디라크 델타 함수

미분 방정식
장애물 주위의 공기 흐름을 시뮬레이션하는 데 사용되는 Navier-Stokes 미분 방정식
범위
필드 자연과학 공학 천문학 물리학 화학 생물학 지질학 응용 수학 연속체 역학 혼돈 이론 다이너믹 시스템 사회과학 경제학 인구역학
분류
종류들 보통 부분적 차동알지브라질 인터그로 차동 분수 선형 비선형 변수 유형별 종속변수와 독립변수 자율적 콤플렉스 결합/분리됨 정확한 동종/비동종 특징들 주문 연산자 표기법
프로세스와의 관계 차이(구체 아날로그) 스토카스틱 확률적 부분 지연
해결책
존재와 고유성 피카르-린델뢰프 정리 페아노 존재 정리 카라테오도리의 존재 정리 카우치-코왈레프스키 정리
일반 주제 룬스키안 위상 초상화 위상공간 랴푸노프 / 점근증 / 지수 안정성 수렴율 시리즈/적분 솔루션 수치적 통합 디라크 델타 함수
솔루션 방법 감사 특성방법 오일러 지수 반응식 유한차이 (크랭크-니콜슨) 유한요소 무한요소 유한 부피 갤러킨 페트로프-갈러킨 집적인자 적분 변환 섭동 이론 룬게쿠타 변수의 분리 결정되지 않은 계수 모수의 변동
사람
리스트 아이작 뉴턴 조지프 푸리에 고트프리드 라이프니즈 레온하르트 오일러 에밀 피카르 요제프 마리아 회네브로이스키 에른스트 린델뢰프 루돌프 립시츠 아우구스틴루이코치 존 크랭크 필리스 니콜슨 칼 데이비드 톨메 룬지 마르틴 쿠타
v t

수학에서 단위 임펄스 기호로도 알려진 디락 델타 분포(Δ 분포)^[1]는 실수에 대한 일반화된 함수 또는 분포로, 0을 제외한 모든 곳에 값이 0이며, 실선에 대한 적분은 1과 같다.^[2][3][4]

현재 임펄스에 대한 이해는 모든 연속적인 기능을 영(0)의 값에 매핑하는 선형적 기능으로서,^[5][6] 또는 대부분의 실제 선 위에 0이 되는 일련의 범프 기능의 약한 한계로서 원점에 높은 스파이크를 가지고 있다.범프 함수를 "대략적인" 또는 "나신적인" 델타 분포라고 부르기도 한다.

델타 함수는 물리학자 폴 디락이 국가 벡터 정상화를 위한 도구로 도입했다.확률 이론과 신호 처리에도 활용도가 있다.그것의 유효성은 Laurent Schwartz가 그것이 함수에 작용하는 선형 형태로 정의되는 분포 이론을 개발하기 전까지 논쟁되었다.

크론커 델타 함수는 보통 이산형 도메인에서 정의되며 값 0과 1을 취하는 디락 델타 함수의 이산형 아날로그다.

동기부여 및 개요

Dirac 델타의 그래프는 일반적으로 전체 x축과 양의 y축을 따르는 것으로 생각된다.^{[7]: 174} 디락 델타는 키 큰 좁은 스파이크 함수(충동)와 점 전하, 점 질량 또는 전자 점 같은 다른 유사한 추상화를 모델링하는 데 사용된다.예를 들어 당구공이 부딪히는 역학을 계산하려면 디락 삼각주에 의한 충격의 힘을 대략적으로 계산할 수 있다.그렇게 함으로써 방정식을 단순화할 뿐만 아니라 아원자 수준에서 모든 탄성 에너지 전달에 대한 상세한 모델(예를 들어) 없이 충돌의 총충동만을 고려함으로써 공의 움직임을 계산할 수 있게 된다.

구체적으로 말하면 당구공이 정지해 있다고 가정해 보자.$t{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t=0}$이(가) 다른$$ 공에 치여 탄력 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P$을(를) 전달하며 ${\displaystyle {\text{kg}}^{}}$ m ${\displaystyle {\text{s}}^{}}$- 1 ${\$ m $s}^{}-1$운동량의 교환은 분자 및 아원자 수준에서 탄성 공정에 의해 매개되는 실제 순간은 아니지만, 실용적인 목적을 위해서는 에너지 전달을 효과적으로 순간적인 것으로 간주하는 것이 편리하다.따라서 힘은 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle \Delta }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ P$\,\delta (t)}$ 입니다$.$ ($\Delta {\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \delta (t)}$의 단위는 $s{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$

이러한 상황을 보다 엄격하게 모형화하려면, 힘이 작은 시간 간격 ${\displaystyle \Delta }$ t${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \Delta t=[0,T]}$에 걸쳐 균일하게 분포된다고 가정하십시오$.$ 즉,

${\displaystyle F_{\Delta t}(t)={\begin}P/\Delta t&0<t\leq T,\0&{\text{otherwise}}.\end{case}}}$

그 후 언제든지 t의 운동량은 통합에 의해 발견된다.

${\displaystyle p(t)=\int _{0}^{t}F_{\Delta t}(\tau )\,\mathrm {d} \tau ={\begin{case}P&t]T\\P\,t/\Delta t&0<t\leq T\\0&{\text{notherwise.}}}\end{case}}$

이제 순간적인 운동량 이동의 모델 상황은 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle t}$→ 0 $[\displaystyle \Delta t\$t\$to 0}$을(를)$$Δ t → ${\displaystyle 0}$으로 한도를 취할 것을 요구한다.

${\displaystyle p(t)={\reason{case}P&t>0\\0&t\leq 0.\end{case}}}$

여기서 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\Delta \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$ 함수들은 모멘텀의 순간 전달 아이디어에 대한 유용한 근사치로 간주된다$$.

델타 함수는 이러한 근사치의 이상화된 한계를 구성할 수 있게 해준다.불행히도 기능들의 실제한한계는 (점점 수렴의 관점에서) $\underset{}{\Delta \mathrm{}}$ t$\underset{}{}$→ $\underset{}{}{}_{}$ F ${\Delta \mathrm{}}_{}$ $t_{}$ ${\$ t$\to$0}$F_{\Delta$ t$}}$가 무한인 한 점을 제외하고 도처에 0이다$$.디락 삼각주를 제대로 이해하려면 대신 그 재산을 주장해야 한다.

${\d}t=P,}^{{-\infit }F_{\Delta t}(t)\,\mathrm {d}t=P,}$

모든 > ${\displaystyle \Delta t>0}$을를) 유지하는 값은 계속 한도를 유지해야 한다.따라서 $F$($t$ )$$= $P$ $\Delta$( $t$) =$\underset{}{\Delta \mathrm{}}$ t$\underset{}{}$→ $\underset{}{0}$ $F$ ${\Delta \mathrm{}}_{}$ $t_{}$( t$$) ${\textstyle F(t)=P\,\delta(t)=\lim _{\Delta t\t_{\Delta$ t$}(t)}$ 등식에서 한계는 항상 적분 밖에 있는 것으로 이해된다$.$

응용 수학에서, 우리가 여기서 해왔던 것처럼, 델타 함수는 일련의 함수의 한계(약한 한계)의 일종으로 조작되는 경우가 많으며, 각 구성원은 원점에 높은 스파이크를 가지고 있다. 예를 들어, 분산이 0으로 향하는 원점에 중심을 둔 가우스 분포의 시퀀스.

Dirac 삼각주는 적어도 실제 숫자로 도메인과 범위를 가진 일반적인 함수는 아니다.예를 들어, x = 0을 제외하고 f(x) = Δ(x) 및 g(x) = 0은 모든 곳에서 동일하지만, 아직 서로 다른 통합을 가지고 있다.르베그 통합 이론에 따르면 f와 g가 거의 모든 곳에서 f = g와 같은 함수라면, g가 통합 가능하고 f와 g의 통합이 동일한 경우에만 f가 통합 가능하다.디락 델타 함수를 그 자체로 수학적 객체로 간주하기 위한 엄격한 접근법은 측정 이론이나 분포 이론을 필요로 한다.

역사

조셉 푸리에가 그의 논문 테오리 분석 데 라 샤를루르에서 현재 푸리에 적분 정리라고 불리는 것을 다음과 같은 형태로 제시했다.^[8]

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }\int _{-\inflt }^{\inflt \\\\\d\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\inflt }^{-\inflt}^{\inflt}p\inflt}}p\cos(으)\infinp\}}}}$

이는 다음과 같은 형태로 Δ-함수를 도입하는 것과 같다.^[9]

${\displaystyle \cHB )={\frac {1}{2\pi }}\int_{-\int_{-\infit }^{\infit }dp\ \cos(p\p\cs )\ .}$

후에 아우구스틴 코치는 지수화를 이용하여 정리를 표현하였다.^[10][11]

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\inflt }^{\inft }\e^{-ip\inft }{-ip\inft }{-inflt }{-ip\f(\\cH)\,dp.}$

코치는 어떤 상황에서는 이 결과의 통합 순서가 유의미하다고 지적했다(대비 푸비니의 정리).^[12][13]

분포 이론을 사용하여 정당화되었듯이, 코우치 방정식은 푸리에의 원래 제형과 유사하게 재배열할 수 있으며 Δ-함수를 다음과 같이 노출시킬 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}())&, ={\frac{1}{2\pi}}\int _ᆰ^ᆱe^ᆲ\left(\int_{}f(\alpha ^{}\infty e^{-ip\alpha}-\infty)\,d\alpha \right)\,dp\\[4pt]&, ={\frac{1}{2\pi}}_ᆵ^ᆶ\left(\int_{}^{}\infty e^{ipx}e^{-ip\alpha}\,dp\right-\infty)f(\alpha)\,d\alpha =\int _{-\infty}^{\infty}\delta(x-\al \int.pha)f()alpha )\,d\properties,\ended{aigned}}$

여기서 Δ-함수는 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle \cHB(x-\pi )={\frac {1}{2\pi }\int_{-\int_{-\infit }^{\e^{ip(x-\infit )}\,dp\ .}$

기하급수적 형태와 그 적용에 필요한 함수 f에 대한 다양한 제한에 대한 엄격한 해석은 수세기에 걸쳐 확장되었다.고전적 해석의 문제는 다음과 같이 설명된다.^[14]

고전적인 푸리에 변환의 가장 큰 단점은 그것이 효과적으로 계산될 수 있는 다소 좁은 종류의 함수(원점)이다.즉, 푸리에 적분(Fourier integrity)의 존재를 확실히 하기 위해서는 이러한 기능들이 0(무한도 부근)으로 충분히 빠르게 감소할 필요가 있다.예를 들어 다항식 같은 단순한 함수의 푸리에 변환은 고전적 의미에서는 존재하지 않는다.고전적인 푸리에 변환의 분포로의 확장은 변환될 수 있는 기능의 종류를 상당히 확대시켰고 이로 인해 많은 장애물이 제거되었다.

추가 개발에는 푸리에 적분의 일반화, "플랑쉐렐의 병적인 L-이론²(1910년)을 시작으로, 비에너와 보치너의 작품(1930년경)을 이어가며, L로의 합병으로 절정을 이루었다. 슈워츠의 분배 이론(1945년) ...",^[15] 디락 델타 함수의 공식적 발전을 이끈다.

무한히 높은 단위 임펄스 델타 함수(Cauchy 분포의 최소 버전)에 대한 최소 공식은 1827년 오거스틴 루이스 카우치 텍스트에 명시적으로 나타난다.^[16] 시메온 데니스 포아송은 이 문제를 얼마 후 구스타프 키르흐호프가 그랬던 것처럼 파동 전파 연구와 관련하여 고려했다.키르흐호프와 헤르만 폰 헬름홀츠도 이 단위 임펄스를 가우스인의 한계로 소개했는데, 이는 켈빈 경이 점 열원에 대한 개념과도 일치한다.19세기 말에 올리버 허비사이드(Oliver Hubiside)는 단위 임펄스를 조작하기 위해 공식적인 푸리에 시리즈를 사용하였다.^[17]디라크 델타 함수는 폴 디라크가 1930년에 쓴 영향력 있는 저서 양자역학의 원리(The Principle of Quantum Mechanics)에서 "편안한 표기법"으로 소개되었다.^[3]이산 크로네커 삼각주의 연속 아날로그로 사용했기 때문에 그는 그것을 "델타 함수"라고 불렀다.

정의들

디락 삼각주는 원점을 제외하고 모든 곳에 0인 실제 선상의 함수로서 느슨하게 생각할 수 있다.

${\displaystyle \cHB(x)={\displaysty{case}+\ft;&x=0\0,&x\neq 0\end{case}}}}$

그리고 그 정체성을 만족시키기 위해 제약을 받고 있다.

${\displaystyle \int _{-\infit }^{\infit }\property (x)\,dx=1.}$^[18]

이것은 단지 휴리스틱한 성격화일 뿐이다.Dirac 델타는 실제 숫자에 정의된 함수가 이러한 특성을 가지지 않기 때문에 전통적인 의미의 함수가 아니다.^[19]Dirac 델타 함수는 분포 또는 척도로 엄격하게 정의할 수 있다.

척도로서

디락 델타 함수의 개념을 엄격하게 포착하는 한 가지 방법은 디락 측정이라고 하는 측정을 정의하는 것인데, 디락 측정치는 실제 라인 R의 부분 집합 A를 인수로 받아들이고, Δ(A) = 0이면 1을, 그렇지 않으면 Δ(A) = 1을 반환한다.^[20]델타 함수가 0에서 이상적인 점 질량을 모델링하는 것으로 개념화된 경우, Δ(A)는 집합 A에 포함된 질량을 나타낸다.그런 다음 Δ에 대한 적분을 이 질량 분포에 대한 함수의 적분으로 정의할 수 있다.공식적으로, 르베그 적분은 필요한 분석 장치를 제공한다.측정값 Δ와 관련하여 통합된 Lebesgue는 만족한다.

${\displaystyle \int _{-\infit }^{\\f(x)\,\ft \{dx\}=f(0)}$

모든 연속적으로 소형으로 지원되는 기능에 대해 f.측정 Δ는 르베그 측도와 관련하여 절대적으로 연속적인 것은 아니다. 사실 그것은 단수 측정이다.따라서 델타 측정에는 (레베게 측정에 관한) 라돈-니코디엠 파생상품이 없으며, 부동산에 대한 진정한 기능이 없다.

${\displaystyle \int _{-\infit }^{\inf(x)\f(x)\,dx=f(0)}$

holds.^[21] 결과적으로, 후자의 표기법은 편리한 표기 남용이며, 표준(리만 또는 르베그) 적분(Remann 또는 Lebesgue)이 아니다.

R에 대한 확률 측정으로 델타 측정은 단위 단계 함수인 누적 분포 함수가 특징이다.^[22]

${\displaystyle H(x)={\begin{case}1&{\text{{}if }x\geq 0\\0&{\text{}}x<0.\end{case}}}$

즉, H(x)는 Δ 측정과 관련하여 누적 지표 함수 1의_{(−∞, x]} 정수인 것이다.

${\displaystyle H(x)=\int _{\mathbf {R}}}\mathbf {1} _{(-\inflt ,x](t)\,\delta \}=\delta(-\inflt;x),}$

후자는 이 구간의 측정이며, 보다 형식적으로 Δ(-time, x])이다.따라서 특히 연속적인 기능에 대한 델타 함수의 통합은 리만-스티엘트제스 통합으로 적절히 이해할 수 있다.^[23]

${\displaystyle \int _{-\infit _{-\inft \f(x)\delta \{dx\}=\int _{-\infit }^{\f(x)\,dH(x).}$

Δ의 모든 높은 순간은 0이다.특히 특성함수와 모멘트 생성함수는 모두 1과 같다.

분포로서

분포 이론에서 일반화된 함수는 그 자체로 함수가 아니라 다른 함수에 대해 "통합"되었을 때 그 함수가 다른 함수에 어떤 영향을 미치는가에 대해서만 고려된다.^[24]이러한 철학에 따라 델타 함수를 적절히 정의하기 위해서는 델타 함수의 '통합'이 충분히 '좋은' 시험함수 against에 대항하는 것이 무엇인지를 말하기에 충분하다.시험 기능은 범프 기능이라고도 한다.델타 함수가 이미 측정값으로 이해되었다면, 해당 측도에 대한 테스트 함수의 Lebesgue 적분은 필요한 적분을 공급한다.

시험 기능의 대표적인 공간은 R의 모든 매끄러운 기능과 필요한 만큼 많은 파생상품을 갖는 콤팩트한 지지대로 구성된다.분포로서 Dirac 델타는 시험 함수의 공간에 대한 선형 함수로서 정의된다^[25].

$[\displaystyle \property [\varphi ]=\varphi (0)}$

(1)

$모든{\displaystyle }$ 테스트 함수 ▼ ${\displaystyle \varphi }$에 대해$.$

Δ가 적절한 분포가 되려면 시험 함수 공간의 적절한 위상에서 연속되어야 한다.일반적으로, 분포를 정의하는 시험함수의 공간에 대한 선형 함수 S의 경우, 모든 양의 정수 N에 대해 정수_N M과 상수_N C가 존재하여 모든 시험함수 φ에 대해 한 사람이 불평등을^[26] 갖는 것이 필요하고 충분하다.

${\displaystyle \왼쪽 S[\varphi ]\오른쪽 \leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}\sup_{x\in [-N,N]}\왼쪽 \varphi ^{(k)}(x)\오른쪽 .}$

Δ 분포에서는 모든 N에 대해_N M = 0과 같은 불평등(C_N = 1)이 발생한다.따라서 Δ는 순서 0의 분포다.더 나아가 콤팩트한 지지를 받는 분배(지원은 {0}임)이다.

델타 분포는 또한 몇 가지 동등한 방법으로 정의될 수 있다.예를 들어, 그것은 Hubiside 단계 함수의 분포적 파생물이다.즉, 모든 시험 함수 for에 대해 다음과 같이 한다.

${\displaystyle \delta [\varphi ]=-\int _{-\\int }^{\\npty }\barphi '(x)H(x)\,dx.}$

직감적으로, 부품별 통합이 허용되었다면, 후자의 통합은 다음과 같이 단순화되어야 한다.

${\displaystyle \int _{-\infit _{-\infit _{-\infit _{-\infit _{-\infit }^{\infit }\infit }\barphi (x)\dx,}$

그리고 실제로, 부품에 의한 통합의 형태는 Steeltjes의 일체형에게 허용된다. 그리고 그 경우, 사람은

${\displaystyle -\int _{-\int _{-\int_{-\notty }\\barphi '(x)\\not_{-\infit }^{\inft }\nothy }\barphi(x)\,dH(x).}$

측정 이론의 맥락에서, 디락 측정은 통합에 의한 분배를 야기한다.반대로 식 (1)은 모든 압축적으로 지원되는 연속함수의 공간에 대니엘 적분을 정의하며, 리에즈 표현 정리에 의해 일부 라돈 측정에 관한 φ의 르베그 적분으로 나타낼 수 있다.

일반적으로 "디락 델타 함수"라는 용어를 사용할 때, 디락 측정은 측정이론에서 해당 개념에 대한 몇 가지 용어 중 하나이다.일부 출처에서는 Dirac 델타 분포라는 용어를 사용할 수도 있다.

일반화

델타 함수는 n차원 유클리드 공간 R에서ⁿ 다음과 같은 측정으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle \int _{\mathbf {R}^{n}f(\mathbf {x} )\dd\mathbf {x}\} \}=f(\mathbf {0} )}$

소형으로 지원되는 모든 연속 함수 f.하나의 척도로서 n차원 델타 함수는 각 변수에 있는 1차원 델타 함수의 제품 측정값이다.따라서 정식으로 x = (x₁, x₂, ..., x_n)로, 사람은^[1]

${\displaystyle \property (\mathbf {x} )=\cduff (x_{1})\cdots \properties (x_{n}).}$

(2)

델타 함수는 또한 1차원 사례에서 위와 정확히 같은 분포의 의미로 정의될 수 있다.^[27]그러나, 공학적인 맥락에서 널리 사용되었음에도 불구하고, (2) 분포의 산물은 상당히 좁은 상황에서만 정의될 수 있기 때문에, 주의를 기울여 조작해야 한다.^[28][29]

디락 척도의 개념은 어느 세트에서도 타당하다.^[30]따라서 X가 집합이고, x₀ ∈ X가 표시점이고, σ이 X의 하위 집합의 시그마 대수라면, 그 측정치는 다음에 의해 A ∈ ∈ sets에 정의된다.

${\displaystyle \delta _{x_{0}(A)={\begin{case}1&{\text{{}{{x_{0}\in A\end}}}}}}}}$

델타 측정값 또는 단위 질량이 x에₀ 집중된 값이다.

델타 함수의 또 다른 일반적인 일반화는 다른 구조 때문에 분포로서의 대부분의 특성도 이용할 수 있는 다른 다지관에 대한 것이다.x₀ ∈ M 지점 중앙에 위치한 다지관 M의 델타 함수는 다음과 같은 분포로 정의된다.

${\displaystyle \cHB_{0}[\varphi ]=\varphi(x_{0})}$

(3)

압축적으로 지원되는 모든 매끄러운 실제 가치 함수 φ on M.^[31]이 건축의 일반적인 특별한 경우는 유클리드 공간 R에서ⁿ M이 오픈 세트인 것이다.

국소 소형 하우스도르프 공간 X에서 점 x에 집중된 디락 델타 측정은 소형으로 지원되는 연속 기능에 대한 다니엘 적분(3)^[32]과 관련된 라돈 측정값이다.이 정도 수준의 일반성에서는 더 이상 미적분학이 불가능하지만, 추상적 분석으로부터 다양한 기법을 이용할 수 있다.예를 들어 $mapping{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}{}_{}}$ x ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$은 X의 유한 라돈 측정 공간에 X를 연속적으로 내장하고 있으며$$, 그 모호한 위상이 갖추어져 있다.더욱이 이 임베딩 하의 X 이미지의 볼록한 선체는 X에 대한 확률 측정의 공간에 밀집되어 있다.^[33]

특성.

스케일링 및 대칭

델타 함수는 0이 아닌 스칼라 α에 대해 다음과 같은 스케일링 특성을 만족한다.^[34]

${\displaystyle \int _{-\inflt \}^{\inflt x)\,dx=\int _{-\inflt }^{\inflt }{{\frac {1}{\inflt }}}}}}$

등등

${\displaystyle \property(\flash x)={\frac {\frac(x)}{ \property }}.}$

(4)

증명:

특히 델타 함수는 고른 분포로, 그 의미는 다음과 같다.

${\displaystyle \property(-x)=\properties(x)$

도 -1의 균일함.

대수적 특성

x를 포함한 Δ의 분포 산물은 0과 같다.

$(x)}$

반대로 xf(x) = xg(x)인 경우 여기서 f와 g가 분포인 경우

${\displaystyle f(x)=g(x)+c\properties(x)}$

어떤 상수 c를 위해서.^[35]

번역

시간이 지체된 디락 삼각주의 본질은^[36]

${\displaystyle \int _{-\infit }^{\\inf(t)\dt=f(T)\dt=f(T)}$

이것을 체외 속성^[37] 또는 샘플링 속성이라고 부르기도 한다.^[38]델타 함수는 t = T에서 값을 "선별"한다고 한다.^[39]

시간 지연된 Dirac 델타 ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle T_{}}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \Delta }$( ${\displaystyle t}$- T${\displaystyle }$) ${\displaystyle \delta _{T}=\delta (t-T)}$과 함수 f(t)를 동일한 양만큼 시간 지연시키는 효과는$$ 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}(f*\delta _{T})(t)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\delta (t-T-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\delta (\tau -(t-T))\,d\tau \qquad {\text{since}}~\delta (-x)=\delta (x)~~{\text{by (4)}}\\&=f(t-T).\end{정렬}}}$

이는 f가 강화 분배라는 정확한 조건 하에서 유지된다(아래 푸리에 변환에 대한 논의 참조).예를 들어, 특별한 경우로서, 우리는 정체성을 가지고 있다(분배 의미에서는 이해된다).

$\displaystyle \int _{-\infit _}^{\infit }\nothes (\xi -x)\noth (x-\eta )\,dx=\note (\eta -\xi).}$

함수가 있는 구성

보다 일반적으로, 델타 분포는 변수 공식의 익숙한 변화가 다음을 포함하는 방식으로 부드러운 함수 g(x)로 구성될 수 있다.

${\displaystyle \int _{\mathb {R}\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}\왼쪽 g'x=\int_{g(\mathb {R})}\delta (u)\du}$

g는 gg now 0으로 지속적으로 다른 함수일 경우.^[40]즉, $\Delta {\displaystyle }$Δ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \delta \circg}$ 분포에 의미를 부여하여 이 ID가 압축적으로 지원되는 모든 테스트 함수 f에 대해 유지되도록 하는$$ 고유한 방법이 있다.따라서 g′ = 0점을 제외하려면 도메인을 분할해야 한다.이 분포는 g가 0이 아닌 경우 Δ(g(x)) = 0을 만족하며, 그렇지 않은 경우 g가 x에₀ 실제 루트를 갖는 경우 Δ(g(x)) = 0을 만족한다.

$[\displaystyle \properties(g(x))]={\frac {\frac(x-x_{0})}{g'(x_{0}){}}.}$

따라서 g by의 연속적인 상이한 함수에 대한 성분 Δ(g(x))를 정의하는 것은 당연하다.

$[\displaystyle \properties(g(x))]=\sum _{i}{\frac {\reason (x-x_{i})}{{g'(x_{i}}) }}$

합계가 g(x)의 모든 뿌리(즉, 모든 다른 뿌리)에 걸쳐 있으며, 이는 단순하다고 가정한다.따라서, 예를 들면

${\displaystyle \delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\오른쪽)={\frac {1}{1}{2\alpha }}}{\big [}\delta \reft(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\lapa \right){\\lp){\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\큰 ]}}$

적분형식에서는 일반화된 스케일링 속성이 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle \int _{-\infit _}^{\\f(x)\,\f(x)\\,dx=\sum _{i}{\frac(x_{i})}{{g'(x_{i}) }}.}$

n차원의 특성

n차원 공간의 델타 분포는 대신 다음과 같은 스케일링 특성을 만족한다.

${\displaystyle \mathbf {x}= \mathbf ^{-n}\mathbf {x},}$

따라서 Δ는 도 -n의 균일한 분포다.

어떤 반사 또는 회전 ρ에서 델타 함수는 불변함수,

${\displaystyle \mathbf {x}=\mathbf {x}=\mathbf {x}~.}$

1변수의 경우와 마찬가지로 Δ의 구성을 bi-Lipschitz 함수^[41] g: Rⁿ → Rⁿ 고유하게 정의하여 정체성을 파악할 수 있다.

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta (g(\mathbf {x} ))\,f(g(\mathbf {x} ))\left \det g'(\mathbf {x} )\right \,d\mathbf {x} =\int _{g(\mathbb {R} ^{n})}\delta (\mathbf {u} )f(\mathbf {u} )\,d\mathbf {u} }$

압축적으로 지원되는 모든 기능에 대해 f.

기하학적 측정 이론에서 나온 코아 면적 공식을 사용하여, 한 유클리드 공간에서 다른 차원의 다른 공간으로의 침투를 통해 델타 함수의 구성을 정의할 수도 있다. 결과는 전류의 한 유형이다.g의 구배가 0이 아닌 곳에 있도록 지속적으로 다른 함수 g : Rⁿ → R의 특별한 경우, 다음과 같은 정체성은 유지된다^[42].

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (g(\mathbf {x} ))\,d\mathbf {x} =\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f(\mathbf {x} )}{ \mathbf {\nabla } g }}\,d\sigma (\mathbf {x} )}$

오른쪽의 적분이 g⁻¹(0)를 초과하는 경우, 민코스키 함량 측정과 관련하여 g(x) = 0으로 정의된 (n - 1)차원 표면.이것은 단순한 층 적분으로 알려져 있다.

보다 일반적으로 S가 R의ⁿ 매끄러운 과외면인 경우, 우리는 S에 대해 압축적으로 지원되는 매끄러운 함수 g를 통합하는 분포를 S에 연결할 수 있다.

${\displaystyle \delta_{S}=\int_{S}g(\mathbf {s})\,d\sigma(\mathbf {s} )}$

여기서 σ은 S와 관련된 초외면 측정이다.이 일반화는 S의 단순층 전위 이론과 관련이 있다.만약 D가 R의ⁿ 영역이고 경계 S가 매끄러운 경우, Δ는_S 분포 의미에서 D의 지표함수의 정상파생과 같다.

${\displaystyle -\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\mathbf {x} )\,{\frac {\partial 1_{D}(\mathbf {x} )}{\partial n}}\,d\mathbf {x} =\int _{S}\,g(\mathbf {s} )\,d\sigma (\mathbf {s} ),}$

여기서 n은 겉보기 정상이다.^[43][44]자세한 내용은 표면 델타 함수에 대한 문서와 같은 내용을 참조하십시오.

푸리에 변환

델타 함수는 강화 분포로, 따라서 푸리에 변환이 잘 정의되어 있다.형식적으로^[45] 보면 알 수 있다.

${\displaystyle {\widehat {\cH00(\xi )=\int _{-\nothy }^{-\nothy }e^{-2\pi ix\}xi \,dx=1.}$

적절하게 말하면, 분포의 푸리에 변환은 슈워츠 함수의 강화 분포의$$ 이중성 쌍 pairing${\displaystyle }$,${\displaystyle ,}$ ⟩ ⟩ ⟩,${\displaystyle }${ { ${\displaystyle \langle \cdot \cdrangle }$에 따라 푸리에 변환의 자체 적응성을 부과하여 정의된다.따라서 $\Delta {\displaystyle \hat{}}$ ${\$은(는) 만족스러운 고유한 강화 분포로 정의된다$$.

${\displaystyle \langle {\widehat {\barfi },\varphi \langle =\langle \langle \langle,{\widehat {\barphi }}}}$

모든 Schwartz $함수{\displaystyle }$ ${{\displaystyle \varphi$ 그리고 실제로 $\Delta {\displaystyle \stackrel{}{}^\mathrm{}}$= 1.$${\$displaystyle${\$widehatt{\delta }}=1$에 따른다$.$$}$

이러한 정체성의 결과, 다른 강화 분배 S와의 델타 함수의 콘볼루션은 단순히 S:

$(\displaystyle S*\delta =S.}$

즉 Δ는 강화분포에 대한 경련에 대한 정체성 요소로서, 실제로 경련하에서의 압축적으로 지원되는 분포의 공간은 델타함수의 정체성과 연관성 있는 대수라고 할 수 있다.강화분포를 가진 경련이 선형 시간변동계통이고, 선형시간변동계통을 적용하면 그 충격반응을 측정하기 때문에 이 속성은 신호처리에 있어서 기본이다.충격 반응은 Δ에 적합한 근사치를 선택하여 원하는 정확도로 계산할 수 있으며, 일단 알려지면 시스템을 완전히 특성화한다.LTI 시스템 이론 § 임펄스 응답 및 콘볼루션을 참조하십시오.

강화 분포 f(ξ) = 1의 역 푸리에 변환은 델타 함수다.공식적으로, 이것은 표현된다.

${\displaystyle \int _{-\infit _{-\infit }^{1\cdot e^{-2\pi ix\xi }\,d\xi =\x(x)}$

그리고 더 엄밀하게 말하자면, 그것은 그 이후부터 뒤따른다.

${\displaystyle \langle 1,{\widehat{f}\angle =f(0)=\langle \langle \langle \langle }$

모든 슈워츠 함수에 대해 f.

이러한 용어로 델타 함수는 R에 있는 푸리에 커널의 직교성 속성에 대한 암시적인 설명을 제공한다.형식적으로는

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi (\xi _{2}-\xi _{1})t}\,dt=\delta (\xi _{2}-\xi _{1}).}$

이것은 물론, 강화 분배의 푸리에 변혁에 대한 주장을 속기하는 것이다.

${\displaystyle f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}}$

이다

${\displaystyle {\widehat{f}(\xi _{2})=\chi _{1}-\i _{2}$

푸리에 변혁의 자기애성을 강요함으로써 다시 그 뒤를 잇는다.

푸리에 변환의 분석적 지속에 의해 델타 함수의 라플라스 변환은 다음과 같은 것으로^[46] 확인된다.

${\displaystyle \int _{0}^{0}^{\infully }\not (t-a)e^{-st}\,dt=e^{-sa}.}$

유통파생상품

Dirac 델타 분포의 분포적 파생상품은 다음과 같이^[47] 압축적으로 지원되는 부드러운 시험 기능에 정의된 분포 Δδ이다.

$[\displaystyle \barphi ]=-\barphi[\varphi ']=-\varphi '(0).}$

여기서 첫 번째 평등은 부품에 의한 통합의 일종인데, 만약 Δ가 그 당시 진정한 함수였다면 말이다.

${\displaystyle \int _{-\infit _{-\infit _{-\int_,dx=-\int_{-\infit }^{-\infit }{\infit }\infit }\varphi '(x)\,dx.}$

Δ의 k번째 파생상품은 다음과 같이 시험함수에 주어진 분포와 유사하게 정의된다.

${\displaystyle \cHB ^{(k)}{{(k)}[\varphi ]=(1-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0)).}$

특히 Δ는 무한히 다른 분포다.

델타 함수의 첫 번째 파생상품은 차등요인의 분포 한계다.^[48]

${\displaystyle \property '(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\frac(x+h)-\propers(x)}{h}}.}$

더 정확히 말하자면, 사람은

${\displaystyle \my _{h\to 0}{\frac {1}{h}}(\tau _{h}\reason -\reason )}$

여기서 τ은_h 번역 연산자로, τφ_h(x) = φ(x + h)에 의해 함수에 정의되고, by(x + h)에 의해 분배 S에 정의된다.

$(\displaystyle (\tau _{h}S)[\varphi ]=S[\tau _{-h}\varphi .}$

전자석 이론에서 델타 함수의 첫 번째 파생상품은 원점에 위치한 점 자기 이중극을 나타낸다.따라서 쌍극성(dipole) 또는 쌍극성(doublet function)이라고 한다.^[49]

델타 함수의 파생상품은 다음을 포함한 다수의 기본 특성을 충족한다.

${\displaystyle {\frac{d}}{dx}\cHB(-x)={d}{dx}\cHB(x)\\[8pt]\[pt]&x\cHB '(x)=\cHB(x)=\cHB(x)\cHB(x)=\cHB(x(x).\end{정렬}}}$^{[50][필요하다]}

이러한 특성 중 후자는 분배적 파생상품 정의, Liebnitz의 정리 및 내부제품의 선형성을 적용하여 쉽게 증명할 수 있다.^[51]

더욱이 Δδ의 경련은 압축적으로 지지되는 매끄러운 함수 f를 가지고 있다.

${\displaystyle \f=\f'\f',}$

이는 수녀원의 분포적 파생상품 특성에서 비롯된다.

상위 치수

보다 일반적으로, n차원 유클리드 공간ⁿ R의 오픈 세트 U에서, , U가 정의되는 지점을 중심으로^[52] 한 디락 델타 분포는

${\displaystyle \property _{a}[\varphi ]=\varphi (a)}$

만약 α = (α₁, ..., α_n)가 다중 지수이고 ^αα가 관련 혼합 부분파생 연산자를 나타내는 경우, Δ의_a ^αα번째 파생상품 Δ의 Δ의 Δ의 Δ의 α번째 파생상품 Δ는_a 다음과^[52] 같이 주어진다.

${\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\varphi \right\rangle =(-1)^{ \alpha }\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =(-1)^{ \alpha }\partial ^{\alpha }\varphi (x){\Big }_{x=a}{\text{ for all }}\varphi \in S(U).}$

즉, Δ의_a α번째 파생상품은 어떤 시험함수 φ의 값이 a(적절한 양의 부호 또는 음의 부호가 있는)에서 α번째 파생상품인 분포다.

델타 함수의 첫 번째 부분파생물은 좌표면을 따라 이중 레이어로 간주된다.보다 일반적으로 표면에서 지지되는 단순층의 정상적인 파생상품은 그 표면에서 지지되는 이중층이며 층 자기 단극을 나타낸다.델타 함수의 상위 파생상품은 물리학에서 다중점이라고 알려져 있다.

더 높은 파생상품은 점 지지와 함께 분포의 전체 구조를 구성하는 요소로서 자연적으로 수학에 들어간다.S가 단일 점으로 구성된 {a} 집합에서 지원되는 U에 대한 분포인 경우 다음과 같은^[52][53] 정수 m과 계수 c가_α 있다.

${\displaystyle S=\sum _{\alpha \leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.}$

델타 함수의 표시

델타 함수는 일련의 함수의 한계로 볼 수 있다.

${\displaystyle \cHB=\lim _{\barepsilon \to 0^{+}}\eta _{\barepsilon }(x),}$

여기서 η_ε(x)는 초기 델타 함수라고도 한다.이 한계는 약한 의미에서 의미가 있다: 어느 쪽이든

${\displaystyle \lim_{\barepsilon \to 0^{+}\int_{-\not_{-\nothy }^{\nothy }\eta_{\varepsilon }(x)(x)\,dx=f(0)}$

(5)

콤팩트 서포트를 갖는 모든 연속 기능에 대해 또는 콤팩트 서포트를 가진 모든 부드러운 기능에 대해 이 한도가 유지되도록 한다.이 두 가지 약간 다른 약한 수렴 모드의 차이는 종종 미묘하다. 전자는 측정의 모호한 토폴로지의 수렴이고 후자는 분포의식의 수렴이다.

ID에 대한 근사치

일반적으로 초기 델타 함수 η은_ε 다음과 같은 방법으로 구성할 수 있다.총 적분 1의 R에 절대적으로 통합 가능한 함수가 되도록 하고, 정의한다.

${\displaystyle \eta_{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \eta \leftleft\frac {x}{\barepsilon }}}\오른쪽).}$

n차원에서는 스케일링을 대신 사용한다.

${\displaystyle \eta_{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \eta \leftleft\frac {x}{\barepsilon }}}\right).}$

그러면 단순한 변수의 변화로 η에도_ε 적분 1이 있음을 알 수 있다.어떤 이는 (5)가 모든 연속적으로 압축적으로 지원되는 함수 f를 유지하며,^[54] 따라서 η은_ε 조치의 의미에서 Δ로 약하게 수렴한다는 것을 보여줄 수 있다.

이러한 방식으로 구성된 η은_ε 정체성에 대한 근사치로 알려져 있다.^[55]이 용어는 f와 g가 L¹(R)에 있을 때마다 기능¹ convolution의 운용에 따라 절대적으로 통합 가능한 기능의 공간 L¹(R)이 닫히기 때문이다.단, 경련 제품의 경우¹ L(R)에 ID가 없다. 모든 F에 대해 f h h = f와 같은 요소 h는 없다.그럼에도 불구하고, 순서 η은_ε 다음과 같은 의미에서 그러한 정체성에 근사치를 한다.

${\displaystyle f*\eta _{\barepsilon}\to f\text{\as }}\varepsilon \to 0.}$

이 한계는 평균 수렴(L에서의¹ 수렴)의 의미로 유지된다.η에_ε 대한 추가 조건, 예를 들어 압축적으로 지원되는 기능과 관련된 몰리퍼라는 조건은 거의 모든 곳에서 포인트 정합성을 보장하기 위해 필요하다.^[56]

초기 η = η₁ 그 자체가 부드럽고 압축적으로 지지되는 경우, 그 순서를 몰리프라고 한다.예를 들어 standard을 적절히 평준화된 범프 함수로 선택하여 표준 몰리퍼를 얻는다.

${\displaystyle \eta (x)={\preas}e^{-{\frac {1}{1}- x ^{1}:{1- x ^2}}~{\text{{{}}}}}}}}}*x <1\0&}{\text}}}}}}}}}}* x \geq 1.case}$

수치 분석과 같은 일부 상황에서는 정체에 대한 부분적인 선형 근사치가 바람직하다.이것은 η을₁ 모자 함수로 취함으로써 얻을 수 있다.이 η의₁ 선택으로 사람은

${\displaystyle \eta_{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(왼쪽 1-\frac {x}{\barepsilon }}}}오른쪽,0\오른쪽)}$

이 모든 것이 연속적이고 압축적으로 지지되며, 비록 매끄럽지 않고, 그래서 연체동물도 아니다.

확률론적 고려사항

확률 이론의 맥락에서, 그러한 함수가 확률 분포를 나타내듯이, 식별에 대한 근사치의 초기 η은₁ 양수여야 한다는 추가 조건을 부과하는 것은 당연하다.확률분포를 가진 콘볼루션은 출력이 입력값의 볼록한 조합이므로 오버슈트나 언더슈트를 초래하지 않기 때문에 때로는 유리하며, 따라서 입력함수의 최대값과 최소값 사이에 해당된다.η을₁ 확률분포라고 전혀 생각하지 않고, ((x_ε) = ((x₁/ε)/ε을 위와 같이 허용하면 정체성에 근사치가 생긴다.일반적으로 this이 0을 의미하고 모멘트가 작을 경우 델타 함수에 더 빠르게 수렴한다.예를 들어, η이₁ [-1/2, 1/2]의 균일한 분포인 경우, 직사각형 함수로도 알려져 있다.^[57]

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}}\\0,&{\text{otherwise}}.\end{case}}}$

다른 예로는 위그너 세미크레 분포가 있다.

${\displaystyle \eta_{\barepsilon }(x)={\base}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\-x^{2},&-\barepsilon <x0,&#{base}}}}}}}}}$

이것은 지속적이고 압축적으로 지지되지만, 매끄럽지 않기 때문에 몰리퍼가 아니다.

세미그룹

초기 델타 기능은 종종 콘볼루션 세미그룹으로 발생한다.^[58]이는 η을_δ 가진 with의_ε 경련이 충족해야 하는 추가적인 제약조건에 해당한다.

${\displaystyle \eta \}*\eta _{\barpsilon }=\eta _{\barpsilon +\eta }}}}}$

모든 ε, Δ > 0. 초기의 델타 함수를 형성하는 L의¹ 콘볼루션 세미그룹들은 위의 의미에서는 항상 아이덴티티에 근사치지만, 세미그룹 조건은 상당히 강력한 제약이다.

실제로 델타 함수에 근접한 세미그룹들은 물리적으로 동기가 부여된 타원식 또는 포물선 부분 미분 방정식에 대한 기본적인 해결책이나 그린의 함수로 발생한다.응용 수학의 맥락에서, 세미 그룹은 선형 시간 변화 시스템의 출력으로 발생한다.추상적으로, A가 x의 기능에 작용하는 선형 연산자라면, 초기 가치 문제를 해결함으로써 콘볼루션 세미그룹(Convolution Sem그룹)이 발생한다.

${\displaystyle {\dfrac {\dfrac {\reason }{\reason t}\eta(t,x)=A\eta(t,x),\quad t>0\[5pt]\디스플레이 스타일 \lim_{t\to 0^{+}}\eta(t,x)=\delta(x)\end{case}}}}}}$

그 한계는 약한 의미에서 보통과 같이 이해된다.설정 η(x_ε) = η(ε, x)은 관련 초기 델타 기능을 제공한다.

그러한 근본적인 해결책에서 발생하는 물리적으로 중요한 콘볼루션 세미그룹의 예는 다음과 같다.

열 알맹이

정의한 열 커널

${\displaystyle \eta \{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}}\mathrm {e}^{-{\frac{x^{2}\varepsilon}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

열 에너지 단위가 시간 t = 0에서 와이어의 원점에 저장되는 경우, 시간 t > 0의 무한 와이어에서 온도를 나타낸다.이 세미그룹은 1차원 열 방정식에 따라 진화한다.

${\displaystyle {\frac {\fract t}{\fract t}={\frac {1}{1}{2}}:{\frac {\fract ^{2}u}{\propert x^{2}}.}$

확률론에서 η_ε(x)는 분산 ε과 평균 0의 정규 분포다.이것은 표준 브라운 운동 이후 원점에서 시작하는 입자 위치의 시간 t = ε에서의 확률 밀도를 나타낸다.이러한 맥락에서, 세미그룹 조건은 그때 브라운 모션의 마르코프 속성의 표현이다.

고차원 유클리드 공간 R에서는ⁿ 열 알맹이가

${\displaystyle \eta _{\barepsilon }={\frac {1}{{n/2}}:\mathrm {e}^{-{\frac {x\cdot x}{2\barepsilon }}}}}},$

그리고 동일한 신체적 해석을 가지고 있다. 이를 준용한다.분포의식에서 in_ε → Δ가 as → 0이라는 의미에서 초기 델타 함수를 나타내기도 한다.

포아송 커널

포아송 커널

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}\mathrm {Im} \left\{{\frac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }}\right\}={\frac {1}{\pi }}{\frac {\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+x^{2}}}}={\frac {1}{2\pi }\int _{-\inflt }^{\\inflt }\mathrm {e}^{\mathrm {i} \xi x- \varepsilon \,d\xi }$

상반면에 있는 라플라스 방정식의 기본 해법이다.^[59]그것은 가장자리를 따라 전위가 델타 함수에 고정되어 있는 반무한 판의 정전기 전위를 나타낸다.포아송 커널은 카우치 분포와 에판치니코프 및 가우스 커널 기능과도 밀접한 관련이 있다.^[60]이 세미그룹은 방정식에 따라 진화한다.

${\displaystyle {\frac(t,x)}{\frac t}=-\frac(-){\frac(-){\frac({\fract x^{2}}:}}\frac)^{1}{1}{1}{2}}u(t,x)}}}}}$

여기서 운영자는 푸리에 승수로 엄격하게 정의된다.

${\displaystyle {\mathcal{F}\왼쪽[-{\frac {\partial ^{2}}:{\partial x^{2}}:}\오른쪽)^{\frac {1}{1}{1}{1}f\}(\xi )= 2\pi \mathcal {F(\xi).}$

진동 적분

파동 전파 및 파동 역학과 같은 물리학 영역에서 관련된 방정식은 쌍곡선이기 때문에 더 많은 단수 해법이 있을 수 있다.결과적으로, 관련 Cauchy 문제의 근본적인 해결책으로 발생하는 초기 델타 함수는 일반적으로 진동 통합이다.트랜소닉 가스 역학의 오일러-트리코미 방정식의 해법에서 나온 예는 재조정된 에어리함수다.^[61]

${\displaystyle \varepsilon ^{-1/3}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-1/3}\right).}$

푸리에 변환을 사용하기는 하지만, 이것이 어떤 의미에서는 세미그룹을 생성한다는 것을 쉽게 알 수 있다. 그것은 완전히 통합될 수 없고 따라서 위의 강한 의미에서는 세미그룹을 정의할 수 없다.발진적 통합으로 구성된 많은 초기 델타 함수는 측정의 의미가 아니라 분포의 의미(아래 디리클레 커널)에서만 수렴한다.

또¹⁺¹ 다른 예로는 R:^[62]의 파동 방정식에 대한 Cauchy 문제가 있다.

${\displaystyle {\begin{aigned}c^{-2}{\frac {\partial t^{2}}-\delta u&=0\u=0}-\partial t}\partial t}{\partial t}=\qquad {t=0}{\text}\end{정렬}}}$

용액 u는 무한 탄성 줄의 평형으로부터의 변위를 나타내며, 원점에 초기 교란이 있다.

이러한 종류의 정체성에 대한 다른 근사치로는 sinc 기능(전자제품과 통신에서 널리 사용됨)이 있다.

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\,dk}$

그리고 베셀 함수

${\displaystyle \eta_{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\barepsilon }}J_{\pracilon{1}}}}{\barepsilon }}}}{\frac {x+1}{\barepsilon }\right.}$

평면파분해

선형 부분 미분 방정식 연구에 대한 한 가지 접근법

$L[u]=f,}$

여기서 L은 R에서ⁿ 미분 연산자로, 먼저 방정식의 해법인 근본 해답을 구하는 것이다.

$L[u]=\delta .}$

L이 특히 단순할 때는 푸리에 변환을 직접 사용해 이 문제를 해결할 수 있는 경우가 많다(이미 언급된 포아송 커널과 열 커널의 경우처럼).더 복잡한 연산자의 경우, 형태 방정식을 먼저 고려하는 것이 더 쉬운 경우도 있다.

$L[u]=h}$

여기서 h는 평면파 함수로서, 형태를 가지고 있다는 것을 의미한다.

${\displaystyle h=h(x\cdot \xi )}$

어떤 벡터 ξ을 위해.그러한 방정식은 Cauchy-Kovalevskaya 정리 또는 (L의 계수가 일정한 경우) 사분법으로 해결할 수 있다.따라서 델타 함수를 평면파로 분해할 수 있다면 원칙적으로 선형 부분 미분 방정식을 해결할 수 있다.

이처럼 델타 함수를 평면파로 분해한 것은 요한 라돈에 의해 본질적으로 처음 도입된 일반 기법의 일부였으며, 그 후 프리츠 존(1955)에 의해 이러한 형태로 발전되었다.^[63]n + k가 짝수 정수이도록 k를 선택하고, 실수 s에 대해서는 put을 선택한다.

${\displaystyle g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right]={\begin{cases}{\frac { s ^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ odd}}\\[5pt]-{\frac { s ^{k}\log s }{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{ even.}}}\end{case}}$

그 다음 Δ는 단위 구 Sⁿ⁻¹:에서 sphere에 대한 g(x · of)의 단위 구면 측정 dΩ과 관련하여 적분(integral)에 라플라시안의 힘을 가함으로써 얻는다.

${\displaystyle \delta (x)=\Delta _{x}^{(n+k)/2}\int_{S^{n-1}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }}}$

여기의 라플라시안(Laplacian)은 약한 파생상품으로 해석되므로, 이 방정식은 어떤 시험 함수 φ에 대해서든,

${\displaystyle \varphi (x)=\int _{\mathbf {R}^{n}\barphi (y)\,dy\\\\delta _{x}^{x}^{n+k}{n+k}{2}}\int _{S^1g(x-y)\cdot \xi.$

결과는 뉴턴 전위 공식(포아송 방정식의 근본 해법)에서 비롯된다.이것은 본질적으로 라돈 변환에 대한 반전 공식의 한 형태인데, 그것은 하이퍼플레인을 통한 통합으로부터 φ(x)의 가치를 회복하기 때문이다.예를 들어, n이 홀수이고 k = 1이면 우측의 적분은

${\displaystyle {\begin}&c_{n}\Delta _{x}^{\frac{n+1}{2}}\iint _{S^{n-1}\varphi (y-x)\cdotxi \\,dy\=[5pt]{}&c_{n}\Delta _{x}^{(n+1)/2}\int_{S^{n-1}\,d\omega _{\xi }\int_{-\infit }^{-\infit }}p\varphi (\xi,p+x\cdot \cdipend{liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}})$

여기서 Rφ(Rφ, p)는 φ의 라돈 변환이다.

${\displaystyle R\barphi (\xi ,p)=\int_{x\cdot \xi =p(x)f(x)\,d^{n-1}x.}$

Gelfand & Shilov(1966–1968, I, §3.10)에서 나온 평면파 분해의 대체 등가 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle \cHB(x)={\frac {(n-1)!}}{{{\pi i)^{n}}\int _{S^{n-1}(x\cdot \xi )^{-n}\,d\omega_{\xi }}}$

짝수, 짝수 그리고

${\displaystyle \delta (x)={\frac {1}{2(pi i)^{n-1}\int_{S^{n-1}\delta ^{n-1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }}}$

전혀 이상하지 않고

푸리에 커널

푸리에 시리즈 연구에서 주요 질문은 주기적 기능과 연관된 푸리에 시리즈가 기능에 수렴되는지 여부와 어떤 의미로 수렴되는지 결정하는 것으로 구성된다.기간 2π의 함수 f에 대한 푸리에 시리즈의 n번째 부분 합은 디리클레 커널과의 콘볼루션([-control, π] 간격에 따라)에 의해 정의된다.

${\displaystyle D_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{{n}e^{inx}={\frac {\sin \left(\좌측(N+{1}{2}}\우측)x\오른쪽)}{\sin(x/2)}}.}$

그러므로,

${\displaystyle s_{N}(f)(x)=D_{N}*f(x)=\sum _{n=-N}^{{N}a_{n}e^{inx}}}}$

어디에

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int_{-\pi }^{-\f(y)^{-iny}\,dy.}$

초등 푸리에 시리즈의 근본적인 결과는 디리클레 커널이 N → ∞로서 델타 함수의 배수를 지향하는 경향이 있다고 말한다.이것은 분배의 의미로 해석된다, 라고.

${\displaystyle s_{N}(f)(0)=\int _{\mathbf {R}{{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}$

소형으로 지원되는 매끄러운 기능 f.그러므로, 형식적으로는

${\displaystyle \cHB(x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infort }^{\e^{inx}}}}$

틈틈이 [-board, roadvertime.

그럼에도 불구하고, 그 결과는 압축적으로 지원되는 모든 연속 기능에 대해 유지되지는 않는다. 즉, D는_N 조치의 의미에서 약하게 수렴되지 않는다.푸리에 시리즈가 융합되지 않아 융합 생산을 위한 다양한 만족도 방법이 도입되고 있다.체사로 요약하는 방법은 페제르 커널로^[64] 이어진다.

${\displaystyle F_{N}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}(x)={\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin {\frac {Nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}.}$

Fejér 낟알은 보다^[65] 강한 의미에서 델타 함수에 경향이 있다.

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }F_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}$

소형으로 지원되는 모든 연속 함수 f.그 의미는 모든 연속함수의 푸리에 시리즈는 모든 점에서 함수의 값에 합치할 수 있는 Cesaro라는 것이다.

힐베르트 우주론

디락 델타 분포는 힐버트 공간 L에서² 사각형 통합 함수의 결합되지 않은 선형 함수다.실제로, 원활히 지원되는 기능은² L에 밀도가 높고, 그러한 기능에 대한 델타 분포의 작용이 잘 정의되어 있다.많은 애플리케이션에서 L의² 하위 공간을 식별하고 델타 함수가 경계선 기능을 정의하는 보다 강력한 위상(topology)을 제공할 수 있다.

소볼레프 공간

실제 라인 R에 있는 소볼레프 공간에 대한 소볼레프 내장 정리는 어떤 사각형 통합형 함수가 다음과 같은 것을 암시한다.

${\displaystyle \ f\ _{H^{1}^{2}=\int_{-\infit }^{\infit }{\widehat{f}(\xi ) ^{2}(1+ \xi ^{2})\d\xi <\infty }}}$

자동으로 연속되며, 특히 만족도가 높다.

${\displaystyle \delta [f]=f(0) <C\ f\ _{H^{1}.}$

따라서 Δ는 소볼레프 공간 H의¹ 경계 선형 기능이다. 동등하게 Δ는 H의¹ 연속적인 이중 공간 H의⁻¹ 요소다. 보다 일반적으로 n 치수에서는 s > n / 2를 제공하는 Δ H(Rⁿ)가^−s 있다.

홀모픽 함수의 공간

복잡한 분석에서 델타 함수는 Cauchy의 적분 공식을 통해 입력되는데, 이 공식은 D가 매끄러운 경계를 가진 복잡한 평면의 도메인이라면 다음이라고 주장한다.

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}\point _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\\zeta }{\\zeta -z},\quad z\in D}$

D의 폐쇄에 연속적인 모든 홀모형 함수에 대하여.결과적으로 델타 함수 Δ는_z Cauchy 적분에 의해 이 종류의 홀로모르픽 함수에 표현된다.

${\displaystyle \delta _{z]=f(z)={\frac {1}{2\pi i}\point _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\\zeta }.}$

더욱이 H²((D)를 D의 경계까지 연속되는 D의 모든 홀로모르픽 함수의 L²(∂D)로 이루어진 폐쇄로 구성된 하디 공간이 되게 한다.그 후 H²(dD)의 함수는 D의 홀로모르픽 함수로 고유하게 확장되며, Cauchy 적분식은 계속 유지된다.특히 z ∈ D의 경우 델타 함수 Δ는_z H²(∂D)에 대한 연속적인 선형 기능이다. 이것은 부드러운 도메인 D의 경우 Szegő 낟알이 Cauchy 적분 역할을 하는 몇 가지 복잡한 변수에 있는 상황의 특수한 경우다.^[66]

신원 확인

분리 가능한 Hilbert 공간에서 기능 { of}의_n 완전한 정형 기초 집합(예를 들어, 콤팩트한 자가 적응 연산자의 정규화된 고유 벡터)을 제공하면 어떤 벡터 f도 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infit }\property _{n}\varphi _{n}.}$

계수 {α_n}은(는) 다음과 같이 발견된다.

${\displaystyle \property_{n}=\langle \varphi _{n}f\angle ,}$

다음과 같은 표기법으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \property_{n}=\varphi _{n}^{\f,}$

디락 브라켓 ^[67]표기법이 표기법을 채택하여 f의 확장은 dyadic 형식을 취한다.^[68]

${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infit }\varphi _{n}\left(\varphi _{n}^{n}^{}f\right)}$

힐버트 공간에 있는 ID 연산자를 가리키도록 하자면, 그 표현은

${\displaystyle I=\sum _{n=1}^{\infit }\varphi _{n}^{n}{\doger }}}$

정체성의 해결이라고 불린다.Hilbert 공간이 도메인 D의 제곱합성 함수의 L²(D) 공간인 경우, 수량은 다음과 같다.

${\displaystyle \varphi _{n}\varphi _{n}^{\properties }}$

통합 연산자이며 f에 대한 표현은 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\int _{D}\,\왼쪽(\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*(\xi )\f(\xi )\,d\xi.}$

L² 감각에서는 우측이 f로 수렴한다.f가 연속함수인 경우에도 점으로 볼 때 보유할 필요는 없다.그럼에도 불구하고 표기법을 남용하고 글을 쓰는 것이 일반적이다.

${\displaystyle f(x)=\int \,\int \,\int (x-\xi )f(\xxi )\,d\xi ,}$

델타 함수를 나타내는 결과:^[69]

${\displaystyle \property (x-\xi )=\sum _{n=1}^{\n=1}\barphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi).}$

φ ⊂ L²(D)이 콤팩트하게 지원되는 모든 부드러운 기능을 포함하는 적절한 고정 힐버트 공간(φ, L²(D), φ*)으로, 이 합계는 기초 φ의_n 특성에 따라 φ*에 수렴할 수 있다.실제적인 관심의 대부분의 경우, 직교 기초는 적분 또는 미분 연산자로부터 오며, 이 경우 직렬은 분포 의미에서 수렴된다.^[70]

최소 델타 함수

코치는 단위 임펄스, 무한히 높고 좁은 디락형 델타 함수 Δ_α F $(x$) ${}_{}$ ${\alpha }_{}$( x$$)$$= $F$ ($0$) ${\textstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F (0)}$를 만족시키는$$ 단위 임펄스 Δ를 1827년 여러 조항에 적는 것을 사용했다.^[71]코치는 0으로 향하는 순서의 관점에서 쿠르스 다안날리스(1827년)에 극소수를 정의했다.즉, 그러한 null 시퀀스는 카우치(Cauchy)와 라자레 카르노(Lazare Carnot)의 용어에서 극소수가 된다.

비표준 분석은 인피니티멀을 엄격하게 다룰 수 있게 한다.야마시타(2007)의 기사에는 하이퍼레알이 제공하는 극미량 연속체의 맥락에서 현대 디락 델타 기능에 대한 참고 문헌이 수록되어 있다.여기서 Dirac 델타는 푸리에와 카우치이가 예상한 대로$$ 모든 실제 함수 F에 $\mathrm{대해}$ $($ F$$( x )${}_{}\alpha$($x$ ) = F$$( $0$) ${\textyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F (0)$를 갖는 속성을 가진 실제 함수에 의해 주어질 수 있다.

디락 빗

디락 델타 측정의 이른바 균일한 "펄스 트레인"으로, 디락 빗 또는 샤 분포로 알려져 있으며, 디지털 신호 처리(DSP)와 이산 시간 신호 분석에서 자주 사용되는 샘플링 함수를 생성한다.디락 빗은 무한의 합으로 주어지며, 그 한계는 분배의 의미로 이해된다.

${\displaystyle \vmsname {III}(x)=\sum _{n=-\infit }^{\infit }\delta (x-n),}$

각 정수의 점 질량 시퀀스 입니다.

전체적인 정상화 상수까지 디락 빗은 자체적인 푸리에 변환과 동일하다.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) Schwartz 함수일 경우, convolution에 의해 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f$}의 주기화가 제공되기$$ 때문에 이는 중요하다.

${\displaystyle(f*\displayname {)III}(x)=\sum _{n=-\infit }^{\inf(x-n).}$

특히.

${\displaystyle(f*\displayname {)III} )^{\wedge }={\widehat{f}}{\widehat {\operatorname {\III} }}={\widehat{f}\operatorname {}III} }$

정확히 포아송 합계 공식이다.^[72][73]보다 일반적으로, $이{\displaystyle }$ 공식은 f ${\displaystyle f}$이(가) 급강하 강화 분포이거나$$, $동등$하게 f$^$ {\$displaystyle$ {\$widehat{f}}$이(가$$) 강화 분포 공간 내에서 느리게 성장하는 일반적인 함수인 경우 그대로 유지된다.

속호츠키-플멜지 정리

양자역학에서 중요한 속호츠키-플멜지 정리는 델타함수를 함수 1/x의 분포 p.v. 1/x와 연관시킨다.

${\displaystyle \left\langle \p.v.} {\frac {1}{x},\varphi \right\rangele =\lim_{\barepsilon \to 0^{+}}\x >{\frac {\varphi(x)},dx.}$

속호츠키의 공식은 다음과^[74] 같다.

${\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0^{+}{\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}}{p.v.} {\frac {1}{x}\mpi \cset (x),}$

여기서 한계는 분배의 의미로 이해되며, 모든 소형으로 지원되는 매끄러운 기능에 대해 f,

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{ x >\varepsilon }{\frac {f(x)}{x}}\,dx.}$

크로네커 삼각주와의 관계

크로네커 델타 Δ는_ij 다음에 의해 정의된 수량이다.

${\displaystyle \protection_{ij}={\base}1&i=j\\0&i\not=j\end{case}}}$

모든 정수 i, j.이 함수는 sifting 속성의 다음과 같은 아날로그를 만족시킨다:${\displaystyle }$(${\displaystyle i_{}{}_{}}$) ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {Z\mathbf{}}_{}}$ ${\$

${\displaystyle \sum _{i=-\infit }^{\infit }a_{i}\i1}\ik}=a_{k}.}$

이와 유사하게, R의 실제 또는 복잡한 가치 연속함수 f에 대해, Dirac 델타는 시프팅 특성을 만족한다.

${\displaystyle \int _{-\infit _}^{\\f(x)\put (x-x_{0})\,dx=f(x_{0})\,dx=f(x_{0}).}$

이것은 Dirac 델타 함수의 이산 아날로그로서 크론커 델타 함수를 나타낸다.^[75]

적용들

확률론

확률 이론과 통계에서 Dirac 델타 함수는 확률 밀도 함수(일반적으로 절대 연속 분포를 나타내기 위해 사용된다)를 사용하여 이산형 분포 또는 부분 이산형 부분 연속 분포를 나타내기 위해 종종 사용된다.예를 들어, x = {x₁, ..., x_n} 점으로 구성된 이산형 분포의 확률밀도함수 f(x)는 다음과 같이 기록할₁ 수 있다_n.

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\properties(x-x_{i}).}$

또 다른 예로, 시간의 6/10이 표준 정규 분포를 반환하고, 시간의 4/10이 정확히 값 3.5(즉, 부분 연속, 부분 이산형 혼합물 분포)를 반환하는 분포를 들 수 있다.이 분포의 밀도 함수는 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle f(x)=0.6\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi }e^{-{\\frac{x^{2}}:}+0.4\,\cHB(x-3.5)}$

델타 함수는 또한 연속적으로 다른 함수에 의해 변형되는 랜덤 변수의 결과 확률 밀도 함수를 나타내기 위해 사용된다.Y = g(X)가 연속적으로 다른 함수라면 Y의 밀도는 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle f_{Y}(y)=\int _{-\infit }^{+\f_{X}(x)\delta(y-g(x)dx.}$

델타 함수는 확산 과정의 현지 시간(브라운 모션과 같이)을 나타내는 전혀 다른 방법으로도 사용된다.확률적 공정 B(t)의 현지 시간은 다음과 같다.

${\displaystyle \ell(x,t)=\int _{0}^{t}\delta(x-B)\,ds}$

그리고 공정이 공정 범위 내에서 x 지점에서 소비하는 시간을 나타낸다.보다 정확히 말하면, 한 차원에서는 이 적분을 쓸 수 있다.

${\displaystyle \ell(x,t)=\lim_{\to 0^{+}{\frac {1}{2\varepsilon }\int_{0}^{0}\mathbf {1}_{1} _{x-\varepsilon ]}(B(s)\,ds}$

여기서 1은_{[x−ε, x+ε]} 구간의 표시 함수[x-수정, x+수정]이다.

양자역학

델타 함수는 양자 역학에서는 편리하다.입자의 파동 함수는 주어진 공간 영역 내에서 입자를 찾는 확률 진폭을 제공한다.파동 함수는 사각 통합 함수의 힐버트 공간² L의 요소로 가정되며, 주어진 간격 내에서 입자를 찾을 수 있는 총 확률은 그 간격에 걸쳐 제곱한 파동 함수의 크기에 대한 정수다.파형 함수의 집합 { ${\displaystyle {nn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \varphi _{n}\rangele$}}이(가) 정규화된 경우

${\displaystyle \langle \varphi _{n}\mid \varphi _{m}\angle =\nm}}$

여기서 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$은(는) Kronecker 델타다.파형 함수 ${\displaystyle \psi \rangele$}을(를) 복잡한 계수를 가진 { $nn$ $\varphi _{n}\rangele$의 선형 조합으로 표현할$$ 수 있는 경우 일련의 직교파 함수가 사각 통합형 함수의 공간에 완전하다.

${\displaystyle \cHB =\sum c_{n}\varphi _{n}}$

$c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle ⟨n_{}}$ ${\displaystyle \psi {}_{}}$ n${\displaystyle }${ { { {$${ { { { { \$displaystyle c_{n}=\langle \varphi _{n} \psi \angle$ 파장 기능의 완전한 정형계는 자연적으로 에너지 수준을 측정하는 양자역학에서 해밀턴어(bound system)의 고유 기능으로 나타난다. 이를 고유값이라고 한다.이 경우 고유값 집합은 해밀턴계의 스펙트럼으로 알려져 있다.위와 같이 브라켓 표기법에서 이 평등은 정체성의 해결을 의미한다.

${\displaystyle I=\sum \varphi _{n}\랑글 \langle \varphi _{n} .}$

여기서 고유값은 이산형이라고 가정하지만 관측 가능한 고유값 집합은 이산형이라기보다는 연속형일 수 있다.관측 가능한 위치 Qable(x) = xψ(x)가 그 예다.위치의 스펙트럼(한 차원)은 전체 실선이며 연속 스펙트럼이라고 한다.그러나 해밀턴계와는 달리 포지션 오퍼레이터는 적절한 고유 기능이 결여되어 있다.이러한 단점을 극복하는 전통적인 방법은 분포를 허용함으로써 이용 가능한 기능의 등급을 넓히는 것이다. 즉 양자역학의 힐버트 공간을 적절한 고정 힐버트 공간으로 대체하는 것이다.^[76]이 맥락에서 위치 운영자는 다음과 같이 주어진 실제 선의 y 점으로 라벨을 붙인 완전한 고유분포 세트를 갖는다.

$\displaystyle \varphi _{y}(x)=\cHB(x-y).}$

위치의 고유특성은 디락 표기법에서$$ ${\displaystyle y_{}}$y = ${\displaystyle y}$ = y${\displaystyle }${$${\$displaystyle \varphi _{y}= y\rangele$}로 표시되며 위치 고유특성으로 알려져 있다.

P의 스펙트럼이 연속적이고 퇴보적인 고유값이 없는 경우, 모멘텀 연산자의 고유상태 또는 실제로 힐버트 공간의 다른 자칭 결합 연산자 P에도 유사한 고려사항이 적용된다.그 경우, 실수의 Ω(스펙트럼)이 설정되고, Ω의 요소에 의해 지수화된 분포의 집합 φ이_y 있는데, 다음과 같다.

${\displaystyle P\varphi _{y}=y\varphi _{y}.}$

즉, φ은_y P의 고유 벡터다.고유 벡터가 정규화된 경우

${\displaystyle \langle \varphi _{y}\varphi _{y}\rangele =\reason (y-y')}$

분포 의미에서는, 그 다음, 어떤 시험 함수 for에 대해서,

${\displaystyle \psi(x)=\int _{\Oomega}c(y)\varphi _{y}(x)\,dy}$

어디에

${\displaystyle c(y)=\langle \psi,\varphi _{y}\angle .}$

즉, 불연속적인 경우와 마찬가지로, 정체성의 해결이 있다.

$\displaystyle I=\int _{\Oomega } \varphi _{y}\angle \varphi _{y}\langle \varphi _{y} \dy}$

연산자 값 적분을 약한 의미로 다시 이해할 수 있는 경우.P의 스펙트럼이 연속적인 부분과 이산적인 부분을 모두 갖는 경우, ID의 분해능은 이산 스펙트럼에 대한 합계와 연속적인 스펙트럼에 대한 적분을 포함한다.

델타 함수는 또한 단일 및 이중 전위 유정에 대한 델타 전위 모델과 같이 양자 역학에 더 많은 전문 응용 프로그램을 가지고 있다.

구조역학

델타 함수는 구조물에 작용하는 과도하중 또는 점하중을 기술하는 구조역학에서 사용될 수 있다.시간 t = 0에서 갑작스런 힘 충격 I에 의해 흥분되는 단순 질량-스프링 시스템의 지배 방정식은 기록할 수 있다.

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d}^{2}\xi }{d}t^{2}}+k\xi =I\delta (t),}$

여기서 m은 질량이고, ξ 편향 및 k 스프링 상수.

또 다른 예로, 가느다란 빔의 정적 편향을 지배하는 방정식은 오일러-베르누엘리 이론에 따르면,

${\displaystyle EI{\frac {\mathrm {d}^{4}{\mathrm {d}x^{4}}=q(x),}$

여기서 EI는 편향과 함께 빔의 휨 강성, 공간 좌표 및 하중 분포 q(x)이다.빔이 x = x에서₀ F 점 힘에 의해 로드되는 경우, 하중 분포가 기록된다.

${\displaystyle q(x)=F\delta(x-x_{0}).}$

델타 함수의 통합으로 인해 Hubiside 스텝 함수가 발생하므로, 여러 점 하중을 받는 가느다란 빔의 정적 편향은 일련의 조각 다항식으로 설명된다.

또한 빔에 작용하는 점 모멘트는 델타 함수로 설명할 수 있다.두 개의 반대점 힘 F를 멀리 떨어져서 고려하라.그런 다음 빔에 작용하는 순간 M = Fd를 생성한다.이제 거리 d가 한계점 0에 접근하도록 하고 M은 일정하게 유지한다.x = 0으로 작용하는 시계방향 모멘트를 가정하여 부하 분배가 기록됨

${\displaystyle {\begin{aligned}q(x)&=\lim _{d\to 0}{\Big (}F\delta (x)-F\delta (x-d){\Big )}\\[4pt]&=\lim _{d\to 0}\left({\frac {M}{d}}\delta (x)-{\frac {M}{d}}\delta (x-d)\right)\\[4pt]&=M\lim _{d\to 0}{\frac {\delta(x)-\delta(x-d)}{d}}{d}\[4pt]&&=M\delta '(x).\end{정렬}}}$

따라서 지점 모멘트는 델타 함수의 파생형으로 나타낼 수 있다.빔 방정식을 다시 통합하면 부분적인 다항식 편향이 발생한다.

참고 항목

• 원자(측정 이론)
• 지표의 라플라시안

메모들

참조

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외부 링크

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• Dirac 델타 측정은 과기능이다.
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