베켄슈타인 결합

물리학에서, 베켄슈타인 한계(Jacob Bekenstein의 이름을 딴)는 유한한 양의 에너지를 가진 주어진 공간의 유한 영역 내에 포함될 수 있는 열역학 엔트로피 S 또는 섀넌 엔트로피 H의 상한이다.앤텀 ^[1]레벨공간 영역과 에너지가 유한하다면 물리적 시스템의 정보 또는 그 시스템을 완벽하게 기술하는 데 필요한 정보가 유한해야 한다는 것을 의미합니다.컴퓨터 과학에서, 이것은 유한한 크기와 에너지를 가진 물리 시스템에 대한 최대 정보 처리 속도(Bremermann의 한계)가 있고, 유한한 물리 치수와 무한한 메모리를 가진 튜링 기계는 물리적으로 가능하지 않다는 것을 암시한다.

방정식

바운드의 보편적인 형태는 1981년 제이콥 베켄슈타인에 의해 부등식으로^[1][2][3] 처음 발견되었다.

${\displaystyle S\leq {2\pi kRE}{\hbar c}}$

여기서 S는 엔트로피, k는 볼츠만 상수, R은 주어진 시스템을 감싸는 구체의 반지름, E는 정지 질량을 포함한 총 질량-에너지, θ는 환원 플랑크 상수, c는 빛의 속도이다.중력은 그 시행에 중요한 역할을 하지만, 한계에 대한 표현은 중력 상수 G를 포함하지 않기 때문에, 그것은 곡면 시공간에서의 양자장 이론에 적용되어야 한다.

정보 측면에서 열역학적 엔트로피 S와 섀넌 엔트로피 H의 관계는 다음과^{[citation needed]} 같이 주어진다.

${\displaystyle S=kH\ln 2,}$

어디서

$(\displaystyle H\leq {2\pi RE} {\hbar c\ln 2)}$

여기서 H는 구체의 양자 상태에 포함된 비트 수로 표현되는 섀넌 엔트로피입니다.ln 2 인자는 정보를 양자 ^[4]상태 수의 밑변 2에 대한 로그로 정의함으로써 얻어집니다.질량-에너지 동등성을 사용하여 정보 한계는 다음과 같이 재구성할 수 있다.

$\displaystyle H\leq {2\pi cRM} {\hbar \ln 2} \ 2 2 2.5769082 \ times 10^ { 43} \ \ \ frac { text { kg } \ cdot { m } \ cdot M \ cdot R , }$

$여기$서 M$(\displaystyle$ M$)$은 질량(kg 단위), $(\displaystyle$ R$)$은 시스템의 반지름(미터 단위)입니다.

오리진스

베켄슈타인은 블랙홀과 관련된 발견적 논쟁에서 한계를 도출했다.만약 엔트로피가 너무 많아 한계를 위반하는 계가 존재한다면, 베켄슈타인은 그것을 블랙홀로 낮추면 열역학 제2법칙을 위반할 수 있다고 주장했다.1995년, 테드 제이콥슨은 베켄슈타인 한계와 열역학 법칙이 ^[5][6]참이라고 가정함으로써 아인슈타인 장 방정식 (즉, 일반 상대성 이론)이 도출될 수 있다는 것을 증명했다.그러나 열역학과 일반상대성이론의 법칙이 서로 일치하기 위해서는 어떤 형태의 결합이 존재해야 한다는 것을 보여주는 많은 주장들이 고안되었지만, 그 결합의 정확한 공식화는 2008년 ^{[2][3][7][8][9][10][11][12][13][14][15]}카시니의 연구 때까지 논쟁의 문제였다.

$질량{\displaystyle }$M의 블랙홀({$displaystyle$M})과$$ 크기$R$의 $에너지{\displaystyle }$E({$displaystyle$E$)$가 외부에$$ 있다고 가정합니다. 블랙홀의 $반지름{\displaystyle {}_{}}$ R ${\displaystyle b_{}}$ h$({$는 G ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{c\mathrm{}}^{}}{}}$2(\$displaystyle {GM}{c^2}})$와 같이 되고 블랙홀의 엔트로피$(\$displaystyle)가 됩니다.$displaystyle$$^$$}R_{bh}^{$2}}{\$hbar$G}}($k{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ c${\displaystyle$ {$kGM^{$2}}{\$hbar$c$\}).$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{블랙홀}}{}}$에 박스를 넣으면 블랙홀의 질량은 ${\displaystyle M\frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{E\mathrm{}}^{}}{}}$c 2 {\$style$ M$+{\frc}{\$har $GC$})로 올라간다.$r$ c$^{3}}}.$ 엔트로피를 줄일 수 $없으므로{\displaystyle \frac{}{}}$ k ${\displaystyle \frac{G}{}}$ M ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ c ${\displaystyle \frac{{3\mathrm{}}^{}}{}s}$S ${\hbar c^{3}}\gtrsim$ S$.$ 상자가 블랙홀에 들어가려면 $R{\displaystyle \frac{g}{}}$ G M ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}${\$displaystyle RAC}$$sim {\frac {k$$}$RE$}{\hbar$ c$\}\}.$ 실제 계수를 계산하려면 보다 기술적인 분석이 $필요$합니다.

양자장 이론에서의 증명

양자장 이론의 틀에서 베켄슈타인 결합의 증거는 2008년 카시니에 ^[16]의해 제시되었다.증거의 중요한 통찰력 중 하나는 바운드의 양쪽에 나타나는 양에 대한 적절한 해석을 찾는 것이었다.

양자장 이론에서 엔트로피와 에너지 밀도에 대한 순진한 정의는 자외선 차이에 시달린다.베켄슈타인 결합의 경우 들뜬 상태에서 산출된 양과 진공 상태에서 산출된 동일한 양의 차이를 취함으로써 자외선 분산을 회피할 수 있다.예를 들어, $공간{\displaystyle }$ 영역$$V {$displaystyle$ V$\}$가 주어졌을 때, Casini는 베켄슈타인 결합의 왼쪽에 있는 엔트로피를 다음과 같이 정의합니다.

$\displaystyle S_{V}=S(\rho _{V}^0})-\mathrm {tr}(\rho _{V}\log \rho _{V}+\mathrm {tr}(\rho _{V}^0})$

$여기$서 S${\displaystyle (}$ ${\displaystyle v_{}^{}}$${\displaystyle {}_{}}$V$$)(\$style$S(\$rho _{$V})는 들뜬 $상태$의$$V$(\$$displaystyle$ V$)$와 $연관$된${\displaystyle }$V$displaystyle$$$\$rho$$$_${V})$의 Von Neumann 엔트로피입니다$.$state$$0 { $displaystyle \rho$^ {$0$ ${\displaystyle {entropy\mathrm{}}^{}}$ 。

Bekenstein 바운드의 우측에서는 R $(\display 2\pi$ RE$)$의 양을 엄밀하게 해석하는 것이 어려운 포인트입니다.$여기$서 R$(\display$ 2\style R$)$은 시스템의 특징적인 길이 $척도$이고 E$(\display E)$는 특징적인 에너지입니다.이 제품은 로렌츠 부스트 발생기와 동일한 단위를 가지며, 이 경우 부스트의 자연유사체는 $진공상태{\displaystyle }$ K $=$ ${\displaystyle \log {}_{}^{}}$ ${\displaystyle V_{}^{}}$ $(\$ K=-\$log \rho$ _${V}^0$의 모듈러 해밀턴이며, 카시니는 베켄슈타인 결합의 우측을 기대값으로 정의한다.들뜬 상태와 진공 상태의 모듈러 해밀턴,

$\displaystyle K_{V}=\mathrm {tr}(K\rho _{V}),\mathrm {tr}(K\rho _{V}^0}).}$

이러한 정의를 통해 바운드는

${\displaystyle S_{V}\leq K_{V}}$

다시 정렬하여 줄 수 있습니다.

$\displaystyle \mathrm {tr}(\rho _{V}\log \rho _{V})\mathrm {tr}(\rho _{V}\log \rho _{0})\geq 0.}$

이것은 단순히 양자 상대 엔트로피의 양성의 진술이며, 이것은 베켄슈타인 한계를 증명한다.

그러나 모듈러 해밀턴식은 등각장 이론과 V가 구일 때에만 에너지의 가중된 형태로 해석될 수 있다.

이 구조를 통해 국부적인 에너지 밀도가 진공보다 낮은 카시미르 효과^[17], 즉 음의 국부적인 에너지를 이해할 수 있습니다.진공의 국부 엔트로피는 0이 아니기 때문에 진공보다 국부 엔트로피가 낮은 상태에서 카시미르 효과가 가능하다.호킹 방사선은 블랙홀에 국지적인 음의 에너지를 쏟아붓는 것으로 설명할 수 있다.

예

블랙홀

3차원 블랙홀의 베켄스타인-호킹 경계 엔트로피가 그 경계를 정확히 포화시킨다.

${\displaystyle r_{\rm {s}} = flac {2}GM}{c^{2}}},}$

$({displaystyle A=4\pi r_{\rm {s}}^{2}=black {16\pi G^{2}M^{2}}}{c^{4}}})$

${\displaystyle l_{\rm {P}}^{2}=\hbar G/c^{3}}$

$({displaystyle S=sublic frac {kA}{\rm {P}}^{2}}=sublic frac {4\pi kGM^{2}}{\hbar c}})$

$여기$서 k$(\displaystyle$ k$)$는 볼츠만 상수, A는 블랙홀 이벤트 지평선의 2차원 영역, ${\displaystyle {l\mathrm{}}_{}}$ P$(\$는 플랑크 길이입니다.

경계는 블랙홀 열역학, 홀로그래픽 원리 및 양자 중력의 공변 엔트로피 경계와 밀접하게 관련되어 있으며,^{[citation needed]} 후자의 추측된 강한 형태로부터 도출될 수 있습니다.

인간의 뇌

평균적인 인간의 뇌는 1.5kg의 질량과 1260cm의³ 부피를 가지고 있다.만약 뇌가 구에 의해 근사된다면, 반지름은 6.7cm가 될 것이다.

정보 베켄슈타인 결합은 약 2.6×10비트로⁴², 평균적인 인간의 뇌를 양자 수준으로 완벽하게 재현하는 데 필요한 최대 정보를 나타냅니다.즉, $숫자{\displaystyle }$ O ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ {\$displaystyle$ O =$2^{$$I})$ 인간 ${\displaystyle {\mathrm{뇌상태}}^{}}$는${\displaystyle }$§ ${\displaystyle {10}^{}}$7.${\displaystyle {8^{}}^{}}$ ×$$ 41$미만$이어야 한다$.$$8\times$ 10$^{414$

「 」를 참조해 주세요.

• 마골루스레비틴 정리
• 란다우어의 원리
• 콜모고로프 복잡도
• 블랙홀 너머
• 볼츠만 뇌
• 디지털 물리학
• 계산 제한
• 찬드라세카르 한계

레퍼런스

외부 링크

• 제이콥 D.Bekenstein, "Bekenstein bound", Scholarpedia, Vol. 3, No. 10(2008), 페이지 7374, doi:10.4249/scholarpedia.7374.
• 제이콥 D.베켄슈타인, "베켄슈타인-호킹 엔트로피", Scholarpedia, Vol. 3, No. 10(2008), 페이지 7375, doi:10.4249/scholarpedia.7375.
• 제이콥 D. 베켄슈타인 행에 관한 다수의 기사가 실려 있는 예루살렘 히브리 대학 라카 물리학 연구소의 베켄슈타인 웹사이트.
• O'Dowd, Matt (September 12, 2018). "How Much Information is in the Universe?". PBS Space Time. Archived from the original on 2021-12-12 – via YouTube.