이며, 일반적인 관계는 그것에 중첩 원리를 더한 것과 일치한다.

고전 역학의 해밀턴식은 특수 상대성 이론과 관련된 보다 근본적인 양인 라그랑지안으로부터 파생되었다.해밀턴호는 시간을 전진시키는 방법을 나타내지만, 참조 프레임마다 시간이 다릅니다.라그랑지안은 로렌츠 스칼라이고 해밀턴식은 4벡터의 시간 성분이다.그래서 해밀턴의 구조는 틀마다 다르고, 이런 종류의 대칭은 양자역학의 원래 공식에서는 분명하지 않습니다.

해밀턴호는 한 때 위치와 운동량의 함수이며, 조금 후에 위치와 운동량을 결정합니다.라그랑지안은 현재 위치와 조금 뒤의 위치의 함수입니다(또는 시간 간격이 극히 적은 경우에는 위치와 속도의 함수입니다).둘 사이의 관계는 레전드르 변환에 의해 이루어지며, 고전 운동 방정식(오일러-라그랑주 방정식)을 결정하는 조건은 작용이 극한을 갖는 것이다.

양자역학에서, 레전드르 변환은 운동이 확실한 궤적을 넘어서는 것이 아니기 때문에 해석하기 어렵다.고전 역학에서, 시간의 이산화와 함께, Legendre 변환은

$\displaystyle \varepsilon H=p(t){\big (}q(t+\varepsilon)-q(t){\big}-\varepsilon L}$

그리고.

${\displaystyle p=parial L}{\partial {dot {q}$

여기서 q에$$대한 $도함수({$displaystyle {$q})$는 q(t + q)를 고정합니다.역 Legendre 변환은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \varepsilon L=\varepsilon pµdot {q}-\varepsilon H,}$

어디에

$({displaystyle {dot {q}}=parial frac {\partial p})$

그리고 이제 부분 도함수는 고정 q에서의 p에 관한 것이다.

양자역학에서 상태는 서로 다른 q의 값 또는 서로 다른 p의 값을 갖는 서로 다른 상태의 중첩이며, 양 p 및 q는 불통행 연산자로 해석할 수 있다.연산자 p는 q에 관해 무한하지 않은 상태에만 한정됩니다.따라서 시간적으로 분리된 두 상태를 고려하여 라그랑지안에 대응하는 연산자와 함께 작용합니다.

$(\displaystyle e^{i\big [}p{\big (}q(t+\varepsilon)-q(t){\big})-\varepsilon H(p,q){\big }})}$

만약 이 공식에 내포된 곱셈이 행렬 곱셈으로 재해석된다면, 첫 번째 인자는

$\displaystyle e^{-ipq(t)}$

그리고 만약 이것이 행렬 곱셈으로도 해석된다면, 모든 상태에 걸친 합은 모든 q(t)에 걸쳐 적분하기 때문에, 베이스를 p(t)로 바꾸려면 q(t)의 푸리에 변환이 필요합니다.이것이 힐베르트 공간에 대한 작용입니다. 시간 t에서 p로 바꿉니다.

다음 차례가

$(\displaystyle e^{-i\varepsilon H(p,q)})$

미래로 가는 아주 작은 시간을 진화시킬 수도 있어요

마지막으로, 이 해석의 마지막 요소는

${\displaystyle e^{ipq(t+\varepsilon)}$

즉, 나중에 q로 기본을 다시 변경하는 것을 의미합니다.

이것은 통상적인 시간의 진화와 크게 다르지 않습니다.H계수에는 모든 동적 정보가 포함되어 있습니다.이것은 시간을 통해 상태를 진전시킵니다.첫 번째 부분과 마지막 부분은 중간 p 기준에서 순수 q 기준으로 변경하기 위한 푸리에 변환일 뿐입니다.

이것을 말하는 또 다른 방법은 해밀턴이 자연스럽게 p와 q의 함수이기 때문에, 이 양을 지수화하고 각 단계에서 p에서 q로 바꿈으로써 H의 행렬 요소를 각 경로를 따라 단순한 함수로 표현할 수 있다는 것이다.이 함수는 고전적인 작용의 양자 유사체이다.이 관찰은 Paul Dirac에 기인한다.^[6]

Dirac은 S 표현에서 시간-진화 연산자를 제곱할 수 있다는 점에 주목했다.

$(\displaystyle e^{i\varepsilon S})$

시간 t와 시간 t + 2µ 사이의 시간 계산자를 구합니다.H 표현에서는 중간 상태에 걸쳐 합산되는 양이 불분명한 행렬 요소인 반면, S 표현에서는 경로와 관련된 양으로 재해석됩니다.이 연산자의 큰 힘을 받는 한계에서는 양자 진화를 2개의 상태, 즉 초기 상태 q(0)와 이후 상태 q(t) 사이에 재구성한다.그 결과 양자 작용인 위상이 있는 경로의 합계가 생성됩니다.결정적으로, Dirac은 고전적인 한계를 제어하는 최소 작용의 원리에 대한 깊은 양자 역학적 이유를 확인하였다(인용 상자 참조).

파인만의 해석

디락의 연구는 경로 상의 합계를 계산하기 위한 정확한 처방을 제공하지 않았고, 그는 이 규칙에서 슈뢰딩거 방정식이나 정규 정류 관계를 회복할 수 있다는 것을 보여주지 않았다.이건 파인만이 ^{[nb 1]}한 짓이야즉, 고전적 경로는 고전적 한계에서 자연스럽게 발생한다.

파인만은 디락의 양자 작용이, 대부분의 경우, 단순히 고전 작용과 동등하고, 적절하게 이산화되었다는 것을 보여주었다.이것은 고전적인 작용이 두 고정된 끝점 사이의 양자 진화에 의해 획득된 위상임을 의미한다.그는 다음과 같은 가설로부터 모든 양자역학을 회복할 것을 제안했다.

1. 사건의 확률은 "확률 진폭"이라고 불리는 복소수의 제곱 계수에서 얻을 수 있습니다.
2. 확률 진폭은 구성 공간 내 모든 경로의 기여도를 합산하여 얻을 수 있습니다.
3. 경로의 기여는 e에^iS/ħ 비례합니다. 여기서 S는 경로를 따라 라그랑지안의 시간 적분에 의해 주어진 작용입니다.

주어진 프로세스에 대한 전체적인 확률 진폭을 구하기 위해 첫 번째와 마지막 상태 사이에 있는 시스템의 가능한 모든 경로(기존 표준에 의해 터무니 없는 것을 포함)의 공간에 걸쳐 제3의 진폭을 더하거나 적분한다.하나의 입자가 하나의 시공간 좌표에서 다른 시공간 좌표로 이동하는 확률 진폭을 계산할 때, 입자가 정교한 큐레이스를 기술하는 경로, 입자가 우주로 발사되어 다시 날아오는 곡선 등을 포함하는 것이 옳다.경로 적분은 이러한 모든 진폭에 가중치는 같으나 위상 또는 복소수의 인수가 변화합니다.기존 궤도와 크게 다른 경로로부터의 기여는 간섭에 의해 억제될 수 있다(아래 참조).

파인만은 이러한 양자역학의 공식화가 해밀턴이 기껏해야 2차 운동량일 때 양자역학에 대한 표준적인 접근법과 동등하다는 것을 보여주었다.파인만의 원리에 따라 계산된 진폭은 주어진 작용에 대응하는 해밀턴의 슈뢰딩거 방정식을 따르기도 한다.

양자장 이론의 경로 적분 공식은 초기 상태에서 최종 상태까지 시스템의 가능한 모든 이력의 가중치 합으로서 전이 진폭(고전 상관 함수에 대응)을 나타냅니다.파인만 다이어그램은 전이 진폭에 대한 섭동 기여도를 그래픽으로 표현한 것입니다.

양자역학에서의 경로 적분

타임슬라이싱 파생

경로 적분 공식을 도출하는 일반적인 접근법 중 하나는 시간 간격을 작은 조각으로 나누는 것입니다.이 작업이 완료되면 트로터 제품 공식은 운동 에너지 연산자와 잠재 에너지 연산자의 불환성을 무시할 수 있음을 나타냅니다.

매끄러운 전위 입자의 경우 경로 적분은 지그재그 경로로 근사되며, 지그재그 경로는 1차원에서 일반 적분의 산물이다.시간_a t에서의 위치_a x에서 시간_bb t에서의 x로의 입자의 움직임의 경우, 시간 순서는

${\displaystyle t_{a}=t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}=t_{b}}$

n + 1개의 작은 세그먼트_j t - t로_{j − 1} 나눌 수 있습니다. 여기서 j = 1, ..., n + 1은 고정 지속시간입니다.

$({displaystyle \varepsilon =\Delta t=blac {t_{b}-t_{a}}{n+1}).}$

이 프로세스를 타임슬라이싱이라고 부릅니다.

경로 적분에 대한 근사치는 다음에 비례하여 계산할 수 있다.

$\displaystyle \int \limits _{-\infty}^{+\infty}\cdots \limits _{-\infty}^{+\infty}\exp \left({\frac {i}{\hbar}}}\int _{t_{t_{b}{b}}}{big(t},{b},{big},{t},{t},{t},\t},\t},\t},\t},\t},\t},\l$

여기서 L(x, v)는 위치 변수 x(t)와 속도 v = δ(t)를 고려한 1차원 시스템의 라그랑지안이며_j(아래 참조), dx는 시간 적분이 n항의 ^{[nb 2]}합으로 근사한 경우 j번째 시간 단계의 위치에 해당한다.

한도가 n→ ∞에서, 이것이 주는 기능성 적분, 불필요한 요인을 제외한 확률은 이것은 바로 제품 amplitudes ⟨xb, 티비 전 권리락,ta⟩(더 정확히 말하자면 한 이후 연속 스펙트럼과, 각각의 독특한 밀도 되야 한다) 했기 때문에 초기 상태 전 권리락과 티비에서 최종의 양자 기계적 입자를 찾으려고 합니다.주x_b 를 클릭합니다.

사실 L은 1차원 시스템의 고전적인 라그랑지안이다.

$\displaystyle L(x, {\dot {x})= T-V = specfrac {1}{2}} m {dot {x} ^{2}-V(x)}$

그리고 위의 "지그재그"는 용어의 출현에 대응한다.

${\displaystyle \exp \frac {i} {\hbar}}\varepsilon \sum _{j=1}^{n+1}L\left({\tilde {x}_{j}-x_{j-1}}}{\frac {\varepsilon },j\right})$

그 리만 합은 마침내 x1에 대한 통합 조치 dx1는 시간 간격 j에 해당하는...dxn, x̃j 있는 임의의 값, 예를 들어 그 중심,.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{과 xn에 통합되어 있는 시간 양호로에서.디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}xj+xj−1/2.

따라서 기존 역학과 달리 정지 경로가 기여할 뿐만 아니라 실제로 초기점과 최종점 사이의 모든 가상 경로도 기여합니다.

경로 적분

위치 표현에서의 파동 함수의 관점에서 경로 적분 공식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \psi (x,t)={Z}}\int _{\mathbf {x}{\mathcal {D}}\mathbf {x},e^{iS},{\dot {\mathbf {x}}}\psi {\mathbf}(\mathbf})$

$여기$서 ${\displaystyle D\mathbf{}}$x {\$displaystyle {D}}\mathbf${x$}$는${\displaystyle }$x (${\displaystyle 0)}$ $=$ (\$displaystyle \mathbf {x})$인 모든 $경로{\displaystyle \mathbf{}}$x(\$displaystyle \mathbf${x$})$ $}$ 에서의 통합을 나타내고 Z$(\displaystyle$ Z$)$는 정규화 계수입니다.$다음$은 S$(\displaystyle$ S$)$의 액션입니다.

${\displaystyle S[\mathbf {x},{\dot {mathbf {x}}}}=\int dt,L(\mathbf {x}(t),{\dot {mathbf {x}}}}}}(t)}$

자유 입자

경로 적분 표현은 모든 경로에 대한 적분으로 x점에서 y점으로 이동하는 양자 진폭을 제공합니다.자유 선택 동작의 경우(간단함을 위해 m = 1, θ = 1)

${\displaystyle S=\int {{\dot {x}^{2}}:{2}},dt,}$

적분을 명시적으로 평가할 수 있습니다.

이를 위해서는 지수에서 계수 i를 제외하고 시작하는 것이 편리하므로 큰 편차는 진동 기여를 취소하는 것이 아니라 작은 숫자로 억제됩니다.진폭(또는 커널)은 다음과 같습니다.

${\displaystyle K(x-y;T)=\int _{x(0)=x(T)=y}\exp \leftfilen\int _{0}^{T}{\frac {\dot {x}^{2}} {2}}, dt\right), Dx.}$

적분을 시간 슬라이스로 분할:

${\displaystyle K(x,y;T)=\int _{x(0)=x(T)=y}\prod _{t}\exp \tfrac {1}{2}\leftfrac {x(t+\varepsilon}-x(t){\varepsilon}\right2}^{\p}$

여기서 Dx는 θ의 각 정수 배수에서 적분의 유한 집합으로 해석됩니다.곱의 각 인자는 분산이 θ인 x(t)를 중심으로 하는 x(t + θ)의 함수로서의 가우스이다.다중 적분은 인접한 시간에 자체 복사본을 사용하여 이 가우스_ε G의 반복적인 회전입니다.

${\displaystyle K(x-y;T)=G_{\varepsilon}*G_{\varepsilon}*\cdots*G_{\varepsilon}}$

여기서 컨볼루션의 수는 T/θ입니다.결과는 양쪽의 푸리에 변환을 취하면 쉽게 평가할 수 있으며, 따라서 다음과 같이 컨볼루션이 곱이 됩니다.

${{displaystyle {K}(p;T)={\varepsilon }(p)^{T/\varepsilon }}.}$

가우스 G의 푸리에 변환은 상호 분산의 또 다른 가우스입니다.

$({displaystyle {G}}_{\varepsilon }(p)=e^{-{\frac {\varepsilon p^{2}}}{2}})$

그 결과

$({displaystyle {K}}(p;T)=e^{-{\frac {Tp^{2}}}{2}}).}$

푸리에 변환은 K를 제공하며, 이는 다시 상호 분산을 갖는 가우스입니다.

${\displaystyle K(x-y;T)\propto e^{-{\frac {(x-y)^{2}}}{2T}}}}}.$

비례 상수는 실제로 타임슬라이싱 접근법에 의해 결정되는 것이 아니라 서로 다른 엔드포인트 선택에 대한 값의 비율만 결정됩니다.비례 상수는 각 두 시간 조각 사이의 시간 진화가 양자 기계적으로 단일화되도록 하기 위해 선택되어야 하지만 정규화를 고정하는 보다 밝은 방법은 경로 적분을 확률적 과정의 설명으로 고려하는 것이다.

그 결과는 확률 해석을 가지고 있다.지수 인자의 모든 경로에 대한 합계는 해당 경로를 선택할 확률의 각 경로에 대한 합으로 볼 수 있습니다.확률은 해당 세그먼트를 선택할 확률의 각 세그먼트에 대한 곱입니다. 따라서 각 세그먼트는 확률적으로 독립적으로 선택됩니다.답이 시간에 선형으로 퍼지는 가우스라는 사실은 중심 한계 정리이며, 이는 통계 경로 적분의 첫 번째 역사적 평가로 해석될 수 있다.

확률 해석은 자연 정규화 옵션을 제공합니다.경로 적분은 다음과 같이 정의해야 합니다.

$\displaystyle \int K(x-y;T),dy=1}$

이 조건은 가우스를 정규화하고 확산 방정식을 따르는 커널을 생성합니다.

${\displaystyle\frac {d}{dt}K(x;T)=\frac{{2}}{2}}K.}$

분자에 i가 있는 진동 경로 적분의 경우, 이전과 마찬가지로 시간 슬라이스를 통해 컨볼루션 가우시안(convolved Gaussian)이 생성됩니다.그러나 이제 회전곱은 진동 적분을 평가하기 위해 신중한 한계가 필요하기 때문에 약간 특이합니다.인자를 잘 정의하려면 시간 증분 ε에 작은 가상 부품을 추가하는 것이 가장 쉬운 방법입니다.이것은 윅 회전과 밀접한 관련이 있습니다.이전과 같은 convolution 인수는 전파 커널을 제공합니다.

${\displaystyle K(x-y;T)\propto e^{\frac {i(x-y)^{2}}{2T}},}$

이전과 동일한 정규화(합 제곱 정규화 아님 - 이 함수는 발산 규범이 있음)로 자유 슈뢰딩거 방정식을 따릅니다.

${\displaystyle {d}{dt}K(x;T)=i{\frac {{2}}{2}}K.}$

즉, Ks의 중첩도 선형성에 의해 동일한 방정식을 따릅니다.정의

$\displaystyle \psi _{t}(y)=\int \psi _{0}(x)K(x-y;t),dx=\int \psi _{x(0)=x(t)=y}e^{iS},Dx,}$

그러면 θ는_t K와 마찬가지로 자유 슈뢰딩거 방정식을 따른다.

${\displaystyle i440frac {\displaystyle t}\psi _{t}=-{\frac {\displayla ^{2}}\psi _{t}.}$

단순 고조파 발진기

단순 고조파 발진기의^[7] 라그랑지안은

${\displaystyle {\mathcal {L}}=tfrac {1}{2}m{\tfrac {1}{2}-{\tfrac {2}m\obe ^{2}x^{2}.}$

그것의 궤적 x(t)를 고전 궤적 + 약간의 섭동, x(t) = x_c(t) + δx(t) 및 작용은 S = S_c + δS로 적는다.고전적인 궤적은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\displaystyle x_{\text{c}(t)=x_{i}{\frac {sin \obega(t_{f}-t_{i}}}}+x_{f}{\frac {\sin \obega(t-t_{i}}}}}}}{\sin \omega(t_{f}-t_{i}}}}.}$

이 궤적은 고전적인 행동을 낳는다.

$디스플레이 스타일S_{\text{c}}&=int _{t_i}^{t_{f}{\mathcal {L},dt=\int _{t_{f}^{t_{f}}\lefts\tfrac {1}{2}m}{2}-{\tf}^2}{tf}^2}\end { aligned}}$

다음으로, 푸리에 급수로서 고전 경로로부터의 편차를 확장하고, 다음을 나타내는 동작 δS에 대한 기여도를 계산합니다.

${\displaystyle S=S_{\text{c}+\sum _{n=1}^{\infty}{\tfrac {1}{2}{\frac {m}{2}\leftfrac {{2}{{{(n\pi)}{2}{{{{{{{{f}}}\f}\f}^2}{{f}{f}{f}{f}{f}{f}{f}{f}{f}{f}{f}{f}{f}{f}{f}}}}{f}}}}$

즉, 전파자는

${\displaystyle {begin{aligned}K(x_{f},x_{i},t_{i})&=Qe^{\frac {iS_{\text{c}}{\hbar}}\frac_{j=1}^{\infty}{\frac {j\pi}{\exp {left\frac {i}{2\hbar}{j}{\frac}{\frac}{\frac}{\frc}{\frac}{{\frac}{\frc}{{{\frc}}}{j\pi}}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}\end{aligned}}}$

어느 정도 정상화를 위해

${\displaystyle Q=sqrt {frac {m} {2\pi i\hbar (t_{f}-t_{i}}}~.}$

sync 함수의 무한곱 표현을 사용하여

${\displaystyle _{j=1}^{\infty}\left(1-{\frac {x^{2}}}\right)=black {\sin \pi x}{\pi x},$

전파자는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$({displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=Qe^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar}}{\frac{f}-t_{i}}}{\sin \omega(t_{f}-t_{i})}}=e^{\frac {iS_{c}}{\hbar}}{\pi i\hbar \sin \sin (t_{f}-t_{i}}}}}.}$

T = t_f - t로_i 하자.누군가는 에너지 고유 상태의 관점에서 이 전파자를 다음과 같이 쓸 수 있다.

${{displaystyle {begin{f}K(x_{f};x_{i},t_{i})&\left({\frac {m\obe}{2\pi i\hbar \sin \obe T}}\right)^{\frac {1}\exp {\frac\frac{{{{f}{{\f}{\f}{\f}}{i}{i}}{f}{f}{i}{i}{f}{f}}{f}}}{f}{i}T}{\hbar}}\right}\psi _{n}(x_{f})\psi _{n}(x_{i})^{*}~.\end{aligned}}$

i sin tT = 1/2e^iωT (1 - e^−2iωT) 및 cos tT = 1/2e^iωT (1^−2iωT + e)를 사용하면 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle K(x_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\obe}}{\pi \hbar}}}\right)^{\frac {-i\obe T}{2}}{\frac {-i}\left(1-e^{-2-i}^{-i}^{-light})}}\right)\right)}.}$

첫 번째^−iωT/2 e 이후의 모든 항을 R(T)에 흡수하여 다음을 얻을 수 있다.

$\displaystyle K(x_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\obe}}{\pi \hbar}}}\right)^{\frac {-i\obe T}{2}}\cdOT R(T)}$

최종적으로 R(T)의^−iωT e승으로 확장할 수 있다: 이 확장의 모든 항에 전면의 e계수를^−iωT/2 곱하여 형식의 항을 생성한다.

${\displaystyle e^{\frac {-i\obega T}{2}{2}{2}+n\right}\text{{\frac {1}{n\right}}\text{{{}n=0,1,2,\ldots}}.e^{-in\obe T}}=e^{-i\left}}$

상기의 고유 상태 팽창과 비교하면, 단순한 고조파 발진기의 표준 에너지 스펙트럼이 산출됩니다.

$\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega ~ .}$

쿨롱 전위

그러나 원자의 가장 중요한 양자역학적 경로 적분에는 원자의 쿨롱 전위² e/r의 특이성 때문에 파인만의 시간 분할 근사치가 존재하지 않는다.시간 t를 다른 경로 의존 의사 시간 매개 변수로 바꾼 후에만

${\displaystyle s=\int {frac {dt}{r(t)}}$

1979년 I'smail Hakkü Duru와 Hagen Kleinert에 ^[8]의해 발견된 바와 같이 단순한 좌표 변환에 의해 고조파를 만들 수 있기 때문에 특이점이 제거되고 정확히 적분할 수 있는 시간 슬라이스 근사치가 존재한다.경로 의존 시간 변환과 좌표 변환의 조합은 많은 경로 적분을 해결하는 중요한 도구이며 일반적으로 Duru-Kleinert 변환이라고 불립니다.

슈뢰딩거 방정식

경로 적분은 전위가 존재하는 경우에도 최초 및 최종 상태에 대한 슈뢰딩거 방정식을 재현합니다.이는 무한히 분리된 시간에 경로 적분을 취하면 가장 쉽게 확인할 수 있습니다.

$\displaystyle \psi(y;t+\varepsilon)=\int _{-\infty }^{x(x;t)=x}^{x(t+\varepsilon)=y}e^{i\int _t+\varepsilon}{\lcr}{\lfr1}{\infty }$

시간 간격이 극소이고 θ의 큰 값에 대해 취소 진동이 심해지기 때문에 경로 적분은 x에 가까운 y에 대해 가장 큰 무게를 가집니다.이 경우, 가장 낮은 차수의 잠재 에너지는 일정하며 운동 에너지 기여만 중요하지 않습니다.(지수의 운동 에너지 항과 퍼텐셜 에너지 항의 분리는 기본적으로 트로터 곱 공식입니다.)동작의 지수함수는

${\displaystyle e^{-i\varepsilon V(x)}e^{i{\frac {\dot {x}}{2}}{2}}\varepsilon }}$

첫 번째 항은 위치 에너지에 비례하는 양만큼 국소적으로 δ(x)의 위상을 회전시킨다.두 번째 항은 자유입자 전파기로, i 곱하기 확산 과정에 해당합니다.they의 가장 낮은 차수에 대해서는 가법이다.어느 경우든 (1)은 다음과 같다.

$(\displaystyle \psi (y;t+\varepsilon )\약 \int \psi (x;t)e^{-i\varepsilon V(x)}e^{\frac {i(x-y)^2}}{2\varepsilon },dx,}$

전술한 바와 같이, θ의 확산은 자유 입자 전파로부터 확산되며, 위상에서의 추가적인 극소 회전은 전위로부터 서서히 변화한다.

$({displaystyle\frac\psi}{\frac t}=i\cdot\tfrac{1}{2}\frashla ^{2}-V(x)\psi \,})$

이것이 슈뢰딩거 방정식입니다.경로 적분의 정규화는 자유입자의 경우와 정확히 같은 방법으로 수정해야 합니다.임의의 연속 전위는 정규화에 영향을 주지 않지만, 특이 전위는 세심한 처리가 필요합니다.

운동 방정식

상태가 슈뢰딩거 방정식을 따르기 때문에 경로 적분은 x와 θ 변수의 평균에 대한 하이젠베르크 운동 방정식을 재현해야 하지만, 이것을 직접 보는 것이 유익하다.직접적 접근은 경로 적분으로부터 계산된 기대치가 양자 역학의 일반적인 값을 재현한다는 것을 보여준다.

우선 고정 초기 상태와 통합된 경로를 고려합니다.

$\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}e^{iS(x,{\dot {x}}}},Dx,}$

각 시간에서의 x(t)는 별개의 적분 변수입니다.따라서 x(t) = u(t) + ((t)로 이동하여 적분의 변수를 변경하는 것이 정당합니다. 여기서 ((t)는 매번 다른 시프트이지만 ((0) = ε(T) = 0은 끝점이 통합되지 않으므로 다음과 같습니다.

$\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}e^{iS(u+\varepsilon),{\dot {u}}+{\dot {\varepsilon}}}}}}}}, Du,$

시프트에서 적분의 변화는 θ의 첫 번째 극소수 순서로 다음과 같습니다.

$\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}\left(\int {frac {\partial u})\varepsilon +{\frac {\partial {u}}}}{\dot {varepsilon }}{dt}\e^{i},$

t의 부품별로 통합하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

$\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}-\left(\int \leftswar\frac {d}}{\frac {\dot {u}}}-{\frac {\d}}}-{\frac {\partial u}}\varepsilon(오른쪽 u}){d}$

그러나 이것은 단지 적분 변수의 이동일 뿐이며, 어떤 선택에서도 δ(t)의 적분 값은 변경되지 않습니다.결론적으로 이 1차 변동은 임의의 초기 상태와 임의의 시점에서 제로입니다.

$\displaystyle \left \psi _{0}\left \frac {\delta x}(t)\right \psi _{0}\rangle = 0}$

하이젠베르크 운동 방정식입니다

동작에 θ와 x를 곱하는 항이 동시에 포함되어 있는 경우 위의 조작은 경험적 조작일 뿐입니다.이러한 수량에 대한 곱셈 규칙은 연산자 형식주의에서와 마찬가지로 경로 적분 내에서 논커뮤팅되기 때문입니다.

정지상 근사

작용의 변화가 θ를 많은 차수만큼 초과하는 경우, 우리는 일반적으로 오일러-라그랑주 방정식을 만족시키는 궤적 근처를 제외하고 파괴적 간섭을 가지며, 이는 이제 건설적 간섭의 조건으로 재해석된다.이는 전파기에 적용된 정지 위상 방법을 사용하여 확인할 수 있습니다.θ가 감소함에 따라 적분 내의 지수는 동작의 변화에 따라 복잡한 영역에서 빠르게 진동합니다.따라서 θ가 0이 되는 한계에서는 고전적인 동작이 변하지 않는 점만이 전파기에 기여합니다.

표준 정류 관계

경로 적분의 공식은 수량 x와 p가 이동하지 않는다는 것을 언뜻 보기에 명확하지 않습니다.경로 적분에서는 통합 변수일 뿐 명확한 순서가 없습니다.파인만은 불변성이 여전히 ^[9]존재한다는 것을 발견했다.

이를 확인하려면 가장 단순한 경로 적분인 갈색 걷기를 고려하십시오.이것은 아직 양자역학이 아니기 때문에 경로 적분에서는 작용에 i를 곱하지 않는다.

$\displaystyle S=\int \leftfrac {frac}{dt}\right)^{2},dt}$

x(t)의 양이 변동하고 도함수는 이산 차이의 한계로 정의됩니다.

${\displaystyle {frac {dt}}=superfrac {x(t+\varepsilon)-x(t)}{\varepsilon }}$

무작위 보행이 이동하는 거리는 µt에 비례하므로 다음과 같다.

${\displaystyle x(t+\varepsilon)-x(t)\약 {\displayrt {\varepsilon }}$

이것은 도함수를 정의하는 비율이 확률 1과 분산되기 때문에 무작위 보행이 구별되지 않는다는 것을 보여준다.

x'는 애매하고 다음 두 가지 의미를 가질 수 있습니다.

${\displaystyle [1]=xfrac {dt}=x(t){\frac {x(t+\varepsilon}-x(t)}{\varepsilon }}}$

$\displaystyle [ 2 ] = x ( t + \ varepsilon ) { \ frac { x ( t + \ varepsilon ) - x ( t ) } { \ varepsilon }$

초등 미적분학에서는 θ가 0이 되고 θ가 0이 되는 양만 차이가 난다.단, 이 경우 둘 사이의 차이는 0이 아닙니다.

${{displaystyle [ 2 ] - [ 1 ] = specfrac { \ big ( t + \ varepsilon ) - x ( t ) { \ big } { \ varepsilon } } { \ about \ frac { \ varepsilon }$

허락하다

${\displaystyle f(t)=bigfrac {{\big(t+\varepsilon)-x(t){\big}}{2}}{\varepsilon }}$

f(t)는 빠르게 변동하는 통계량이며, 평균값은 1이다. 즉, 정규화된 "가우스 과정"이다.이러한 양의 변동은 통계적 라그랑지안(Lagrangian)에 의해 설명될 수 있다.

${{displaystyle {L}}=(f(t)-1)^{2},}$

그리고 L에 대응하는 동작 S를 극단화함으로써 도출된 f에 대한 운동 방정식은 그것을 1로 설정했다.물리학에서 이러한 양은 "연산자 동일성으로서 1과 같다".수학에서는 "약하게 1로 수렴"한다.어느 경우든 기대치에 1이 되거나, 임의의 간격에 걸쳐 평균을 냈을 때 또는 모든 실제 목적을 위해 1이 됩니다.

연산자 순서가 되는 시간 순서를 정의합니다.

${\displaystyle [x, {\dot {x}}=x440frac {dt}-{\frac {dt}x=1}$

이것은 확률적 미적분학에서는 이토 렘마, 물리학에서는 (유클리드화된) 정준환 관계라고 불립니다.

일반적인 통계 액션의 경우, 유사한 인수는 다음을 나타낸다.

$\displaystyle \left[x, {\frac S}{\partial\dot {x}}}\right]=1$

양자역학에서, 작용의 여분의 상상 단위는 이것을 표준 정류 관계로 변환합니다.

${\displaystyle [x,p]=i}$

곡선 공간의 입자

곡면 공간의 입자에 대해 운동 항은 위치에 따라 달라지며, 위의 시간 슬라이싱을 적용할 수 없으며, 이는 슈뢰딩거 양자 역학에서 악명 높은 연산자 순서 문제의 징후이다.그러나 다치 좌표 변환(여기서 설명됨)을 사용하여 곡선 공간에 통합된 시간 슬라이스 평면 공간 경로를 변환함으로써 이 문제를 해결할 수 있습니다.

측정이론인자

때때로(예: 곡면 공간에서 이동하는 입자) 기능 적분에도 측정 이론 요인이 있습니다.

$\displaystyle \int \mu [x]e^{iS[x]}, {\mathcal {D}}x.}$

이 요소는 단일성을 복원하기 위해 필요합니다.

예를 들어, 만약

$({displaystyle S=\int \leftfrac {m}{ij}{\dot {x}{i}{\dot {x})^{j}-V(x)\right},dt,})$

즉, 각 공간 슬라이스에 측정값 µg을 곱한다.이 측정값은 완전히 다른 클래스에 속하므로 Dx 측정값을 곱하는 함수로 표현할 수 없습니다.

기대치와 매트릭스 요소

of x f${\displaystyle e_{}{}^{}}$- ${\displaystyle {i\frac{}{}h\stackrel{}{}}^{}}$H^ ( ${\displaystyle t^{}}$- ${\displaystyle {{}^{})}^{}}$ ) ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x\stackrel{}{}^}$ ) ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {i\stackrel{}{}^}^{}}$ ( ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {)}^{}}$ )${\displaystyle x{}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ \ $display$\ $langle$ x $_${ $f$} $e^$ { - { \ $frac${$i$} { \ hbar } { \ $hat$ {$h$} （ t - t$$） } 。$F({\hat {x}})$ e$^{-{\frac {i}{\hbar}}{\hat {H}}(t')}} x_{$i}\$rangle}$ 형식을$$ 취합니다.

${\displaystyle {x\mathrm{x}}_{}^{}}$ (${\displaystyle {}_{}^{}}$0 )${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle {x_{}}_{}^{{}_{}}}$ ${\displaystyle x_{}^{}}$( t )${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle {x_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle f^{}}$D [ ${\displaystyle x^{}]F}$ ( ${\displaystyle {x\frac{}{}}^{}}$ )${\displaystyle {、}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {（}^{}}$ t ${\displaystyle ）{}^{}}$、 ${\displaystyle {x\stackrel{}{}（}^{}}$ ${\displaystyle {t\stackrel{}{}}^{}}$ ） 、 x （ ${\displaystyle t^{}}$） \ $displaystyle$ \$int _ {$x ( $0 )$ $= x$ _ { i$}^{$x ( t =$x$_ f} { \$mathcal$ { D$$} （$F$） ）${\displaystyle {}_{}^{}}$}

이는 예를 들어 여러 연산자로 일반화됩니다.

${\displaystyle x_{}x{}_{}{}^{}{f\frac{}{}}^{}-{\frac{i}{}}^{}{}^{}H{}^{}^{}^{}(\; t\; -{{}_{}{t\mathrm{}}_{}}^{}{}^{}{}_{}){}_{}{F\frac{}{}}^{}1\stackrel{}{}(\; x^{}^{})\; e\; -\; i{{}_{}}^{}{\frac{H}{}}^{}^\; ({{}_{}{t\mathrm{}}_{}}^{}{{}_{}}^{}-{{}_{}}^{}{}_{}2){}_{}{F}_{}2\stackrel{}{}(x\; ^{}^{}){e\frac{}{}}^{}-{\frac{i}{}}^{}{h}_{}^{}H{}^{}^\; ({{}_{}{t\mathrm{}}_{}}^{}{}^{}{}_{})\; x{}_{}{}_{}^{}⟩{}_{}^{}x\; ({0_{}}_{}^{}){=}_{}^{}{x_{}}_{}^{}i{x}_{}^{}({}_{}^{}t{}_{}^{})\; ={{}_{}}_{}^{}\mathcal{}D[]{}_{}{1\mathrm{}}_{}({}_{})}$$t$$$$}F_{1}({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar}}{\hat {H}}(t_{1}-t_{$$2})$$F_{2}({\hat {x}) e^{-{\frac {i}{\hbar}}{\hat {H}}(t_{2})} x_{i}\int _{x(0)=x_{i}^{x(t)=x_{f}{\mathcal {D}{x}(x})}{x}(x})$$F_{2}(x(t_{2}) e^{\frac {i}{\hbar}}}\int dtL(x(t), {\dot {x}}(t))$$\}\},$

일반적인 기대치에 도달합니다.

${\displaystyle f}$ F${\displaystyle =\frac{}{}}$∫ ${\displaystyle \frac{D}{}}$[${\displaystyle \frac{}{}}$] ${\displaystyle \frac{F}{}}$(${\displaystyle \frac{{f\frac{}{}}^{}}{}}$ ) ${\displaystyle \frac{i\mathcal{}}{{}^{}}}$S [ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ [${\displaystyle \frac{}{}}$D [ ${\displaystyle \frac{]}{}}$ ${\displaystyle \frac{{e\frac{}{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\hslash }^{}}{}}$ S${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$[ ] $ϕ$ S [ $]$\ $displaystyle$F$$\$rangle$=$frac {$\ $mathcal$ { D } [ \ $phi$]e ^ { h } { $frac$ }

유클리드 경로 적분

경로 적분에서는 Wick 회전을 실제 시간에서 가상 시간으로 수행하는 것이 매우 일반적입니다.양자장 이론의 설정에서, 윅 회전은 시공간 기하학을 로렌츠에서 유클리드까지 변화시킨다. 그 결과, 윅 회전 경로 적분은 종종 유클리드 경로 적분이라고 불린다.

윅 회전 및 파인만-Kac 공식

t ${displaystyle$ t$}$를 $-{\displaystyle }$ i$${ $displaystyle$ -$$it$$}로 $치환$하면 시간 $진화{\displaystyle {}^{}}$ 연산자${\displaystyle e^{}}$ - ${\displaystyle i^{}}$${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$H ${\displaystyle {^}^{}}$ / ${\$ （ \ $displaystyle$ e^ { - $it${ $H$} / \ $hbar$$$} ）는 e - t H ${\displaystyle {^}^{}}$ /$$（ $displaystyle$ e$^$ { - $t${ - t { \ hat { \ $hat$} / har }$$} } } $）$로 치환됩니다.이^[10] 설정에서 경로 적분 공식의 도출을 반복하면

${\displaystyle (}$( ${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle }$t )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{1}{}}$ Z${\displaystyle {x\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{x}}_{}}$( 0 )${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ e - ${\displaystyle {{S\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\mathrm{E}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\mathrm{u}}_{}}^{}}$ c ${\displaystyle {{\mathrm{l}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\mathrm{i}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\mathrm{d}}_{}}^{}}$ a${\displaystyle {{}_{}n\mathbf{}}^{}}$( ${\displaystyle {x\stackrel{}{\mathbf{}}}^{}}$ ,${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$x ${\displaystyle {)}^{}}$ ) / ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0\mathbf{}}$ ( $x$)${\displaystyle {}_{}\{\backslash }$ 0 (${\displaystyle }$x ) ${\displaystyle D^{}}$ $x$ \ $displaystyle \$ ( x , t ${\displaystyle )}$ =$displayfrac {1$} {$Z}$ \$int$ _$\ mathbfx }$ ( 0 - s )$=$ { 0 .

$여기$서 ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{E}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{u}}_{}}$ c ${\displaystyle {\mathrm{l}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$ d ${\displaystyle {\mathrm{e}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{a}}_{}}$n {\$displaystyle$S_${\mathrm {Eclikled}}$ 은$$ 다음과 같이 주어진 유클리드 작용입니다.

${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{u}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{c}}_{}}$ l$$ ${\displaystyle {\mathrm{d}}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x\mathbf{}}$ , ${\displaystyle x\stackrel{}{\mathbf{}})}$ )$$ ${\displaystyle [}$ [ ${\displaystyle m\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle x\stackrel{}{\mathbf{}}(}$ (${\displaystyle t}$ )${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ +${\displaystyle V}$ (${\displaystyle x\mathbf{}}$(${\displaystyle }$) ]${\displaystyle d}$ t$$\ $displaystyle$S _ { \ $mathbf { x }$ $,$ { \ $dot${ \$mathbf${ x } } $= int \[ frac$2 ]

(유클리드라는 용어는 실제 시간에서 상상의 시간으로의 변화가 시공간 기하학을 로렌츠에서 유클리드로 변경하는 양자장 이론의 맥락에서 나온 것이다.)

경로 적분에 대한 운동 에너지의 기여는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {1}{Z}\int _{\mathbf {x}=x}f(\mathbf {x})e^{-{\mathbf {m}{2}}\int {{2}dt}, {\mathcal {D}}\mathbf {x},$

$여기$서 f${\displaystyle (x\mathbf{}}$)(\$displaystyle$f(\$mathbf${x$})$는 패스에 대한 integrand의 나머지 의존성을 모두 포함합니다.이 적분은 ${\displaystyle {\mu }_{}}$x {\$displaystyle \mu$ _${x$로 $표시$된 Wiener 측정값에 대한 적분으로서 엄밀한 수학적 해석을 가지고 있습니다.노버트 위너에 의해 만들어진 위너 척도는 아인슈타인의 브라운 운동 수학적 모델에 엄격한 기초를 제공합니다.$첨자{\displaystyle }$x(\$displaystyle$x)는$$ x${\displaystyle }$(${\displaystyle 0)}$ $=$ (\$displaystyle \$$mathbf {x$$\})$ $경로x{\displaystyle \mathbf{}}$$(\$\$mu$ _${x})$에서 ${\displaystyle {측정값\mu }_{}}$x(\$displaystyle \$$mathbf {x})$가 지원됨을 나타냅니다.

그런 다음 파인만-Kac ^[11]공식으로 알려진 파인만 경로 적분의 엄격한 버전이 있습니다.

${\displaystyle (}$( x ,${\displaystyle t}$ )${\displaystyle ={}^{}}$ e -${\displaystyle v^{}}$ ${\displaystyle {V\mathbf{}}^{}}$( ${\displaystyle x^{}}$( ${\displaystyle t^{}}$)${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ / ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$0${\displaystyle }$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$) ${\displaystyle d_{}\mu \mathbf{}}$ x${\displaystyle }$($$x ) \ $display \psi$( $x$ , t ) = \$int$ e^ { - \$int V$ ( \ $mathbf { x$} ($t$ ) , $\$ psi { t } ( \ $mathbf )$

$여기$서 ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle t}$) {$style \psi ( x$ , $t$)}는$$ 윅 회전 버전의 슈뢰딩거 방정식을 만족합니다.

${\displaystyle \frac{(\mathrm{}}{}\frac{\mathrm{}}{}x\stackrel{}{}}$, ${\displaystyle t}$)${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle H\stackrel{}{}}$^${\displaystyle （}$ $x$, t$$） $。{ display$ \$hbar$ \$frac$ { $frac$} { \ flac } { \ t } \ $psi$( x , t )$=$ - { \ $hat$ { $H }$ \ $psi$( x ,$$t$$) 。

윅 회전 슈뢰딩거 방정식은 직접적인 물리적 의미는 없지만 ^[12]슈뢰딩거 $연산자{\displaystyle \stackrel{}{}}$H$^(\$의 흥미로운 특성은 이를 연구함으로써 추출할 수 있습니다.

수학과 물리학 문헌에서 경로 적분 관점에서 양자장 이론의 연구는 대부분 유클리드 환경에서, 즉 윅 회전 후에 이루어집니다.특히 적절한 성질을 가진 유클리드 장 이론을 구성할 수 있다면 윅 회전을 되돌려서 물리적 로렌츠 이론을 ^[13]회복할 수 있다는 것을 보여주는 다양한 결과가 있다.반면에, 양자장 이론에서 경로 적분(유클리드 경로 적분)에 의미를 부여하는 것은 양자 ^{[nb 3]}역학에서보다 훨씬 더 어렵다.

경로 적분 및 파티션 함수

경로 적분은 모든 양자역학 문제에 대한 위의 적분의 일반화일 뿐이다.

${\displaystyle Z=\int e^{\frac {i440mathcal {S}}[\mathbf {x}}, {\mathbcal {D}}, {\mathbf {x} \mathbf {x}}, {\mathbf} {x}, {x}, {\mathbf} {x}, {x}, {x}, {\mathbf},\mathbf}, {x}, {s},\mathbf}, {s}, {S}, {s},$

는 시간 t=0에서 시간 t=t로_f 끝나는 경로를 조사하는 고전적인 문제의 작용이며, ${\displaystyle D\mathbf{}}$x {\$displaystyle${\$mathcal {D}}\mathbf {x}}$는 모든 경로에 대한 통합 측도를 나타냅니다.고전적인 $한계인{\displaystyle \mathcal{}}$ S${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x\mathbf{}}$] ${\displaystyle \gg }$ （ \ $displaystyle${ \ $mathbcal$ { S } ） [ \$mathbf$ { x } \$g$\ hbar $\}$에서는 최소 작용 경로가 적분을 지배합니다.이로부터 떨어진 경로의 위상이 빠르게 변동하고 다른 기여가 ^[14]취소되기 때문입니다.

통계 역학과의 연결은 다음과 같습니다.동일한 구성으로 시작하고 끝나는 경로만을 고려하여 Wick 회전 it = δβ, 즉 시간을 가상으로 만들고 가능한 모든 시작-종료 구성에 통합합니다.위크 회전 경로 적분(이전 하위 절에서 "유클리드"의 상대 작용으로 대체됨)은 이제 상상 시간에 반비례하는 반온도의 표준 앙상블에서 정의된 통계 역학의 분할 함수는 1/T = ikt_B/module이다.그러나 엄밀히 말하면, 이것은 통계 분야 이론의 분할 함수이다.

양자역학과 통계역학 사이의 이러한 깊은 유추는 공식에 의존할 수 없다.정준 공식에서, 한 상태의 단일 진화 연산자는 다음과 같이 주어지는 것을 볼 수 있다.

$\displaystyle \alpha ; t \rangle = e^{-{\frac {iHt}{\hbar }} \alpha ; 0\rangle }$

여기서 상태 α는 시간 t = 0에서 진화한다. 여기서 윅 회전을 하고 어떤 상태에서든 갈 진폭을 찾으면, iβ가 주어진 시간 내에 동일한 상태로 되돌아간다.

${\displaystyle Z=\operatorname {Tr}\left[e^{-H\beta}\right]}$

이는 앞서 언급한 온도에서 동일한 시스템에 대한 통계 역학의 분할 함수이다.그의 이름을 딴 방정식이 윅 회전 후의 확산 방정식처럼 보인다고 말한 에르빈 슈뢰딩거에게도 이 등가의 한 측면이 알려져 있었다.그러나 유클리드 경로 적분은 사실 고전적인 통계역학 모델의 형태라는 점에 유의하십시오.

양자장론

양자장론
파인만 도표
역사
배경 필드 이론 전자기학 약한 힘 강한 힘 양자역학 특수상대성이론 일반상대성이론 게이지 이론 양밀스 이론
대칭 양자역학에서의 대칭성 C대칭성 P대칭성 T대칭성 로렌츠 대칭 푸앵카레 대칭 게이지 대칭 명시적 대칭 파괴 자발적 대칭 깨짐 노에테르 전하 위상 전하
도구들 이상 백그라운드 필드 방식 BRST 양자화 상관 함수 건널목 효과적인 조치 유효장론 기대치 파인만 도표 격자장론 LSZ 환원식 파티션 함수 전파자 양자화 정규화 재규격화 진공 상태 윅의 정리
방정식 디랙 방정식 클라인-고든 방정식 프로카 방정식 휠러-드윗 방정식 바르그만-위그너 방정식
표준 모델 양자 전기 역학 전약 상호작용 양자 색역학 힉스 메커니즘
불완전한 이론 끈 이론 초대칭성 테크니컬러 만물의 이론 양자 중력
과학자 앤더슨 앤셀름 아티야 바르그만 베치 벨라빈 벤더 베테 비요켄 블루어 보고리유보프 브로드스키 브루트 갈색 부흐홀츠 캘런 캐스웰 콜먼 코네스 대심 디윗 디락 도플리셔 다이슨 영어 파디예프 파딘 페르미 파인만 피어즈 폭 프레드하겐 프리츠히 프뢰리히 털로 덮인 글래쇼 글림 겔판드 겔만 골드스톤 그리보프 징그러워 굽타 구랄니크 하그 하이젠베르크 헤프 힉스 하겐 '호프트 없음' 일리오풀로스 잇지슨 이바넨코 재키우 재페 요나 라시니오 조던 조스트 케렌 카플란 카스트라 켄달 키블 클레바노프 콘체비치 쿠라에프 새끼 양 란다우 이씨 이씨 레만 르페 리파토프 낮다 뤼더즈 마이아니 마요라나 말라세나 미그달 밀스 뮐러 나이마크 남부 네베우 니시지마 오메 오펜하이머 오스터발더 파리시 파울리 폴리처 폴랴코프 포메란추크 포포브 프로카 루바코프 루엘레 살람 슈바르츠 슈윙거 시갈 세이베루 세메노프 쉬르코프 스카이르메 스토라 슈투켈베르크 수다르산 시만지크 삼키다 토모나가 튜틴 벨트만 비라소로 워드 와인버그 바이스코프 웬첼 웨스 베테리히 와일 윅 와이트먼 위그너 빌체크 윌슨 위튼 양 유카와 자몰로드치코프 자몰로드치코프 짐머만 진 쥐스틴 주버 주미노
v t

슈뢰딩거와 하이젠베르크 둘 다 양자역학에 대한 접근은 단일 시간이며 상대성 정신에 있지 않다.예를 들어 하이젠베르크 접근법은 스칼라 필드 연산자가 정류 관계를 따를 것을 요구한다.

${\displaystyle [\varphi (x),\display_{t}\varphi (y)]=i\display^{3}(x-y)}$

두 개의 동시 공간 위치 x와 y에 대해, 그리고 이것은 상대론적으로 불변적인 개념이 아니다.계산 결과는 공변량이지만 중간 단계에서는 대칭성이 뚜렷하지 않습니다.만약 순진한 필드 이론 계산이 연속체 한계에서 무한한 답을 만들어내지 않았다면, 이것은 그렇게 큰 문제가 되지 않았을 것이다. 단지 좌표를 잘못 선택한 것일 뿐이다.그러나 대칭성의 결여는 무한대의 양을 잘라내야 한다는 것을 의미하며, 잘못된 좌표는 대칭성을 망치지 않고 이론을 잘라내는 것을 거의 불가능하게 만든다.따라서 물리적 예측을 추출하기가 어려우며, 이는 신중한 제한 절차를 필요로 합니다.

대칭성 손실 문제는 해밀턴 공식도 표면적으로 시간을 단일화하는 고전 역학에서도 나타난다.라그랑주 공식은 상대론적 불변성을 분명히 한다.같은 방법으로, 경로 적분은 명백히 상대적이다.슈뢰딩거 방정식, 하이젠베르크 운동 방정식, 정칙적 정류 관계를 재현하여 상대성 이론과 양립할 수 있음을 보여줍니다.그것은 하이젠베르크형 연산자 대수를 구 형식주의에서는 보기 어려운 새로운 관계인 연산자 곱의 규칙으로 확장한다.

또한, 표준 변수의 다른 선택은 동일한 이론의 매우 다른 것처럼 보이는 공식으로 이어진다.변수 간의 변환은 매우 복잡할 수 있지만 경로 적분은 변수를 통합 변수의 상당히 간단한 변경으로 만듭니다.이러한 이유로 파인만 경로 적분은 이전의 형식주의를 대부분 구식으로 만들었다.

경로 적분 표현의 대가는 이론의 단일성이 더 이상 자명하지 않다는 것이지만, 변수를 일부 표준 표현으로 변경함으로써 증명될 수 있다.경로 적분 자체는 또한 평소보다 더 큰 수학 공간을 다루는데, 이것은 더 신중한 수학이 필요한데, 모든 것이 완전히 해결된 것은 아니다.페르미온을 적절히 포함시키는 데 오랜 시간이 걸렸기 때문에 역사적으로 필수적인 경로는 즉시 받아들여지지 않았다.이를 위해서는 물리학자들이 완전히 새로운 수학적 객체인 그래스만 변수를 발명해야 했고, 이는 변수의 변화를 자연스럽게 수행할 수 있게 하고, 제한된 양자화를 가능하게 했다.

경로 적분 내의 통합 변수는 미묘하게 비통행입니다.동일한 점으로 보이는 두 필드 측정 시스템의 곱 값은 두 점이 시공간에 정렬되는 방식에 따라 달라집니다.이로 인해 순진한 아이덴티티가 실패하게 됩니다.

전파자

상대론 이론에서는 모든 이론에는 입자와 자기장이 모두 존재한다.필드 표현은 모든 필드 구성에 대한 합계이며 파티클 표현은 다른 파티클 경로에 대한 합계입니다.

비상대론적 공식은 전통적으로 필드가 아닌 입자 경로로 제공됩니다.여기서 고정 경계 조건을 가진 일반 변수의 경로 적분은 시간 T에서 x점에서 y점으로 가는 입자의 확률 진폭을 제공합니다.

${\displaystyle K(x,y;T)=\langle y;T\mid x;0\rangle =\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}e^{iS[x]},Dx}$

이것을 전파기라고 부릅니다.초기 위치 x의 다른 값을 임의의 초기 상태 θ₀(x)와 겹치면 최종 상태가 된다.

$\displaystyle \psi _{T}(y)=\int _{x}\psi _{0}(x)K(x,y;T),dx=\int^{x(T)=y}\psi _{0}(x(0)e^{iS[x]},Dx}.$

공간적으로 균질한 시스템의 경우, 여기서 K(x, y)는 (x - y)의 함수일 뿐이고, 적분은 컨볼루션이며, 최종 상태는 전파기로 컨볼루션된 초기 상태입니다.

$\displaystyle \psi _{T}=\psi _{0}*K(;T).}$

질량 m의 자유 입자의 경우, 전파자는 경로 적분으로부터 명시적으로 평가하거나 슈뢰딩거 방정식이 가상 시간의 확산 방정식이며, 해법은 정규화된 가우스여야 한다는 점에 주목하여 평가할 수 있다.

${\displaystyle K(x,y;T)\propto e^{\frac {im(x-y)^{2}}{2T}}}.$

(x - y)에서 푸리에 변환을 취하면 다른 가우스:

${\displaystyle K(p;T)=e^{\frac {iTp^{2}}{2m}}$

p-공간에서 비례 계수는 시간적으로 일정하며, 이는 곧 검증될 것이다.음의 시간에 대해 K(p; T)를 0으로 확장하는 푸리에 변환은 Green의 함수 또는 주파수 공간 전파기를 제공합니다.

$\displaystyle G_{\text{F}}(p,E)=parec frac {-i}{E-{\vec {p}{2}}{2m}}+i\varepsilon }}}$

이것은 슈뢰딩거 방정식의 파동 함수를 소멸시키는 연산자의 역수입니다. 만약 비례 인수가 p-공간 표현에서 일정하지 않았다면 제대로 나오지 않았을 것입니다.

분모의 극소수 항은 작은 양의 수이며, 이는 E의 역 푸리에 변환이 미래 시간 동안만 0이 아님을 보증합니다.과거 시간 동안 역 푸리에 변환 등고선은 특이점이 없는 E 값을 향해 닫힙니다.이것은 K가 입자를 미래로 전파하는 것을 보증하며 G에 첨자 "F"를 붙이는 이유가 된다.극소수 항은 가상 시간을 향한 극소 회전으로 해석될 수 있다.

슈뢰딩거 방정식은 시간역전이 가능하기 때문에 과거로 가는 전파자의 관점에서 비상대적인 시간 진화를 다시 표현하는 것도 가능하다.과거의 전파기는 미래의 전파기와 동일하지만 미래에 소멸되는 명백한 차이는 가우스 t에서 -t로 대체됩니다.이 경우, 해석은 초기 파동 함수를 얻기 위해 최종 파동 함수를 복잡하게 만드는 양이다.

${\displaystyle G_{\text{B}}(p,E)=sublicfrac {-i}{-{\frac {i440vec {p}}{2m}}+i\varepsilon }}}.}$

거의 동일한 변화가 E와 θ의 부호이기 때문에, Green의 함수의 파라미터 E는 경로가 미래로 향하는 경우 에너지가 될 수 있고 경로가 과거로 향하는 경우 에너지의 음수가 될 수 있습니다.

비상대론적 이론의 경우, 움직이는 입자의 경로를 따라 측정된 시간과 외부 관찰자에 의해 측정된 시간은 동일합니다.상대성 이론에서 이것은 더 이상 사실이 아니다.상대성 이론의 경우 전파자는 경로를 따라 측정된 대로 일정한 적정 시간에 두 지점 사이를 이동하는 모든 경로의 합으로 정의되어야 한다(이 경로는 공간과 시간에서의 입자의 궤적을 기술한다).

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T})=\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T})=y}e^{i\int _{0}^{\mathrm {T}}{\dot {x}}}-\alpha 、\lpha }.$

위의 적분은 제곱근이기 때문에 해석하기가 쉽지 않습니다.다행히도, 발견적 요령이 있다.합계는 진동하는 양의 경로의 상대론적 호 길이 위에 있으며, 비상대론적 경로 적분처럼 가상 시간으로 약간 회전하는 것으로 해석되어야 합니다.함수 K(x - y, θ)는 합계가 유클리드 공간의 경로 위에 있을 때 평가할 수 있다.

$\displaystyle K(x-y,\mathrm {T})=e^{-\alpha \mathrm {T}\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T})=y}e^{-L}}$

이것은 길이가 마이너스인 지수의 길이 δ의 모든 경로에 걸친 합계를 나타냅니다.이것은 확률 해석을 제공할 수 있습니다.모든 경로에 걸친 합계는 단계별로 구성된 경로에 대한 확률 평균입니다.스텝의 총수는 δ에 비례하며, 각 스텝은 길이가 길수록 적어집니다.중심 한계 정리에 따르면, 많은 독립 단계의 결과는 δ에 비례하는 가우스 분산입니다.

$\displaystyle K(x-y,\mathrm {T})=e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\mathrm {T}}}.}$

상대론적 전파자의 일반적인 정의는 진폭을 요구하는 것으로, 가능한 모든 고유 시간을 합한 후 x에서 y로 이동하는 것입니다.

$\displaystyle K(x-y)=\int _{0}^{\infty}K(x-y,\mathrm {T})W(\mathrm {T}),d\mathrm {T},}$

여기서 W(Ω)는 다른 적정 시간 경로의 상대적 중요도입니다.적절한 시간의 변환 대칭에 의해, 이 무게는 지수 인자가 될 수 있으며 상수 α에 흡수될 수 있습니다.

$\displaystyle K(x-y)=\int _{0}^{\infty}e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\mathrm {T}}-\alpha \mathrm {T},d\mathrm {T}}$

이것은 슈윙거 표현입니다.변수(x - y)에 대한 푸리에 변환을 개별적으로 수행할 수 있으며, 각 개별 δ 기여는 가우스이므로 는 푸리에 변환이 상호 폭의 다른 가우스인 것을 알 수 있습니다.따라서 p-공간에서는 전파기를 간단히 재표현할 수 있습니다.

${{displaystyle K(p)=\int _{0}^{\infty}e^{-\mathrm {T}-\mathrm {T} \alpha },d\mathrm {T} =sq {1}{p^{2}+\alpha }}$

이것은 스칼라 입자의 유클리드 전파기이다.p를 가상으로 회전시키면₀ -i의 인수와 모호성까지 일반적인 상대론적 전파자가 된다. 이는 아래에서 설명될 것이다.

${\displaystyle K(p)=snap frac {i}{p_{0}^{2}-{\vec {p}^2}-m^{2}}}.}$

이 식은 비상대론적 한계로 해석할 수 있으며, 부분 분수로 분할하는 것이 편리합니다.

${\displaystyle 2p_{0}K(p)=black {i}{p_{0}-{\clrt {\vec {p}}^2}+m^{2}}}}}+{\frac {i}{p_{0}+{\fracrt {\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}}}.}$

하나의 비상대론적 입자가 존재하는 상태의 경우, 초기 파동 함수는 p = m 근처에₀ 집중된 주파수 분포를 가진다.p공간에서는 단지 전파기에 의한 곱셈을 의미하는 전파기와 결합하면 두 번째 항이 억제되고 첫 번째 항이 확장됩니다.p = m 근처₀ 주파수의 경우, 지배적인 첫 번째 항은 다음과 같은 형태를 갖는다.

${\displaystyle 2mK_{\text{NR}}(p)=param frac {i}{(p_{0}-m)-{\frac {\vec {p}}{2}}{2m}}}}.}$

이것은 자유 슈뢰딩거 입자의 상대적이지 않은 그린의 함수에 대한 표현입니다.

두 번째 항에는 비상대론적 한계도 있지만, 이 한계는 음의 주파수에 집중됩니다.두 번째 극은 적절한 시간과 좌표 시간이 반대되는 의미로 똑딱거리는 경로의 기여로 지배되는데, 이것은 두 번째 항이 반입자로 해석되어야 한다는 것을 의미한다.비상대론적 분석은 이러한 형태로도 반입자가 여전히 긍정적인 에너지를 가지고 있다는 것을 보여준다.

이를 수학적으로 표현하는 적절한 방법은 적절한 시간에 작은 억제 인자를 추가하면 첫 번째 항의 t → -disclars 한계가 사라져야 하는 반면 두 번째 항의 t → +disclars 한계는 사라져야 한다는 것입니다.푸리에 변환에서 이는 p 단위의₀ 극을 약간 이동시켜 역 푸리에 변환이 다음 시간 방향 중 하나에서 작은 붕괴 계수를 선택하도록 하는 것을 의미합니다.

${\displaystyle K(p)=mfrac {i}{p_{0}-{\displayrt {\vec {p}}^{2}+m^{2}}}+i\varepsilon }}+{\frac {i}{p_{0}-{\fracrt {\vec {p}}^{2}+m^{2}}}-i\varepsilon}}.}$

이러한 항이 없으면 p의 역₀ 푸리에 변환을 취할 때 극 기여도를 명확하게 평가할 수 없다.다음 용어를 재결합할 수 있습니다.

${{displaystyle K(p)=snap frac {i}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon}}}$

이 값을 인수분해하면 각 요인에서 반대 부호 무한소 항이 생성됩니다.이것은 수학적으로 정확한 형태의 상대론적 입자 전파기입니다. 모호함이 없습니다.δ 항은 α = m에² 작은 가상 부분을 도입하는데, α = m은 민코프스키 버전에서 긴 경로의 작은 지수 억제이다.

상대론적 사례에서 파인만 경로 적분 표현은 반입자를 설명하는 시간 역행 경로를 포함합니다.상대론적 전파에 기여하는 경로는 시간을 앞과 뒤로 이동하며, 두 지점 사이를 이동하는 자유 입자의 진폭에는 입자가 반입자로 변동하고, 시간을 뒤로 이동한 후 다시 앞으로 이동하는 진폭이 포함되어 있다는 해석입니다.

비상대론적 경우와는 달리 반입자를 포함하지 않고서는 국소입자 전파에 대한 상대론적 이론을 도출하는 것이 불가능하다.모든 국소 미분 연산자는 광원뿔 외부에 0이 아닌 역전을 가지고 있으며, 이는 입자가 빛보다 빠르게 이동하는 것을 막는 것이 불가능하다는 것을 의미합니다.이러한 입자는 상대론적으로 불변하는 이론에서 미래에만 0이 아닌 녹색 함수를 가질 수 없다.

필드의 기능

그러나 경로 적분 공식은 양자장 이론에 대한 직접적인 적용에서도 매우 중요합니다. 양자장 이론에서는 "경로" 또는 고려되는 이력은 단일 입자의 움직임이 아니라 모든 공간에 걸친 필드의 가능한 시간 진화입니다.액션은 기술적으로 필드의 함수라고 불립니다.S[ ] : 필드 ((x^μ) 자체는 공간과 시간의 함수이며, 각 괄호는 액션이 특정 값뿐만 아니라 모든 필드의 값에 의존함을 나타냅니다.이러한 시공간 함수 δ(x^μ)를 필드 컨피규레이션이라고 합니다.원칙적으로 파인만의 진폭은 가능한 모든 필드 구성의 클래스에 통합됩니다.

QFT에 대한 공식 연구의 대부분은 결과적인 함수 적분의 특성에 전념하고 있으며, 이러한 함수 적분을 수학적으로 정밀하게 만들기 위한 많은 노력(아직 완전히 성공하지는 않았다)이 이루어지고 있다.

이러한 함수적분은 통계역학의 분할함수와 매우 유사하다.실제로, 이것은 때때로 분할 함수라고 불리며, 두 함수는 파인만 공식 3의 지수에서 i의 인수를 제외하고 수학적으로 동일하다.가상 시간 변수에 분석적으로 적분을 계속하면(Wick 회전이라고 함) 함수 적분이 통계적 분할 함수와 더 비슷해지고 이러한 적분을 사용하는 데 따른 수학적 어려움도 일부 완화됩니다.

기대치

양자장 이론에서, 만약 작용이 필드 구성의 함수 S에 의해 주어진다면, 다항식 유계 함수 F, "F"의 시간순서 진공 기대치는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle F\rangle = frac {int {\mathcal {D}\varphi F[\varphi]}} {\int {mathcal {D}} {\varphi e^{imathcal {S}}} {\varphi }}}.}$

여기서 기호 'D'는 모든 시공간의 가능한 모든 필드 구성에 대해 무한 차원 적분을 나타내는 간결한 방법입니다.위에서 설명한 바와 같이 분모에 내장되지 않은 경로 적분이 적절한 정규화를 보장합니다.

아마

엄밀히 말하면 물리학에서 질문할 수 있는 유일한 질문은 다음과 같습니다.조건 A를 만족하는 상태의 어떤 부분이 조건 B를 만족시키나요?이에 대한 답은 0과 1 사이의 숫자로, P(B A)로 작성된 조건부 확률로 해석될 수 있습니다.경로 적분 측면에서, P(B A) = P(AbB) / P(A)이므로, 이는 다음을 의미한다.

${\displaystyle \operatorname {P}(B\mid A)=subfrac {{F\subset A\cap B}\left \int {mathcal {D}\varphi O_{\text{in}}[\varphi]e^{i}{i\mathcal {S}}[\varphi}F[\varphi ]\right ^{2}}{\sum _ {F\subset A}\left \int \mathcal {D}\varphi O_{\text{in}}[\varphi]e^{i{\mathcal {S}[\varphi ]}}F[\varphi ]\right ^{2}}},$

여기서 기능적_in O[]]는 우리가 관심 있는 상태로 이어질 수 있는 모든 들어오는 상태의 중첩입니다.특히, 이것은 빅뱅 직후의 우주 상태에 해당하는 상태일 수 있지만, 실제 계산에서는 발견적 방법을 사용하여 단순화할 수 있다.이 식은 경로 적분의 몫이므로 자연스럽게 정규화됩니다.

슈윙거-다이슨 방정식

양자 역학의 공식은 고전적인 작용 원리와 유사하기 때문에, 고전적인 역학에서의 작용에 관한 동일성은 함수 적분으로부터 파생될 수 있는 양자 대응물을 가질 것으로 예상할 수 있다.흔히 있는 일입니다.

함수 해석의 언어로, 우리는 오일러-라그랑주 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$(\displaystyle\frac\mathcal{S}[\varphi]}=0})$

(왼쪽은 함수 도함수입니다. 방정식은 필드 구성의 작은 변화에서 동작이 정지함을 의미합니다.)이러한 방정식의 양자 유추는 슈윙거-다이슨 방정식이라고 불립니다.

함수 측도 D'가 변환 불변성이라는 것이 판명된 경우(이 문서의 나머지 부분에서는 이를 가정합니다만, 비선형 시그마 모델이라고 합시다), 그리고 Wick 회전 후에 다음과 같이 가정합니다.

$\displaystyle e^{i\mathcal {S}}[\varphi ]}$

이제 그것이 된다.

$(\displaystyle e^{-H[\varphi]})$

일부 H의 경우, θ의 큰 값에 대해 다항식의 역수보다 빠르게 0으로 이동한 다음 부품별로(Wick 회전 후 Wick 회전 후) 적분하여 다음과 같은 기대치에 대한 Schwinger-Dyson 방정식을 얻을 수 있습니다.

$(\displaystyle \frac F[\varphi ]}{\right \rangle =-i\left\rangle F[\varphi ]{\frac \mathcal {S}[\varphi ]}{\frac \varphi }}}\rangle$

모든 다항식 바운딩 함수 F에 대하여deWitt 표기법에서 이것은 다음과 같습니다^[15].

$\displaystyle \left\rangle F_{,i}\right\rangle =-i\left\rangle F{\mathcal {S}}_{,i}\right\rangle .}$

이러한 방정식은 온셸 EL 방정식의 아날로그입니다.시간 순서는 S 내부의_,i 시간 파생물보다 먼저 수행됩니다.

J(소스 필드라고 함)가 필드 구성의 이중 공간의 요소(함수 측정에 대한 변환 불변성의 가정 때문에 적어도 아핀 구조를 가진다)인 경우 소스 필드의 생성 함수 Z는 다음과 같이 정의된다.

$({displaystyle Z[J]=\int {mathcal {D}}\varphi e^{i\leftmathcal {S}}[\varphi]+\varphi \rangle \right}).}$

주의:

$\displaystyle \frac ^{n}Z{\delta J(x_{1})\cdots \cdots \delta J(x_{n})}}}[J]=i^{n},Z[J],\left\langle \vi(x_{1})\cdots \varphi(x_{n},rightJ}$

또는

$\displaystyle Z^{,i_{n}\cdots i_{n}[J]=i^{n}Z[J]\left\langle \varphi ^{i_{1}\cdots \varphi ^{i_n}\right\rangle _ {J}}$

어디에

$\displaystyle F\rangle _{J}=frac {int\mathcal {D}\varphi}e^{i\leftmathcal {S}}[\varphi]+\parfi J,\varphi \rangle \right}}{\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi]+\langle J,\varphi \rangle \right}}}}}}.}$

기본적으로 D'e가^iS[φ] 함수 분포로 간주되는 경우(Wick-rotated statistical mechanics 아날로그와는 달리 QFT의 해석으로 너무 문자 그대로 받아들여서는 안 됩니다.여기서는 시간순서상의 복잡성이 있기 때문입니다!), 「(x_1n)...」(x)가 모멘트, Z는 Z는 푸리에 변환입니다.

F가 θ의 함수라면 연산자 K에 대해 F[K]는 θ를 K로 치환하는 연산자로 정의된다.예를 들어,

${\displaystyle F[\varphi]=varfrac {\display x_{k_{1}}}{\varphi (x_{1}}}\cdots {\display x_{k_{n}}}{\varphi (x_{n})$

G는 J의 함수이다.

$(\displaystyle F\left [-i{\frac {\delta J}}\right]G [ J ] = prac { \ frac ^ { k _ { 1} } { \ frac } { \ frac } { \ frac } { \ frac } { \ frac } { \ frac } { \ frac } { \ frac } { \ frac } { \ frac } { \ frac { k _ { \ k _ { n _ { n } }}$

그런 다음 기능 적분 속성에서

$(\displaystyle\left\rangle_{frac\mathcal{S}}{\delta\varphi(x)}}[\varphi]+J(x)\right\rangle_{J}=0})$

"달인" 슈윙거-다이슨 방정식을 얻습니다.

$\displaystyle \frac \delta \varphi (x)}\left[-i{\frac\delta J}\right]Z[J]+J(x)Z[J]=0,}$

또는

${\displaystyle {S}_{,i}[-i\partial]Z+J_{i}Z=0.}$

함수 측정값이 변환 불변성이 아닌 경우, 곱 M[ d] D,로 표시할 수 있습니다.여기서 M은 함수, D a는 변환 불변성 측정값입니다.예를 들어 대상 공간이 R과ⁿ 미분형인 비선형 시그마 모델에 해당됩니다.그러나 대상 다양체가 위상학적으로 중요하지 않은 공간이라면 번역의 개념은 전혀 의미가 없습니다.

이 경우, 우리는 이 방정식의 S를 다른 함수로 대체해야 할 것이다.

$(\displaystyle\hat\mathcal {S}=mathcal {S}-i\ln M).}$

이 방정식을 J = 0에 대한 테일러 급수로 확장하면 전체 Schwinger-Dyson 방정식을 얻을 수 있습니다.

현지화

경로 적분은 보통 무한 시공간을 통과하는 모든 경로의 합으로 간주됩니다.그러나 국소 양자장 이론에서는 모든 것이 유한한 인과적 완전 영역, 예를 들어 이중 광원추 안에 놓이도록 제한합니다.이것은 양자장 이론의 수학적으로 더 정확하고 물리적으로 엄격한 정의를 제공합니다.

워드 다카하시 아이덴티티

그럼 고전 케이스에 대한 노에터의 정리는 어떨까요?양자유사체도 있나요?네, 하지만 경고 하나 하죠함수 측도는 대칭 변환의 단일 매개변수 그룹에서도 불변해야 합니다.

여기서 문제의 대칭이 로컬이라고 가정해 보겠습니다(게이지 대칭의 관점에서 로컬이 아니라, 무한소 변환 하에서의 필드의 변환된 값은 문제의 점의 임의의 작은 근방에 대한 필드 구성에 의존한다는 의미).또한 라그랑지안의 시공간에 걸친 적분이라는 의미에서 작용이 국소적이라고 가정해 봅시다.

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}(x)]=\partial _{\mu }f^{\mu }(x)}$

f가 국소적으로 θ(및 가능한 시공간 위치)에만 의존하는 일부 함수 f의 경우.

우리가 특별한 경계 조건을 가정하지 않는다면, f = 0이나 다른 것이 아니라면, 이것은 일반적으로 용어의 진정한 의미에서 "참" 대칭이 아닐 것이다.여기서 Q는 문제의 1개의 파라미터 그룹을 생성하는 유도체이다.BRST나 초대칭과 같은 반감정이 있을 수도 있습니다.

또, 다음과 같이 가정해 봅시다.

${\displaystyle\int\mathcal {D}\varphi,Q[F][\varphi]=0}$

모든 다항식 바운딩 함수 F에 대하여이 속성을 측정값의 불변성이라고 합니다.그리고 이것은 일반적으로 유지되지 않는다.자세한 내용은 이상(물리학)을 참조하십시오.

그리고나서,

$\displaystyle\int\mathcal {D}\varphi\,Q\left[Fe^{iS}\right][\varphi]=0,}$

그 의미는

$\displaystyle \rangle Q[F]\rangle +i\left\rangle F\int _{\display V}f^{\mu},ds_{\mu}\right\rangle =0}$

여기서 적분은 경계 위에 있습니다.이것은 노에테르 정리의 양자 유사체이다.

이제 Q가 로컬 적분이라고 가정해 보겠습니다.

${\displaystyle Q=\int d^{d}x,q(x)}$

어디에

${\displaystyle q(x)[\varphi(y)]=\display ^{(d)}(X-y)Q[\varphi(y)],}$

하도록

${\displaystyle q(x)[S]=\partial _{\mu }j^{\mu }(x),$

어디에

$\displaystyle j^{\mu }(x)=f^{\mu }(x)-{\frac {\frac}{\frac}{\varphi}}}{\mathcal {L}(x)Q[\varphi ],$

(이것은 라그랑지안이 θ와 그 첫 번째 부분 도함수에만 의존한다고 가정하는 것이다.보다 일반적인 라그랑지안에서는 이 정의를 수정해야 합니다!).우리는 q(x)가 대칭의 발생기라고 주장하는 것이 아니라 (게이지 원리를 주장하는 것이 아니다) 단지 Q라고 주장한다. 그리고 기능 측정이 국소적으로 불변하다는 훨씬 더 강력한 가정도 가정한다.

$\displaystyle \int \mathcal {D}\varphi \,q(x)[F][\varphi]=0.}$

그러면 저희가

$\displaystyle \mu }(x)\rangle +i\rangle Fq(x)[S]\rangle =\rangle +i\left\rangle F\partial _{\mu }j^{\mu }(x)\right\rangle =0.}$

또,

$\displaystyle q(x)[S]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}\right]Z[J]+J(x)Q[\varphi (x)]\left [-i440 frac {\mu }\right]Z[J]=\partial _{\mu }(x)\left[i440 frac {\frac }{\fright}Z[J]+J(x)Q[\varphi (x)]\left [-i-frac {\frac J}\right]Z[J]=0.}$

위의 두 방정식은 워드-다카하시 항등식이다.

이제 f = 0인 경우에는 모든 경계 조건과 지역 가정을 무시할 수 있습니다.우리는 단순히

$\displaystyle \left \rangle Q[F]\rangle = 0.}$

또,

$\displaystyle \int d^{d}x,J(x)Q[\varphi(x)]\left[-i-frac {\frac J}}\right]Z[J]=0.}$

주의사항

규제당국의 필요성 및 재규격화

여기서 정의한 경로 통합에는 규제 기관의 도입이 필요합니다.조절기의 스케일을 변경하면 재규격화 그룹이 발생합니다.사실, 경로 적분을 명확하게 정의하는 데 있어 재규격화는 주요 장애물이다.

주문처방

구성 공간 또는 위상 공간 중 어느 쪽에서 작업하든 연산자 형식주의와 경로 적분 공식을 동등하게 할 때, 비가환 연산자와 경로 적분자에 나타나는 가환 함수 사이의 대응의 모호성을 해결하기 위해 순서 처방이 필요하다.예를 들어 $연산자1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}\frac{2}{}}$ (${\displaystyle \stackrel{}{}q\stackrel{}{}}$ ^${\displaystyle \stackrel{}{}}$p${\displaystyle }$^${\displaystyle \stackrel{}{}}$+ ${\displaystyle p\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle ^}$ )$${ $displaystyle${$frac { q$} { \$hat$ { $p$} + { \$hat$ { $p$} { \ $hat$ {$$q$}$ } } ${\displaystyle \mathrm{p<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \{\backslash frac\; \{1\}\{2\}\}(\{\backslash hat\; \{q\}\}\{\backslash hat\; \{p\}\}+\{\backslash hat\; \{p\}\}\{\backslash hat\; \{q\}\})\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/41a032688cbdb4fe6c687449a43888fe8e03f916"\; style="vertical-align:\; -1.838ex;\; width:12.121ex;\; height:5.176ex;">}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{can}}{}}$ 、${\displaystyle p\frac{}{}}$ {\ {\ {\ {\ {\ 2$$\ $display$ style $qp$- { \ $fraci$} + {$har$}$$}${\displaystyle \frac{p}{}}$ $q{\displaystyle }$}} p + ${\displaystyle p22\frac{}{}}$ + + + + + + + + + 、 { } { 。${\displaystyle q}$ ^ p $^${$displaystyle { q$} { \$hat$$${ $p$$$}$$、 $p{\displaystyle \stackrel{}{}\stackrel{}{^}}$ $q ^$ { $display$ style {$q }$、 Weyl ordering 중 하나를 선택했는지에 따라 laystyle$$$qp$}는${\displaystyle \stackrel{}{}}$^$${ $display style$ {$q}$ { hat} { hat} { hat} {$p}$ 중 $하나$로 변환할 수 있습니다., $p{\displaystyle \stackrel{}{}}$^ $^$ { $displaystyle { p$${\displaystyle \stackrel{}{}}$} { \$hat$ {$$q }$$、${\displaystyle q\stackrel{}{}\stackrel{}{^}}$ + ${\displaystyle p\stackrel{}{}}$^ ${\displaystyle ^}$ ) （$q$$）$ （ \ hat ${ p$} + { \$hat$ { $p$} { \ hat {$$q$}$ } ） 、 、 。

양자역학적 해석에 필수적인 경로

양자역학의 해석 중 하나인 "역사에 대한 합" 해석에서, 경로 적분은 기본이고, 현실은 모두 같은 ^[16]사건을 공유하는 하나의 구별할 수 없는 경로의 "계급"으로 간주됩니다.이 해석에서는 사건이 정확히 무엇인지 이해하는 것이 중요합니다.Sum-over-Histors 방법은 표준 양자역학에 동일한 결과를 제공하며, Sinha와 Sorkin은^[17] 해석은 비국소성에 의존하지 않고 아인슈타인-포돌스키-로젠 역설을 설명한다고 주장한다.

퇴폐성을 강조하는 양자역학 해석의 일부 지지자들은 가능한^[who?] 모든 역사의 공간에서 고전과 같은 "조잡한" 역사를 추출하는 개념을 더 엄격하게 만들려고 시도했다.

양자 중력

양자역학에서 경로 적분 공식은 다른 공식과 완전히 동일하지만, 힐베르트 우주 모형과는 다르게 양자 중력으로 확장될 수 있습니다.파인만은 이 방면에서 어느 정도 성공을 거두었고, 그의 연구는 호킹과 ^[18]다른 사람들에 의해 확장되었다.이 방법을 사용하는 접근법에는 인과적 동적 삼각 측량 및 스핀폼 모델이 있습니다.

양자 터널링

양자 터널링은 경로 적분 형성을 사용하여 전위 장벽을 통과하는 궤도의 동작을 결정함으로써 모델링할 수 있다.WKB 근사치를 사용하여 Tunneling Rate(δ; 터널링 레이트)는 다음과 같은 형식으로 판별할 수 있습니다.

${\displaystyle \Gamma = A_{\mathrm {o}}\exp \leftfac {S_{\mathrm {o}}}{\hbar }}}\right}$

유효 작용_eff S와 사전 지수 인자_o A를 사용하여.이 양식은 시스템과 주변 환경을 함께 모델링해야 하는 분산 시스템에서 특히 유용합니다.Langevin 방정식을 사용하여 브라운 운동을 모델링하면 경로 적분 형성은 터널링에 대한 ^[19]소산의 영향을 확인하기 위해 효과적인 작용 및 사전 지수 모델을 결정하는 데 사용될 수 있습니다.이 모델에서 (유한 온도에서) 거시적 시스템의 터널링 속도를 예측할 수 있다.

「 」를 참조해 주세요.

언급

메모들

레퍼런스

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외부 링크

• Scholarpedia에 통합된 경로
• 양자이론의 경로적분: 교육학적 첫걸음
• YouTube의 애니메이션을 통해 섭동 경로 적분에 대한 수학적으로 엄격한 접근법
• 파인만의 무한 양자 경로 PBS 시공간.2017년 7월 7일 (영상, 15:48)